Skrypt do wykładu z analizy matematycznej, dr Jarosław Kotowicz, Uniwersytet w Białymstoku

Pełen tekst

(1)Skrypt do wykładu z Analizy Matematycznej dla I roku1 studiów zawodowych z matematyki dr Jarosław Kotowicz 19 maja 2004. 1. c Jarosław Kotowicz 2002, 2003, 2004.

(2) Spis treści Spis rysunków. 6. Spis tabel. 7. Wstęp. 8. 1 Zbiory. Relacje. Kresy 1.1 Spójniki logiczne i kwantyfikatory . . . . . . 1.2 Podstawowe pojęcia i działania na zbiorach 1.3 Relacja, jako zbiór. Podstawowe typy relacji 1.4 Zbiory uporządkowane. Kresy . . . . . . . .. . . . .. . . . .. 2 Ciała liczbowe. Liczby rzeczywiste 2.1 Ciało liczbowe i ciało uporządkowane . . . . . . 2.2 Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Przedziały liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . 2.4 Funkcje w zbiorze liczb rzeczywistych. Indukcja 2.5 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . matematyczna . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. 3 Funkcje 3.1 Ogólne własności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Monotoniczność i ograniczoność funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste 3.3 Wypukłość i wklęsłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Działania określone dla funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. 10 10 10 11 13. . . . . .. 14 14 15 17 18 20. . . . .. 21 21 23 25 26. 4 Ciągi liczbowe 4.1 Granica ciągu. Ciągi zbieżne . . . . . . . . . . . 4.2 Własności ciągów zbieżnych . . . . . . . . . . . 4.3 Podciągi. Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa . 4.4 Monotoniczność, a zbieżność. Ciągi Cauchy’ego 4.5 Ważne ciągi i ich granice . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ciągi rozbieżne do nieskończoności . . . . . . . 4.7 Inne twierdzenia o granicach ciągów . . . . . . 4.8 Granica górna i dolna ciągu. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 28 28 28 31 32 34 35 37 40. 5 Szeregi liczbowe 5.1 Pojęcie szeregu liczbowego. Zbieżność szeregów 5.2 Kryteria zbieżności dowolnych szeregów . . . . 5.3 Szeregi nieujemne i ich kryteria zbieżności . . . 5.4 Zbieżność bezwględna szeregu . . . . . . . . . . 5.5 Szeregi naprzemienne i warunkowo zbieżne . . . 5.6 Iloczyn Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 43 43 44 45 49 51 52. 2.

(3) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 3. 6 Elementy topologii – przestrzenie metryczne 6.1 Przestrzenie metryczne. Prosta euklidesowa i rozszerzona prosta euklidesowa 6.2 Zbiory otwarte i domknięte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie metryczne zupełne . . 6.4 Zbiory i przestrzenie (ciągowo) zwarte, lokalnie zwarte i spójne . . . . . . . . 6.5 Dodatek – przestrzeń topologiczna, przestrzeń topologiczna zwarta . . . . . . 7 Granica i ciągłość funkcji 7.1 Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Jednostajna ciągłość. Warunek Lipschitza . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Wahanie funkcji w punkcie, a ciągłość. Funkcje wypukłe i ciągłość . 7.5 Ciągłość i zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Ciągłość i spójność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Nieciągłość. Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji rzeczywistych 7.8 Ciągłość elementarnych funkcji rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . 7.9 Granica górna i dolna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. 54 54 55 58 60 62. . . . . . . . . .. 64 64 67 70 70 73 75 77 79 81. 8 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistej 8.1 Różniczkowalność funkcji. Pochodne . . . . . . . . . . . 8.2 Działania algebraiczne na funkcjach różniczkowalnych . 8.3 Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego 8.4 Monotoniczność, a pochodna . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Jednostajna ciągłość, a pochodna . . . . . . . . . . . . . 8.6 Ekstrema. Ekstrama, a pochodna . . . . . . . . . . . . . 8.7 Reguła de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Wzór Taylora i jego zastosowania . . . . . . . . . . . . . 8.10 Wklęsłość i wypukłość, a pochodna. Punkty przegięcia.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 83 83 85 87 88 89 89 91 94 95 97. 9 Całka nieoznaczona 9.1 Podstawowe pojęcia i wzory . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . 9.4 Całkowanie funkcji niewymiernych. Podstawienia Eulera. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 100 100 101 103 104. . . . . . . . .. 105 105 108 111 117 118 121 123 124. . . . .. 129 129 136 137 139. 10 Całki właściwe Riemanna i Riemanna - Stieltjesa 10.1 Definicja całki Riemanna i Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . 10.2 Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . 10.3 Własności całki Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Zamiana zmiennych w całce Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . 10.5 Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna – twierdzenie Lebesgue’a 10.6 Całkowanie (całka Riemanna), a różniczkowanie . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Twierdzenia o wartości średniej dla całki Riemanna . . . . . . . . . . . . 10.8 Całka Riemanna - Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym . 11 Całki niewłaściwa 11.1 Całki niewłaściwe Riemmana . . . . . . . . . . . 11.2 Zbieżność całki w sensie wartości głównej . . . . 11.3 Ważne całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Funkcja logarytmiczna (wg Kleina) i wykładnicza. . . . –. . . . . . . . . . . . . . . . inaczej. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . ..

(4) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 4. 12 Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych 142 12.1 Funkcje wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 12.2 Długość łuku krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 13 Ciągi i szeregi funkcyjne 13.1 Różnego rodzaju zbieżności ciągów funkcyjnych i związek między nimi 13.2 Ciągłość funkcji granicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Przestrzeń C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Zbieżność szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . 13.7 Istnienie funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej . . . . . . . . . . . 13.8 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa (rzeczywiste) . . . . . . . . . . . . 13.9 Twierdzenie Stone’a - Weierstrassa (zespolone) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 146 146 150 152 154 156 159 161 162 167. 14 Szeregi potęgowe i funkcje analityczne 169 14.1 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 14.2 Funkcje analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 15 Całka Lebesgue’a na prostej euklidesowej 15.1 Miara nieujemna i jej własności . . . . . . . . . . . . . 15.2 Miara zewnętrzna. Przedłużanie miary . . . . . . . . . 15.3 Konstrukcja miary Lebesgue’a na prostej euklidesowej 15.4 Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a . . . . . . . . . 15.5 Całka Lebesgue’a na prostej euklidesowej . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 177 177 180 185 185 189. A Zadania z egzaminów A.1 Egzamin w semestrze zimowym – rok akademicki 2001/2002 A.1.1 Termin pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Termin poprawkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Egzamin w semestrze zimowym – rok akademicki 2002/2003 A.2.1 Termin pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Termin poprawkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Egzamin komisyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Egzamin w semestrze letnim – rok akademicki 2002/2003 . A.3.1 Termin pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Termin poprawkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Egzamin w semestrze zimowym – rok akademicki 2003/2004 A.4.1 Termin pierwszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2 Termin poprawkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.3 Egzamin komisyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 200 200 200 200 201 201 201 201 202 202 202 203 203 203 204. . . . . .. . . . . .. B Zagadnienia na egzamin teoretyczy C Zadania utrwalające i rozszerzające C.1 Zadania do rozdziału I . . . . . . . C.2 Zadania do rozdziału II . . . . . . C.3 Zadania do rozdziału III . . . . . . C.4 Zadania do rozdziału IV . . . . . . C.5 Zadania do rozdziału V . . . . . . C.6 Zadania do rozdziału VI . . . . . . C.7 Zadania do rozdziału VII . . . . .. 205 materiał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 211 211 211 212 213 214 215 215.

(5) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz C.8 C.9 C.10 C.11 C.12 C.13 C.14 C.15. Zadania Zadania Zadania Zadania Zadania Zadania Zadania Zadania. Skorowidz Bibliografia. do do do do do do do do. rozdziału rozdziału rozdziału rozdziału rozdziału rozdziału rozdziału rozdziału. VIII IX . X . XI . XII XIII XIV XV. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 5 . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 217 217 217 218 218 219 219 219. 198219 226.

(6) Spis rysunków 7.1. Rysunek pomocniczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 79.

(7) Spis tabel 1.1 1.2. Spójniki logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kwantyfikatory logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1. Własności przestrzeni metrycznych – (Q, dE ), E 1 , E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 8.1 8.2. Funkcje elementarne i ich pochodne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkcje cyklometryczne i ich pochodne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 86. 9.1 9.2 9.3 9.4. Funkcje elementarne i ich funkcje pierwotne. . . . . . . . I Podstawienia Eulera (a > 0). . . . . . . . . . . . . . . II Podstawienia Eulera (c > 0). . . . . . . . . . . . . . . III Podstawienia Eulera (ax2 + bx + c = a(x − λ)(x − µ). 1. 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oraz λ 6= µ).. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 10 10. 100 104 104 104.

