Badanie współczynnika tarcia zewnętrznego

2.5.1. Metodyka badań

Badania współczynnika tarcia zewnętrznego wykonano na podstawie znanych zależności opisujących związki fizyczne dla równi pochyłej. W tym celu zaprojektowano i zbudowano stanowisko badawcze przedstawione na rys. 2.12. W wyniku ruchu obrotowego nakrętki (2), wokół osi y, dochodzi do przemieszczenia liniowego wzdłuż osi y pręta gwintowanego (3). Na jego końcu umieszczony jest sworzeń (6), na którym podparta jest płyta ślizgowa (4).

W wyniku przemieszczenia pręta dochodzi do przemieszczenia punktu, w którym podparta jest płyta, co powoduje obrót płyty w osi zespołu łożyskowego (5) i zmianę kąta pochylenia płyty ślizgowej. Nakrętka jest obracana, do momentu, w którym próbka (7) nie zacznie się przemieszczać.

Rys. 2.12. Stanowisko pomiarowe współczynnika tarcia zewnętrznego, 1 – rama, 2 – nakrętka, 3 – pręt, 4 – płyta ślizgowa, 5 – zespół łożyskowy, 6 – sworzeń, 7 – próbka, Δh – wartość przemieszczenia pręta,

l – odległość pomiędzy osią pręta a zespołu łożyskowego

W celu wyznaczenia wartość Δh mierzone jest przemieszczenie kątowe β nakrętki (2), której skok gwintu s wynosi 1,25 mm. Następnie podstawiając zmierzoną wartość do związku 2.7 uzyskiwano wartość współczynnika tarcia.

𝜇 = 𝑡𝑔𝛼 =^∆ℎ

𝑙 , (2.7)

gdzie po przekształceniu otrzymujemy następującą zależność określająca współczynnik tarcia zewnętrznego,

3 2

5

1 7 4

l

Δh

6

x y

34 𝜇 =^𝛽∙𝑠

𝑙 . (2.8)

W celu ustalenia poszukiwanej wartości, próbę przeprowadzono szesnastokrotnie. Następnie z grupy wyników wykluczono 3 najwyższe i 3 najniższe wartości w celu wyeliminowania błędów grubych. Estymator poszukiwanej wartości wyznaczono wyliczając średnią arytmetyczną z pozostałych dziesięciu wyników.

Na wartość współczynnika tarcia zewnętrznego bezpośredni wpływ ma stan powierzchni ślizgowej. Stąd podjęto prace badawcze mające na celu określenie podstawowych parametrów.

Do pomiaru jej chropowatości wykorzystano specjalistyczne stanowisko T1000 firmy Hommel Tester (rys. 2.13a) wyposażone w czujnik T1E (rys. 2.13b). Urządzenie wyznaczało parametry chropowatości zgodnie z normą PN-58/M04252, w której parametrem Rz oznaczano wysokość chropowatości według dziesięciu punktów profilu.

Rys. 2.13 Urządzenie do pomiaru chropowatości, a) Hommel Tester T1000, b) T1E

Przykładowy odczyt chropowatości powierzchni przedstawiono na rys. 2.14.

Rys. 2.14 Przykładowy profilogram chropowatości powierzchni brany do wyznaczenia parametrów Ra, Rz, Rmax

Wyniki pomiarów zamieszczono w tabeli 2.5,

a) b)

35

Tab. 2.5. Wyniki pomiarów parametrów chropowatości powierzchni ślizgowej Lp. Ra [μm] Rz [μm] Rmax [μm]

Wartość Ra nie przekracza 0,132 μm natomiast Rz ma wartość nie przekraczającą 0,85 μm.

Jedną z szczególnych cech suchego lodu jest sublimacja w warunkach normalnych.

W efekcie tego, w momencie powstania kontaktu skrystalizowanego dwutlenku węgla z powierzchnią przewodnika cieplnego, następuje wzrost gradientu procesu przemiany fazowej.

Przyczynia się to, do przemieszczania się próbki na poziomej powierzchni w nieustalonym kierunku. Jest to efekt powstawania poduszki gazowej na powierzchni kontaktu pomiędzy próbką, a powierzchnią przewodnika cieplnego. Takie zjawisko uniemożliwia przeprowadzenie badań z wykorzystaniem równi pochyłej w warunkach normalnych.

Wielkość strumienia opisującego wartość wydatku sublimacji jest zależna od ciepła właściwego c i masy m aglomeratu oraz różnicy temperatury ΔT pomiędzy materiałem a powierzchnią wymiennika. Wartość strumienia można opisać następującym równaniem

𝑄 = 𝑐 ∙ 𝑚 ∙ ∆𝑇 (2.9)

W celu ograniczenia strumienia należy zmniejszyć wartość ΔT do 0 K. W związku z tym płytę badawczą stanowiska należało schłodzić do temperatury - 78,5 °C. Niska temperatura elementu stanowiska znajdującego się w warunkach normalnych powodowała krystalizację między innymi cząsteczek H2O na jego powierzchni. Skutkiem tego był nieustalony wzrostu chropowatości powierzchni. W celu wykonania badań stanowisko umieszczono w komorze klimatycznej (rys. 2.15) w której otoczenie gazowe w znaczącym stopniu składało się z CO2 w fazie gazowej, a temperaturę płyty ślizgowej, jak i otoczenia obniżono do wartości ok.

