mungs flachę)
B. Belki kratowe statycznie niewyznaczalne i natężenia drugorzędne.i natężenia drugorzędne
IX. JBelki kratowe statycznie niewyznaczalne.
§. 74. Pręty nadliczbowe.
Belki kratow e mogą być, ja k wiadomo*), albo staty cznie w yznaczalne albo statycznie niew yznaczalne albo też chw iejne.
Belek k ratow ych prostych ostatniego rodzaju nie powinniśmy w prak ty ce używać, o statycznie w yznaczalnych jużeśm y mó- w ili, teraz mówić mamy o belkach kratow ych statycznie nie- w y z n acz alny ch.
Jeżeli ilość węzłów n azwiemy m, ilość prętów n, to otrzy m am y belkę k rato w ą statycznie niew yznaczalną, jeśli 2»w—3 0 , Chcąc z takiej belki kratow ej utw orzyć belkę_ statycznie wy- znaczalną, musim y w—2m-{-3 prętów opuścić, a zatem te k = n +
—2 w + 3 p rę ty nazyw am y n a d l i c z b o w y m i (n. überzählig), in n e p rę ty nazyw am y - p o t r z e b n y m i (n. nothwendig).
Opuściwszy p rę ty nadliczbowe, moźemy dla danego obcią
żenia w yznaczyć w pozostałych prętach siły w ew nętrzne ©,,
©2, . . . , poczem w miejsce prętów nadliczbow ych przycze
piam y po kolei za każdy p ręt dwie siły r ówne j edności i w prost p rzeciw n e, działające w k ieru n k u tego pręta.. Nazwijmy siły w ew n ętrzn e, w ywołane siłam i = 1 zam iast pierwszego p ręta nadliczbowego, u2‘, u3‘. . zamiast drugiego p ręta m2", m, "... , zam iast trzeciego uL" J, u2“‘, ux“‘. . . , n areście nazw ijm y Su S2, S ..., rzeczyw iste siły w ew nętrzne prętów potrzebnych belki statycznie niew yznaczalnej , _a S ‘, S", S “‘ prętów nadli
czbowych, to
'ą Ą + « , 'S' + “S " + •••]
+ « * ;£ '+M2 "S" + m2'" S '" + ... \ ...244)
s, - Ś , + u, 'S'+uS'S"+u,,,,S‘“ + ...\
*) por. Podręcznik s ta ty k i budow li I I . wyd. s tr . 824.
§. 75. Obliczenie sił wewnętrznych prętów nadliczbowych.
— 1 1 8
-k równań 252}
P rzy jąć możemy dla żelaza a = 0000012, £=2000000% /««2 dla stali «=0-000011, £=2150000 kgjan~, więc w przybliżeniu dla obydwóch ea=24:Jcqlcm 2.
- R ów nanie 247) możemy więc teraz n a p isa ć : Uj + $1) "I" M2'(>2( ^2, + Ą )+ • • • + Q'( U' + S ‘) ~ 0 u i + i5i) + M2" 2) + ••• + <?"(U“ + S") = O
« i'> 1 ( &i + «i ) + «2" '? 1( ^3 + & )-+ ••• + <>"'( Z7ł"-+ S‘" ) = 0
Jeżeli mamy dane przekroje prętów , w zględnie jeśli je po obliczeniu belki w sposób przybliżony przyjm iem y, jeśli
znaną nam je st ciepłota t0, r'VS' 87' s / w i m , ' Przy której belkę zestawiono
J1-) _ _ i ciepłota w danej chwili to możemy obliczyć dla każ
dego p ręta ę i U. Siły S są funkcyam i sił znanych nam
©, u i nieznanych S 1, <S", S “‘.
W idzim y więCj że w rów m /2 M
... /FJ?
- o j . / V? +JFJ3 .
-MJF
252) m am y ty lko k niewiadomych S1, S", S 1“..., dla których w y
znaczenia mamy k równań. W ten sposób w yznaczym y siły zew nętrzne prętów nadliczbow ych.
Jeśli ciepłota się nie zm ieniła, czyli t = t 0, to ¿7=0, więc rów . 252) nieco się upraszczają i możemy napisać
«1 'i>i SJJ ^ ,£ 38x± u ^ § t 8 t + 8 '= 0 \
M1 " ?1 + M2 " i>2 S2 + «3 "(>3 S2 + •••-!- e "s " = 0 } • • 253).
