Dobór wymiaru zanurzenia τ - Analiza sygnałów z wykorzystaniem wielowymiarowej, wieloskalowej e

III. MATERIAŁY I METODY

1. Analiza sygnałów z wykorzystaniem wielowymiarowej, wieloskalowej entropii

1.3 Dobór wymiaru zanurzenia τ

Ocenę wpływu wartości wymiaru zanurzenia τ (tau) dokonano dla macierzy zawierającej sygnały: BVP, sygnały z elektrod FP1 i FP2 (EEG) oraz dwie składowe sygnału HEG. Długość sygnału N = 20 000. „Utracono” 4 macierze sygnałów (z po-czątkowych 68 macierzy sygnałów), które musiano usunąć ze względu na niestabilność danych (nie dotyczyło to wartości parametru τ = 1).

Na Rys. 40 widać, że charakter przebiegu zależności entropii jest bardzo podobny dla wszystkich wartości parametru τ z zakresu od 1 do 10, a na Rys. 41 można zauważyć wzrost wartości odchylenia standardowego amplitudy sygnału wraz ze wzrostem wartości τ.

Do dalszych obliczeń przyjęto wartość parametru τ = 1.

Rys. 40 Zależność wartości MMSE od Skala przy różnych wartościach τ.

Rys. 41 Wartość odchylenia standardowego obliczanej entropii w zależności od skali dla różnych wartości τ.

63 1.4 Dobór metryki (miary odległości)

W powszechnie dostępnych algorytmach stosowana jest metryka Czebyszewa.

W pracy przeanalizowano możliwość użycia zdefiniowanych metryk dostępnych w Matlabie⁸: euklidesowej ('euclidean'), euklidesowej standaryzowanej ('seuclidean'), miejskiej ('cityblock'), Minkowskiego ('minkowski'), Czebyszewa ('chebychev'), Mahalanobisa ('mahalanobis'), kosinusowej ('cosine'), korelacyjnej ('correlation'), Spearmana ('spearman'), Hamminga ('hamming') i Jaccarda ('jaccard'). Wstępna analiza pozwoliła na wykluczenie metryk: euklidesowej standaryzowanej, Minkowskiego, Mahalanobisa, korelacyjnej, Hamminga i Jaccarda. Szczegółowe definicje metryk zawiera Podrozdział 5.2.3. Dalsze analizy dotyczą macierzy sygnałów: BVP, RSP i SpO2

(długość sygnału N = 5 312, wartość r przyjęta jako maksymalna wartość odchylenia standardowego amplitudy pojedynczego sygnału mnożona przez 0,15) pochodzących z trzech następujących po sobie badań (Rys. 42 – 52). Analiza wyników prowadzi do wniosku, że najbardziej stabilne obliczenia MMSE uzyskujemy stosując normę Spearmana (tylko jedna wartość do odrzucenie pojawiająca się przy wartości Skala = 88).

Przy obliczeniach MMSE przy użyciu miary odległości miejskiej wartości do odrzucenia występują już przy wartości Skala = 15. Ten sam efekt (wartość niedefiniowalna w MATLAB’ie) zachodzi w przypadku miary euklidesowej przy wartości Skala = 27, a w przypadku miary Czebyszewa przy wartości Skala = 44. Zaznaczyć należy, że dla tych trzech miar odległości wartości do odrzucenia jest dużo więcej niż w przypadku miary Spearmana.

Rys. 42 Wykres zależności MMSE = f(Skala), zastosowana metryka Czebyszewa (metryka w MATLAB’ie: chebychev).

8 Źródło: file:///C:/Program%20Files/MATLAB/R2013b/help/stats/pdist.html. Dostęp: 28.11.2017.

Rys. 43 Wykres zależności MMSE = f(Skala), zastosowana metryka miejska (metryka w MATLAB’ie: cityblock).

Rys. 44 Wykres zależności MMSE = f(Skala), zastosowana metryka euklidesowa (metryka w MATLAB’ie: euclidean).

Rys. 45 Wykres zależności MMSE = f(Skala), zastosowana metryka Spearmana (metryka w MATLAB’ie: spearman).

