Badania modelowe zmian przewodności elektrycznej

W ramach niniejszej pracy wykonano analizę wpływu rodzaju, rozmieszczenia i wiel-kości wad wewnętrznych w odlewach z miedzi na ich przewodność elektryczną. Przeprowa-dzenie tego typu badań w warunkach rzeczywistych byłoby bardzo trudne ze względu na kry-stalizację objętościową i zjawisko odziaływania cząstek z przemieszczającym się frontem krystalizacji. Związane jest to z problemami z wyodrębnieniem poszczególnych czynników wpływających na przewodność elektryczną odlewów z miedzi. Z tego względu zdecydowano się na wykorzystanie do tego celu obliczeń numerycznych. Badania wykonano w komercyj-nym oprogramowaniu symulacyjkomercyj-nym COMSOL Multiphysics.

89

Obecnie stosowanie programów symulacyjnych jest powszechnym sposobem wzboga-cenia prac badawczych czy kontroli procesu przygotowania produkcji. Zaawansowane opro-gramowanie pozwala wizualizować najbardziej złożone zjawiska fizyczne. Z kolei możliwo-ści obliczeniowe dostępnych komputerów pozwalają na tworzenie modeli obliczeniowych o wysokim stopniu złożoności. COMSOL Multiphysics jest pakietem symulacyjnym, rozwią-zującym układy nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych przy wykorzystaniu meto-dy elementów skończonych (MES) w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. Jest stosowany w różnych obszarach zastosowań inżynierskich i naukowych takich jak:

• elektrotechnika, • mechanika, • inżynieria chemiczna, • geofizyka, • sterowanie, • matematyka stosowana.

Analizowany w pracy problem przewodności elektrycznej w odlewach z miedzi, w których występują wady wewnętrzne, można sprowadzić do zagadnienia przepływu prądu stałego w przewodniku składającym się z obszarów o zróżnicowanej przewodności elektrycznej  [S/m]. W takim przypadku, zgodnie z prawem Ohma, gęstość prądu J jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego

E𝐽 = 𝜎𝐸 (45)

Wówczas tzw. równanie ciągłości przyjmuje następującą formę

∇ ∙ 𝐽 = 0 (46)

W oparciu o równania (45) i (46) można wyprowadzić zależność opisującą rozkład potencjału elektrycznego V w analizowanym przewodniku:

−∇ ⋅ (𝜎∇V) = 0 (47)

Aby rozwiązać powyższe równanie w programie COMSOL konieczne było zdefiniowanie tzw. warunków jednoznaczności. Obejmują one odpowiednio:

90

• warunki geometryczne – opisujące geometrię analizowanego obszaru i wchodzących w jego skład podobszarów, w których zachodzi zjawisko przewodzenia prądu elek-trycznego,

• warunki brzegowe – opisujące stan układu na jego brzegach,

• warunki fizyczne opisujące stałe materiałowe (w tym przypadku przewodność elek-tryczną ) dla wszystkich podobszarów.

Do przeprowadzenia badań wykorzystano dwuwymiarowy układ modelowy o kształcie pro-stokąta przedstawiony na rysunku 58.

Rys. 58. Układ modelowy do analizy przewodności elektrycznej

Dla uproszczenia dalszych obliczeń przyjęto, że długość układu l wynosiła każdorazowo 1 [m] oraz wysokość d = 1 [m]. W centralnej części układu modelowego wyznaczono obszar „X” (rys. 59), w którym odwzorowywano różne rodzaje wad wewnętrznych występujących w odlewach z miedzi. Różniły się one kształtem, rozmiarem i rozmieszczeniem. Pod pojęciem „wada” rozumie się tu podobszar o odmiennych właściwościach (innej przewodności trycznej w porównaniu do otaczającej miedzi) wpływający negatywnie na przewodność elek-tryczną całego układu. Geometria tych podobszarów ma charakter modelowy i miała za zada-nie odzwierciedlać wady odlewnicze takie jak porowatości gazowe i skurczowe. Dodatkowo w analizie uwzględniono stop miedzi z chromem, gdzie na granicach ziaren i w

przestrze-91

niach dendrytycznych występują charakterystyczne wydzielania chromu, co przyczynia się do znacznego obniżenia przewodności elektrycznej gotowych odlewów.