(8) Wstęp Niniejszy skrypt jest przygotowywany przeze mnie z myślą o studentach studiów zawodowych w Instytucie Matematyki Uniwersytetu w Białymstoku. Skrypt ma być pomocny w usystematyzowaniu wiedzy z wykładów. Jest on stale rozwijany i uzupełniany. Przygotowany jest przede wszystkim dla wykładu prowadzonego przeze mnie w roku akademickim 2003/2004 na podstawie wykładów prowadzonych przeze mnie w poprzednich latach. Ponieważ Analiza matematyczna jest przedmiotem klasycznym, więc przygotowując niniejszy skrypt opierałem się o istniejące już podręczniki i tak rozdział i. Kwantyfikatory, zbiory, relacje są przedmiotem klasycznego wykładu ze Wstępu do matematyki. Przygotowując je korzystałem z podręcznika H. Rasiowej [14]. Analogiczne fakty o relacjach podane są również w podręczniku K. Maurina [11, 12]. Osobom pragnące przećwiczyć podany materiał polecam zbiór autorstwa W. Marek, J. Onyszkiewicz [19]. Przygotowując ostatni paragraf skorzystałem z książki W. Rudina [15]. rozdział ii. Pojęcia ciała i ciała uporządkowanego jest przedmiotem wykładu z Algebry liniowej i tutaj polecam podręcznik A. Białynickiego - Biruli [2]. Świadomie zrezygnowałem z podawania konstrukcji liczb rzeczywistych, chociaż nie prowadzony jest już wykład z Arytmetyki teoretycznej. Osobom zainteresowanym polecam podręcznika W. Rudnia [15] dla konstrukcji Dedekinda oraz do K. Maurina [11, 12] dla konstrukcji Cauchy’ego. Osoby pragnące poznać konstrukcje liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych powinny sięgną po podręcznik A. Grzegorczyka [6] lub książkę J. Słupeckiego, K. Hałkowskiej, K. Piróg-Rzepackiej [7]. Pozostała część materiału tego rozdziału zawarta jest np. w [15, 10, 8, 1] rozdział iii. Materiał dotyczący pojęcia funkcji i jej klasycznych własności (monotoniczność, ograniczoność, parzystość, itp.) znajduje się w każdym z podręczników [15, 10, 8, 1]. Dokładniejsze omówienie funkcji wypukłych podane jest w podręczniku A. Birkholca [1] i w ćwiczeniach w podręczniku W. Rudina [15]. Ćwiczenia pozwalające oddzielić pojęcie funkcji od relacji znajdują się w [19]. rozdział iv. Materiał dotyczący ciągów liczbowych został opracowany w duchu podręcznika K. Kuratowskiego [8]. Zrezygnowałem z bardziej ogólnego pojęcia ciągu w przestrzeni metrycznej, jak prezentowane jest to w [15] ze względu na przygotowanie studentów wyniesione ze szkoły średniej. Uważałem, że powinni wpierw opanować sposób dowodzenia twierdzeń w oparciu o pojęcia ze szkoły średniej. Materiał tego rozdziału znajduje się w podręcznikach [10, 5, 1, 12, 11] z tym, że w [1] pojęcie ciągu zbieżnego jest wprowadzane łącznie z granicą funkcji. Paragraf 4.5 pomimo, że jest klasyczny, to forma jego przedstawienia oparta jest o [15]. Włączyłem do tego rozdziału lemat Toepliza między innymi dlatego, że wykładając rachunek prawdopodobieństwa konieczny jest on do dowodu centralnego twierdzenia granicznego. rozdział v. Rozdział ten poświęcony szeregom liczbowych został skomponowany w oparciu o podręczniki K. Kuratowskiego [8] i głównie W. Rudina [15]. Jedyną różnicą w stosunku do [15] jest wyraźne wydzielenie zbieżności szeregów nieujemnych. Dowód twierdzenia Riemanna pochodzi z [15]. Materiał tego rozdziału można znaleźć w [10, 5, 1, 12, 11] rozdział vi. Niestety wykład z Topologii jest na roku drugim. Ponieważ podejście do granicy funkcji w punkcie i ciągłości funkcji jest bardzo naturalne dla przestrzeni metrycznych i jest moim zdaniem podstawowym zdecydowałem się podać podstawowe fakty z tego działu matematyki. Opierałem się tutaj na podręczniku K. Kuratowskiego [9]. Materiał konieczny znajduje się również w [15, 1, 11, 12]. Pełny wykład z topologi zawiera podręcznik R. Engelkinga [4]. rozdział vii. Podejście do granicy funkcji i ciągłości prezentowane przeze mnie jest najbardziej klasyczne, gdyż pozwala automatycznie przenieść omawiane pojęcia na funkcje wielu zmiennych. Inspiracją dla tego rozdziału były podręczniki 8.

(9) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 9. W. Rudina [15] oraz A. Birkholca [1]. Dwa ostanie paragrafy tego rozdziału powstały w oparciu o podręcznik [1]. Ucząc się należy również korzystać z podręczników [10, 8, 5, 11, 12] rozdział viii. Definicja pochodnej podawana w skrypcie pochodzi z podręcznika A. Birkholca [1]. Niestety pomimo największej jej ogólności i tak w praktyce definiujemy pochodną dla punków przedziału (sumy przedziałów). W przypadku przedziału domkniętego nie przenosi się ona na funkcje wielu zmiennych. W związku z tym opieram się następnie na przedstawieniu materiału przez W. Rudina [15] i K. Maurin [11, 12] wykorzystując podręcznik A. Birkholca [1], jak i podręczniki [8, 10, 5]. Dowód twierdzenia de l’Hospitala pochodzi z [1]. rozdział ix. Materiał tego rozdziału można znaleźć w [8, 5, 10, 1]. Dobrym zbiorem zadań do przećwiczenia liczenia całek niewłaściwych jest jest [18]. rozdział x. Materiał tego rozdziału powstał w oparciu o podręcznik W. Rudina [15]. Elementy znajdują się również w [8, 5, 10, 12, 11]. Należy podkreślić, że wybór całki Riemanna-Stieltjesa tylko względem funkcji niemalejących uzasadnione jest rozkładem Jordana funkcji o wahaniu ograniczonym. Takie podejście jest bardziej przejrzyste. Ogólne pojęcie całki Riemanna-Stieltjesa przedstawione w ostatnim paragrafie pochodzi z podręcznika St. Łojasiewicza [13]. rozdział xi. Głównym podręcznikiem dla tego rozdziału jest podręcznik G.M. Fichtenholz [5]. Elementy zawarte są w [8, 15, 10]. Ostatni paragraf zaczerpnięty został z [12, 11]. rozdział xii. Głównym podręcznikiem dla tego rozdziału jest [15]. Krzywe prostowalne są omawiane w [13]. rozdział xiii. Materiał do tego rozdziału powstał głownie na podstawie moich notatek z wykładu dr. W. Lisieckiego, na które uczęszczałem jako student (pojęcie zbieżność lokalnie jednostajnej). Materiał do tego rozdziału znajduje sie w [15, 12, 11]. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa jest również omówione w [13] i każdym podręczniku z Analizy Funkcjonalnej. rozdział xiv. Głównymi podręcznikami są [15, 1, 12]. Pozostała część powstała na podstawie moich notatek z wykładu dr. W. Lisieckiego. rozdział xv. Ponieważ kilkukrotnie wykładałem przedmiot Teoria miary i całki Lebesgue’a rozdział ten powstał na podstawie notatek przygotowanych przeze mnie do tego wykładu. Podręcznikami zawierającymi materiał tego rozdziału są [15, 3, 13, 17, 16]. Jeżeli ma być podstawą do przygotowania się do egzaminu w roku akademickim 2003/2004, to należy przeczytać następujące uwagi: To czego nie było na wykładach w roku akademickim zostało zaznaczone kolorem czerwonym, chyba, że jest odnośnik, że było. Jeżeli kolorem czerwonym został zaznaczony tytuł jakiegoś paragrafu (fragment tytułu), to jest on (paragraf albo jego fragment) nieobowiązkowy. Jeżeli kolorem czerwonym została zaznaczona jakaś uwaga, prosta konsekwencja definicji albo fakt, to należy je znać, gdyż na wykładzie nie były zapisane, lecz były powiedziane. Jeżeli kolorem czerwonym została zaznaczona dowód, to należy go znać, gdyż twierdzenie było sformułowane, lecz należało takie twierdzenie dowieść w domu. Zaznaczenie kolorem czerwonym odbywać się będzie sukcesywnie w miarę odbywania się kolejnych wykładów. W wersji z dnia 22 kwietnia 2004 roku materiał z dowodami jest łącznie z rozdziałem o całkowaniu funkcji wektorowych funkcji. Pozostałe rozdziały są na razie być może z lukami w dowodach. Najważniejsza informacja. Skrypt został tak przygotowany, że nie można go wydrukować w domu. Należy skorzystać z papierowej wersji znajdującej się w czytelni Instytutu. Wszystkim studentom życzę miłej lektury..