- 78,5 °C. Tak ustalone warunki środowiskowe pod kątem chemicznym i fizycznym pozwoliły

36 na wykonanie badań statycznego współczynnika tarcia aglomeratu skrystalizowanego dwutlenku węgla.

Rys. 2.15 Komora klimatyczna, 1 - komora, 2 - stanowisko pomiaru współczynnika tarcia zewnętrznego, 3 - zbiornik na suchy lód,

2.5.2. Wyniki badań

Wyniki badań przedstawiono w tabeli 2.6, Do wyznaczenia wartości współczynnika dla każdego z 10 oznaczeń wykorzystano równania 2.8.

Estymowana wartość statycznego współczynnika tarcia zewnętrznego jest równa μ = 0,0179 ±0,00062.

1 3 2

37

Tab. 2.6 Wyniki badań współczynnika tarcia zewnętrznego μ

Lp. β [°] μ

1 1620 0,017678

2 1620 0,017678

3 1620 0,017678

4 1620 0,017678

5 1620 0,017678

6 1620 0,017678

7 1800 0,019642

8 1620 0,017678

9 1620 0,017678

10 1620 0,017678

Na podstawie wyników uzyskanych z badań eksperymentalnych sformułowano następujące wnioski dotyczące cech materiałowych skrystalizowanego CO2:

 charakterystyka zagęszczania opisująca zależność naprężenia zagęszczającego od odkształcenia względnego jest progresywna,

 skrystalizowany dwutlenek węgla ma strukturę podobną do materiałów kruchych porowatych,

 gęstość aglomeratu suchego lodu wynosi ok. 1625 kg/m³,

 aglomerowanie skrystalizowanego CO2 przy naprężeniach zagęszczających powyżej 14 MPa nie ma zauważalnego wpływu na jego gęstość.

Badania pozwoliły ustalić wartości następujących parametrów konstytutywnych materiału:

 wytrzymałość zagęszczonego suchego lodu na ścinanie a = 1,56 MPa,

 współczynnik tarcia wewnętrznego, wynosi μW = 0,15,

 wytrzymałość aglomeratu na naprężenia ściskające, wynosi σA = 0,019 MPa,

 współczynnik proporcjonalności odkształceń γ w próbie ściskania wynosi 10,6 MPa,

 współczynnik zewnętrznego tarcia statycznego, wynosi μ = 0,0179.

38 3. Analiza teoretyczna procesu aglomeracji skrystalizowanego dwutlenku węgla Wyznaczenie siły granicznej niezbędnej do aglomeracji skrystalizowanego dwutlenku węgla wymagało sformułowania modelu, w pierwszej kolejności na drodze analitycznej. Strukturę tego modelu tworzą przede wszystkim właściwości zagęszczonego materiału oraz parametry geometryczne kanału formującego.

W podrozdziale 3.1 przedstawiono analizę procesu aglomeracji w kanale stożkowym. Jej rezultaty wykorzystano do analizy procesu zagęszczania z zastosowaniem matrycy wielokanałowej (podrozdział 3.2).

Model pozwalający na wyznaczenie wartości siły oporu FOP, stanowić będzie użyteczne narzędzie inżynierskie w procesie formułowania założeń projektowych

3.1. Analiza procesu aglomeracji w kanale stożkowym

Analizę podzielono na dwa etapy. W pierwszym etapie opisano wpływ parametrów geometrycznych zbieżnego kanału symetrycznego na prędkość wyjściową oraz prędkość odkształceń zagęszczonego dwutlenku węgla. Drugi etap analizy dotyczy zmiany siły oporu zagęszczania FOP w procesie aglomeracji w symetrycznie zbieżnym kanale.

Kanał matrycy formującej, o kształcie kołowo symetrycznym, jest opisany w cylindrycznym układzie współrzędnych (r, θ, z) (rys. 3.1). Ze względu na kształt kanału analizę uproszczono do opisu dwuwymiarowego (r, z). W związku z tym położenie dowolnego punktu wewnątrz kanału definiują parametry, których wartości są ograniczone geometrią kanału, stąd zapisać można:

𝑟 ∈ < 0; 𝑅(𝑧) >, 𝑧 ∈ < 0; 𝑏 >.

Zbieżność pod kątem α kanału kołowo symetrycznego powoduje redukcję promienia przekroju od wartości wejściowej Rwe do wyjściowej Rwy. Redukcja uzyskiwana jest na odcinku o długości b.

Wartości promienia R(z) zbieżnego odcinka kanału zmieniającą się wzdłuż Oz można opisać następującym związkiem , przy założeniu, że 𝑧 ∈ < 0; 𝑏 >,

𝑅(𝑧) = 𝑅_𝑤𝑒− 𝑧 ∙ 𝑡𝑔 ∝, (3.1)

gdzie 𝑅(𝑧) ∈ < 𝑅_𝑤𝑦; 𝑅_𝑤𝑒 >. Zależność 3.1 opisująca zmianę promienia kanału będzie wykorzystana w dalszej części analizy.