Niestety dobra rozdzielczość graficzna została okupiona najdłuższym czasem wykonywania obliczeń: 10,10 ± 0,10 s. W przypadku pozostałych obliczeń MMSE czasy obliczeń wynoszą: norma miejska: 5,96 ± 0,37 s, norma euklidesowa:

6,55 ± 0,18 s oraz norma Czebyszewa: 6,85 ± 0,52 s. Dalszą niekorzystną cechą obliczeń z użyciem entropii wykorzystującej miarę odległości Spearmana jest największa wartość odchylenia standardowego wartości entropii MMSE przy wszystkich wartościach Skala.

Średnie wartości entropii i odchylenia standardowego w kolejności od najmniejszej do największej przedstawiają się następująco:

• obliczona przy użyciu normy Czebyszewa MMSE = 1,157 ± 0,052,

• obliczona przy użyciu normy miejskiej MMSE = 1,402 ± 0,050,

• obliczona przy użyciu normy euklidesowej MMSE = 1,288 ± 0,045,

• obliczona przy użyciu normy Spearmana MMSE = 0,973 ± 0,132.

Na Rys. 46 – 49 przedstawione zostały wykresy przedstawiające zależność średniej wartości MMSE jako funkcji Skala z naniesionymi słupkami błędu. Wysokość słupka błędu równa jest odchyleniu standardowemu obliczanemu z 15 wartości entropii przy danej Skala (Skala zmienia się w zakresie 1 – 10). Należy zwrócić uwagę na fakt, że wysokość słupka błędu na wszystkich wykresach jest przedstawiona w tej samej bez-względnej wielkości, wykresy różnią się tylko zakresem zmienności wartości entropii (skalowanie osi entropii jest identyczne dla wszystkich wykresów).

Wybrano do dalszych obliczeń entropii miary odległości Czebyszewa i Spearmana.

Rys. 46 Wykres średniej wartości MMSE = f(Skala) z naniesionymi słupkami błędu (wysokość słupka błędu równa wartości odchylenie standardowego z 15 pomiarów (macierzy sygnałów)

przy danej wartości Skala), zastosowana metryka miejska (cityblock).

Rys. 47 Wykres średniej wartości MMSE = f(Skala) (wysokość słupka błędu równa wartości odchylenie standardowego z 15 pomiarów (macierzy sygnałów) przy danej wartości Skala),

zastosowana metryka euklidesowa (euclidean).

Rys. 48 Wykres średniej wartości MMSE = f(Skala) (wysokość słupka błędu równa wartości odchylenie standardowego z 15 pomiarów (macierzy sygnałów) przy danej wartości Skala),

zastosowana metryka Czebyszewa (chebychev).

Rys. 49 Wykres średniej wartości MMSE = f(Skala) (wysokość słupka błędu równa wartości odchylenie standardowego z 15 pomiarów (macierzy sygnałów) przy danej wartości Skala),

zastosowana metryka Spearmana (spearman).

Na Rys. 50 – 52 pokazano zależność MMSE w funkcji Skala a jako parametr występuje miara odległości r. Na Rys. 52 krzywe uzyskane z wykorzystaniem obu metryk przy przyjęciu wartości r = 0,15SD są wyraźnie od siebie odseparowane. Na Rys. 51 i 52 przedstawiono wyniki obliczeń z użyciem metryki Spearman z przyjęciem wartości r = 0,1SD, 0,05SD, 0,01SD i 0SD. Przy wartości r = 0,05SD nastąpiło „odwrócenie”

przebiegu krzywych, a dla jeszcze niższych wartości r krzywe nakładają się na siebie i przecinają.

Do dalszych obliczeń przyjęto r = 0,15SD.

Rys. 50 Wykresy zależności MMSE = f(Skala) w metryce Spearmana: r = 0,15SD (SD odchylenie standardowe max wartość obliczana z pojedynczych sygnałów) A, r = 0,15SD (SD

odchylenie standardowe obliczone z całej macierzy sygnału) B.