(10) Rozdział 1. Zbiory. Relacje. Kresy 1.1. Spójniki logiczne i kwantyfikatory. Będziemy posługiwać się następującymi spójnikami logicznymi nazwa spójnika. odpowiednik słowny spójnika. symbol spójnika. koniunkcja alternatywa implikacja równoważność zaprzeczenie. i lub jeżeli . . . to . . . . . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . nie. ∧ ∨ ⇒ ⇔ ¬. Tabela 1.1: Spójniki logiczne Będziemy używać następujących kwantyfikatorów nazwa kwantyfikatora. odpowiednik słowny kwantyfikatora. symbol kwantyfikatora. ogólny szczegółowy (egzystencjalny). dla każdego istnieje. ∀ ∃. Tabela 1.2: Kwantyfikatory logiczne. 1.2. Podstawowe pojęcia i działania na zbiorach. Definicja 1.2.1 Niech A, B będą zbiorami. Wówczas A∪B. def. =. {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. (1.1). A∩B. def. =. {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1.2). A\B. def. =. {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B}. (1.3). A×B. def. =. {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}. (1.4). A⊂B. ⇔. ∀x x ∈ A ⇒ x ∈ B.. (1.5). Niech ponadto X będzie uniwersum - przestrzenią. Wówczas def. A0 = X \ A Uwaga 1.2.1 Zbiór A ∪ B, nazywamy sumą zbiorów A i B. 10. (1.6).

(11) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 11. Uwaga 1.2.2 Zbiór A ∩ B, nazywamy przekrojem (częścią wspólną lub iloczynem) zbiorów A i B. Uwaga 1.2.3 Zbiór A \ B nazywamy różnicą zbiorów A i B. Uwaga 1.2.4 Zbiór A × B, nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B. Uwaga 1.2.5 Jeżeli A ⊂ B, to mówimy, że A jest podzbiorem zbioru B. Uwaga 1.2.6 Zbiór A0 nazywamy dopełnieniem zbioru A. Definicja 1.2.2 Zbiorem potęgowym zbioru X nazywamy zbiór wszystkich jego podzbiorów i oznaczamy go 2X . Definicja 1.2.3 Niech A będzie zbiorem. Mówimy, że x jest elementem zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ A. Definicja 1.2.4 Jeżeli zbiór nie zawiera żadnego elementu, to mówimy, że jest pusty i oznaczamy go symbolem ∅. Przykład 1.2.1 Niech A = {a, b, c} i B = {a, c, d}. Wtedy A∪B. = {a, b, c, d}. A∩B. = {a, c}. A\B. = {b}. A×B. = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, c), (c, d)}.. Jeżeli dodatkowo X = {a, b, c, d, e}, to A0 = {d, e}. Definicja 1.2.5 (Suma oraz przekrój dowolnej ilości zbiorów) Niech I będzie niepustym zbiorem (nazywać go będziemy zbiorem indeksów). Niech {Ai : i ∈ I} będzie rodziną zbiorów indeksowaną elementami zbioru I (tzn. jest to zbiór, którego elementami są inne zbiory). Mamy wtedy [ def (1.7) Ai = {x : ∃i0 ∈I x ∈ Ai0 } i∈I. \. Ai. def. =. {x : ∀i∈I x ∈ Ai }. (1.8). i∈I. Uwaga 1.2.7 W literaturze sumę oraz przekrój dowolnej ilości zbiorów nazywa się również sumą uogólnioną i przekrojem (iloczynem) uogólnionym. Uwaga 1.2.8 W przypadku, gdy I = N piszemy [. Ai ≡. i∈N. Analogicznie, gdy I = Z piszemy [ i∈Z. 1.3. Ai ≡. +∞ [. Ai oraz. i=1. +∞ [ i=−∞. \. Ai ≡. \. Ai .. i=1. i∈N. Ai oraz. +∞ \. Ai ≡. i∈Z. +∞ \. Ai .. i=−∞. Relacja, jako zbiór. Podstawowe typy relacji. Definicja 1.3.1 Relacją R określoną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór tego iloczynu tzn. R jest relacją na A × B ⇔ R ⊂ A × B.. (1.9). Będziemy oznaczać xRy ⇔ (x, y) ∈ R. Definicja 1.3.2 Niech R ⊂ A × B będzie relacją. Dziedziną relacji R nazywamy zbiór {x ∈ A : ∃y∈Y xRy}.. (1.10). {y ∈ B : ∃x∈X xRy}.. (1.11). Przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór.

(12) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 12. Uwaga 1.3.1 Zauważmy, że dziedzina nie musi być równa zbiorowi A, a przeciwdziedzina nie musi być równa zbiorowi B. Definicja 1.3.3 Niech R ⊂ A × B będzie relacją. Relacją odwrotną do R oznaczaną R−1 nazywamy podzbiór iloczynu B × A zadany formułą ∀x∈B ∀y∈A xR−1 y ⇔ yRx.. (1.12). Definicja 1.3.4 Niech R ⊂ A × B będzie relacją. Relację R nazywamy prawostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A ∀y1 ,y2 ∈B xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2. (1.13) def. Uwaga 1.3.2 Jeżeli R ⊂ A × B, to możemy rozpatrywać relację R na D × D, gdzie D = A ∪ B. Ograniczymy się więc do relacji określonych na iloczynie kartezjańskim tego samego zbioru. Definicja 1.3.5 Relację R ⊂ A × A nazywamy zwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A xRx. (1.14). ∀x∈A ¬xRx. (1.15). ∀x,y∈A xRy ⇒ yRx. (1.16). ∀x,y∈A xRy ⇒ ¬yRx. (1.17). ∀x,y∈A xRy ∧ yRx ⇒ x = y. (1.18). ∀x,y,z∈A xRy ∧ yRz ⇒ xRz. (1.19). ∀x,y zachodzi dokładnie jedna z możliwości xRy albo yRx albo x = y. (1.20). przeciwzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy. symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy. asymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy. antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy. przechodnią wtedy i tylko wtedy, gdy. spójną wtedy i tylko wtedy, gdy. Uwaga 1.3.3 W literaturze z podstaw matematyki relację spójną określa się w sposób następujący ∀x,y xRy ∨ yRx ∨ x = y.. (1.21). My w naszym wykładzie posługujemy się definicją pochodzącą z podręcznika W. Rudina. Przykład 1.3.1 Relacja równoległości dla prostych na płaszczyźnie jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Relacja prostopadłości dla prostych na płaszczyźnie jest przeciwzwrotna, symetryczna. W zbiorze liczb rzeczywistych relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, asymetryczna, przechodnia i spójna. W zbiorze liczb rzeczywistych relacja niewiększości (¬) jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Definicja 1.3.6 Relację R nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Definicja 1.3.7 Niech X 6= ∅ oraz niech < będzie relacją określoną na X × X. Mówimy, że para (struktura) (X, <) jest zbiorem uporządkowanym wtedy i tylko wtedy, gdy < jest spójna i przechodnia. Relację < nazywamy porządkiem na zbiorze X. Definicja 1.3.8 Niech X 6= ∅ oraz niech R będzie relacją określoną na X × X. Mówimy, że relacja R jest porządkiem częściowym wtedy i tylko wtedy, gdy R jest zwrotna i przechodnia..

(13) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 1.4. 13. Zbiory uporządkowane. Kresy. Uwaga 1.4.1 Piszemy dla x, y ∈ X, gdzie (X, <) jest zbiorem uporządkowanym x ¬ y ⇔ x < y albo x = y. (1.22). Definicja 1.4.1 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym przez relację <. Niech ponadto ∅ = 6 A ⊂ X. Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry (z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki element β z X, że dla dowolnego elementu x z A zachodzi x ¬ β (β ¬ x). Zbiór A nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z góry i dołu. Definicja 1.4.2 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym przez relację <. Niech ponadto ∅ = 6 A ⊂ X. Mówimy, że element α jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x ∈ A zachodzi x ¬ α (α ¬ x). Definicja 1.4.3 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym przez relację <. Niech ponadto ∅ 6= A ⊂ X będzie podzbiorem ograniczonym z góry (z dołu). Element α jest kresem górnym (dolnym) zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy (i) α jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A (ii) dla dowolnego elementu y z X takiego, że y < α (α < y) wynika, że y nie jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A Wniosek 1.4.1 Dla dowolnego niepustego i ograniczonego zbioru A mamy inf A ¬ sup A. Szkic dowodu. Dowód oczywisty, gdyż biorąc dowolny element x zbioru A mamy inf A ¬ x ¬ sup A.. 2. Definicja 1.4.4 Mówimy, że zbiór uporządkowany X posiada własność kresów dolnych wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego niepustego i ograniczonego z dołu zbioru S ⊂ X w X istnieje kres dolny zbioru S. Uwaga 1.4.2 Z własności kresów można udowodnić następujące twierdzenie: Twierdzenie 1.4.1 Niech X będzie zbiorem uporządkowanym posiadającym własność istnienia kresów dolnych. Niech S ⊂ X będzie niepustym zbiorem ograniczonym z dołu. Oznaczmy przez L zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru S. Wtedy α = sup L,. (1.23). istnieje i α = inf S. W szczególności inf S istnieje w X. Szkic dowodu. Ponieważ zbiór S jest ograniczony z dołu, a więc zbiór L jest niepusty, poza tym jest ograniczony z góry przez każdy element zbioru S. Stąd L ma kres górny. Niech α = sup L. Należy pokazać, że 1. α jest ograniczeniem dolnym zbioru S (co jest równoważne temu, że α ∈ L) 2. α jest największym ograniczeniem dolnym zbioru S. ad. 1 Niech γ będzie dowolne takie, że γ < α. Wtedy γ nie jest ograniczeniem górnym zbioru L (z definicji kresu górnego) i co ważniejsze nie należy do S, gdyż każdy element zbioru S jest ograniczeniem górnym zbioru L. Udowodniliśmy zdanie ∀γ γ < α ⇒ γ 6∈ S. Z prawa kontrapozycji jest ono równoważne ∀γ γ ∈ S ⇒ γ α. Czyli α ∈ L. ad. 2 Niech β będzie dowolne takie, że β > α. Wtedy β nie należy do L, gdyż gdyby należało, to α nie byłby kresem górnym. Udowodniliśmy zdanie ∀β β > α ⇒ β 6∈ L. Na podstawie tych dwóch warunków α = inf S.. 2.

