Podręcznik teoryi mostów dla inżynierów i słuchaczów szkół politechnicznych : z 106 rysunkami w tekście i 4 tablicami. Cz. 1, T. 2, Belki proste statycznie niewyznaczalne

BIBLIO TEK A P O L IT E C H N IC Z N A T O M 1.

PODRĘCZNIK

TEORYI MOSTÓW

GZĘŚG I., TOM II.

BELKI PROSTE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE,

DLA

IIŻTNIEIŁÓW I SŁUCHACZÓW SZKÓŁ PO IIT EC H IIC ZIY €H Z I06 RYSUNKAMI W TEKŚCIE 1 4 TABLICAMI

OPRACOWAŁ

Dr. MAKSYMILIAN THULLIE,

DYPLOMOW ANY INŻYN1KE, PR OFESOR SZK O ŁY PO LIT EC H N IC ZN EJ W E L W O W IE .

WYDANIE DRUGIE.

v W

C e n a 8 Je«>i-. V V

W E L W O W IE . N A K Ł A D E M A U T O R A .

SKŁAD GtÓWNY W KSiąGARNI SEYFARTHA I CZAJKOWSKIEGO.

Z I . Związkową! d r u k a r n i w« Lw ow ie,

1 9 0 6 .

é s í ¿ % :

1 3 5 ^{b í}

PRZEDMOWA DO DRUGIEGO WYDANIA.

D rugie w ydanie niniejszego dziełka nie wiele różni się od pierwszego.

"W rozdziale drugim dodałem §. 18., w trzecim §. 51., om aw iające kształt i sposoby w ykreślania linij wpływowych.

N ow y jedynie je st cały rozdział X... obejm ujący najprostsze zastosowanie praw a pi’acy o d kształcenia, którego znajomość obecnie inżynierom je st koniecznie potrzebna.

W końcu w yw iązać się. muszę, z miłego obowiązku po­

dziękow ania asystentom moim pp. Ursiniemu i Maćkowski emu którzy przeliczyli p rz y k ła d y i pom agali w przygotow aniu tablic.

D r. M a k s y m ilia n T h u llie .

¥ e Lwowie, w październiku 1906.

SPROSTOWANIE OMYŁEK.

S P I S R Z E C Z Y .

A. Belka ciągła bezprzegubowa.

I . Ogólne anality czn e w yznaczenie s ił w ew nętrznych b elk i cią g łe j o ściance p ełn ej i p rz e k ro ju sta ły m .

§. 2. Ogólne u w a g i ... ... 1

§. 3. B elka pochyło u tw ie rd z o n a ... 2

§. 4. B elka poziomo u t w i e r d z o n a ... 4

§. 5. M om enty podporowe belki ciągłej o rów no w ysokich podporach 7 §. 6. M om enty, siły poprzeczne i o d d z i a ł y w a n i a ... 8

§. 7. Obciążenie zupełne je d n o sta jn ie rozłożone ... ... 9

§. 8. M om enty podporowe w przęsłach nieobciążonych . . . 10

§. 9. Siły poprzeczne, o d działyw ania i m om enty w przęsłach nieobcią- żonych <... 11

§. 10. M om enty podporowe przęsła obciążonego ... ... 14

§. 11. Obciążenie najniekorzystniejsze dla sił p o p r z e c z n y c h ... IB §. 12. N ajw iększe siły p o p r z e c z n e ... ... 16

§. 13. B ezw zględnie najw iększe i najm niejsze siły poprzeczne . . . . 17

§. 14. n a jn iek o rzy stn ie jsze obciążenie d la m o m e n t ó w ... 1S §. 15. W yznaczenie najw iększych m om entów dla obciążenia ciągłego 23 §. 16. W ielkość ciężaru je d n o stajn eg o ciągłego . . . ... ... 24

I I . B elka e ią g la dw u- i trzy p rzę sło w a. §. 17. M om enty podporowe belki d w u p rz ę sło w e j... . 25

§. 18. L in ie w p ł y w o w e ... 26

§. 19. Ciężar w ł a s n y ... 29

§. 20. Ciężar ruchom y . ... ... ... 31

§. 21. M om enty podporowe belki trzyprzęsłow ej ... 87

§. 22. C iężar w ł a s n y ... 38

§. 23. N ajw iększe siły poprzeczne ... . 39

§. 24. N ajw iększe o d d z i a ł y w a n i a ... 41

§. 25. N ajw iększe m o m e n t y ... .... 42

§. 26. P r z y k ł a d ... 46

I I I . P rzybliżone w yznaczenie s ił w ew nętrznych. §. 27. Z a s a d a ... 53

§. 28. N ajniekorzystniejsze o b c ią ż e n ia ... '5 6 §. 29. B elka tr z y p r z ę s ło w a ... ... .... 5(5 §. 30. P rz y k ład sposobem Ł e b e r a ... .... . . . . 58

S tr §. 1. W s tę p ... ... 1

— V I -

IT . B elk a o nieskończonej ilości przęseł.

Str.

§. 31. Ogólne u w a g i ... 61

§. 82. O bciążenie zupełne je d n o sta jn e ciąg łe ... .. 61

§. 38. M om enty podporowe dla obciążenia układem ciężarów skupionych. 63 §. 34. N ajw iększe m om enty dla obciążenia układem ciężarów skupionych 65 §. 35. N ajw iększe siły poprzeczne i o d d z ia ły w a n ia ... . . 66.

V. Y fykreślue w yznaczenie s i t zew nętrznych d la p rz e k ro ju sj^ałego. §. 36. P ierw szy -wielobok s z n u r o w j'... 67

§. 37. L in ia u g i ę c i a ... ... 68

§. 38. W ielobok u g i ę c i a ... ... . 70

§. 39. W yznaczenie m om entów podporow ych ... .... 72

§. 40. P orów nanie z belką poziom ą obu końcam i u tw ierd zo n ą . . . . 73

§. 41. P rzęsło n ie o b c ią ż o n e ... 75

ij. 42. D w a przęsła sąsiednie n ie o b cią żo n e... 76

§. 43. S iły poprzeczne, od d ziały w an ia i m om enty w przęsłach nieobcią- ż o n y c h ... . 77

§. 44. Przęsło o b c i ą ż o n e ... 78

§. 45. D w a sąsiednie przęsła o b c i ą ż o n e ... ... 79

§. 46. Dowolne obciążenie p rz ę s e ł... .... 80

§. 47. O bciążenie jednostajne z u p e ł n e ... 82

§. 48. Obciążenie jed n o stajn e c z ę ś c io w e ... 84

§. 49. Obciążenie jednym ciężarem s k u p i o n y m ... 84

§. 50. W yznaczenie w ykreślne linij w ptyw ow ych . ... 86

§. 51. W łasności linii w pływ ow ych i tablice do ich w ykreślenia . . . 88

§. 52, N ajniekorzystniejsze obciążenie dla sił poprzecznych i m om entów 93 §. 53. N ajw iększe siły z e w n ę t r z n e ... 93

TT. Obliczenie an ality czn e belki ciąg łe j o p rze k ro ju zmiennym. §. 54. B e lk a pochyło utw ierd zo n a ... 96

§. 55. W yznaczenie ilości p o m o c n i c z y c h ... ... .... 97

§. 56. W yznaczenie ilości 91' i 9 1 " ... 98

§. 67. M om enty podporowe belki c i ą g ł e j ... ... 99

§. 58. P u n k ty sta łe ... ... 99

§, 59. P r z y k ł a d ... 100

T l i . O bliczenie d o kładne belk i k rato w e j c ią g łe j o p rze k ro ju zmiennym. §. 60. D okładność rozm aitych sposobów o b lic z e n ia ...i 01 §. 61. Z asad a dokładnego o b l i c z e n i a ... 102

