im. Stanisława Staszica w Krakowie
Wydział Matematyki Stosowanej
ROZPRAWA DOKTORSKA
Dynamika odwzorowań w niskich
wymiarach: entropia, mieszanie
i chaos
Tomasz Drwięga
prof. dr hab. Piotr Oprocha
dr hab. Dominik Kwietniak
Na powstanie i ostateczny kształt mojej rozprawy doktorskiej miało wpływ wiele osób, którym chciałbym w tym miejscu podziękować.
Dziękuję mojemu promotorowi prof. dr hab. Piotrowi Oprocha za opiekę meryto-ryczną, za cenne uwagi i sugestie, za zaangażowanie, dzięki któremu możliwe było napisanie tej pracy. Szczególnie dziękuję za okazaną życzliwość i poświęcony czas na konsultacje.
Chciałbym również podziękować promotorowi pomocniczemu dr hab. Dominikowi Kwietniakowi za niezwykle cenne uwagi oraz setki zapisanych czerwonym długopi-sem stron kolejnych wersji tej pracy.
Żonie i córkom za cierpliwość i wyrozymiałość.
Dziękuję też wszystkim, których nie wymieniłem tu z imienia i nazwiska, a którzy byli mi życzliwi i pomocni.
Spis treści
1 Wstęp 3
2 Podstawowe definicje i oznaczenia 9
2.1 Układy dynamiczne na zwartej przestrzeni metrycznej. . . 9
2.2 Continua . . . 11
2.3 Dynamika symboliczna . . . 13
2.4 Entropia topologiczna . . . 14
2.4.1 Entropia topologiczna . . . 14
2.4.2 Równoważne definicje entropii topologicznej . . . 15
2.4.3 Entropia metryczna . . . 16
2.4.4 Zasada wariacyjna . . . 17
2.5 Definicje chaosu . . . 18
2.6 Przekształcenia odcinka . . . 20
2.7 Dendryt Gehmana . . . 21
3 Przekształcenia mieszające na krzywej sin(1/x) 24
4 Rozszerzenie przesunięcia bez par DC3 do przesunięcia z
miesza-niem 36
5 Nieprzeliczany zbiór ω-splątany bez par DC3 na dendrycie 41
6 Zbiór ω-splątany bez przeliczalnego zbioru LY-splątanego 45
7 Chaos dystrybucyjny bez przeliczalnego zbioru LY-splątanego 49
8 Przekształcenie odcinka [0, 1] topologicznie mieszające, ale nie do-kładne i pseudołuk 59
1.1 Schemat zależności między definicjami chaosu dla ciągłych
prze-kształceń na odcinku . . . 5
1.2 Schemat zależności między różnymi rodzajami chaosu dla prze-kształceń na dendrycie — przerywanymi liniami zaznaczono impli-kacje, które obalono w rozprawie . . . 6
2.1 Continuum Brouwera–Janiszewskiego–Knastera . . . 12
2.2 Dendryt Gehmana jako domknięcie sumy przeliczalnej rodziny łu-ków w R2 . . . . 22
2.3 Przekształcenie g na dendrycie Gehmana . . . 22
3.1 Przestrzenie bez odcinka rozspajającego . . . 25
3.2 Przestrzenie z odcinkiem rozspajającym. . . 25
3.3 Zbiór XB = SL∪ S0∪ SR . . . 28
3.4 Przekształcenia Tε oraz πS . . . 32
7.1 Rezultat pierwszych trzech etapów konstrukcji dendrytu D . . . 51
7.2 Szkic jak działa przekształcenie f na górnych końcach odcinków . . 53
7.3 Szkic jak działa przekształcenie f w Ikn jeżeli n jest parzyste . . . . 53
7.4 Szkic jak działa przekształcenie f w In k jeżeli n jest nieparzyste. . . 53
8.1 Przykład przekształcenia Markowa . . . 64
Wstęp
W niniejszej rozprawie badamy związki między różnymi definicjami chaosu w ukła-dach dynamicznych. Głównymi wynikami rozprawy są:
(1) przebadanie związków między topologiczną tranzytywnością i topologicznym mieszaniem dla przekształceń krzywej sinx1 i podwójnej krzywej sin1x oraz wy-znaczenie infimum entropii odwzorowań chaotycznych w sensie Devaneya na tych przestrzeniach;
(2) technika rozszerzania układów dynamicznych bez par DC3 do topologicznie mieszających układów symbolicznych bez par DC3;
(3) negatywne odpowiedzi na trzy pytania pochodzące od Kočana [58] i dotyczące związków między różnymi rodzajami chaosu dla układów dynamicznych na dendrytach;
(4) pozytywna odpowiedź na naturalne pytanie, czy pseudołuk można otrzymać jako granicę odwrotną z pojedynczym topologicznie mieszającym, ale nie do-kładnym przekształceniem skaczącym f : [0, 1] → [0, 1].
Motywacja i historia
Mówiąc ogólnie, układ dynamiczny jest przestrzenią, w której punkty poruszają się wraz z upływem czasu zgodnie z określoną regułą, zazwyczaj niezależną od czasu. Czas może być ciągły (ruch planet, mechanika płynów, itp.) lub dyskretny (liczba turystów w Krakowie każdego roku, itp.). W przypadku dyskretnym, układ dynamiczny jest określony przez przekształcenie f : X → X, gdzie X jest prze-strzenią, a ewolucja jest dana przez kolejne iteracje przekształcenia f . Zaczynamy od punktu x w czasie 0, wówczas punkt f (x) reprezentuje nową pozycję punktu x w chwili 1, a fn(x) = f ◦ f ◦ . . . ◦ f (x) (f złożone n-krotnie) jest pozycją punktu x w chwili n. Układ dynamiczny jest co prawda rządzony przez deterministycz-ne prawa, ale może mimo to być nieprzewidywalny. W szczególności, na początku lat 60-tych XX wieku Lorenz zauważył, że w jego modelu meteorologicznym dwie początkowo zbliżone wartości początkowe mogą prowadzić do zupełnie innych wy-ników (zob. [73,74, 75]). Tego rodzaju zachowanie wykazane zostało również w in-nych układach dynamiczin-nych. Jeden z najprostszych modeli stanowi odwzorowanie
f (x) = αx(1−x) określone dla pewnego parametru α > 0 na przedziale [0, 1] mode-lujące ewolucję populacji. Jeżeli parametr α jest wystarczająco mały, to trajektorie zbiegają do punktu stałego — populacja stabilizuje się. Li i Yorke [71] pokazali jednak, że dla odpowiednich dużych wartości parametru α dynamika może stać się bardzo skomplikowana. Układy dynamiczne zadane przez kolejne iteracje prze-kształcenia ciągłego określonego na przedziale były szeroko badane, ponieważ są proste, ale mimo to wykazują złożone zachowania. Umożliwiają one także symulacje numeryczne, które czasami prowadziły do odkrycia nowych zjawisk chaotycznych. Ponadto, część układów dynamicznych na przestrzeniach wyższego wymiaru udaje się zredukować do układów niskowymiarowych. Trzeba jednak podkreślić, że prze-kształcenia ciągłe określone na przedziale domkniętym mają wiele własności, które nie zachodzą w przypadku ogólnym. W konsekwencji dynamika jednowymiarowa to bardzo ogólne pole badań, ale niereprezentatywne dla wszystkich układów dy-namicznych.
Badania skomplikowanej dynamiki opierają się na matematycznie ścisłym opisie idei nieprzewidywalności lub niestabilności. Przykładowo, mówimy, że przekształ-cenie f : X → X jest wrażliwe na warunki początkowe jeżeli istnieje taka stała δ > 0, że dowolnie blisko punktu x istnieje taki punkt y, że odległość pomiędzy fn(x) i fn(y) jest większa niż δ dla pewnego n. Definicja chaosu w sensie Li-Yorke’a (zob. definicja2.22) oznacza nieco większą niestabilność, ale tylko lokalnie. Dla De-vaneya, chaos to połączenie nieprzewidywalności i regularnego zachowania. Układ jest chaotyczny w sensie Devaneya jeżeli jest tranzytywny, wrażliwy na warun-ki początkowe oraz ma gęsty zbiór punktów okresowych [31]. Niektórzy autorzy chaos wiążą z dodatnią entropią, co oznacza, że liczba ε-rozróżnialnych trajekto-rii o długości n rośnie wykładniczo wraz z n (zob. definicja 2.14). Aby uzyskać własność globalną często zakłada się, tak jak u Devaneya, że układ jest tranzy-tywny. Mówiąc ogólnie, tranzytywność oznacza, że nie można rozłożyć układu na dwie niezmiennicze części z niepustymi wnętrzami. Istnieje wiele innych definicji chaosu lub chaotycznego zachowania ciągłych przekształceń na zwartych przestrze-niach metrycznych. Zazwyczaj nie są one wzajemnie równoważne, ale jest ciekawe i przydatne poznanie związków pomiędzy tymi definicjami.
Jak wspomnieliśmy wcześniej, w literaturze rozważane były różne rodzaje cha-otycznego zachowania np.: dodatnia entropia topologiczna (PTE), istnienie łuko-wej podkowy (H), istnienie dwóch rodzajów trajektorii homoklinicznych (EPHT, HT), po trzy rodzaje chaosu Li-Yorke’a (LYu, LY∞, LY2) oraz ω-chaosu (ωu, ω∞,
ω2) (w zależność od wielkości zbioru LY-splątanego, odpowiednio, ω-splątanego),
a także chaos dystrybucyjny (DC) (zobacz artykuł przeglądowy [58] oraz defini-cje 2.14, 2.22, 2.23, 2.25). Niektóre implikacje pomiędzy wyżej wymienionymi de-finicjami chaotycznego zachowania przekształcenia ciągłego zachodzą dla dowolnej zwartej przestrzeni metrycznej. I tak, z definicji łatwo wynika, że
EPHT =⇒ HT, LYu =⇒ LY∞ =⇒ LY2,
ωu =⇒ ω∞ =⇒ ω2,
DC =⇒ LY2.
