Odmienną metodą sterowania dużymi silnikami prądu stałego jest sterowanie PWM. Tego typu ste-rowanie polega na naprzemiennym włączaniu na określony czas τ napięcia z określoną częstotliwością
fPWM. W przypadku silników prądu stałego w ten sposób reguluje się napięcie twornika ut. W dalszych
α = τ
fPWM
(6.1) a jego wartości zawierają się w przedziale α ∈ [0, 1].
Wartość średnia napięcia twornika utjest proporcjonalna do współczynnika wypełnienia α:
¯ ut= 1 fPWM Z τ 0 UtNdt = τ UtN fPWM = αUtN (6.2)
i zależy liniowo od wartości współczynnika wypełnienia α. Analiza pracy silnika prądu stałego przy
ste-rowaniu PWM jest utrudniona ponieważ ciągłe zmiany napięcia twornika utpowodują ciągłe zmiany w
zachowaniu się samego silnika. Nie można tutaj mówić o tzw. stanie ustalonym pracy silnika. Jeśli
często-tliwość fPWMz jaką jest zmieniane napięcie twornika ut jest dostatecznie duża można analizować pracę
silnika w oparciu o tak zwany quasi-stan ustalony. Jako równania modelu silnika można zastosować (2.21),
(2.22) z tą różnicą że zamiast chwilowych wartości prądu twornika it, prędkości obrotowej ω, napięcia
twornika ut - przyjmuje się wartości średnie tych zmiennych. Sterowanie PWM jest szeroko omawianie
w literaturze, zob. np. (Szklarski et al., 1996, s. 275-296), (Bisztyga, 1989, s. 246-264). Oprócz zalet tego typu sterowania pojawiają się też nowe problemy, np. zjawisko prądów przerywanych. Sterowanie PWM jest jednak na dzisiaj najbardziej popularnym sposobem sterowania silnikami prądu stałego.
Przykład 6.2. Dany jest silnik prądu stałego opisany w punkcie 2.4.1.1 na stronie 23. Regulator LQR ma za zadanie stabilizacje prędkości obrotowej silnika na zadanym poziomie ωZ = 100 rad/s. Silnik opisany jest równaniami (2.21) i(2.22). Macierze wagowe W i R mają następujące wartości:
W = »1 0
0 10 – R = ˆ1˜
Układ sterowanie tego silnika jest układem typu PWM. Regulator LQR generuje poprawkę napięcia sterowania
0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 120 czas [s] ω [rad/s] 0 2 4 6 8 10 12 0.2 0.4 0.6 0.8 1 czas [s] α
Rysunek 6.2: Przykład 6.2: Działanie regulatora LQR. Wykres górny - prędkość obrotowa silnika ω(t)
(linia ciągła), wykres dolny - współczynnik wypełnienia napięcia sterującego ut(t)
∆ut(t) w taki sposób żeby stabilizować prędkość obrotową silnika ω(t) na zdanym poziomie. Układem sterowania PWM sterujemy poprzez zadanie współczynnika wypełnienia α, którego wartość zawiera się w przedziale [0 1]. Z tego powodu napięcie sterujące ut(t) z układu regulacji musi zostać przeskalowane do wartości z przedziału [0 1] współczynnika wypełnienia α.
Na wykresach 6.2 przedstawiono przebiegi prędkości obrotowej silnika ω(t) i sygnału sterowania α. Podczas symulacji zmieniał się moment obciążania MZ(t) silnika. Jak można zauważyć regulator LQR działa prawidłowo i pomimo zakłóceń w postaci zmiennego momentu obciążenia MZ(t) stabilizuje prędkość obrotową silnika na zadanym poziomie ωZ= 100 rad/s.
