Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
1 r2
d dr
r2dR
dr
+
2m
~2 (E − V (r)) −l(l + 1) r2
R = 0.
Podstawiając
R(r ) = χ(r ) r
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
1 r2
d dr
r2dR
dr
+
2m
~2 (E − V (r)) −l(l + 1) r2
R = 0.
Podstawiając
R(r ) = χ(r )
r ⇒ dR
dr =
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Części radialna równania Schr¨odingera dla atomu wodoruma dla λ= l(l + 1) postać
Karol Kołodziej Atom wodoru 21/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
r2 d
dr χ′r− χ+
2m
~2 (E − V (r)) − l(l + 1) r2
χ r = 0.
otrzymamy 1
r2 χ′′r+ χ′− χ′
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
r2 d
dr χ′r− χ+
2m
~2 (E − V (r)) − l(l + 1) r2
χ r = 0.
otrzymamy 1
r2 χ′′r+ χ′− χ′ +2m
~2 (E − V (r))χ
r −l(l + 1)χ r3 = 0.
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
r2 d
dr χ′r− χ+
2m
~2 (E − V (r)) − l(l + 1) r2
χ r = 0.
otrzymamy 1
r2 χ′′r+ χ′− χ′ +2m
~2 (E − V (r))χ
r −l(l + 1)χ r3 = 0.
Pomnóżmy obie strony równania przez−~2m2r,
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
r2 d
dr χ′r− χ+
2m
~2 (E − V (r)) − l(l + 1) r2
χ r = 0.
otrzymamy 1
r2 χ′′r+ χ′− χ′ +2m
~2 (E − V (r))χ
r −l(l + 1)χ r3 = 0.
Pomnóżmy obie strony równania przez−~2m2r,wówczas dostaniemy równanie
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
r2 d
dr χ′r− χ+
2m
~2 (E − V (r)) − l(l + 1) r2
χ r = 0.
otrzymamy 1
r2 χ′′r+ χ′− χ′ +2m
~2 (E − V (r))χ
r −l(l + 1)χ r3 = 0.
Pomnóżmy obie strony równania przez−~2m2r, wówczas dostaniemy równanie
− ~2 2m
d2χ dr2
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wykonując różniczkowanie w równaniu 1
Karol Kołodziej Atom wodoru 22/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Równanie
−~2 2m
d2χ dr2 +
"
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2
#
χ= E χ.
ma postać jednowymiarowego bezczasowego równania Schr¨odingera dla cząstki w polu o energii potencjalnej
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2 .
Karol Kołodziej Atom wodoru 23/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Równanie
−~2 2m
d2χ dr2 +
"
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2
#
χ= E χ.
ma postać jednowymiarowego bezczasowego równania Schr¨odingera dla cząstki w polu o energii potencjalnej
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2 .
Pokażemy, że dodatkowy wyraz w energii potencjalnej jest związany z ruchem obrotowym elektronu wokół jądra.
Karol Kołodziej Atom wodoru 23/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Równanie
−~2 2m
d2χ dr2 +
"
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2
#
χ= E χ.
ma postać jednowymiarowego bezczasowego równania Schr¨odingera dla cząstki w polu o energii potencjalnej
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2 .
Pokażemy, że dodatkowy wyraz w energii potencjalnej jest związany z ruchem obrotowym elektronu wokół jądra.
Karol Kołodziej Atom wodoru 23/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const.,
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
L= rp
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
L= rp= rmv
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
L= rp = rmv = rmωr
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
L= rp = rmv = rmωr =mωr2
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
L= rp = rmv = rmωr =mωr2 ⇒ ω= L mr2.
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Ponieważ elektron znajduje się w polu siły centralnej, to jego orbitalny moment pędu jest zachowany
~L= ~r × ~p = const., gdzie ~r mierzymy od centrum siły.
Elektron porusza się po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do ~L, więc
L= rp = rmv = rmωr =mωr2 ⇒ ω= L mr2.