Ponadto, jeżeli pewna iteracja f ma ścisłą podkowę, to f ma dodatnią entropię topologiczną (zob. [22]). Z [15] wynika zaś, że dodatnia entropia topologiczna im-plikuje LYu, a natomiast Lampart [66] pokazał, że z ω2 wynika LY2.
Oczywiście można rozpatrywać wszystkie powyższe definicje w odniesieniu do przekształceń ciągłych na dowolnych przestrzeniach zwartych, ale mając więk-szą wiedzę na temat geometrii przestrzeni, udaje się często wykazać implikacje, które nie występują w ogólnym przypadku. Przykładowo, gdy X jest zwartym przedziałem, krótko nazywanym odcinkiem, to związki pomiędzy wyżej wymie-nionymi rodzajami chaosu są znane i większość tych definicji jest równoważna (zob. [18, 19,20, 80, 87]):
H ⇐⇒ PTE ⇐⇒ HT ⇐⇒ EPHT ⇐⇒ ω2 ⇐⇒ ω∞ ⇐⇒ ωu ⇐⇒ DC . Dodatkowo, na podstawie [61] wszystkie rodzaje chaosu Li-Yorke’a dla przekształ-ceń odcinka są równoważne. Ponadto, z [15] wynika, że dodatnia entropia pociąga za sobą chaos Li-Yorke’a. Smítal [88] pokazał, że istnieje przekształcenie odcinka chaotyczne w sensie Li-Yorke’a o zerowej entropii. Schemat związków między defi-nicjami chaosu dla przekształceń na odcinku został przedstawiony na rysunku 1.1.
Rysunek 1.1: Schemat zależności między definicjami chaosu dla ciągłych przekształ-ceń na odcinku
Co ciekawe, dla odwzorowania odcinka tranzytywność nie jest dużo słabsza niż mieszanie (zob. definicja 2.2), ponieważ dla dowolnego tranzytywnego prze-kształcenia ciągłego odcinka f : I → I albo przekształcenie f jest mieszające albo istnieją dwa takie podprzedziały J, K, że J ∪ K = I, J ∩ K jest jednopunkto-wy, f (J ) = K, f (K) = J i f2
J, f
2
K są mieszające (zob. [85, Theorem 2.19]).
Co więcej, entropia topologiczna dowolnego ciągłego tranzytywnego przekształce-nia odcinka jest dodatprzekształce-nia, a dokładniej jest większa lub równa log 22 [21]. Jeżeli zawęzimy rozważania tylko do mieszających przekształceń odcinka to otrzymamy entropię topologiczną większą od log 22 (zob. [85]). Ponadto, dla przekształceń od-cinka słabe mieszanie implikuje topologiczne mieszanie (zob. [9]). W przypadku ciągłych przekształceń tranzytywnych przestrzeni S1 dostajemy infimum entropii topologicznej równe 0 (zob [3]). Podobnie oszacowania mamy dla przekształceń tranzytywnych określonych na różnych typach grafów topologicznych (zob. [3, Ta-ble 5.3]).W tej rozprawie rozważamy ciągłe przekształcenia tranzytywne i miesza-jące na continuach uogólniających odcinek, tj. krzywej sinx1 oraz podwójnej krzywej sinx1 (zob. rozdział 3). Okazuje się, że na podwójnej krzywej sin1x nie ma w ogóle przekształceń mieszających, a na krzywej sinx1 każde odwzorowanie tranzytywne jest mieszające. Dodatkowo pokażemy oszacowania entropii topologicznej dla prze-kształceń ciągłych określonych na przestrzeniach związanych z sin1x.
Ciekawym jest również fakt, że na zbiorze Cantora możliwe jest skonstruowanie przekształcenia mieszającego bez par DC3 (zob. [35]), ponieważ, inaczej niż dla przekształceń odcinka, mieszanie implikuje istnienie par DC1. Pikuła [84] pokazał, że różne definicje chaosu nie są równoważne. My wzmacniamy wynik Pikuły poka-zując, że zawsze startując od przesunięcia, które nie ma par DC3 możemy dostać przesunięcie mieszające bez par DC3 (zob. rozdział 4).
W ostatnich latach zwrócono uwagę, że pewne związki zachodzące między róż-nymi rodzajami chaosu dla odwzorowań przedziału są też prawdziwe dla drzew topologicznych, ale nie przenoszą się na bardziej skomplikowane dendryty. I tak, jeżeli chodzi o dynamikę na dendrytach to w [93] badano topologiczną tranzytyw-ność, mieszanie i jeden rodzaj chaosu (chaos Devaneya). W [49] Hoehn i Mouron pokazali przekształcenie na dendrycie, które jest słabo mieszające, ale nie miesza-jące. Natomiast Byszewski i in. [26]) pokazali, że przykład Hoehna i Mourona ma entropię zero. Technika Hoehna i Mourona została poszerzona przez Špitalský’ego (zob. [91]), który otrzymał równie ciekawe wyniki. W 2012 Kočan (zob. [58]) opi-sał chaotyczne właściwości ciągłych przekształceń na dendrytach (zob. rys. 1.2). W artykule tym postawił trzy otwarte pytania potrzebne do pełnej charakteryzacji rozważanych pojęć:
(1) Czy istnienie nieprzeliczalnego zbioru ω-splątanego i implikuje chaos dystry-bucyjny?
(2) Czy istnienie nieprzeliczalnego zbioru ω-splątanego pociąga za sobą istnienie przeliczalnego zbioru LY-splątanego?
(3) Czy chaos dystrybucyjny typu 1 implikuje istnienie nieskończonego zbioru LY-splątanego?
Negatywne odpowiedzi na pytania Kočana zostały zawarte w tej rozprawie w roz-działach 5,6, 7 (wyniki te pochodzą z prac [35,38]).
Rysunek 1.2: Schemat zależności między różnymi rodzajami chaosu dla przekształ-ceń na dendrycie — przerywanymi liniami zaznaczono implikacje, które obalono w rozprawie
W niniejszej pracy zajmujemy się także, pytaniem czy na bardziej skompliko-wanych continuach zachodzą jakieś interesujące zależności, podobne do tych opi-sanych wyżej dla odcinka. Jednym z najciekawszych continuów jednowymiarowych
jest pseudołuk. Dla tak skomplikowanego continuum potrzebne są dodatkowe na-rzędzia badawcze. Jednymi z najważniejszych są granice odwrotne, które odegrały kluczową rolę w rozwoju teorii continuów w ciągu ostatnich 60 lat. Granice od-wrotne przydają się do opisu skomplikowanych przestrzeni wychodząc od prostych przestrzeni. Świetnymi przykładami są artykuły napisane przez Hendersona [48] czy Cooka [29]. Henderson pokazał, że pseudołuk (tj. dziedzicznie nierozkładalne continuum łańcuchowe) jest granicą odwrotną przedziału [0, 1] z pojedynczym od-wzorowaniem skaczącym. Cook wykorzystując granice odwrotne stworzył przykład continuum mające tylko jedno przekształcenie ciągłe, które nie jest stałe (identycz-ność).
Początki badań nad granicami odwrotnymi sięgają lat 20. i 30. XX wieku. W 1954 roku Capel [28] wykazał, że przekształcenia monotoniczne na łukach (od-powiednio, krzywej Jordana) dają łuki (od(od-powiednio, krzywe Jordana). Niezwykle ważny artykuł Andersona i Choqueta [4], który ukazał się w 1959 roku, przy-niósł przykład drzewiastego (ang. tree-like) continuum na płaszczyźnie, którego wszystkie niezdegenerowane podcontinua są homeomorficzne. Wykorzystując tech-nikę Andersona i Choqueta, Andrews [5] stworzył continuum łańcuchowe o tej samej własności. W 1967 roku Mahavier [76] pokazał, że przykład Andrewsa nie jest homeomorficzny z granicą odwrotną na [0, 1] z użyciem pojedynczego odwzo-rowania skaczącego. Na początku lat 70. ubiegłego wieku Ingram [50, 51] użył granic odwrotnych do stworzenia przykładu takiego niełańcuchowego drzewiastego continuum, że wszystkie jego niezdegenerowane właściwe podcontinua są łukami. Pod koniec lat 70. Bellamy [12] wykorzystał granice odwrotne do skonstruowania przykładu drzewiastego continuum bez własności punktu stałego. Przykłady te po-kazują, że dynamika na continuach może być zaskakująco odmienna od tej znanej z odcinka.
W 1990 Barge i Martin [11] użyli granicy odwrotnej do konstrukcji globalne-go atraktora dla homeomorfizmu na płaszczyzny. Wcześniej pokazali oni związ-ki pomiędzy dynamiką a teorią continuum, na przykład, że granica odwrotna na [0, 1] z pojedynczym odwzorowaniem skaczącym zawiera nierozkładalne continu-um jeżeli odwzorowanie skaczące ma punkt okresowy, którego okres nie jest potę-gą 2 (zob. [10]). Z punktu widzenia tranzytywności ciekawa jest technika Minca-Transue’ego (zob. [79]), dająca odwzorowanie tranzytywne odcinka, którego granicą odwrotną jest pseudołuk z mieszającym homeomorfizmem. Wiadomo, że odwzo-rowanie skaczące użyte w tej technice musi być mieszające. Zainspirowani przez Minca i Transue w [37] wykazujemy, że takie odwzorowanie skaczące nie musi być dokładne (zob. rozdział 8), co odpowiada na naturalne pytanie dotyczące techniki Minca-Transuego.