Dobór parametrów w macierzy wag W ma istotny wpływ na jakość sterowania. Na wykresach 6.3 przed-stawiono przebieg prędkości obrotowej silnika ω(t) i sygnału sterowania α układu w którym macierz W ma wartości: W = »10 0 0 10 – 0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 120 czas [s] ω [rad/s] 0 2 4 6 8 10 12 0.2 0.4 0.6 0.8 1 czas [s] α
Rysunek 6.3: Przykład 6.2: Działanie regulatora LQR. Wykres górny - prędkość obrotowa silnika ω(t)
(linia ciągła), wykres dolny - współczynnik wypełnienia napięcia sterującego ut(t)
Jak można zauważyć na wykresie 6.3 w tym przypadku jakość stabilizacji uległa pogorszeniu. Regulator LQR “stara się” stabilizować prąd twornika it(t) i prędkość obrotową silnika ω(t). W trakcie symulacji zmieniany był moment obciążenia MZ(t) co powodowało zmiany prądu twornika it(t). W efekcie regulator LQR starał się równocześnie nadążać za zmianami prądu twornika it(t) i stabilizować prędkość obrotową ω(t).
Regulator LQR jest typowym regulatorem stabilizującym system w zadanym punkcie pracy. Wyko-rzystując jednak komputer do sterowania można przy pomocy regulatora LQR realizować sterowania nadążne. W takim przypadku komputer musi dla zadanych wartości wielkości za którą chcemy nadążać wyliczać na bieżąco punkt pracy. Na rysunku 5.11 przedstawiono schemat takiego układu regulacji.
Przykład 6.3. Dany jest silnik prądu stałego opisany w punkcie 2.4.1.1 na stronie 23. Zadanie polega na nadążaniu prędkości obrotowej ω(t) silnika za wartością zadaną ωZAD(t) która jest sygnałem sinusoidalnym:
ωZAD(t) = 100 + 20 sin(1.5t) rad/s
Silnik opisany jest równaniami (2.21) i (2.22). Macierze wagowe W i R mają następujące wartości:
W = »1 0
0 20 – R = ˆ1˜
Wykresy 6.4 przedstawiają rzeczywiste przebiegi prędkości obrotowej ω(t) silnika oraz (wykres drugi) przebieg współczynnika wypełnienia α którym był sterowany układ realizujący sterowanie PWM. Wykresy 6.5 przedsta-wiają rzeczywiste przebiegi prędkości obrotowej ω(t) silnika nieobciążonego momentem zewnętrznym MZ. Można
0 2 4 6 8 10 12 −50 0 50 100 Czas [s] ω (t) [rad/s] ω(t) ωzad 0 2 4 6 8 10 12 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Czas [s] α
Rysunek 6.4: Przykład 6.3: Działanie regulatora LQR. Wykres górny - prędkość obrotowa silnika ω(t)
(linia ciągła), wykres dolny - współczynnik wypełnienia napięcia sterującego ut(t)
zauważyć że dla nieobciążonego silnika jakoś regulacji się pogarsza. Nieobciążony silnik może zmniejszyć swoją prędkość obrotową ω(t) “korzystając” tylko z sił tarcia. Ponieważ moment obrotowy silnika jest dużo większy od momentu pochodzącego od sił tarcia dlatego zmniejszanie prędkości obrotowej ω(t) przebiega wolniej niż dla silnika obciążonego zewnętrznym momentem MZ. Drugi wykres na rysunku 6.5 przedstawia współczynnik wypeł-nienia napięcia ut(t). Można zauważyć że w pewnym momencie wartości sterowania generowane przez regulator LQR zostały ograniczone przez dolne ograniczenie wartości sygnału sterowania.
