R o z d z i a ł n i n i e j s z y d o t y c z y w c a ł o ś c i p ro b le m a t y k i d r g a ń o k re so w y c h i p ra w ie o k re so w y c h w z ło ż o n y c h n i e li n io w y c h u k ła d a c h d y n a m ic z n y c h o param e
t r a c h lo so w ych . R o zp atryw a n e s ą dwa z a s a d n ic z e r o d z a je u kład ów , u k ła d y a u t o n om iczn e ( c z ę ś ć 8 . 4 ) i n ie a u to n o m ic z n e (c z ę ś ć 8 . 3 ) . U k ła d y n ie a u t o n o m ic z n e to t a k ie , k t ó r e pobudzane s ą zew nętrznym sygn a łe m okresow ym lu b p ra w ie okresow ym i k t ó r y c h p a ra m e try z m ie n ia ją s i ę w c z a s ie . W p rz y p a d k u okresow ym p o s z u k u je s i ę w tedy ro z w ią z a ń o k re so w ych o ta k im samym o k r e s i e , j a k i p o s i a d a j ą z e w n ę trzn e p o b u d z e n ie i p a ra m e try u k ła d u .
Z a k ła d a s i ę s t a l e , że dyskuto w ane u k ła d y n ie a u t o n o m ic z n e o p isy w a n e będą w ielow ym iarow ym , n ie lin io w y m , losowym równaniem całkow ym ty p u V o l t e r r y - S t i e l t j e s a 2. r o d z a ju :
x(t,a > ) = z(t,a >) + T k ( d r , w ) f ( x ( t - r , u ) ), t€Q, wen 0
Odmienne z a g a d n ie n ia zw iązan e s ą z u k ła d a m i auto n o m ic zn ym i. I c h p aram e t
r y n i e z m ie n ia j ą s i ę w c z a s i e , a zew nętrzne p o b u d z e n ie może b y ć n a jw y ż e j s y g nałem s ta ły m . W u k ła d a c h t a k i c h mogą w y s t ą p ić d r g a n i a okre sow e , k t ó r y c h o k r e s u n i e można z g ó r y p rz e w id z ie ć . W z w ią z k u z tym z a ło ż o n o , że rozw ażane u k ła d y a u to n o m ic zn e o p isy w a n e będą wielow ym iarow ym , n ie lin io w y m , losowym rów naniem całkow ym ty p u V o l t e r r y - S t i e l t j e s a 1. ro d z a ju :
y (t ,t > ) = I h ( d s , o ) ) g ( y ( t - s , w ),(*>), te Q ,u sn 0
W obu p rz y p a d k a c h z a k ła d a s i ę , że Q j e s t p o d g ru p ą pewnej c z ę ś c io w o u p o rz ą d kow anej lz g a . G, QcG, n a t o m ia s t h j e s t m ia rą o w a h a n iu o g ra n ic z o n y m .
P o s z u k iw a n ie d rg a ń o k re so w ych i p ra w ie o k re so w y c h p o p rz e d z o n e z o s t a ł o d y s k u s j ą nad "sta n e m u s t a lo n y m " s y g n a łu w u k ła d z i e dynam icznym ( c z ę ś ć o k r e sowa lu b p ra w ie o k re so w a s y g n a łu ) o r a z nad je g o "sta n e m n ie u s t a lo n y m " (c z ę ś ć s y g n a ł u o s k o ń c z o n e j e n e r g i i ) . D a ls z a a n a l i z a d o t y c z y t y l k o z j a w is k u s t a l o n y c h z p o m in ię c ie m s y g n a łó w p r z e jś c io w y c h , z a n ik a j ą c y c h " p r z y t — > m", tzn . n a le ż ą c y c h np. do p r z e s t r z e n i Cq(Q ;L 2 (£2, 3, P; Rn) . O d p o w ie d n ie ró w n a n ia s t a n u u s t a lo n e g o w yprow adzone z o s t a ł y w c z ę ś c ia c h 8 .1 i 8. 2 n i n i e j s z e g o r o z d z i a ł u .
Drgania okresowe i prawie okresowe 125
Ró w n a n ia d rg a ń okre so w ych i p ra w ie o k re so w ych p r z y b i e r a j ą p o s t a ć n ie s k o ń c z o n e g o u k ła d u n ie lin io w y c h równań lo so w ych. R o z w ią z a n ie t a k ie g o n ie s k o ń c z o n e g o u k ła d u równań n ie j e s t p r a k t y c z n ie m ożliw e nawet w p rz y p a d k u d e t e rm in is t y c z n y m . A n a l i z a prow adzona j e s t za pomocą metod p r z y b liż o n y c h , p o le g a j ą c y c h na o b c i ę c i u u k ła d u n ie sk o ń c z o n e g o do a p ro k sy m u ją c e g o go u k ła d u , s k ła d a j ą c e g o s i ę ze sk o ń c z o n e j l i c z b y równań. M etody p o stę p o w a n ia w p rz y p a d k u d e t e r m in is t y c z n y m b y ł y w s z e c h s t ro n n ie badane, p or. np. [1 38 ].
Z a s a d n ic z o , a n a l i z a o p a rt a z o s t a ł a na k o n c e p c ja c h z n a n y c h w m etodach de
t e r m in is t y c z n y c h : f i l t r u id e a ln e g o i f u n k c j i o p i s u j ą c e j i w tym s e n s i e s t a now i i c h u o g ó l n i e n i e na z a g a d n ie n ia s t o c h a s t y c z n e , p o r . [5 2 , 1 3 8 , 1 6 8 - 1 6 9 , 3 0 3 ] . R o z w a ż a n ia o p a r t e z o s t a ł y na t w ie rd z e n ia c h Banacha i L e r a y a -S c h a u d e r a o p u n k c ie s t a ły m o p e ra to ra . W y k o rz y s t u je s i ę p o j ę c ie in d e k s u L e ra y a -S c h a u d e r a d l a p rz y p a d k u h o m o t o p ii op e ra to ró w zw a rty c h o r a z d la o p e ra to ró w z w a rty c h z z a b u rze n ie m w p o s t a c i m ałego o p e ra to ra zw ężającego. P o j ę c ia te s ł u ż ą do r o z w ią z a n ia i a n a l i z y układów a n a liz o w a n y c h równań lo so w y c h w o d p o w ie d n io d o b ra n y c h p r z e s t r z e n i a c h Banacha p rocesów s t o c h a s t y c z n y c h .
