topologicznie mieszające, ale nie dokładne i pseudołuk
Lemat 8.8. Dla dowolnego przekształcenia dopuszczalnego f ∈ C([a, b]) i dowol- dowol-nej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje takie dopuszczalne przekształcenie Markowa
F ∈ C([a, b]), że supt∈[a,b]|f (t) − F (t)| < ε, F (a) ¬ f (a) oraz F (b) f (b).
Dowód. Niech ε > 0 oraz a = u0 < u1 < · · · < un = b oznacza podział przedziału [a, b] na n przedziałów równej długości, tzn. |ui+1− ui| = |uj+1− uj| dla dowolnych i oraz j takich, że 0 ¬ i < j ¬ n. Dodatkowo załóżmy, że n jest wystarczająco duże, aby następujący warunek był spełniony:
max
i=0,1,...,n−1{|ui − ui+1|, diam f ([ui, ui+1])} < ε 6.
Zdefiniujemy teraz kawałkami liniowe przekształcenie F : [a, b] → [a, b]. Najpierw określimy F w punktach podziału wzorami
Rysunek 8.1: Przykład przekształcenia Markowa
F (un) = max{uj : uj max f ([un−1, un])}.
Następnie zdefiniujemy F na każdym z przedziałów [ui, ui+1] dla i = 0, 1, . . . , n − 1. Ustalmy 0 ¬ i < n i oznaczmy
s = s(i) = max{j : uj ¬ min f ([uj, uj+1])} oraz
t = t(i) = min{j : uj max f ([uj, uj+1])}.
Zauważmy, że f nie jest stała w żadnym z przedziałów. Stąd mamy s < t oraz f ([ui, ui+1]) ⊂ [us, ut].
Z definicji przekształcenia F , F (ui) ¬ us. Przyjmijmy αi = F (ui+1) − us i zdefiniujemy teraz F na przedziale [ui, ui+1] w zależności od wartości αi. Jeże-li αi ¬ 0, to F (ui+1) ¬ us i dzielimy przedział [ui, ui+1] na cztery przedziały równej długości, tzn. wprowadzamy 3 punkty pośrednie pj = ui + j · (ui+1− ui)/4 dla j = 1, 2, 3. Następnie definiujemy F (patrz rys. 8.2a) jako łamaną łączącą punkty (ui, F (ui)), (p1, ut), (p2, us), (p3, ut), (ui+1, F (ui+1)). Zauważmy, że każdy przedział, którego końcami są sąsiadujące punkty spośród ui < p1 < p2 < p3 < ui+1 ma dłu-gość |ui+1−ui|/4 oraz |ut−F (ui+1)| |ut−us| |ui+1−ui| i stąd F ma nachylenie 4 w każdym z przedziałów podziału.
W drugim przypadku jeżeli αi > 0, to wtedy F (ui+1 us+1) i dzielimy prze-dział [ui, ui+1] na 5 kawałków o tej samej długości wprowadzając punkty podziału qj = ui + j · (ui+1 − ui)/5 dla j = 1, 2, 3, 4. Definiujemy funkcję F (patrz rys.8.2b) jako łamaną łączącą punkty (ui, F (ui)), (q1, ut), (q2, us), (q3, ut), (q4, us), (ui+1, F (ui+1)). Zauważmy, że |F (ui+1) − us| |ui+1− ui|. Stąd F ma nachylenie nie mniejsze niż 4 na każdym z podprzedziałów.
Pokazaliśmy, że funkcja F zdefiniowana powyżej jest kawałkami liniowym prze-kształceniem ciągłym określonym na [a, b]. Dodatkowo, dla każdego 0 ¬ i < n istnieją k ¬ s(i) < t(i) ¬ m takie, że F ([ui, ui+1]) = [uk, um] oraz |F0(t)| 4 dla dowolnego niekrytycznego punktu t ∈ (a, b).
Aby dowieść, że F jest przekształceniem dopuszczalnym, wystarczy pokazać, że F jest topologicznie dokładne.
Niech
J (i) = {m : [um, um+1] ⊂ F ([ui, ui+1])} . Skorzystanie z definicji F pozwala nam stwierdzić, że
f ([ui, ui+1]) ⊂ [us, ut] ⊂ F ([ui, ui+1]) = [ j∈J (i)
[uj, uj+1].