39

Rys. 3.1 Parametry geometryczne i kinematyczne w zbieżnym kanale kołowo symetrycznym, α – kąt zbieżności części stożkowej, a – długość odcinka cylindrycznego, b – długość części stożkowej, l – długość całkowita kanału, Rwe – promień wejściowy odcinka stożkowego, Rwy – promień wyjściowy odcinka

cylindrycznego, vwe – prędkość wejściowa, vwy – prędkość wyjściowa, v – prędkość wypadkowa

Równania opisujące zależności kinematyczne w omawianym procesie sformułowano przy założeniu, że zagęszczany materiał jest nieściśliwy. Założenie pozwala na znaczące uproszczenie analizy algebraicznej. Jego przyjęcie powodowane jest wnioskami sformułowanymi na podstawie przeprowadzonego i opisanego badania charakterystyki gęstości aglomeratu skrystalizowanego dwutlenku węgla. Sformułowane założenie pozwala stwierdzić, że strumień masowy 𝜓 = 𝜓(𝑟, 𝑧), jest stały dla dowolnego przekroju przemieszczanego wzdłuż osi z. Wynika z tego, że wartość gradientu strumienia ∇𝜓 jest zerowa, co pozwala zapisać:

∇𝜓 =𝜕𝜓(𝑧)

𝜕𝑧 = 0 (3.2)

W związku z zmianą pola powierzchni przekroju kanału wzdłuż osi z, przy zachowaniu zerowej wartości gradientu strumienia masowego, następuje wzrost prędkości cząsteczek zagęszczanego materiału. Prędkość cząsteczki w kanale opisano wektorem dwuwymiarowym v (3.3).

𝑣 = [𝑣_𝑟

𝑣_𝑧], (3.3)

gdzie:

vz

vr

vwy vwe

a b

l

Rwy Rwe

α

z

r

v

R(z)

0

40 vr – prędkość promieniowa,

vz – prędkość osiowa.

Długość tego wektora oznaczono przez 𝑣₀,

𝑣₀ = √𝑣_𝑟²+ 𝑣_𝑧², (3.4)

gdzie vr i vz są wektorami skalarnymi przypisanymi do niezredukowanych współrzędnych układu.

W związku z tym, że na wejściu i wyjściu opisywanego kanału cząsteczka przemieszcza się wyłącznie wzdłuż osi z, stąd

𝑣_𝑤𝑒 = [ 0

𝑣_𝑧^𝑤𝑒], (3.5)

𝑣_𝑤𝑦= [ 0

𝑣_𝑧^𝑤𝑦], (3.6)

gdzie vwe jest prędkością cząsteczki w przekroju początkowym kanału równą prędkości tłoka zagęszczającego.

Wartość strumienia wejściowego 𝜓_𝑤𝑒 jest zależna od promienia przekroju wejściowego Rwe

oraz prędkości wejściowej, a zależność ta ma postać

𝜓_𝑤𝑒 = 𝜋𝑅_𝑤𝑒² ∙ 𝑣_𝑤𝑒. (3.7)

Analogicznie, dla strumienia wyjściowego 𝜓_𝑤𝑦, sformułowano zależność uwzględniającą promień przekroju wyjściowego Rwy oraz prędkość wyjściową, stąd

𝜓_𝑤𝑦 = 𝜋𝑅_𝑤𝑦² ∙ 𝑣_𝑤𝑦. (3.8)

Ponieważ w analizowanym procesie zagęszczania gradient wydatku strumienia wynosi zero, co zostało sformułowane i opisane w założeniach (3.2), można zapisać

𝜓_𝑤𝑒 = 𝜓_𝑤𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (3.9)

Równanie 3.10 również można zapisać dla prędkości w każdym przekroju poprzecznym, w kierunku normalnym od płaszczyzny wejściowej znajdującej się na początku części stożkowej kanału formującego, przy założeniu, że 𝑧 ∈ < 0; 𝑏 > oraz zastosowaniu związku 3.1. Tak sformułowany związek będzie miało następującą postać:

𝑣(𝑧) = (𝑅_𝑤𝑒 𝑅(𝑧))

2

𝑣_𝑤𝑒. (3.11)

41

Przedstawione wyprowadzenie znajduje potwierdzenie w monografiach [35, 44,52]. Jednak ze względu na sublimację materiału, wynikającą między innymi z wzajemnego tarcia cząsteczek podczas aglomeracji ciśnieniowej, ma miejsce nierówność 𝜓_𝑤𝑒 > 𝜓_𝑤𝑦. Rozpatrując problem z inżynierskiego punktu widzenia i doświadczeń własnych związanych z procesem zagęszczania, dostrzega się potrzebę wykonania badań mających na celu modyfikacji relacji 3.9 o współczynnik efektywności procesu ηA,wtedy zamiast związku 3.9 otrzymamy:

𝜓_𝑤𝑦 = 𝜂_𝐴𝜓_𝑤𝑒, (3.12)

gdzie

0 < 𝜂_𝐴 < 1. (3.13)

Wykorzystując, do opisu przepływu zagęszczonego materiału wewnątrz kanału, znane równanie zachowania masy