S fo rm u ło w a n ie z a g a d n ie n ia i o d p o w ia d a ją cych im w yników j e s t na t y l e o g ó ln e , że p o zw a la na ro z p a t ry w a n ie zarówno c ią g ł y c h , j a k ró w n ie ż d y s k r e t n y c h u k ła d ó w s t o c h a s t y c z n y c h .
P r z e d s t a w io n e w y n ik i s ą u ż y te c z n e d la b a rd z o w ie lu za sto so w a ń . W c e lu za d e m o n stro w a n ia p r z y d a t n o ś c i je dne go z wyników t e o r e t y c z n y c h p r z e d y s k u t o wano w c z ę ś c i 8 . 3 . 4 p r z y k ła d s p e c y f ic z n e g o , d y s k r e t n e g o u k ła d u d ynam iczne go z p aram e tryczn ym z a k łó c e n ie m sto ch a styczn ym .
8 .1 . RÓWNANIA DRGAŃ OKRESOWYCH I PRAWIE OKRESOWYCH
Weźmy pod uwagę s t o c h a s t y c z n y u k ła d d yn am iczn y (ze sp rz ę ż e n ie m zw rotnym ) o p i s a n y n-wymiarowym losowym równaniem całkowym ty p u V o l t e r r y - S t i e l t j e s a 2.
ro d z a ju , o k re ś lo n y m na lz g a . G
x ( t , u ) = z(t,Ł>) + f h ( d s , u ) f ( x ( t - s , a i ) , u ) , teQ,weQ (1 ) g d z i e s u p p (h )c Q , h e V (G ;L “ ( n , 3 , P; JE(IRn,IRn ) ), °‘ oznaczym y p r z e z l/ar^Ch) b e z w zglę d n e w a h a n ie f u n k c j i h. Z ałóżm y ponadto, że:
P I ) o p e r a c j a F o k r e ś lo n a p rz e z n i e l i n io w o ś ć f s p e ł n i a w p r z e s t r z e n i L 2 ,2 (Q;IRn ) w arunek L i p s c h l t z a ze s t a ł ą a i f ( 0 , • )=0 mod(IP). N ie c h d a l e j F odw zorow uje p r z e s t r z e ń B2’2 (G; IRn ) w s i e b i e i s p e ł n i a w B2 ,2 (G;IRn ) w arunek L i p s c h l t z a z t ą samą s t a ł ą a . »
126 Rozdział VIII
D la u p r o s z c z e n i a ro zw ażań p rzyjm iem y, że s p e łn io n e s ą d od atkow o n a s t ę p u ją c e h ip o t e z y :
P 2 ) a s u p ^ e * e s s s u p ^ ^ max^Ap ( * , u )j <1,
g d z i e A (1 x,ł2>),A ( * , u ) , . . . , A ( z . “ ) n s ą w a r t o ś c ia m i w ła sn y m i m a c ie rz y h e r m it o w s k ie j h (x, w )h (x , u ) . ■A
P 3 ) V x oeB2 ,2 (G;IRn ) 3 N>0 t a k ie , źe s u p U Q ||f (xq ( t, u ) , <«>)||2^ N. ■ P 4 ) v ( t ) : = V a r ” (h ) e L 2 « ^ 1) . «
Q\ Qt
H ip o t e z y ( P 1 -P 3 ) g w a ra n tu ją , że d l a k a żd e go p r o c e s u s t o c h a s t y c z n e g o z e L 2' 2 (Q ;R n ) (e w e n t u a ln ie z € B 2' Z(Q; Rn) ) ró w n a n ie (1 ) ma w L 2' 2 (Q ;R n ) ( lu b B2' 2 (Q ;R n ) ) je d n o z n a c z n e r o z w ią z a n ie , k t ó r e z a le ż y w s p o s ó b c i ą g ł y od wymu
s z e n i a z. J e ż e l i z j e s t p rocese m o g ra n ic z o n y m w s e n s i e śre d n im , t a k ą samą w ła s n o ś ć p o s ia d a r ó w n ie ż r o z w ią z a n ie x. W ynika to z p r o s t e j r e l a c j i
||x(t, -)||2 s N V a r " ( h ) + ||z(t,-)||2, V teQ (2 ) P rzy p u ść m y , że na w e j ś c iu u k ła d u d ynam iczne go p o j a w ił s i ę s y g n a ł z ( t , w ) , t€Q,Ł>en, s u p p (z )c Q , k t ó r y j e s t sumą
z ( t , u ) = z (t ,w ) + 0 ( t , u ) , teQ,u>€fi (3 )
o z
s sp o . z q o r a z s y g n a ł u 6 e L2,2 (Q ;R n). Można o c ze kiw a ć, że s y g n a ł, k t ó r y j e s t ro z w ią z a n ie m x ró w n a n ia ( 1 ), b ę d z ie m ia ł podobną p o s t a ć
x ( t , u ) = x ( t . u ) + 0 ( t , u ) , te Q ,u € f2 - (4 )
o x
g d z ie x q j e s t f u n k c j ą p ra w ie okre sow ą, a 0 eL ’ (Q ;Rn ).
Podstaw m y ró w n a n ie (4 ) do w y ra ż e n ia (1 ), otrzym am y
x ( t , w ) + 0 (t,Ł>) = z (t,o>)+0 ( t , u ) + f h (d s,(i))f| x ( t - s , u ) + 0 ( t —s , o>), t»> 1 (5 )
o x o z J Q l o X )
R ó w na nie (5 ) można p r z e p i s a ć w p o s t a c i równoważnego u k ła d u dwóch równań Xo (t,Ł>) = ZQ(t,Ł)) + J h ( d s , u ) f ^Xo ( t - S , Ł ) ) , u j (6 )
0 (t,Ł>) = 0 (t,u>) + J h (d s,<j) ^f ^x q( t-s,o > )+ 0 ( t - s , w ) , u j - f ^x q( t - s ,łj) , uj j
-- f h ( d s , u ) f [ x ( t - s , w ) , u ] (7 )
Q\Q^ ^ ° '
Na mocy p o c z y n io n y c h z a ło ż e ń , ró w na nie (6 ) p o s ia d a w p r z e s t r z e n i ssp o . B 2,2 (Q ;R n) d o k ła d n ie je d n o r o z w ią z a n ie d l a d ow olne go s y g n a ł u z^eB2,2(Q ;R n) . R o z w ią z a n ie to n i e z a l e ż y od z a k łó c e n ia 0 i wobec z a ł o ż e n i a (P 3 ) j e s t
Drgania okresowe i prawie okresowe 127
o g r a n ic z o n e w s e n s i e śre dnim . R o z w ią z a n ie to może b yć in t e r p r e t o w a n e ja k o
" s t a n u s t a l o n y " u k ła d u d ynam iczne go (1 ).