Stąd, przez indukcję, znajdujemy
fk+1([ui, ui+1]) ⊂ fk(F ([ui, ui+1])) ⊂ fk
[ j∈J (i) [uj, uj+1] = [ j∈J (i) fk([uj, uj+1]) ⊂ [ j∈J (i) Fk([uj, uj+1]) = Fk [ j∈J (i) [uj, uj+1] = Fk+1([ui, ui+1]) . W szczególności, ponieważ f jest odwzorowaniem dokładnym, to dla dowolnych 0 ¬ i < n istnieje liczba naturalna k > 0 taka, że
Fk([ui, ui+1]) = [a, b].
Teraz niech J oznacza przedział otwarty. Ponieważ F0(t) 4 dla dowolnej wartości niekrytycznego punktu t ∈ (a, b) to, (stosując taki sam argument jak w dowodzie [85, Lemma 2.10]) istnieje liczba naturalna j > 0, dla której Fj(J ) zawiera trzy kolejne punkty krytyczne. Jednak wtedy, z definicji F , istnieje takie 0 ¬ i < n, że [ui, ui+1] ⊂ Fj+1(J ). W związku z tym F jest przekształceniem dokładnym.
Następnie zauważmy, że dla dowolnego 0 ¬ i < n zachodzi nierówność sup
t∈[ui,ui+1]
|F (t) − f (t)| ¬ diam F ([ui, ui+1]).
Oznaczmy r(i) = i + 2 dla i < n − 1 oraz przyjmijmy r(i) = n w przeciwnym przypadku. Wtedy korzystając z definicji F otrzymujemy
diam F ([ui, ui+1]) ¬ 2 · ε
6+ diam f ([ui, ur(i)]) ¬ ε 3+ 2 ·
ε 6 < ε. W rezultacie supt∈[a,b]|f (t) − F (t)| < ε, co kończy dowód.
Lemat 8.9. Niech ε > 0. Niech f ∈ C([a, b]) i g ∈ C([b, c]) będą takimi dwoma dopuszczalnymi przekształceniami, że f (b) = g (b) = b określonymi na przedzia-łach [a, b] i [b, c], odpowiednio. Wtedy istnieje takie dopuszczalne przekształcenie F ∈ C([a, c]), że dla dowolnego t ∈ [a, b] mamy |F (t) − f (t)| < ε oraz dla dowol-nego t ∈ [b, c] mamy |F (t) − g (t)| < ε.
(a) F (ui+1) − us¬ 0 (b) F (ui+1) − us> 0
Rysunek 8.2: Dopuszczalne przekształcenie Markowa F na przedziale [ui, ui+1]
Dowód. Zauważmy, że jeżeli zastosujemy lemat 8.8 do zaburzenia przekształceń f oraz g do przekształcenia Markowa, to warunek f (b) = g(b) nie zmieni się. Stąd, korzystając z lematu 8.8, bez straty ogólności możemy założyć, że obydwa przekształcenia f oraz g są przekształceniami Markowa.
Niech (li)t
i=1 oznacza rosnący ciąg zadający podział Markowa dla funkcji f oraz g, tzn. f jest przekształceniem Markowa względem podziału a = l0 < l1 < . . . < ls = b, a g jest przekształceniem Markowa w odniesieniu do podziału b = ls < ls+1 < . . . < lt = c. Ponieważ punkty okresowe są gęste w przedziale [a, b] oraz w przedziale [c, d], włączając (jeżeli to konieczne) okresowe orbity jako elementu ciągu li, możemy założyć, że |li− li+1| < ε/3, diam f ([li, li+1]) < ε/3 dla 0 ¬ i < s oraz diam g([li, li+1])) < ε/3 dla s ¬ i < t.
Wybierzmy punkty p < q w przedziale [ls−1, b] dzieląc go w ten sposób na trzy przedziały równej długości, tzn.
p = ls−1+ (b − ls−1)/3, q = ls−1+ 2(b − ls−1)/3.