Na wykresach dołączonych zamieszczonych w przykładach 6.2 i 6.3 można zauważyć że przez pierwsze
2 sekundy regulatory nie działają. Skokowa zmiana napięcia twornika ut(t) silnika powoduje bardzo duży
wzrost prądu twornika it(t) co może doprowadzić do zniszczenia silnika. Układ sterowania powinien być
“bezpieczny” dla silnika i nie powinien doprowadzić do jego zniszczenia. Jednym z sposobów stosowanych
do rozruchu duży silników jest stopniowe zwiększanie napięcia twornika ut(t). Tego typu rozruch dużych
silników prądu stałego nazywa się w literaturze soft-start-em. Zabezpieczenia jakie zostały dodane do układu sterowania podczas symulacji to:
• jeśli prędkość obrotowa silnika ω(t) = 0 to przez następne 2 sekundy silnik jest zasilany napięciem 1/3utN(t)
• wartość współczynnika wypełnienia α jest ograniczona do wartości z przedziału [0.3 0.9]
Dla tego typu silnika napięcie twornika na poziomie 1/3utN(t) umożliwia rozruch bez konieczności
do-łączania rezystancji dodatkowych w obwód twornika ograniczających prąd. Jeżeli silnik już pracuje to
skokowe zmiany napięcia sterowania ut(t) nie powodują już tak dużych wzrostów prądu it(t) w obwodzie
twornika.
6.3 Uwagi
Sterowanie dużymi silnikami jest bardziej skomplikowane od sterowania małymi silnikami. Modele ma-tematyczne użyte do opisu małych i dużych silników są takie same, lecz inna skala rozmiarów i rzędy wielkości fizycznych są przyczyną istotnych różnic w sterowaniu. W przypadku dużych silników istnieje
możliwość sterowania poprzez zmianę napięcie wzbudzenia uw(t). W przypadku małych silników prądu
stałego nie ma możliwości zrealizowania tego typu sterowania ponieważ często obwód wzbudzenia sta-nowi magnes trwały. Sterowanie od strony wzbudzenia jest korzystne ze względu energetycznych, prądy
0 2 4 6 8 10 12 −50 0 50 100 150 Czas [s] ω (t) [rad/s] ω(t) ωzad 0 2 4 6 8 10 12 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Czas [s] α
Rysunek 6.5: Przykład 6.3: Działanie regulatora LQR – silnik nieobciażony. Wykres górny - prędkość
obrotowa silnika ω(t) (linia ciągła), wykres dolny - współczynnik wypełnienia napięcia sterującego ut(t)
płynące w obwodzie wzbudzenia są wielokrotnie mniejsze od prądu w obwodzie twornika. Dodatkowo
osłabiając strumień głównego silnika φw można uzyskać większe prędkości obrotowe silnika. Sterowanie
napięciem wzbudzenia uw(t) W rozdziale przedstawiono dwa najpopularniejsze rodzaje sterowań dużymi
silnikami.
Sterowanie poprzez zmianę napięć wzbudzenia stwarza także pewne problemy. Pierwszy z nich to nieliniowy model jaki trzeba użyć podczas np. syntezy regulatora. Model nieliniowy można oczywiscie przybliżyć modelem liniowym ale wtedy ograniczamy zakres sterowania do pewnego obszaru. Drugim pro-blemem występującym w tego typu sterowaniu jest pogorszenie się warunków komutacji. Konsekwencją tego jest spadek momentu który może wygenerować silnik sterowany napięciem wzbudzenia. Dodatkowo silnik “wolniej” reaguje na tego typu sterowanie. Drugim sposobem sterowania dużymi silnikami jest sterowanie PWM (ang. puls width modulation). Tego typu sterowanie jest dużo bardziej popularne od sterowania napięciem wzbudzenia. Polega ono na zmianie współczynnika wypełnienia napięcia twornika. Ponieważ w tego typu sterowaniu wielkością sterującą jest napięcie twornika, to można używać prost-szych modeli liniowych silnika. Sterowanie PWM używa się też do sterowania mniejszymi silnikami z magnesami trwałymi.