Zawartość rozprawy
W rozdziale 2 definiujemy pewne podstawowe pojęcia związane z tematyką roz-prawy oraz wprowadzamy notację stosowaną i niezbędną w dalszej części. Wszę-dzie, gdzie to możliwe, będziemy starali się stosować klasyczną polską termino-logię, naśladując [62] oraz [39]. W kolejnych podrozdziałach przybliżamy róż-ne definicje chaosu, entropię topologiczną, dynamikę symboliczną oraz pewróż-ne własności przekształceń określonych na przedziale zwartym. Omawiamy ukła-dy ukła-dynamiczne na przestrzeniach zwartych, a także continua. Opisujemy kon-strukcję dendrytu Gehmana oraz pewne jego własności, z których korzystamy
w dalszej części pracy. W rozdziale 3 przedstawione są nowe wyniki związane z odcinkiem łukowo rozspajającym, infimum entropii odwzorowań tranzytyw-nych oraz mieszaniem zdefiniowanym na krzywej sinx1. Z kolei w rozdzia-le 4 przedstawiona jest konstrukcja rozszerzenia podprzesunięcia na m sym-bolach do mieszania bez par DC 3. Rozdziały 5, 6, 7 zawierają odpowiedzi na pytania (1), (2), (3), odpowiednio (zob. [35, 38]), postawione przez Koča-na w [58]. Rozdział 8 zawiera aktualizację techniki przedstawionej przez Minca i Transue w [79] tak, aby uzyskać pozytywną odpowiedź na pytanie czy mieszający homeomorfizm pseudołuku może pochodzić od odwzorowania odcinka, które nie jest dokładne (zob. [37]).
Podstawowe definicje i oznaczenia
2.1
Układy dynamiczne na zwartej przestrzeni
metrycznej
Oznaczmy przez N zbiór liczb naturalnych, tj. N = {1, 2, 3, . . . }, oraz niech N0 = N ∪ {0}.
Układem dynamicznym nazywamy parę (X, f ), gdzie X oznacza zwartą przestrzeń metryczną z ustaloną metryką ρ, natomiast f : X → X jest przekształceniem ciągłym przestrzeni X. Nie będziemy tu rozróżniać między układem dynamiczny (X, f ), a zadającym go przekształceniem f i będziemy zamiennie używać terminów: „układ dynamiczny (X, f )” oraz „przekształcenie f : X → X”. Dla k ∈ N przez fk będziemy oznaczać przekształcenie f złożone ze sobą k-krotnie:
fk = f ◦ f ◦ . . . ◦ f
| {z }
k razy
: X → X,
dodatkowo f0(x) = x dla wszystkich x ∈ X. Orbitą punktu x ∈ X w układzie
(X, f ) nazywamy zbiór Of(x) := {fk(x) : k 0}. Dla każdego punktu x ∈ X definiujemy jego zbiór ω-graniczny:
ωf(x) := {y ∈ X : ∃(nk)∞k=1 ⊂ N, nk % ∞ oraz lim k→∞f
nk(x) = y}.
Mówimy, że punkt x0 jest punktem okresowym dla f jeżeli istnieje taka liczba
naturalna n > 0, że fn(x
0) = x0. Zbiór punktów okresowych przekształcenia
f oznaczamy przez Per(f ).
Zbiorem niezmienniczym nazywamy każdy taki zbiór A ⊂ X, że f (A) ⊂ A. Mó-wimy, że Y ⊂ X jest podukładem X, jeżeli Y jest niepusty, domknięty i niezmienni-czy, tzn. (Y, f |Y) jest układem dynamicznym. Jeżeli niepusty zbiór niezmienniczy A jest domknięty i nie posiada żadnych właściwych podzbiorów mających te trzy własności, to nazywamy go zbiorem minimalnym. Układ dynamiczny (X, f ), dla którego X jest zbiorem minimalnym, nazywamy układem minimalnym. Przytoczy-my teraz klasyczne twierdzenie (zob. [60]).
Twierdzenie 2.1. Dla dowolnego układu dynamicznego (X, f ) następujące warun-ki są równoważne.
(i) (X, f ) jest układem minimalnym.
(ii) Dla dowolnego punktu x ∈ X zachodzi Of(x) = X, tzn. każda orbita jest gęstym podzbiorem przestrzeni X.
(iii) Dla dowolnego niepustego zbioru otwartego U ⊂ X istnieje takie N ∈ N, że X =SN
n=0f
−n(U ).
Przez S1 oznaczamy okrąg jednostkowy rozumiany tu jako przedział [0, 1), gdzie
metryka zadana jest wzorem
ρ(x, y) = min{|x − y|, 1 − |x − y|}
(jest to długość najkrótszego łuku łączącego dwa punkty). Przez Rα oznaczamy obrót na okręgu o kąt α ∈ R, tzn.
Rα(x) = x + α (mod 1)
dla x ∈ S1. Znanym jest fakt, że jeżeli liczba α jest niewymierna, to każda orbita Rα jest gęsta w S1, a więc (S1, Rα) jest układem minimalny (np. zob. [60]).
Układ dynamiczny (Y, g) jest faktorem układu (X, f ), jeżeli istnieje taka ciągła surjekcja φ : X → Y (zwana semisprzężeniem), że φ ◦ f = g ◦ φ. Układ (X, f ) nazywamy wtedy rozszerzeniem układu (Y, g). Jeżeli w powyższej sytuacji φ jest homeomorfizmem, to mówimy, że układy (X, f ) oraz (Y, g) są topologicznie sprzę-żone, a φ nazywamy sprzężeniem.
Przytoczymy teraz definicje pewnych własności układów dynamicznych. Definicja 2.2. Mówimy, że układ dynamiczny (X, f ) jest
(1) tranzytywny, jeżeli dla dowolnych niepustych zbiorów otwartych U, V ⊂ X istnieje taka liczba naturalna n > 0, że fn(U ) ∩ V 6= ∅;
(2) całkowicie tranzytywny, jeżeli dla każdego n ∈ N układ (X, fn) jest tranzytyw-ny;
(3) topologicznie słabo mieszający, jeżeli układ produktowy (X × X, f × f ) jest tranzytywny;
(4) topologicznie mieszający, jeżeli dla dowolnych niepustych zbiorów otwartych U, V ⊂ X istnieje taka liczba naturalna k, że fn(U ) ∩ V 6= ∅ dla wszystkich n k;
(5) topologicznie dokładny, jeżeli dla dowolnego niepustego zbioru otwartego U ⊂ X istnieje taka liczba naturalna n > 0, że fn(U ) = X;
(6) topologicznie czysto mieszający, jeżeli jest topologicznie mieszający, ale nie jest topologicznie dokładny.
Gottschalk i Hedlund [45] podają, że topologiczna tranzytywność została wpro-wadzona po raz pierwszy przez Birkhoffa w 1920. Przypomnijmy teraz pewne ważne własności układów tranzytywnych.
Uwaga 2.3. (1) Jeżeli (Y, f ) jest podukładem układu tranzytywnego (X, f ), to X = Y lub int Y = ∅.
(2) Przekształcenie f : X → X zwartej przestrzeni bez punktów izolowanych jest tranzytywne wtedy i tylko wtedy, gdy posiada gęstą orbitę.
(3) Każdy układ minimalny jest tranzytywny.
Furstenberg [41] i niezależnie Banks [7] wykazali, że przekształcenia całkowicie tranzytywne z gęstym zbiorem punktów okresowych są słabo mieszające. Ponadto Furstenberg [41] odkrył, że słabe mieszanie jest równoważne z tranzytywnością do-wolnego układu produktowego (X × X × . . . × X, f × f × . . . × f ) o co najmniej dwóch czynnikach. Pokazało to, że słabe mieszanie jest o wiele mocniejsze niż tran-zytywność.
2.2
Continua
Podzbiór przestrzeni topologicznej, którego każdy punkt jest jego punktem sku-pienia, nazywamy zbiorem w sobie gęstym. Równoważnie, zbiór jest w sobie gęsty jeżeli nie zawiera punktów izolowanych. Natomiast zbiorem nigdziegęstym nazywa-my zbiór, którego domknięcie ma puste wnętrze. Zbiory niepuste, które są rów-nocześnie domknięte i w sobie gęste, nazywamy zbiorami doskonałymi. Przestrzeń topologiczna, która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych nazywamy przestrzenią zerowymiarową.
Niepustą przestrzeń metryczną, która jest zwarta, spójna i zawiera co najmniej dwa różne punkty nazywamy continuum. Definicję continuum wprowadził Cantor [27] w 1883 roku. Więcej informacji na temat historii continuów znajduje się w [52]. Definicja 2.4. Niech X oznacza przestrzeń metryczną. Zbiór C ⊂ X nazywamy zbiorem Cantora, jeżeli jest nigdziegęstym zbiorem doskonałym i zerowymiarowym. Podzbiór continuum, który jest continuum, nazywamy podcontinuum. Mówi-my, że continuum C jest jednorodne, jeżeli dla dowolnych punktów x, y ∈ C ist-nieje taki homeomorfizm h : C → C, że h(x) = y. Continuum nierozkładalne to continuum, którego nie można przedstawić jako sumy dwóch właściwych podcon-tinuów. Pierwszym, który opisał przykład continuum nierozkładalnego, był Bro-uwer w 1910 roku [25]. W 1911 roku Janiszewski [53] przedstawił swoją wersję konstrukcji Brouwera, która nie rozcina płaszczyzny, a w 1922 roku Knaster [55] pokazał podobny geometryczny opis tego continuum znanego dziś jako continuum Boruwera-Janiszewskiego-Knastera (rys. 2.1).
