Uwaga 6.5.1 Twierdzenie 6.2.2 pozwala uogólnić pojęcie przestrzeni metrycznej na szerszą klasę przestrzeni zwanych
prze-strzeniami topologicznymi.
Definicja 6.5.1 Przestrzenią topologiczna nazywamy parę (X, τ ), gdzie τ ⊂ 2X spełnia następujące aksjomaty (Ax1) ∅, X ∈ τ (Ax2) {Ai: i ∈ I} ⊂ τ ⇒ S i∈I Ai∈ τ (Ax3) {Ai: 1 ¬ i ¬ n} ⊂ τ ⇒ n T i=1 Ai∈ τ .
Elementy rodziny τ nazywamy zbiorami otwartymi, zaś samą rodzinę τ nazywamy topologią przestrzeni.
Uwaga 6.5.2 Istnieje najmniejsza rodzina zbiorów spełniająca aksjomaty definicji 6.5.1. Składa się ona ze zbioru pustego
i całego zbioru. Nazywamy ją topologią antydyskretną. Jej przeciwieństwem jest topologia dyskretna, gdzie każdy podzbiór zbioru jest zbiorem otwartym. Topologia dyskretna jest wyznaczona przez metrykę dyskretną określoną następująco
dd(x, y) = 1 dla x 6= y
0 dla x = y. (6.39)
Przestrzeń dyskretną oznaczamy (Xd, dd).
Definicja 6.5.2 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Określmy rodzinę zbiorów T następująco A ∈ T wtedy i tylko
wtedy, gdy A jest otwarty w sensie definicji 6.2.2. Wówczas T nazywamy topologią indukowaną przez metrykę d lub topologią zgodną z metryką d i oznaczamy τd
Twierdzenie 6.5.1 Przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez metrykę.
Szkic dowodu.
Jest to twierdzenie 6.2.2. 2
Uwaga 6.5.3 W ogólnej przestrzeni topologicznej pojęcie zwartości wprowadza się poprzez pokrycia.
Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną.
Definicja 6.5.3 Pokryciem zbioru A ⊂ X nazywamy rodzinę zbiorów {Ai: i ∈ I} taką, że
A ⊂ [
i∈I
Ai. (6.40)
Definicja 6.5.4 Zbiór E nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jego pokrycia otwartego można wybrać
podpokrycie skończone tzn.
∀{Ai:i∈I}{Ai: i ∈ I} pokrycie zbioru A ⇒ ∃i1,...,in∈IE ⊂ Ai1∪ . . . ∪ Ain. (6.41)
Przykład 6.5.1 Zbiór R nie jest zwarty w jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej E1, gdyż dla pokrycia
Rdef= {]n, n + 1[: n ∈ Z} ∪ ]n +1 2, n + 3 2[: n ∈ Z
nie można wybrać podpokrycia skończonego (jedyne podpokrycie zawierające R jest nim samym).
Twierdzenie 6.5.2 Zbiór w przestrzeni metrycznej jest ciągowo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty.
Szkic dowodu.
Niestety dowód tego faktu wykracza znacznie poza wykład, więc nie zamieszczamy go. Można go znaleźć w [9, rozdz. XVI §5].
Rozdział 7
Granica i ciągłość funkcji
7.1 Granica funkcji
Niech (Xi, di) będą przestrzeniami metrycznymi z topologiami τi dla i = 1, 2. Niech ∅ 6= A ⊂ X1 oraz f : A → X2.
Definicja 7.1.1 Niech p będzie punktem skupienia zbioru A. Będziemy mówili, że odwzorowanie f ma granicę w punkcie p
równą q (q ∈ X2) wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z warunków
∀ε>0∃δ>0∀x∈A0 < d1(p, x) < δ ⇒ d2(q, f (x)) < ε (7.1)
∀(pn)⊂A\{p} lim
n→∞pn= p ⇒ lim
n→∞f (pn) = q. (7.2)
Zapisujemy wtedy lim
x→pf (x) = q lub f (x) → q dla x → p.
Uwaga 7.1.1 Warunek (7.1) nazywamy warunkiem Cauchy’ego lub też definicją epsilonowo - deltową. Natomiast
warunek (7.2) nazywamy warunkiem Heinego lub definicją ciągową.
Uwaga 7.1.2 Z określenia punktu skupienia wynika, że punkt p nie musi należeć do zbioru A. A jeżeli nawet należy, to nie
wynika wcale, że f (p) = lim
x→pf (x).
Uwaga 7.1.3 Tak zdefiniowane pojęcie granicy zawiera w sobie definicje granic w nieskończoności dla (X2, d2) = E1, jak i granic nieskończonych dla (X1, d1) = E1.
Uwaga 7.1.4 Warunek 7.1 może być zapisany
∀ε>0∃δ>0f ((B(p, δ) \ {p}) ∩ A) ⊆ B(q, ε). (7.3)
Uwaga 7.1.5 Aby móc posługiwać się tą definicją należy udowodnić równoważność obu warunków. Twierdzenie 7.1.1 Obie warunki definiujące granicę odwzorowania w punkcie są równoważne.
