Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

(1)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej.

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

(2)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcję z(t) określoną dla t ∈ (α; β) ⊂ R (przedział (α; β) może być domknięty) o wartościach zespolonych.

Uwaga

Możemy zapisać

z(t) = x (t) + jy (t), gdzie x (t) = Re z(t), y (t) = Im z(t)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej2 / 16

(3)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcję z(t) określoną dla t ∈ (α; β) ⊂ R (przedział (α; β) może być domknięty) o wartościach zespolonych.

Uwaga

Możemy zapisać

z(t) = x (t) + jy (t), gdzie x (t) = Re z(t), y (t) = Im z(t)

(4)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Definicja

Pochodną funkcji z(t) w punkcie t₀ określamy następująco:

z⁰(t₀) = lim

∆t→0

z(t₀+ ∆t) − z(t₀)

∆t

Uwaga Ponieważ

z(t0+ ∆t) − z(t0) = (x (t0+ ∆t) − x (t0)) + j (y (t0+ ∆t) − y (t0)), więc z⁰(t₀) = lim

∆t→0

x (t₀+ ∆t) − x (t₀)

∆t + j lim

∆t→0

y (t₀+ ∆t) − y (t₀)

∆t =

= x⁰(t₀) + jy⁰(t₀)

tzn. że istnienie z⁰(t₀) jest równoważne istnieniu x⁰(t₀) i y⁰(t₀).

(5)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Definicja

Pochodną funkcji z(t) w punkcie t₀ określamy następująco:

z⁰(t₀) = lim

∆t→0

z(t₀+ ∆t) − z(t₀)

∆t Uwaga

Ponieważ

z(t0+ ∆t) − z(t0) = (x (t0+ ∆t) − x (t0)) + j (y (t0+ ∆t) − y (t0)), więc z⁰(t₀) = lim

∆t→0

x (t₀+ ∆t) − x (t₀)

∆t + j lim

∆t→0

y (t₀+ ∆t) − y (t₀)

∆t =

= x⁰(t₀) + jy⁰(t₀)

(6)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Przykład

Niech z(t) = z₀+ Re^jt. W dowolnym punkcie t ∈ [0; 2π):

z⁰(t) = −R sin t + jR cos t = jR(cos t + j sin t) = jRe^jt

Definicja

Całkę oznaczoną funkcji zespolonej z(t) zmiennej rzeczywistejna przedziale (α; β) określamy następująco:

Z β α

z(t) dt = Z β

α

x (t) dt + j Z β

α

y (t) dt

(7)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Przykład

Niech z(t) = z₀+ Re^jt. W dowolnym punkcie t ∈ [0; 2π):

z⁰(t) = −R sin t + jR cos t = jR(cos t + j sin t) = jRe^jt Definicja

Całkę oznaczoną funkcji zespolonej z(t) zmiennej rzeczywistejna przedziale (α; β) określamy następująco:

Z _β

α

z(t) dt = Z _β

α

x (t) dt + j Z _β

α

y (t) dt

(8)

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Przykład

Z π 0

(z0+ Re^jt) dt = Z π

0

(x0+ R cos t) + j (y0+ R sin t) dt =

= [x0t + R sin t]^π₀ + j [y0t − R cos t]^π₀ =

= x₀π + j (y₀π + 2R) = πz₀+ 2jR

(9)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Uwaga

Linię na płaszczyźnie zespolonej można przedstawić za pomocą funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej z(t), t ∈ (α; β). Otrzymujemy w ten sposób przedstawienie parametryczne linii, t jest parametrem.

Ważniejsze przedstawienia parametryczne

1 prosta przechodząca przez punkt z₀ i mająca kierunek a ∈ C \ {0}: z(t) = z₀+ at, t ∈ R

2 odcinek o końcach z1, z2:

z(t) = z1+ (z2− z₁)t, t ∈ [0; 1]

3 okrąg o środku z0 i promieniu R:

z(t) = z0+ Re^jt, t ∈ [0; 2π)

4 elipsa o środku z₀ i półosiach o długościach a i b, równoległych do osi układu współrzędnych:

z(t) = z0+ a cos t + jb sin t, t ∈ [0; 2π)

(10)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Uwaga

1 prosta przechodząca przez punkt z0 i mająca kierunek a ∈ C \ {0}: z(t) = z0+ at, t ∈ R

z(t) = z1+ (z2− z₁)t, t ∈ [0; 1]

3 okrąg o środku z₀ i promieniu R:

z(t) = z₀+ Re^jt, t ∈ [0; 2π)

(11)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Uwaga

1 prosta przechodząca przez punkt z0 i mająca kierunek a ∈ C \ {0}:

z(t) = z0+ at, t ∈ R

z(t) = z1+ (z2− z₁)t, t ∈ [0; 1]

z(t) = z₀+ Re^jt, t ∈ [0; 2π)