Continuum, które jest homeomorficzne z podcontinuum przestrzeni euklideso-wej R2 nazywamy continuum płaskim. Mazurkiewicz [78] udowodnił, że dowolne
lokalnie spójne i jednorodne continuum płaskie jest krzywą Jordana. Continuum C nazywamy łańcuchowym, jeżeli dla dowolnej pary punktów x, y ∈ C oraz ε > 0 istnieje liczba naturalna n ∈ N i istnieją takie continua C1, C2, . . . , Cn o średnicy co najwyżej ε, że Ci∩ Ci+16= ∅ dla 1 ¬ i < n, a także x ∈ C1 oraz y ∈ Cn. Łukiem nazywamy przestrzeń topologiczną homeomorficzną z przedziałem [0, 1].
Mówimy, że continuum jest dziedzicznie nierozkładalne, jeżeli każde pod-continuum jest nierozkładalne. Continuum takie zostało po raz pierwszy opisane przez Knastera [55], a następnie badane przez Binga [13] i Mo-ise’a [81], który swój przykład nazwał pseudołukiem. Jest to jednorodne dzie-dzicznie nierozkładalne continuum płaskie. Bing [14] pokazał, że dwa
dowol-Rysunek 2.1: Continuum Brouwera–Janiszewskiego–Knastera
ne dziedzicznie nierozkładalne continua łańcuchowe są homeomorficzne. Oka-zało się więc, że continuum Knastera (pseudołuk) jest jedynym jednorodnym płaskim continuum dziedzicznie nierozkładalnym wśród continuów łańcucho-wych. Więcej informacji na temat pseudołuku i jego własności można znaleźć w artykule Lewisa [69].
Dendrytem nazywamy lokalnie spójne continuum, które nie zawiera podzbio-ru homeomorficznego z okręgiem. Do opisu użytecznego przykładu, a mianowicie dendrytu Gehmana (podrozdział 2.7) skorzystamy z poniższych definicji.
Niech X będzie zwartą i łukowo spójną przestrzenią metryczną.
Definicja 2.5. Mówimy, że S ⊂ X jest n-gwiazdą o środku v ∈ S, jeżeli istnieje taka ciągła injekcja ϕ : S → C, że ϕ(v) = 0 oraz
ϕ(S) = {r exp 2kπi n
!
: r ∈ [0, 1], k = 1, 2, . . . , n}.
Definicja 2.6. Stopniem punktu v w X, oznaczanym przez val(v), nazywamy war-tość (może być ∞)
sup{n ∈ N : istnieje n-gwiazda o środku v zawarta w X}.
Definicja 2.7. Punkt v nazywany jest punktem końcowym X, jeżeli val(v) = 1, a jeżeli val(v) 3, to nazywamy go punktem rozgałęzienia X.
Przytaczamy wersję twierdzenia Mycielskiego ([82, Theorem 1]), które odegra kluczową rolę w dowodzie twierdzenia 5.6.
Definicja 2.8. Niech X oznacza przestrzeń metryczną zupełną. Mówimy, że zbiór S ⊂ X jest zbiorem Mycielskiego, jeżeli jest postaci S = S∞
j=1Cj, gdzie dla każdego j ∈ N zbiór Cj jest zbiorem Cantora.
Twierdzenie 2.9 (Mycielski). Niech X będzie doskonałą i zupełną przestrzenią metryczną. Dla liczby naturalnej n niech Rn ⊂ Xn oznacza rezydulany podzbiór przestrzeni Xn. Wtedy istnieje taki gęsty zbiór Mycielskiego S ⊂ X, że dla dowol-nych parami różdowol-nych punktów x1, x2, . . . , xn ∈ S oraz dowolnej liczby naturalnej n zachodzi (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
2.3
Dynamika symboliczna
W tym paragrafie przedstawimy standardowe oznaczenia związane z dynamiką symboliczną ([17, 60, 72]). Niech A oznacza dowolny zbiór skończony (alfabet) i niech A∗ oznacza zbiór wszystkich skończonych słów złożonych z symboli
alfabe-tu A wraz ze słowem pustym. Dla dowolnego słowa w ∈ A∗ przez |w| oznaczamy jego długość, tzn. liczbę symboli, z których się ono składa. Jeżeli w jest słowem pustym, to przyjmujemy, że |w| = 0. Słowem nieskończonym nazywamy dowolny nieskończony ciąg symboli w1w2w3. . . , gdzie wi ∈ A dla dowolnej liczby natu-ralnej i. Zbiór wszystkich nieskończonych słów nad alfabetem A oznaczamy AN.
Przestrzeń AN wyposażamy w topologię produktową z dyskretną topologią na A.
Przestrzeń ta jest metryzowalna przez metrykę ρ :AN×AN → R daną dla x, y ∈ AN
przez ρ(x, y) = 2−k+1, gdy x 6= y, 0, w przeciwnym wypadku,
gdzie k oznacza największą długość wspólnego prefiksu słów x i y, tzn. k = min{i : xi 6= yi}.
Przez 0k = 0 . . . 0 dla k 1 oznaczamy słowo złożone z k zer, a przez 0∞ oznaczamy nieskończony ciąg zer, tzn. 0∞ = 000 · · · ∈ AN. Jeżeli x ∈ AN
oraz i, j ∈ N są takie, że i ¬ j, to x[i,j) = xixi+1. . . xj−1 ∈ A∗ (umawiamy się, że x[i,i) jest słowem pustym). Dla danego słowa w ∈ A∗ przez C[w] oznaczamy tzw.
cylinder słowa w, tzn. C[w] = {x ∈ AN : x
[1,|w|+1) = w}. Jeżeli X ⊂ AN, to przez
CX[w] = C[w] ∩ X oznaczamy ślad cylindra C[w] na X. Zbiór wszystkich cylin-drów tworzy bazę topologii przestrzeniAN. Dla danego podzbioru X przestrzeniAN
przez L(X) oznaczamy język X, to znaczy zbiór L(X) := {x[1,k) : x ∈ X, k > 0},
czyli zbiór wszystkich słów występujących w słowach nieskończonych z X. Zbiór wszystkich słów zL(X) o długości n oznaczamy Ln(X). Mówimy, że słowo u ∈A∗ pojawia się w z ∈AN, jeżeli istnieją takie liczby naturalne 0 < i ¬ j, że j − i = |u|
oraz z[i,j) = u. Zapis u @ z oznacza, że słowo u jest podsłowem słowa z.
Jeżeli (uk) jest ciągiem takich słów, że |uk| −→ ∞, to wówczas piszemy, że z = limk→∞uk, jeżeli ciąg uk0∞ jest zbieżny w AN i jego granicą jest z, tzn. uk0∞→ z, gdy k → ∞ w AN.
Definicja 2.10 (Liczba wystąpień). Niech X będzie przestrzenią przesunięcia nad alfabetem A. Dla każdego symbolu a ∈ A i dowolnego słowa x ∈ A∗ definiujemy liczbę wystąpień kxka symbolu a w x, tzn. jeżeli x = x1. . . xk ∈L(X), to określamy
kxka = |{1 ¬ j ¬ k : xj = a}|.
Definicja 2.11. Przekształcenie σ zdefiniowane na przestrzeni AN wzorem
(σ(x))i = xi+1 dla i ∈ N nazywamy przesunięciem.
Dla danej liczby naturalnej n 2 przez Σ+
n będziemy oznaczać układ dy-namiczny ({0, . . . , n − 1}N, σ). Jeżeli S ⊂ AN jest niepustym, domkniętym
i σ-niezmienniczym zbiorem to wtedy S wraz z zawężeniem σ|S: S → S (lub nawet sam zbiór S) nazywamy podprzesunięciem lub przestrzenią przesunięcia przestrzeni Σ+
Dla dowolnego podzbioru liczb naturalnych P ⊂ N definiujemy podprzesunięcie ΣP = {s ∈ Σ+2 : (si = sj = 1) =⇒ |i − j| ∈ P ∪ {0}}.
Będziemy je nazywać przesunięciem P -odstępowym (ang. spacing shift), ponieważ ΣP składa się z tych słów nieskończonych, w których odstępy pomiędzy jedynkami należą do P (zob. [68]). Podzbiór P zbioru liczb naturalnych N nazywamy grubym
(lub nasyconym) jeżeli zawiera on dowolnie długie bloki kolejnych liczb naturalnych. Innymi słowy, zbiór P jest gruby wtedy i tylko wtedy, gdy
∀n ∈ N ∃m ∈ N : {m, m + 1, . . . , m + n} ⊂ P.
Poniżej przedstawiamy warunki (3) oraz (4) z definicji 2.2 w języku dynamiki symbolicznej (patrz [67, Proposition 1]).
Twierdzenie 2.12. Niech X będzie podprzesunięciem. Układ dynamiczny (X, σ) jest
(1) słabo mieszający, jeżeli dla dowolnego m ∈ N i dowolnych słów u1, u2, v1, v2
z L(X) o długości m istnieją takie słowa w1, w2, że |w1| = |w2| oraz
u1w1v1, u2w2v2 ∈L(X);
(2) mieszający, jeżeli dla dowolnych słów u, v ∈L(X) istnieje taka liczba naturalna N , że dla każdego n N istnieje słowo w o długości n o tej własności, że uwv ∈L(X);
Przypomnijmy, że ΣP jest przesunięciem słabo mieszającym wtedy i tylko wte-dy, gdy zbiór P jest gruby (patrz [68] lub [8]).
2.4
Entropia topologiczna
Entropia topologiczna jest liczbą nieujemną1, która mierzy złożoność układu
dy-namicznego (X, f ). Dokładnie entropia mierzy wykładniczą stopę wzrostu liczby rozróżnialnych orbit w miarę upływu czasu.
Pojęcie entropii topologicznej zostało wprowadzone przez Adlera, Konheima i McAndrew [1] w 1965 roku. Dla przestrzeni metrycznych równoważną definicję entropii topologicznej wprowadził Bowen [23] w 1971 roku, a niezależnie Dinaburg w 1970 roku [32]. Równoważność obu tych definicji została udowodniona przez Bowena w 1971 [24].
