Ćwiczenia do rozdziału I.
1. Dwa okręgi o promieniach r i r' są zewnętrznie do siebie styczne.
Obliczyć kąt 2a między ich wspólnemi stycznemi zewnętrznemi.
Zbadać, w jaki zposób zmienia się sin a, jeżeli r -|- r' jest wielkością stałą, natomiast różnica r — r' jest zmienna.
W szczególności obliczyć, jak wielka musi być różnica r—r', jeżeli f-j-r'=1000, a 2a = 90°, 120°, 160°.
2. Przez wierzchołki A, B kwadratu poprowadzono okrąg koła, który ’ przecina bok CD (lub jego przedłużenie) pod kątem a. Obliczyć promień koła jako funkcję boku a kwadratu i kąta a. Zbadać otrzymane równanie.
3. WŁtrójkącie prostokątnym a ABC poprowadzono wysokość AD.
Obliczyć kąty trójkąta, jeżeli pole a ADC jest średnią geometryczną pól trójkątów
* a ABC i a ABD.
4. Mając dany kąt ostry BCB' — 2 a, odkładamy na jednem jego ramieniu dowolny odcinek CB — a, na przedłużeniu zaś drugiego ramienia
CA = CB= a.—Wyrazić dwoma spo
sobami pole a ABC: raz jako funkcję kąta 2a, drugi raz jako funkcję kąta a i w ten sposób znaleźć zależność mię
dzy sin 2a a funkcjami trygonome- trycznemi kąta «. (rys. 44).
Zapomocą tablic sprawdzić ten wzór dla jakiejkolwiek wartości szcze
gólnej kąta 2a. Z wzoru wyczytać, co rośnie prędzej: kąt zmienny a czy jego sinus ?
5. ‘Z^tej samej figury otrzymać związek między cos 2<x a funkcjami kąta «, wyrażając odcinek CB' raz jako funkcję kąta 2a, drugi raz jako funcję kąta a.
6. Z równań, otrzymanych w dwóch poprzednich zadaniach, wysnuć analogiczne równanie dla tg 2 a.
7 .^Stosunek pól dwóch wielokątów foremnych o n bokach, z których jeden jest opisany na kole, drugi wpisany w to koło, równa się 1. Znaleźć liczbę n.
Rys. 44.
8. Znaleźć z dokładnością do 10' kąt ostry 7, czyniący zadość równaniu
tg 7 — ctg 7 == 2.
9. Oznaczmy trzy krawędzie prostopadłościanu przez a, b, c, kąty zaś między krawędziami a przekątną prostopadłościanu przez a, [B. f. Do
wieść, że mamy zawsze
cos2 a -|- COS2 ° 4" cos2 f = l.
10. Mamy dane koło o promieniu r i punkt A, leżący zewnątrz pła
szczyzny koła. Rzut A' punktu A na tę płaszczyznę odległy jest o d od środka koła. (1) Zbudować najkrótszy i najdłuższy z pośród odcinków, łą
czących punkt A z punktami okręgu. (2) Obliczyć kąty międy temi odcin
kami a płaszczyzną koła.
11. Wykazać, że różnica między funkeją 3 sin4 a — 2 sin6 a a funk
1 — cosacosp 1—cosacosp
14. Jeżeli tg2a — 1 4-2 tg2wówczas cos2^ = 2 coś2 a.
16. Jeżeli mamy a cos 7 b sin 7 = 0 a zarazem a sin 7 -j- b cos 7 = c,
wówczas (a2 - b2)2
c’“ a24-62 ’
[Wskazówka: z danych dwóch równań wyznaczamy sin 7, cos 7].
16. Jeżeli x = a cos 8- 4- b sin & = a' cosft 4- b' sin <1-,
17. Jeżeli zachodzą trzy równania
wówczas 2 (ab' — a'by
x ~ (a- a'y+(.b- b'y'
a' = a cos2 7 4- sin 7 cos 7 -f- b sin2 7 k' — k (cos2 7 — sin2 7) — (a — b) sin 7 cos 7 b' = a sin2 7 — 2fc sin 7 cos 7 -j- b cos2 7 wówczas muszą zachodzić dwa następujące równania:
a.' + b‘ — ab a'b' — k'- = ab - k-.
