Stosując przekształcenie Fouriera zakładamy, że analizowane są sygnały o nieskończenie długim czasie trwania. W praktyce analizie poddawane są sygnały zarejestrowane w skończonych przedziałach czasu. Jest to przyczyną powstawania zniekształceń wyników analiz spowodowanych wpływem tak zwanych okien czasowych.
Problem okien czasowych danych zostanie omówiony w pierwszej kolejności dla sygnałów rzeczywistych. Zagadnienie to w odniesieniu do sygnałów rzeczywistych jest szczegółowo omawiane w wielu pozycjach literatury [31, 71], Następnie problem okien zostanie omówiony dla sygnałów zespolonych. Do rozwiązania problemu wykorzystano informacje o wpływie okien na wynik analiz sygnałów rzeczywistych.
Wpływ okien czasow ych danych n a wyniki an aliz sygnałów rzeczywistych
Sygnał rzeczywisty x (t) jest obserwowany w skończonym przedziale czasu [-772, 772], Zastosowanie przekształcenia Fouriera wymaga założenia, że rozpatrywany jest sygnał o nieskończenie długim czasie trwania. Dla spełnienia tego założenia przyjmuje się, że wartości chwilowe amplitudy sygnału są równe zeru poza rozpatrywanym odcinkiem czasu o długości 7 (rys. D .l). Założenie to jest równoważne przyjęciu pewnej funkcji wagi uy , która w tym przypadku ma postać prostokąta i zwana jest oknem prostokątnym w dziedzinie czasu
u j(f) = 1 dla -T li < t < 7/2 i ( D l )
ht ( 0 = 0 dla t < -7/2 lub t > 7/2.
Podrealizacja sygnału x (t), będąca wynikiem obserwacji w dziedzinie czasu, może być uznana za wynik mnożenia przebiegu czasowego o nieograniczonym czasie trwania przez prostokątną funkcję okna u j(t) (rys. D. 1). Zastosowanie okna danych w dziedzinie czasu oznacza mnożenie sygnału x(t) przez prostokątną funkcję okna u j :
x l (t) = x ( t ) .u r ( t ) . ( D 2 )
W wyniku tego wyodrębniona została podrealizacja xj(/) sygnału x(t).
Rys. D. 1. Interpretacja realizacji sygnału o ograniczonym czasie trwania [7]
Fig. D. 1. Interpretation o f the signal realisation with limited time [7]
1 2 7
-Funkcję okna prostokątnego u j oraz jej transformatę Fouriera C/t pokazano na rys. D.2 [16], Funkcja okna w dziedzinie czasu jest parzystą funkcją rzeczywistą, co powoduje, że jej transformata składa się tylko z części rzeczywistej.
Mnożeniu w dziedzinie czasu sygnału x(t) przez funkcję okna u j(t), w dziedzinie częstotliwości odpowiada splot widma sygnału analizowanego na nieskończenie długim odcinku czasu X (f) ( będącego funkcją zespoloną) z transformatą okna U-\{f)
X x ( f ) = x { f y u T<j ).
W wyniku tego splotu w widmie analizowanego sygnału powstaje wiele wstęg bocznych wokół lokalnych dominant oraz przeciek mocy z dominujących składowych do składowych sąsiednich. Utrudnia to poprawną interpretację otrzymanych wyników analiz.
Rys. D.2. Prostokątne okno danych w dziedzinie czasu i częstotliwości Fig. D.2. Rectangular time weighting function in time and frequency domain
Dla sygnałów rzeczywistych wpływ ten został dokładnie zbadany i opisany w literaturze [7, 67], Efekty te występują w różnych formach dla wszystkich metod wyznaczania widm przy skończonym czasie analizy.
Redukcji wpływu okna na wyniki analiz poświęcono wiele prac [71], a rozwiązania różnią się w zależności od metody obliczania widma i założeń co do charakteru danych. Stosowane są okna o specjalnej postaci, np. popularne są okna : Hanninga, Kaisera-Bassela i „Fiat Top” .