§. 62. P raw o p racy p r z y g o to w a n e j... 104

§. 63. P ra w o M a s w e l l a ... 106

§. 64. L in ia w pływ ow a ug ięcia . ...107

§. 65. L in ia w pływ ow a oddziaływ ania belki d w u p r z ę s ło w e j... 107

§. 66. L in ie w pływ ow e sił poprzecznych i m o m e n tó w ... 108

- v n -

Y III. W pływ podpór. g fcr

§ 67. Ogólne u w a g i ... ...109

§. 68. M om enty podporowe p rzy nierów no w ysokich podporach . . . 109

§. 69. W p ły w zm iany w ysokości jednej podpory ...110

§. 70. N ajkorzystniejsze wysokości podpór ... 111

Jj. 71. B elka dw u- i t r z y p r z ę s ł o w a ... 112

§. 72. P odw ójne ł o ż y s k a ...113

\ 73. W pływ p rzy tw ierd zen ia belek do f i l a r ó w ...114

B. Belki kratowe statycznie niewyznaczalne i natężenia drugorzędne. IX . B elk i k ra to w e staty czn ie niew yznaczalne. §. 74. P rę ty n a d lic z b o w e ... 116

§. 75. Obliczenie sił w ew n ętrzn y ch prętów n a d lic z b o w y c h ... 117

§. 76. Belka rów noległa o k racie z ło ż o n e j... 121

§. 77. B elka w ie lo b o c z n a ... 124

§. 78. B elka H ow e’a ...124

§. 79. B elka c i ą g ł a ... ...125

§. 80. W p ły w zm ian y c i e p ł o t y ...125

X . Zastosow anie p ra w a p rac y odkształcenia. §. 81. Pochodne p ra c y odkształcenia belki k r a t o w e j ... 125

§. 82, Pochodne pracy odkształcenia dźw igaru o przekroju pełnym . . 127

§. 83. P ra w o najm n iej szóści p racy o d k s z t a ł c e n i a ... . 131

§. 84. Z astosow anie tego p ra w a do belek sta ty c z n ie niew yznaczalnych 132 X I. N atężenia drugorzędne. §. 85. O kreślenie natężeń d r u g o r z ę d n y c h ... 13S §. 86. Z asad a obliczenia natężeń d ru g o rz ę d n y c h ...139

§. 87. Z m iana kątów w tr ó jk ą c ie ...139

§. 88. K ą t odchylenia osi p r ę tó w ...140

§. 89. R ów nanie m om entów w ę z ło w y c h ... ... 140

§. 90. W ykreślne w yznaczenie m om entów w ęzłow ych . ... 141

§. 91. W p ły w m im ośrodkow ego u tw ierd zen ia p r ę t ó w ... 145

§. 92. W pływ przekroju p r ę t ó w ... ... ...146

§. 93. W pływ obciążenia . ... 147

§. 94. W pływ u stro ju b e l k i ... 148

§. 95. P ołączenia p r z e g i b n e ... 149

D odatek. L i t e r a t u r a ...150

ś l il l* - ^ ' Ä ■ fïM J- S ö

g & g S rf , .

S l l l a l f c a s ^ i l - •..

» * ' « ’ / " * • ' ■ ? -; >®' V'UÔÆ: '" ' ' .’ * ’•

f e ' '^ ■■■::■ ■■■ , : .-: y :. .:-... V,-.,:....; — V :

1- , '■ ■■

■Ê •■ ... . - . . . - . ' .. .-■.

m - .

7r^ rr-'^é'.-ië ^ :-í

i ,'■ -■- - .: . ï - •.:.'- , » . , • . . ;: ■',-.'■•.■■• ■ '- . .- ■/ ' ■ ■. ..

r.

I L ' I ... : ... ■ - m

§. I. Wstęp.

W pierwszym tomie Podręcznika teoryi mostów podzieli­

liśmy teoryę belek prostych na siedm działów. Cztery pierw ­ sze działy stanow iły tom pierw szy, w niniejszym tom ie w yło­

żym y trz y ostatnie działy. Mówić będziem y mianowicie o belce ciągłej bezprzegubowej, o belkach kratow ych statycznie niewy- znaczalnych i o natężeniach drugorzędnych.

A . B e l k a c i ą g ł a b e z p r z e g n b o w a .

l. (3gólne analituezne n a z n a c z e nie sił wewnętrznąeh belki ciągłej c śH gnce nelttei i przekroju stałum.

§■ 2. Ogólne uwagi.

Mówiliśmy jo ż w tom ie I., że belkę prostą, spoczyw ającą na więcej, niż dwu podporach, nazyw am y b e l k a c i ą g ł a lub w i e l o p r z ę s ł o w ą (n.kontinuerlicher Träger, f. pouj-re.continue,Unw a. continuous beam). Mówiliśmy też, że oddziaływ ań podpór nie możemy tu w yznaczyć zapomocą praw ideł s ta ty k i, lecz ba­

damy odkształcenie belki . które zależne je s t od obciążenia i stąd otrzym ujem y rów nania , brakujące do w yznaczenia sił zew n ętrzny ch."

Pi’zy w yznaczeniu odkształcenia wchodzi jednak w ra- chubę przekrój, p rzed obliczeniem belki je szcze n ie z n a n y ; stąd pow staje bardzo wielka trudność. G dybyśm y chcieli w prow a­

dzić w rachunek przekrój niew iadomy jako funkcyą sił w e- wnęfcrznych, zadanie nie byłoby rozwiązałnem. D latego obli­

czamy belkę ciągłą n ą jprzód w przybliżeniu, przyjm ując prze­

krój stały. Na podstaw ie w ten sposób uzyskanych sił- ze­

w nętrznych obliczam y przekroje w poszczególnych p u n ktach ,, a w tedy d op iero, znając w przybliżeniu p rzekroje r możemy przystąpić do dokładnego obliczenia belki.

Podr. Teor mostów. II. , , j , ) jfct ^ .

W bieżącym rozdziale w yznaczym y więc siły zew nętrzne tylko dla przekroju stałego i to w sposób analityczny, odstę­

pując w ty m w ypadku w yjątkow o od równoczesnego używ a­

nia obu sposobów analitycznego i w y kreślonego, gdyż w tym w ypadku oba te sposoby znacznie się różnią.

W następnych rozdziałach uw zględnim y zmienność prze­

kroju. W rozdziale tym trzym ać się będziemy toku dowodzenia W i n k l e r a .

*■ §. 3. Belka pochyło utwierdzona.

W iadomo ze staty k i budowli*), że rów nanie r óżniczkowe linii u g ięcia, je s t:

... dhj M

dx2___________________________eI ’ ... ' jeżeli M oznacza m om ent statyczny sił zew n ętrzny ch , I mo­

m ent bezwładności p rzek ro ju , s spółczynnik sprężystości.

Jeżeli scałkujem y rów nanie 1), otrzym am y:

e 7 ^ = — ^ Mdx + C, więc

dla £ = 0 (rys. 1 .) E ls ta ^ s lt^ ^ —C, a dla

ry.s.J. ,■ x = l e/sfc ¡3=eIx2= — l ‘oMdx-\-G)

i ■.

|I jeżeli T1= s t a a -r2 = s t

&— j.

stąd £I(ri —'h) = ?0^d''c ■ • 2) Scałkowawszy jeszcze ra z , bę­

dziemy mieli s l y = — M dx2 Ą-CxĄ- .

W yraz — §§ M dx2 możemy częściowo scałkować i otrzy­

m am y e ly ——x[M dx + \ M xdx Ą-Cx + Oi .

Jeżeli teraz za ] AMrrYwstawimy w a rto ść , - będziemy mieli e ly == eIxÓJx + J Mxdx + ... 3) Dla x = 0 je st y = 0 = C i ,

dla x = l je s t s I s = s I h2-\-^oMxdx,

więc sl(s—fe3)==|* M x d y i...4)

*) p. Podręcznik S ta ty k i budow li U . w. s tr. ‘246 rów. 379.