Zastanów m y s i ę zatem nad równaniem (7 ). Na p o d st a w ie h i p o t e z (P 3 ) i (P 4) o r a z n ie r ó w n o ś c i
||J h ( d s , u ) f ^xo (t - s , u ) , u j | | a N V a r ”^Q (h ) (8)
możemy s t w i e r d z i ć , że s y g n a ł 0 ( t , w ) - h ( d s , u ) f x ( t - s , u ) , oi e L 2,2 (Q ;Rn ) , a
z Q\Q. ' t I ° '
r 2»2/
o p e r a c j a V o k r e ś lo n a na p r z e s t r z e n i L ‘!’‘!(Q;Rn ) r e l a c j ą
( ł 0 ) ( t , w ) := J h ( d s ,u ) ^f ^xo( t - s , Ł > ) + 0 ( t - s , u ) , ( j j - f | x q( t - s , ł>) , u j j (9 )
"2 . 2 p o s ia d a o sz a c o w a n ie
( 11/2
I M I 2>2 s s u P * e£ p - e s s s u Pu6n n.ax^Ar (x,(0)J ||f(x0+e, - ) - f ( x 0, -)||_
S aSUp*eG P _e SS su p a>gn max^Ar (x,Ł))j ||e||2>2(10)
W ynika s t ą d , że w s z y s t k i e r o z w ią z a n ia ró w nania (7 ) n a le ż ą do L 2 ,2 (Q ;Rn ). Wa
r u n k i, k ie d y 0 eC (Q; L Z (Q, 5, P; Rn ) . tzn. 0 — » 0 p r z y " t — > , w y n ik a ją z
9
x 0 xro zw ażań c z ę ś c i 7 .3 . S y g n a ł 0 można in te r p r e t o w a ć np. j a k o z a n ik a j ą c e z a b u r z e n ie spowodowane i s t n ie n ie m w u k ła d z ie n ie z e ro w y c h warunków p o c z ą t kowych. D la p rz y p a d k u c i ą g ł e g o , t z n . G=R1,Q=k\ p ow yższe w y n ik i można porów nać z i n t e r e s u j ą c ą a n a l i z ą za w a rtą w p ra c a c h C orduneanu [5 2 ], S a n d b e rg a [214 - 2 1 5 ], K u d re w ic z a [1 3 8 ] i S k r z y p c z y k a [2 3 7 -2 3 8 ,2 4 5 -2 4 6 ].
J e ż e l i o p e r a c j a F p r z e k s z t a łc a fu n k c je okre sow e w o kre sow e , to te same ro z w a ż a n ia , d o t y c z ą c e i s t n i e n i a i je d n o z n a c z n o ś c i ro z w ią z a ń , o b o w ią z u ją d la o k re so w y c h r o z w ią z a ń ( n a le ż ą c y c h do p r z e s t r z e n i L 2 ,2(Q ;R n ) ) ró w n a n ia (5 ), d l a G=r\ q=r‘ , p o r. [1 4 4 ,2 1 4 -2 1 5 ].
D a l s z ą a n a l i z ę o g ra n ic z y m y do b a d a n ia w ła s n o ś c i d r g a ń o k re so w y c h i p ra w ie o k re so w y c h w u k ła d z i e dynamicznym o p isa n ym n a stę p u ją c y m równaniem całkow ym V o l t e r r y - S t i e l t j e s a
x ( t , u ) = z ( t , o ) + f h ( d s , u ) f ( x ( t - s , w ) , u ) , teG.wefi (1 1 ) 0
p r z y t y c h sam ych w stę p n ych z a ło ż e n ia c h ja k d la ró w n a n ia (1 ).
128 Rozdział VIII
130 Rozdział VIII
132 Rozdział VIII
Zauw ażm y,że w nowych o z n a c z e n ia c h ró w n a n ie p r z y b li ż o n e (3 3 ) p rz y jm u je p o s t a ć le w e j s t r o n y ró w n a n ia (3 7 ), tzn.
v - ł ( v ) = 0 (3 8 )
W d a l s z y c h r o z w a ż a n ia c h r o z w ią z a n ie ró w n a n ia (3 8 ) o z n a c z a ć b ę d zie m y p r z e z v.
B i o r ą c pod uwagę o k r e ś l e n i e z b i o r u A, ró w n a n ie (3 8 ) w n o t a c j i n a w ią z u ją c e j do p o s t a c i (1 4 ) może b yć z a p is a n e w n a s t ę p u ją c y sp o só b
T W IERD Z EN IE 8 .2 . N ie c h v e P ^ ( l 2,2) b ę d z ie ro z w ią z a n ie m ró w n a n ia p r z y b l i ż o n e go (3 8 ). N ie c h d a l e j U (v + b ) b ę d z ie l o k a l n i e k l a s y C1. J e ż e l i $ ' (v ) j e s t b i j e k c j ą i p o n a d to l i c z b a
f ! l/2
ic = su p P - e s s su p „ max A ( r , u ) (4 0 )
X«A^ uetJ r l r )
j e s t w y s t a r c z a j ą c o mała, to ró w n a n ie (1 9 ) p o s ia d a d o k ła d n ie je d n o r o z w ią z a n i e w małym o t o c z e n iu v+b. N o t a c ja p o z o s t a j e j a k w h i p o t e z i e (P 2 ).