Rys. 51 Wykresy zależności MMSE = f(Skala), zastosowana metryka Spearmana (SD odchylenie standardowe obliczone z całej macierzy sygnału): r = 0,1SD A, r = 0,05SD B.

Rys. 52 Wykresy zależności MMSE = f(Skala), zastosowana metryka Spearmana (SD odchylenie standardowe obliczone z całej macierzy sygnału): r = 0,01SD A, r = 0SD B.

1.5 Porównanie metryk Czebyszewa i Spearmana

Orientacyjne czasy potrzebne na wykonanie obliczeń w zależności od długości sygnału i użytej metryki przedstawione są na Rys. 53 i 54. W obliczeniach przyjmowano zawsze: m = 2, τ = 1, a Skala zmienia się od 1 do 10. Oszacowanie wzajemnej odległości między punktami r = 0,15SD (SD to odchylenie standardowe amplitudy sygnału, obliczane dla każdej długości sygnału, r = var). Na rysunkach przedstawione są zależności czasu wykonania obliczenia MMSE jako funkcji długości sygnału N dla różnych macierzy sygnałów:

• 1 – macierz jednowymiarowa (sygnał FP1 z EEG),

• 2 – macierz dwuwymiarowa (sygnały: FP1 i FP2 z EEG),

• 3 – macierz trójwymiarowa (sygnały: FP1 i FP2 z EEG, BVP),

• 4 – macierz czterowymiarowa (sygnały: FP1 i FP2 z EEG, BVP oraz HEGB z opaski hemoencefalograficznej),

• 5 – macierz pięciowymiarowa ((sygnały: FP1 i FP2 z EEG, BVP oraz HEGB i HEGR z opaski hemoencefalograficznej).

Z wykresów widać, że czas potrzebny na wykonanie obliczeń wzrasta wraz z liczbą analizowanych sygnałów i w przypadku metryki Spearmana (Rys. 53) i długości sygnału N = 20 000 dla macierzy pięciowymiarowej w porównaniu z macierzą jednowymiarową jest ok. 8 – krotnie dłuższy. W przypadku metryki Czebyszewa (Rys. 54) wymagany czas obliczeń jest ok. 16 – krotnie dłuższy. Porównanie czasu obliczeń (sygnały cztero- i pięciowymiarowe) przedstawione na Rys. 54 pokazuje, że wymagany czas obliczeń przy użyciu metryki Czebyszewa jest o ok. 13 % dłuższy (sygnał czterowymiarowy) i ok. 18 % dłuższy w przypadku sygnału pięcio-wymiarowego niż czas potrzebny do obliczeń entropii z użyciem metryki Spearmana. W następnym podrozdziale (Podrozdział 1.6) omówiono bardziej szczegółowo jeszcze metrykę kosinusową.

Rys. 53 Wykresy czasu potrzebnego do wykonania obliczeń MMSE z użyciem metryki Spearmana. Macierze sygnałów o wymiarach od 1 x N do 5 x N.

Rys. 54 Wykresy czasu potrzebnego do wykonania obliczeń MMSE z użyciem metryki Czebyszewa.Macierze sygnałów o wymiarach od 1 x N do 5 x N.

Rys. 55 Porównanie czasów wykonania obliczeń MMSE z wykorzystaniem metryki Spearmana i metryki Czebyszewa (Macierze sygnałów o wymiarach od 4 x N i 5 x N, gdzie C4 i C5 to wykresy wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Czebyszewa, a S4 i S5 to wykresy

wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Spearmana).

1.6 MMSE sygnałów modyfikowanych

W obliczeniach przyjęto: m = 2, τ = 1, a Skala zmienia się od 1 do 10.

Oszacowanie wzajemnej odległości między punktami r = 0,15SD (SD to od-chylenie standardowe amplitudy sygnału). SD jest wartością zmienną, obliczaną dla każdej długości sygnału (r = var). Długość sygnału dobierana jest z uwzględnieniem możliwości obliczeniowych używanego komputera. Oznaczenia kolorów na wykresach:

barwy zimne oznaczają niższe wartości, a barwy ciepłe wyższe.