(14) Rozdział 2. Ciała liczbowe. Liczby rzeczywiste 2.1. Ciało liczbowe i ciało uporządkowane. Definicja 2.1.1 Niech F 6= ∅. Strukturę (F, +, 0, ·, 1) nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki 0 ∈ F ∧ 1 ∈ F ∧ 0 6= 1. (2.1). +:F ×F →F ∧·:F ×F →F. (2.2). ∀x,y∈F x + y = y + x. (2.3). ∀x,y,z∈F (x + y) + z = x + (y + z). (2.4). ∀x∈F x + 0 = x. (2.5). ∀x∈F ∃−x∈F x + (−x) = 0. (2.6). ∀x,y∈F x · y = y · x. (2.7). ∀x,y,z∈F (x · y) · z = x · (y · z). (2.8). ∀x∈F x · 1 = x. (2.9). −1. ∀x∈F \{0} ∃x−1 ∈F x · x. =1. (2.10). ∀x,y,z∈F x · (y + z) = x · y + x · z. (2.11). Definicja 2.1.2 Ciało (F, +, 0, ·, 1) nazywamy ciałem uporządkowanym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje porządek < w zbiorze F spełniający warunki ∀x,y,z∈F y < z ⇒ x + y < x + z. (2.12). ∀x,y∈F x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x · y > 0. (2.13). Oznaczamy je przez (F, +, 0, ·, 1, <) Twierdzenie 2.1.1 Niech (F, +, 0, ·, 1) będzie ciałem. Wtedy dla dowolnych x, y, z ∈ F zachodzi ⇒ y=z. (2.14). x+y =x ⇒ y =0. (2.15). x + y = 0 ⇒ y = −x. (2.16). x+y =x+z. −(−x) = x x 6= 0 ∧ xy = xz. (2.17). ⇒ y=z. (2.18). x 6= 0 ∧ xy = x ⇒ y = 1. (2.19). x 6= 0 ∧ xy = 1 ⇒ y = x−1. (2.20). −1 −1. x 6= 0 ⇒ (x. ). 0x = 0 x 6= 0 ∧ y 6= 0 ⇒ xy 6= 0 14. =x. (2.21) (2.22) (2.23).

(15) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 15 (−x)y = −(xy) = x(−y). (2.24). (−x)(−y) = xy. (2.25). Szkic dowodu. Jest to proste ćwiczenie z algebry.. 2. Twierdzenie 2.1.2 Niech (F, +, 0, ·, 1, <) będzie ciałem uporządkowanym. Wtedy dla dowolnych x, y, z ∈ F zachodzi x>0 ⇔. −x < 0. (2.26). x>0∧y <z. ⇒ xy < xz. (2.27). x<0∧y <z. ⇒ xy > xz. (2.28). 2. (2.29). x 6= 0 ⇒ x > 0 1>0 0<x<y. (2.30). ⇒ 0 < y −1 < x−1. (2.31). Szkic dowodu. Jest to proste ćwiczenie z algebry.. 2. Definicja 2.1.3 Niech (F, +, 0, ·, 1) będzie ciałem. Niech ponadto x, y ∈ F . Określamy działania def. − : F × F → F x − y = x + (−y);. (2.32). def. / : F × F → F x/y = x · y −1 .. 2.2. (2.33). Liczby rzeczywiste def. Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych tzn. N = {1, 2, 3, . . .} oraz Z będzie zbiorem liczb całkowitych tzn. Z = N ∪ {0} ∪ (−N). Uwaga 2.2.1 W przeciwieństwie do szkoły średniej liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Definicja 2.2.1 Niech p, q ∈ Z. Liczbą wymierną nazywamy dowolną liczbę postaci oznaczamy Q. √ Lemat 2.2.1 Liczba 2 nie jest liczbą wymierną.. p q,. gdzie q 6= 0. Zbiór liczb wymiernych. Szkic dowodu. (ad absurdum) √ Niech 2 = pq , gdzie p, q ∈ N oraz NWD (p, q) = 1. Wtedy 2q 2 = p2 . Ponieważ lewa strona równości jest podzielna przez 2, więc i prawa musi być podzielana przez 2. Stąd wynika, że 2|p, a więc 2q 2 = 4p21 i p1 ∈ N. Analogiczne rozumowanie pokazuje, że 2|q, a więc NWD (p, q) 2, co kończy dowód. 2 Twierdzenie 2.2.1 (Zasada ciągłość Dedekinda) Istnieje ciało uporządkowane R posiadające własność istnienia kresów dolnych. Ciało to zawiera Q, jako podciało. Szkic dowodu. Dowód znajduje się w podręczniku W. Rudina, ”Podstawy analizy matematycznej”. Osoby chętne zapraszam do jego przejrzenia. 2 Uwaga 2.2.2 Dla formalności przytoczymy definicje kresów, jakimi będziemy się posługiwać w zbiorze liczb rzeczywistych. Definicja 2.2.2 Niech zbiór ∅ = 6 A ⊂ R będzie ograniczony z dołu. Liczba α jest kresem dolnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A α. ¬ x. ∀ε>0 ∃x∈A x <. α+ε. (2.34) (2.35).

(16) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 16. Definicja 2.2.3 Niech zbiór ∅ = 6 A ⊂ R będzie ograniczony z góry. Liczba α jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A x ¬ α ∀ε>0 ∃x∈A x >. α−ε. (2.36) (2.37). Przykład 2.2.1 Dla zbioru postaci {x ∈ R : 0 < x < 1} kresem górnym jest liczba 1, a dolnym liczba 0. Stwierdzenie 2.2.1 Niech A, B ⊂ R będą niepuste. Wówczas (i) jeżeli B są ograniczone z góry i A ⊂ B, to sup A ¬ sup B (ii) jeżeli B są ograniczone z dołu i A ⊂ B, to inf A inf B (iii) Jeżeli A jest ograniczony z góry i B jest ograniczony z dołu oraz dla dowolnych x ∈ A i y ∈ B zachodzi x ¬ y, to sup A ¬ inf B. Szkic dowodu. Dowód (i). Z założeń wynika, że zbiór A jest ograniczony z góry. Ponieważ sup B jest ograniczeniem górnym zbioru B, więc jest i ograniczeniem górnym zbioru A. A ponieważ sup A jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A stąd zachodzi teza. Dowód (ii). Z założeń wynika, że zbiór A jest ograniczony z dołu. Ponieważ inf B jest ograniczeniem dolnym zbioru B, więc jest i ograniczeniem dolnym zbioru A. A ponieważ inf A jest największym ograniczeniem dolnym zbioru A stąd zachodzi teza. Dowód (iii). Z założeń wynika, że zbiór A jest podzbiorem zbioru ograniczeń dolnych (oznaczmy ten zbiór L) zbioru B. Na mocy twierdzenia 1.4.1 mamy sup L = inf B, a z (i) sup A ¬ sup L. To kończy dowód. 2 Twierdzenie 2.2.2 (Zasada Archimedesa) Jeżeli x, y ∈ R i x > 0, to istnieje taka liczba naturalna n, że nx > y. Szkic dowodu. (ad absurdum) Niech A = {nx : n ∈ N}. Niech zbiór A będzie ograniczony z góry. Ponieważ zbiór A jest niepusty więc istnieje kres górny. Niech α = sup A. Ponieważ α − x < α więc α − x nie jest ograniczeniem górnym. Istnieje m ∈ N takie, że α − x < mx co jest równoważne temu α < (m + 1)x, a ponieważ (m + 1)x ∈ A więc α nie jest kresem górnym. 2 Twierdzenie 2.2.3 (Gęstość Q w R) Jeżeli x, y ∈ R i x < y, to istnieje p ∈ Q takie, że x < p < y. Szkic dowodu. Niech spełnione będą założenia twierdzenia. Wtedy y − x > 0. Stosując zasadę Archimedesa (twierdzenie 2.2.2) do liczb y − x i 1 rozważmy n ∈ N takie, że n(y − x) > 1. Stosując zasadę Archimedesa jeszcze dwukrotnie do liczb 1 i nx oraz 1 i −nx otrzymujemy, że istnieją m1 , m2 ∈ N takie, że −m2 < nx < m1 . Rozważmy taką liczbę m ∈ Z, że1 m − 1 ¬ nx < m. Wtedy nx < m ¬ nx + 1 < ny. Ostatecznie x<. m < y, n. co kończy dowód.. 2. Twierdzenie 2.2.4 (o istnieniu pierwiastka stopnia n) Dla dowolnej liczby rzeczywistej x > 0 i dowolnej liczby naturalnej n istnieje jedna i tylko jedna dodatnia liczba rzeczywista y taka, że y n = x. Szkic dowodu. Istnienie Niech E = {t > 0 : tn < x} . x Wtedy dla a = x+1 i b = x + 1 mamy 0 < a < 1 i a < x więc an < a < x, czyli a ∈ E, a więc E 6= ∅ oraz b > 1 i b > x więc bn > b > x, czyli b jest ograniczeniem górnym zbioru E. Tak więc istnieje kres górny zbioru E. Oznaczmy go α. Udowodnimy, że αn = x. Możliwa jest dokładnie jedna z sytuacji. αn < x ∨ αn = x ∨ αn > x. Udowodnimy, że pierwsza i ostatnia są niemożliwe. Wykorzystamy następującą własność 1 Jak. znamy już cześć całkowitą liczby, to m = [nx] + 1 (jest ona najmniejszą liczbą całkowitą nie mniejszą niż nx)..