N azw ijm y X ' m om ent w ypadkow ej w szystkich ciężarów

• ' • " « m ą ' Cff **t

(bez oddziaływ ania) na długości AC , ił/ m om ent wszystkich, sił ^ ^ ^ ‘4-.

zew nętrznych (z oddziaływ aniem ), po lewej stronie będących, ze względu na p u n kt C , siłę poprzeczną w A , a J i ' i ilf"

mom enty w punktach i i 5 n a p o d p o rach , które nazyw am y m o m e n t a m i p o d p o r o w y m i (Stutzenmoment, Normalmoment to M L~Q ‘a> M f= Q ‘ia + x ) Jr X ' = M1 + Q‘x + X ' . . . . 5)

Dla p u n k tu B będzie

W ‘= M ‘~-Q‘l ~ X “ ... 6) M “_M ‘ X “

Stąd otrzym am y Q‘—---a wstawiwszy to w ró- wnanie 5.) iii = ilf' -1--- ---x--- — [-X .

________ v v

Dla b e lk i, w dw u punktach podpartej, je st M ‘= M " — 0, / X ux

więc M —X — — = X , gdy X_ oznacza mom ent sił zew nętrz­

nych dla b elk i, w dwu punktach podpartej.

A > ' nr —x) + M“x v _s

A więc możemy napisać M = — ---- j --- [-X . . . 7) i ____

Podstaw iw szy tę w artość w rów naniu 2), otrzym am y

.. x )+ M " X j f« ,

£/(%—t 2) = \ — ---j— — -dx-\- \ Xdx,

T --- •) o v *' O

albo « ( u , 2e l fa —t 2) = (ilf' + ilf")l -|- 2$* Xdx.

Podstaw iw szy zaś w artość za ilf w równ. 4), otrzym am y

.. -..— Jo l Jo

a s t ą d ^ j , ^ . , 6ef(s—h2)= (M ‘+ 2 H " ) P + ^ ‘0Xxdx.

Rozwiązawszy te dwa rów nania ze względu na M ‘ i M “, będziem y mieli

M ‘r -=2l \ X Ś x —2l)dx + 2s l(2h i + h 2—3s) )

J\r,l2= 2 [l X{l— 3x)dx— 2el(lxi + 2 h2— 3s) [ * N azw ijm y i SR" m om enty na podporach belki poziomo utw ierdzonej o tej samej rozpiętości i ta k samo obciążonej, to tu s = 0 , a = /3 = 0 , więc = t 2= 0 , a zatem w edług równ. 8) będzie

j-u/zr- ( 9)iiZ‘i= 2 j ioX(32!—2l)dx |

2 ^ 2= 2 { ' Z ( Z - 3 ^ ... .... ‘ 9)

— 3 —

_ 4 —

Możemy więc napisać

M ‘= W + 2 e i1(2% i 4-t2)— 3s P ___“ M"=*WŁ“—2eI-I fa + 2j | ) —3s

J Ł

10)

Z t y c h d w ó c h r ó w n a ń m o ż e m y w y z n a c z y ć Tj i t2, m ia n o ­ w ic ie o tr z y m a m y

.Ł - + ć a ( 2M '+ M " - 8i') + r

1

T2 = _ ^ _ (M '+ 2 3 I " - g i " ) + r₁ jeżeli dla skrócenia nazw iem y

f c i i Ł ± S "

w‘=m‘+mu

u )

12)

§. 4. Belka poziomo utwierdzona.

Mnffi?TCTyYaft' i-SO?" dla belki poziomo utwierdzonej m o­

żemy dla danego obciążenia obliczyć według rów n ania 9). Z ba­

dam y tu kilka przypadków .

a) O b c i ą ż e n i e j e d n y m c i ę ż a r e m s k u p i o n y m . Tu

■ musim y rozdzielić całkę naznaczoną w równ. 9 ), bo X —f{%) zm ienia się, gdy E (rys. 2.) przekracza p u n k t C, a mianowicie

’¿¡Ć-~S£L__(a jł_j

f - - - , ? ---1-/1- J

dla 00 <;e je st X = “ ł—,

a dla e<Cx<l je st X = ^{P e , «} -PO®— e)*), a więc pierw szy w yraz całkować bę­

dziemy od 0 do I, a drugi od e do /.

Zatem będzie n a podstaw ie rów nania 9)

W P = 2 P [ ' -l~ { 3 x - - 2 l) c lx - 2 p \l (x— Ą{3x— 2l)dx.

•> O » *' (>,

Pierw szy w yraz je st m iędzy granicam i 0 i l rów ny zeru, drugi zaś upraszcza się bardzo i otrzym ujem y:

2R ‘P*=— Pe{l2 + e2— 2 el)= —Feet \

^Podobnie otrzym am y 3J?*72!=—Pe1ei , więc,

P e c j 21

l 2 13)

*) p. P odr. S ta ty k i budow li wyd, II. s tr. 20.

...- - Pf t } ... 13) Teraz możemy obliczyć w yrazy 5Ji' i 91" z rów nania 12), a mianowicie będzie

81' Pee, (21—c) PcjCl2— Cj2) 1 - ... ...1²

--- 14) ’ Pcej (1+e) P e (l2—e 2)

R ów nanie 13) otrzym aliśm y w inn y sposób w Podrę-

czniku S taty k i budowli*). — Tam też rozw ażaliśm y ^wypadek, V~i7i g d y belka je st ciężarem q

b) c a ł k o w i c i e o b c i ą ż o n a i otrzym aliśm y

xV(łl2:-:- ) ...15) a na podstaw ie rów nania 12)

W = y i" = — | q l 2 ... 16) c) C z ę ś c i o w e o b c i ą ż e n i e j e d n o s t a j n. e. 1

a) O b c i ą ż e n i e z l e w e j s t r o n y :

"W punkcie C działa na długości dx (rys. 3.) ciężar pdx.

Możemy uw ażać go jako ciężar skupiony, otrzym am y więc m o m e n t, w yw ołany ty m ciężarem , we- rys.3. dłuS 13)

i Mm, _ pdxxi(l— x i )5

tmBamm___ __

"I / - r ___

p j * _a zatem m om ent w A

|§ = = + SXx( l - X i ) ^ - =

J O v •) o

= — {xi l2—2ix1 '1+ x1 3)d x = —{9^ (6^ —8eZ+3e2), wreście

2

< ^ pjjl, = — 1 2 7 ^ ^ ”^" ^ “ł- 3 e j 2).

Podobnie otrzym am y 3)c/‘ = \ /W l"= r^ xf(l—x l)dx=

- j ź i0 — Ń = —i ^ + 3e\) • . . . . 17)

’‘I Podręcznik S ta ty k i budow li 2 w yd. str. 258. rów n. 427.).

**) » >, » „ „ „ 260. „ 441.).

- 6 — stąd

5 T = -

p e

~ ^ ( 2 l i +4:e1l+Gei 2+ le+ 3 e1e) = — ~ jy ( l+ e j)2 |

~ ^ (pe 2leĄ-6ee1 +Z2+ 2Ze + 3ej 2)== —- ^ (212—c'2)

18)

• n ' J L

§) O b c i ą ż e n i e z p r a w e j s t r o n y .

Dla obciążenia jednostajnego z praw ej strony p u n k tu C (rys. 4.) aż do praw ej podpory otrzy­

mamy m om enty podporowe, w staw iając w rów nanie 17) i>. zam iast e i na od-

"TC 11 m

r y s .4. ,/ w rót i 9)i" zam iast ¡¡Di'. A więc

m 2

Stąd otrzym am y dalej :

W' - LcL (2 1

12 2- ^ 2\ 5R"= —^P

i i 2( l 2— e 2) 2

19)

20)

9ł' i ści e

W i n k l e r podaje dla ułatw ienia następną tabliczkę dla.

91", obliczoną z rów nań 18) i 20) dla rozm aitych w arto-

!

o b c i ą ż e n i e o b c i ą ż e n i e e z lewej strony (rys. 3 ) z praw ej strony (rys. 4.)