Przepływ można opisać w układzie ortokartezjańskm Oxyz, wtedy wektor prędkości przyjmuje postać,

gdzie v0x, v0y, v0z są oznaczeniami składowych prędkości o kierunku równoległym do osi x, y, z. Dywergencja wektora v0 jest równa: symetrycznego należy zapisać równania 3.14 i 3.15 w układzie cylindrycznym, związanym standardowo z opisywanym układem kartezjańskim (tzn. 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑧), gdzie wektor prędkości w ma formę

𝑤 = [ 𝑤_𝑟 𝑤_𝜃 𝑤_𝑧],

(3.17)

42 a jego dywergencją jest równa

∇(𝑤) =¹ prędkości przemieszczeń w możemy pominąć składową kątową 𝑤_𝜃 (jako, że jest ona dla każdej wartości kąta 𝜃 taka sama), w ten sposób w układzie dwuwymiarowym 𝜃_{𝑟 𝑧}, otrzymuje się wektor prędkości

𝑤 = [𝑤_𝑟

𝑤_𝑧]. (3.19)

Jego dywergencja wtedy ma postać

∇(𝑤) =¹

𝑟

𝜕

𝜕 𝑟 (𝑟 ∙ 𝑤_𝑟) +_𝜕𝑧^𝜕 𝑤_𝑧, (3.20) a więc równanie zachowania masy ma postać

1 𝑟

𝜕

𝜕 𝑟 (𝑟 ∙ 𝑤_𝑟) + 𝜕

𝜕𝑧𝑤_𝑧 = 0. (3.21)

Funkcję spełniającą tożsamościowo równanie zachowania masy nazywamy funkcją prądu.

Jak można zauważyć, funkcją prądu spełniającą równanie 3.21 jest każda funkcja 𝛹 taka, że

−^𝛾

gdzie 𝛾 jest dowolną liczbą. Przyjmując (dla bardziej przejrzystego zapisu) 𝛾 = ¹

2𝜋 można dla układu cylindrycznego zapisać składowe prędkości w postaci

𝑤_𝑟 = − ¹

Na podstawie założenia o stałej wartości strumienia, równanie 3.9, oraz sformułowanych wyrażeń 3.8 i 3.11 można zapisać związki opisujące składowe prędkości przemieszczeń 𝑤_𝑟 i 𝑤_𝑧 w układzie cylindrycznym następująco,

𝑤_𝑟 = − ¹

2𝜋𝑟

𝜕

𝜕𝑧(𝜋𝑟²∙ (^𝑅𝑤𝑒

𝑅(𝑧))²𝑣_𝑤𝑒), (3.24)

po wykonaniu różniczkowania otrzymujemy 𝑤_𝑟 = − ^𝑟

𝑅(𝑧)³∙ 𝑅_𝑤𝑒² ∙ 𝑣_𝑤𝑒∙ tg𝛼. (3.25) Analogicznie wyznaczono składową prędkości przemieszczenia w kierunku osiowym

𝑤_𝑧 = ¹

2𝜋𝑟

𝜕

𝜕𝑟(𝜋𝑟²∙ (^𝑅𝑤𝑒

𝑅(𝑧))²𝑣_𝑤𝑒), (3.26)

43

a po wykonaniu różniczkowania otrzymuje się 𝑤_𝑧= (^𝑅𝑤𝑒

𝑅(𝑧))²∙ 𝑣_𝑤𝑒. (3.27)

Do obliczenia mocy tarcia należy posłużyć się wypadkową prędkością przemieszczenia, stąd 𝑤_𝑘 = √𝑤_𝑟² + 𝑤_𝑧² = 𝑣_𝑤𝑒∙ ^{𝑅𝑤𝑒2}

𝑅²(𝑧)∙ ¹

cos𝛼. (3.28)

Na potrzeby wyznaczenia wartości mocy dyssypacji wynikającej z tarcia wewnętrznego aglomeratu suchego lodu wyznaczono składową prędkości odkształceń w kierunku promieniowym oraz analogicznie ustalono składową prędkości odkształceń w kierunku osiowym

𝜀_𝑧= ¹

Sumując wyznaczone kierunkowe zależności otrzymuje się równanie 3.33 określające wypadkową prędkość odkształcenia w stożkowym kanale osiowo symetrycznym

𝜀_𝑘 = √𝜀_𝑟²+ 𝜀_𝑧² = √5 ∙_𝑅(𝑧)^{𝑅𝑤𝑒2} ₃∙ tg𝛼 ∙ 𝑣_𝑤𝑒. (3.33) Rozpoznając aktualny stan literaturowy ustalono, że graniczna wartość sił potrzebnych do przeprowadzenia procesu aglomeracji ciśnieniowej związana jest z parametrami geometrycznymi matrycy, przy założeniu stałych parametrów materiałowych surowca [13, 22, 35, 44, 52].

W literaturze [35], przedstawiono wyprowadzenie modelu matematycznego, który pozwala na wyznaczenie wartości siły oporu FOP zdolnej do zagęszczenia i kształtowania materiału w kanale kołowo symetrycznym. Autor do wyznaczenia wartości omawianej siły sformułował równania bilansu mocy. Założono, że niezbędna moc PZ, jaką należy dostarczyć, jest sumą wartości mocy dyssypowanej PD w odcinku formowania oraz pokonania oporów tarcia Pμ.

