CAŁKI PIERWSZE RUCHU

[

81

]

82

K. Rudnicki

a

1 d(~)

*r 9t = ^ >

9i = Hi

(*i> *a> • • •> •

i- l óxi

Jak wiadomo (np. Z o n n i R u d n i c k i 1957) ogólne rozwiązanie takiego równania jest dowolną funkcją postaci:

QU» U...

gdzie /„ /,, . . /j.j s ą całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwykłych, tzw równań charakterystycznych:

dx i dx2 dxs

9.(*i> xv ■ ■ •> * s) ~ q2(x„ xv xs) q .(x v x v . . . , * ,) ' (31)

W naszym przypadku, jako funkcja Q występuje funkcja rozkładu f, a zmien­ nymi s ą r = (x,y,z), V = (u,v,w) oraz t. Rozpisane na współrzędne równanie podstawowe (26) przyjmuje postać omawianego typu, a mianowicie:

df df df df df dr sf er df dr

dt + dx dy dz du dx dv dy dw dz ' ®2)

Układ równań charakterystycznych (31) przyjmie w tym przypadku postać:

j _ dx dy dz —du —dv —dw

= Iw (33^

dx dy dz

W tych równaniach nie występuje w ogóle funkcja /, a współrzędne x, y, z,

u, v, w, t s ą współrzędnymi w przestrzeni fazowej ciała próbnego, „próbnej”

gwiazdy lub galaktyki układu poruszającej się w polu sił regularnych (bez uwzględnienia s il nieregularnych, których ujęcie jest niemożliwe przy ciągłej postaci funkcji / potrzebnej do wypisania równania podstawowego w postaci (26)). Wynika stąd ważne:

TWIERDZENIE JEANSA: Punkcja rozkładu

f

jest dowolną funkcją całek pierwszych ruchu poszczególnej gwiazdy (galaktyki) danego układu,.

Niestety, w ogólnym przypadku ani jednej całki pierwszej układu równań (31) nie potrafimy znale źć. Jedną całkę potrafimy natomiast znaleźć, gdy założymy stacjonamość układu, tj.:

dV

* - ° 1 * - « •

Znika wtedy pierwszy wyraz w równaniu (32) i pierwszy człon ciągu rów­ nań (31). Łącząc ze sobą człon drugi z piątym, trzeci z szóstym i czwarty

z siódmym, odpowiednio przekształcając i dodając stronami, mamy:

A A - W J -W J - W J

udu + vdv + wdw = -- dx+ -- ay +-- dz.

dx dy dz

co, biorąc pod uwagę obowiązującą niezależność potencjału od czasu, możemy za p isa ć:

1

-^<1 (u 2 + t>2 + tv1) = -dV ,

a stąd:

/ j = T + V7 = const. (34)

Je st to całka energii. Dla uniknięcia nieporozumień należy zaznaczyć, że oczywiście również w układzie niestacjonarnym istnieje całka energii w postaci (5) dotycząca wszystkich c iał układu. Wzdłuż trajektorii pojedyn­ czego ciała energia nie musi być jednak stała, ponieważ ogólny potencjał grawitacyjny może zmieniać wartość w czasie. Dopiero założenie stacjonar- ności gwarantuje występowanie całki energii w ruchu pojedynczego ciała,.

Dalsze całki pierwsze możemy znaleźć przy szczególnych założeniach dotyczących kształtu potencjału — np. przy założeniu potencjału Newtonow­ skiego znamy 6 całek ruchu keplerowskiego (przy czym okazuje się , że funkcja rozkładu { może zależeć tylko od 5 z nich). Takie rozwiązanie mogłoby być zastosowane do badania funkcji rozkładu i prędkości drobnych c ia ł Układu Słonecznego. Niestety, kształty potencjału, dla których potrafimy w elemen­ tarny sposób znaleźć przynajmniej dwie dalsze całki nie są interesujące, je śli idzie o dynamikę wewnętrzną realnych galaktyk i ^yomad galaktyk.