Szkic dowodu.
Niech p będzie punktem skupienia zbioru A. Załóżmy, że lim
x→pf (x) = q. (7.1) ⇒ (7.2)
Niech (pn) ⊂ A \ {p} będzie dowolnym ciągiem takim, że lim
n→∞pn = p. Niech ε > 0. Rozważmy δ > 0 oraz n0 takie, że
∀x∈A0 < d1(p, x) < δ ⇒ d2(q, f (x)) < ε
∀nn0d1(p, pn) < δ.
Wtedy dla dowolnego n n0 mamy d1(p, pn) < δ oraz pn∈ A i d1(p, pn) > 0, gdyż pn ∈ A \ {p}. Stąd d2(q, f (pn)) < ε, co kończy dowód.
(7.2) ⇒ (7.1) (ad absurdum) Załóżmy, że spełniony jest warunek (7.2) i nie zachodzi warunek (7.1). Rozważmy więc takie ε > 0, że ∀δ>0∃x∈A0 < d1(p, x) < δ ∧ d2(q, f (x)) ε. Stąd mamy ∀n∈N∃xn∈A0 < d1(p, xn) < 1 n∧ d2(q, f (xn)) ε. (7.4) Rozważmy ciąg punktów (xn) spełniający warunek (7.4). Jest on więc zbieżny do p, wszystkie wyrazy tego ciągu są różne
od p, ale ciąg wartości nie jest zbieżny do q 2
Wniosek 7.1.1 Jeżeli f ma granicę w punkcie p, to tylko jedną.
Szkic dowodu.
Wystarczy zastosować twierdzenie o jednoznaczności granicy ciągu (twierdzenie 6.3.1) i warunek Heinego granicy funkcji
(warunek (7.2)). 2
Uwaga 7.1.6 Od tej chwili mówiąc o funkcjach o dziedzinie rzeczywiste, wartościach rzeczywistych albo
funk-cji rzeczywistej zakładamy, że mamy doczynienia z przestrzenią E1 albo E1. Jeżeli będzie inaczej wyraźnie będzie
to zaznaczane.
Twierdzenie 7.1.2 . Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d), p będzie punktem skupienia zbioru
A, zaś f, g: A → R. Niech limx→pf (x) = α i lim
x→pg(x) = β. Wówczas lim x→p(f + g)(x) = α + β (7.5) lim x→p(f g)(x) = αβ (7.6) lim x→p(f g)(x) = α β o ile β 6= 0 (7.7) lim x→p(af )(x) = aα (7.8) Szkic dowodu.
Wystarczy zastosować twierdzenie o jednoznaczności granicy ciągu (twierdzenie 6.3.1) i definicję ciągową granicy funkcji
(warunek (7.2)). 2
Uwaga 7.1.7 Gdy E1= (X1, d1) = (X2, d2) oraz p ∈ R, to otrzymujemy definicję (warunek Cauchy’ego) granicy
(skończo-nej) funkcji w punkcie. Funkcja f ma granicę równą q w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0∃δ>0∀x∈R0 < |p − x| < δ ⇒ |f (x) − q| < ε (7.9)
Gdy E1= (X1, d1) oraz E1= (X2, d2) oraz p = +∞, to otrzymujemy definicję (warunek Cauchy’ego) granicy (skończonej)
funkcji w nieskończoności. Funkcja f ma granicę równą q w plus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0∃δ∈R∀x∈Rδ < x ⇒ |f (x) − q| < ε (7.10)
Analogicznie można otrzymać granice nieskończone w punkcie, jak i granice nieskończone w nieskończoności.
Dla funkcji rzeczywistych można zdefiniować granice jednostronne skończone.
Definicja 7.1.2 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Niech p będzie dowolnym punktem takim, że a ¬ p < b.
Mówimy, że granicą prawostronną funkcji f w punkcie p jest liczba q wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków ∀ε>0∃δ>0∀x∈A0 < x − p < δ ⇒ |f (x) − q| < ε (7.11) ∀(xn)⊂]p,b[ lim n→∞xn = p ⇒ lim n→∞f (xn) = q. (7.12) Oznaczamy ją q = lim x→p+f (x) ≡ f (p+).
66 Analiza MatematycznaJarosław Kotowicz
Definicja 7.1.3 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Niech p będzie dowolnym punktem takim, że a ¬ p < b.
Mówimy, że granicą prawostronną funkcji f w punkcie p jest plus nieskończoność wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków
∀ε>0∃δ>0∀x∈A0 < x − p < δ ⇒ f (x) > ε (7.13)
∀(xn)⊂]p,b[ lim
n→∞xn= p ⇒ lim
n→∞f (xn) = +∞. (7.14)
Piszemy wtedy lim
x→p+f (x) ≡ f (p+) = +∞.
