Definicja
Łukiem zwykłym skierowanym nazywamy taki łuk zwykły, któremu nadano kierunek, tzn. wyróżniono początek i koniec.
Parametryzacja łuku jest zgodna z jego kierunkiem, jeżeli wraz ze wzrostem wartości parametru t poruszamy się po łuku od jego początku do jego końca.
Krzywa Jordana jest skierowana dodatnio ⇔ gdy poruszając się zgodnie z jej kierunkiem, mamy wnętrze obszaru ograniczonego tą krzywą po lewej stronie.
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Definicja
Łukiem zwykłym skierowanym nazywamy taki łuk zwykły, któremu nadano kierunek, tzn. wyróżniono początek i koniec.
Parametryzacja łuku jest zgodna z jego kierunkiem, jeżeli wraz ze wzrostem wartości parametru t poruszamy się po łuku od jego początku do jego końca.
Krzywa Jordana jest skierowana dodatnio ⇔ gdy poruszając się zgodnie z jej kierunkiem, mamy wnętrze obszaru ograniczonego tą krzywą po lewej stronie.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej8 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Definicja
Niech f (z) będzie ciągłą funkcją zespoloną zmiennej zespolonej, a>
AB będzie łukiem zwykłym o parametryzacji zgodnej z jego kierunkiem.
Całkę funkcji f (z) po łuku>
Obliczyć całki funkcji zespolonych: a)
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Definicja
Niech f (z) będzie ciągłą funkcją zespoloną zmiennej zespolonej, a>
AB będzie łukiem zwykłym o parametryzacji zgodnej z jego kierunkiem.
Całkę funkcji f (z) po łuku>
Obliczyć całki funkcji zespolonych:
a)
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej9 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Definicja
Niech f (z) będzie ciągłą funkcją zespoloną zmiennej zespolonej, a>
AB będzie łukiem zwykłym o parametryzacji zgodnej z jego kierunkiem.
Całkę funkcji f (z) po łuku>
ABokreślamy wzorem:
Z
>AB
f (z) dz = Z β
α
f (z(t))z0(t) dt
Przykład
Obliczyć całki funkcji zespolonych:
a) Z
>AB
Re z · Im z dz, gdzie>
AB – odcinek o początku 0 i końcu 1 + 2j ;
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Przykład – c.d.
c) I
K (z0;R)
dz
z − z0, gdzie K (z0; R) – okrąg o środku z0 i promieniu R, skierowany dodatnio.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej10 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (związek całki funkcji zespolonej z całką krzywoliniową skierowaną funkcji rzeczywistej)
Niech f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ). Wówczas Z
>AB
f (z) dz istnieje ⇔ istnieją całki krzywoliniowe skierowane
Z
Funkcją pierwotnąfunkcji f (z) na obszarze D ⊂ C nazywamy każdą taką funkcję F (z), że F0(z) = f (z) dla dowolnego z ∈ D.
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (związek całki funkcji zespolonej z całką krzywoliniową skierowaną funkcji rzeczywistej)
Niech f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ). Wówczas Z
>AB
f (z) dz istnieje ⇔ istnieją całki krzywoliniowe skierowane
Z
Funkcją pierwotnąfunkcji f (z) na obszarze D ⊂ C nazywamy każdą taką funkcję F (z), że F0(z) = f (z) dla dowolnego z ∈ D.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej11 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (związek całki funkcji zespolonej z całką krzywoliniową skierowaną funkcji rzeczywistej)
Niech f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ). Wówczas Z
>AB
f (z) dz istnieje ⇔ istnieją całki krzywoliniowe skierowane
Z
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f (z) jest ciągła na obszarze D ⊂ C i ma na nim funkcję pierwotną F (z), to dla dowolnego łuku zwykłego>
AB
(całka nie zależy od drogi całkowania).
Przykład
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej12 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f (z) jest ciągła na obszarze D ⊂ C i ma na nim funkcję pierwotną F (z), to dla dowolnego łuku zwykłego>
AB Z
>AB
f (z) dz = Z B
A
f (z) dz = F (B) − F (A)
(całka nie zależy od drogi całkowania).
Przykład
Z 3j
zez2dz = 1 2
hez2i3j
j = 1 2
e−9− e−1
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (całkowe Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze, to
I
z2+ 1 = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów z1= −j oraz z2= j ;
b) I
C
dz
sin z = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów zk = kπ, k ∈ Z.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej13 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (całkowe Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze, to
I
C
f (z) dz = 0
Przykład a)
I
C
dz
z2+ 1 = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów z1= −j oraz z2= j ;
b) I
C
dz
sin z = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów zk = kπ, k ∈ Z.
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (całkowe Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze, to
I
z2+ 1 = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów z1= −j oraz z2= j ;
b) I
C
dz
sin z = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów zk = kπ, k ∈ Z.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej13 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Wnioski
1 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, to Z
>AB
f (z) dz dla>
AB ⊂ D nie zależy od kształtu łuku, a jedynie od jego początku A i końca B.
2 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z1, z2, ..., zn, a C jest kawałkami gładką,
skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą wszystkie te punkty, to
I
gdzie Ck są skierowanymi dodatnio okręgami o środkach zk, rozłącznymi ze sobą i z krzywą C .
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Wnioski
1 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, to Z
>AB
f (z) dz dla>
AB ⊂ D nie zależy od kształtu łuku, a jedynie od jego początku A i końca B.
2 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z1, z2, ..., zn, a C jest kawałkami gładką,
skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą wszystkie te punkty, to
I
gdzie Ck są skierowanymi dodatnio okręgami o środkach zk, rozłącznymi ze sobą i z krzywą C .
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej14 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (wzór całkowy Cauchy’ego)
Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z0, to
f (z0) = 1
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Twierdzenie (wzór całkowy Cauchy’ego)
Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z0, to
f (z0) = 1
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej15 / 16
Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Przykład Obliczyć
I
C
dz
z2+ 1, jeżeli C jest okręgiem o środku z0 = 0 i promieniu R = 2.
Twierdzenie (wzór całkowy Cauchy’ego)
Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z0, to
f (z0) = 1 2πj
I
C
f (z) z − z0 dz Przykład
Twierdzenie (uogólnienie wzoru całkowego Cauchy’ego)
Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z0, to
f(n)(z0) = n!
2πj I
C
f (z) (z − z0)n+1 dz
Przykład Obliczyć
I
K (1;1)
zez (z − 1)3dz.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej16 / 16
Twierdzenie (uogólnienie wzoru całkowego Cauchy’ego)
Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z0, to
f(n)(z0) = n!
2πj I
C
f (z) (z − z0)n+1 dz Przykład
Obliczyć I
K (1;1)
zez (z − 1)3dz.