Badanie warunku dostatecznego geometrycznej niezmienności

Przedmiotem badań będą te układy konstrukcyjne, dla których spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności (jest odpowiednia liczba więzów). Analizować będziemy to, czy rozmieszczenie podpór i połączeń zapewnia geometryczną niezmienność (eliminuje możliwość ruchu).

10.2.1. Warunek geometrycznej niezmienności jednej tarczy

Każda z tarcz przedstawionych na rysunku 10.4 posiada wystarczającą liczbę więzów (trzy więzy).

Załóżmy myślowo, że tarcza przedstawiona na rys.10.4.a może doznać nieskończenie małego obrotu względem przegubu B.

Punkt A musiałby przemieścić się po kierunku prostopadłym do promienia BA - wektor . Podpora umieszczona w punkcie A pozwala jednak tylko na przemieszczenie poziome - wektor . Sprzeczność ta dowodzi, że pomyślany ruch jest niemożliwy. Jest to więc układ geometrycznie niezmienny.

Rys.10.4

Inna jest sytuacja w układach przedstawionych na rysunkach 10.4.b i 10.4.c.

Układy te mogą doznać nieskończenie małego obrotu względem punktu (1),

w którym przecinają się kierunki wszystkich więzów. Kierunek więzów jest tu rozumiany jako linia, po której nie może przemieszczać się punkt z racji

istnienia tych więzów geometrycznych. Układy przedstawione na rysunkach 10.4.b i 10.4.c określać będziemy mianem układów chwilowo geometrycznie zmiennych.

W świetle powyższych rozważań sformułować można następujący wniosek:

Warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności pojedynczej tarczy jest nie przecinanie się w jednym punkcie kierunków więzów mocujących tarczę do ostoi.

121

10.2.2. Warunek geometrycznej niezmienności układu trójprzegubowego Układem trójprzegubowym nazywamy taki układ dwóch tarcz i ostoi, w którym tarcze między sobą i z ostoją połączone są przegubowo (rys.10.5). Mogą to być przeguby rzeczywiste lub pozorne w miejscu przecięcia dwóch prętów. Jeżeli pręty są do siebie równoległe to przegub pozorny otrzymujemy w nieskończoności.

Układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 10.5.a nie może doznać przemieszczeń. Wynika to ze sprzeczności w planie biegunów, bieguny główne (1) i (2) oraz względny (1,2) nie leżą na jednej prostej. Wektory przemieszczeń punktu C - nie pokrywają się. Jest to układ geometrycznie niezmienny.

Rys.10.5

Zgodny plan biegunów otrzymamy wówczas, gdy przeguby będą leżały na jednej prostej. Układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 10.5.b jest układem chwilowo geometrycznie zmiennym. Tak więc:

Warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności układu trójprzegubowego jest, aby trzy przeguby - rzeczywiste lub pozorne – nie leżały na jednej prostej.

Z podanego wyżej warunku wynika, że układ trzech tarcz (prętów) połączonych przegubowo w kształt trójkąta (rys.10.6.a), jest układem wewnętrznie geometrycznie niezmiennym. Rozbudowa układu o kolejne elementy trójkątne (rys.10.6.b) gwarantuje dalej jego wewnętrzną geometryczną niezmienność. Układ taki traktować można jako jedną tarczę.

Rys.10.6

122

10.2.3. Analiza geometrycznej niezmienności przez rozkład układu na proste podukłady

Poznanie kilku wyżej wymienionych warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności prostych układów, ułatwia analizę wielu układów złożonych, bez konieczności rysowania planu biegunów. Prześledzimy to na kilku kolejnych przykładach.

Przykład 10.1.

Układ tarcz przedstawiony na rysunku 10.7 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmienności bo 3∙3 = 2∙2 + 5. Zauważmy dalej, że tarcze I i II połączone są ze sobą trzema prętami: a,b,c nie przecinającymi się w jednym punkcie. Tworzą więc one układ wewnętrznie geometrycznie niezmienny, który może być zastąpiony jedną tarczą. Tarcza ta jest połączona z ostoją trzema więzami (przegub A i podpora przegubowo-przesuwna B) nie przecinającymi się w jednym punkcie; tworzy więc z ostoją układ geometrycznie niezmienny, który może być traktowany dalej jako ostoja. Do tak utworzonej ostoi dołączona jest trzema, nie przecinającymi się w jednym punkcie więzami (przegub C i podpora przegubowo-przesuwna D) tarcza III. Cały układ jest więc układem geometrycznie niezmiennym.

Rys.10.7.

Przykład 10.2.

Układ przedstawiony na rysunku 10.8 spełnia warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Część zbudowana z elementów trójkątnych może być zastąpiona jedną tarczą - tarcza I. Tarcza ta połączona jest z ostoją O trzema więzami (przegub A i pręt a) nie przecinającymi się w jednym punkcie. Może ona być traktowana dalej jako ostoja O1. Do ostoi O1 dołączony jest układ trójprzegubowy (tarcze II i III). Ponieważ przeguby B, C i D nie leżą na jednej prostej jest to połączenie gwarantujące geometryczną niezmienność. A zatem cały układ pokazany na rys.10.8 jest układem geometrycznie niezmiennym.

123

Rys.10.8

10.2.4. Analiza geometrycznej niezmienności bazująca na planie biegunów

Przytoczony powyżej sposób analizy kinematycznej stosowany może być tylko do grupy układów tarcz, które zbudowane zostały przez kolejne dołączanie do wyjściowego układu geometrycznie niezmiennego układów elementarnych, dla których określiliśmy warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Sposób ten zawodzi w przypadku układów o innej strukturze, których przykładem może być układ pokazany na rys.10.9. W takich sytuacjach należy każdorazowo analizować omawiany na początku plan biegunów.

Przykład 10.3.

Zasady stosowania planu biegunów omówimy na przykładzie układu pokazanego na rys.10.9.

Biorąc wstępnie pod uwagę układ tarcz I, II i III otrzymujemy, w poznany już sposób biegun obrotu tarczy II w punkcie (2'). Biorąc natomiast pod uwagę tarcze II, III i IV biegun obrotu tarczy II znajduje się w punkcie (2''). Bieguny (2') i (2'') nie pokrywają się a więc ruch układu jest niemożliwy.

Sprzeczność otrzymamy również analizując nieskończenie małe przemieszczenia punktu D. Przy obrocie tarczy II względem (2'), mamy , a przy obrocie tarczy IV względem (4) - . Wektory przemieszczeń nie pokrywają się, co świadczy o tym, że ruch jest niemożliwy.

Do wniosku takiego możemy dojść również analizując plan biegunów, który jest sprzeczny - bieguny (2'), (4) i (2,4) nie leżą na jednej prostej.

124

Rys.10.9

Przedstawiony na rysunku 10.9 układ jest geometrycznie niezmiennym.

Wystarczy jednak zmienić ustawienie tarczy IV tak, aby punkt (2'') pokrył się z (2') a układ stanie się układem geometrycznie zmiennym.

10.3. Wyznaczanie kątów obrotu chwilowego układu o jednym stopniu