Dowód. Id e a dowodu j e s t podobna do z a w a rte j w t w ie r d z e n iu 8 .3 . Zauważmy, że o p e r a c j a l o k a l n i e r ó ż n ic z k o w a ln a s p e ł n i a w arunek L i p s c h i t z a . T e za w yn ik a z t w ie r d z e n ia Banacha o p u n k c ie sta ły m i z t w ie r d z e n ia o lo k a ln e j o d w r a c a ln o ś c i odw zorow ań w p r z e s t r z e n i a c h f u n k c y jn y c h , p o r. [ 7 0 , 1 5 7 , 3 0 3 ] . ■
8 . 3 . 3 . M etod a f u n k c j i o p i s u j ą c e j
W s z c z e g ó ln y m p rzy p a d k u , g d y z b i ó r A z a w ie r a t y l k o je d e n numer ( n = l d la u s t a l e n i a u w a g i), m etoda f i l t r u id e a ln e g o nazyw ana b ę d z ie , p r z e z a n a lo g ię do p r z y p a d k u k la s y c z n e g o G=IR1, metodą f u n k c j i o p is u j ą c e j . U k ła d równań (3 9) r e d u k u je s i ę w tedy do je d n e go ró w n a n ia n-w ym iarow ego zm ie n n e j z e s p o lo n e j
x (u )-h (^ ; , u ) u x ( u ) , z ( u ) , z ( u ) , z (o>),z (<*>) 1 1 1 1 1 0 2 3 4 w \ = z (u ) I I (4 1 )
U1(V Z0’ V Z3-Z4... “ ) =
= H ( W I VG/ H t ) f (xi V t ) + V i ( t ) + z o V t ) + E ( v k ( t ) + 5 A ( t } H' k = 2 ' '
1
' ł W t ) (42) U k ła d n rów nań z e s p o lo n y c h (4 1 ) można, o c z y w iś c i e , p r z e p i s a ć w p o s t a c i u k ła d u 2 n rów nań r z e c z y w is t y c h .Drgania okresowe i prawie okresowe 133
A n a liz o w a ć będziem y u k ła d dynam iczny o p is a n y losowym równaniem całkowym (1 1 ) , g d z ie z j e s t H-okresow ym procesem s to c h a st y c z n y m (1 2 ) i s p e ł n i o n a j e s t h ip o t e z a ( Q l) . Z ałó żm y d a le j , że
R 1 ) Xh i Yh będą dwoma p r z e s t r z e n ia m i Banacha H -o k re so w y c h p ro c e só w s t o c h a s t y c z n y c h x ( t , • )e L 2 (n, g , P ; R n ), V t€Q. P rzyp uśćm y, że ze X H- ■ R 2 ) O p e r a t o r n i e l i n i o w y F : X h — > YH i j e s t op e ra to re m c ią g ły m . « R 3 ) Lo so w y o p e r a t o r A d any r e l a c j ą
( A u K t . t t ) := f h ( d r , Ł ) ) u ( t - x , u ) = V h ( x ,o>)u (o>)* ( t )
L
k k kJ 0 k
g d z ie u (t,o > )= ) u ( u ) x ( t ) , teQ,wen, j e s t lin io w y m i zw artym o p e ra to re m
Lt
k k kp r z e k s z t a łc a j ą c y m p r z e s t r z e ń Y w X . ■H H R 4 ) Oznaczym y p r z e z P i ( I - P ) o p e r a t o r y rzutow e
( P u ) ( t , w ) := u ^ w J a jjU ) + u ^ u J K j C t ) ( ( I —P ) u ) ( t, (•>) := y
L
U k M x ( t )kk * l d l a teO.weCJ. ■
Zauważmy, że mimo pewnych m o d y f ik a c j i w s t o s u n k u do ro zw ażań d o t y c z ą c y c h m etody f i l t r u id e a ln e g o w y n ik i c z ę ś c i 8 . 3 . 2 p o z o s t a j ą praw dziw e. W z w ią z k u z tym ró w n a n ie (1 1 ) j e s t równoważne u k ła d o w i dwóch równań w y n ik a ją c y c h b ezp o
ś r e d n i o z rów nań (3 6 -3 7 )
w - r ( v , w ) = b (43)
v - <t>(v ) = G (v,w ) (4 4 )
g d z ie 4>(v): = P A F (v + b )-a , G (v ,w ): = P A ( P F ( v + w ) - P F ( v + b ) ), T (v , w ): = ( I-P ) A F (v + w )+ b . P o n ie w a ż v ( t, u ) = x i iu>)xi ( t )+ x (<*>)^i ( t ), w d a l s z y c h ro z w a ż a n ia c h używ ane s ą z a m ie n n ie o z n a c z e n ia : 4>(v)h $ (xi ), G(v, w )sG (x t , w ), co n i e p ow inno p ro w a d z ić do n ie p o ro z u m ie ń .
U z a s a d n ie n ie m etody f u n k c j i o p i s u j ą c e j p o le g a na u s t a l e n i u zw iązków p o m ię d zy r o z w ią z a n ia m i ró w n a n ia p r z y b liż o n e g o (3 8 ) i ro z w ią z a n ia m i u k ła d u rów nań ( 4 3 - 4 4 ) . O c z y w iś c ie , tw ie r d z e n ie 8 .2 z n a jd u je t u t a j z a s to so w a n ie , n ie m n ie j je d n a k wymaga ono s i l n e j r ó ż n ic z k o w a ln o ś c i o p e r a t o r a F. O s ła b i e n i e z a ło ż e ń te g o t w ie r d z e n ia może być prze prow adzone na ró ż n e sp o so b y . P o n iż e j p o k a z a n y z o s t a n ie je d e n z m ożliw ych k ie ru n k ó w p o stę p o w a n ia .
UWAGA 8 .1 . W d a l s z y c h ro z w a ż a n ia c h w yko rzystyw a n e s ą s z e r o k o , b e z s z c z e g ó ło w e g o c y t o w a n ia , w ła s n o ś c i op e ra to ró w z w a rty c h o r a z o k r e ś l e n i a zw iązan e z h o m o to p ią o p e ra to ró w z w a rty c h i indeksem L e ra y a -S c h a u d e r a . N o t a c ja i w y n ik i d o t y c z ą c e t y c h w ła s n o ś c i s ą zgodne z [3 03 ].
134 Rozdział VIII
VgeH}-136 Rozdział VIII
w s z c z e g ó l n o ś c i w ro zp atryw anym p rzy p a d k u m usi z a c h o d z ić e lnx = 1 d l a n=kx, k e z '.x e IR 1, | x|s2ti
O s t a t n i a ró w n o ść z a c h o d z i d la tx = 2 ti1 , d la le Z 1, tzn . d l a x= 2jt1/t= i> 1. S t ą d w y n ik a , że a n i h i l a t o r j e s t z b io re m ch a ra k te ró w p o s t a c i
A ( Ź \ H ) = •je1"1' 1 :n, le Z 1 }- (5 3 )
Łatw o s p r a w d z ić , że d o w o ln y c h a r a k t e r * ( n ) = e x p ( i n i > l ) j e s t f u n k c j ą H -o kreso w ą . R z e c z y w iś c ie , d l a n e Z '.k e H mamy
l < n + k m lnl »l lkl>l l n V l , .
