Charakterystyka procedur obliczeniowych wykorzystanych do przetwarzania

wykorzystanych do przetwarzania sygnałów EA od

WNZ

Przekształcenie rejestrowanych sygnałów z dziedziny czasowej na częstotliwościową umożliwia zaobserwowanie dodatkowych jego własności. Analiza w dziedzinie częstotliwości rozszerza wiedzę dotyczącą sygnału o szerokość pasm występujących w sygnale składowych harmonicznych. Sygnały ciągłe w dziedzinie czasu poprzez stosowanie transformaty Fouriera (ang. Fourier Transform - FT) są ciągłe w dziedzinie częstotliwości (wzór 8.1) [6, 240, 250, 251, 252, 253]:

𝑋(𝑗𝜔) = ∫_−∞^+∞𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ≡ 𝑋(𝑗𝜔) = 𝐹𝑇[𝑥(𝑡)], ^(8.1)

gdzie: 𝑋(𝑗𝜔) – transformata Fouriera, x(t) – sygnał określony w dziedzinie czasu, 𝜔 - pulsacja, 𝑡 - czas.

W związku z powyższym, gdy sygnał ciągły w czasie przekształcony jest w postać dyskretną również wynik przekształcenia przy wykorzystaniu transformaty Fouriera przyjmuje postać dyskretną. Do tego typu przekształcenia zastosowano dyskretną transformatę Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform - DFT) (wzór 8.2) [6, 56, 57, 240, 254].

𝑋 (^𝑛𝑓𝑝

𝑁 ) = ∑𝑁−1𝑥(𝑘𝑇_𝑝) exp (−^{𝑗2𝜋𝑛𝑘}_𝑁 )

𝑘=0 , ^(8.2)

gdzie: 𝑛 – indeks kolejnej próbki sygnału, czyli czas dyskretny, 𝑓_𝑝 - częstotliwość próbkowania, 𝑇_𝑝 - czas próbkowania, 𝑘 - indeks kolejnego prążka widma, czyli dyskretna częstotliwość, 𝑁 – całkowita liczba próbek zbioru, jaki stanowi sygnał.

Jako deskryptor charakteryzujący zarejestrowane sygnały EA w dziedzinie częstotliwości zastosowano widmo gęstości mocy (ang. Power Spectrum Density - PSD), którego wartość można wyznaczyć obliczając kwadrat modułu z transformaty Fouriera (wzór 8.3) [240, 255].

𝑆(𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|2, (8.3)

gdzie: 𝑆(𝑗𝜔) – zespolona moc sygnału EA, 𝑋(𝑗𝜔) - zespolona transformata Fouriera.

W niniejszej dysertacji autor zastosował do przekształcenia sygnałów EA widmo gęstości mocy (PSD). Przekształcenie PSD szeregu próbek stochastycznych umożliwia wyznaczenie widma gęstości mocy sygnału, przy pomocy DFT i technik okienkowania, które eliminują nieciągłości na granicach przedziału.

Do badań symulacyjnych wykorzystano sygnał, który otrzymano z estymacji parametrów równania modelu matematycznego zaproponowanego w publikacji [226], o parametrach, których wartości zostały wyznaczone według procedur opisanych w rozdz. 6. Opis matematyczny sygnału uzyskano na podstawie przeprowadzonych badań laboratoryjnych poprzez zastosowanie modelu opisanego wzorem 6.3, którego parametry estymowano zgodnie ze wzorcem, co umożliwiło jego implementację w części symulacyjnej przeprowadzonej na potrzeby dysertacji. Na rys. 8.17 i 8.18 przedstaiono widma gęstości mocy zarówno sygnałów pochodzących bezpośrednio z badań laboratoryjnych, jak również sygnałów powstałych poprzez estymację parametrów modelu matematycznego, zgodnie ze wzorem 6.3 [226]. Parametrem umożliwiającym określenie poziomu korelacji uzyskanych widm gęstości mocy sygnałów był współczynnik determinacji, który wyznaczano zgodnie ze wzorem 8.4.

R(i, j) = ^{C(i, j)} √C(i, i) ∙ C(j, j)^,

(8.4)

gdzie: C(i, j) - kowariancja wzajemna, C(i, i), C(j, j) – autokowariancja.

Opisana w rozdz. 6.3 aplikacja umożliwia estymację parametrów modelu matematycznego, dla którego wzorcem jest sygnał pochodzący z badań laboratoryjnych. Zaprezentowane na rys. 8.17c i 8.18c widma amplitudowe obu sygnałów mają zbliżony charakter przebiegów potwierdzony wysoką wartością współczynnika korelacji. Wyniki analizy częstotliwościowej zaprezentowano w rozdz. 8.6.2 i załącznikach 1 oraz 3.