Niech p0 < q0 dzieli przedział [b, ls+1] również na trzy przedziały o równej dłu-gości. Definiujemy F (t) = f (t) dla dowolnego t ∈ [a, ls−1] oraz F (t) = g(t) dla każdego t ∈ [ls+1, c]. Dodatkowo przyjmujemy, że F (p) = F (p0) = g(ls+1) > ls+1 oraz F (q) = F (q0) = f (ls−1) < ls−1 (nierówności te uzyskujemy z faktu, że obie funkcje f i g mają nachylenie 4 na przedziałach, na których są funkcjami linio-wymi). Ostatecznie przyjmujemy F (b) = b i definiujemy przekształcenie F jako łamaną łączącą wartości w punktach p, q, p0, q0, b, ls−1, ls+1. W rezultacie staje się ono przekształceniem kawałkami liniowym również na przedziale [ls−1, ls+1].
Zauważmy, że F0(t) 4 w każdym niekrytycznym punkcie oraz, że F jest prze-kształceniem Markowa w odniesieniu do podziału (li)t
i=0∪ {p, q, p0, q0} . Zauważmy także, że
F ([ls−1, p]) ∩ F ([p, q]) ∩ F ([q, b]) ⊃ f ([ls−1, b]) oraz
Dodatkowo, ponieważ F0(t) 4, jeżeli dla dowolnego niezdegenerowanego prze-działu J , istnieje liczba naturalna k > 0 taka, że Fk(J ) zawiera trzy kolejne punk-ty podziału, to istnieje takie j, że [lj, lj+1] ⊂ Fk+1(J ) dla pewnego 0 ¬ j < t. Ponadto, jeżeli dla dowolnego 0 ¬ i < s mamy f ([li, li+1]) ⊂ F ([li, li+1]) oraz g([li, li+1]) ⊂ F ([li, li+1]) dla s ¬ i < t, to istnieje liczba naturalna m > 0 taka, że Fm([li, li+1]) ⊃ [a, b] dla dowolnego 0 ¬ i < s oraz Fm([li, li+1]) ⊃ [b, c] dla dowolnego s ¬ i < t. Jednak [ls−1, ls+1] ⊂ F ([a, b]) ∩ F ([b, c]).
Dzięki powyższym obserwacjom otrzymujemy, że istnieje takie 0 ¬ j < t, że Fk+2m+2(J ) ⊃ F2m+1([lj, lj+1]) ⊃ Fm([ls−1, ls+1])
⊃ Fm([ls−1, b]) ∪ Fm([b, ls+1]) ⊃ [a, b] ∪ [b, c] = [a, c].
Stąd przekształcenie F jest przekształceniem topologicznie dokładnym, co kończy dowód lematu.
Twierdzenie 8.10. Dla dowolnego ε > 0 oraz dowolnego topologicznie dokład-nego przekształcenia g ∈ C([0, 1]) istnieje takie mieszające, ale nie topologicznie dokładne przekształcenie f ∈ C([0, 1]), że ρ(f, g) < ε oraz granica odwrotna kopii przedziału [0, 1] z f jako przekształceniem skaczącym jest pseudołukiem.
Dowód. Niech ε > 0. Najpierw z lematu 8.2 otrzymujemy takie 0 < τ < ε/16 i przekształcenie F ∈ C([0, 1]), że ρ(F, g) < ε/2. Dodatkowo wiemy, że przekształ-cenie F zawężone do przedziału [τ, 1 − τ ] jest przekształprzekształ-ceniem dopuszczalnym, a poza tym przedziałem jest identycznością.
Twierdzimy, że istnieją taki ciąg przekształceń f1, f2, . . . ∈ C([0, 1]), rosnący ciąg liczb naturalnych n(1) < n(2) < . . . oraz trzy ciągi dodatnich liczb rzeczywi-stych ε1, ε2, . . . , δ1, δ2, . . . , τ1, τ2, . . ., że ρ(f1, F ) < ε/4, τ1 = τ , δ1 = τ14 i dodatkowo następujące warunki są spełnione:
(i) |fi+1(t)−fi(t)| < εi < 2−idla dowolnego i = 1, 2, . . . oraz wszystkich t ∈ [0, 1], (ii) fi zawężone do przedziału [τi, 1 − τi] jest przekształceniem dopuszczalnym, fi([τi, 1 − τi]) = [τi, 1 − τi] i fi(t) = t dla każdego t ∈ [0, τi] ∪ [1 − τi, 1] oraz i = 1, 2, . . .,
(iii) dla dowolnej liczby i = 1, 2, . . . oraz wszystkich 1 ¬ k ¬ i przekształcenie fin(k) jest (2−k− 2−k−i)-zakrzywione,
(iv) dla dowolnej liczby i = 1, 2, . . . oraz wszystkich 1 ¬ k ¬ i, jeżeli b − a 2−k, to fin(k)([a, b]) ⊃ [τk+ ξ, 1 − ξ − τk], gdzie ξ =Pi j=kδj, (v) δi+1 < δi 2, εi+1< εi 2, τi+1< τi 2, εi < τi 4.