Wpływ okien czasow ych danych n a wyniki an aliz sygnałów zespolonych
Sygnał zespolony z(t) obserwowany w skończonym przedziale czasu [-7/2, 7/2] tworzy podrealizację z \{l). W celu jej wyodrębnienia zarówno część rzeczywistą jak i urojoną sygnału z(/) należy pomnożyć przez funkcję okna gdzie wą jest funkcją rzeczywistą
zi (/) = Re(z(r)) -u T (t) + j Im(z(/)) • uT (/).
Powyższe równanie można sprowadzić do postaci:
z x (Z) = (R e (z(t)) + j Im (z(/))) u T (t) = z (t) uT ( t ) .
( D-4)
( D-5) W dziedzinie częstotliwości mnożeniu temu odpowiada splot widma sygnału analizowanego na nieskończenie długim odcinku czasu Z (J) z transformatą okna
1 2 8
-Z i ( J ) = -Z ( f ) * U T ( f ) . ( D 6 ) Tak jak dla sygnałów rzeczywistych, transformata sygnału zespolonego Z {f), będąca funkcją zespoloną jest splatana z transformatą okna U jif), będącą funkcją rzeczywistą.
Oznacza to, że wpływ okien w przypadku analizy sygnałów zespolonych jest podobny jak w przypadku analizy sygnałów rzeczywistych.
W wyniku splotu w widmie analizowanego sygnału zespolonego powstaną wstęgi boczne wokół lokalnych dominant oraz przeciek mocy z dominujących składowych do składowych sąsiednich. Opierając się na powyższych rozważaniach można stwierdzić, że podczas analizy sygnałów zespolonych pozostają aktualne znane zalecenia dotyczące stosowania okien czasowych dla sygnałów jednowymiarowych rzeczywistych [31, 71],
W trakcie doboru odpowiedniego okna należy wziąć po uwagę typ analizowanego sygnału oraz cel prowadzonej analizy. W dalszej części pracy do wyznaczania widma mocy stosowano okno Hanninga lub Fiat Top.
Okno Hanninga ma wiele istotnych zalet w porównaniu z oknem prostokątnym i jest najczęściej stosowane w analizie częstotliwościowej. Podczas gdy tłumienie amplitudy pierwszej wstęgi bocznej wynosi dla okna prostokątnego 13 dB, to dla okna Hanninga
Z punktu widzenia celu prowadzonych analiz najlepszym rozwiązaniem może być często zastosowanie okna Fiat Top. Analizowane w pracy sygnały zespolone, opisujące trajektorię ruchu czopa w łożysku ślizgowym, w większości przypadków składają się z kilku (często jednej) składowych harmonicznych o dominujących amplitudach na tle szumu szerokopasmowego o niewielkiej amplitudzie. Z punktu widzenia diagnostyki technicznej celem analizy częstotliwościowej takich sygnałów jest najczęściej dokładne określenie amplitud dominujących składowych. Stosując analizę o odpowiednio dużej rozdzielczości częstotliwościowej (umożliwiającą dokładną identyfikację częstotliwości składowych widma ) dokładne określenie amplitudy lub mocy sygnału w określonym paśmie umożliwia zastosowanie okna Fiat Top. Stosowanie tego okna wymaga jednak stałej kontroli czy w analizowanym sygnale nie ma istotnych składowych o niewiele różniących się częstotliwościach. W takim przypadku zastosowanie okna Fiat Top może spowodować, że składowe te w widmie będą reprezentowane przez jeden prążek.
Przy stosowaniu cyfrowych metod analizy sygnałów uwzględnianie wpływu funkcji okna może mieć miejsce w dziedzinie czasu lub częstotliwości. W pracy funkcję okna stosowano w dziedzinie czasu. Składowe x(n ) i y{n) sygnału dyskretnego z{n), gdzie n = 0, są mnożone przez wartości liczbowe okna vvj wyliczone dla funkcji okna w N chwilach czasu
1 2 9
-oddalonych od siebie o odstęp At=T/N , gdzie T jest szerokością okna w dziedzinie czasu. W przypadku okna Hanninga wpływ okna uwzględniano w dziedzinie częstotliwości (dodatek F).
Na zakończenie należy przypomnieć, że niezastosowanie jawnie żadnego okna jest równoważne z zastosowaniem okna prostokątnego.