* ( n + k ) = e = e - e = e = * ( n )
p o n ie w a ż k i ^ k ^ i r , g d z ie k^eZ1.
R y s . 8 .1 . R o z w ią z a n ia ró w n a n ia (5 6) d l a r ó ż n y c h w a r t o ś c i k Q F i g . 8 .1 . S o l u t i o n s o f e q . (5 6 ) f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f k
o
UWAGA 8 .2 . C h a r a k t e r y na g r u p ie d y s k r e t n e j można w p ro w a d zić i n a c z e j , ta k a b y p o z o s t a ć w z g o d z ie z n o t a c j ą p r z y j ę t ą w t e c h n ic e d l a p r z e k s z t a ł c e n i a Z, k t ó r e j e s t n ic z y m innym, j a k p r z e k s z t a łc e n ie m F o u r i e r a na g r u p i e d y s k r e t n e j Z 1. W tym c e lu zauważmy, że e x p ( in x ) d la ne Z1 i |x|s2Tt j e s t l i c z b ą z e s p o lo n ą . N ie c h z = e x p ( i x ) , o c z y w iś c i e | x | sl.
Z b i ó r c h a ra k te ró w I 1 g r u p y d y s k r e t n e j Z1 z a p is z e m y w p o s t a c i Z1 = -jz" : n s Z 1, zeC 1, | z | s l ^
D e f i n i c j a p r z e k s z t a ł c e n i a Z, zna na w l i t e r a t u r z e [ 1 1 5 , 1 2 1 , 1 4 1 , 2 7 2 , 3 6 6 ] , p o k ryw a s i ę , p r z y t a k w prow adzonej n o t a c j i , z w prow adzoną w d o d a t k u B. Mamy
00
h ( z ) = h ( * ) = £ z " h ( n ) = I ^ ( g J h t g J n t d g ) , ^ e Z1
n =
—00^Z
Drgania okresowe 1 prawie okresowe 137
A n i h i l a t o r A ( z ' , H ) j e s t , w tym p rzyp ad ku, z b io re m n - t y c h p ie r w ia s t k ó w z e s p o lo n y c h z l i c z b y 1. W yznaczenie ty c h p ie rw ia s t k ó w p ro w a d z i "d e f a c t o " do p o w ro tu do n o t a c j i (5 2 ). ■
Z g o d n ie z metodą f u n k c j i o p is u j ą c e j , p o sz u k iw a ć b ęd zie m y r o z w ią z a n ia p r z y b li ż o n e g o ró w n a n ia (5 0 ) w p o s t a c i
x( n, Ct>) = X ( w ) * (n) + X t (uJXjfn) , neZ.i
g d z ie x (n )= e x p (ii> n ), a x i (u ) j e s t losowym ro zw ią za n ie m ró w n a n ia w y n ik a ją c e g o z (3 8 ), k t ó r e w tym p rzy p a d k u p rz y jm ie p o s t a ć
g d z i e h t * ) = h ( z )
xi (u) - h ( ^ i )ui (xi (o)),u) = 0
, a f u n k c j a u dana j e s t r e l a c j ą n i e l i n i o w ą
z=*i 1
U ^ X j , « ) = 4 " E ( ( 1 + 2 a ( Ł,) C O S ( 2 y k ) j ( * 1* 1 ^ + C l c j J ^ j C l c )
-i ) ) ; , « . ) - e f t V i (k- k 0 ) + x i * t (k“ko ) l
(5 4 )
(5 5 )
R y s. 8. 2. R o z w ią z a n ia ró w nania (5 6 ) d l a ró ż n y c h w a r t o ś c i a(o>i ) F i g .8.2. S o l u t i o n s o f eq. (5 6 ) f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f a(o>j )
N ie c h t> 4 . Dokonamy p r z e k s z t a łc e ń k o le j n y c h s k ła d n ik ó w w zoru (5 5 ). Zauważmy
138 Rozdział VIII
W yn ika to z f a k t u , że
T - l
D a le j mamy
: - l . T - i , .
£ c o s(4 i> k ) = ~ 2 ^ I e xp ( i8jtk/x) + e x p ( - i8n k / r ) I =
:=0 k=0 J
_ 1 l-e x p (1 8 n ) 1 l-exp(-18Tt) 2 l- e x p ( 1 8 i t/ x ) 2 l - e x p ( - i 8 i r / r ) "
1 T_1 (
— ^ e2 x i 3e x p (1 3 t> (k -k o )) + 3 xi2x i e x p ( i2 i> ( k - k Q) - i i > ( k - k o ) ) + k = 0
+ 3 x x 2e x p ( i v ( k - k ) - i2 i> ( k - k )) + x 3e x p ( - i3 i > ( k - k ) ) ] =
l l o o l o J
= e2 — jT 3 x i2x i e x p (-ii> k ) = 3e 2 |x |2x e x p ( - i v k ) k = 0
W ówczas ró w n a n ie (5 5 ) p r z y jm ie p o s t a ć
u (x ,ł>) = x + a(o>)x - 3e2x |x |2e x p ( - ii> k ) =
l l i i i 1 i 1 o
= |xi | e x p ( i^ ) + a(<j) |x^ | e x p ( - i^ ) - 3 e 2 1 x j 13e x p ( - ii> k o+ i0) g d z i e x i = | x i | e x p ( i0). Z ró w n a n ia (5 5 ) w yn ik a
|xj | e x p ( i ^ ) - h ( x i ) ||xj | e x p (i^ )-a (o > ) |x^ | e x p (-1 0 )+ 3 c2|xi |3e x p ( - l i 'k o+ i0)j=O
z n ie z n a n y m i lo so w ym i w ie lk o ś c ia m i |x^| (<o) i <p{u), o>eQ. (5 6)
R y s .8.3 . D o k ła d n a f u n k c j a g ę s t o ś c i p ra w d o p o d o b ie ń stw a |x | ( l i n i a c i ą g ł a ) i f u n k c j a g ę s t o ś c i u z y s k a n a metodą M o n t e -C a r lo ( l i n i a p rz e ry w a n a ) F ig . 8 .3 . E x a c t p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f |x | ( c o n t in u o u s l i n e ) and a
d e n s i t y f u n c t i o n o b t a in e d by M o n t e -C a rlo method (d a sh e d l i n e )
Drgania okresowe i prawie okresowe 139
O p e r a c ja F odw zorow uje L2’ 2 w s i e b i e i j e s t w s p o s ó b c i ą g ł y r ó ż n i c z - kow a ln a . J e ż e l i l i c z b a K = s u p j ^ ^ | h ( z ) | j e s t w y s t a r c z a j ą c o m ała, z a ło ż e n ia t w ie r d z e n ia 8 .2 s ą s p e łn io n e .