(17) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 17. Lemat 2.2.2 Dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a < b zachodzi nierówność bn − an ¬ n(b − a)bn−1 .. (2.38) n. x−α Załóżmy, że αn < x. Rozważmy dodatnie h takie, że h < min{1, n(α+1) n−1 }. Podstawiając w lemacie 2.2.2 za a i b odpowiednio α i α + h otrzymujemy. (α + h)n − αn ¬ nh(α + h)n−1 < nh(α + 1)n−1 < x − αn . Stąd (α + h)n < x, a więc α + h ∈ E, ale α + h > α, czyli α nie jest ograniczeniem górnym, a więc nie jest kresem. Załóżmy, że αn > x. αn −x Rozważmy dodatnie k takie, że k = nα n−1 . Zauważmy, że k < α. Niech t będzie dowolne takie, że t α − k. Podstawiając w lemacie 2.2.2 za a i b odpowiednio α i α − k otrzymujemy αn − tn ¬ αn − (α − k)n < nkαn−1 = αn − x. Stąd tn > x, czyli t 6∈ E. Mamy więc, że α − k jest ograniczeniem górnym zbioru E, które jest mniejsze niż α, a więc α nie jest kresem. Jednoznaczność (ad absurdum) Niech y1 i y2 będą liczbami dodatnimi takimi, że y1n = x i y2n = x oraz y1 6= y2 . Bez zmniejszania ogólności można założyć, że y1 < y2 . Wtedy y1n < y2n co kończy dowód. 2. 2.3. Przedziały liczb rzeczywistych. Definicja 2.3.1 Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Przyjmujemy następujące definicje odcinków [a, b] [a, b[ ]a, b] ]a, b[. def. =. {x ∈ R : a ¬ x ¬ b}. (2.39). def. =. {x ∈ R : a ¬ x < b}. (2.40). def. =. {x ∈ R : a < x ¬ b}. (2.41). def. {x ∈ R : a < x < b} .. (2.42). =. Pierwszy z odcinków nazywamy domkniętym, zaś ostatni otwartym. Wniosek 2.3.1 Zachodzą następujące zawierania ]a, b[⊂]a, b] ⊂ [a, b]. (2.43). ]a, b[⊂ [a, b[⊂ [a, b].. (2.44). Szkic dowodu. Oczywisty na mocy definicji odcinków oraz nierówności.. 2. Wniosek 2.3.2 Jeżeli a b , to ]a, b[= [a, b[=]a, b] = ∅. Szkic dowodu. Oczywisty.. 2. Wniosek 2.3.3 Jeżeli a > b , to [a, b] = ∅. Szkic dowodu. Oczywisty.. 2. Definicja 2.3.2 Odcinek nazywamy niezdegenerowanym wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zbiorem pustym i nie redukuje się do punktu..

(18) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 18. Definicja 2.3.3 Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Przyjmujemy następujące definicje półprostych def. =. {x ∈ R : a ¬ x}. (2.45). def. =. {x ∈ R : a < x}. (2.46). ] − ∞, a]. def. =. {x ∈ R : x ¬ a}. (2.47). ] − ∞, a[. def. {x ∈ R : x < a}. (2.48). [a, +∞[ ]a, +∞[. =. Definicja 2.3.4 Przedziałem nazywamy zbiór liczb rzeczywistych będący odcinkiem, półprostą lub prostą. Przedział nazywamy niezdegenerowanym wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zbiorem pustym i jednoelementowym. Wniosek 2.3.4 Przedziałem zdegenerowanym może być tylko odcinek. Szkic dowodu. Oczywisty.. 2.4. 2. Funkcje w zbiorze liczb rzeczywistych. Indukcja matematyczna. Definicja 2.4.1 Niech x ∈ R. Wartością bezwzględną liczby x nazywamy liczbę rzeczywistą zdefiniowaną następująco x dla x 0 def (2.49) |x| = . −x dla x < 0 Uwaga 2.4.1 Wartość bezwzględną można też zdefiniować następująco x dla x > 0 def . |x| = −x dla x ¬ 0 Lemat 2.4.1 (Własności wartości bezwzględnej) Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi |x|. . 0. (2.50). |x|. =. | − x|. (2.51). −|x| ¬. x. ¬ |x|. (2.52). |xy|. =. |x||y|. (2.53). |x| = 0. (2.54). |x| ¬ y. ⇔ x=0

(19)

(20)

(21) x

(22) |x| ⇒

(23)

(24)

(25)

(26) = y |y| ⇔ −y ¬ x ¬ y. |x + y|. ¬. |x| + |y|. (2.57). |x| − |y| ¬ |x − y|. ¬. |x| + |y|. (2.58). ||x| − |y||. ¬. |x − y|. (2.59). ||x| − |y||. ¬. |x + y|. (2.60). y 6= 0. (2.55) (2.56). Szkic dowodu. Równości (2.50), (2.51), (2.54) oraz nierówności (2.52) i (2.56) wynikają z definicji wartości bezwzględnej. W równości (2.53) należy rozważyć cztery przypadki w zależności od znaków x i y. Równość (2.55) jest wnioskiem z równości (2.53). W nierówności (2.57) należy rozważyć osiem przypadków w zależności od znaku liczb x, y i x + y. Pierwsza z nierówności (2.58) wynika z nierówności (2.57) i faktu, że x = x − y + y. Natomiast druga jest konsekwencją nierówności (2.57) i równości (2.51). Ostatnie dwie nierówności wynikają z nierówności (2.56) i (2.58) oraz równości (2.51). 2 Definicja 2.4.2 Częścią całkowitą liczby rzeczywistej x nazywamy liczbę całkowitą oznaczaną [x], która spełnia warunek [x] ¬ x < [x] + 1.. (2.61).

(27) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 19. Uwaga 2.4.2 Część całkowita liczby nazywana jest też cechą liczby. Definicja 2.4.3 Znakiem liczby rzeczywistej x nazywamy liczbę rzeczywistą określoną wzorem  dla x > 0 1 sign(x) ≡ sgn(x) = 0 dla x = 0 .  −1 dla x < 0 Wniosek 2.4.1 Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi x sign(x) = |x| 0. dla x 6= 0 . dla x = 0. (2.62). (2.63). Definicja 2.4.4 Niech x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Większa (maksimum) z dwóch liczb określona jest następująco x dla x y def max{x, y} = (2.64) y dla x < y Mniejsza (minimum) z dwóch liczb określona jest następująco y def min{x, y} = x. dla x y dla x < y. (2.65). Wniosek 2.4.2 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą równości max{x, y} =. x + y + |x − y| x + y − |x − y| ∧ min{x, y} = 2 2. Szkic dowodu. Wystarczy rozważyć dwa przypadki x y oraz x < y.. (2.66). 2. Twierdzenie 2.4.1 (Zasada indukcji matematycznej zupełnej) Niech P będzie pewną własnością. Jeżeli dla własności P zachodzą następujące warunki (1) P[1] (2) ∀n∈N P[n] ⇒ P[n + 1], to wówczas ∀n∈N P[n]. Uwaga 2.4.3 Niech n0 ∈ N. Zasadę indukcji matematycznej zupełnej można też sformułować następująco: Jeżeli dla własności P zachodzą następujące warunki (1) P[n0 ] (2) ∀N3nn0 P[n] ⇒ P[n + 1], to wówczas ∀N3nn0 P[n]. Mówi ona wtedy, że własność P zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych nie mniejszych niż n0 . Definicja 2.4.5 Niech {a1 , . . . , an } ⊂ R. Średnią arytmetyczną liczb a1 , . . . , an nazywamy liczbę równą a1 + . . . + an n. (2.67). Definicja 2.4.6 Niech {a1 , . . . , an } ⊂ R+ ∪ {0}. Średnią geometryczną liczb a1 , . . . , an nazywamy liczbę równą √ n Definicja 2.4.7 Jeżeli {a1 , . . . , an } ⊂ R \ {0} są takie, że liczbę wyrażoną wzorem. a1 · . . . · an 1 a1. (2.68). + . . . a1n 6= 0, to średnią harmoniczną liczb a1 , . . . , an nazywamy. n + . . . a1n. (2.69). √ n a1 + . . . + an n a1 · . . . · an ¬ 1 ¬ n + . . . an. (2.70). 1 a1. Twierdzenie 2.4.2 Niech {a1 , . . . , an } ⊂ R+ . Wtedy 1 a1. Szkic dowodu. Dowód indukcyjny.. 2.