Powyższe stwierdzenie udowodnimy poprzez indukcję ze względu na i.
Dla i = 1 stosując lemat 8.5 z liczbami θ = τ1, η = ε1 = min{τ1/8, 2−2}, δ = 2−1− 2−1−1 = 1/4 oraz przekształceniem F |[τ1,1−τ1]. Otrzymujemy przekształ-cenie dopuszczalne f1: [τ1, 1 − τ1] → [τ1, 1 − τ1] oraz taką liczbę naturalną n(1), że warunki (iii) oraz (iv) są spełnione. Ponadto rozszerzamy f1 na cały przedział [0, 1] przyjmując f1(t) = t dla wszystkich t ∈ [0, τ1] ∪ [1 − τ1, 1]. Stąd, przez naszą konstrukcję, warunek (ii) także jest spełniony. To kończy pierwszy krok indukcji.
Następnie załóżmy, że stwierdzenie zachodzi dla wszystkich i = 1, . . . , s, gdzie s jest ustaloną liczbą naturalną. Udowodnimy, że stwierdzenie zachodzi również dla i = s + 1. Niech τs+1 = τs/2 oraz ustalmy δs+1 < min {δs/2, 2−2s−4}. Z jednostajnej ciągłości fs możemy znaleźć takie
εs+1< minn2−s−1, εs/2, τs+1/4o
, że jeżeli ρ(h, fs) < εs+1 to ρ(hj, fsj) < δs+1 dla j = 0, 1, . . . , n(s). W szczególności, dla dowolnego 1 ¬ k ¬ s mamy
(2−k − 2−k−s+ 2δs+1) < (2−k − 2−k−s−1).
Korzystając teraz z lematu 2.32 wnioskujemy, że dla dowolnego 1 ¬ k ¬ s prze-kształcenie hn(k) jest (2−k − 2−k−s−1)-zakrzywione. Analogicznie otrzymujemy, że
hn(k)i ([a, b]) ⊃ [τk+ ξ, 1 − ξ − τk], gdzie ξ =Ps+1
j=kδj.
Zauważmy, że fs jest przekształceniem dopuszczalnym na [τs, 1 − τs], ponie-waż punkty końcowe tego przedziału są punktami stałymi przekształcenia fs oraz ponieważ na mocy lematu 8.3 istnieją także przekształcenia dopuszczalne na prze-działach [τs+1, τs] oraz [1 − τs, 1 − τs+1], które są dowolnie małymi zaburzeniami identyczności na tych przedziałach (i punkty końcowe tych przedziałów są dla nich punktami stałymi). W związku z tym możemy zastosować lemat 8.9 dwukrotnie otrzymując takie przekształcenie dopuszczalne G : [τs+1, 1 − τs+1], że
sup t∈[τs+1,1−τs+1]
|G(t) − fs(t)| < εs+1 2 .
Przekształcenie G możemy rozszerzyć do całego przedziału [0, 1] przyjmując G(t) = t dla wszystkich t ∈ [0, τs+1] ∪ [1 − τs+1, 1]. Stąd G ∈ C([0, 1]) i dodatkowo ρ(G, fs) < εs+1/2.