18. Na płaszczyźnie dana jest nieruchoma półprosta OA i punkt ru
chomy M. Niech M' będzie rzutem punkiu M na OA. Wprowadźmy nastę
pujące oznaczenia: OM = d, 0M' = x, M' M = y. Co kreśli punkt M, jeżeli stosunek ~ pozostaje stały? jeżeli jest stały? jeżeli ' jest stały?
ci ci y
18a. Dowieść zapomocą trygonometrji, że miejscem geometrycznem punktów, których odległości od ramion danego kąta są w stałym do siebie stosunku, jest prosta, przechodząca przez wierzchołek kąta.
186. Dany kąt a podzielić na dwa kąty i y tak, by było sin : sin f = m-.n, gdzie m, n są to liczby stałe.
19. Przez środek 0 danego koła prowadzimy dwie prostopadłe do sie
bie proste 0X, OY. Styczna ruchoma przecina te proste odpowiednio w punktach A i B. Przez A kreślimy równoległą do OY, przez B równo
ległą do OX. Niech M będzie punktem przecięcia się tych prostych. Jeżeli przez środek koła poprowadzimy półprostą, symetryczną z prostą 0X wzglę- gem prostej OM, i na niej odłożymy OK ~ OM, wówczas miejscem punktu K musi byó prosta, równoległa do 0X. [Wskazówka: kąt -KBAO ozna
czamy przez a; prowadzimy promień do punktu styczności; niech K' będzie rzutem K na OX; jak wielki jest kąt ^KOK'? Uwzględnić wzór z zada
nia 4, str. 54].
20. Z punktów O i O' promieniem r zakreślono dwa koła, styczne do siebie zewnętrznie w punkcie A. Przez A kreślimy sieczną, która przecina pierwsze koło w punkcie B, drugie—w C. Na BC, jako na średnicy, budu
jemy trzecie koło, przecinające drugie koło w D. W trójkąt krzywolinjowy, ograniczony przez luki AB, BD, DA, wpisujemy czwarte koło. Wykazać, że promień p tego czwartego koła wyraża się wzorem
2r cos5 a 'j l-j-2 COS a ’ ■ gdzie a jest kątem między BC i 00'.
21. Dowieść zapomocą trygonometrji, że jeśli koło (0)r przechodzi przez środek koła (O')r i jeżeli spólne styczne tych kół dotykają pierwszego koła w punktach A i A', wówczas prosta AA' jest styczna do drugiego koła.
[Wskazówka: £A00' — a; jak wielki jest odcinek OB, gdzie B jest punktem przecięcia się prostych AA' i 00'?]
22 Jeżeli w koło wpiszemy czworokąt i z dowolnego punktu M okręgu poprowadzimy prostopadłe do jego boków, wówczas iloczyn prostopadłych, poprowadzonych do dwóch boków przeciwległych, równać sie musi iloczy
nowi dwóch drugich prostopadłych.
[Wskazówka: punkt M połączyć z dwoma przeciwległemi wierz
chołkami i zbadać, czy nie powstały na figurze kąty równe],
23. Ostrosłup pochyły ma za podstawę trójkąt foremny. Krawędzie boczne tworzą z podstawą kąty a, [5, y takie, że
tga=>3’ = =
Dowieść, że wysokość ostrosłupa równa się krawędzi podstawy.
24. Na bilardzie prostokątnym ABCD {AB = n, BC = b) leżą dwie kule: jedna w środku bilardu, druga — w odległości p od brzegu AB i w odległości q od brzegu BC. Druga kula zostaje uderzona tak, że od
biwszy się pod kątem a od brzegu AB, a następnie odbiwszy się kolejno od brzegów AD, DC, CB, trafia wreszcie w pierwszą kulę. Dowieść, że
-. -. , Ł 36 -[-2n musi być tg a = '— A-.
J b ba — 2q
25. Z punktu A, położonego na wschód od pewnej wieży, widać jej wierzchołek pod kątem wzniesienia 60°. Posuwając się na południe od A, mierzymy w punktach B i C kąt wzniesienia wierzchołka wieży i znajdu
jemy, że w punkcie B kąt ten = 45°, w punkcie C zaś = 30°. Wykazać, że
jeśli punkty A, B, C leżą w płaszczyźnie poziomej, przechodzącej przez podnóże wieży, wówczas musi być AB = BC.
26. W jakich granicach zmieniać się może parametr a w równaniu
27. Dowieść zapomocą rozważań geometrycznych, że jeśli A, B są kątami ostremi w trójkącie prostokątnym, przyczem A^> B, wówczas
28. Kulę o promieniu B przecięto płaszczyzną w odległości d od środka, w przekrój wpisano kwadrat i na nim zbudowano ostrosłup prosty, wpisany w większy odcinek kuli. Pod jakiemi kątami widać bok podstawy i przekątną podstawy z wierzchołka S ostrosłupa?