W przypadku dużych silników istotną sprawą jest też ich rozruchu. Dla małych silników ten problem w zasadzie nie istnieje, chwilowe prądy występujące podczas rozruchu małego silnika nie powodują jego uszkodzenia albo zniszczenia. W przypadku dużych silników rozruch musi być przeprowadzany tak aby chwilowa wartość pradu nie przekroczyła 2-3 krotnej nominalnej wartości prądu twornika. Jednym z sposobu rozruchu dużych silników jest tzw. soft-start, czyli stopniwe zwiększanie napięcia twornika z równoczesną kontrolą prądu twornika. Tego typu procedurę rozruchu można zaimplementować bez więk-szych problemów w komputerze (lub sterowniku) sterującym. Dodatkowo tego typu rozruch nie wymaga dodatkowego osprzętu np. w postaci rezystancji dodatkowych dołączanych szeregowo w obwód twornika na czas rozruchu silnika (inny sposob rozruchu silnikow).
Zakończenie
W pracy podjęto tematykę optymalizacji układów napędowych z silnikami prądu stałego. Praca sta-nowi efekt pracy badawczej autora. Część rezultatów zawartych w pracy były publikowane przez au-tora, zob. np. (Baranowski et al., 2008), (Długosz i Baranowski, 2008) i przedstawiane na konferencjach, zob. np. (Długosz, 2003), (Długosz, 2006), (Długosz i Mitkowski, 2006), (Długosz i Mitkowski, 2007) (Długosz i Mitkowski, 2008), (Długosz, 2008). W pracy dokonano przeglądu różnych modeli matema-tycznych silników prądu stałego. Przedstawiono nieliniowy model matematyczny silnika prądu stałego. Na podstawie tego modelu nieliniowego podano modele matematyczne poszczególnych typów silników prądu stałego: obcowzbudnego (zob. str. 11), bocznikowego (zob. str. 15), szeregowego (zob. str. 12). a następnie korzystając z niego podano szczegółowe modele dla każdego z typów silników. Opisano dwa nietypowe silniki prądu stałego, silnik o ruchu liniowym i silnik o ruchu kulistym.
Do oryginalnych osiągnięć można zaliczyć:
• Pełny przegląd stosowanych modeli matematycznych stosowanych do opisu działania silników prądu stałego (zob. str. 10–27). Przedstawiono modele nieliniowe, liniowe, podano możliwe uproszczenia modeli jakie można zastosować. Proponowane modele były sprawdzane poprzez symulacje kompu-terowe i eksperymenty na rzeczywistych obiektach.
• Wykorzystanie klasycznych algorytmów optymalnego sterowania do sterowania napędami elek-trycznymi różnych typów.
• Przegląd, opis i symulacje komputerowe wybranego modelu silnika z wirnikiem kulistym (zob. str. 32–37).
• Numeryczną optymalizację nastaw regulatora PID. Przy wykorzystaniu programu Matlab przete-stowany różne algorytmy doboru nastaw regulatora PID (zob. str. 43).
• Weryfikację wyników teoretycznych poprzez obliczenia i symulacje komputerowe, które zostały wykonane w programie MATLAB/Simulink .
• Odtwarzanie zmiennych niemierzalnych przy wykorzystaniu obserwatorów pełnego rzędu i zredu-kowanych. Optymalny dobór parametrów obserwatorów, przeformułowanie problemu doboru pa-rametrów obserwatora do problemu wyznaczania regulatora LQR. Zaproponowano sposób w jaki można wykorzystać obserwatory zredukowane do odtwarzania wartości zmiennych niemierzalnych z wzajemnym wykorzystaniem wartości odtworzonych przez te obserwatory (zob. str. 62 –66). Taki sposób odtwarzania zmiennych umożliwia bardziej elastycznych i niezależny dobór parametrów obserwatorów.
• Przeformułowanie zadania doboru parametrów regulatora PID do zadania wyznaczania parame-trów regulatora dead-beat (zob. str. 76 i przykład 5.2). Problem doboru parameparame-trów regulatora PID można rozpatrywać jako stabilizacje w punkcie zerowym pewnego innego układu. Do stabili-zacji tego innego układu można wykorzystać dowolny ze znanych regulatorów stabilizujących np. regulator LQR czy dead-beat.