44 Ponadto moc PZ jest równa iloczynowi siły oporu FOP oraz prędkości wejściowej vwe. Stąd, można sformułować układ następujących równań:

{𝑃_𝑍 = 𝐹_𝑂𝑃∙ 𝑣_𝑤𝑒

𝑃_𝑧 = 𝑃_𝐷+ 𝑃_𝜇 , (3.34)

gdzie Pμ jest sumą mocy tarcia na odcinku zbieżnym PμS oraz cylindrycznym PμC kanału kołowo symetrycznego. Stąd podstawiając do równania 3.34 otrzymujemy,

𝐹_𝑂𝑃 ∙ 𝑣_𝑤𝑒 = 𝑃_𝐷+ 𝑃_𝜇𝑆+ 𝑃_𝜇𝐶. (3.35) Na postawie hipotezy Hubera [27, 35], określono zastępczą granicę plastyczności w postaci √3 ∙ 𝜏_𝑎. Stąd wartość dyssypowanej mocy PD, w funkcji parametrów geometrycznych oraz kinematycznych procesu, w kanale osiowo symetrycznym zbieżnym można opisać związkiem w następującej postaci,

𝑃_𝐷 = √15 ∙ 𝑅𝑇∙ 𝑣_𝑤𝑒 ∙ 𝑅_𝑤𝑒² ∙ ln^𝑅𝑤𝑒

𝑅𝑤𝑦. (3.36)

W oparciu o wypadkową wartość przemieszczenia, równanie 3.28, opisano algebraicznie zmianę wartości dyssypacji energii wynikającej z tarcia w symetrycznie zbieżnym kanale formującym PμS.

𝑃_𝜇𝑆 = ∫ 𝜇_{𝑆 𝑇}∙ 𝜏_𝑎∙ 𝑤_𝑘 𝑑𝑆_𝑠

𝑆 , (3.37)

gdzie SS jest polem powierzchni ścianki odcinka zbieżnego, stąd,

𝑃_𝜇𝑆 = 𝜇_𝑇∙ 𝜏_𝑎∙ 𝑤_𝑘∙ 𝑆_𝑆, (3.38) przy czym pole SS można opisać następująco

𝑆_𝑆 = ∫ 2𝜋 𝑅(𝑧) 𝑑𝑆_{𝑆 𝑆}

𝑠 . (3.39)

Po przekształceniu zmiennych całkowania z dSS na dz otrzymujemy wyrażenie [I-3], 𝑆_𝑆 = 2𝜋 ∫_𝑧=0^𝑏 𝑅(𝑧)√1 + tg𝛼²𝑑𝑧, (3.40) po scałkowaniu równania otrzymano

𝑆_𝑆 = ^2𝜋

cos𝛼(𝑅_𝑤𝑒 ∙ 𝑏 −^𝑏2

2 ∙ tg𝛼). (3.41)

Podstawiając wyrażenie opisane wzorem 3.41 do równania 3.38, otrzymujemy wyrażenie na dyssypację energii związanej z tarcia aglomeratu o ściany kanału w części stożkowej,

𝑃_𝜇𝑆 = 𝜇_𝑇∙ 𝜏_𝑎∙ ^{𝑣𝑤𝑒∙𝑅𝑤𝑒2}

cos𝛼∙𝑅_𝑤𝑦² ∙ ^2𝜋

cos𝛼(𝑅_𝑤𝑒 ∙ 𝑏 −^𝑏2

2 ∙ tg𝛼). (3.42)

Dalej podobnie wyznaczono moc tarcia w części cylindrycznej kanału formującego poniższym równaniem,

45 W którym SC opisuje poniższe równanie

𝑆_𝐶 = ∫_𝜃=0^2𝜋 ∫_𝑧=0^𝑎 𝑅_𝑤𝑦𝑑𝑧𝑑𝜃= ∫_𝜃=0^2𝜋 ∫_𝑧=0^𝑎 (𝑅_𝑤𝑒− 𝑏 ∙ tg𝛼) 𝑑𝑧 𝑑𝜃. (3.45) Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy

𝑆_𝐶 = 2𝜋 ∙ (𝑅_𝑤𝑒− 𝑏 ∙ tg𝛼) ∙ 𝑎. (3.46)

Podstawiając do równania 3.44 przy uwzględnieniu związku 3.10, moc tarcia w kanale cylindrycznym ma postać,

𝑃_𝜇𝐶 = 2𝜋 ∙ 𝜇_𝑇∙ 𝜏_𝑎∙ 𝑣_𝑤𝑒 ∙^{𝑅𝑤𝑦2}

𝑅𝑤𝑒∙ 𝑎. (3.47)

Następnie podstawiono wyznaczone wyrażenia poszczególnych dyssypowanych mocy (3.36, 3.42, 3.47) do równania opisującego bilans energii 3.35,

𝐹_𝑂𝑃 𝑣_𝑤𝑒 =𝜏_𝑎𝑣_𝑤𝑒𝑅_𝑤𝑒² (√15ln^𝑅_𝑅^𝑤𝑒

𝑤𝑦+ 2𝜋𝜇_𝑇( ¹

𝑐𝑜𝑠²𝛼∙𝑅_𝑤𝑦² (𝑅_𝑤𝑒𝑏 −^𝑏2

2 tg𝛼) + ^𝑎

𝑅_𝑤𝑦)). (3.48) Dzieląc obie strony równania przez vwe otrzymano wzór na obliczenie granicznej wartości siły oporu FOP procesu aglomeracji suchego lodu w kanale stożkowo cylindrycznym.