91' 91" 91' 9ł"

0 0 0 0-25000 0-25000

0-1 0-00903 0-00497 0-24097 0-24503

0-2 0-03240 0-01960 0-21760 0-23040

0-3 0-06503 0-04298 0-18497 0-20703

0-4 0-10240 0-07360 0-14760 0-17640

0-5 0-14063 0-10938 0-10938 0-14063

0-6 0-17640 0-14760 0-07360 0-10240

0-7 0-20703 0-18497 0-04298 0-06503

0-8 0-23040 0-21760 0-01960 0-03240 ■*

0-9 0-24503 0-24097 0-00497 0-00908

1 0 0-25000 .. '0-25000 0 0

l p l2 p l2 p l2 p l2

*

Jeżeli belkę ciąg7ii7~(rys. f>.) oEcTazymy, t o u g n ie się w sku- tek tego. Na podporach styczno do linii ugięcia będą, ogólnie

b io rą c , nachylone do poziomu. Każde przęsło tej b elki uw ażać te d y możemy jak o belkę ukośnie utw ierdzoną i zasto­

so w a ć doń rów nanie 11). Przypuśćm y.

;v_/ ___ *__/___4 przytem , że podpory w szystkie są w ró ­ wnej w ysoiw ści, to s = 0 , więc dla m go przęsła b ędzie, jeśli Zni =~ st fir„ — st dm j

+ 2M m— W m), 71' W»* Zljr*! rfhtł

m m rvs.iy.tMi/

fO '7 Jp - ^ i I^^StaniinniTmnłwi

jeśli m om enty n a podporze A oznaczymy znaczkiem (m—1), a na podporze B znaczkiem m , zaś i l oznaczymy zna­

czkiem przęsła. D la (w + 1 ) go przęsła otrzym am y także z ró­

w nania 1 1 )

*»«='+ + M m+i— 9l<m+1),

jeśli e i I m ają te same wartości, co w poprzednim p rzęśle.—

Z porów nania ty ch rów nań otrzym am y

lm+1 (2M m -j- JŁTm+1—9Vm+1) = — + 2 H/m—-9c albo

ilm—11 ?;i i 23£m(l m ."ł~ 177! -}-1) 1 j-ll ??:-r i 7 J ;;i —1~ ''-i 7; - i: > l -- : 21) W ażne to rów nanie posłuży nam do w yznaczenia momen- t ów podporow ych (rys. 6.). *

y~t A I

O 1

M. h M,h

g | C- D-ł i : Tł-i

'T T T 7 S :

A

Zastosujm y rów nanie 21) do w szyst- ^ “- kich przęseł belki ciągłej i zważmy, żeJ. ł ¿ O o ^ --- u-u

n ilf„ = Mjn= 0 , jeśli belka jest w ty ch «„-/

■7t-i j , punktach wolno podpartą. M i a n o w i c i e .& Ź Z ln ‘ll,‘ podstaw m y w rów naniu 2 1)-

7H = 1 , 2, 3j. . . («—1 ), a o trzy m am y :

dISVm==l m-

•2 Mj (J, + /,) +

ii rj /o -4- ~2 31, (/<, -b ?ji) ~ł~ 3io ?g = 91 o + 9^3'i3

> n ⁼ n ^—2 M n— ^lń ^•

^{-r 2}

^4-Z«—

^{| + =}

, ■*

; v _ *¿«..10 “y^-i

t~ Ct+ff* ,

V/*. »1 -y, ucfi*v,>

fu."

•/ y o

i? M ł w s

/ ł-t). AJ T*l> -r*+*u

4 -A» W « »!-/

— 8 —

W idzim y więc, że ot rzym ujem y (»—1) rów nań, które w y ­ starczą nam do w yznaczenia (n — 1 ) momentów podporowycli.

R ów nania te nazyw am y r ó w n a n i a m i m o m e n t ó w p o d ­ p o r o w y eh. (n. Normahnomentgleichungcn). .

Jeżeli belka na pierw szej podporze je st poziomo utw ier- dzona, to M0 nie je s t = 0 . A by M a wyznaczyć, pomyślmy so­

b i e , że przed Zj je s t jeszcze jedno przęsło o długości ZQ= 0, _wtedy dwa p u n k ty podparcia tego przęsła wyznacz aj ą_ d w a p u n k ty linii ugięcia,, a zatem styczną poziomą. W idzim y więc, że potrzebujem y tylko zastosować równ. 21) także do przęsła zerowego, czyli w staw ić w artość m —0.

Otrzym am y więc

; & U ^ i ^ c z y l i ...23)

/ e3' - v . — mmmmm ■— , , i ^ ^ ^ ^

U trzym ujem y zatem jedno rów nanie więcej x wystarcza-

$ce c*° ^y zn aczen ia jeszcze jednej niewiadomej M0.

Tak samo. jeżeli belka je st poziomo utw ierdzona na n tej podporze, otrzym am y: M n^ l n+2M Jn= % ‘Jln) t ■n*

... • • • • • 24) 6,.Momenty, siły, poprzeczne i oddziaływania.

Niech przęsło A B (rys. 7.) belki ciągłej będzie dowolnie obciążone, wypadkowra w szystkich ciężarów n a długości A B

działających niech będzie U , a ri jej odstęp od B. — N azw ijm y dalej mo-

>. .,y, \p l ^ I j ą <x > \ m enty podporowe w A i B M ' i M ", J^siłę poprzeczną Q‘ przy podporze A , Q"

• ; i _____j p rzy podporze B , (obiedwie w ew nątrz f " r' przęsła), to otrzym am y z równ. 6)

r ; M"=^21‘-\-Q‘L—R ri , a

i s i , M " — M ' R r t . j;K.

. - ¿ - r - M " - M ' Itr | ,■ • ^

* * ^ <i = —I--- , I ' § r r ’-<'£

n ... i - Ł

i Chcąc w yznaczyć siłę poprzeczną Q w dowolnym punkcie

—.-A.,C, nazw ijm y P w ypadkow ą ciężarów, działających n a długości

a s jej odstęp od C, to 26)

. — L ^ — ...27)

6*~7* l<r> 2 « A'< ''f * 5 5^/

Z M 0 + L.

, ^ J n T y

X 'jhtf* ►» » er* Ł,

— 9 -

Nazwijm y dalej Om oddziaływ anie w punkcie B . to siła poprzeczna przy B (rys. 8.) w m tem przęśle je s t Qm", a w ( m + l) m przęśle

- A r n

U - /___— i a w iS° Qm+l' = <2m//+ 0m,

czyli 0m°— y + g W i • . 28) a stąd dla m= 0 O0 — Qi ‘, a dla ń i= n On= — (j)*".

■ iT^y.iiTOTiiiiiHiwiiiiif*! iltiftiirtniifB(uftitiTiwii>miB8iiuiiaji'ii if«*»»»-

§. 7. Obciążenie zupełne jednostajnie rozłożone,

Dla ciężaru stałego jednostajnie ciągłego g m am y w edług rów nania 16) 9 Z '= 9 i"= —-J-g l2, więc

s i i* = — i- ^ 12

% ' = — hgh*-

U staw m y teraz rów nania momentów podporow ych we­

dług 22), a otrzym am y*)

‘ 2 3 ^ (Z, + ^2) + M2l2 = —-\-gQi 3-K2 3)

™ . M * ?2 + 2$f2(l2+ l3)-\-M3l3= — ;J^r(?2 3 + Z33) Mn—iln - 1 + 2ilfn_l(Z„_l + Z„) = --- ^ (Z „ -i 3 + l„ 3)

. 29)*

D la w yznaczenia sił poprzecznych w staw m y w rów nanie 25) i 26) R = gl, r —ri = \-l, a otrzym am y ^ ^

V r = — ł s l — . . ^ 1 30) g x ... 31) Otrzymujemy więc rów nanie linii prostej dla zmiennej x i widzimy, że linie sił poprzecznych w każdem przęśle będą a4w. a. proste (rys. 9.). Jeżeli ciężar jednost-

rys.9. ko wy je st ten sam we wszystkich p rzę- : słach, to linie w e wszystkich przęsłach

będą ~ rów noległe. O ddziaływania w y­

znaczam y z rów nania 28).

M omenty otrzym am y z rów nań 27) M = M 'Ą - Q‘x — i gx'z, a wstawiwszy za Q‘ wartość z równ. .30)

*) porów. Podręcznik S ta ty k i budow li 2 w yd. str. 270.