Najczęściej przyjmowane dla znalezienia dalszych całek jest założenie symetrii osiowej. Jeśli przyjmiemy, że oś symetrii pokrywa się z osią z, wtedy potencjał V może zależeć od zmiennych x i y tylko poprzez zmienną w (ó52 = x 2 + y 1). Stąd biorąc pod uwagę, że — = —, układ równań (31)

przy-dx co

81 K. R udnicki

dx dv dz -du -dv _ d w

u ~ v ~ w dY> x ~ dV y = dV ' d£> G <?G3Q óz

Ł ącząc pierwszy człon tych równości z drugim i czwarty z piątym, skra­ cając i dodając stronami, mamy:

xdv + vdx = ydu + udy,

skąd natychmiast otrzymujemy drugą całkę, tzw. całkę pól:

/ j = vx — uy = £50 = const.

gdzie 0 jest składową prędkości prostopadłą do z i lokalnie do £3. W przeci­ wieństwie do trzech całek pól w zagadnieniu n ciał, tutaj mamy tylko jedną, dotyczącą składowych ruchu i położeń w płaszczyźnie prostopadłej do osi

symetrii.

W całkę /, energii (34) wszystkie współrzędne prędkości wchodzą syme­ trycznie przez swoje kwadraty. Jeśli więc funkcja rozkładu je st postaci:

/(/»),

wtedy mamy sferyczny rozkład prędkości w całym układzie. Jest to rozkład podobny do Maxwelowskiego, a w szczególnym przypadku, jeśli:

— identyczny z nim. Taki rozkład nie jest zgodny z obserwowanym w naszej Galaktyce.

Je ś li funkcja rozkładu ma postać:

fU v h ),

wtedy w rozkładzie prędkości w każdym miejscu układu wyróżniony jest kie­ runek ogólnej rotacji prostopadły do z i do £>. Przyjmując odpowiednią szcze­ gólną postać f można uzyskać również wyróżniony rozkład prędkości liczony od średniej prędkości rotacji (rozkład prędkości swoistych) wyróżniony w tym kierunku. Natomiast rozkład składowych prędkości w obu kierunkach 5S i z musi być taki sam, ponieważ odpowiednie składowe wchodzą tu symetrycznie

tylko poprzez całkę en erg ii. Również i taki rozkład n ie j e s t zgodny z rozkła­ dem obserwowanym w n a s z e j G ala k ty c e . W n a j c z ę ś c i e j przyjmowanej wykład­ n ic z o — e lip s o id a ln e j aproksymacji rozkładu p rędkości sw oistych gwiazd rozkład j e s t trójosiow y, a j e ś l i c h c ie ć go z g rubsza aproksymować rozkładem dwuosiowym, wyróżniona j e s t oś tw orząca mały kąt z o sią £5. Wynika s t ą d , że w n a s z e j G alak ty ce, j e ś l i obowiązuje c a łk a / , , to b n k c j a rozkładu musi z a ­ le ż e ć przynajm niej od j e s z c z e jednej c a łk i pierwszej:

/(/„/„ /,)•

P o szu k iw an ie tej trz e c ie j całki ruchu stan o w i dość podstawowy problem w sp ó łc z e sn y c h prac z dziedziny dynamiki gw iazdowej. Główne prace w tej d z ie d z in ie poszły dwiema drogami. P i e r w s z ą j e s t te oria t z w . k w a s i c a ł e k , t j . w ie lk o ś c i, które wprawdzie nie s ą s t a ł e w ruchu próbnego ciała układu, a l e z m ie n ia ją s i ę bardzo wolno z c z a se m , s ą prawie s t a ł e wzdłuż każdej traje k to rii. Stąd funkcja rozkładu / z a le ż n a od kw asicałki będzie s p e łn ia ć równanie:

gdzie p j e s t w ie lk o ś c ią mało ró żn ą od z e r a . W przybliżeniu b ędzie więc s p e ł ­ nio n e rów nież równanie (26) lub (32). K w asicałka może w praktyce z a s tą p ić c a łk ę p ie rw s z ą . W teorii k w a s ic a łe k na ogół po d aje s i ę warunki, w których dana kw asicałka sp ełn ia ś c i s ł e podstawowe równanie (staje s i ę zw ykłą c a łk ą p ie r w s z ą ) .

