Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) =
15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x =
15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞). f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞). f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0). f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞),
więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje).
Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0),
więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −),
a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +).
W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku.
Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