Do analizy sygnałów EA w dziedzinie czasowo-częstotliwościowej zastosowano krótkoczasową transformatą Fouriera (ang. Short Time Fourier Transform - STFT). Analiza częstotliwościowa nie uwzględnia wszystkich właściwości analizowanego sygnału. Jedną z kluczowych możliwość jest określanie czy rozpatrywane sygnały EA generowane przez WNZ występują w czasie obu półokresów napięcia zasilania, czy tylko w jednym. Przekształcenie czasowo-częstotliwościowe umożliwia uzyskanie tego typu informacji poprzez analizę widmową wybranych fragmentów czasowych sygnału. Regulacja szerokości okna czasowego powoduje zmianę rozdzielczości przekształcenia w dziedzinie czasu. Zależność ta wynika z maksymalnej, granicznej dokładności, która zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, mówiąca o tym, że zmiana długości okna przetwarzania sygnału nie wpływa na zmianę jego powierzchni, umożliwia lokalizację czasowo-częstotliwościową. Stosując szerokie czasowe okno analizujące ℎ(𝑡) uzyskuje się większą rozdzielczość w dziedzinie częstotliwości. Natomiast wąskie okno czasowe powoduje większą rozdzielczość w dziedzinie czasu. Ograniczenie to uniemożliwia uzyskanie wysokiej rozdzielczości w dziedzinie czasu i częstotliwości jednocześnie [187, 55, 171, 256]. Ciągła postać krótkoczasowej transformaty Fouriera 𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑡, 𝑓), można przedstawić za pomocą wzoru 8.5 [55].

𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑡, 𝑓) = ∫_−∞^+∞𝑥(𝑡) ∙ ℎ∗(𝑡 − 𝜏) ∙ 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡, ^(8.5) gdzie: 𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑡, 𝑓) - krótkoczasowa transformata Fouriera, ℎ(𝑡) - funkcja okna analizującego, 𝜏 - przesunięcie czasowe w obszarze okna analizującego, 𝑥(𝑡) - analizowany sygnał, 𝑓 - częstotliwość, ∗ - sprzężenie funkcji zespolonej.

Efektem realizacji przekształcenia opisanego wzorem 8.13 jest zamiana przestrzeni jednowymiarowej (czasowej) na dwuwymiarową (czasowo-częstotliwościową). Rezultaty krótkoczasowej transformaty Fouriera, ze względu na parametr charakterystyczny jakim jest funkcja okna analizującego ℎ(𝑡), są zależne od szerokości okna czasowego. Jego właściwy dobór jest kluczowy w przypadku sygnałów o dużej dynamice zmian w czasie, jakimi są sygnały EA generowane przez WNZ. Szybkozmienność sygnału EA determinuje zastosowanie okna czasowego Hamminga [6, 55], które opisuje równanie 8.6.

W praktyce wykorzystywane są również inne typy okien, jak np.: Hanninga, Blackmana, Kaisera-Bessela, prostokątne, trójkątne. Natomiast bazując na publikacjach [7, 257] do analizy w ramach niniejszej pracy wybrano okno Hamminga.

Wykorzystując przekształcenie czasowo-częstotliwościowego, bazujące na możliwościach analizy STFT, dla zarejestrowanych sygnałów EA wyznaczono spektrogramy. Funkcję spektrogramu realizuje się poprzez obliczenie kwadratu z modułu funkcji STFT. Wzór opisujący tę zależność w postaci ciągłej przedstawia zależność 8.7 [171, 258].

𝑆𝑃𝐸𝐶𝑇𝑅𝑂𝐺𝑅𝐴𝑀(𝑡, 𝑓) = |𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑡, 𝑓)|2 = | ∫ 𝑥(𝑡) ∙ ℎ∗(𝑡 − 𝜏) ∙ 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

+∞

−∞

|

2 (8.7)

gdzie: 𝑆𝑃𝐸𝐶𝑇𝑅𝑂𝐺𝑅𝐴𝑀(𝑡, 𝑓) – spektrogram wyznaczony z funkcji STFT, 𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑡, 𝑓) - krótkoczasowa transformata Fouriera, ℎ(𝑡) - funkcja okna analizującego, 𝜏 – przesunięcie czasowe w obszarze okna analizującego, 𝑥(𝑡) - analizowany sygnał, 𝑓 – częstotliwość, ∗ - sprzężenie funkcji zespolonej.

Na podstawie wyznaczonych spektrogramów (wzór 8.7) istnieje możliwość obserwacji zmian widmowej gęstości mocy sygnału w funkcji czasu. Ułatwia to interpretację wyników uzyskiwanych w dziedzinie czasowo-częstotliwościowej, głównie dzięki możliwości wizualizacji w postaci obrazów rozkładu gęstości mocy sygnału. W niniejszej dysertacji przedstawiono wyniki analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów EA w formie spektrogramów. Reprezentacja funkcji w formie dyskretnej przedstawiona została wzorem 8.8 [55, 171, 258]. 𝑆𝑃𝐸𝐶𝑇𝑅𝑂𝐺𝑅𝐴𝑀(𝑛, 𝑘) = |𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑛, 𝑘)|2= || ∑ ℎ(𝑖) ∙ 𝑥(𝑛 + 𝑖)𝑒^{−𝑗2∙𝜋∙𝑖∙𝑘}𝑁 𝑁 2 𝑖=−^𝑁₂₊₁ || 2 = |∑ 𝑥_𝑛(𝑖) ∙ 𝐻_𝑁𝑖∙𝑘 𝑁−1 𝑖=1 | 2 (8.8)

gdzie: 𝑆𝑇𝐹𝑇(𝑛, 𝑘) – dyskretna postać krótkoczasowego przekształcenia Fouriera, 𝑛 – dyskretna postać czasu, 𝑘 – dyskretna wartość częstotliwości, 𝑁 – długość sekwencji

danych związana z częstotliwością, 𝑥_𝑛(𝑖) – fragment sygnału 𝑥(𝑛) wyznaczony z przebiegu przez okno ℎ(𝑖), 𝐻_𝑁 = 𝑒−𝑗(2∙𝜋/𝑁).