I tak npi. dla szc z e g ó ln e j p o sta c i potencjału s p e łn ia ją c e j równanie:

(20 — s t a ł a o wymiaize długości), które nie p o s ia d a ja s n e j interpretacji fi­ z y c z n e j, K u ż m i n (1953) z n a la z ł c a łk ę tr z e c ią w p o sta c i:

1% = (55w - zTf)2 + z 2Q2 + z 2 (w2 - 2 V * ),

gdzie V * j e s t pewną funkcją potencjału m a ją c ą jego wymiar, a 17j e s t s k ł a ­ d o w ą prędkości w kierunku S3. N astęp n ie pokazał, że wielkość l K dla dowol­ nego układu stacjonarnego o symetrii osiow ej zmienia s i ę bardzo wolno z c z a

-86 K . R udni c ki

se m , a więc dla każdego takiego układu j e s t kw asicałk ą. Ponieważ w kwasi- całce K u ź m i n a prędkość równoległa do o si symetrii występuje również niesymetrycznie ze s t a ł ą zQ łatwo w idzieć, że możemy uzyskać p ostacie funk­ c ji f U i. l v różnych rozkładach prędkości w trzech kierunkach (w aproksy­ macji elipsoidalnej — elipsoidę trójosiową, a więc lepiej op isu jące sytu ację w n aszej Galaktyce niż / ( / „ O

-Znane s ą inne kwasicałki, których bezpieczny zakres stosowania je s t jednak znacznie mniejszy niż kwasicałki K u ź m i n a . Na przykład tzw . kwasi- całk a L i n d b 1 a d a (zwana przeważnie całk ą L i n d b 1 a d a):

l„ = z 2 - 2 V 2(z)

( ^ 2(z ) — funkcja o wymiarze potencjału) j e s t ś c i ś l e spełniona przy potencjałach:

V (a , z) = ? , 1(s5) + V z(z),

a więc w układach nieskończonych co do rozmiarów i masy. Pozwala ona rów­ nież na uzyskanie funkcji rozkładu / ( / „ / „ / 0) względnie zgodnych ze stanem istniejącym w n aszej Galaktyce.. J e s z c z e kilkadziesiąt la t temu wierzono, że można tę kwasicałkę stosować dla tworzenia funkcji / w pobliżu płaszczyzny równikowej n aszej Galaktyki. Do dziś bywa ona czasem stosowana dla wyzna­ czania s i ł grawitacyjnych prostopadłych do płaszczyzny galaktycznej z ob­ serwowanego rozkładu położeń gwiazd przy konstruowaniu modeli dynamicznych G a l a k t y k i ( O o r t 1965).

W pewnym se n sie w kierunku odwrotnym do teorii kwasicałek poszły prace C o n t o p o u l o s a i jego naśladowców. Mając mianowicie jak ąś całkę trzecią spełnioną dla szczególnej postaci potencjału, możemy traktować ją jako pierw­ s z y wyraz rozwinięcia na s z e r e g całki spełnionej ś c i ś l e dla ogólniejszej k la sy (w skrajnym przypadku dla w szystkich) potencjałów. W tej ogólniejsze] k la sie zam iast traktować posiadane rozwiązanie jako kw asicałkę, uzupełniamy j ą odpowiednio dobraną (odgadniętą) p ostacią szeregu tak, aby pozostała stale c a łk ą ś c i s ł ą . C o n t o p o u 1 o s (I960, porównaj też W i e r z b i ń s k i 1966) podał tego rodzaju całkę przedstawioną w postaci szeregu trudnego do interpretacji fi­ zyczn ej. Pierw sze wyrazy całki Contopoulosa s ą spełnione ś c i ś l e w przy­ padku dość skomplikowanych warunków formalnych. Mimo, że rachunki nume­ ryczne wskazują, iż wartość całki Contopoulosa obliczona z kilku pierwszych wyrazów szeregu pozostaje s ta ła z dokładnością do 1% w ruchu gwiazdy w ukła­ dzie typu n aszej Galaktyki w ciągu 5-10* lat, zagadnienie zbieżności uży­ tego szeregu pozostaje otwarte. Trzeba zauważyć, że j e s t to całka dość

nie-wygodna w zastosowaniach wskutek nieporęcznej postaci analitycznej. Korzy­ sta się z niej nie tyle do konstruowania funkcji rozkładu, co do numerycznego obliczania orbit gwiazd w Galaktyce.