M ! + M 2<ni,2'^’2 T ttis l“ 9.3^3 + — OJ
Jeżeli w rów. 252) i 253) w szystkie ilości ę pomnożym y
120
-s iła rv T i ł )
9%«
s iła r p jl? ,
cj
St = © j +Mj S', S2= © i+ M 25'', ¿ / P .. . . . 244 o?j Zatem rów. 258) przedstaw i się w następnym kształcie
«1 i»i (®1 + M) <?) + M2i>2(@2 + M2£') + ••• + (>'£' = 0, czyli 2uq<5+(2u,2q+q')S '= 0 ,
zatem ...S» * V
W staw iw szy wartości, otrzym am y _ĄA-&P,
s ‘— S r a + M T 0“ '' 9 d y tę tość za S' w staw im y w 254), otrzym am y S i , S2 i t. d., któreto w artości uwidoczniliśmy w ostatnim rzędzie tabliczki.
' Z porów nania ru b ry k © i S widzimy, o ile się różnią w yniki dokładne od przybliżonych. Ze znaków sił u widzimy
T y s . 8 8 .
też, że_ gdyby siła 10 t działała w 3, otrzym alibyśm y u , a za
tem i uS ‘ rów ne, lecz ze znakiem przeciw nym . Jeżeliby więc / -.io-YCi t s j) »urC . 1
I
siłuwMs d j
działały sym etrycznie dwie rów ne siły w 1 i 3, to u i u S '1 By statycznie niew yznaczalnej wyższego rzędu w yznaczam y siły w ew nętrzne dla tej sa,n^ ' b e lk i, w której je d n ak urządzim y
— 122 —
-276-27 117-37 276-27 —117-37 +330-31 -1 2 8 -2 7 117-37
Siły © i u zostają, te same, co w poprzednim paragrafie.
Rys. 886 przedstaw ia plan s ił, jeżeli zam iast I I działają w 1 i 1 siły równe jedności i w prost przeciwne, rys. 88c, jeśli w I I i 2 działają siły równe jed n o ści, a 88 cl, jeśli w I I I i 3 dzia
ła ją siły rów ne jedności. Siły w ew nętrzne w pierw szym w y
padku nazw ijm y u1, w drugim u", w trzecim u“‘. W yniki ze
staw iliśm y w tabliczce.
W edług rów. 244) mamy
' # ! = © ! + u 1S , + u Ć S "+ u i 'lS ,,,+ u l '"Sl v ' S 2= @2 + m2 + u 2"S“‘ + u2‘1' 8*.
S3 — ©3 + % S' + «3 '/!?" + u3 "S‘“ + n3‘“ SI,r
— 123
-256)
257) Gdy w staw im y w artości za S i w rów. 253), otrzym am y
Mj " S ‘" + Ui “‘S nr) + Ui Q2 (©2 +U2S /+U.2/S" + + w2 + u2 “SIV) -\-...+q‘S ‘= 0 , czyli’
.£«(3©+ (^m2^ + ę')<S" + S'[ 2 u u ‘q Ą - S " ‘2 u u " q+ SivSuu‘“q= 0’
2 u ‘ę ® + S ‘2 u ‘u q + S " ( 2 u 2q + q " ) + S ‘“ 2 u ' u “ S l v 2 u ‘u “ ę = 0
2 u 'lę& + S l2ii"U Q+S"2u'lulQ + S",(2 u " 2Q+Ql“)+
+ SirS u "u ‘“ę = 0
S u ,“ ' q & - \ - S ‘2 u ‘“ u q -\- S " 2 u ,“ ‘u ' q Ą - S “ ‘2 u ,“ ‘u " q -\- S 2V( 2 u “ ‘2ę +
+ ( 0 ^ = 0 W staw iw szy w artości otrzym am y
—44-55 + (144-82 + 9-72)Sy+226-15S "—142-27S'"+58-395/r =-0, - 530-62 + 226-155'+(435-17 + 10)<S" - 276 -27S'" + 1 1 7 - 3 7 # = 0,
+ 330-31—142-27S'—276-275" + (276-27+ 10)S'"-‘-117-37S/r = 0 ,
—128-27+58-395'+117*375"—117-37S"' + (117-37+10)S/ r = 0 . A stąd po rozw iązaniu rów nań mamy
fi" = —5-694, 5 " = +4-026, 5 " '= -0 -2 2 0 , S n '= - 0 - 2 9 6 . Na podstaw ie tych w artości i w artości u możemy nareście obliczyć w edług 256) dokładne w artości sił w ew nętrznych 5, które znajdują się w ostatnim rządku tabliczki.
Z porów nania ty ch sił ze siłami w ew nętrznym i, któreśm y otrzym ali w poprzednim paragrafie widzimy, że przez dodanie słupów zm ieniliśm y zupełnie siły w ew nętrzne i to nietylko w k rzy żulcach ale i w pasach. N. p. otrzym ujem y w 12. za
m iast + 8 -75 +10-03. A zatem obliczenie k ra ty złożonej o krzy
żulcach tęgich przez nieuw zględnienie słupów i rozłożenia na dw a u kłady daje w yniki zupełnie niezgodne z rzeczywistością,
— 124 —
chociaż przew ażnie większe , dodanie słupów wzm aga jed n ak ' w niektórych prętach siły w ew nętrzne. A że obliczenie dp- kładne je st nadzwyczaj żmudne . więc lepiej nie używać ta-
j kiej kraty .