𝐹_𝑂𝑃 = 𝜏_𝑎𝑅_𝑤𝑒² [√15ln^𝑅_𝑅^𝑤𝑒

𝑤𝑦+ 2𝜋𝜇_𝑇( ¹

cos²𝛼∙𝑅_𝑤𝑦² (𝑅_𝑤𝑒𝑏 −^𝑏2

2 tg𝛼) + ^𝑎

𝑅𝑤𝑦)]. (3.49) 3.2. Analiza procesu aglomeracji w matrycy wielokanałowej

Przedstawiona wyżej analiza aglomeracji suchego lodu w kanale stożkowym stanowi podstawę do sformułowania i opisania tego procesu z zastosowaniem matrycy wielokanałowej przy uwzględnieniu jej parametrów geometrycznych, rysunki 3.2 i 3.3.

W pierwszym etapie opisano wpływ parametrów geometrycznych matrycy wielokanałowej na prędkość wyjściową zagęszczonego suchego lodu. Drugi etap to analiza wpływu parametrów geometrycznych i parametrów mechanicznych na wartość siły oporu przeciskania, FOP.

Analiza teoretyczna procesu aglomeracji w wielokanałowej matrycy formującej (rys. 3.2), o n kanałach kołowo symetrycznych nie może być opisana tak jak to miało miejsce wyżej w cylindrycznym układzie współrzędnych (r, θ, z). Ze względu na osiowo symetryczny kształt kanałów matrycy, tak jak w przypadku zagęszczania w pojedynczym kanale stożkowym, analizę uproszczono do opisu dwuwymiarowego (r, z). Przyjęte uproszczenia pozwalają na

46 wykorzystanie analizy dotyczącej zagęszczania w pojedynczym kanale zbieżnym do prowadzonej analizy procesu aglomeracji w matrycy wielokanałowej. Zbieżny kształt, pod kątem α, kanału kołowo symetrycznego powoduje redukcję promienia przekroju z wartości wejściowej Rwe do wyjściowej Rwy (rys. 3.2). Redukcja uzyskiwana jest na odcinku o długości b.

Rys. 3.2. Matryca wielootworowa , α – kąt zbieżności części stożkowej, a – długość części stożkowej, b – długość odcinka cylindrycznego, Dwe – średnica wejściowa odcinka stożkowego, gdzie Dwe = 2Rwe, Dwy – promień wyjściowy odcinka cylindrycznego, gdzie Dwy = 2Rwy, e – długość ściany sześciokąta na którym

są rozłożone kanały, SPP – powierzchni prostopadłych do kierunku wektora przemieszczenia tłoka

Rys. 3.3. Aglomeracja ciśnieniowa w technice tłokowej. 1 – tłok, 2 – komora robocza, 3 – matryca, 4 – kołnierz, DK – średnica komory roboczej, gdzie DK = 2RK,

Przy uwzględnieniu założenia opisanego równaniem 3.2, odnoszącego się do zerowej wartości gradientu strumienia masowego zapisać można

b

D wy

a

2α Dwe

SPP

DK

e

4 3

1

D K

2

47

𝜓_𝑤𝑒 = 𝑛 ∙ 𝜓_𝑤𝑦. (3.50)

Do opisu wartości strumienia masowego wejściowego ψwe, można zastosować analogiczny opis, jak w przypadku formowania w pojedynczym kanale stożkowym (3.7).

Sformułowana funkcja opisująca średnią wartość strumienia masowego na wyjściu z kanałów formujących matrycy wielokanałowej, ma postać,

𝜓_𝑤𝑦 = 𝜋𝑅_𝑤𝑦² ∙ 𝑣_𝑤𝑦. (3.51)

Uwzględniając założenie dotyczące zerowej wartości gradientu strumienia masowego (3.2), zapisać można następująco

𝜓_𝑤𝑒 = 𝑛 ∙ 𝜓_𝑤𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (3.52)

Ze związków 3.50, 3.51 i 3.52 wynika, że prędkość zagęszczonego materiału na wyjściu z kanałów opisuje równanie

𝑣_𝑤𝑦 = (^𝑅𝐾

𝑅_𝑤𝑦)

2

∙¹

𝑛∙ 𝑣_𝑤𝑒. (3.53)

W rozdziale 3.1 przedstawiono analizę zagęszczania w kanale stożkowym, której efektem jest wyprowadzony model matematyczny. Pozwala on na wyznaczenie wartości siły oporu FOP

zdolnej do zagęszczenia materiału w kanale stożkowo–cylindrycznym. W celu wyprowadzenia modelu matematyczne pozwalającego na wyznaczenie wartości FOP w przypadku kształtowania materiału w matrycy wielokanałowej należy w przedstawionym bilansie mocy PZ (3.34) uwzględnić dodatkowe składowe, tj. moc potrzebną do przecięcia zaaglomerowanego materiału PT, moc PDPP dyssypowaną podczas odkształcenia materiału na prostopadłej o osi z powierzchni matrycy SPP oraz moc potrzebną na pokonanie siły tarcia powstałej na skutek przemieszczania aglomeratu wewnątrz komory roboczej PµK. Stąd