R ó w na nie (5 6 ) ma r o z w ią z a n ia losow e. Załóżm y, że x ( ’ ) *0 . D la w a r t o ś c i 2r[/v=600 w yznaczone z o s t a ł y n ie ze ro w e r o z w ią z a n ia |x |. W a r t o ś c i ro z w ią z a ń
|x^|(fa> ) d l a u s t a lo n e g o s ą p rz e d sta w io n e na r y s . 8 . 1 i 8.2, d l a odpow ied
n i o z m ie n ia j ą c y c h s i ę w sp ó łc z y n n ik ó w kQ i a ( u ^ ). Łatw o zauw ażyć, że rów nanie (5 6 ) p o s ia d a m ak sym a ln ie dwa n ie ze ro w e r o z w ią z a n ia , z a le ż n e od w ie lk o ś c i param etrów .
W c e lu z i l u s t r o w a n i a lo so w ego c h a r a k t e r u t y c h r o z w ią z a ń z o s t a ł a w yzna
c z o n a f u n k c j a g ę s t o ś c i p raw dopodobieństw a zm ie n n e j lo so w e j |x |. Z o s t a ł o to w ykonane dwoma sp o so b am i. Po p ie rw sze , f u n k c j ę g ę s t o ś c i w yznaczono na p o d st a w ie ró w n a n ia (5 6 ), k t ó r e o k r e ś l a fu n k c y jn e p r z e k s z t a ł c e n i e m ia ry praw d o p o d o b ie ń stw a ge ne ro w a ne j p rz e z zm ienną lo so w ą a, w m ia rę zw ią z a n ą ze zm iennym i lo so w ym i | x j i <t>. W y n ik i z o s t a ł y porów nane z f u n k c j ą g ę s t o ś c i u z y s k a n ą na d ro d z e s y m u la c j i num erycznej m etodą M o n t e - C a r lo ( lic z e b n o ś ć p r ó b k i 100000 s y m u la c j i) . Na r y s . 8 .3 p rz e d s t a w io n e j e s t p o ró w n a n ie wyników d l a f u n k c j i g ę s t o ś c i brzegow ego r o z k ła d u p ra w d o p o d o b ie ń stw a zm ie nne j | x j . Z aobserw ow ana z o s t a ł a duża zgo d n o ść wyników, ś w ia d c z ą c a o p o p ra w n o ści o b lic z e ń .
8 .4 . DRGANIA OKRESOWE W UKŁADACH AUTONOMICZNYCH
8 . 4 . 1 . Podstaw ow e w ła s n o ś c i
U k ła d d y n a m ic z n y o p is a n y losowym równaniem całkowym V o l t e r r y - S t i e l t je s a x(t,i<>) = z ( t , (j) + f h ( d s , Ł > ) f ( x ( t - s , ( d ) , u ) , t€Q ,uefl (57)
0
nazw iem y autonom icznym , j e ż e l i z ( t , w )=zo (Ł))= co n st ( u ) , wefi, a o p e r a c ja F, ge ne ro w a na p r z e z n i e l i n i o w o ś ć f , j e s t p rze m ie n n a z o p e r a c j ą p r z e s u n ię c i a w c z a s i e ( t a k i e o p e r a t o r y nazywane byw ają “f i l t r a m i " , p o r. d o d a te k C ), tzn.
(Fx(s+t, a>) ) (t, u ) = ( F x (s , u ) ) ( t + r , ł>), V zeG.w en (58) O p e r a c je p o s ia d a j ą c e p ow yższą w ła s n o ś ć nazywane b yw a ją ró w n ie ż s t a c j o n a r n y mi. O p e r a c je s t a c j o n a r n e p r z e k s z t a łc a j ą f u n k c j e H -o k re so w e w f u n k c j e H -o k r e - sowe o tym samym o k r e s ie . I s t o t n i e , n ie c h x ( t + r , u ) = x ( t , u ) , V x€H, mod(P).
140 Rozdział VIII
Zauważmy, że
( F x ( s , u ) ) (t , w) = (Fx(s+t, u ) ) ( t, u ) = ( F x ( s , u ) ) ( t+T,«j), V T€H,m od(P) co d o w o d zi o k r e s o w o ś c i f u n k c j i (F x )(t,Ł > ).
Z a łó żm y, że
5 1 ) o p e r a c j a F p r z e k s z t a ł c a w s p o só b c i ą g ł y p r z e s t r z e ń f u n k c j i p ra w ie o k re s o w y c h B2,2(G ;Rn) w s i e b i e i j e s t o g r a n ic z o n a , tzn . i s t n i e j e s t a ł a N>0 ta k a , że | ( F x ) ( t , u )| < N V xeRn, ue fi.■
5 2 ) R ó w na nie (5 7 ) p o s ia d a s t a ł e x ( t , u ) = c o n s t ( u ) V teQ r o z w ią z a n ie . » W ówczas ró w n a n ie ro z p a try w a n e g o u k ła d u a u to n o m ic z n e g o (5 7 ) można zaw sze s p r o w a d z ić do równoważnego ró w n a n ia c a łko w e g o 1. ro d z a ju . I s t o t n i e , n ie c h Xq(ł>) o z n a c z a f u n k c j ę lo so w ą b ęd ą cą ro z w ią z a n ie m ró w n a n ia (5 7 ) , tz n .
x q(g>) = z q(w) + K ( x o,u>)f (xq, tc>) (5 9 ) g d z i e K ( *o,<j) = J h ( d s ) . Z h ip o t e z y ( S I ) w ynika, że f u n k c j a lo so w a f ( x o ,u ) j e s t c i ą g ł ą f u n k c j ą zm ie n n e j lo so w e j xq. N ie c h x q b ę d z ie ta k im dowolnym ro z w ią z a n ie m ró w n a n ia (5 9 ), wówczas p r o c e s y ( t , u ) = x ( t ,u) -x q(ł)) s p e ł n i a ró w n a n ie
y ( t , u ) = h (d s,ii))g (y (t-s,Ł )),< < )) t€ Q ,u e n (6 0 ) Q
g d z i e g ( y , o > ) = f ( y + x o>u ) - f (x o,ł>), yeRn, o c z y w iś c ie g ( 0 , w ) = 0 V wefl.