§. 77. Belka wieloboczna.
Sposób obliczenia belki wielobocznej staty czn ie niewyzna- czalnej je st ta k i sam, ja k belki rów noległ e j ; nie potrzebujem y się więc pow tarzać. W yniki je d n ak obliczenia są tu inne, niż w poprzednich paragrafach. W inkler oblicza jako przykład belkę paraboliczną zbieżną o kracie rów noram iennej dw ukro
tnej i dwóch słupach*) i otrzym uje w praw dzie dla pasów w y
niki dokładne, mało co się różniące od przybliżonych, dla krzy- źulców zaś zupełnie odmienne.
Jeżeli k rata je st więcej, niż dw ukrotną, to liczba prętów nadliczbow ych je s t większa, niż 1. Dla belki równoległej roz
kładanie na pojedyncze układy, je st dozwolone, gdyż błąd je st bardzo m ały, dla b elki wielobocznej daje sposób ten przybli
żony tylko dla pasów dość dokładne w yniki, dla k ra ty zaś nie.
To samo stosuje się także do belek o kracie prostokątnej i podw ójnych gibkich krzyżulcach. Belki tak ie rów noległe mo
żemy snadnie obliczać w edług sposobu przybliżonego.
§. 78. Belka Howe’a.
Belka Howe:a ma kratę z łożoną ze sztucznem natężeniem.
W celu obliczenia je j dokładnego należy obliczyć ją naprzód bez w zględu na sztuczne n atę żen ie , a więc w edług §. 76., uw zględniając tę okoliczność, że drzewo ma inny spółczynnik sprężystości, niż żelazo, a potem uwzględnić w pływ sztucznego n a tężenia**).
W praw dzie obliczenie przybliżone k ra ty złożonej daje w yniki bardzo niedokładne , je d n ak z powodu , że natężenia sztuczne nie dadzą się dokładnie wyznaczyć, więc dokładniej
sze w yznaczenie sił w ew nętrznych ju ż z tej przyczyny nie je st możliwe. W p rak ty ce w ystarcza w ięc w yznaczenie przybliżone.
*) p. W i n k l e r . Theorie der g egliederten B a lk e n trä g er, str. 252.
**) p. Podr. t. m ost. tom I. w yd. I I. str. 10S.
— 125 —
§. 79; Belka ciągła.
Sposób ten w yznaczenia sił w ew nętrznych da się zasto
sować także do belki wieloprzęsłowej. Jeżeli w belce dwuprzę- r y s .8 9 . słowej (i'ys. 89.), opu
ścimy p ręt mn, to otrzy
m am y dwie belki staty cznie w yznaczalne. P ręt mn je st więc tu prętem nadliczbowym W belce trzyprzęsłow ej mamy dw a takie p ręty nadliczbowe , w czteroprzęsłowej trzy.
Jeżeli przytem k ra ta je s t podw ójna lub p o tró jn a , liczba p rę
tów nadliczbow ych w zrasta. Dalsze obliczenie je st tak ie samo, ja k w poprzednich paragrafach.
§. 80. Wpływ zmiany ciepłoty.
Jeżeli ciepłota t0 belki statycznie niew yznaczalnej się zmieni o (z— z0) , to zam iast rów. 258) musim y użyć pierw ot
n ych rów. 252) i w prowadzić w rachunek ilości U = a(x—t 0)c4 w edług rów. 250).
Jeżeli belka składa się z części drew nianych i żelaznych, musim y uw zględnić tę okoliczność, że a i e są inne dla części drew nianych a inne dla żelaznych.
X Zastosow anie praw a pracy odkształcenia.
§ . 8 1 . Pochodne pracy odkształcenia belki kratowej.
Przypuśćm y, że n a belkę działają ciężary P t , P 2, P 3)...
P 4, które są m iędzy sobą w równowadze. Niechaj siła w ew nę
trz n ą w pew nym pręcie nazyw a się S , przekrój jego A , dłu
gość s. P rę ty przy jm ijm y n a razie niesprężyste, ale przypuść
my, że z jakichkolw iek powodów stają się dłuższe o As, w tedy p u n k ty zaczepienia ciężarów w kierunku ciężarów przesuną się o v1} v2, v3,. ■ .vn.
Na podstaw ie praw a p racy przygotow anej (§. 62.) mo- żemy n apisać
Pi v1 + P 2^2 + • • ; PnVn—2 S A s ... 258) Jeżeli chcemy m iędzy siłami zew nętrznem i rozróżnić od
działyw anie, to napiszem y to rów nanie
— 126
-2Po + 20Ac~ 2 S A s ... 259) P rzesunięcia podpór Ac zw ykle nie d a ją się p rz e w idzieć.