29. Graniastosłup prosty o podstawie kwadratowej ABCD przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez wierzchołek A podstawy. Siad AX tej pła
szczyzny na płaszczyźnie podstawy jest prostopadły do przekątnej AC kwadratu. Bok kwadratu—a; objętość bryły, odciętej przez płaszczyznę=y.
Dowieść, że jeśli przez a oznaczymy kąt między tą płaszczyzną a podstawą graniastosłupa, wówczas musi być
2t>
tg a =---= . S a’ J/ 2
30. Oznaczmy przez ,S pole wielokąta foremnego wpisanego w koło, przez S' pole podobnego wielokąta opisanego na tern samem kole. Dowieść:
1) zapomocą rachunku trygonometrycznego, 2) zapomocą rozważań czysto geometrycznych, że różnica tych pól S' — S równa się zarówno polu wie
lokąta podobnego wpisano w koło, którego średnicą jest bok wielokąta 8', jak polu wielokąta podobnego, opisanego na kole, mającem za średnicę
bok wielokąta S.
31. W czworościanie foremnym ABCD niech K będzie środkiem wy
sokości -4Z' czworościanu. Dowieść, że w jednem z naroży czworościanu KBCD wszystkie ściany są kątami prostemi. Obliczyć nachylenie krawędzi KB do płaszczyzny BCD oraz promień kuli, opisanej na czworościanie KBCD.
32. Po równi pochyłej, nachylonej pod kątem a do poziomego stołu, stacza się krążek o średnicy d. W pewnej chwili punkt zetknięcia się krążka z równią- znajduje się w odległości k od dolnego brzegu równi.
Na jakiej wysokości nad stołem znajduje się wówczas środek krążka?
Na jakiej wysokości znajdować się będzie środek krążka, gdy krą
żek obróci się jeszcze o <f>°?
Obliczyć wartości znalezionych wzorów, kładząc d=6,5 cm. k—15 cm.
a = 36°; <f = 20<>.
Jaka jest dokładność otrzymanego wyniku, jeżeli długości znamy z dokładnością do 1 mm., kąty zaś z dokład. do */ 2°?
33. Lotnik leci na wysokości 2700 m. i, widząc wprost pod sobą szczyt wieży kościelnej, puszcza w ruch chronoskop. Po upływie 12 sek.
spostrzega, że kąt depresji wieży = 80°. Z jaką prędkością porusza się samo
lot? Lecąc dalej po prostej z jednostajną prędkością, lotnik zmierza do nieprzyja
cielskiej stacji, w którą ma rzucić bombę. Jaki powinien być kąt depresji stacji w chwili, gdy lotnik opuszcza bombę? Nie uwzględniamy oporu po
wietrza i zakładamy, że wiatru niema.
(Egzamin do niższej szkoły techniczno-wojskowoj w Angljl).
34. Mechanizm (rys. 45) składa się z prętów AB i BC, połączonych zawiasem w B. Koniec A pierwszego pręta obraca się dokoła punktu A, koniec C drugiego pręta ślizga się po prostej CD. Wpewnej chwili pro
sta AC jest prostopadła do CD. Gdy koniec C prze
sunął się o a cm., zawias B znalazł się w poło
żeniu B'. Obliczyć długość odcinka BB', wie
dząc, że AB — BC i że prostopadła AC = b cm.
35. Dana jest półprosta OM i na niej punkt A w odległości 10 cm. od O. Półprosta obraca się dokoła O, a jednocześnie punkt A porusza się po niej w ten sposób, że odcinek OA równa się zawsze pierwotnej swej wartości, pomnożonej przez kosinus kąta, o który obróciła się półprosta. Jaką linję zakreśla punkt A?
36. Kwadratowy arkusz sztywnego papieru DCFE przełamano wzdłuż prostej AB; równoległej do boków CD, EF i dzielącej na połowy
Rys. 45.
dwa drugie boki kwadratu. Dwie połówki arkusza nachylone są do siebie pod kątem <p. Papier ten położono na, biurku, którego blat nachylony jest do poziomu pod kątem a (rys. 46). Niech AB leży wzdłuż prostej najwię
kszego spadku blatu; obliczyć kąt, który prosta AE tworzy z płaszczyzną poziomą, i wykazać, że AE jest pozioma, jeżeli zachodzi równość sin <p == 2 tg a.
(Egzamin wstępny do szkoły wojskowej w Sandhnrst).