2.4.1
Entropia topologiczna
Dla otwartego pokryciaU przestrzeni zwartej X (tj. U jest rodziną zbiorów otwar-tych, których suma mnogościowa jest równa X) niech N (U) oznacza najmniej-szą liczebność podpokryciaU (tj. podrodzinę pokrycia U, której suma nadal równa się X). Ze zwartości X, liczba N (U) jest zawsze skończona. Jeżeli U oraz V są otwartymi pokryciami X, to zbiór
U ∨ V = {U ∩ V : U ∈ U, V ∈ V}
nazywamy iloczynem pokryć U i V. Mając dane przekształcenie ciągłe f : X → X oraz n ∈ N wprowadzamy także następujące oznaczenia
Un=U ∨ f−1U ∨ · · · ∨ f−n+1U,
gdzie
f−kU = {f−kU : U ∈ U}
dla k 0. Korzystając z podaddytywności2 ciągu (log N (Un))
n1 można pokazać, że dla każdego otwartego pokrycia U istnieje granica
h(f,U) = lim n→∞
log N (Un) n
i jest ona równa infn∈N log N (nUn) (zob. [3, Lemma 4.1.1]). Liczbę h(f,U) nazywamy entropią (topologiczną) f względem pokrycia U.
Ostatecznie definiujemy
htop(f ) = sup
U h(f,U), (2.1)
gdzie supremum bierzemy po wszystkich otwartych pokryciach zbioru X. Wartość htop(f ) ∈ [0, +∞] = [0, +∞) ∪ {+∞} nazywamy entropią topologiczną.
Podstawowe własności entropii dla przekształceń ciągłych odcinka [0, 1] można znaleźć w [3, Chapter 4].
Uwaga 2.13 (Własności entropii topologicznej). Dla dowolnego zwartego układu dynamicznego (X, f ) zachodzą następujące warunki:
(1) htop(f ) 0.
(2) htop(fk) = k · htop(f ) dla każdego k > 0.
(3) Entropia każdego podukładu jest nie większa niż htop(f ). (4) Entropia faktora nie jest większa od entropii rozszerzenia.
(5) Jeżeli f jest Lipschitzowska ze stałą L > 0, to htop(f ) ¬ max{0, log L}.
Definicja 2.14. Mówimy, że f jest topologicznie chaotyczne (w skrócie PTE), jeżeli f ma dodatnią entropię topologiczną.
Po więcej przykładów i własności odsyłamy czytelnika do [92] lub [34].
2.4.2
Równoważne definicje entropii topologicznej
Załóżmy, że X jest przestrzenią metryczną z metryką ρ, a f : X → X przekształ-ceniem ciągłym. Wtedy dla każdego n 1 definiujemy funkcję ρn w następujący sposób
ρn(x, y) = max
0¬i¬n−1ρ(f
i(x), fi(y)).
Ciągłość f implikuje, że ρn jest metryką równoważną z ρ dla każdego n ∈ N.
2Mówimy, że nieujemny ciąg liczb rzeczywistych (α
n)∞n=1 jest podaddytywny jeżeli
Definicja 2.15. Skończony zbiór E ⊂ X nazywamy (n, ε)-rozdzielonym, jeżeli ρn(x, y) > ε dla każdych x, y ∈ E.
Definicja 2.16. Zbiór E jest nazywany (n, ε)-siecią, jeżeli dla każdego x ∈ X istnieje taki punkt y ∈ X, że ρn(x, y) ¬ ε.
Definiujemy sn(f, ε) jako największą moc zbioru (n, ε)-rozdzielonego oraz rn(f, ε) jako najmniejszą moc (n, ε)-sieci. Przy powyższych oznaczeniach określamy
hstop(f ) = lim ε→0lim supn→∞ log sn(f, ε) n oraz hrtop(f ) = lim ε→0lim supn→∞ log rn(f, ε) n .
Powyższe definicje entropii topologicznej przekształcenia f są równoważne z defi-nicją (2.1) (zob. [24]), to znaczy zachodzą równości
htop(f ) = hstop(f ) = h r top(f ).
2.4.3
Entropia metryczna
Niech (Ω, M, µ) oznacza przestrzeń probabilistyczną, tzn. Ω jest zbiorem, M jest σ-algebrą podzbiorów Ω, a µ : Ω → [0, 1] jest taką miarą, że µ(Ω) = 1. Niech X będzie przestrzenią metryczną, a B σ-algebrą zbiorów borelowskich na X. Wte-dy każdą miarę probabilistyczną µ na przestrzeni mierzalnej (X,B) nazywamy borelowską miarą probabilistyczną. Oczywiście, jeżeli µ jest borelowską miarą pro-babilistyczną, to każdy podzbiór otwarty U ⊂ X jest mierzalny.
Rozbiciem mierzalnym przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, µ) nazywamy taką skończoną rodzinę zbiorów ξ = {A1, A2, . . . An} ⊂ M, że
n
[
i=1
Ai = Ω.
Definicja 2.17. Niech (Ω1, M1, µ1), (Ω2, M2, µ2) będą danymi przestrzeniami
pro-babilistycznymi.
(1) Odwzorowanie f : Ω1 → Ω2 nazywamy mierzalnym, jeżeli dla każdego
A ∈ M2 zachodzi f−1(A) ∈ M1.
(2) Mierzalne przekształcenie f : Ω1 → Ω2 zachowuje miarę, jeżeli dla dowolnego
A ∈ M2 zachodzi równość
µ1(f−1(A)) = µ2(A).
(3) Przekształcenie f : Ω1 → Ω2 nazywamy izomorfizmem, jeżeli f jest bijekcją
prawie wszędzie oraz przekształcenia f i f−1 zachowują miarę.
Definicja 2.18. Entropią rozbicia mierzalnego ξ nazywamy H(ξ) = −
n
X
i=1
µ(Ai) ln µ(Ai),
gdzie ξ = {A1, A2, . . . , An} jest mierzalnym rozbiciem skończonym przestrzeni pro-babilistycznej (Ω, M, µ).
Definicja 2.19. Niech (Ω, M, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną, f : Ω → Ω przekształceniem zachowującym miarę, a ξ = {A1, A2, . . . Ak} rozbiciem mierzal-nym przestrzeni Ω. Entropią przekształcenia f względem rozbicia ξ nazywamy licz-bę3 h(f, ξ) = lim n→∞ 1 nH n−1 _ i=0 f−i(ξ) ! ,
gdzie f−i(ξ) = {f−i(A1), . . . , f−i(An)} oraz Wn−1i=0 f−i(ξ) = ξ ∨ f−1(ξ) ∨ . . . ∨ f−n+1(ξ).
Definicja 2.20. Dla przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, µ) oraz przekształcenia f : Ω → Ω zachowującego miarę entropią metryczną przekształcenia f względem miary µ nazywamy
hµ(f ) = sup ξ
h(f, ξ),
gdzie supremum rozpatrujemy po wszystkich skończonych rozbiciach mierzalnych Ω.
2.4.4
Zasada wariacyjna
Niech (X, ρ) oznacza zwartą przestrzeń metryczną, a f : X → X przekształcenie ciągłe. Oznaczmy
(1) σ-algebrę zbiorów borelowskich w X przez B,
(2) zbiór borelowskich miar probabilistycznych na X przez M(X),
(3) zbiór borelowskich miar niezmienniczych względem f przez Mf(X), tzn. Mf(X) = {µ ∈M(X): µ ◦ f = µ}.
Związek pomiędzy entropią topologiczną a entropią metryczną dla ciągłego od-wzorowania zwartej przestrzeni metrycznej nazywamy zasadą wariacyjną. Mówi ona (zob. [92, Theorem 8.6]), że
htop(f ) = sup{hµ(f ) : µ ∈Mf(X)}.
Zasada wariacyjna została udowodniona przez Dinaburga [32, 33], Goodma-na [43] i Goodwyna [44]. W 1968 roku Goodwyn udowodnił nierówność
sup{hµ(f ) : µ ∈M(X)} ¬ htop(f ).
Dinaburg w 1970 roku wykazał równość, gdy przestrzeń X ma skończony wy-miar pokryciowy Lebesgue’a. Natomiast w 1970 roku Goodman udowodnił równość w ogólnym przypadku.
2.5
Definicje chaosu
Niech (X, f ) oznacza układ dynamiczny. Parę (x, y) ∈ X2 nazywamy:
(1) proksymalną, jeżeli
lim inf n→∞ ρ(f
n(x), fn(y)) = 0,
(2) dystalną, jeżeli (x, y) nie jest parą proksymalną, (3) asymptotyczną, jeżeli
lim n→∞ρ(f
n(x), fn(y)) = 0.
Definicja 2.21. Mówimy, że układ dynamiczny (X, f ) jest proksymalny, jeżeli wszystkie pary są proksymalne.
Poniżej przedstawiamy wybrane definicje chaosu dla odwzorowań ciągłych. Po-czątków poniższej definicji przekształcenia LY-chaotycznego można doszukać się w pracy Li i Yorke’a [71] z 1975 roku. Używamy współczesnej definicji (patrz [16]). Definicja 2.22. Zbiór S ⊂ X jest zbiorem LY-splątanym dla f , jeżeli zawiera co najmniej dwa różne punkty i dla dowolnej pary (x, y) złożonej z różnych punktów x, y ∈ S spełnione są warunki lim inf n→∞ ρ(f n (x), fn(y)) = 0 oraz lim n→∞ρ(f n(x), fn(y)) > 0.