Jeżeli g ru n t j est dobry, przyjm ujem y zw ykle zlc=0.
Dotychczas As b yły zupełnie dowolne. Teraz przypuśćm y, że jed na z sił P zm ienia się o dP. W tedy lewa stro na ró w n . 258) zmieni się o dPv. A że As je st od P niezależne , więc praw a strona zm ieni się o JBdSAs zatem dP v—2dSAs, więc,“*“^^?*-*
- ¿.^3u;,< > •< ■ . ■ dP ... ’
Jeżeli teraz zam iast dowolnych 4s w prow adzim y przedłu
żenie sprężyste w skutek sił S, to wedle 227) As—-^~, więc d S
z. A S 2s
, S s d S 2sA ■
i f p Z Ł ’ MD
bo w ykonaw szy częściowe różniczkow anie praw ej strony, otrzy
mamy lewą.
W yraz ^ 9^ je stto p raca odkształcenia całej belki kra-towej od stanu bez natężenia do natężenia S. P raca ta bowiem rów na się dla każdego p ręta }rSAs=l-S~==-^-^j, dla całej więc
... ' ---- — ,. ... £-o- ¿¡eJL ~
belki s Ę ^ —L ■/»«**- 262)
W stawiwszy tę wartość w 261) otrzym am y
T- a f - ... 2S3) Możemy więc wypowiedzieć twierdzenie. Jeżeli belka była ]’¡erwoi ¡iit- n ; : ■•/.■nia i ciepłota sie nie zm ieniła, to p r z e- s u n i g c i e p u n k t u z a c z e p i e n i a s i ł y P w k i e r u n k u t e j s i ł y , r ó w na_ s i ę c z ę ś c i o w e j p o c h o d n e j w e d l e f p r a c y o d k s z t a ł c e n i a b e l k i .
Uwaga. Je ślib y p rę ty b y ły m im ośrodkow o p o łą cz o n e, to p ow stałyby w p rętach oprócz cią g n ie n ia i-ciśn ie n ia ta k że m om enty, k tó re należałoby
uw zględnić. _
Przykład. W jz n a c z y ć n ależy ugięcie / p u n k tu C belki tró jk ątn ej (rys. 90.).
Jeżeli w punkcie G d ziała siła P, to z tró jk ą ta sił w idzim y, że jeżeli nazw iem y a siłę w ew n ę trz n ą w AC, A{ przekrój, s długość
b „ „ AU, A-, , l
— 127 —
P Ps P Pl
2ivstx 2/i’ . 2si« 4/i P ra c a o d k ształcen ia będzie w ięc
£ = i:
2eA:
Z rów . 268) o trzy m am y
o “ ° i ^ '2sĄ 1 26^2' _ dL_2as (to ii ó6
•r “ Jp_ ~ gj,- dp T ¡X ap 264)
2i 5
W sta w iw sz y to w 264) i w arto ści za a i A, o trzym am y Ps
l P s 3 . P l3
~ ' 2/ s , pz _z_ ____
s 4 j ■ 2fc + 47( s.4 , 4 A ._ 2 ^ 7 i * + 1 6 i A 2h 2
f== ± ( ° ± + J L ) ...
J 2sh.3\ A , ~ 8 J t / .
Je śli przekroje obliczono zo stały dla rów nych natężeń, to
2h-\ p 4/it
W staw iw sz y to w rów . 265) otrzy m am y
26B)
266)
§. 82. Pochodna pracy odkształcenia dźwigaru o przekroju pełnym.
Mamy dany dźw igar A B (rys. 91.) o przekroju pełnym.
W A je st łożysko stałe, w B przes u \/mve^t)ez tarcia. Na belkę działają siły Pv P 2, P 3 i oddziaływ ania Oj i 0 2. ¥ przekroju TTj niech działa m om ent M, siła podłużna N i poprzeczna JJ.
128
Jeżeli teraz zam iast odkształceń dowolnych przyjm iem y odkształcenie w skutek sił P, to otrzym am y*)
— 129
Zatem praca odkształcenia całego dźwigaru wynosi CN2ds
— 130 —
P ow ierzchnia m om entów w A C p rzed staw ia się jako tró jk ą t. M om ent JPl. x $ w Ii w ynosi M — — Plu w punkcie JS:M==Px w punkcie E 1 M = ---— .
h
C iągnienie w BD
-0 t> ^1 + h ■
j O - j j p a — P ^ siecz a,
/ Ł 1’y S - 9 3 / " p ciśnienie w B C
^ J,___ Pl'l ~l~ ^3
-Je że li przekrój belki A C s ta ły A , p rę ta BD A lt to o trzy m am y wedle
263) i 271) / =
^ P ochodne p rac y dla A B (^trzym am y
d ii ,
= - i A{ x d x =
i) Pochodna_ pracy dla BD będzie
V S1 A dP h
i) Pochodna p rac y dla B C będzie
rm x ón far: m _ , \ Pt x‘ h . J [_ « « 3 A 2* a
¿¿¡T j l t i ? m \ + - V ^ " ¥ 8 s j y = ~ikj ■
Z atem pochodne p ra c y całego dźw ig aru
...
i
131
-§. 83. Prawo najmniejszości pracy odkształcenia.