Następnie korzystając z lematu 8.5 dla θ = τs+1, η = min{εs+1/2, 2−s−2}, δ = 2−s−1 − 2−2s−2 oraz przekształcenie G|[τs+1,1−τs+1], otrzymujemy takie prze-kształcenie dopuszczalne fs+1: [τs+1, 1 − τs+1] → [τs+1, 1 − τs+1] oraz liczbę natu-ralną n(s + 1) > 0, że warunki (iii) oraz (iv) są spełnione dla k = s + 1. Jak wcześniej, przekształcenie fs+1 możemy rozszerzyć do przedziału [0, 1], przyjmu-jąc identyczność poza przedziałem [τs+1, 1 − τs+1]. Ponieważ ρ(fs+1, fs) < εs+1, to warunki (iii) oraz (iv) są spełnione dla każdego 1 ¬ k ¬ s + 1 i warunek (ii) zachodzi. To kończy indukcję.
Zauważmy, że P∞
j=1εj ¬ τ /2, tzn. przekształcenia fi jednostajnie zbiegają do przekształcenia f (t) = limi→∞fi(t), w szczególności f : [0, 1] → [0, 1] jest prze-kształceniem ciągłym. Dowodzi to również, że ρ(f, g) < ε. Ponadto, z (iii) oraz lematu 2.33 dla każdego k przekształcenie fn(k) jest 2−k-zakrzywione, więc grani-ca odwrotna przedziału [0, 1] z przekształceniem f jako jednym przekształceniem skaczącym jest pseudołukiem z lematu 2.34.
Ustalmy teraz taki otwarty przedział U ⊂ [0, 1] oraz takie liczby a i b, że 0 < a < b < 1 oraz [a, b] ⊂ U . Niech γ > 0. Zauważmy, że
ξk= ∞ X j=k δj ¬ ∞ X j=k 2−jτ ¬ 2k−1τ.
Stąd istnieje liczba naturalna k > 0 taka, że
[γ/2, 1 − γ/2] ⊂ [τk+ 2ξk, 1 − 2ξk− τk].
Możemy także założyć, że liczba naturalna k spełnia b − a > 2−k. Wtedy z warunku (iv) mamy
fin(k)([a, b]) ⊃ [τk+ ξ, 1 − ξ − τk] ⊃ [τk+ 2ξk, 1 − 2ξk− τk]
dla każdego i k. Co więcej, jeżeli i jest dostatecznie duże, to ρ(fn(k), fin(k)) < γ/2. To pokazuje, że
fn(k)(U ) ⊃ fn(k)([a, b]) ⊃ [γ, 1 − γ].
Ponieważ zbiór U oraz liczba γ były dowolne, to widzimy, że przekształcenie f jest mieszające.
Zwróćmy uwagę, że
∞ X j=k εj ¬ ∞ X j=k 2−j+kεk ¬ 2εk ¬ τk/2. Zatem ρ(f, fk) ¬ ∞ X j=k |fj+1− fj| ¬ ∞ X j=k εj ¬ τk/2. Skoro fk([τk, 1 − τk]) = [τk, 1 − τk], to otrzymujemy, że
f ([τk, 1 − τk]) ⊂ [τk/2, 1 − τk/2] ⊂ (0, 1). Jest to prawda dla każdego k = 1, 2, . . ., a stąd
f ((0, 1)) = f ∞ [ k=1 [τk, 1 − τk] ! ⊂ (0, 1).
Pokazuje to, że przekształcenie f nie jest dokładne, co kończy dowód twierdze-nia.
[1] R.L. Adler, A.G. Konheim, and M.H. McAndrew, Topological Entropy, Trans. Amer. Math. Soc. 114 (1965), no. 2, 309–319.
[2] E. Akin and S. Kolyada, Li-yorke sensitivity, Nonlinearity 16 (2003), no. 4, 1421–1433.
[3] L. Alsedà, J. Llibre, and M. Misiurewicz, Combinatorial Dynamics and Entro-py in Dimension One, Advanced Series in Nonlinear Dynamics, World Scien-tific, Singapore, 2000.
[4] R.D. Anderson and G. Choquet, A Plane Continuum No Two of Whose Non-Degenerate Subcontinua Are Homeomorphic: An Application of Inverse Limits, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), no. 3, 347–353.
[5] J.J. Andrews, A chainable continuum no two of whose nondegenerate subcon-tinua are homeomorphic, Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961), 333–334.
[6] D. Arevalo, W.J. Charatonik, P. Pellicer Covarrubias, and L. Simón, Dendrites with a closed set of end points, Topology Appl. 115 (2001), 1–17.