Bę dą n a s in t e r e s o w a ły n ie z e ro w e r o z w ią z a n ia ró w n a n ia (6 0 ). Łatw o zauwa
ż y ć , że p ra w d ziw y j e s t n a s t ę p u j ą c y r e z u l t a t , w y n ik a on n a t y c h m ia s t z w ła s n o ś c i f u n k c j i n i e l i n i o w e j f.
T W IER D Z EN IE 8 .4 . J e ż e l i p r o c e s x ( t, o>), teQ, w etl, j e s t ro z w ią z a n ie m rów na
n i a (6 0 ), to p r o c e s x ( t + x , w ) , tsO .ue fi, j e s t ró w n ie ż ro z w ią z a n ie m te g o rów
n a n ia V tsG .
Dowód. W yn ika w p ro s t z w ła s n o ś c i u k ła d u a u to n o m ic z n e g o .■
W y n ik a s t ą d n a ty c h m ia s t , że ro z w a ż a n ia z c z ę ś c i 8.3 n i n i e j s z e j p r a c y n i e mogą b y ć p r z e n i e s i o n e na sfo rm uło w a ne p ow yżej z a g a d n ie n ie d rg a ń w u k ła d a c h a u to n o m ic z n y c h .
P r z y p o s z u k iw a n iu ro z w ią z a ń H -o kre so w yc h p o s t a c i
X ( t + T , Ci)) = £ x k ( u ) ^ ( t + x ) = £ (x ^ ( ( d ) > ( T ) ] y ( t )
k k ' '
r ó w n a n ia (6 0 ), o n ie u s t a lo n y m o k r e s i e (p o d g ru p ie H), można o g r a n i c z y ć s i ę do z n a l e z i e n i a je d n e g o r o z w ią z a n ia s p o ś r ó d n ie s k o ń c z o n e j i l o ś c i ro z w ią z a ń x (t+ T ,o > ) r ó ż n i ą c y c h s i ę "p r z e s u n ię c ie m " argum entu.
Drgania okresowe i prawie okresowe 141
S t o s u j ą c rozum ow anie a n a lo g ic z n e do p rz e d s t a w io n e g o w o p i s i e metody f u n k c j i o p i s u j ą c e j p o sz u k iw a ć będziem y r o z w ią z a n ia w p o s t a c i
x ( t , w ) = x (u ) + x ,(<■>)* ( t ) + x ( » ) * ( t ) + 7,. x (id)x ( t ) (6 1 )
0 1 1 1 1
Li
1 k | ^ 2 k kZauważmy, że x i ^ i + x i ^ i = 2 R e (x i J R e ^ )-,2 Im (x i ) Im t ; ^ ). Ze w zględów fo rm a ln y c h (b e z z m n ie j s z a n ia o g ó l n o ś c i ) przyjm iem y, że Im (x ) * 0 i x j >0 V uen, wówczas ró w n o ść (6 1 ) p rz y jm ie p o s ta ć
x (t ,t> ) = x (u ) + 2 x (w )Re|> ( t ) | + V. l5. x ( « ) » ( t ) (6 2 )
O 1 ^ 1
) ^
I k 12:2 k kZ a d a n ie o k r e ś l e n i a r o z w ią z a n ia ró w n a n ia (6 0 ) w p o s t a c i s z e r e g u (6 2 ) j e s t dodatkow o sko m p lik ow a n e faktem , że n ie j e s t znana p o d gru p a H g r u p y G d e c y d u ją c a o o k r e s i e d rg a ń ro z w ią z a n ia . Z d r u g i e j s t r o n y wiadomo, że j e ż e l i znamy o k r e s f u n k c j i p e r io d y c z n e j, to g e n e ru je on w s p o só b je d n o z n a c z n y pod
g r u p ę H cG .Ja k je d n a k sfo rm u ło w a ć w a ru n ki d o t y c z ą c e te g o o k re s u , a b y p o d g ru pa K b y ła d y s k r e t n a , p o d o b n ie ja k o d p o w ia d a ją c y j e j , i n t e r e s u j ą c y nas, bazow y z b i ó r ch a ra k te ró w , b ęd ący a n ih ila t o r e m H1 z b i o r u H.
N ie c h AeR1 b ę d z ie je d n o p a ra m e tryc zn ą r o d z in ą n orm a ln ych, d y s k r e t n y c h p o d g ru p t e j sam ej g r u p y G. D la a n i h i l a t o r a k a ż d e j z ty c h p od gru p z a c h o d z i H^=A ( G , IŁ ) . J a k wiemy, (G / IŁ ) =H^. C h a r a k t e r y ze z b i o r u o z n a c za ć
A A A A A A
b ęd zie m y z g o d n ie z p r z y j ę t ą w c z e ś n ie j n o t a c ją .
B ę d zie m y z a k ła d a ć , że z a ł o ż e n ia w stępne n i n i e j s z e g o p a r a g r a f u , d o ty c z ą c e p o s t a c i ro z w ią z a ń , p o z o s t a j ą w mocy d la każd e go AeR*.
P rzy jm ie m y d a l e j , że praw dziw e b ę d z ie s t a l e n a st ę p u ją c e z a ło ż e n ie : S 3 ) r o d z in a c h a ra k te ró w -{H ^ .A e R *, j e s t c i ą g ł ą f u n k c j ą p a ra m e tru A .«
D a l s z y c i ą g rozum ow ania b ę d z ie podobny do p rz e d s t a w io n e g o w c z ę ś c i 8 .3 . J e ż e l i p o d sta w im y fu n k c ję p o s t a c i (6 2 ) do ró w n a n ia (6 0 ), to p oró w nują c w s p ó ł c z y n n i k i p r z y o d p o w ie d n ich c h a r a k t e r a c h otrzym am y n ie s k o ń c z o n y u k ła d rów nań lo so w y c h
x (u ) = h f a ^ . u l u (A ,x (<<)),x (<j) ,x (u) ... u ) , k = 0 , l , 2 , ... (6 3 )
k ^ k J k 0 1 2
w k tó ry m f u n k c j e u^ o k r e ś lim y p o d o b n ie j a k p o p rz e d n io
u
( A ,X o ,X X2■ J
f ( £ x x ‘A , ( t ) , W) * ‘X ) ( t ) M ( d t ) (6 4 )W y z n a c z e n iu p o d le g a j ą zm ienne A , x Q(a)), x j (o>), x2(w )...