{P_Z= F_OP∙ v_we

P_z= n ∙ (P_D+ P_μ) + P_T+ P_DPP+ P_μK. (3.54) Uwzględniając przekształcenie 3.35 i postawione założenia dotyczące wartości Pμ, zapisać można

𝐹_𝑂𝑃∙ 𝑣_𝑤𝑒 = 𝑛 ∙ (𝑃_𝐷 + 𝑃_𝜇𝑆+ 𝑃_𝜇𝐶) + 𝑃_𝑇+ 𝑃_𝐷𝑃𝑃+ P_μK. (3.55) Zagęszczone w komorze roboczej (rys. 3.3) złoże jest formowane w n kanałach matrycy.

W wyniku czego następuje rozdzielenie zaglomerowanego materiału. Energię dyssypowaną na krawędzi tnącej matrycy opisano następującym wzorem

48 𝑃_𝑇 = 𝜏_𝑎∙ 𝑙_𝑇∙ 𝑣_𝑤𝑒∙ 𝑙_𝐾. (3.56) Długość krawędzi tnącej lK w przybliżeniu jest równa sumie średnic wejściowych n kanałów matrycy [18], stąd

𝑙_𝐾 = ∑ 𝐷_𝑤𝑒 = 𝑛 ∙ 2𝑅_𝑤𝑒.

𝑛

𝑖=1

(3.57)

Wartość mocy jest liniowo zależna od parametrów geometrycznych zagęszczonego dwutlenku węgla znajdującego się pomiędzy stemplem zagęszczającym, a krawędzią tnącą matrycy. Jednym z tych parametrów jest wielkość złoża wzdłuż Oz oznaczony jako lT, gdzie jest ona bezpośrednio zależna od masy materiału poddawanej aglomeracji w jednym cyklu zagęszczania. Przy znanej masie złoża mZ i założeniu, że aglomerat ma znaną gęstość ρ, można zapisać

𝑙_𝑇 = 𝑚_𝑍

𝜌 ∙ 𝜋𝑅_𝐾². (3.58)

Podstawiając do wzoru 3.56 otrzymujemy

𝑃_𝑇 = 𝜏_𝑎∙ 𝑙_𝑇∙ 𝑣_𝑤𝑒 ∙ 𝑛 ∙ 2𝑅_𝑤𝑒. (3.59) Ze względu na opory tarcia powstające w wyniku przemieszczania się aglomeratu względem komory roboczej i kontaktu z ścianą cylindrycznej komory roboczej dochodzi do dysypacji energii, której wielkość opisano następującym równaniem

𝑃_𝜇𝐾 = ∫ 𝑣_𝑤𝑒 ∙ 𝜇_𝑇 ∙ 𝜏_𝑎 d𝑆_𝐾

𝑆𝐾

. (3.60)

Po scałkowaniu równania 3.60 otrzymujemy

𝑃_𝜇𝐾 = 𝑣_𝑤𝑒∙ 𝜇_𝑇∙ 𝜏_𝑎∙ 𝑆_𝐾. (3.61)

gdzie SK jest polem powierzchni ściany cylindrycznej komory roboczej w momencie rozpoczęcia procesu formowania. Stąd przyjęto, że suchy lód ma kontakt z ścianą komory na długości lT wzdłuż Oz. Z czego wynika, że

𝑆_𝐾 = ∫ ∫ 𝑅_𝑘 d𝑙 d𝜃

𝑙𝑇 l=0 2π θ=0

. (3.62)

Po scałkowaniu równania otrzymano

49

𝑆_𝐾 = 2π ∙ R_K∙ l_T. (3.63)

Podstawiając do równania 3.61 otrzymujemy

𝑃_𝜇𝐾 = 2π ∙ 𝑣_𝑤𝑒 ∙ 𝜇_𝑇∙ 𝜏_𝑎∙ 𝑅_𝐾∙ 𝑙_𝑇. (3.64) Ze względu na rozmieszczenie kanałów formujących na planie sześciokąta, suma pól powierzchni wejściowych kanałów jest mniejsza od powierzchni pola przekroju komory roboczej. W związku z tym istnieje powierzchnia bez otworów SPP prostopadła do Oz (rys. 3.2).

Ze względu na dyssypację energii wynikającej z tarcia zaglomerowanego dwutlenku węgla o prostopadłą powierzchnie w bilansie uwzględniono składową PDPP wynikającą z opisywanego zjawiska. Stąd

𝑃_𝐷𝑃𝑃 = ∫_𝑆 𝜏_𝑎∙ 𝜇_𝑇∙ 𝑣_𝑤𝑒 𝑑𝑆_𝑃𝑃

𝑃𝑃 . (3.65)

Po scałkowaniu równania otrzymujemy

𝑃_𝐷𝑃𝑃 = 𝜏_𝑎∙ 𝜇_𝑇∙ 𝑣_𝑤𝑒 ∙ 𝑆_𝑃𝑃, (3.66) gdzie pole SPP można opisać

𝑆_𝑃𝑃= 𝜋𝑅_𝐾² − (^3𝑒2√3

2 +¹

2𝑛_𝐺𝜋𝑅_𝑤𝑒² ), (3.67)

gdzie, długość ściany sześciokąta opisano zmienną e natomiast nG liczbę kanałów rozłożonych na sześciokącie o boku długości e (rys. 3.2).