[7] J. Banks, Regular periodic decompositions for topologically transitive maps, Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997), no. 3, 505–529.
[8] J. Banks, T.T.D. Nguyen, P. Oprocha, B. Stanley, and B. Trotta, Dynamics of spacing shifts, Discrete Contin. Dyn. Sys. 33 (2014), 4207–4232.
[9] J. Banks and B. Trotta, Weak mixing implies mixing for maps on topological graphs, J. Difference Equ. Appl. 11 (2005), no. 12, 1071–1080.
[10] M. Barge and J. Martin, Dense periodicity on the interval, Proc. Amer. Math. Soc 94 (1985), no. 4, 731–735.
[11] , The construction of global attractors, Proc. Amer. Math. Soc. 110 (1990), no. 2, 523–525.
[12] D.P. Bellamy, A tree-like continuum without the fixed-point property, Houston J. Math. 6 (1980), no. 1, 1–13.
[13] R.H. Bing, A homogeneous indecomposable plane continuum, Duke Math. J. 15 (1948), 729–742.
[14] , Concerning hereditarily indecomposable continua, Pacific J. Math. 1 (1951), 43–51.
[15] F. Blanchard, E. Glasner, S. Kolyada, and A. Maass, On Li-Yorke pairs, Re-ine Angew Math. Journal für die reRe-ine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 547 (2002), 51–68.
[16] F. Blanchard, W. Huang, and L. Snoha, Topological size of scrambled sets, Colloq. Math. 110 (2008), no. 2, 293–361.
[17] F. Blanchard, A. Maass, and A. Nogueira, Topics in Symbolic Dynamics and Applications, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 279, Cambridge University Press, 2000.
[18] L. Block, Homoclinic points of mappings of the interval, Proc. Amer. Math. Soc. 72 (1978), no. 3, 576–580.
[19] L. Block, J. Guckenheimer, M. Misiurewicz, and L.S. Young, Periodic points and topological entropy of one dimensional maps, [in:] Z. Nitecki, C. Robinson (eds), Global Theory of Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics, vol. 819, pp. 18–34, Springer, Berlin, Heidelberg, 1980.
[20] L.S. Block and W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Math., vol. 1513, Springer-Verlag, Berlin, 1992.
[21] A. Blokh, On sensitive mappings of the interval, Russ. Math. Surv. 37 (1982), no. 2, 203–204.
[22] A. Blokh and E. Teoh, How little is little enough?, Discrete Contin. Dynam. Sys. 9 (2003), 969–978.
[23] R. Bowen, Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 401–414.
[24] , Periodic points and measures for axiom A diffeomorphism, Trans. Amer. Math. Soc. 154 (1971), 377–397.
[25] L.E.J. Brouwer, Zur Analysis Situs, Math. Ann. 68 (1910), 422–434.
[26] J. Byszewski, F. Falniowski, and D. Kwietniak, Transitive dendrite map with zero entropy, Ergod. Th. Dyn. Sys. 37 (2017), no. 7, 2077–2083.
[27] G. Cantor, Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Fortsetzung, Math. Ann. 21 (1883), 545–591.
[28] C.E. Capel, Inverse limit spaces, Duke Math. J. 21 (1954), no. 2, 233–245. [29] H. Cook, Continua which admit only the identity mapping onto non-degenerate
subcontinua, Fundamenta Mathematicae 60 (1967), no. 3, 241–249.
[30] R.J. Daverman, Decompositions of Manifolds, AMS Chelsea Publishing, AMS, Providence, Rhode Island, 1986.
[31] R.L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed., Addison-Wesley Redwood City, Calif, 1989.
[32] E.I. Dinaburg, The relation between topological entropy and metric entropy, Dokl. Akad. Nauk SSSR 190 (1970), 19–22.
[33] , On the relations among various entropy characteristics of dynamical systems, Izv. Akad. Nauk SSSR 35 (1971), 324–366.
[34] T. Downarowicz, Entropy in Dynamical Systems, New Mathematical Mono-graphs, 18. Cambridge University Press, Cambridge, 2011.
[35] T. Drwięga, Dendrites and chaos, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 28 (2018), no. 13, article id: 1850158.
[36] T. Drwięga, M. Lampart, and P. Oprocha, Limit sets, attractors and chaos, Qual. Th. Dynam. Syst 16 (2017), 53–69.