Karol Kołodziej Atom wodoru 24/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r =
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r =m
L mr2
2 r =
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r = m
L mr2
2
r = L2 mr3,
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r = m
L mr2
2
r = L2 mr3, gdzie wykorzystaliśmy związekω = mrL2.
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r = m
L mr2
2
r = L2 mr3, gdzie wykorzystaliśmy związekω = mrL2.
Siła i energia wiążą się wzorem
Fd = L2 mr3
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r = m
L mr2
2
r = L2 mr3, gdzie wykorzystaliśmy związekω = mrL2.
Siła i energia wiążą się wzorem
Fd = L2
mr3 = −dVd
dr
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r = m
L mr2
2
r = L2 mr3, gdzie wykorzystaliśmy związekω = mrL2.
Siła i energia wiążą się wzorem
Fd = L2
mr3 = −dVd
dr ⇒ Vd(r ) = L2 2mr2.
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Na ciało poruszające się po okręgu działa siła dośrodkowa
Fd = mω2r = m
L mr2
2
r = L2 mr3, gdzie wykorzystaliśmy związekω = mrL2.
Siła i energia wiążą się wzorem
Fd = L2
mr3 = −dVd
dr ⇒ Vd(r ) = L2 2mr2.
Karol Kołodziej Atom wodoru 25/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wartość własna kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu jest równal(l + 1)~2.
W takim razie
Vd(r ) = L2 2mr2
Karol Kołodziej Atom wodoru 26/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wartość własna kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu jest równal(l + 1)~2.
W takim razie
Vd(r ) = L2
2mr2 = l(l + 1)~2 2mr2 ,
Karol Kołodziej Atom wodoru 26/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wartość własna kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu jest równal(l + 1)~2.
W takim razie
Vd(r ) = L2
2mr2 = l(l + 1)~2 2mr2 , a więc dodatkowy wyraz we wzorze
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2
jest rzeczywiście związany z ruchem obrotowym elektronu wokół jądra.
Karol Kołodziej Atom wodoru 26/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wartość własna kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu jest równal(l + 1)~2.
W takim razie
Vd(r ) = L2
2mr2 = l(l + 1)~2 2mr2 , a więc dodatkowy wyraz we wzorze
V(r ) + l(l + 1)~2 2mr2
jest rzeczywiście związany z ruchem obrotowym elektronu wokół jądra.
Karol Kołodziej Atom wodoru 26/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1 r2
d dr
r2dR
dr
+
2m
~2 (E − V (r)) − λ r2
R= 0.
Pomnóżmy obie strony przez−2m~2
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
r i λ= l(l + 1),
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1 r2
d dr
r2dR
dr
+
2m
~2 (E − V (r)) − λ r2
R= 0.
Pomnóżmy obie strony przez−2m~2
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
r i λ= l(l + 1), wówczas dostaniemy
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Wróćmy do części radialnej równania Schr¨odingera opisującego ruch elektronu w polu kulombowskim jądra
1
i podstawmy
V(r ) = −Ze2
Karol Kołodziej Atom wodoru 27/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Za Schr¨odingerem przyjmiemy, że dla stanu związanegoE <0, czylienergia kinetyczna elektronu jest mniejsza od modułu jego energii potencjalnej.
Karol Kołodziej Atom wodoru 28/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Za Schr¨odingerem przyjmiemy, że dla stanu związanegoE <0, czylienergia kinetyczna elektronu jest mniejsza od modułu jego energii potencjalnej.
Energia potencjalna jest ujemna, gdyż mierzymy ją względem energii potencjalnej przy r → ∞, a ta wynosi 0.
Karol Kołodziej Atom wodoru 28/66
Część radialna równania Schr¨ odingera
Za Schr¨odingerem przyjmiemy, że dla stanu związanegoE <0, czylienergia kinetyczna elektronu jest mniejsza od modułu jego energii potencjalnej.
Energia potencjalna jest ujemna, gdyż mierzymy ją względem energii potencjalnej przy r → ∞, a ta wynosi 0.
Karol Kołodziej Atom wodoru 28/66