Twierdzenie 7.1.3 Niech funkcja f będzie określona na odcinku ]a, b[. Niech x ∈]a, b[. Wówczas granica funkcji f w punkcie x istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.
Szkic dowodu.
Warunek konieczny wynika w prosty sposób przez zastosowanie warunku Heinego granicy w punkcie, natomiast warunek dostateczny najłatwiej sprawdza się z użyciem warunku Cauchy’ego. 2
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną ∅ 6= A ⊂ X. Niech p będzie punktem skupienia zbioru A.
Twierdzenie 7.1.4 (O trzech granicach) Niech f, g, h: A → R. Wtedy jeżeli
(1) lim
x→pf (x) = lim
x→pg(x)
(2) istnieje sąsiedztwo S punktu p takie, że f (x) ¬ h(x) ¬ g(x) dla dowolnych x ∈ S ∩ A, to lim
x→ph(x) = lim
x→pf (x).
Szkic dowodu.
Wynika z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenie 4.2.4) i warunku Heinego granicy funkcji w punkcie. 2
Uwaga 7.1.8 W przypadku prostej euklidesowej twierdzenie to można formułować dla granic jednostronnych. Twierdzenie 7.1.5 (O dwóch granicach) Niech f, g: A → R. Wtedy jeżeli
(1) lim
x→pf (x) = +∞(−∞)
(2) istnieje sąsiedztwo S punktu p takie, że f (x) ¬ g(x) (f (x) g(x)) dla dowolnych x ∈ S ∩ A, to lim
x→pg(x) = +∞(−∞).
Szkic dowodu.
Dowód analogiczny do poprzedniego (w oparciu o twierdzenie 4.6.9). 2
Twierdzenie 7.1.6 Jeżeli funkcje f, g: A → R w pewnym otoczeniu Op punktu p spełniające warunek ∀x∈Op∩Af (x) ¬ g(x),
posiadają granicę w punkcie p, to
lim
x→pf (x) ¬ lim
x→pg(x).
Szkic dowodu.
Wystarczy zastosować warunek Heinego (warunek w(7.2)) oraz wniosek 4.2.1. 2
Twierdzenie 7.1.7 Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a, b[, gdzie b ∈ R oraz a < b. Jeżeli funkcja f jest na tym przedziale niemalejąca i ograniczona z góry albo nierosnąca i ograniczona z dołu, to posiada ona w punkcie b granicę skończoną.
Szkic dowodu.
Analogicznie, jak poprzednio, jest to konsekwencja twierdzenia 4.4.1 i warunku Heinego granicy funkcji w punkcie. 2
Uwaga 7.1.10 Mamy również twierdzenie odwrotne.
Twierdzenie 7.1.8 Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a, b[, gdzie b ∈ R oraz a < b. Jeżeli funkcja f jest na tym przedziale niemalejąca (nierosnąca) i posiada granicę skończoną w punkcie b, to jest ograniczona z góry (dołu).
Szkic dowodu.
Analogicznie, jak poprzednio, jest to konsekwencja wniosku 4.4.1 i warunku Heinego granicy funkcji w punkcie. 2
Twierdzenie 7.1.9 (Kryterium Bolzano-Cauchy’ego) 1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, A ⊂ X, p ∈ X będzie punktem skupienia zbioru A, funkcja f : A → R. Funkcja ma w punkcie p skończona granicę wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0∃δ>0∀x,y∈A0 < d(x, p) < δ ∧ 0 < d(y, p) < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. (7.15)
Szkic dowodu.
(Konieczność)
Niech lim
x→pf (x) = g. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy δ takie, że ∀x∈A0 < d(x, p) < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
2. Niech x, y ∈ A będą takie, że 0 < d(x, p) < δ oraz 0 < d(y, p) < δ. Mamy wtedy
|f (x) − f (y)| ¬ |f (x) − g| + |g − f (y)| < ε
2 +
ε
2 = ε.
(Dostateczność)
Udowodnimy korzystając z warunku Heinego (warunek (7.2)) Niech (xn) będzie dowolnym ciągiem punktów z A \ {p}. Załóżmy, że lim
n→∞xn= p. Zauważmy, że założenie implikuje, iż ciąg (f (xn)) jest ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba dodatnia δ taka, że
∀k,m∈N0 < d(xk, p) < δ ∧ 0 < d(xm, p) < δ ⇒ |f (xk) − f (xm)| < ε. Ponieważ istnieje takie n0∈ N, że
∀k,m∈N0 < d(xk, p) < δ ∧ 0 < d(xm, p) < δ,
gdyż ciąg (xn) jest zbieżny do p, więc ostatecznie mamy
∀k,mn0|f (xk) − f (xm)| < ε.
Na mocy odpowiednika twierdzenia Cauchy’ego dla ciągów liczbowych (twierdzenie 4.4.2) jest on zbieżny. Niech lim
n→∞f (xn) =
g ∈ R. Wtedy na mocy warunku Heinego mamy lim
x→pf (x) = g. 2