Innymi słowy, para (x, y) jest proksymalna, ale nie asymptotyczna, tzn. orbity punktów x i y zbliżają się do siebie na dowolnie małą odległość, ale istnieje takie ε > 0, że fn(x) i fn(y) nieskończenie wiele razy są od siebie oddalone o co naj-mniej ε. Mówimy, że przekształcenie f : X → X jest LY-chaotyczne, jeżeli istnieje nieprzeliczalny zbiór LY–splątany dla f .
Niestety nawet w przypadku odwzorowań odcinka chaos w sensie Li-Yorke’a nie jest równoważny dodatniej entropii topologicznej (zob. [88]). Ta obserwacja była motywacją do dalszego poszukiwania nowych definicji w celu lepszego matematycz-nego zrozumienia znaczenia słowa „chaos”. Wzmocnienie definicji Li-Yorke’a, które daje równoważną definicję dodatniej entropii topologicznej dla odcinka, zostało wprowadzone przez Li [70] w 1993 roku.
Definicja 2.23. Mówimy, że zbiór S ⊂ X jest zbiorem ω-splątanym dla f , jeżeli zawiera on co najmniej dwa punkty oraz dla dowolnych różnych punktów x, y ∈ S zachodzą następujące warunki:
(i) ωf(x) \ ωf(y) jest zbiorem nieprzeliczalnym, (ii) ωf(x) ∩ ωf(y) 6= ∅,
(iii) ωf(x) nie zawiera się w zbiorze punktów okresowych.
Przekształcenie f jest ω-chaotyczne, jeżeli istnieje nieprzeliczalny zbiór ω-splątany dla f .
Naturalnym uogólnieniem par ω-chaotycznych jest poniższa definicja (patrz [36, Definition 1.2] lub [83]).
Definicja 2.24. Punkt (x1, x2, . . . , xn) ∈ Xn (gdy n 1) nazywamy ω-splątaną n-krotką, jeżeli spełnione są warunki:
(i) ωf(xπ(1)) ∩ . . . ∩ ωf(xπ(n−1))
\ ωf(xπ(n)) jest zbiorem nieprzeliczalnym dla dowolnej permutacji π zbioru {1, . . . , n},
(ii) Tn
i=1ωf(xi) 6= ∅,
(iii) ωf(xi)\Per(f)6= ∅ dla i = 1, . . . , n.
W szczególności ω-splątana 2-krotka jest parą ω-splątaną w rozumieniu defini-cji 2.24.
Kolejną próbą wzmocnienia definicji Li-Yorke’a dającą warunek równoważny dodatniej entropii dla przekształceń odcinka jest chaos dystrybucyjny, który został wprowadzony przez Schweizera i Smítala [86] w 1994 roku. Definicję tę można postawić w przypadku ogólnym. Dla danego przekształcenia f : X → X, punktów x, y ∈ X i n ∈ N definiujemy funkcję dystrybucji Fxy(n): R → [0, 1] jako
Fxy(n)(t) = 1 n {0 ¬ i < n : ρ fi(x), fi(y)< t} ,
gdzie t ∈ R. Wprost z definicji F(n)
xy (t) = 0 dla t ¬ 0 oraz Fxy(n)(t) = 1 dla t > diam X. Funkcja F(n)
xy jest lewostronnie ciągła i niemalejąca. Następnie określa-my dolną funkcję dystrybucyjną Fxy i górną funkcję dystrybucyjną Fxy∗ generowane przez przekształcenie f oraz punkty x i y w następujący sposób:
Fxy(t) = lim infn→∞ Fxy(n)(t) oraz
Fxy∗ (t) = lim sup n→∞
Fxy(n)(t).
Obecnie najczęściej rozważa się trzy warianty chaosu dystrybucyjnego. Definicja 2.25. Mówimy, że para x, y ∈ X jest parą
(DC1): jeżeli Fxy∗ (t) = 1 dla dowolnego t > 0 i istnieje takie s > 0, że Fxy(s) = 0, (DC2): jeżeli Fxy∗ (t) = 1 dla dowolnego t > 0 i istnieje takie s > 0, że Fxy(s) < 1, (DC3): jeżeli istnieją takie liczby rzeczywiste a < b, że Fxy∗ (t) > Fxy(t) dla każdego
t ∈ (a, b).
Zbiór S ⊂ X jest dystrybucyjnie splątany typu 1, 2 lub 3 dla przekształcenia f , jeżeli zawiera on co najmniej dwa różne punkty x, y ∈ S i każda para (x, y) złożona z różnych punktów spełnia warunek, odpowiednio, (DC1), (DC2) lub (DC3). Jeżeli natomiast istnieje nieprzeliczalny zbiór dystrybucyjnie chaotyczny typu 1, 2, 3 dla f , to mówimy, że f wykazuje chaos dystrybucyjny typu 1, 2, 3, krótko, że jest DC1-chaotyczne (odpowiednio, DC2-chaotyczne, DC3-chaotyczne). Zauważmy, że pojęcia chaosu dystrybucyjnego DC2 i DC3 są słabsze niż chaos dystrybucyjny DC1. Warianty te zostały wprowadzone przez Smítala i Štefánkov´ą [89] w 2003 roku.
2.6
Przekształcenia odcinka
W poniższej pracy będziemy rozważać ciągłe przekształcenia f : [0, 1] → [0, 1], gdzie przedział [0, 1] zawsze jest wyposażony w standardową metrykę euklidesową. Przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych f : [a, b] → [a, b], gdzie a < b, oznaczamy przez C([a, b]). Przestrzeń C([a, b]) wyposażamy w standardową metrykę supremum
ρ(f, g) = sup t∈[a,b]
|f (t) − g(t)|.
Zauważmy, że przestrzeń funkcji ciągłych C([a, b]) jest przestrzenią metryczną zu-pełną.
Definicja 2.26. Mówimy, że przedział domknięty J ⊂ [0, 1] jest niezdegenerowany, jeżeli nie jest zbiorem jednopunktowym i nie jest zbiorem pustym.
Definicja 2.27. Niech f ∈ C([0, 1]), a, b ∈ [0, 1] i niech δ > 0. Mówimy, że przekształcenie f jest δ-zakrzywione pomiędzy a i b, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów c < d takich, że f (c) = a oraz f (d) = b istnieją punkty c0 i d0 o tej własności, że c < c0 < d0 < d, |b − f (c0)| < δ oraz |a − f (d0)| < δ. Mówimy, że przekształcenie f jest δ-zakrzywione na przedziale J , jeżeli jest δ-zakrzywione pomiędzy dowolną parą punktów w J .
Definicja 2.28. Załóżmy, że f ∈ C([0, 1]) jest takie, że f (x) = a oraz f (y) = b dla pewnych x, y ∈ [0, 1], gdzie x < y. Mówimy, że przekształcenie f jest liniowe na [x, y], jeżeli f (z) = a+(z −x)b − a
y − x dla z ∈ [x, y]. Mówimy także, że przekształcenie f jest kawałkami liniowe, jeżeli istnieje taki skończony podział przedziału [0, 1] na pododcinki, że f zawężona do każdego elementu podziału jest funkcją liniową. Mówimy, że punkt x ∈ [0, 1] jest punktem krytycznym przekształcenia f , jeżeli f0(x) znika lub nie istnieje.
Definicja 2.29. Ustalmy takie liczby c i d, że 0 ¬ c < d ¬ 1. Mówimy, że prze-kształcenie f ∈ C([c, d]) jest dopuszczalne na [c, d] jeżeli jest kawałkami liniowe, |f0(t)| 4 dla dowolnego niekrytycznego punktu t ∈ (c, d), oraz dla każdych
a i b takich, że c ¬ a < b ¬ d istnieje liczba naturalna m, dla której fm([a, b]) = [c, d]. Jeżeli [c, d] = [0, 1], to po prostu mówimy, że f is dopuszczalne. Definicja 2.30. Załóżmy, że każdemu punktowi i ∈ N odpowiada przestrzeń topo-logiczna Xi. Dla dowolnych i, j ∈ N ciągłe przekształcenia fji: Xj → Xi nazywamy przekształceniami skaczącymi, jeżeli spełniają warunki
(1) fkj◦ fi
j = fki dla dowolnych i, j, k ∈ N spełniających warunek k ¬ j ¬ i, (2) fi
i = idXi dla każdego i ∈ N.
W tej pracy będziemy rozważali jedynie specjalny przypadek granicy odwrotnej z jednym odwzorowaniem skaczącym tj. sytuację, gdy wszystkie przestrzenie Xi równe są ustalonej przestrzeni X i wszystkie przekształcenia fji: Xj → Xisą zadane dla dowolnych i, j ∈ N takich, że i ¬ j przez jedno przekształcenie f : X → X wzorem
fji = fi−j.
W zasadzie będzie interesować nas jeszcze węższa definicja, gdyż w tej pracy prak-tycznie zawsze X = [0, 1].
Definicja 2.31. Granicą odwrotną przekształcenia f ∈ C([0, 1]) nazywamy nastę-pujący podzbiór kostki Hilberta I (produktu kartezjańskiego przeliczalnej liczby kopii przedziału [0, 1] z indukowaną topologią produktową):
Xf = lim←−(f, [0, 1]) = {(x1, x2, . . . ) : f (xn+1) = xn dla każdego n ∈ N} ⊂ I. Odwzorowanie f nazywamy przekształceniem skaczącym.
Przytoczmy z [79] kilka przydatnych faktów, które będą pełniły kluczową rolę w dowodach lematów w rozdziale 8.
Lemat 2.32 ([79, Proposition 2]). Niech f, F ∈ C([0, 1]) będą takimi dwoma kształceniami, że ρ(f, F ) < ε. Jeżeli przekształcenie f jest δ-zakrzywione, to prze-kształcenie F jest (δ + 2ε)-zakrzywione.