. _ infzj ^

- 10 -

o4v

To rów nanie przedstawia parabolę o osi pionowej. — Je- żeli ciężar jednostkow y je st ten sam, to parabolo m ają ten sam

jparam etr (rys. 10.). Chcąc znaleść n a j­

większe 31, zróbmy a więc w edle rów nania 31) Q'— g x = 0. N a­

zwawszy x l odcinek dla najw M , mo- rv,s.lfl.

źem y napisać

L< l

(31‘— 31“) ____ (ii___

Tę w artość w staw m y w rów nanie 32), a otrzym am y

I ttiL

33)

34) Jeżeli 31‘= 31", to x t = i - l , a zatem najw 31 je st w środlru przęsła, w innym razie w ychyla się trochę ze środka.

J §. 8. Momenty podpor owe w przęsłach nieobciażonych.

■ Niechaj rte przęsło belki ciągłej będzię_ obciążone (rys. 1 1 .), a inne r v s ij przęsła n ieobciążone , w tedy otrzy- ji c .'?!'>/' o fi mamy następne rów nania momentów

podporowych

2 31 j { l i + h ) +3U = 0 M ih t - i)/.-,(?9 + h ) + 31.,U = 0

¿srA 7zr~7\—A

Ir-

+ Ir) + 31rlr — Skrlr /r -ł~ 231r(lr + lr+i ) -f 3 ir+ jjr+ 1 = " Ir

31n-?ln-. i + 2/V/„_i(/n_i +Zn)= 0 TT»« ^Z

-»»i t y

. 35)

Z pierwszego rów nania m am y:

31, ^{2 il/j}

U (h + h)~-

M 2+9 i ) '

L2 \ ' 2

a więc 312 i M x m ają przeciw ne znaki, a bez względu na znak J / 3> 21T1. Dalej otrzym am y

J V rs t uiem‘

nem i <C-J-, więc + a zatem bez względu na znak

l 3 U \

M21^2 + 27“J ; znów m a znak przeciw ny, niż i)/2. Ogól­

nie możemy napisać M m+O M , n ( ‘2 + r~—) ...• 36) _________ __V__ ‘»1+1/

A z a t e m m o m e n t y p o d p o r o w e p r z ę s e ł n i e o b - c i ą ż o n y c l i s ą n a p r z e m i a n d o d a t n i e i u j e m n e i k a - ż d y n a s t w Tę^Erifj , n i ż 2 r a z y , w i ę.ks z y o d p o p r z e d n i e g o .

N azw ijm y M 2 = — /¿2. 1/, a ili3 = — /i3 J f 2, to w tedy —

2 (7 j + 72 ) , 2 ( / 2 + Z,j T . t i j • i - t j

= — i-— —, zas (i3——- - — --- Jeżeli będziemy liczyli od ..: , ... h ... ..._______ h l1!

drugiego końca belki 77, to otrzymamy podobnie 0/, , 7 , ' 2 (/„_, + —

U/L + h - i) ^»-1

i = —i , Vn-2 = --- 7-. . . 3 0 i-n—1 _____________ ¿n-2

- 11 -

Ogólnie możemy napisać na podstaw ie rów nania 36) + ...38)

lm

Spółczynniki /t i ■>> zależne są tylko od ro zpiętości p rze­

sól i dla danej b elki dadzą się ła two obliczyć.

Dla używ anych stosunków - = 0 9 do 1*3 w aha się / ł i v

Zm+i _____

m iędzy g ranicam i 3'5 a 4-2. />—V Ł^=r^,

LU-C^O -*-V lX V .

§. 9. Siły poprzeczne, oddziaływania i momenty w pr zęsłach nieobciażonych.

Je ż eli przęsło je st nieobciążone, to i ? = 0 , więc dla m go przęsła otrzym am y z równ. 25)

31m ]\Ttn—l nm

<3m = ---... ... o9) Ponieważ t u M m i mają znaki przeciwne, więc (),„

będzie miało ten sam znak, co J/,„. a w ięc naprzemian b ędzie raz dodatniem , drugi raz ujemnem. W (jm+1) przęśle będzie

31m+1— M m Qm+i =

In + 1

Podzielmy to rów nanie przez równ. 39), otrzym am y

^•»<-{-1 m-f-1 m łm 1 “ł~ 4;0)

Qm Mm -^m-1 hn-f 1 1 1 ^m.+1

■&/3}co «V;

J y*4tx: 'to

fim i /{,„+! są dodatnie , więc cały w yraz je st ujem nym .

Poniew aż a 1 + — więc

P '

<3m+l> 2 J m _ ...41) __^m + i

Z tego w y n ik a , że s i ł y p o p r z e c z n e s ą n a p r z e - m i a n d o d a t n i e i u j e m n e i w z r a s t a j ą k u p r z ę s ł u o b c i ą ż o n e m u , je ż e li, ja k zwykle, 2 1m > Żm+1.

W edług równ. 28) je st 0 m= — Qm" + Qm+i ' ; ponieważ Q m ają znaki przeciw ne, więc z tego w ynika, że 0m będzie miało ten sam znak , co <9m+i'j a więc także będzie na-przem ian do­

datnie i u jemne. — Podobnie możemy napisać

O m + i = — Q m-f l." + Q m + 1'-

Podzieliwszy to drugie rów nanie przez p ie rw sze, otrzy-

Qm+ 2f l

„ Qm + i" + (?m+2/ Qm+1 / -r

mamy - ~ = ---= - ... - t --- , przyczem opuścili-

śmy znaczki, bo w przęśle nieobciążonem Q‘ = Q" — Q.

Licznik je st tu dodatni i większy, niż 1 + 2 ^ —, zaś mia-

¿m+2 now nik ujem ny i mniejszy, niż więc

lm+ 1

O 1 + 2 ,

Vm+ 1 . i»i+2

> --- Z & f ... . 42) Oni 1 ! 1

... ... ....im—

Z rów nania 42) widzimy, że J5 d d z i a ł y w a n i a s ą n a- p r z e m i a n d o d a t n i e - i u j e m n e i w z a s t a j ą k u p r z ę ­ s ł u o b c i ą ż o n e m u (jeżeli 4lni nie je st <Zm+2)?::‘M omenty obli­

czym y z rów nania 27), m ianowicie będzie M = M„,_i 4- ('¿«'a;.

W staw m y wartość za Qm, to otrzym am y

i -31m—1 i •

M = M m^ Ą --- x, czyli

JJ£ = Jim_ , ( l — f ... 43)

A ... '»'<-•

Ze względu na a; je st to rów nanie Igo stopnia, linia mo­

m entów będzie więc pro sta. W yniki te przedstaw iliśm y na ry ­ sunku 12.

— 13 —

r y s . 13.

Jeżeli w każdem przęśle są mo- 111 enty dodatn ie i u jemne , t o musi być w każdem przęśle punkt, w któ­

rym M =0. N azw ijm y am odnośne x (rys. 13.), to z rów nania 43) otrzy­

mamy a st,<3

H M *

czyli a„

44) An Stąd widzimy, że ponieważ fim zależy tylko od rozpięto­

ści , a nie zależy od o b ciążen ia, am pozostaje niezmiennem, którekolw iek przęsło z praw ej strony danego przęsła dowolnie je st obciążonem. Zawsze w tedy linia momentów przechodzi przez 1, więc I je st p u n k t e m s t a ł y c h (n. F ixpm kt, f. foyer, point fixe , a. inflexion point). Gdy je s t obciążone przęsło z le- wej strony danego p rz ę s ła ^ w tedy otrzym ujemy pun k t stały

K. możemy w tedy podobnie napisać r

bm = - A - ... 45)

1 + Vm

Momen t w lewym punkcie stałym ' je st niezależnym od obciążenia z praw ej strony, zaś m om ent w praw ym p unkcie stałym je st niezależny od obciążenia z lew ej strony.

Jeżeli belka je st na zerowej podporze poziomo u tw ier- dzona, w tedy la = 0,

/V ^2Ż, » .

»-— = 2 więc Al.