Stąd po podstawieniu do równania 3.66 otrzymano 𝑃_𝐷𝑃𝑃= 𝜏_𝑎∙ 𝜇_𝑇∙ 𝑣_𝑤𝑒 ∙ (𝜋𝑅_𝐾² − (^3𝑒2√3

2 +¹

2𝑛_𝐺𝜋𝑅_𝑤𝑒² )), (3.68) Ze względu na utrzymanie, identycznego układu współrzędnych i oznaczenia parametrów geometrycznych kanałów matrycy, z analizą formowania skrystalizowanego dwutlenku węgla w kanale stożkowym można uznać, że przeprowadzona wcześniej analiza dla 𝑃_𝐷, 𝑃_𝜇𝑆 oraz 𝑃_𝜇𝐶 jest tożsama z opisywaną.

Po wyznaczeniu składowych bilansu energii podstawiono wyznaczone wartości poszczególnych dyssypowanych mocy (3.36, 3.42, 3.47, 3.59, 3.64, 3.68) do równania 3.55, otrzymano następujący związek,

50 𝐹_𝑂𝑃 𝑣_𝑤𝑒 = 𝜏_𝑎𝑣_𝑤𝑒(𝑛𝑅_𝑤𝑒² (√15𝑙𝑛_𝑅^𝑅𝑤𝑒

𝑤𝑦+ 2𝜋𝜇_𝑇( ¹

𝑐𝑜𝑠²𝛼∙𝑅_𝑤𝑦² (𝑅_𝑤𝑒𝑏 −^𝑏2

2 𝑡𝑔𝛼) +

𝑎

𝑅_𝑤𝑦)) + 2𝑙_𝑇𝑛𝑅_𝑤𝑒+ 𝜇_𝑇(𝜋𝑅_𝐾²− (^3𝑒2√3

2 +¹

2𝑛_𝐺𝜋𝑅_𝑤𝑒² )) + 2πμ_TR_Kl_T).

(3.69)

Dzieląc obie strony równania przez vwe otrzymano wzór na wartość siły oporu FOP związanej z aglomerowaniem suchego lodu w kanałach stożkowo cylindrycznych matrycy wielokanałowej.

𝐹_𝑂𝑃 = 𝜏_𝑎(𝑛𝑅_𝑤𝑒² (√15𝑙𝑛^𝑅_𝑅^𝑤𝑒

𝑤𝑦+ 2𝜋𝜇_𝑇( ¹

𝑐𝑜𝑠²𝛼∙𝑅_𝑤𝑦² (𝑅_𝑤𝑒𝑏 −^𝑏2

2 𝑡𝑔𝛼) + ^𝑎

𝑅_𝑤𝑦)) + 2𝑙_𝑇𝑛𝑅_𝑤𝑒+ 𝜇_𝑇(𝜋𝑅_𝐾²− (^3𝑒2√3

2 +¹

2𝑛_𝐺𝜋𝑅_𝑤𝑒² )) + 2𝜋𝜇_𝑇𝑅_𝐾𝑙_𝑇 )

(3.70)

Opracowany, na podstawie rzeczywistej struktury, właściwości mechanicznych oraz parametrów geometrycznych wielokanałowej matrycy, model analityczny (3.70) pozwala na:

 wyznaczenie siły granicznej procesu aglomeracji służącej formułowaniu założeń projektowych maszyny realizującej ten proces,

 jego wykorzystanie w symulacjach komputerowych.

51

4. Badania cech geometrycznych zespołu aglomeracji ciśnieniowej i ich wpływu na siłę oporu zagęszczania CO2

4.1. Parametry geometryczne matrycy wielokanałowych

Analizowany rzeczywisty proces aglomeracji skrystalizowanego dwutlenku węgla jest przebiegiem wieloparametrowym. O wartości efektywnej siły zagęszczania, oprócz wcześniej opisanych w pracy właściwości materiału, decydują parametry geometryczne elementów konstrukcyjnych zespołu do kształtowania aglomeratu. Program tych badań zorientowano na:

 analizę parametrów konstrukcyjnych wielokanałowych matryc,

 określenie sił opor aglomeracji w wielokanałowych matrycach,

 analizę błędu wyznaczonych wartości sił aglomeracji.

W pierwszej kolejności ustalono parametry geometryczne opisujące matryce wielokanałowe. Podczas tych prac kierowano się własnymi doświadczeniami związanymi z wykorzystywanymi w przemyśle matrycami wielokanałowymi. Dobrane parametry geometryczne posłużyły do zaprojektowania i wykonania 4 wielokanałowych matryc formujących.

W drugim etapie wykonano badania empiryczne wyznaczając wartości maksymalnej siły,

W drugim etapie wykonano badania empiryczne wyznaczając wartości maksymalnej siły,

W dokumencie Politechnika Poznańska Wydział Maszyn Roboczych i Transportu (Stron 33-117)