Do symulacji użyto danych jednego ochotnika, którego wyniki obliczeń były podobne do większości pozostałych ochotników (Badanie ochotników II). Wyniki wszystkich symulacji należy odnosić do tego wyniku (Rys. 56). Zmienia się wartość wzajemnej odległości między punktami r – obliczana jest dla każdej macierzy, której jeden wymiar (długość sygnału N) ulega zmniejszeniu z krokiem n = 1000. Dla każdego sygnału obliczana jest wartość MMSE w funkcji Skala (wartość ta zmienia się od 1 do 10 z krokiem równym 1).

Rys. 56 Wykresy zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Przekroje powierzchni przy długości sygnału N = 20 000 (MMSE = f(Skala)): obliczenia z użyciem metryki Spearmana C, z użyciem metryki Czebyszewa D.Przekroje powierzchni przy wartości

Skala = 1(MMSE = f(N)): obliczenia z użyciem metryki Spearmana E, z użyciem metryki Czebyszewa F.

Finalnie otrzymujemy wykres trójwymiarowy (3D) zależności MMSE = f(Skala, N).

Ta zasada tworzenia wykresów 3D jest stosowana w pozostałych obliczeniach MMSE, a zmienia się tylko zakres długości sygnału N. W symulacjach obliczana jest wartość MMSE macierzy o liczbie wierszy pięć (sygnały: FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR).

Wymiar macierzy „wejściowej” (o pełnej długości N) równy jest 5 x 20.000.

W artykule [137] autorzy stwierdzają, że metryka kosinusowa jest mniej wra-żliwa na wartości odstające (ang. outliers) i przez to bardziej stabilna. Jednak zasto-sowanie tej metryki do obliczeń sygnałów biologicznych napotyka trudność, którą jest bardzo małe zróżnicowanie wartości MMSE przy stałej wartości długości sygnału

(Rys. 57 B). Należy zwrócić uwagę, że zakres zmienności wartości entropii wynosi około 0,001 (Rys. 57), gdy ten zakres w przypadku zastosowania metryki Spearmana to około 0,06, a metryki Czebyszewa około 0,08 (Rys. 57 C i D). Z Rys. 57 C i D wynika, że wykres MMSE z użyciem metryki kosinusowej można zredukować do wykresu dwuwymiarowego – MMSE jako funkcja N.

Rys. 57 Wykresy zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki kosinusowej A. Przekrój

powierzchni przy długości sygnału N = 20 000 (MMSE = f(Skala)) B. Przekrój powierzchni przy wartościach: Skala = 1 C i Skala = 10 (MMSE = f(N)) D.

Na Rys. 58 przedstawiono powierzchnię uzyskaną wyniku obliczeń entropii MMSE sztucznego sygnału utworzonego przy wykorzystaniu generatora liczb losowych randn⁹ o rozkładzie normalnym (ang. normally distributed random numbers). W rze-czywistości jest to generator liczb pseudolosowych. Każdy wiersz macierzy 5 x 20.000 generowany był oddzielnie. Rysunek przedstawia tylko wykres entropii obliczonej przy użyciu metryki Spearmana, bowiem w przypadku zastosowania metryki Czebyszewa do analizy tego samego sygnału otrzymano macierz niedefiniowalnych w MATLAB’ie wartości (= –Inf). Analiza przebiegu krzywych pokazanych na Rys. 58 B wskazuje, że analiza samego kształtu krzywych zależności MMSE jako funkcji Skala na płaszczyźnie może prowadzić do błędnych wniosków o nierozróżnialności tych krzywych (lub o zbliżonej do stałej wartości entropii MMSE). Dopiero porównanie przekrojów powierzchni z Rys. 58 A z powierzchnią z Rys. 56 A pokazuje odmienny

9 Źródło: https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/randn.html. Dostęp: 06.11.2018.

charakter tych powierzchni. MMSE sztucznie wygenerowanego sygnału ma też niższy zakres wartości. Wartości te są znacząco niższe od wartości entropii sygnałów uzyskanych w badaniach (maksymalna wartość MMSE sztucznego sygnału to 0,66, gdy minimalna wartość entropii MMSE uzyskanej z obliczeń sygnałów „naturalnych” to 0,60). Nie można natomiast obliczyć MMSE macierzy pięcio-wymiarowej utworzonej przy użyciu generatora liczb pseudolosowych MATLAB’a rand¹⁰ (ang. uniformly distributed random numbers). Zarówno macierz entropii obli-czonej z użyciem metryki Spearmana jak i Czebyszewa zawiera niedefiniowalne w MATLAB’ie wartości.