(12)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Uwaga

z(t) = z0+ at, t ∈ R

z(t) = z1+ (z2− z₁)t, t ∈ [0; 1]

z(t) = z₀+ Re^jt, t ∈ [0; 2π)

(13)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Uwaga

z(t) = z0+ at, t ∈ R

z(t) = z1+ (z2− z₁)t, t ∈ [0; 1]

z(t) = z₀+ Re^jt, t ∈ [0; 2π)

(14)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Uwaga

z(t) = z0+ at, t ∈ R

z(t) = z1+ (z2− z₁)t, t ∈ [0; 1]

z(t) = z₀+ Re^jt, t ∈ [0; 2π)

(15)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Założenie

W dalszym ciągu będziemy zakładać, że linia na płaszczyźnie zespolonej jest dana za pomocą przedstawienia parametrycznego z = z(t), t ∈ (α; β).

Definicja

Łukiem zwykłym nazywamy linię, która nie przecina się sama z sobą, tzn. dla dowolnych t1, t2 mamy z(t1) 6= z(t2), być może z wyjątkiem punktów końcowych, którymi są A = z(α) i B = z(β).

Łukiem gładkimnazywamy taki łuk zwykły, dla którego funkcja z(t) ma ciągłą pochodną, różną od 0 w każdym punkcie tego łuku.

Łukiem kawałkami gładkim nazywamy taki łuk zwykły, który można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.

Krzywą Jordana nazywamy łuk zwykły zamknięty tzn. taki, że jego końce się pokrywają.

(16)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Założenie

Definicja

Łukiem zwykłym nazywamy linię, która nie przecina się sama z sobą, tzn.

dla dowolnych t1, t2 mamy z(t1) 6= z(t2), być może z wyjątkiem punktów końcowych, którymi są A = z(α) i B = z(β).

(17)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Założenie

Definicja

(18)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Założenie

Definicja

(19)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Założenie

Definicja

(20)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Łukiem zwykłym skierowanym nazywamy taki łuk zwykły, któremu nadano kierunek, tzn. wyróżniono początek i koniec.

Parametryzacja łuku jest zgodna z jego kierunkiem, jeżeli wraz ze wzrostem wartości parametru t poruszamy się po łuku od jego początku do jego końca.

Krzywa Jordana jest skierowana dodatnio ⇔ gdy poruszając się zgodnie z jej kierunkiem, mamy wnętrze obszaru ograniczonego tą krzywą po lewej stronie.

(21)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

(22)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

(23)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Niech f (z) będzie ciągłą funkcją zespoloną zmiennej zespolonej, a>

AB będzie łukiem zwykłym o parametryzacji zgodnej z jego kierunkiem.

Całkę funkcji f (z) po łuku>

ABokreślamy wzorem:

Z

>AB

f (z) dz = Z β

α

f (z(t))z⁰(t) dt

Przykład

Obliczyć całki funkcji zespolonych: a)

Z

>AB

Re z · Im z dz, gdzie>

AB – odcinek o początku 0 i końcu 1 + 2j ;

b) Z

>AB

ze^{Im z}dz, gdzie>

AB – odcinek o początku 2 + j i końcu j ;

(24)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Z

>AB

f (z) dz = Z β

α

f (z(t))z⁰(t) dt

Przykład

Obliczyć całki funkcji zespolonych:

a) Z

>AB

b) Z

>AB

ze^{Im z}dz, gdzie>

AB – odcinek o początku 2 + j i końcu j ;

(25)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja

Z

>AB

f (z) dz = Z β

α

f (z(t))z⁰(t) dt

Przykład

Obliczyć całki funkcji zespolonych:

a) Z

>AB

(26)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład – c.d.

c) I

K (z0;R)

dz

z − z₀, gdzie K (z₀; R) – okrąg o środku z₀ i promieniu R, skierowany dodatnio.

(27)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie (związek całki funkcji zespolonej z całką krzywoliniową skierowaną funkcji rzeczywistej)

Niech f (z) = u(x , y ) + jv (x , y ). Wówczas Z

>AB

f (z) dz istnieje ⇔ istnieją całki krzywoliniowe skierowane

Z

>AB

(u(x , y ) dx − v (x , y ) dy ) oraz Z

>AB

(v (x , y ) dx + u(x , y ) dy ),

przy czym

Z

>AB

f (z) dz = Z

>AB

(u(x , y ) dx − v (x , y ) dy ) + j Z

>AB

(v (x , y ) dx + u(x , y ) dy )

Definicja

Funkcją pierwotnąfunkcji f (z) na obszarze D ⊂ C nazywamy każdą taką funkcję F (z), że F⁰(z) = f (z) dla dowolnego z ∈ D.