^ ******£• -łv'c

-i*A ya.1^ ir.'L, j-t-ś'¿i < «•

n J l \ J *i ‘ ^ 4. 1 ? * r / t r <r & ? £< cL / ? / r ^ f viX U V

*U.-

f ^ - r ł ł l t ^ S c . t ^ u f i J r <**}*£ J>'? ¿Vv-

*/•,» *i f-łł<?r ftr "i- for*^rm-*Of j h ■*>■** _ --- X4: --- * fl

i'

A r i + 2- i l i . . . 46)

T ak samo otrzymamy, jeśli belka jo st n a n tej p odporze poziomo u tw ierdzona,

l)n = | ...47) Jeżeli bolka ciągła je st n a obu skrajnych podporach pod- parta, to na tych podporach 31= 0 , więc a, = b n=Q . . . 48)

"Według rów nania 38) je s t ¿£>2, więc

_ hn . t _Im 7 _l,n , r..

^” l | ^ ^ j * • • • * • 49)

a zatem p u n k t y s t a ł e l e ż ą w s k r aj n y c h t r z e c i c h c z ę ś c i a c h p r z ę ś l a. W p rzęsłach sfe^lH ^ c ^ y 1 ^ r ^ g e ::/na skrajnych p odporach , a w razie utw ierdzenia poziomego tych przęseł _w jędnej trzeciej długości p rzęsła. K

(X) T-

§. 10. Momenty podporowe przęsła obciążonego.

Dla r'pr£ięsła obciążonego m am y w edług rów nania 35) Mr—llr—1 -1- 2 M r—i (lr- i + żr) + Mrlr = SRr‘lr

31,-—\ ?r+ 2 31 r(lr-\-lr+\ ) Ą - Zr+1= 9 ir"Zr

Przypuśćm y n a chwilę, że nie r-te przęsło je st obciążone, lecz inne na praw o leżące, to byłoby

31,-2 Ir-1 + 2 31 r—i (lr—\ 4 - 3f r lr — 0.

A ponieważ J f r= — /ir Mr- \ , więc

31r—2 Ir—1 + 2 31r—\ (Zr_j+Zr) — fir M r- i lr= 0 . . . • 51) To 'równanie przedstaw ia zw iązek m ięd zy 1 M r—i i 31,-2, który, ja k wiemy, je st niezależny od obciążenia r-tego przęsła, więc także praw dziw y, gdy r-te przęsło je st dowolnie obciążone.

Podobnie otrzym am y

-3Ą-+1 lr+ 1 + 2 Mr (^r+^r-t-l) Vr M r lr—0 . . . . 52) Te dwa rów nania dają w połączeniu z rów naniam i 50) n astęp ne: •

f l r 3 1 r - i + 3 I r = % ‘ \

vr 31r+ M r - i = W r " i ... ] Z tych dwu rów nań otrzym am y

f l r V r ~ 1 (

M n ^ ‘- ^ r ( ...o 4 )

' ¿1 : ^ ^ A'/Aa. j

■ L-e-ic* - k *

<.t *A•>! a i - a ,Z & ^ c i l A , ~ ld-».lQlS l \ ¿ l i / a - n n z ^ A-*~>'ye.

— 15 —

W iem y, że spółczynniki ¡u. i v są większe , niż 2 , więc m ianow niki rów nania 54) są dodatnie.

W edług rów nania 12) je st 9 V = 2 + 9ir "= 2 2 K r"+ 9 )V , więc łv9V—Sir" = 2 9Jf/ + vr 9)ir " — 2 90?r"—2Jt/=

= 2Kr' (2łV—l)-f2)V ' (^ r-2).

Poniew aż m om enty 2Ji' i 3)1" są zawsze ujem ne (według rów. 13), a 2 v r —1 i vr — 2 zawsze dodatnie, więc licznik jest ujem ny, a m ianow nik dodatni; a zatem M,—\ je st ujemnem.

To samo możAmy udowodnić dla M r. A zatem m o m e n t y p o d p o r o w e p r z ę s ł a o b c i ą ż o n e g o s ą z a w s z e u j e m n e .

§. H . Obciążenie najniekorzystniejsze dla sił poprzecznych, a) O b c i ą ż e n i e o d n o ś n e g o p r z ę s ł a .

Niechaj będzie tylko jedno przęsło A B (rys. 14.) belki ciągłej o b ciążon e, i^to niech działa ^ punkcie E siła P, to

siła poprzeczna Q w punkcie F będzie w edług 25) i 26}, gdy z > e > 0,

16 —

Q-

a gdy Z > e > a _Q-

l 1 l P ’

M " — M ‘ P il—e) 55)

l 1 l

Z rów nań powyższych widzimy, że linia wpływowa bę­

dzie funkcyą e wyższego stopnia, niż pierwszego (bo M ‘ i iii"

S£Ł / ( e))j a więc będzie to linia krzyw a. W iem y jednak, że dla e = 0 i e = l je st <2=0 i że różnica rzędnych w F w ynosi P =

= F “F '". Linie A ‘F “' i F " B ‘ będą się mało co różniły od pro­

stych , bo w yraz pierw szy je st stosunkowo m ały. Z k ształtu linii w pływowej widzimy, że dla najw Q m usi być obciążona długość F B ,_.a dla najmn Q długość AF, a więc ta k samo, ja k dla belki jednoprzęsłow ej. Tak samo musi też dla ciężarów skupionych jeden ciężar, zwy k le pierwszy, stać w F, najw ięk- sze i najgęstsze ciężary blisko F.

b) O b c i ą ż e n i e r e s z t y p r z ę s e ł .

Przypuśćm y teraz, że odnośne przęsło nie je st obciążone, w tedy Q = Q ‘. Z rys. 12. widzimy, że, aby to Q było dodatniem , musi być lewe sąsiednie przęsło obciążone , a praw e n ieobcią- żone , inne zaś przęsła naprzem ian , gdyżeśm y udowodn il i, że

r 1 5 . «iły poprzeczne są

n a j u*fi Ć/J"

llfiliŚ lg — ^ a i ii t i l| 9 ^sgli!;i!tiiillllilii

A doda-

najw if-Ą .)

¿’lii

w n a p rzemian

.tnie i ujem n e przęsłach nieobcią- żonych. Stosownie do tego będzie linia w pływ owa w innych przęsłach naprzem ian pod lub nad osią (rys. 14). A więc dla najw (4-0) i najw (— Q) w punkcie F przęsła CD musi być belka obciążona wedłu g ry s. 15).

§. 12. Największe siły poprzeczne.

W edług rów nania 25) i 26) m ożna obliczyć najw . siły po- r v s . i 6. przeczne w danym punk­

cie C (rys. 16.) dla obcią- żenia jednostajnego_cią­

głego. W iemy, że p rzy tem musi być długość BC ob­

ciążoną.

_ 1 7 —

to

Podstaw m y w tych. rów naniach

R = p (l x), r±= ^ { l x), P = 0, M"—M' p ( l - - x )2 n ajw ( +Q) :

X JL

rys .11.

D la n aj mniejszości sił poprzecznych musi być obciążona długość A C (rys. 17), więc

R = p x , r1= l — ^ , P= px.CO

"Wstawmy te wartości w ró­

w nania 25) i 26), a otrzym am y

V---- .!• - :

J3

n ajw ( - Q ) =M " — M '

i 2 i _

T i 57)

r y s . 18.

W edług rys. 15 widzimy, że obciążenia, w ywołujące najw ( + 0 i nojw(-Q), dopełniają się do obciążenia zupełnego, zatem

n a jw (—Q )=Q ,—n ajw (+ Q ,) ... 58) Linie najw iększych i n aj­

m niejszych sił poprzecznych, będą praw ie paraboliczne, w yraz pierw szy bowiem je st w praw dzie funkcyą * , ale je st zazwyczaj bardzo ■ma­

i l i łym (rys. 18).

§. 13. Bezwzględnie największe i najmniejsze siły poprzeczne.

O L .