Rys. 58 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) sygnału pseudolosowego (sygnał

pięciowymiarowy), obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, oraz przekroje powierzchni:

z Rys. 56 C (krzywa FP1 FP2 BVP HEGB HEGR S – zastosowana metryka Spearmana) i Rys.

56 D (krzywa FP1 FP2 BVP HEGB HEGR C – zastosowana metryka Czebyszewa) wraz z przekrojem powierzchni MMSE (RANDN S) z Rys. 58 A. Wszystkie przekroje przy N =

20 000 B.

Do przetworzenia oryginalnych serii danych celem ich przetworzenia („wygładzenia”

i/lub redukcji nadmiarowych danych) użyto: analizy składników głównych i analizy składowych niezależnych. Metoda PCA jest metodą statystyczną transformującą sygnał (stacjonarny proces stochastyczny) w nowy zredukowany (o mniejszej liczbie skład-ników) przy zachowaniu najważniejszych informacji dotyczących procesu [80, 138].

Transformacja PCA zamienia dużą ilość informacji zawartej we wzajemnie skore-lowanych danych wejściowych w zbiór statystycznie niezależnych składników według ich wartości. Na Rys.59 przedstawiono powierzchnie uzyskane metodą PCA z trzema składnikami głównymi.

10 Źródło: https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/rand.html. Dostęp: 06.11.2018.

Rys. 59 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Sygnał przetworzony metodą PCA – sygnał zredukowany do trzech składników głównych.

Porównano te powierzchnie z powierzchniami uzyskanymi z obliczenia MMSE trzech sygnałów: FP1, BVP i HEGB (przyjęto arbitralnie, że sygnały FP2 i HEGR mogą nieść skorelowane informacje) Rys. 59. Z Rys. 59 i 60 widać, że kształt powierzchni jest odmienny.

Rys. 60 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał trójwymiarowy (FP1, BVP, HEGB).

Na Rys. 61 przedstawiono powierzchnie uzyskane metodą PCA z czterema składnikami głównymi. Jeśli porównamy powierzchnie z Rys. 59 i 61 z powierzchniami z Rys. 56 A i B to widać, że kształty powierzchni są podobne. Zmniejszył się natomiast zakres zmienności MMSE.

Rys. 61 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Sygnał przetworzony metodą PCA – sygnał zredukowany

do czterech składników głównych.

Do analizy sygnałów losowych i niegaussowskich używa się algorytmów analizy składowych niezależnych (ICA) wykorzystujących statystyki wyższych rzędów (ang.

Higher Order Statistics HOS). Celem metody ICA [80, 139] jest wyodrębnienie z wielowymiarowego zbioru danych tak zwanych składowych niezależnych. Pozwala to na zmniejszenie wymiaru macierzy, którą poddamy procedurze obliczania MMSE (usunięcie danych nadmiarowych nie wnoszących istotnych informacji o macierzy sygnału) [140]. Rys. 62 do 64 pokazują, że kształt powierzchni uległ znaczącej deformacji w porównaniu do powierzchni z Rys. 56 („oryginalne” powierzchnie).

Dotyczy to zwłaszcza obliczeń z użyciem metryki Spearmana. W przypadku „filtracji”

pokazanej na Rys. 65, czyli gdy nie zmniejszamy wymiaru macierzy powierzchnie są podobne. W tym przypadku nie ma zysku na skróceniu czasu obliczenia MMSE. Analizy sygnałów wielowymiarowych metodą MMSE wymagają dużego nakładu czasu obliczeniowego. Dodatkowe stosowanie metod PCA i ICA zwiększa ten czas nie dając znaczących korzyści w jakości wyników MMSE.