Lemat 2.33 ([79, Proposition 3]). Niech (fi)∞i=1 będzie ciągiem δ-zakrzywionych ciągłych przekształceń przedziału [0, 1] w przedziału [0, 1]. Jeżeli ciąg (fi)∞i=1 jest zbieżny jednostajnie, to jego granica jest również przekształceniem δ-zakrzywionym. Lemat 2.34 ([79, Proposition 4]). Niech f ∈ C([0, 1]) będzie przekształceniem o tej własności, że jeżeli dla dowolnej δ > 0 istnieje taka liczba naturalna n, że fnjest δ-zakrzywione, to granica odwrotna kopii przedziału [0, 1] z przekształceniem skaczącym f jest pseudołukiem.
2.7
Dendryt Gehmana
Dendrytem Gehmana nazywamy dendryt G, którego zbiór punktów końcowych jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora, a wszystkie punkty rozgałęzień G mają stopień 3. Jego definicja została wprowadzona przez Gehmana [42] w 1925 roku.
Poniżej przytaczamy za [59] konstrukcję pewnego ciągłego przekształcenia na dendrycie Gehmana. Niech G będzie dendrytem Gehmana. Dendryt ten możemy zapisać jako domknięcie przeliczalnej sumy łuków z R2, tzn.
może-my zdefiniować takie łuki B0 = [p, p0], B1 = [p, p1] i dla każdego n ∈ N,
Bi1i2...in+1 = [pi1i2...in, pi1i2...in+1], gdzie każdy z indeksów ik jest równy 0 lub 1, że G = ∞ [ n=0 [ (i1,...,in+1)∈{0,1}n+1 Bi1...in+1 oraz
Bi1...in ∩ Bi1...in+1 = {pi1...in}
dla n ∈ N i (i1, . . . , in+1) ∈ {0, 1}n+1. Zbiór punktów końcowych dendrytu G oznaczmy symbolem E. Z każdym punktem x ze zbioru E możemy jednoznacznie utożsamić ciąg zer i jedynek ξ = i1i2i3. . . w taki sposób, że kody łuków zbiegają
do punktu (patrz rys. 2.2), tzn. x = lim(pξ)[1,n] (n → ∞). Otrzymujemy w ten
sposób homeomorfizm Σ+2 3 ξ 7→ xξ ∈ E.
Zdefiniujmy teraz ciągłe przekształcenie g na dendrycie G w następujący spo-sób. Niech g(B0) = g(B1) = {p}. Dla każdego ciągu indeksów i1, i2, . . . , in niech g|Bi1i2...in : Bi1i2...in → Bi2i3...in będzie takim homeomorfizmem, że g(pi1i2...in) = pi2i3...in. Natomiast na zbiorze punktów końcowych E przekształ-cenie g niech zachowuje się jak przekształprzekształ-cenie przesunięcia na przestrzeni
Rysunek 2.2: Dendryt Gehmana jako domknięcie sumy przeliczalnej rodziny łuków w R2
Σ+2 (patrz rys. 2.3). Utożsamiamy tu E ze zbiorem ciągów zer i jedynek w spo-sób opisany powyżej.
Niech zbiór X ⊂ E będzie niezmienniczy względem przekształcenia g. Przyj-mijmy oznaczenia DX = [ xξ∈X [xξ, p] oraz f = g D X . Tutaj przez [xξ, p] rozumiemy łamaną równą
∞
[
n=1
Bi1i2...in∪ {xξ},
gdzie ξ = i1i2i3. . . . Dowód poniższego lematu wynika wprost z powyższej
kon-strukcji, więc go pomijamy.
Lemat 2.35. Jeżeli X ⊂ Σ+n jest podprzesunięciem, to zbiór DX jest niezmienniczy względem f poddendrytem dendrytu Gehmana G.
Powtarzamy wersję twierdzenia 4.1 z [6], która okaże się nieodzowna w dowodzie kolejnego lematu.
Twierdzenie 2.36. Dendryt X jest homeomorficzny z dendrytem Gehmana wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego punktów końcowych jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora oraz wszystkie punkty rozgałęzień są stopnia 3.
Lemat 2.37. Jeżeli X jest niepustym i domkniętym podzbiorem zbioru Σ+2 bez punktów izolowanych, to zbiór DX =Sxξ∈X[xξ, p] ⊂ G jest homeomorficzny z den-drytem Gehmana.
Dowód. Niech X będzie niepustym podzbiorem przestrzeni Σ+2 homeomorficznym ze zbiorem Cantora. Wtedy zbiór DX =Sxξ∈X[xξ, p] jest poddendrytem dendrytu G. Ponadto zauważmy, że każdy punkt rozgałęzień dendrytu DX ma rząd 3, a także zbiór jego punktów końcowych jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora X. Stąd, korzystając z twierdzenia 2.36, wnioskujemy, że dendryt o takich własnościach jest homeomorficzny z dendrytem Gehmana.
Przekształcenia mieszające
na krzywej sin(1/x)
W poniższym rozdziale przedstawimy nowe wyniki związane z odcinkiem łuko-wo rozspajającym oraz mieszaniem dla odwzorowań zdefiniowanych na krzywej sin1
x. Będziemy rozważać ciągłe przekształcenia tranzytywne i mieszające na cie-kawych przestrzeniach spójnych, ale nie lokalnie spójnych takich jak krzywa sinx1 czy podwójna krzywa sinx1. Okaże się, że na podwójnej krzywej sinx1 nie ma w ogó-le przekształceń mieszających, a natomiast na krzywej sin1
x każde odwzorowanie tranzytywne jest mieszające. Dodatkowo, udowodnimy oszacowania entropii topo-logicznej dla tranzytywnych przekształceń ciągłych określonych na przestrzeniach związanych z wykresem sin1
x. Najpierw jednak przyjrzymy się wybranym własno-ściom ciągłych przekształceń przestrzeni z odcinkiem łukowo rozspajającym.
Otwarty podzbiór J przestrzeni metrycznej X nazywamy odcinkiem otwartym, jeżeli J jest homeomorficzny z przedziałem otwartym (0, 1). Zbiór J ⊂ X nazywamy przedziałem domkniętym, jeżeli istnieje taki homeomorfizm φ : [0, 1] → J , że zbiór φ((0, 1)) jest zbiorem otwartym w X. Jeżeli przestrzeń X jest spójna i J jest takim odcinkiem otwartym, że dla każdego x ∈ J zbiór X \ {x} ma dokładnie dwie składowe spójne, to mówimy, że J jest odcinkiem rozspajającym. Mówimy też wtedy, że przestrzeń metryczna (topologiczna) X ma odcinek rozspajający.
Definicja 3.1. Przestrzeń topologiczna jest łukowo spójna, jeżeli każda pa-ra punktów daje się w tej przestrzeni połączyć łukiem tj. homeomorficz-nym obrazem odcinka. Przestrzeń topologiczna jest lokalnie łukowo spój-na w punkcie p, jeżeli w każdym zbiorze otwartym U zawierającym p istnieje podzbiór otwarty V zawierający p o tej własności, że każdy punkt zbioru V daje się połączyć z p łukiem zawartym w U.
Definicja 3.2. Zbiór J ⊂ X jest odcinkiem łukowo rozspajającym przestrzeni X, jeżeli jest odcinkiem otwartym i dla dowolnych punktów x, y, z ∈ J , jeżeli y, z leżą w różnych składowych spójnych J \ {x}, to łuk łączący punkty y oraz z zawiera punkt x.
Zauważmy, że odcinek rozspajający jest też łukowo rozspajający. Na okręgu każ-dy łuk jest odcinkiem otwartym, ale nie jest odcinkiem rozspajającym. Na rysun-ku3.2przedstawione są przykłady przestrzeni z odcinkiem rozspajającym (odcinek,
(a) Okrąg (b) Okrąg warszawski
Rysunek 3.1: Przestrzenie bez odcinka rozspajającego
drzewo). Natomiast przykładem przestrzeni z odcinkiem łukowo rozspajającym, ale bez odcinka rozspajającego jest okrąg warszawski (patrz rys. 3.1b).
Rysunek 3.2: Przestrzenie z odcinkiem rozspajającym
Definicja 3.3. Niech X oznacza przestrzeń metryczną. Niech K, L ⊂ X ozna-czają przedziały i niech f : X → X będzie odwzorowaniem ciągłym. Mówimy, że K f -nakrywa L, jeżeli istnieje taki podprzedział J ⊂ K, że f (J ) = L. Mówi-my, że K jest m-podkową topologiczną, jeżeli istnieje m takich parami rozłącznych podprzedziałów J1, J2, . . . , Jm ⊂ K, że f (Ji) = K dla i = 1, 2, . . . , m.
Lemat 3.4. Niech X oznacza przestrzeń metryczną, która ma odcinek łukowo roz-spajający J ⊂ X. Jeżeli istnieje taki odcinek domknięty ˜J ⊂ J , że f ( ˜J ) ⊃ ˜J , to
˜
J f -nakrywa ˜J i istnieje taki x ∈ ˜J , że f (x) = x.
Dowód. Niech a, b ∈ J i niech ˜J = [a, b], tzn. [a, b] = {x ∈ J : a ¬ x ¬ b}, gdzie ¬ oznacza porządek liniowy na J indukowany przez homeomorfizm ψ : (0, 1) → J. Ponieważ f ( ˜J ) ⊃ ˜J , to istnieją takie c, d ∈ [a, b], że f (c) = a oraz f (d) = b. Bez straty ogólności załóżmy, że c < d (w przypadku c > d dowód jest analogiczny). Określmy
c0 = sup{x ∈ [c, d] : f (x) = a} oraz
d0 = inf{x ∈ [c0, d] : f (x) = b}.