Ostatnio G o u d a s (1968) postawił zarzut oparty na rachunkach nume­ rycznych dotyczących orbit periodycznych, że całka Contopoulosa jest za ­ leżna od hamiltonianu, a stąd i od całki /,. C o n t o p o u l o s i B a r b a n i s (1968) również za pomocą rachunków numerycznych wykazali, że całka Conto­ poulosa w przypadku orbit nieperiodycznych wykazuje niezależność od hamilto­ nianu. F akt, że teoretyczne problemy dotyczące całki Contopoulosa rozstrzy­ gane są w drodze rachunku numerycznego wskazuje na dużą niedogodność jej postaci.

Oprócz całki Contopoulosa istn ieją inne, podobnie wyrażalne przez szeregi nieskończone, jak np. całka Saafa (S a a f 1967). W zasadzie trzecią całkę typu Contopoulosa można by uzyskać z każdej kwasicałki odgadując dla niej dogodną postać dalszych wyrazów w rozwinięciu na szereg. Ciekawy byłby problem wzajemnej niezależności otrzymanych w ten sposób różnych całek.

Wiele prac dotyczących całek pierwszych w układach gwiazdowych i po­ staci funkcji / opiera się wyłącznie na równaniach (26) lub (32). W ukła­ dach samograwitujących, a z takimi mamy przeważnie do czynienia w prakty­ ce, musi być jeszcze spełnione równanie Poissona (27). Zagadnieniu zgodno­ śc i rozwiązań równania (26) z równaniem (27) poświęciło uwagę dwu dynami- ków, a mianowicie C a m m (1941) i F r i c k e (1952). Wykazali oni, że wszy­ stkie znane rozwiązania typu / ( / , , / , ) , a więc oparte na dwu tylko całkach pierwszych, a o których skądinąd wiadomo, że nie opisują warunków obserwo­ wanych w naszej Galaktyce, są sprzeczne z równaniem Poissona (27).

W roku 1961 I d l i s (1961 oraz I d l i s i G a j n u l i n a 1961) opublikował twierdzenie orzekające, że w samograwitujących układach stacjonarnych funk­ cja rozkładu zależy zawsze w istotny sposób od trzech i tylko trzech całek pierwszych ( R u d n i c k i 1962). Twierdzenie to nigdzie dotąd nie było wyko­ rzystane w praktyce, ani — o ile autorowi tego artykułu wiadomo — nie zna­ lazło innego oddźwięku w literaturze. Z prywatnych wypowiedzi niektórych dynamików gwiazdowych można wnioskować, że skomplikowany i finezyjny dowód twierdzenia Idlisa wydaje się zawierać przeskoki i twierdzenie może nie być prawdziwe (wymagać dodatkowych założeń). Sprawa warta jest wyjaśnie­ nia . Je śli bowiem twierdzenie Idlisa uznać za dowiedzione, należałoby je za­ liczyć do podstawowych twierdzeń dynamiki układów gwiazdowych.

W układzie stacjonarnym całka ruchu zależąca od prędkości i położenia początkowego ciała w układzie przy potencjale niezależnym od czasu jest funkcją tylko położenia w przestrzeni fazowej. Ze względu na założoną