Wariant a) b) c) d)

I

II

III

IV

Rys. 59. Analizowane warianty geometrii, liczby i rozmieszczenia wad w obszarze „X”

Na rysunku 59 przedstawiono poddane analizie warianty kształtu i rozmieszczenia wad w obszarze „X”. W przypadku wariantu I przyjęto, że rozmieszczone symetrycznie wady mają okrągły kształt typowy dla pęcherzy gazowych i zajmują (sumarycznie) tą samą powierzchnię w analizowanym układzie, natomiast różna jest ich liczba. W przypadku wariantu II wielkość wad jest ta sama natomiast analizowany jest wpływ ich rozmieszczenia w obszarze „X” na zmianę przewodności elektrycznej. Z kolei w wariancie III uwzględniane są pojedyncze wady o tym samym polu powierzchni, ale różnym kształcie. Wariant IV obejmuje wady niewielkie, w porównaniu do powierzchni całego obszaru, o takiej samej geometrii, ale różnej liczbie i rozmieszczeniu.

92

Jeżeli chodzi o warunki brzegowe to na górnej i dolnej powierzchni całego układu za-stosowano warunek odpowiadający izolacji elektrycznej. Z kolei na lewej i prawej ściance układu przejęto stałą wartość potencjału elektrycznego wynoszącą odpowiednio V=1 [V] oraz V=0 [V] (uziemienie). Pomiędzy podobszarem miedzi, a podobszarami odwzorowującymi wady materiału przyjęto tzw. warunek ciągłości.

Do wykonania badań modelowych wykorzystano moduł „Conductive Media DC” pro-gramu Comsol 3.5A. Po wprowadzeniu wymaganych parametrów generowano siatkę oblicze-niową metody elementów skończonych (dyskretyzacja przestrzeni). Należy tu zaznaczyć, że proces ten prowadzono tak, aby nawet w niewielkich obszarach odwzorowujących wady zna-lazła się odpowiednia liczba węzłów siatki (rys. 60).

Rys. 60. Liczba węzłów siatki oraz: a) siatka elementów skończonych dla wariantu D-IV (z rys. 59), b) powiększony obszar siatki

Po zdefiniowaniu wszystkich wymaganych parametrów prowadzono obliczenia, które miały na celu określenie gęstości prądu J. Pełny schemat postępowania w programie COMSOL przedstawiono na rysunku 61.

93

Rys. 61. Schemat blokowy modelowania przewodności elektrycznej stopów Cu

W oparciu o uzyskaną wartości J oraz pole przekroju przewodnika A możliwe jest określenie natężenia prądu I:

𝐽 = ^𝐼

𝐴 (48)

Należy tu zaznaczyć, że w przypadku analizowanego, dwuwymiarowego układu można przy-jąć, że 𝐴 = 𝑑 (rys. 58). Z kolei zgodnie z prawem Ohma:

𝐼 =^𝑈

𝑅 (49)

gdzie R- rezystancja.

Przy opisanych powyżej założeniach napięcie elektryczne U (różnica potencjałów) wynosić będzie 1 [V]. Wówczas możliwe jest wyznaczenie rezystancji R, a następnie przewodności elektrycznej zgodnie z następującym wzorem:

𝜎 = ¹

𝜌 (50)

gdzie 𝜌 = 𝑅(𝐴/𝑙)

Wyniki modelowania numerycznego przewodności elektrycznej badanych odlewów Cu poka-zano graficznie na rys. 62-66.

ETAP 1 -wybór dwuwymiarowego układu współrzędnych ETAP 2 -wybór odpowiedniego modułu COMSOL

ETAP 3 - modelowanie geometrii (warunek geometryczny) ETAP 4 -przypisanie materiałów (warunek fizyczny)

ETAP 5 -określenie warunków brzegowych

ETAP 6 - generowanie siatki obliczeniowej ETAP 7 - proces obliczeniowy

94

Rys. 62. Przewodność elektryczna miedzi w funkcji względnego rozmiaru porów wg układu wariantu IaId z rys. 59. fp = const.

Rysunek 62 pokazuje graficznie wpływ względnego rozmiaru porów na przewodność elek-tryczną. Analiza wyników wskazuje, że brak jest korelacji między rozmiarami porów, a prze-wodnością elektryczną dla tego samego udziału porów. Rysunek 63 pokazuje wpływ rozmie-szenia porów dla tego samego ich udziału na przewodność elektryczną.