(28) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 20. 2.5. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Określimy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych tzn. liczby rzeczywiste z plus i minus nieskończonościami. Definicja 2.5.1 def. R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}. (2.71). ∀a∈R − ∞ < a ∧ a < +∞. (2.72). Uwaga 2.5.1 Przyjmujemy konwencję. oraz dla obu symboli nieskończonych i dowolnej liczby rzeczywistej a określone są następujące działania def. a + (+∞) = +∞. (2.73). def. a + (−∞) = −∞. (2.74). def. a − (+∞) = −∞. (2.75). def. a − (−∞) = +∞ 1 def =0 ±∞   +∞ def a · (+∞) = 0  −∞   −∞ def a · (−∞) = 0  +∞. (2.76) (2.77) dla dla dla dla dla dla. a>0 a=0 a<0 a>0 a=0 a<0. (2.78). (2.79). Uwaga 2.5.2 Dla niepustego zbioru nieograniczonego z góry (dołu) będziemy mówili i pisali, że kres górny (dolny) tego zbioru jest równy +∞ (−∞). Uwaga 2.5.3 Nieskończoności pozwalają określić kres dolny i górny zbioru pustego, a mianowicie inf ∅ = +∞ ∧ sup ∅ = −∞. (2.80).

(29) Rozdział 3. Funkcje 3.1. Ogólne własności funkcji. Niech X i Y będą niepustymi zbiorami. Definicja 3.1.1 Relację R ⊆ X × Y nazywamy funkcją (odwzorowaniem) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈X ∃y∈Y xRy. (3.1). ∀x∈X ∀y, y2 ∈Y xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2 .. (3.2). Funkcję oznaczamy f : X → Y . X nazywamy zbiorem argumentów (dziedziną), zaś Y przeciwdziedziną. Uwaga 3.1.1 Należy pamiętać, że funkcja to uporządkowana trójka (f, X, Y ). Uwaga 3.1.2 Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X w zbiór Y oznaczamy przez Y X . Niech f : X → Y będzie funkcją. Definicja 3.1.2 Wykresem funkcji f nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y postaci {(x, f (x)) : x ∈ X}. (3.3). Definicja 3.1.3 Załóżmy, że A ⊆ X. Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy podzbiór Y określony równością def. f (A) = {f (x) : x ∈ A} ≡ {y ∈ Y : ∃x∈A y = f (x)}. (3.4). Załóżmy, że B ⊆ Y . Przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu f nazywamy podzbiór X określony równością def. f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}. (3.5). Uwaga 3.1.3 Obraz całego zbioru X nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Zauważmy, że zawsze jest f (X) ⊆ Y , lecz nie musi być f (X) = Y . Przykład 3.1.1 Dla funkcji sin: R → R mamy sin(R) = [−1, 1]. Definicja 3.1.4 Mówimy, że odwzorowanie f : X → Y jest stałe wtedy i tylko wtedy, gdy ∃y0 ∈Y f (X) = {y0 }. (3.6). Wniosek 3.1.1 Funkcja f jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1 ,x2 ∈X f (x1 ) = f (x2 ). Szkic dowodu. Oczywisty.. 2 21.

(30) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 22. Twierdzenie 3.1.1 Dla dowolnych {A1 , A2 , Aı : ı ∈ I} ⊆ 2X oraz {B1 , B2 , Bı : ı ∈ I} ⊆ 2Y zachodzi f (A1 ) \ f (A2 ) ⊆ f (A1 \ A2 ) [ [ f (Aı ) f ( Aı ) = \. (3.8). ı∈I. ı∈I. f(. (3.7). Aı ) ⊆. \. f (Aı ). (3.9). (B1 \ B2 ) = f −1 (B1 ) \ f −1 (B2 ) [ [ f −1 (Bı ) f −1 ( Bı ) =. (3.10). f. ı∈I −1. ı∈I. f −1 (. \. (3.11). ı∈I. ı∈I. Bı ) =. \. f −1 (Bı ). (3.12). ı∈I. ı∈I. Szkic dowodu. W dowodzie wykorzystamy następujący fakt A1 ⊆ A2 ⇒ f (A1 ) ⊆ f (A2 ).. (3.13). Dowód (3.7). Ponieważ A1 ⊆ (A1 \ A2 ) ∪ A2 , więc f (A1 ) ⊆ f ((A1 \ A2 ) ∪ A2 ). Korzystając z (3.8) i działań na zbiorach otrzymujemy f (A1 ) ⊆ f (A1 \ A2 ) ∪ f (A2 ) ⇒ f (A1 ) \ f (A2 ) ⊆ f (A1 \ A2 ) Dowód (3.8). Niech y ∈ Y . [ [ [ y ∈ f ( Aı ) ⇔ ∃x∈X x ∈ Aı ∧ y = f (x) ⇔ ∃x∈X ∃ı0 ∈I x ∈ Aı0 ∧ y = f (x) ⇔ ∃ı0 ∈I y ∈ f (Aı0 ) ⇔ y ∈ f (Aı ) ı∈I. ı∈I. ı∈I. Dowód (3.9). ∀ı0 ∈I. \. Aı ⊂ Aı0 ⇒ ∀ı0 ∈I f (. ı∈I. \. Aı ) ⊂ f (Aı0 ) ⇔ f (. ı∈I. \. ı∈I. Aı ) ⊂. \. f (Aı ). ı∈I. Dowód (3.10). Niech x ∈ X. x ∈ f −1 (B1 \ B2 ) ⇔ f (x) ∈ B1 \ B2 ⇔ f (x) ∈ B1 ∧ f (x) 6∈ B2 ⇔ x ∈ f −1 (B1 ) ∧ ¬(f (x) ∈ B2 ) ⇔ x ∈ f −1 (B1 ) ∧ ¬(x ∈ f −1 (B2 ) ⇔ x ∈ f −1 (B1 ) ∧ x 6∈ f −1 (B2 ) ⇔ x ∈ f −1 (B1 \ B2 ) Dowód (3.11). Niech x ∈ X. [ [ [ x ∈ f −1 ( Bı ) ⇔ f (x) ∈ Bı ⇔ ∃ı0 ∈I f (x) ∈ Bı0 ⇔ ∃ı0 ∈I x ∈ f −1 (Bı0 ) ⇔ x ∈ f −1 (Bı ) ı∈I. ı∈I. ı∈I. Dowód (3.12). Niech x ∈ X. [ \ \ x ∈ f −1 ( Bı ) ⇔ f (x) ∈ Bı ⇔ ∀ı∈I f (x) ∈ Bı ⇔ ∀ı∈I x ∈ f −1 (Bı ) ⇔ x ∈ f −1 (Bı ) ı∈I. ı∈I. ı∈I. 2 Definicja 3.1.5 Odwzorowanie f nazywamy injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym lub ”1-1”) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1 ,x2 ∈X f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 (3.14) Uwaga 3.1.4 Warunek (3.14) może być zapisany w postaci ∀x1 ,x2 ∈X x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) Uwaga 3.1.5 Skorzystaliśmy tutaj z prawa kontrapozycji tzn. p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p. (3.15).

(31) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 23. Definicja 3.1.6 Odwzorowanie f nazywamy surjekcją (odwzorowaniem ”na”) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀y∈Y ∃x∈X y = f (x). (3.16). Wniosek 3.1.2 Funkcja jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jej przeciwdziedzina jest równa zbiorowi wartości. Szkic dowodu. Oczywisty.. 2. Definicja 3.1.7 Odwzorowanie f nazywamy bijekcją (odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym) wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjekcją i injekcją. Definicja 3.1.8 Permutacją zbioru nazywamy dowolną bijekcję z tego zbioru w ten sam zbiór. Uwaga 3.1.6 Pojęcie bijekcji pozwala porównywać liczebności zbiorów. Definicja 3.1.9 Mówimy, że zbiory X i Y są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja ze zbioru X na zbiór Y . Definicja 3.1.10 Powiemy, że zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja f ze zbioru A na zbiór N. Mówimy, że zbiór jest co najwyżej przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny lub skończony. Definicja 3.1.11 Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Złożeniem (superpozycją) odwzorowań f i g nazywamy odwzorowanie h : X → Z takie, że ∀x∈X h(x) = g(f (x)).. (3.17). Piszemy wtedy h = g ◦ f . Definicja 3.1.12 Niech X będzie niepustym zbiorem. Odwzorowaniem identycznościowym na X (oznaczanym IdX nazywamy) takie odwzorowanie z X w X, że ∀x∈X IdX (x) = x.. (3.18). Definicja 3.1.13 Niech f : X → Y będzie bijekcją. Odwzorowaniem odwrotnym do f nazywamy odwzorowanie g : Y → X takie, że f ◦ g =IdY ∧ g ◦ f =IdX .. (3.19). Oznaczamy je g = f −1 . Uwaga 3.1.7 f −1 (A) będziemy odczytywać jako przeciwobraz zbioru A funkcji f i jako obraz zbioru A funkcji f −1 . Definicja 3.1.14 Niech dane będą ∅ = 6 A ⊂ X i funkcja f : X → Y . Mówimy, że funkcja g: A → Y jest obcięciem funkcji f do zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A g(x) = f (x).. (3.20). Oznaczamy wtedy g = f |A .. 3.2. Monotoniczność i ograniczoność funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste. Niech A będzie niepustym zbiorem. Definicja 3.2.1 Dowolną funkcję f : A → R nazywamy funkcją o wartościach rzeczywistych. Jeżeli B jest podzbiorem liczb rzeczywistych i f : B → A, to funkcję f nazywamy funkcją o dziedzinie rzeczywistej lub funkcją argumentu rzeczywistego. Jeżeli A jest podzbiorem liczb rzeczywistych, to funkcję f : A → R nazywamy rzeczywistą. Niech f : A → R będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Niech B ⊆ A..