[37] T. Drwięga and P. Oprocha, Topologically mixing maps and the pseudoarc, Ukr. Math. Journal 66 (2014), 197–208.
[38] , ω-chaos without infinite LY-scrambled set on Gehman dendrite, In-ternat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 29 (2019), no. 5, article id: 1950070. [39] R. Engelking, Topologia ogólna, 3 ed., Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004. [40] F. Falniowski, M. Kulczycki, D. Kwietniak, and J. Li, Two results on entropy,
chaos and independence in symbolic dynamics, Discrete and Contin. Dyn, Syst. Ser. B 20 (2015), no. 10, 3487–3505.
[41] H. Furstenberg, Disjointness in ergodic theory, minimal sets and a problem in Diophantine approximation, Math. System Theory 1 (1967), 1–49.
[42] H.M. Gehman, Concering the subsets of a plane continuous curve, Ann. Math. 27 (1925), 29–46.
[43] T.N.T. Goodman, Relating topological entropy to measure entropy, Bull. Lon-don. Math. Soc. 3 (1971), 176–180.
[44] L.W. Goodwyn, The product theorem for topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc. 158 (1971), 445–452.
[45] W.H. Gottschalk and G.A. Hedlund, Topological Dynamics, vol. 36, American Mathematical Society Colloquium Publications, Providence, R. I., 1955. [46] G. Harańczyk, D. Kwietniak, and P. Oprocha, A note on transivity, sensitivity
and chaos for graph maps, J. Difference Equ. Appl. 17 (2011), 1549–1553. [47] , Topological structure and entropy of mixing graph maps, Ergod. Th.
Dyn. Sys. 34 (2014), 1587–1614.
[48] G.W. Henderson, The pseudo-arc as an inverse limit with one binding map, Duke Math. J. 31 (1964), no. 3, 421–425.
[49] L. Hoehn and C. Mouron, Hierarchies of chaotic maps on continua, Ergod. Th. Dyn. Sys. 34 (2014), no. 6, 1897–1913.
[50] W.T. Ingram, An atriodic tree-like continuum with positive span, Fund. Math. 77 (1972), no. 2, 99–107.
[51] , An uncountable collection of mutually exclusive planar atriodic tree-like continua with positive span, Fund. Math. 85 (1974), no. 1, 73–78.
[52] , A brief historical view of continuum theory, Topology Appl. 153 (2006), no. 10, 1530–1539.
[53] Z. Janiszewski, Sur les continus irréducible entre deux points, Thèsis présentées à la Faculté des Sciences de Paris, 1911, J. École Polytechnique (2) 16 (1912), 79–170.
[54] A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. with Supplementary Chapter by Katok and Leonardo Mendoza, En-cyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 54, Cambridge University Press, 1995.
[55] B. Knaster, Un continu dont tout sous-continu est indécomposable, Fund. Math. 3 (1922), 247–286.
[56] P. Kościelniak and P. Oprocha, Shadowing, entropy and a homeomorphism of the pseudoarc, Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), 1047–1057.
[57] P. Kościelniak, P. Oprocha, and Tuncali M., Hereditarily indecomposable in-verse limits of graphs: shadowing, mixing and exactness, Proc. Amer. Math. Soc. 142 (2014), no. 2, 681–694.
[58] Z. Kočan, Chaos on one-dimensional compact metric spaces, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 22 (2012), no. 10, article id:1250259.
[59] Z. Kočan, V. Kornecká-Kurková, and M. Málek, Entropy, horseshoes and ho-moclinic trajectories on trees, graphs and dendrites, Ergod. Th. Dyn. Sys. 31 (2011), 165–175, Erratum: 177–177.
[60] P. Kůrka, Topological and symbolic dynamics, Societe Mathematique de Fran-ce, 2003.
[61] M. Kuchta and J. Smítal, Two-point scrambled set implies chaos, [in:] Euro-pean Conf. Iteration Theory (Caldes de Malavella, 1987), pp. 427–430, World Scientific Publishing, Teaneck, NJ, 1989.
[62] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, 9 ed., Wydawnictwo Na-ukowe PWN, 2004.