Rys. 63. Przewodność elektryczna miedzi w funkcji rozmieszczenia porów wg wariantów IIaIId z rys. 59. fp = const.

0 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 σ , [MS /m ] d, [-] 0 10 20 30 40 50 60 4 5 6 7 8 9 σ , [MS /m ] Nr wariantu rozmieszczenia

95

Z analizy wyników pokazanych na rys. 63 można stwierdzić, że przewodność w istotny sposób uzależniona jest od rozmieszczenia porów. Warianty 6 i 7 odpowiadają nierówno-miernemu rozmieszczeniu porów, które mają miejsce w warunkach rzeczywistych dla krysta-lizacji dendrytycznej. Warto zwrócić uwagę, że dla wariantów 6 i 7 przewodność elektryczna jest ponad dwukrotnie mniejsza w stosunku do wariantu 5.

Rysunek 64 pokazuje wpływ współczynnika kształtu¹ na przewodność elektryczną.

Rys. 64. Przewodność elektryczna miedzi w funkcji współczynnika kształtu wg wariantów IIIaIIId z rys. 59. fp = const.

Z rys. 64 wynika, że kształt porów ma wpływ na końcową przewodność elektryczną. Im mniejszy współczynnik kształtu (im bardziej kształt porów odbiega od kulistego), tym prze-wodność elektryczna będzie mniejsza. Wynika stąd wniosek, że pory gazowe, które w więk-szości przypadków mają kulisty kształt w najmniejszym stopniu obniżają przewodność elek-tryczną. Bardziej niebezpieczne są pory skurczowe, których współczynnik kształtu S→0. Analiza rysunków 63-64 wskazuje, że najbardziej niebezpieczne są pory (lub cząstki) faz ob-cych, które rozmieszczone są nierównomiernie o niskim współczynniku kształtu.

1 Współczynnik kształtu dany jest zaleznością [58]: 𝑆 = 4𝜋_𝑃^𝐴₂, gdzie: A – pole powierzchni porów (cząstek), P – obwód porów (cząstek).

20 25 30 35 40 45 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 σ , [MS /m ] Współczynnik kształtu, S

96

Rysunek 65 pokazuje wpływ udziału porów (pustki o tych samych rozmiarach) na przewod-ność elektryczną.

.

Rys. 65. Przewodność elektryczna miedzi w funkcji udziału porów (warianty IVaIVd)

Przewodność elektryczna zmniejsza się w miarę zwiększania udziału porów. Zgodnie z symu-lacją numeryczną zmiana ta ma charakter potęgowy zgodny z zależnością pokazaną na rys. 65. Rys. 66 pokazuje wpływ rozmieszczenia chromu na przewodność elektryczną miedzi. Analiza ta obejmuje warianty rozmieszczenia IIaIId z rys. 59.

Rys. 66. Przewodność elektryczna miedzi w funkcji rozmieszczenia chromu oraz porów gazwowych wg wariantów IIaIId z rys. 59. fp = const.

y = 58.352x-0.011 R² = 0.9604 56.5 57 57.5 58 58.5 59 59.5 60 60.5 0 0.5 1 1.5 2 Ϭ [M S/m ] udział porów [%] 15 20 25 30 35 40 45 50 55 4 5 6 7 8 9 Ϭ [M S/m ] Nr wariantu rozmieszczenia cząstki Cr pory gazowe

97

Z rys. 66 wynika, że przewodność elektryczna miedzi w istotny sposób zależy od rozmiesz-czenia cząstek chromu podobnie jak w przypadku porów gazowych. Chrom ma przewodność elektryczną 7,9 MS/m. Jest to wartość znacznie wyższa od tej dla powietrza (3×10-21 MS/m), a pomimo to w znaczący sposób powoduje obniżenie przewodności elektrycznej miedzi. Z analizy powyżej przedstawionych wyników można stwierdzić, że przewodność elektryczna nie zależy wyłącznie od stopnia zagazowania metalu, ale także od wielkości, kształtu oraz rozmieszczenia porów lub faz/zanieczyszczeń obecnych w odlewach z miedzi.

98