(32) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 24. Definicja 3.2.2 Mówimy, że funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ∃M ∈R ∀x∈B f (x) ¬ M.. (3.21). Mówimy, że funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ∃m∈R ∀x∈B m ¬ f (x).. (3.22). Mówimy, że funkcja f jest ograniczona na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ograniczona z dołu na zbiorze B i f jest ograniczona z góry na zbiorze B. Uwaga 3.2.1 Jeżeli będziemy pomijać zbiór na którym funkcja jest ograniczona, to oznacza to, iż jest ograniczona na całej swej dziedzinie. Wniosek 3.2.1 Funkcja f : A → R jest ograniczona na zbiorze B ⊆ A wtedy i tylko wtedy, gdy ∃M ∈R+ ∀x∈B |f (x)| ¬ M. Szkic dowodu. Wystarczy wziąć M = max{|M1 |, |M2 |}, gdzie M1 jest ograniczeniem dolnym, a M2 jest ograniczeniem górnym. Niech A ⊆ R.. (3.23). 2. Definicja 3.2.3 Mówimy, że funkcja f jest rosnąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1 ,x2 ∈B x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).. (3.24). Mówimy, że funkcja f jest niemalejąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1 ,x2 ∈B x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ¬ f (x2 ).. (3.25). Mówimy, że funkcja f jest malejąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1 ,x2 ∈B x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).. (3.26). Mówimy, że funkcja f jest nierosnąca na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x1 ,x2 ∈B x1 < x2 ⇒ f (x1 ) f (x2 ).. (3.27). Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy jest nierosnąca lub niemalejąca na zbiorze B. Mówimy, że funkcja f jest ściśle monotoniczna na zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnąca lub malejąca na zbiorze B. Uwaga 3.2.2 Jeżeli będziemy pomijać zbiór na którym funkcja jest monotoniczna, to oznacza to, iż jest monotoniczna na całej swej dziedzinie. Definicja 3.2.4 Zbiór A nazywamy symetrycznym względem zera wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x x ∈ A ⇔ −x ∈ A.. (3.28). Definicja 3.2.5 Niech A będzie zbiorem symetrycznym względem zera i niech dana będzie funkcja f : A → R. Mówimy, że funkcja f jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A f (−x) = f (x).. (3.29). Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈A f (−x) = −f (x).. (3.30). Uwaga 3.2.3 Należy podkreślić, że pojęcie parzystości i nieparzystości dotyczy wyłącznie funkcji, których dziedziny są zbiorami symetrycznymi względem zera..

(33) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 25. Uwaga 3.2.4 Pojęcie funkcji parzystej może dotyczyć również funkcji argumentu rzeczywistego. Uwaga 3.2.5 Funkcja parzysta ma wykres symetryczny względem osi OY . Odpowiada to faktowi, że wraz z punktem (x, f (x)) należącym do wykresu należy punkt (x, f (−x)). Funkcja nieparzysta ma środek symetrii w punkcie O. W tym wypadku wraz z punktem (x, f (x)) należy punkt (x, −f (x)). Uwaga 3.2.6 Istnieje funkcja, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta. Definicja 3.2.6 Niech A będzie podzbiorem liczb rzeczywistych, a X dowolnym zbiorem. Niech dana będzie funkcja f : A → X. Jeżeli istnieje taka liczba dodatnia T taka, że ∀x∈A x + T ∈ A ⇒ f (x + T ) = f (x),. (3.31). to funkcję f nazywamy okresową, zaś liczbę T nazywamy okresem funkcji f . Jeżeli istnieje najmniejsza liczba dodatnia T o takiej własności, to nazywamy ją okresem podstawowym funkcji. Uwaga 3.2.7 Istnieją funkcje okresowe nie mające okresu podstawowego.. 3.3. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Definicja 3.3.1 Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych1 . Mówimy, że podzbiór A ⊆ V jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x,y∈A ∀α,β∈R+ ∪{0} α + β = 1 ⇒ αx + βy ∈ A (3.32) Uwaga 3.3.1 Warunek (3.32) można zastąpić następującym ∀x,y∈A ∀α∈[0,1] αx + (1 − α)y ∈ A. (3.33). Lemat 3.3.1 Zbiór P jest przedziałem wtedy i tylko wtedy, gdy [x, y] ⊆ P dla dowolnych x, y ∈ P . Szkic dowodu. (Konieczność) Oczywisty z określenia prostej, półprostej i odcinka. (Dostateczność) Jeżeli P = ∅, to oczywiście P jest przedziałem. Niech teraz P 6= ∅. Wtedy możliwa jest jedna z następujących sytuacji: Zbiór P jest ograniczony lub zbiór P jest nieograniczony. Załóżmy, że zbiór jest ograniczony. Niech a = inf P oraz b = sup P . Jeżeli oba kresy należą, to P = [a, b] na mocy założenia. Podobnie jeżeli a 6∈ P oraz b ∈ P , to P =]a, b]. Rozważając dwa pozostałe przypadki otrzymujemy pozostałe odcinki. Jeżeli teraz zbiór jest nieograniczony, to mamy doczynienia z trzema kolejnymi przypadkami: Przypadek I. Nieograniczony z góry i ograniczony z dołu; Przypadek II. Nieograniczony z dołu i ograniczony z góry; Przypadek III. Nieograniczony z dołu i góry; Otrzymujemy w ten sposób wszystkie półproste (dla przypadków pierwszego i drugiego) oraz całą prostą w przypadku trzecim. 2 Twierdzenie 3.3.1 Dla dowolnego podzbioru A ⊆ R następujące warunki są równoważne (i) A jest wypukły (ii) A jest przedziałem Szkic dowodu. Wynika z lematu 3.3.1 Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem, f : P → R.. 2. Definicja 3.3.2 Funkcję f nazywamy wypukłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x,y∈P ∀α,β∈R+ ∪{0} α + β = 1 ⇒ f (αx + βy) ¬ αf (x) + βf (y) Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy −f jest wypukła. 1 Porównaj. definicje z Algebry liniowej. (3.34).

(34) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 26. Uwaga 3.3.2 Warunek (3.34) w definicji funkcji wypukłej może być zmodyfikowany analogicznie jak w definicji zbioru wypukłego (zobacz definicja 3.3.1). Uwaga 3.3.3 Funkcja −f jest zdefiniowana w następnym paragrafie. Wniosek 3.3.1 Funkcja f jest wklęsła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x,y∈P ∀α,β∈R+ ∪{0} α + β = 1 ⇒ f (αx + βy) αf (x) + βf (y). (3.35). Szkic dowodu. Wystarczy posłużyć się definicjami funkcji wypukłej i funkcji przeciwnej.. 2. Twierdzenie 3.3.2 Następujące warunki są równoważne f jest wypukła na P ∀n∈N ∀x1 ,...,xn ∈P ∀α1 ,...,αn ∈R+ ∪{0}. (3.36) n X. αk = 1 ⇒ f (. k=1. n X. αk xk ) ¬. k=1. n X. αk f (xk ). (3.37). k=1. x2 − x x − x1 f (x1 ) + f (x2 ) x2 − x1 x2 − x1 f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x) ∀x1 ,x2 ,x∈P x1 < x < x2 ⇒ ¬ x − x1 x2 − x ∀x1 ,x2 ,x∈P x1 < x < x2 ⇒ f (x) ¬. (3.38) (3.39). Szkic dowodu. n P (3.36) ⇒ (3.37) Jest to dowód indukcyjny. W kroku indukcyjnym podstawiamy za x1 , x2 , α, β odpowiednio αk xk , xn+1 , k=1. 1 − αn+1 , αn+1 . (3.37) ⇒ (3.36) Wypukłość jest to szczególny przypadek nierówności (3.37) dla n = 2. −x 1 i β = xx−x widzimy, że α + β = 1, αx1 + βx2 = x. Stąd wynika (3.36) ⇒ (3.38) Biorąc nieujemne liczby α = xx22−x 1 2 −x1 teza. (3.38) ⇒ (3.36) Należy rozważyć trzy przypadki α = 0, α = 1 oraz α ∈]0, 1[. Dowody dwóch pierwszych są natychmiastowe. W trzecim przypadku biorąc za x αx1 + (1 − α)x2 otrzymujemy warunek wypukłości. (3.39) ⇔ (3.38) Należy przekształcić oba wyrażenia. 2 Uwaga 3.3.4 Nierówność (3.37) nazywamy nierównością Jensena.. 3.4. Działania określone dla funkcji rzeczywistych. Niech ∅ = 6 X i f, g: X → R będą funkcjami argumentu rzeczywistego oraz niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Definicja 3.4.1 Niech f, g będą funkcjami rzeczywistymi ze zbioru X, zaś a dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas h=f +g. ⇔. ∀x∈X h(x) = f (x) + g(x). (3.40). h=f −g. ⇔. ∀x∈X h(x) = f (x) − g(x). (3.41). h = f · g ⇔ ∀x∈X h(x) = f (x) · g(x) f f (x) h= ⇔ ∀x∈X h(x) = o ile g(x) 6= 0 dla dowolnego x ∈ X g g(x) h = max{f, g} ⇔ ∀x∈X h(x) = max{f (x), g(x)}. (3.42) (3.43) (3.44). h = min{f, g}. ⇔. ∀x∈X h(x) = min{f (x), g(x)}. (3.45). h=a·f. ⇔. ∀x∈X h(x) = a · f (x). (3.46). h = |f |. ⇔. ∀x∈X h(x) = |f (x)|. (3.47). Uwaga 3.4.1 Z wiadomości z algebry liniowej wynika więc, że zbiór funkcji z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez stałą rzeczywistą tworzy przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych..