Wykażemy, że f (c0, d0) = [a, b]. Ustalmy dowolny x ∈ (a, b). Ponieważ f ([c0, d0]) jest łukiem, a punkty a i b leżą w różnych składowych spójnych J \ {x}, to z definicji odcinka łukowo rozspajającego, x ∈ f ([c0, d0]). Stąd [a, b] ⊂ f [c0, d0]. Załóżmy, że
istnieje taki y ∈ (c0, d0), że f (y) /∈ [a, b]. Jako, że f (J) jest spójny możemy założyć, że f (y) ∈ J \[a, b], bo inaczej f ( ˜J ) jest sumą niepustych, rozłącznych i domkniętych zbiorów f ( ˜J ) = [a, b] ∪ (f ( ˜J ) \ J ) co jest sprzeczne ze spójnością. Ustalmy dowolne z ∈ (c0, d0) takie, że f (z) ∈ [a, b], i bez straty ogólności załóżmy, że z < y (przypadek z > y jest symetryczny). Punkty f (y) i f (z) leżą w różnych składowych J \ {a} lub J \ {b}. Zatem, z definicji odcinka łukowo rozspajającego {a, b} ∩ f ([y, z]) 6= ∅ co jest sprzeczne z wyborem c0 oraz d0. Ostatecznie, wykazaliśmy, że
f (c0, d0) = [a, b] = ˜J .
Ponieważ f ( ˜J ) ⊃ J to wykazaliśmy, że˜ J f -nakrywa˜ J . Dowód istnie-˜ nia punktu stałego wynika bezpośrednio z [20, Lemma I.3] dla odwzorowania f
[c0,d0]: [c
0, d0] → ˜J .
Lemat 3.5. Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną. Jeżeli przekształcenie f : X → X jest tranzytywne i istnieje taki niepusty zbiór otwarty V ⊂ X, że V ⊂ V ∩ Per(f ), to Per(f ) = X.
Dowód. Niech U ⊂ X oznacza dowolny niepusty zbiór otwarty. Z tranzytywności przekształcenia f istnieje taka liczba naturalna n, że fn(V ) ∩ U 6= ∅. Wówczas zbiór W = f−n(U ) ∩ V jest niepustym zbiorem otwartym jako przecięcie zbiorów otwartych oraz W ⊂ V ⊂ V ∩ Per(f ). Zatem W ∩ Per(f ) 6= ∅ i stąd istnieje taki x ∈ W , że x ∈ Per(f ) oraz istnieje taka liczba naturalna p, że fp(x) = x. Ale fn(x) ∈ U i fn+p(x) = fn(fp(x)) = fn(x), zatem Per(f ) ∩ U 6= ∅. Stąd wynika, że zbiór punktów okresowych jest zbiorem gęstym w X.
Przytoczymy teraz lemat 3.1 z [46], którego użyjemy w dowodzie twierdzenia
3.7.
Lemat 3.6. Niech X oznacza zwartą przestrzeń metryczną, f : X → X będzie przekształceniem tranzytywnym oraz niech x ∈ X będzie punktem o gęstej orbi-cie. Jeżeli dla każdego otoczenia W punktu x możemy znaleźć takie N ∈ N, że fn(W ) ∩ W 6= ∅ dla wszystkich n N , to f jest mieszające.
Twierdzenie 3.7. Niech X będzie zwartą i przestrzenią z odcinkiem łukowo roz-spajającym J . Jeżeli przekształcenie f : X → X jest słabo mieszające i ma gęste punkty okresowe, to f jest mieszające.
Dowód. Ustalmy punkt ξ ∈ J , który ma gęstą orbitę. Mieszanie wykażemy ko-rzystając z lematu 3.6. Wystarczy pokazać, że jeżeli K jest takim zbiorem otwar-tym, że ξ ∈ K, to wtedy istnieje takie N , że fn(K) ∩ K 6= ∅ dla wszystkich n N. Załóżmy, że K ⊂ J jest przedziałem otwartym i ξ ∈ K. Punkty okreso-we są gęste. Wobec tego możemy wybrać punkt okresowy s ∈ K ∩ Per(f ). Niech m będzie taką liczbą naturalną, że fm(s) = s. Przez K
1, K2 oznaczmy
składo-we spójne zbioru K \ {s}. Ponieważ f jest słabo mieszające, to na podstawie [41, Proposition II.3] produkt kartezjański 2m kopii przekształcenia f , oznacza-ny przez f×2m, jest tranzytywny. Dla i > 0 oraz j = 1, 2 zbiory f−i(Kj) są otwarte, więc możemy skorzystać z tranzytywności przekształcenia f×2m, aby otrzymać taką liczbę naturalną N , że
dla i = 0, 1, . . . , m − 1 oraz j = 1, 2. Stąd każdy zbiór spójny fN +i(K) ma nie-puste przecięcie z każdą składową spójną zbioru K \ {s} dla 0 ¬ i ¬ m − 1. W szczególności twierdzimy, że dla 0 ¬ i ¬ m − 1 istnieją takie punkty κi ∈ K, że fN +i(κi) ∈ {s}. Z wyboru N dla ustalonego i istnieją takie punkty aj ∈ K, że fN +i(a
j) ∈ Ki dla j = 1, 2. Niech ¬ oznacza porządek liniowy na J indukowany przez ustalony homeomorfizm φ : (0, 1) → J . Zdefiniujmy
Ia= {x ∈ X : min{a1, a2} ¬ x ¬ max{a1, a2}} ⊂ J.
Wtedy f (Ia) jest łukiem przecinającym obie składowe J \ {s}, zatem s ∈ fN +i(Ia). Punkt κi musi więc istnieć, bo J jest łukowo rozspajający.
Jeżeli n N , to istnieją takie i ∈ {0, 1, . . . , m−1} oraz l ∈ N0, że n = N +i+lm.
Wtedy
fn(κi) = flm(fN +i(κi)) = fN +i(κi), ponieważ fN +i(κ
i) = s ma okres m. Zatem K ∩ fn(K) 6= ∅, co dowodzi, że f jest mieszające.
Poniższe twierdzenie ma dowód podobny do [9, Theorem 2], prezentujemy je dla kompletności rozważań.
Twierdzenie 3.8. Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną z odcinkiem łu-kowo rozspajającym J ⊂ X. Jeżeli przekształcenie f : X → X jest słabo mieszające, to ma gęste punkty okresowe.
Dowód. Niech ¬ oznacza porządek liniowy na J indukowany przez homeomorfizm ψ : (0, 1) → J . Wykażemy, że punkty okresowe f są gęste w J . Niech x ∈ J i wy-bierzmy takie a, b ∈ J , że (a, b) = {z ∈ J : a < z < b} jest przedziałem otwartym, x ∈ (a, b) i zbiór J \ [a, b] ma dwie składowe otwarte, które oznaczmy J1 i J2.
Korzystając ze słabego mieszania, istnieje taka liczba naturalna p > 0, że fp([a, b]) ∩ J1 6= ∅
oraz
fp([a, b]) ∩ J2 6= ∅.
Stąd istnieją takie c, d ∈ [a, b], że fp(c) ∈ J1 i fp(d) ∈ J2 (bez straty
ogólno-ści możemy założyć, że c < d, bo przypadek c > d dowodzi się analogicznie). W konsekwencji daje to nam, że
fp([c, d]) ⊃ [a, b].
Powtarzając rozumowanie z lematu 3.4 dla fp, istnieją takie c0, d0 ∈ [c, d], c0 < d0,
że fp([c0, d0]) = [a, b], a w konsekwencji istnieje takie x
0 ∈ [a, b], że fp(x0) = x0. To
kończy dowód, w odcinku J punkty okresowe są gęste. Z lematu3.5 zbiór punktów okresowych jest gęsty w X.
Wniosek 3.9. Niech X będzie przestrzenią zwartą z odcinkiem łukowo rozspajają-cym J . Jeżeli przekształcenie f : X → X jest słabo mieszające, to f jest mieszające i ma gęste punkty okresowe.
Dowód. Z twierdzenia 3.8 dostajemy, że X ma gęsty zbiór punktów okresowych, a następnie z twierdzenia 3.7 otrzymujemy, że f jest mieszające co kończy dowód.
Rysunek 3.3: Zbiór XB = SL∪ S0∪ SR
Lemat 3.10. Jeżeli f : X → X jest przekształceniem tranzytywnym, gdzie X = Sk
i=1Si oraz dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , k} zbiory Si są składowymi łukowo spójnymi przestrzeni X, to istnieje taka bijekcja φ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k}, że f (Si) = Sφ(i).
Dowód. Dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , k} zbiór f (Si) jest łukowo spójny, zatem istnieje taka liczba φi, że f (Si) ⊂ Sφi. Z tranzytywności wynika, że przekształcenie f jest surjekcją, więc φ : i 7→ φi też musi być surjekcją. Ale jest ono określone na zbiorze skończonym {1, 2, . . . , k}, zatem jest bijekcją. Oczywiście w tej sytuacji nie jest możliwe aby f (Si) ( Sai, bo wtedy f nie byłaby surjekcją. Stąd f (Si) = Sφ(i), co kończy dowód.
Niech S0, SL, SR oznaczają podzbiory płaszczyzny R2 zadane wzorami (patrz rys. 3.3) S0 = {(0, y) ∈ R2: − 1 ¬ y ¬ 1}, SL = x, sin1 x ∈ R2: − 1 2π ¬ x < 0 oraz SR = x, − sin1 x ∈ R2: 0 < x ¬ 1 2π . Zdefiniujmy zwarte przestrzenie metryczne
XS = SL∪ S0,
XR = S0∪ SR oraz
XB = SL∪ S0∪ SR
(zbiory XS, XR, XB rozważamy z topologiami indukowanymi z R2). Przestrzeń XS nazywamy krzywa sinx1, a przestrzeń XB nazywamy podwójna krzywa sin1x. Lemat 3.11. Jeżeli przekształcenie f : XS → XS jest tranzytywne, to f (S0) = S0