• Sterowanie serwomechanizmem przy użyciu komputera w którym zaimplementowano dwa różne regulatory. Tego typu możliwości sterowania daje zastosowanie komputerów. Wykorzystano tu-taj dwa regulatory do sterowania serwomechanizmem prądu stałego (zob. przykład 5.3 str. 77 i przykład 5.6 str. 82).
• Sterowanie nadążne silnikiem przy pomocy regulatorów stabilizujących. Użycie komputerów do ste-rowania umożliwia zastosowanie typowych algorytmów stabilizujących do steste-rowania nadążnego. Typowe regulatory stabilizujące do poprawnej pracy potrzebują znajomości wartości w zadanym punkcie pracy. Wykorzystanie komputera umożliwia w oparciu o model napędu wyznaczanie war-tości punktu pracy na bieżąco (on-line), dzięki czemu regulator stabilizujący pracuje poprawnie (zob. str. 79, przykład 6.2 str. 87, przykład 6.3 str. 88).
• Implementacja w komputerze algorytmów sterujących silnikiem wraz z dodatkowymi układami zapewniającymi bezpieczne sterowanie (zob. str. 79, przykład 6.2 str. 87, przykład 6.3 str. 88). • Symulacje komputerowe omawianych rozwiązań dla wybranych silników. Wykorzystanie
kompute-rów do projektowania złożonych układów sterowania lub testowania nietypowych układów regulacji jest w dzisiejszych czasach standardowym postępowaniem. Prototypowanie i testowania przy użyciu symulacji komputerowych nowych rozwiązań jest tańsze, szybsze i bezpieczniejsze.
• Testowanie wybranych rozwiązań układów regulacji na dwóch rzeczywistych silnikach prądu sta-łego. Jeden z silników jest małym silnikiem o mocy kilku wat z magnesami trwałymi, drugi silnik posiada moc rzędu 11kW i sterowany był przy pomocy układu PWM (zob. str. 47, 82, 87, 88). W pracy wykorzystano klasyczne algorytmy sterowania optymalnego (np. LQR, dead-beat) z wyko-rzystaniem ich do sterowania napędami elektrycznymi. Do poszukiwania rozwiązań optymalnych (np. nastaw regulatora) wykorzystywano pakiety optymalizacyjne dostępne w oprogramowaniu Matlab. Teo-retycznie wyniki były testowane na rzeczywistych stanowiskach laboratoryjnych. Do testów wybrano dwa silniki elektryczne prądu stałego, ale o różnych parametrach fizycznych. Pierwszy (zob. str. 24) był niewielkim silnikiem prądu stałego z magnesami trwałymi. Drugi silnik (zob. str. 23) był maszyną dużej mocy z układem sterowania PWM. Z punktu widzenia równań opisujących te dwa napędy są to takie same obiekty. Różnica w wielkości tych silników powoduje, że do pewnych zagadnienia należy rozwią-zywać ukierunkowując się na konkretną maszynę (np. problem rozruchu). W dalszych badaniach autor zamierza zająć się zagadnieniami związanymi z sterowaniem silnikami prądu zmiennego. Ciekawą alter-natywą są także konstrukcje silników z wirnikiem kulistym. Konstrukcje mechaniczne takich napędów nie pozwalają jeszcze na ich powszechnego zastosowania w układach robotyki. Dobrze opracowane modele matematyczne pozwalają już poszukiwać optymalnych regulatorów do tego typu silników.
Postawione tezy we wstępie pracy zostały wykazane na następujących stronach:
Teza1. Użycie komputerów do implementacji różnych, nietypowych algorytmów sterowania nietypowymi
napędami znacznie poprawia jakość działania układów regulacji.