Rys. 62 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N)macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Metoda ICA:

redukcja do dwóch składników głównych.

Rys. 63 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Metoda ICA:

redukcja do trzech składników głównych.

Rys. 64 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki

Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Metoda ICA:

redukcja do czterech składników głównych.

Rys. 65 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy sygnałów uzyskanych od pojedynczego ochotnika: obliczenia z użyciem metryki Spearmana A, z użyciem metryki Czebyszewa B. Sygnał pięciowymiarowy (FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR). Metoda ICA: pięć

składników głównych.

Na Rys. 66 – 69 przedstawione zostały obliczenia z użyciem takiej samej macierzy sygnałów jak poprzednio, czyli zawierającej sygnały: FP1, FP2, BVP, HEGB i HEGR. Długość sygnału N = 20 000, odległość wzajemna r = var. Zakresy wartości MMSE będą przedstawiane w następujący sposób:

• zakres wartości MMSE, przedział od wartości minimalnej do wartości maksy-malnej MMSE [min ; max],

• wartość średnia ± odchylenie standardowe wartości, WS ± SD.

Na Rys. 66 A (zastosowana metryka Spearmana) i Rys. 66 B (zastosowana metryka Czebyszewa) przedstawiony są wykresy MMSE = f(Skala, N) wykonane na podstawie danych pojedynczego ochotnika. Układ kolumn macierzy (wymiar macierzy 20 000 x 5):

FP1, FP2, BVP, HEGB, HEGR. Do tych wyników będą odnoszone pozostałe wyniki („dane referencyjne”). Na Rys. 66 C i D przedstawione są wykresy MMSE uzyskane dla macierzy o przestawionych kolumnach: FP1, BVP, HEGB, HEGR, FP2 (druga kolumna na „koniec” macierzy). Wartości tych MMSE oznaczone są jako „mod”. Zakres wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Spearmana przy r = var pojedynczego ochotnika –„macierz wyjściowa”(wykres na Rys. 66 A) wynosi: [min ; max] = [1,223 ; 1,592], wartość średnia SW = 1,426 ± 0,066. Zakres wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Czebyszewa przy takim samym sposobie obliczania odległości wzajemnej r = var (wykres na Rys. 66 B) wynosi: [min ; max] = [1,511 ; 1,885], wartość średnia SW = 1,652 ± 0,070. Dla macierzy z przestawionymi kolumnami zakresy tych wartości wynoszą: MMSE obliczone z użyciem metryki Spearmana (Wykres na Rys. 66 C):

[min ; max] = [1,122 ; 1,560], wartość średnia SW = 1,403 ± 0,106, MMSE obliczone z użyciem metryki Czebyszewa (Wykres na Rys. 66 D): [min ; max] = [1,438 ; 1,700], wartość średnia SW = 1,612 ± 0,063. Średnie różnice wyrażone w procentach (z wartości bezwzględnych) pomiędzy wartościami MMSE obliczonymi dla „macierzy referencyjnej” a wartościami MMSE obliczonymi dla macierzy o przestawionych kolumnach w przypadku obliczeń z wykorzystaniem metryki Spearmana wynosi 8,6 %, a w przypadku obliczeń z uży- ciem metryki Czebyszewa 6,3 %. Te różnice mogą wydawać się niewielkie, ale analiza kształtu powierzchni zależności MMSE = f(Skala, N) (z uwzględnieniem różnic w skalowaniu osi MMSE pomiędzy wykresami) dla tych samych użytych metryk odległości pokazuje, że te powierzchnie różnią się od siebie zasadniczo (przy uwzględnieniu różnic w skalowaniu osi MMSE). Analiza wykresów (dwuwymiarowych) zależności MMSE jako funkcji tylko Skala (Rys. 67) pokazuje, że krzywe dla tych samych miar odległości są prawie identyczne i tylko równolegle przesunięte wobec siebie: krzywa MMSE uzyskana z obliczeń z użyciem metryki Spearmana (przekrój powierzchni z Rys. 66 A płaszczyzną N = 20 000) i krzywa Spearman mod (przekrój powierzchni z Rys. 66 C płaszczyzną N = 20 000) oraz krzywa Czebyszew (przekrój powierzchni z Rys. 66 B płaszczyzną N = 20 000) i krzywa Czebyszew mod (przekrój powierzchni z Rys. 66 D płaszczyzną N = 20 000). Wyraźne odróżnienie krzywych między sobą wynika również ze zmniejszenia skalowania osi MMSE. Nasuwa się wniosek, że analiza powierzchni opisanych zależnością MMSE = f(Skala, N) wymagać będzie bardziej zaawansowanych metod niż obliczenie podstawowych statystyk.