Jeżeli dźw igar posiada p u n k ty podparcia stałe w kierunku
— 132 —
2. Przykład, W yznaczyć o d d ziały w a n ia i m om enty belki obu końcam i poziomo utw ierdzonej, obciążonej ciężarem , w zrastają cy m od O do p (i\. 95.).
T u w p u n k cie C M = 0 ^ x — p jeżeli Mt oznacza mo
m e n t podporow y lewy.
Tu znow u J V = 0, w ięc n a mocy 274) i 270) dL CM ,)M , , , , , ,
' a g y s a e>
\ M <- ~ d x = = 0 i ‘ \ = 0 . . . 277)
J DO, J dii/! <
r y s. 95
r- , . d M OM 1 .
Dalej m am y = 1, w ięc
óM1
0 = j ! Mxdx = j ’ (O j* 2— 1^ Ą - M i x ^ d x D alej m am y M . \ d x — 0, zatem
Ot P p l * t
3 30 2
Z ró w n a ń 278) i 279) o trzym am y
°! ~';łs. !>! ]
_ pl* . . . .
~ 3 0 J y /jj 3
A w ięc w pu n k cie C M — ^¡¡plx — - -- — pl*
278)
280),
* - f ( n - S ‘ # * = ł ® . ^ i f • n:,j'V ('I- M) = ,± 0-02111 pl2 1 9
zaś dla ;r j= l 31, = — ^ p l2 / • • • • • • • - /
§. 84. Zastosowanie tego prawa do belek statycznie niewyznaczalnych.
Długości prętów belki k ratow ej s niech się zm ienia o ńxr przytem niech będzie Ac przesuniecie podpory w kierunku od
działyw ania a ¿p rzesu n ięcie jakiejkolw iek siły P w kierunku P.
— 133 —
Praw o pracy przygotow anej brzm i w tedy wedle 226) 2Pd + 2 S A c = 2 S A s ... 282) Jeżeli nazw iem y S', S", S ‘" siły w p ręta ch nadliczbowych, to wedle 244) możemy napisać
2 P d + 2 ( 6 :+c'S'+c"S"->r .. . ) 4c= ^ ( @ +m'S ,/ + m"/S"+ . . .JAs 283) Jeżeli teraz przyjm iem y S ‘ = l, S" = S “‘ = . ■ .0, to
2 c ‘A c = 2 S'As, a podobnie 2 c "A c = 2 S"As
2 c ',,M = 2 S '“As
Jc rów nań . . 284)
Jeżeli teraz zam iast dowolnych przesunięć i Ac przyj - m iem y 1’zeczywiste sprężyste przedłużenia prętów Ac i As, to otrzym am y rów nanie M a x w e 11 a
2c'A~g= 2 S 'As
2 c ,lA c= 2S"A s
2 ć “A c = 2 S “‘As k rów nań . . . . 285)
Ponieważ ^ = c ‘^ = c " . . l |p = w " , zatem mo
żem y to rów nanie napisać
„ dc , -.dS .
2M icz 2m is
„ dc , dS .
dS* dS7'
Je rów nań . . . 286)
R ów nania 286) możemy otrzym ać w prost z rów. 282) przez
■częściowe różniczkowanie w edług w szystkich niewiadomych -z w yjątkiem dowolnych przesunięć <5.
W razie, jeżeli przyjm iem y stałe lub przesuwowe pod
pory, Ac= 0, a zatem otrzym am y z 286)
„c>S . dS Ss
v dS . dS Ss - 287)
Poniew aż praca odkształcenia A = 2 ^S ‘sj j , więc zrównanie t o możemy inaczej wyrazić.
iłJLfe- w i e l k i e , a b y p r a c a o d k s z t a ł c e n i a b y ł a n a j m n i e j s z o ś c i ą .