Z rys. 18. i z poprzednich rów nań widzimy, że najw ięk­

sze siły poprzeczne są na podpora ch i to na lewych każdego p rzęsła dodatnie , na praw ych r y s . 19. ujem ne. W rys. 19. oznaczyli-

cm>tMkn śmy obciążenie dla najw (+Q ) w C. Bezwzględnie n ajwiększe ( + Q) je s t <ila x—- 0 , więc oba przęs ła , m iędzy którem i leży p u n k t A , muszą być w tedy obciążone. W rys. 20. oznaczyli­

śmy znów obciążenie dla najmn Q w C. Bezwzględnie n ajw iększe (— Q) je st dla x —l, S i t __

r y s .2 0 .

* ’ *■*->- --

więc oba przęsła, między k tó - rem i leży podpora B . musz;

59) być w tedy obciążone, reszta przęseł ma być n aprzem ian obcią­

żo n ą . Z równ. 56) i 57) otrzym am y

M " — M ‘ d la a:= 0 bezwzględnie najw (+<2) = --- j--- M " —M!

„ x = l „ n a jw {— Q )= ---^----

nP Poniew aż oddziaływ anie rów na się różnicy sił poprze­

czny ch po obu stronach podpory, a obie siły poprzeczne są najw iększe dla tego samego ob ciążen ia, więc oddziaływ anie będzie najw iększe także dla tego samego obciążenia, t. j. gdy oba przęsła sąsiednie są obciążone.

N ajm niejsze oddziaływ anie, pow stające z powodu ciężaru ruchom ego, j est u jemnem. Jeżeli oddziaływ anie dodatnie, w y­

w ołane ciężarem w ła s n y m , je s t większe od oddziaływ ania ujem nego z powodu ciężaru ruchomego, to oddziaływ anie dla ciężaru własnego i ruchomego je s t ostatecznie dodatnie, w p rze­

ciw nym razie ujemne.

"W ty m ostatnim w ypadku belka musi być przy tw ier­

dzoną do podpory, gdyż inaczej podniosłaby się w tem m iej­

scu , czego dopuścić nie możemy ze względów ustrój owych.

N ajw iększe' oddziaływ anie ujem ne p o w staje, gdy dwa sąsie- dnie przęsła są nieobciążone , a dalsze n a przemian obciążone i nieobciążone.

§. 14. Najniekorzystniejsze obciążenie dla momentów.

a) O b c i ą ż ę n i e p r z ę s ł a b a d a n e g o .

Niechaj w punkcie F r tego przęsła belki ciągłej działa r y s . 21 ^ siła P (rys. 21.), to wiemy,

%/J t że w edług równ. 13) będzie p ^{2 '} p eie

1 . g)2« _ i

— 18 —

r — * — -* i i t

<?--- a --- c-.---i Dalej w edług rów nań 54) mamy po opuszczeniu znaczka r

i ' — 91" 91'

M r_ x= - -— , M , . = ~ ---

f CP— 1 / i v — 1

— 19 —

Podstaw m y w ty ch równaniach, wartości z rów nań 44) i 45) fi = ——1 i v==^ —1) z rys. 21. c = l—a — b i w artości za iH' i 31“ z równ. 14), to otrzym am y

Pae e1

~ ~ d 2

M r - 1 = - (2 1 — 3 6 — e ) )

60)

N a podstaw ie równ. 60) dadzą, się linie wpływowe dia momentów; podporowych M r—i i M r w edług S o l i n a w n a ­ stęp ny sposób w ykreślić (rys. 22.). Zróbmy B R = l— 3 b = A B —

c IK

—3 B K , F L m om entow i dla belki w dwu

a A l

Jpg 6

punktach podpartej = ■--~ , D D ‘= F L i w ykreślm y D‘R, to

F P _ j _ e, _ j

Vr_t.

R D l cli

l -

/ r ^ /0 < * f p ° * - v < * A - y c - ź - y y J

i*--- T i"-- V*--- - -...

t - //. .J

■c a ^u ttu U i

Podobnie otrzym am y F F " —M r. W ten sam sposób mo- żęm y otrzym ać m om enty M r_\ i M r dla innego położenia siły P, _a połączyw szy końce rzędnych, przed staw iających m om enty, .otrzym am y linie c^ f ) l y w o w ^ ^ F ‘i? i A F " B . f Zróbm y teraz AA{=~FF‘, i B B ^ F F " , połączmy z B x i zróbmy L ‘C—F L , to i j GBj będzie przedstaw iać linię momentów w przęśle AB , je ż e li siła P działa w P . Poniew aż L ' leży zawsze niżej L ,

20

4

w ięc O będzie zawsze poniżej A B , a zatem momen t w p u n k - cie zaczepienia siły je s t zawsze do d atn i./ Z rysunku widzim y, że jeżeli siła P leży w F, w punktach. U i W je st m om ent

n k tó w o b o ję tn y c h . Z rysunku- w ynika , że A A t U c\iU F G , więc u : (e — u) =

(— gdy M ^—FC, zatem

u : e—(—M r- \ ) : {Mi —M,—i), więc M r-i e

rów ny zeru. Wyznaczmy, położenie tych

Z rysunku dalej w y n ik a : Pe el M X = C Ł ‘ - F L ‘ =

l Ą-'\Mr + ( Mr- 1 - M Ą ) .

M r i Mr-

-i są.

W rów naniu tem dajem y znak ( + ) , bo ujemne.

W staw iw szy w artość za M x w poprzednie rów nanie, otrzym am y po skróceniu

podobnie będzie w-

M r.

'M r- i — M r— Pe\

M r l 61)

Mr— M r- i — Pe

W staw m y te raz w artości z równ. 60) za J i r_i i Mr , t-o otrzym am y

a ( 2 l—3b — e)el u= _________ -35-________

cP + ( 2 a —b) el—(a+ b) e 2 b ( 21— 3 a — e , ) ei1

i

62) c P + (2 b — a) e±l — {a+ b)el

W przęsłach skrajnych je st w pierw szem a = 0 , w osta- tniem b =0, więc dla przęsła pierwszego u = 0, c = l—b,

b (2 l— el )ei l b(2 l —ex)exl b (l'2—e'l)l IV- cl2+ 2 b el l - b e i 2 P - b ( l2- 2 e i l+ e i 2) .P —be2

W ostatnim przęśle j est b = 0 ,'C = l—a, w = 0 , a {2 l— e)el ' a { P - e ^ ) l u-

' ( Z — a ) Z2 + 2 a e Z — a e2 Z3-

63)

ae* 64)

Z rysu n k u 22. widzimy w ięc, że, jeżeli siła P stoi w F , m om enty na długościach u i v: sa ujem ne, zaś na długości U W dod atn ie.

Zbadajm y najprzód, ja k wielkie może być u i w.

Z równ. 62) w ynika, że dla e—0 je st m=0, zaś dla e = l je st u —a.

— 21 - Podobnie dla ^ = 0 je st w = 0,

dla e^—l je st io=b.

A zatem widzimy, źe gdy u może być najwięcej = a, a najio w = b , a zatem n a długości I K m iędzy p u nk tam i sta­

ły m i mom ent jest zaw sze dodatni, zaś na długościach A l i K B może być m om ent ujem nym lub dodatnim . R ozróżniam y z tego powodu trzy części w każdem p rz ę ś le , część p ierwszą AIfJ~~m+

część drugą, średnią I K i trzecią K B . Rozum ie się, że w p rzę-gA*/«"«^**gto ále pierw szem część pierw sza j 4 / = 0 j a w przęśle ostatniem

K B 0.

A zatem możemy powiedzieć: W c z ę ś c i ś r e d n i e j p r z ę s ł a ^ b e l k i c i ąg j^ej k ażdy ciężar, g dziekolwiek n a tem przęśle działający, spraw ia m om ent dodatni, a więc d l a n a j - w i ę k sz e g o M m u s i b y ć t o c a ł e p r z ę s ł o o b c i ą ż o n e , d 1 a n a j m n i e j s z ó ś c i w c a l e n i e o b c i ą ż o n e.

D la p u n k tu Ü, leżącego w części pierwszej, je st m om ent rów ny zeru , jeżeli P stoi w punkcie F. Jeżeli siła P posunie się na lewo , m om ent w punkcie U je st dodatnim , jeżeli na prawo, ujem nym . A zatem d l a najio M w p u n k c i e ?7w c z ę ­ ś c i p i e r w s z e j p r z ę s ł a n r u s i _ b y j i to p r z ę s ł o o b c i ą­

ż o n e o d i a ż d o F, dla najmn M o d F d o B .