Rys. 66Wykres zależności MMSE = f(Skala,N), długość sygnału N = 20 000, dane pojedynczego ochotnika. Zależności przy r = var: z wykorzystaniem metryki Spearmana A i C,

z wykorzystaniem metryki Czebyszewa B i D. Badanie ochotników II.

Rys. 67 Wykres zależności MMSE = f(Skala) dla macierzy pięciowymiarowej, długość sygnału N = 20 000.

Na Rys. 68 przedstawiono powierzchnie otrzymane jako zależność MMSE = f(Skala, N) dla zmodyfikowanych macierzy sygnałów pojedynczego ochotnika: kolumnę zawiera-jącą sygnał FP1 zastąpiono kolumną zer (Rys. 68 A i B) a w drugim przypadku (Rys. 68 C i D) kolumny zawierające sygnały FP1 i FP2 zastąpione zostały kolumnami zer.

Rys. 68 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N), długość sygnału N = 20 000, dane pojedynczego ochotnika. Zależności przy r = var: z wykorzystaniem metryki Spearmana A i C,

z wykorzystaniem metryki Czebyszewa B i D. Badanie ochotników II.

Zakres wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Spearmana przy r = var pojedynczego ochotnika w przypadku zastąpienia w macierzy sygnałów kolumny FP1 kolumną zer (wykres na Rys. 68 A) wynosi: [min ; max] = [1,200 ; 1,685], wartość średnia SW = 1,463 ± 0,107. Zakres wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Czebyszewa przy takim samym sposobie obliczania odległości wzajemnej r =var (wykres na Rys. 68 B) wynosi: [min ; max] = [1,618 ; 1,824], wartość średnia SW = 1,704 ± 0,042. Dla macierzy z kolumnami FP1 i FP2 zastąpionymi kolumnami zer zakresy tych wartości wynoszą: MMSE obliczone z użyciem metryki Spearmana (Wykres na Rys. 68 C): [min ; max] = [0,865 ; 1,285], wartość średnia SW = 0,966 ± 0,119, MMSE obliczone z użyciem metryki Czebyszewa (Wykres na Rys. 68 D):

[min ; max] = [1,287 ; 1,354], wartość średnia SW = 1,319 ± 0,019. Na Rys. 69 przedstawione są wykresy zależności MMSE = f(Skala,N) macierzy , w których ostatnia kolumna (sygnał HEG R) zastąpiona został kolumną zer (Rys. 69 A i B) oraz wykresy MMSE = f(Skala, N) obliczonego gdy pierwsza kolumna (sygnał FP1) zastąpiona została kolumną, w której wszystkie komórki równe są 0,5 (Rys. 69 C i D).

Zakres wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Spearmana przy r = var pojedynczego ochotnika w przypadku zastąpienia w macierzy sygnałów kolumny HEG R kolumną zer (wykres na Rys. 69 A) wynosi: [min ; max] = [1,289 ; 1,644], wartość średnia SW = 1,461 ± 0,067. Zakres wartości MMSE obliczonych z użyciem metryki Czebyszewa przy takim samym sposobie obliczania odległości wzajemnej r = var (wykres na Rys. 69 B) wynosi: [min ; max] = [1,536 ; 1,885], wartość średnia SW = 1,660 ± 0,069. Dla macierzy z kolumną FP1 zastąpioną kolumną komórek o

wartościach 0,5 zakresy tych wartości wynoszą: MMSE obliczone z użyciem metryki Spearmana (Wykres na Rys. 69 C): [min ; max] = [1,058 ; 1,787], wartość średnia

SW =1,401 ±0,177, MMSE obliczone z użyciem metryki Czebyszewa (Wykres na Rys. 69 D): [min ; max] = [1,505 ; 1,885], wartość średnia SW = 1,646 ± 0,071.