ciąg-—

88 Rudnicki

łość (por. rozdz,. 4), każda całka ruchu przedstaw ia w 6-wymiarowej prze­ strzeni fazow ej 5-wymiarową hiperpow ierzchnię, na której w c ało śc i leży trajektoria c ia ła . Poniew aż dotyczy to każdej c a łk i ruchu, fazow a trajektoria c ia ła w układzie musi s ię znajdow ać na (6-p)-wymiarowej hiperpowierzchni będącej przecięciem się p hiperpowierzchni 5-wymiarowych odpowiadających p całkom ruchu, które rz ąd z ą ruchem c ia ł w u kła d zie . Jeśliby w szczególności funkcja rozkładu mogła być za le żn a od w szystkich p = 5 m ożliw ych całek ruchu, trajektorie m usiałyby leżeć na hiperpowierzchniach jednowymiarowych, a więc krzywych. Metodami topologicznym i m ożna dow ieść, że jedynymi trajek­ toriami tego typu w układach skończonych mogącymi istnie ć z niezerowym prawdopodobieństwem s ą trajektorie periodyczne. Dowodzi s ię te ż, że w przy­ padku m niejszej lic zb y obow iązujących c a łe k , skończone prawdopodobieństwo otrzymuje się tylko d la trajektorii pokrywających w szędzie gęsto daną hiper­ pow ierzchnię (ó-p)-wymiarową. Znaczy to, że trajektorie każdych dwu c ia ł układu p osiadające te same wartości c ałek ruchu bez względu na waranki początkow e, po odpowiednio długim ale skończonym okresie czasu staną się (przy zerowym prawdopodobieństwie wypadku przeciwnego) dowolnie sobie b lisk ie , co oczyw iście nie znaczy , że same c ia ła będą sie znajdow ać wtedy dowolnie blisko siebie na trajektoriach. Znaczy to ró w n ież, że z wyjątkiem przypadku, gdy funkcja / je st za le żn a od 5 c ałe k , prawdopodobieństwo w ystą­ p ie n ia w układzie trajektorii periodycznej równa się zeru.

O pierając s ię na tych w łaściw ościach i o blic za jąc numerycznie trajek­ torie c ia ł przy założonym k szta łcie potencjału, można zauw ażyć jakiego wy­ miaru hiperpowierzchnie one w ypełniają i stąd sąd zić o obow iązującej liczbie całek pierwszych. D la przyjmowanych modeli naszej G alaktyki s ą to ogólnie hiperpowierzchnie 3-wymiarowe, co byłoby zgodne z twierdzeniem Id lis a . Trzeba tu jednak zauw ażyć, że bierzemy pod uwagę potencjały w zięte z mo­ d e li, które mogą s ię różnić jakościow o od realnego potencjału Galaktyki. Ponadto, ja k dotąd, sprawa s tacjonarności naszej G alaktyki pozostaje otwarta.

Podstawowe równanie dynam iki może być oczyw iście rozw iązyw ane w inny sposób n iż metoda równań charakterystycznych. C h a n d r a s e k h a r (1939, 1940, 1943) ro zw in ął metodę narzu cającą pewne warunki na ogólną postać funkcji /, przy której równanie (32) rozpada s ię na układ 20 stosunkow o pro­ stych równań o pochodnych cząstkow ych. C h a n d ra s e kh a r otrzymał stąd w iele klas szczególnych rozw iązań stosujących się zarówno do przypadków stacjonarnych ja k i do niestacjonarnych. Z w ła szc za m ożliw ość u zy skiw ania ro zw iązań niestacjonarnych wydawała s ię dobrym rokowaniem dla tej metody. N iestety, żadne z otrzymanych tą drogą rozw iązań nie sprostało testowi po­ rów nania z n a sz ą G alaktyką.

Otrzymana w jakikolwiek sposób funkcja rozkładu f nie musi opisywać wszystkich c i a ł układu, lecz może s i ę odnosić tylko do jednej ich klasy. Na przykład sytu acja w n aszej Galaktyce może być opisana układem funkcji

fi> fi> fs > gdzie s odpowiada liczbie podsystemów gwiazd w Galaktyce. W tej sytu acji zamiast w postaci (27) równanie P oissona trzeba napisać ogól­

niej, a mianowicie:

i - ‘ 1_{-O U}

Wyrażenie ogólnego rozkładu przez rozkłady cząstkowe fi można też trakto­ wać jako czynność ś c iś le formalną, aby z uzyskanych prostych rozkładów tworzyć rozkłady bardziej skomplikowane, bliższe rzeczy w istości. Pewne wa­ runki takiego składania funkcji f podał C h a n d r a s e k h a r (1940, 1943). T ą drogą s z ły też własne usiłowania autora tego artykułu ( R u d n i c k i 1955), które nie przyniosły zadowalających rezultatów.

W dokumencie Postępy Astronomii nr 1/1970 (Stron 83-91)