Użycie komputerów w układach sterowania poprawia jakość działania poprzez usprawnienie klasycz-nych układów lub możliwość technicznej realizacji nowych algorytmów sterowania. W przykładzie 3.1 (str. 43) komputer był wykorzystywany do poszukiwania optymalnych nastaw regulatora PID. W przy-kładzie 3.2 (str. 46) regulator stabilizujący LQR wykorzystany został w nadążnym uprzy-kładzie regulacji prędkości silnika. W przykładzie 5.5 (str. 80) parametry regulatora były na bieżąco dostosowywane do zmieniających się warunków pracy silnika. W przykładzie 5.1 (str. 75) regulator dead-beat wykorzystany został do stabilizacji prędkości obrotowej silnika na zadanym poziomie. Przykłady 6.2 i 6.3 (strony 87 i 87) weryfikują symulacyjne wyniki na rzeczywistym obiekcie jakim był silnik prądu stałego wraz z układem sterowania PWM. Implementacja w komputerze regulatora LQR może zostać użyta do stabilizacji pręd-kości obrotowej silnika na zadanym poziomie jak i do nadążania prędpręd-kości za zadana wartością. W wyżej wymienionych przykładach poprzez implementacje w komputerze klasycznych algorytmów poprawiono jakość regulacji. Komputery mogą też zostać wykorzystane do implementacji nietypowych algorytmów sterowania. W przykładzie 5.6 (str. 82) wykorzystano dwa regulatory LQR i dead-beat do sterowania układem serwomechanizmu. Użycie dwóch regulatorów które są włączane w odpowiednim momencie pozwala na znaczne poprawnie jakości regulacji. Serwomechanizm osiąga zadaną wartość położenia ką-towego w jak najszybszym czasie, a po jej osiągnięciu położenie kątowe jest stabilizowane na zadanej wartości. Innym wykorzystaniem komputera w układach regulacji przedstawiono w przykładach 6.2 i 6.3 (strony 87 i 87). W komputerze została zamontowana specjalna karta kontrolno-pomiarowa, która
Matlab/Simulink współczynnik wypełnienia sygnału sterowania zadaje się poprzez wartość odpowied-niej zmiennej. W takim rozwiązaniu nie ma potrzeby konstruowania specjalnych układów wykonawczych PWM, wystarczy tylko odpowiedni układ który będzie realizował włączanie i wyłączanie napięcia steru-jącego silnika. Dodatkowo komputer realizuje zadnie bezpiecznego rozruchu dużego silnika.
Teza 2. Klasyczne algorytmy sterowania optymalnego można skutecznie stosować do sterowania
niety-powymi układami wykonawczymi automatyki.
Wiele układów wykonawczych automatyki i robotyki jest elementami nieliniowymi i są opisywane przez modele nieliniowe. Standaryzacja urządzeń przemysłowych prowadzi to tego że, do sterowania wy-korzystuje się określone typy regulatorów. Najczęściej są to regulatory PID które są dostępne w wielu wykonaniach technicznych (jako układy analogowe, dyskretne, pneumatyczne). Rozwój technik kom-puterowych spowodował że, coraz częściej stosuje się inne typy regulatorów (np. regulatory regułowe, rozmyte). Regulator PID z odpowiednio dobranymi parametrami może sterować układami nieliniowymi takimi jak: silnik kulisty (przykład 2.10 str. 36). W przykładzie 5.5 (str. 80) do stabilizacji prędkości ob-rotowej silnika szeregowego użyto klasycznego regulatora LQR. Dla poprawy jakości sterowania regulator LQR jest “wspomagany” przez komputer. Parametry regulatora dostosowują się do zmieniających się
warunków pracy regulatora (w przypadku silnika szeregowego jest to zmienny moment zewnętrzny MZ).
Oprócz klasycznych algorytmów sterowania w przypadku nieliniowych układów wykonawczych można także wykorzystywać inne “klasyczne” układy automatyki jak np. obserwatory. W przykładzie 4.6 (str. 67) dla silnika szeregowego zaprojektowano klasyczny obserwator Luenbergera. Z przeprowadzonych sy-mulacji wynika że, obserwator taki działa prawidłowo odtwarzając prędkość i moment obciążania silnika.
Rozdział 8
Dodatek A - parametry fizyczne
rozważanych silników
W dodatku przedstawiono parametry fizyczne silników elektrycznych używanych do symulacji.