Wykresy MMSE = f(Skala,N) uzyskane z użyciem metryki Czebyszewa umieszczone na Rys. 66 B i Rys. 69 B i D nie różnią się. Wykresy MMSE uzyskane z użyciem metryki Spearmana wykazują większe zróżnicowanie. W przypadku macierzy sygnałów FP1, FP2, BVP, HEG B i HEG R pojawienie się kolumny stałych wartości świadczy o błędnej rejestracji sygnału. Wykresy oraz wartości statystyczne różnią się znacznie dopiero w przypadku, gdy trzy kolumny zawierają same zera. Podobne wartości MMSE pojawiają się gdy te same kolumny zastąpimy kolumnami jedynek („symetria”

dla skrajnych wartości amplitudy sygnału, amplituda sygnału normalizowana była do przedziału [0 ; 1]). W przypadku trzech kolumn zer lub jedynek wartości MMSE są praktycznie identyczne. Analiza powyższych przypadków pokazuje, że tych wykresów nie można porównywać w sposób uproszczony (analiza wizualna). W praktyce może to wystąpić w przypadku sygnału wolnozmiennego lub przyjmującego na przykład tylko dwie wartości. Takim sygnałem jest nasycenie krwi obwodowej tlenem SpO2: może przyjmować na przykład jedną wartość – 99 % a po przeskalowaniu jest to wartość 1 (czyli macierz - wektor samych jedynek). Należy też pamiętać, że macierz (wektor) na przykład: dwóch wartości SpO2: 98,5 % i 99 % jest po normalizacji macierzą zawierającą tylko 0 i 1. Również w przypadku innych dwóch wartości na przykład: 88,5 % i 99 % też po normalizacji otrzymamy macierz zer i jedynek.

Rys. 69 Wykres zależności MMSE = f(Skala,N), długość sygnału N = 20 000, dane pojedynczego ochotnika. Zależności przy r = var: z wykorzystaniem metryki Spearmana A i C,

z wykorzystaniem metryki Czebyszewa B i D. Badanie ochotników II.

1.7 Wyniki obliczeń dla grup badanych

W obliczeniach przyjmowano zawsze: m = 2, τ = 1, a Skala zmienia się od 1 do 10. Oszacowanie wzajemnej odległości między punktami r = 0,15SD (SD to odchy-lenie standardowe amplitudy sygnału obliczane jako maksymalna wartość z wektorów składowych macierzy). Długość sygnału dobierana była z uwzględnieniem możliwości obliczeniowych używanego komputera klasy PC wyposażonego w procesor Intel Core i7 - 5960X, 64 GB RAM, karta graficzna AMD Radeon R7 370. Częstotliwość próbkowania wynosi 32 sps (czyli 32 Hz). Oznaczenia kolorów na wykresach: barwy zimne oznaczają niższe wartości, a barwy ciepłe wyższe. Zakresy wartości MMSE będą przedstawiane w następujący sposób (tak jak w przypadku symulacji z zamianą kolumn lub wstawianiem kolumn o stałych wartościach):

• zakres wartości MMSE, przedział od wartości minimalnej do wartości maksymalnej MMSE [min ; max],

• wartość średnia ± odchylenie standardowe wartości, WS ± SD.

1.7.1 Entropia jednowymiarowych macierzy sygnału

Rys. 70 przedstawia zależności MSE od Skala obliczonej dla trzech grup badanych: żołnierzy wojsk lądowych, lotników (piloci i technicy pokładowi) i ochot-ników. Rys. 70 A przedstawia zależność wielkości entropii w funkcji Skala obliczonej dla sygnału częstości oddychania (RSP) a Rys. 70 B tą samą zależność dla rytmu serca

W dokumencie Neurofizjologiczna, wieloparametryczna metoda oceny sprawności psychofizycznej człowieka (Stron 62-0)