(28)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

>AB

Z

>AB

(v (x , y ) dx + u(x , y ) dy ), przy czym

Z

>AB

f (z) dz = Z

>AB

(u(x , y ) dx − v (x , y ) dy ) + j Z

>AB

(v (x , y ) dx + u(x , y ) dy )

Definicja

Funkcją pierwotnąfunkcji f (z) na obszarze D ⊂ C nazywamy każdą taką funkcję F (z), że F⁰(z) = f (z) dla dowolnego z ∈ D.

(29)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

>AB

Z

>AB

(v (x , y ) dx + u(x , y ) dy ), przy czym

Z

>AB

f (z) dz = Z

>AB

(u(x , y ) dx − v (x , y ) dy ) + j Z

>AB

(v (x , y ) dx + u(x , y ) dy )

Definicja

(30)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f (z) jest ciągła na obszarze D ⊂ C i ma na nim funkcję pierwotną F (z), to dla dowolnego łuku zwykłego>

AB Z

>AB

f (z) dz = Z B

A

f (z) dz = F (B) − F (A)

(całka nie zależy od drogi całkowania).

Przykład

Z 3j

j

ze^z²dz = 1 2

he^z²ⁱ^3j

j = 1 2

e⁻⁹− e⁻¹

(31)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f (z) jest ciągła na obszarze D ⊂ C i ma na nim funkcję pierwotną F (z), to dla dowolnego łuku zwykłego>

AB Z

>AB

f (z) dz = Z B

A

f (z) dz = F (B) − F (A)

(całka nie zależy od drogi całkowania).

Przykład

Z 3j

ze^z²dz = 1 2

he^z²ⁱ^3j

j = 1 2

e⁻⁹− e⁻¹

(32)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Twierdzenie (całkowe Cauchy’ego)

Jeżeli funkcja f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze, to

I

C

f (z) dz = 0

Przykład a)

I

C

dz

z²+ 1 = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów z1= −j oraz z2= j ;

b) I

C

dz

sin z = 0 po każdej kawałkami gładkiej krzywej Jordana, która nie otacza punktów z_k = kπ, k ∈ Z.

(33)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

I

C

f (z) dz = 0

Przykład a)

I

C

dz

b) I

C

dz

(34)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

I

C

f (z) dz = 0

Przykład a)

I

C

dz

b) I

C

dz

(35)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wnioski

1 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, to Z

>AB

f (z) dz dla>

AB ⊂ D nie zależy od kształtu łuku, a jedynie od jego początku A i końca B.

2 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z1, z2, ..., zn, a C jest kawałkami gładką,

skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą wszystkie te punkty, to

I

C

f (z) dz =

n

X

k=1

I

Ck

f (z) dz

gdzie C_k są skierowanymi dodatnio okręgami o środkach z_k, rozłącznymi ze sobą i z krzywą C .

(36)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Wnioski

1 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, to Z

>AB

f (z) dz dla>

AB ⊂ D nie zależy od kształtu łuku, a jedynie od jego początku A i końca B.

2 Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z1, z2, ..., zn, a C jest kawałkami gładką,

skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą wszystkie te punkty, to

I

C

f (z) dz =

n

X

k=1

I

Ck

f (z) dz

gdzie C_k są skierowanymi dodatnio okręgami o środkach z_k, rozłącznymi ze sobą i z krzywą C .

(37)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład Obliczyć

I

C

dz

z²+ 1, jeżeli C jest okręgiem o środku z0 = 0 i promieniu R = 2.

Twierdzenie (wzór całkowy Cauchy’ego)

Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z0, to

f (z0) = 1 2πj

I

C

f (z) z − z₀ dz Przykład

Obliczyć I

K (−j ;1)

sin z z²+ 1dz.

(38)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład Obliczyć

I

C

dz

f (z₀) = 1 2πj

I

C

f (z) z − z₀ dz

Przykład Obliczyć

I

K (−j ;1)

sin z z²+ 1dz.

(39)

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Przykład Obliczyć

I

C

dz

f (z₀) = 1 2πj

I

C

f (z) z − z₀ dz Przykład

(40)

Twierdzenie (uogólnienie wzoru całkowego Cauchy’ego)

Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z₀, to

f⁽ⁿ⁾(z0) = n!

2πj I

C

f (z) (z − z₀)ⁿ⁺¹ dz

Przykład Obliczyć

I

K (1;1)

ze^z (z − 1)³dz.

(41)

Twierdzenie (uogólnienie wzoru całkowego Cauchy’ego)

Jeżeli f (z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką, skierowaną dodatnio krzywą Jordana leżącą w obszarze D i otaczającą pewien punkt z₀, to

f⁽ⁿ⁾(z0) = n!

2πj I

C

f (z) (z − z₀)ⁿ⁺¹ dz Przykład

Obliczyć I

K (1;1)

ze^z (z − 1)³dz.