To samo da się zastosować do p u n k tu W, w trzeciej czę- ści przęsła. D l a najw M w p u n k c i e W¡' m u s i b y c o b c i ą ­ ż o n e p r z ę s ł o o d F do 13. d l a najmn M o d A d o F . A za­

t em b a d a n y p r z e k r ó j j e s t z a w s z e d l a n a j Ay i ę k s zo- ś c i o b c i ą ż o n y , a d l a n a j m n i e j s z ó ś c i n i e o b c i ą ż o n y .

b) O b c i ą ż e n i e r e s z t y p r z ę s e ł .

Z rys. 12. widzimy, że obciążenie przęsła CD spraw ia w części I i I I przęsła sąsiedniego na praw o mom enty ujem ne, a w części I I I dodatnie , dla przęsła sąsiedniego lewego zaś w części I dodatnie, w I I i I I I ujem ne.

A zatem dla części I dla naj większości musi być sąsie­

dnie praw e przęsło o bciążone, sąsiednie lewe nieobciążone, a reszta przęseł naprzem ian (rys. 23.). D la części średniej m u­

szą być sąsiednie oba przęsła nieobciążone, a inne naprzem ian, dla części I I I zaś musi być sąsiednie praw e przęsło nieobcią­

żone, a lewe obciążone, inne zaś naprzem ian.

Ogólnie więc możemy powiedzieć dla w szystkich trzech części: D o c z ę ś c i o b c i ą ż o n e j d a n e g o p r z ę s ł a p r z y -

_ 22 —

t y k a p r z ę s ł o n i 8 o b c i ą ż o n e , d o c z ę ś c i . n i e o b c i ą ż o - n e j o b c i ą ż o n e p r z ę s ł o. I n n e p r z ę s ł a m a j ą b y ć n a - j) r z e m i a n o b c i ą ż o n e .

"W rys. 23. w ykreśliliśm y schem at najn iekorzystniejszych, obciążeń ciężarem jednostajnie rozłożonym. Jeżeli mamy belkę

r y s . 23.

Tiajw.b uM

flD lllillK e z fć e J T

m —

f -p,— i

mmiiiiiiiiii i

, , .*• pEUSUMlilM "

c z ę s c J H Y~ <V---

1 ^

W M 22|__

M

+ 2 1

■ M

obciążać układem ciężarów skupionych, to ponieważ tu otrzy ­ m am y linie wpływowe k rzy w e, nie uzyskujem y ta k prostych praw id eł dla najniekorzystniejszego p o ło ż en ia, -jak dla belki jednoprzęsłow ej. L inia w pływ ow a będzie m iała je d n ak w da- nem przęśle także k ształt tró jk ąta , lecz o bokach krzywych, z wierzchołkiem w punkcie badanym t a k , że w przybliżeniu możemy zastosować dla najniekorzystniejszego obciążenia p ra­

w idła dla momentów belki w dwu pun k tach podpartej.

Co do obciążenia reszty przęseł kształt linij w pływ ow ych, ’ które otrzym am y później w y k re śln ie , da nam pew ne wska­

zówki co do ustaw ienia ciężarów skupionych w rozm aitych przęsłach. Zwrócić je d n a k musim y u w ag ę, że obciążenie tego rodzaju, ja k na rys. 23., je st w p raktyce nieprawdopodobnem , a przy mostach kolejowych w prost niemożliwem. P rzy mo­

stach drogowych, gdzie obciążenie takie je st możliwe, przypu­

szczamy p rzy obliczeniu rzeczywiście ciężar ruchom y podzie-

- 23 -

lony na kilka części, przy kolejowych m oźnaby albo p rzy p u ­ szczając jed en pociąg przyjąć na długości, któraby nie po­

w inna być obciążoną , wozy próżne ważące 9 t dla kolei nor­

m alnotorow ych i w ąskotorow ych z j azdą na podwoziach , zaś 6 ton dla kolei wąskotorowych bez jazd y na podwoziach, a z re ­ sztą parow ozy i wozy ła d o w n e, albo też przyjm ujem y tylko dane przęsło obciążone. Przyjm ow anie niemożliwych obciążeń dla obliczenia belki w ydaje nam się nieusprawiedliwionem .

R o z p o r z ą d z e n i e a u s t r . m i n i s t . k o l e j o w . z d. 1. w rz e ­ ś n ia 1 9 0 4 . §. 7. u s t. 18. P r z y d ź w ig a ra c h , sp o c z y w a ją c y c h n a w ięcej, n iż d w u p o d p o rac h , tu d z ie ż p r z y d ź w ig a ra c h łu k o w y c h n a le ż y p rz y ją ć k ilk a p o ciąg ó w w n a jn ie k o rz y s tn ie js z e m p o ło żen iu celem o b lic ze n ia n a jw ię k sz y c h m o ż liw y ch s ił z e w n ę trz n y c h .

§. 15. Wyznaczenie największych momentów dla obciążenia ciągłego.

a) Ś r e d n i a c z ę ś ć p r z ę s ła. D lan ajw iększych momen- .tów m usi być dane przęsło całe obciążone, dla najmniejszośei

zaś całe nieobciążone, reszta przęseł naprzem ian (rys. 23.). D la najw (—M) otrzym am y z równ. 25) i 27), gdy P = i i = 0,

najw

Jeżeli M '— M", to najw (—i t f ) = M ' ; ...66) jestto rów nanie linii poziomej.

Podobnie otrzym am y z równ. 25) i 27)

najw ( + M ) = 3łP—(M-—M ")y+-|-px

( l- x )

' , _ M ‘‘—M ' pe/ 1

rown. 25) otrzym am y więc Q '= — — .+ o \ .

t /i L

W edle równ. 27) M = M '+ Q ‘x, więc

• / Ars i r / M ' — M " , P C ! 2X e Q .

na,)w ( - M ) ^ P ---Y x + l 21l- ...68) D la najw (Ą-M) musi być przęsło A B obciążone od A do F. Tu je s t Q‘==— y ~e\ a M — M ‘ + Q‘x — fcpx3, więc

L A t

(M7—M")y + ^ ( 2 e l - e 2—lx) . . 69)

c) T r z e c i a c z ę ś ć b e l k i. Podobnie otrzym am y dla trzeciej części

najw (— ( M'— . . . . 70)

1 <■* i

najw ( + M)= j j p (W—311 " )* + P (1~ Xj ^ . . 71)

1 ^ 1

^ We w szystkich częściach przęsła jest

najir (+M)+najAv (—M )=5L , . . . 72) jeżeli M. oznacza m om ent dla obciążenia zupełnego.

Jeżeli w ykreślnie przedstaw im y linie najw iększych i n aj­

m niejszych momentów, to otrzym am y rysunek 24. Dla ujem ­

nych najw iększych momentów otrzym ujem y w średniej części każdego przęsła linie proste, dla dodatnich parabole.

§. 16. Wielkość ciężaru jednostajnego ciągłego.

W poprzednich paragrafach przypuszczaliśm y, że ciężar jednostkow y p je st w danem przęśle jednostajny. Dla mostów drogowych je s t ciężar ruchom y p dla w szystkich przęseł jedno­

stajny, jeśli liczym y na podstaw ie obciążenia tłum em ludzi.

Jeżeli rozpiętości są nierów ne, może się wszelako ciężar w ła­

sny g poszczególnych przęseł różnić. P rzy mostach kolejowych jednak, jeżeli rozpiętość przęseł je s t nierów na, przyjąć należy dla rozm aitych przęseł różne w artości nietylko dla ciężaru własnego g , ale też i dla ciężaru zastępczego p, jeżeli wogóle używ am y ciężaru zastępczego. Dla ciężaru zastępczego dla sił poprzecznych należy przyjm ow ać zm ienne p nie w edług dłu­

gości przęseł, lecz w edług długości obciążonej.