(35) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 27. Definicja 3.4.2 Niech f będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych. Zdefiniujmy funkcję część nieujemną i niedodatnią f + |f | 2 −f + |f | def f− = . 2 def. f+ =. (3.48) (3.49). Wniosek 3.4.1 Dla dowolnej funkcji f = f + − f − oraz |f | = f + + f − . Szkic dowodu. Wystarczy wykorzystać definicje.. 2. Uwaga 3.4.2 Obie funkcje są nieujemne. Definicja 3.4.3 Niech A będzie niepustym zbiorem symetrycznym względem zera i f : A → R. Zdefiniujmy część parzystą i nieparzystą funkcji f . f (x) + f (−x) 2 def f (x) − f (−x) N . f (x) = 2 def. f P (x) =. (3.50) (3.51). Wniosek 3.4.2 Niech A będzie niepustym zbiorem symetrycznym względem zera i f : A → R. Wtedy f = f P + f N . Szkic dowodu. Wystarczy wykorzystać definicje.. 2. Wniosek 3.4.3 Każda funkcja o dziedzinie będącej zbiorem symetrycznym względem zera może być jednoznacznie przedstawiona jako suma funkcji parzystej i nieparzystej. Szkic dowodu. Wynika z wniosku 3.4.2.. 2.

(36) Rozdział 4. Ciągi liczbowe 4.1. Granica ciągu. Ciągi zbieżne. Zajmiemy się teraz szczególnym przypadkiem funkcji, a mianowicie ciągiem liczbowym. Definicja 4.1.1 Funkcję rzeczywistą nazywamy ciągiem liczbowym (rzeczywistym) wtedy i tylko wtedy, gdy jej dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Uwaga 4.1.1 Ciągi oznaczamy (an ) ≡ (an )∞ n=1 . Wartość ciągu dla liczby naturalnej n nazywamy n - tym wyrazem ciągu i oznaczamy go an . Definicja 4.1.2 Mówimy, że ciąg (an ) ma granicę równą g wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε>0 ∃m∈N ∀nm |an − g| < ε. (4.1). Zapisujemy wtedy lim an = g. n→∞. Twierdzenie 4.1.1 Jeżeli ciąg posiada granicę, to tylko jedną. Szkic dowodu. (ad absurdum) Niech g1 i g2 będą różnymi granicami. Wtedy η = |g1 − g2 | > 0. Rozważmy takie liczby naturalne N1 , N2 takie, że η , 2 η ∀nN2 |an − g2 | < . 2. ∀nN1 |an − g1 | <. Wtedy dla n = max{N1 , N2 } mamy η > |an − g1 | + |an − g2 | = |an − g1 | + |g2 − an | |an − g1 + g2 − an | = η. 2 Definicja 4.1.3 Mówimy, że ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista będąca granicą ciągu. Uwaga 4.1.2 Jeżeli ciąg nie jest zbieżny, to nazywamy go rozbieżnym.. 4.2. Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie 4.2.1 Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Szkic dowodu. Niech lim an = g. Rozważmy liczbę naturalną N taką, że n→∞. ∀nN |an − g| < 1. 28.

(37) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 29. Ponieważ |an − g| |an | − |g|, więc mamy ∀nN |an | < 1 + |g|. Niech M = max |an |. Stąd 1¬n<N. ∀n∈N |an | ¬ max{1 + |g|, M }. 2 Lemat 4.2.1 Niech lim an = a oraz a 6= 0. Wtedy n→∞. ∃N ∈N ∀nN |an | >. |a| . 2. (4.2). Szkic dowodu. Ponieważ |a| 2 > 0. Więc istnieje taka liczba naturalna N , że ∀nN |an − a| <. |a| . 2. Biorąc to N i dowolną liczbę naturalną n N oraz korzystając z własności |a| − |an | ¬ |a − an | = |an − a|, otrzymujemy 2 |a| − |an | < |a| 2 , co jest tezą lematu. Twierdzenie 4.2.2 (Działania na granicach ciągów.) Jeżeli lim an = a i lim bn = b oraz c jest dowolna liczbą rzen→∞ n→∞ czywistą, to lim (an + bn ) = a + b;. (4.3). lim (c · an ) = c · a;. (4.4). lim (−an ) = −a;. (4.5). lim (an − bn ) = a − b;. (4.6). lim c = c;. (4.7). lim (an + c) = a + c;. (4.8). lim (an · bn ) = a · b;. (4.9). n→∞. n→∞. n→∞ n→∞. n→∞ n→∞. n→∞. 1 1 = ; bn b an a b 6= 0 ⇒ lim = . n→∞ bn b. b 6= 0 ⇒ lim. n→∞. Szkic dowodu. Dowód (4.3). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczby naturalne N1 i N2 takie, że ε , 2 ε ∀nN2 |bn − b| < . 2. ∀nN1 |an − a| <. Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n max{N1 , N2 } mamy ε > |an − a| + |bn − b| |(an + bn ) − (a + b)|. Dowód(4.4). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczbę naturalną N taką, że ∀nN |an − a| <. ε . |c| + 1. Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n N mamy |c · an − c · a| = |c||an − a| < Dowód (4.5). Jest to wniosek z (4.4).. |c|ε < ε. |c| + 1. (4.10) (4.11).

(38) Analiza Matematyczna Jarosław Kotowicz. 30 Dowód Dowód Dowód Dowód. (4.6). (4.7). (4.8). (4.9).. Wniosek z (4.3) i (4.5). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Wtedy |an − c| = 0 < ε dla dowolnej liczby naturalne n. Wniosek z (4.3) i (4.7). Ponieważ an ma granicę, więc jest zbieżny, a stąd jest ograniczony. Niech M > 0 będzie takie, że ∀n∈N |an | ¬ M.. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy N1 i N2 takie, że ε 2(|b| + 1) ε ∀nN2 |bn − b| < . 2M. ∀nN1 |an − a| <. Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n max{N1 , N2 } mamy |an bn − ab| = |an bn − an b + an b − ab| ¬ |an bn − an b| + |an b − ab| ε ε = |an ||bn − b| + |b||an − a| < M + |b| < ε. 2M 2(|b| + 1) Dowód (4.10). Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Rozważmy liczby naturalne N1 , N2 takie, że |b| 2 b2 ε ∀nN2 |bn − b| < . 2 ∀nN1 |bn | >. Wtedy biorąc dowolną liczbę naturalną n spełniająca warunek n max{N1 , N2 } mamy

(39)

(40) 2

(41) 1

(42)

(43) − 1

(44) = |b − bn | < b ε = ε.

(45) bn b

(46) |b · bn | 2|b| · |b| 2. Dowód (4.11). Jest to konsekwencja własności (4.9) i (4.10).. 2. Twierdzenie 4.2.3 Jeżeli ciąg (an ) jest zbieżny i zachodzi ∃n∈N ∀kn ak 0, to lim an 0. n→∞. Szkic dowodu. (ad absurdum) Rozważmy takie N1 , że ∀kN1 ak 0. Niech lim an = a < 0. Z definicji granicy ciągu rozważmy takie N2 , że n→∞. ∀kN2 |ak − a| ¬ −a. Niech teraz N = max{N1 , N2 }. Wtedy a < aN − a < −a, co daje aN < 0. Co kończy dowód.. 2. Uwaga 4.2.1 Zauważmy, że może być nierówność ostra dla wyrazów ciągu, ale dla granicy nierówność pozostaje tylko nieostra. Wystarczy rozważyć ciąg an = n1 , gdzie an > 0, ale lim an = 0. n→∞. Wniosek 4.2.1 Jeżeli ciągi (an ) i (bn ) są zbieżne i zachodzi ∃n∈N ∀kn ak ¬ bk , to lim an ¬ lim bn . n→∞. n→∞. Szkic dowodu. Wystarczy rozważyć ciąg (bn − an ).. 2.