W idzim y w ięc, że praw o najm niej szóści pracy odkształ
cenia, które przedtem udowodniliśmy dla oddziaływ ań, ważne, je st także dla sił w ew nętrznych prętów nadliczbow ych, a da
łoby się udowodnić ogólnie, że jeżeli siły w ew nętrzne S belki kratow ej statycznie niew yznaczalnej w yrazim y jak o funkcye niezależnie zm iennych x', x " . . to a; muszą mieć takie w ar
tości, aby praca odkształcenia A była najmniejszością.
r y s. 96
1. Przykład (w edług O stenfelda). W spornik E B C D (rys. 96.) m a s ta ł»
łożysko w C i D. W B obciążony je s t 30 tonam i. W yznaczyć siły w ew n ę
trzn e. B elka je s t sta ty c z n ie n iew yznaczalną pierw szego sto p n ia , u w a ż a m y p rę t B E jako nadliczbow y. O puściw szy te n p ręt, otrzy m am y
siłę w ew n ętrz n ą w B D 3 0 . -§• = Ą- 50 t
i, » ?? B C 30. = 4 0 1.
S iły m otrzym am y, zaczepiając w E i B siły ró w n e jedności. W ted y o trzy m am y siły u ‘ w E D 1 -| = 1-33
w EO 1 -| = — 1-67 w BD 1 'f = 4 - 1*67 w B C 1 -| = — 1-33.
Z rów . 287) o trzy m am y tu , zw ażyw szy, że S = <30 •+• MjS', dS ^ «, Ss n v XiSS0 v Uj 2s S ‘
— 135 —
U sta w m y n a stę p n ą tabliczkę
P rę t ©0 »i s A M,S®0 « i 2« . S
A . A
ED 0 r s s 400 40 0 17-7 —19-1
E C 0 - 1 -6 7 500 48 0 28-9 +23-9
BD + 5 0 +1-67 £00 36 1157 38-6 +26-1
B O - 4 0 - 1 - 3 3 400 40 533 17-7 —20'9
E B 0 1 300, 20 0 15-0 —14-3
1690 117-9
S ' = - 1690
14-33.
117-9
T eraz możemy obliczyć rzeczy w iste n atęż en ie S w ed łu g w zoru S —
= ®0 + jiiS'. W ypisaliśm y je w o sta tn ie j rubryce.
Z pow yższego w idzim y, że sposób te n prow adzi do ty c h sam y ch w zorów i w yników , ja k ie o trzy m aliśm y w §. 75.
2. Przykład podajem y tu w edle M a lle ra B reslaua.*
B elka w zm ocniona leży n a podporach A i C (rys. 97.).
N iew iadom a niechaj będzie tu X składow a pozioma siły w ew n ętrzn ej w ścięgnach AD i DC.
— 136 —
137 —
138
-i) Jeżeli w ięc belka obciążona je s t ciężarem w ła sn y m g i układem cię- , , , . , j-.1, v * 5 g lł + 2 2 P a (3 1 * — a*)'
zarow skupionych P. to X == ~ — ~— g— — - . . . . 297)
O J - Ł l l l “
Z n ając X możemy te ra z obliczyć siły w ew n ętrzn e we w szystkich
prętach. * ^
U / a - r + y t A i e \ y « < ^ ( + YJ - ' & ? ) . ¿ y / / 2 c • * - t s « ¿ ¿ t n / 2 ✓ / / '
M J C a tę ż e n ia d ru g o rzędne.
§. 85. Określenie natężeń drugorzędnych.
P rzy obliczeniu belek kratow ych przypuszczaliśm y do
tychczas zaw sze, że p ręty połączone są m iędzy sobą przegib- nie, bez tarcia, a co za tern idzie, że siły zew nętrzne działają w osi prętów. Tymczasem przy mostach europejskich łączym y pojedyncze p ręty zawsze n itam i, w skutek czego kąty, jak ie tw orzą p rę ty belki kratow ej p rzy ugięciu jej, nie mogą się zm ien iać, a więc w węzłach pow stają m om enty, zginające pręty, których osie nie są już teraz proste , lecz w yginają się w jednym k ierunku lub esow ato. A n a w e t, jeżeli połączenie prętów je st przegibnem (w mostach am erykańskich), to wystę
puje zawsze ta rc ie , w skutek czego siły w ew nętrzne p rz y j
m ują położenie mniej lub więcej mimośrodkowe.
N a tę ż e n ia , w yw ołane siła mi w ew nętrznem i _w p rzy p u szczeniu połączenia przegibnego beztarciow ego nazyw am y n a t ę ż e n i a m i p i e r w s z o r z ę d n e m j (n . Grundspamiuuy, pri- marc Spanmm//), natężenia, k tóre pow staią w skutek stałych po
łączeń węzłowych (a. rigidity of joints) , nazyw am y n atęże
niam i d r u g o r z e ji n e m i (n. Secundàrspannung, fr. effort secon
daire, a. secondary stress, cz. seJcunderne napjeti). ) Oprócz tych natężeń pow stają jeszcze dodatkow e n atę
żenia w skutek mimośrodkowego połączenia prętów , w skutek nagłej zm iany pi'zekroju, ugięcia poprzecznio i t. d. N iektórzy nazyw ają te natężenia także d ru g o rzęd n em i, my je d n ak dla odróżnienia od natężeń, pow stałych z powodu stałych połączeń węzłowych będziemy je nazyw ać d o d a t k o w e m i (n. Zusatz- spannung). "W tym rozdziale mówić będziem y tylko o natęże
niach drugorzędnych i w yłożym y rzecz tę w edług R i t t e r a * ) .
