Prędkość w ruchu płaskim

Prędkość i dowolnego punktu poruszającego się po płaszczyźnie kierującej otrzymamy różniczkując względem czasu równanie (9.2):

Prędkość jest prędkością obranego bieguna A, jednakową w danej chwili dla wszystkich punktów przekroju. Nazywamy ją prędkością ruchu postępowego.

Wektor w czasie ruchu zmienia jedynie swój kierunek. Pochodna tego wektora względem czasu przedstawia więc, zgodnie z (8.20), prędkość jego końca wskutek obrotu przekroju wokół bieguna A, tzn.

Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju można więc przedstawić w następujący sposób:

Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest sumą geometryczną prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna (rys.9.7).

Rys.9.7

Składowe prędkości dowolnego punktu w stałym układzie współrzędnych otrzymamy przedstawiając równość (9.6) w postaci wyznacznika

109

Uwzględniono tutaj fakt, że ruch obrotowy odbywa się wokół osi prostopadłej do płaszczyzny xy, to znaczy x= y= 0, z= . Po rozpisaniu (9.7), mamy

Znajdziemy teraz współrzędne chwilowego środka obrotu S(xs,ys), dla którego jak wiadomo prędkość jest zerowa. Uwzględniając w (9.8) fakt, że

, mamy

Są to parametryczne równania centroidy stałej. Rugując z tych równań czas, otrzymamy równanie krzywej f(x,y)=0, przedstawiające centroidę stałą.

Podobnie możemy określić składowe prędkości w kierunkach ,układu ruchomego związanego z poruszającym się przekrojem. Współrzędne chwilowego środka obrotu w ruchomym układzie współrzędnych przedstawiają krzywą zwaną centroidą ruchomą.



Przykład 9.1

Pręt AB porusza się ruchem płaskim w ten sposób, że punkt A ślizga się po osi x, a punkt C jest punktem styku pręta z krawędzią znajdującą się na wysokości h (rys.9.8). Podać równania centroidy stałej.

Za biegun układu ruchomego przyjmujemy punkt A o współrzędnych

Po zróżniczkowaniu i podstawieniu , będzie

110

Zgodnie z (9.9) współrzędne środka obrotu chwilowego w układzie stałym wynoszą:

Rys.9.8 Rugując z tych równań parametr , mamy

Tak więc centroidą stałą CS jest parabola o ekstremum w punkcie C. Graficzny sposób wyznaczenia centroidy przedstawiono na rysunku 9.8b.

Zrzutujmy wektory prędkości dwóch dowolnych punktów A i P na kierunek AP (rys.9.7). Zgodnie z definicją rzutu wektora na oś, mamy

gdzie jest wektorem jednostkowym osi l.

Uwzględniając równość (9.6) oraz biorąc pod uwagę fakt, że wektory są prostopadłe, mamy

a więc

111

Powyższe równanie przedstawia często stosowane w kinematyce twierdzenie:

Rzuty prędkości dwóch punktów bryły na kierunek łączący te punkty są sobie równe.

Twierdzenie to jest bardzo pomocne przy analizie ruchów różnych mechanizmów.

Dla mechanizmów płaskich opracowano kilka sposobów graficznego wyznaczania prędkości poszczególnych punktów. Omówimy tutaj sposób bazujący na pojęciu prędkości obróconej.





Rys.9.9 Rys.9.10 

Weźmy pod uwagę poruszający się przekrój. Punkt A ma prędkość . Obróćmy wektor prędkości dookoła punktu A o kąt π/2. Otrzymamy wektor , który nazwiemy prędkością obróconą. Wektor ten będziemy rysować z połową grotu z tej strony, w którą należy go obrócić, aby otrzymać prędkość rzeczywistą (rys.9.9).

Z definicji środka obrotu chwilowego wynika, że proste działania wektorów prędkości obróconych przecinają się w tym środku (rys.9.9).

Wiemy już, że rzuty prędkości dwóch punktów na kierunek łączący te punkty są jednakowe. Obracając o kąt π/2 wektory prędkości, obracamy również o ten sam kąt ich rzuty. Stąd wniosek, że końce wektorów prędkości obróconych punktów leżących na jednej prostej leżą na linii równoległej do tej prostej, zwanej linią przewodnią prędkości obróconych (rys.9.9).

Z własności przedstawionej konstrukcji wynika, że znając prędkość jednego punktu przekroju i kierunek prędkości innego punktu możemy wyznaczyć prędkości dowolnych innych punktów (rys.9.10).

112

Przykład 9.2

Dany jest mechanizm korbowo-wodzikowy. Korba OA obraca się z prędkością kątową . Wyznaczyć prędkość wodzika C oraz prędkość punktu B (rys.9.11).

Rys.9.11

Zadanie rozwiążemy graficznie i dlatego rysunek mechanizmu należy wykonać w odpowiedniej skali. Należy również przyjąć skalę prędkości.

Wektor prędkości punktu A jest prostopadły do promienia OA i ma moduł

Znamy również kierunek prędkości punktu B. Jest on zgodny z kierunkiem ruchu wodzika. Prosta prostopadła do i prosta prostopadła do kieruku przesuwu punktu C (kierunek CO) wyznaczają środek obrotu chwilowego S elementu AC.

W następnej kolejności rysujemy prędkość obróconą punktu A i linię przewodnią A'C' równoległą do AC. Odcinek CC' jest prędkością obróconą punktu C. Obracając wektor o kąt π/2 otrzymujemy poszukiwaną prędkość punktu C.

Podobnie postępujemy z punktem B. Przedstawiona konstrukcja dotyczy ustalonego chwilowego położenia mechanizmu.

Przykład 9.3

Dany jest układ przedstawiony na rysunku 9.12 . Składa się on z pięciu elementów. Wyznaczyć prędkości punktów: A, B, C, D jeżeli wiadomo, że prędkość kątowa korby O1A wynosi .

W analizowanym układzie znane są środki obrotu chwilowego elementów:

1 – punkt O1, 2 - punkt O2, 3 - punkt O3 .

Znane są więc kierunki wektorów prędkości punktów A,C i D. Ponadto możemy obliczyć moduł prędkości punktu A

113

Rys.9.12

Punkty C i D należą do elementu 4. Środek obrotu chwilowego tego elementu znajduje się w punkcie przecięcia prostych prostopadłych do znanych kierunków prędkości punktów C i D - punkt O₄.

Kierunek prędkości punktu B należącego do elementu 4 jest prostopadły do promienia O4B. Środek obrotu chwilowego elementu 5 znajduje się w punkcie przecięcia prostych prostopadłych do kierunków prędkości punktów A i B – punkt O5.

Po wyznaczeniu środków obrotu chwilowego przystępujemy do wyznaczenia prędkości poszczególnych punktów. Dla znanej prędkości rysujemy wektor prędkości obróconej i linię przewodnią I-II. Po obróceniu wektora otrzymujemy poszukiwaną prędkość punktu B.

Konstrukcję tę powtarzamy dla kolejnych punktów, pamiętając o tym, że pod uwagę bierzemy środek obrotu chwilowego tego elementu, do którego należą dwa analizowane punkty oraz o tym, że obrót przy tworzeniu wektora prędkości obróconej realizujemy konsekwentnie w tę samą stronę (rys.9.12).

114