[63] D. Kwietniak and P. Oprocha, Topological entropy and chaos for maps induced on hyperspaces, Chaos Solitons Fractals 33 (2007), 76–86.
[64] , A note on the average shadowing property for expansive maps, Topo-logy Appl. 159 (2012), 19–27.
[65] D. Kwietniak and M. Ubik, Topological entropy of compact subsystems of trans-itive real line maps, Dyn. Syst. 28 (2013), no. 1, 62–75.
[66] M. Lampart, Two kinds of chaos and relations between them, Acta Math. Univ. Comenianae 72 (2003), no. 1, 119–127.
[67] M. Lampart and P. Oprocha, Shift spaces, ω-chaos and specification property, Topology Appl. 156 (2009), 2979–2985.
[68] K. Lau and A. Zame, On weak mixing of cascades, Math. Systems Theory 6 (1972/73), 307–311.
[69] W. Lewis, The pseudo-arc, Bol. Soc. Mat. Mexicana 5 (1999), 25–77.
[70] S.H. Li, ω-chaos and topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), 243–249.
[71] T.Y. Li and J. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly 82 (1975), 985–992.
[72] D. Lind and B. Marcus, An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding, Cambridge University Press, 1995.
[73] E.N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of Atmospheric Sciences 20 (1963), no. 2, 130–141.
[74] , The Mechanics of Vacillation, Journal of Atmospheric Sciences 20 (1963), no. 5, 448–465.
[75] , The problem of deducing the climate from the governing equations, Tellus 16 (1964), no. 1, 1–11.
[76] W.S. Mahavier, A chainable continuum not homeomorphic to an inverse limit on [0, 1] with only one bonding map, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), no. 2, 284–286.
[77] M. Málek and P. Oprocha, On variants of distributional chaos in dimension one, Dyn. Syst. 26 (2011), no. 3, 273–285.
[78] S. Mazurkiewicz, Sur les continus homogènes, Fund. Math. 5 (1924), 137–146. [79] P. Minc and W.R.R. Transue, A transitive map on [0, 1] whose inverse limit
is the pseudoarc, Proc. Amer. Math. Soc. 111 (1991), 1165–1170.
[80] M. Misiurewicz, Horseshoes for mappings of an interval, Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. 27 (1979), 167–169.
[81] E.E. Moise, An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua, Trans. Amer. Math. Soc. 67 (1948), 581–594.
[82] J. Mycielski, Independent sets in topological algebras, Fund. Math. 5 (1964), 137–147.
[83] P. Oprocha and G.H. Zhang, Topological aspects of dynamics of pairs, tuples and sets, [in:] K.P. Hart, J. van Mill, P. Simon (eds.), Recent Progress in General Topology III, Atlantis Press (2014), 649–692.
[84] R. Pikuła, On some notions of chaos in dimension zero, Colloq. Math. 107 (2007), 167–177.
[85] S. Ruette, Chaos on the Interval, University Lecture Series, vol. 67, American Mathematical Society, Providence, R. I., 2017.
[86] B. Schweizer and J. Smítal, Measures of chaos and a spectral decomposition of dynamical systems on the interval, Trans. Amer. Math. Soc. 344 (1994), 737–754.
[87] A.N. Sharkovsky, S.F. Kolyada, A.G. Sivak, and V.V. Fedorenko, Dynamics of One-Dimensional Maps, Mathematics and Its Applications, vol. 407, Springer Netherlands, 1997.
[88] J. Smítal, Chaotic functions with zero topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc. 297 (1986), 269–282.
[89] J. Smítal and M. Štefánková, Omega-chaos almost everywhere, Discrete Con-tin. Dyn. Sys. 9 (2003), 1323–1327.
[90] S. M. Srivastava, A Course on Borel Sets, Graduate Texts in Mathematics, vol. 180, Springer-Verlag, New York, 1998.
[91] V. Špitalský, Transitive dendrite map with infinite decomposition ideal, Discre-te Contin. Dyn. Sys. 35 (2015), no. 2, 771–792.
[92] P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory, Graduate Texts in Mathema-tics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin, 2004.
[93] S. Wang, E. Shi, L. Zhou, and X. Su, Topological Transitivity and Chaos of Group Actions on Dendrites, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 19 (2009), no. 12, 4165–4174.