*) R i t t e r W . A nw endungen der grap h isch en S tatik . 1890. ï ni*
— 139
-§. 86. Zasada obliczenia natężeń drugorzędnych.
"Według M a n d e r l i *), k tó ry rozw iązał pierw szy tru d n e zadanie w yznaczenia natężeń d ru g o rzęd n y ch , postępujem y w następny sposób:
Obliczamy najprzód siły w ew nętrzne pierw szorzędne w przypuszczeniu p ołączeń beztarciow ych przegibnych, z t ych natężenia pierwszorzędne i zm ianę kątów p rzy u gięciu , któ- reby p owstały przy połączeniach przegibnych b eztarciow ych.
M omenty, które pow stają w skutek stałych -połączeń w ęzło
w ych , uw ażam y jak o niewiadome, które w yznaczam y w ten sposób , aby przez ugięcie prętów w skutek tych momentów, k ąty te odzyskały p ierw otną wielkość. Z momentów węzłowych w yznaczam y wreście w zw ykły sposób natężenia drugorzędne.
Dla obliczenia natężeń drugorzędnych potrzeba w edług poprzedniego w yznaczenia natężeń p ierw szorzędnych i znajo
mości przekrojów . ,A zatem musim y zawsze najprzód w yzna
czyć w zw ykły sposób siły w ew nętrzne i obliczyć przekroje, a potem dopiero możemy obliczać natężenie drugorzędne.
§. 87. Zmiana kątów w trójkącie.
Zmianę kątów tró jk ąta w skutek zm iany długości jego bo-, ków wyznaczyliśm y już w tom ie I**). N azw ijm y zm ianę k ąta;
przy A (rys. 100.) óa, przy B przy C dy, vi} v2 i vz n a tę żenia prętów St, s2 i s3, to w edług rów. 292) (t. I., str. 214)
C c
rys. 101
'B ‘B
E d a — { v ^ — v Ą ) d o t B - | - ( y , — y , ) d o t C >
£ ' d b = { v 3 — y ^ d o t i - h . C r j — v 2 ) d o t G 1 . ' ? A = t o — £ 2 l d o t — ■v 3 ) d o t A I
298>;
*) p. A llgem eine B a u zeitu n g 18S0.
**) p. P odręcznik T eoryi M ostów tom I., wyd. II. str. 213.
Rów nanie 298) da się w ykreślnie też przedstawić, Spuść
m y z A, B i C (rys. 101.) prostopadle na przeciw ległe boki i odetnijm y n a nich natężenia v przeciw ległych boków, po-
■czem w ykreślm y do nich równoległe, a otrzym am y
v2 dot B —a‘, v2d o tC —a", vi dotB = -c", vz dotC-=b‘, więc e da=a— b‘—c'‘ |
sdh—b— c‘~ a " | ... 299) eó,,—c—a‘—b"
I
§. 88. Kąt..odchylenia osi..od prętów.
Teraz będziemy się starali w yznaczyć styczne k ą t ó w o d c h y l e n i a o s i p r ę t ó w (n. Stabdrelnoinlccl) w w ęzłach.
Powiedzieliśm y w yżej, że siła w ew nętrzna S nie działa w osi p ręta i w yw ołuje mo- , m enty węzłowe M i M ‘ (rys.
102.), w skutek czego p ręt się w ygina. N azw ijm y styczne kątów nachylenia linii ugię
cia w A i B % i V, to otrzy
mamy je, w ykreśliw szy drugi wielobok sznurowy, ja k dla belki ciągłej. Powierzchnię m om entów dzielimy n a dwa tró jk ąty, których powierzchnie -Ma i —§•M ‘s zaczepiają w pionowych trzecich części. A 2U i VB2 są to styczne podporowe.
Z ry su nku widzimy, że B 2‘B 2", pomnożone przez odle
głość biegunow ą eJ, je st m om ent statyczny siły ^M s. a więc 73 '7? „ WMsĄs , _ v W
1 ~ 7 J~ ~ ~ QeJ ’ ~ 2
. _.'-v (2M—M ‘)si , , B 2B 2" (3M—3I')S)
™«o --- f a J - , s tąd 140
-a podobnie
300)
§. 89. Równania momentów w ęzłowych.
Przypuśćm y, że rys. 103. przedstaw ia nam u g iętą belkę, przyczem w ykreśliliśm y pełno cięciwy prętów, a w ykreskowa-
^ . f - y J L .**■*-r •>'*
U d ¿ £ £ ( 2 r f T - )
£ .... h...
— 141 —
§. 90. Wykreślne wyznaczenie momentów węzłowych.
Rozw iązanie 2 n rów nań byłoby rzeczą bardzo żmudną, prędzej , chociaż próbowaniem , dojdziem y do celu drogą wy- kreślną, podaną przez ' R i t t e r a. (CWU. W tfhkUKW 4<. m ,)
Przypuśćm y, że znam y /i' dla w ęzła 4. , a staram y się w yznaczyć
— 142
-W ykreślm y wielobok sił (rys. 104.), odcinając siły —, po--fcem w ykreślm y kierunki tych sił w odstępach ed i przesuńm y
te siły o fi'. Złóżmy teraz te siły, a otrzym am y w ypadkow ą 4.
■Odstępy przesuniętych sił od w ypadkow ej są rów ne 2/i.
K onstrukcya ta czyni zadość wszystkim rów. 304). Od
stęp y sił nieprzesuniętych od w ypadkow ej są a różnica ty c h odstępów rów na się e<5, przezco w ypełniają się pierwsze
trz y rów nania. O statnie rów. 304) orzeka, że suma momentów dotyczących sił ^ ze w zględu na w ypadkow ą je st rów ną zeru, co wedle konstrukcyi się sprawdza.
Zachodzi tylko ta okoliczność, że nie znam y wielkości fi1.
Nie pozostaje nam nic innego, ja k w pierw sźem przybliżeniu przyjąć ¿¿'=0. O trzym am y przybliżone w artości } i, które dla sąsiednich węzłów dadzą nam fi', możemy więc tam ju ż dokła
dniej w yznaczyć / i , które znów są dla sąsiednich węzłów /,i‘.
N a podstaw ie tych u ‘ obliczamy po raz drugi, a jeśli potrzeba i trzeci, /£ ta k długo, aż nie okażą się ju ż więcej znaczniejsze różnice.
P rzy tej konstrukcyi tr z e b a , rozumie s i ę , uw zględniać znak eó i /i‘. K reślim y więc w każdem węźle p ręty .w porząd
k u , ja k wskazówka posuwa się na zegai-ze, i odcinam y do
datn ie ó n a praw o ; na praw o od w ypadkowej leżące fi uw a
żam y jako dodatnie, na lewo jak o ujem ne.
143
-Na rys. 105. widzimy dwa wieloboki sznurowe dla w ęzła 3 i 4 (rys. 103.). N azw ijm y odstęp nieprzesuniętej siły od w y
padkowej 7?, to 2«4= / i 4' i 2 /^ = fls‘Ą-7]3.
G dybyśm y znali położenie w ypadkow ych, tobyśm y mogli w prost obliczyć /t', tym czasem ponieważ zw ykle w ypadkow e niewiele się przesuw ają, więc na podstaw ie ty ch rów nań mo
żem y w przybliżeniu w yznaczyć fi'. Podw ajam y cyrklem dodajemy do tego % i dzielimy przez 3, o tę długość fi3' prze
suw am y siłę 3 na lewo.
"Wyznaczywszy w ten sposób / t , możemy łatw o obliczyć n ^ ę z e m ^ /^ . Mamy bowiem v 'I —Me, a że w edług 303)
„ 6 Ifi . Qe
i)f= , więc v ... 306)
Przykład. Ja k o p rzy k ła d w yznaczym y n atęż en ia drugorzędne m ostu n a d P eg n ic ą kolei N orym bergia — N euhaus o rozpiętości 36 m (tabl. IV.), dla którego S t e i n e r w yznaczył te n atęż en ia in n y m sposobem (liczebnym*).
*) p. H an d b u c li der In g en ieu rw issen sch aften t. II. str. 862.
- 144 —
— 145 —
się podw ójnem u odstępow i w ypadkow ej 8 (rys. 6.) i popraw iam y ry su n k i te dopóty, a ż tę zgodność osiągniem y ; w tedy odczytujem y [j. z ry su n k ó w w e d łu g podziałki e o ('tu Y^F g T cn ^) ' ^ rP 'sa ^®my w arto śc i te w tabliczk ę w ru b ry k a c h u. i u.'. N a podstaw ie rów . 305 obliczam y s tą d w reście vŁ i v,', n a tę ż e n ia drugorzędne n a obu końcach p ręta.
się podw ójnem u odstępow i w ypadkow ej 8 (rys. 6.) i popraw iam y ry su n k i te dopóty, a ż tę zgodność osiągniem y ; w tedy odczytujem y [j. z ry su n k ó w w e d łu g podziałki e o ('tu Y^F g T cn ^) ' ^ rP 'sa ^®my w arto śc i te w tabliczk ę w ru b ry k a c h u. i u.'. N a podstaw ie rów . 305 obliczam y s tą d w reście vŁ i v,', n a tę ż e n ia drugorzędne n a obu końcach p ręta.