142 Rozdział VIII
8.4 . 2 . M e tod a f u n k c j i o p i s u j ą c e j
M e tod a f u n k c j i o p i s u j ą c e j p o le g a na o b c i ę c i u n ie s k o ń c z o n e g o u k ła d u rów nań (6 3 ) do je d n e g o n-w ym iarow ego lo so w eg o ró w n a n ia z e s p o lo n e g o , p r z e z
A I V )
z a s t ą p i e n i e w sp ó łc z y n n ik ó w ) zeram i d l a k * l ( d la u s t a l e n i a u w a g i).
Wówczas u k ła d rów nań (6 3 ), re d u k u je s i ę do je d n e g o w ektorow ego ró w n a n ia z e s p o lo n e g o , k t ó r e b ęd zie m y z a p is y w a ć w p o s t a c i
x i (u ) - <*> (A, ( u ) , <*>) = x i (u ) - h ^ | A ),fc)jui ( X ,0, x i ( u ) ,0,0, u ) (6 5 )
J e ż e l i i X będą zm iennym i d o d a tn im i s p e łn ia j ą c y m i ró w n a n ie z e s p o lo n e (6 5 ) , t o f u n k c j ę lo so w ą
x ( t , u ) = 2 x i ( u ) R e ^ * A) ( t + x ) j , teQ,o>€Q (6 6) d l a d o w o ln y c h xeG uw ażać będziem y za p r z y b li ż o n e r o z w ią z a n ie ró w n a n ia (6 0 ).
P o n i ż e j pokażemy, że j e ż e l i i s t n i e j ą x i ( >)> 0 m od(P), X>0, to d o k ła d n e r o z w ią z a n ie ró w n a n ia (6 0 ) j e s t okresow e i ma p o s t a ć
x ( t , u ) = x (u ) + 2 x (u>)Refx<' ' ) ( t + T ) ] + T. , x (a>)x<A) ( t + r ) (6 7 )
0 1 ^ 1
J U
| k | k kg d z i e T € G o r a z ||xt ( ■ ) - x (• )|| , | X -X | , ||x (• )|| d l a i= 0 , ±2, ± 3 ... s ą lic z b a m i m ałym i.
U k ła d rów nań (6 3 ) p rz e p is z e m y w p o s t a c i dwóch u k ła d ó w równań, z k t ó r y c h p ie r w s z y z a w ie r a ró w n a n ia o num erach k * l
x (u ) = h f ; / A)] u ( A , x ( u ) , x ( u ) , x ( u ) u ) k =0~, 2 , 3... (6 8)
k ^ k J k 0 1 2
a d r u g i ró w n a n ie o numerze k = l, k t ó r e ma p o s t a ć
x j ((i)) = h ^ ‘X ,j u i ( A ,x o (w ),x i ( u ) , x2(ui) u ) (6 9 )
B ę d zie m y z a k ła d a ć d a l e j , że n a s t ę p u ją c e h ip o t e z y s ą praw dziw e:
T l ) X i Y o z n a c z a j ą dw ie p r z e s t r z e n i e Banacha n ie s k o ń c z o n y c h w ektorów, k t ó r y c h elem entam i s ą n-w ym iarowe z e s p o lo n e zm ienne lo so w e ty p u L2( n , 3 , P ; C n ). N ie c h
7) ( u ) : = jx *(t i> ),x *(Ł > ),x *(u )... J , w en.»
M ogą t o b y ć np. p r z e s t r z e n i e z normami:
( o \ 1/2
l h ( * ) | | x : = ( l ( i +*2 )||xk ( . ) | | 22j
(
l l - 0 ( ' > l l a2 * 2 l l l V > l l , 1\ 1/2k
’
Drgania okresowe i prawie okresowe 143
llT»( ‘ ) llX := SUPt € G| l Xk( , ) \ U )
3 1 k
g d z i e x € (G/H) , H j e s t n o rm aln ą p od grup ą w G;
k
Ihi(-)«, =■ [ IIV>lla
4 k
g d z i e z a ło ż o n o x ( * ) = x (• ) mod(P) V k . 1
- k k
1 2 ) P i ( I - P ) o z n a c z a ją p o d o b n ie j a k p o p rz e d n io o p e r a t o r y rzutow e Pr) : = ^0T, x ^ , 0 T, 0 T... j , ( I - P ) rj : = j x * , 0 T,X 2>x * ...j ■ W d a l s z y c h ro z w a ż a n ia c h używ ać będziem y n a st ę p u ją c y c h oznaczeń:
(U^tjHgO : = ^ u J (X ,x o>x ł , . . . , u ) , u ^ ( X , x o , x i u ) ...J (7 0 )
(A atj) (tu) : = [ [ h ( x ‘X ) , u ) x o) , ( h ( J;)A ) , U ) x i ) , [ h ( * ‘A ) , 0> ) x J ...] (7 1 )
[ 7 T T 1 T f T T T T 1 T
1} : = 0 , X j , 0 ,0 , . . . , a p r z e z S i 5^ normy ele m e ntu 0 ,1 ,0 ,0 , . . . o d p o w ie d n io w p r z e s t r z e n i a c h X i Y. Załóżm y, że p r z e s t r z e n i e X i Y s ą w d a l s z y c h ro z w a ż a n ia c h u s t a lo n e .
TW IERDZEN IE 8 .5 . Załóżm y, że s p e łn io n e s ą h ip o t e z y (T 1 -T 2 ) 1 p onadto:
( i ) i s t n i e j e n i e p u s t y z b i ó r D: ( X , x ^ ): | X - X | a r , k t ó r y n * e z a w ie r a w swoim w nętrzu, a n i na b rz e g u 3D, in n y c h r o z w ią z a ń ró w n a n ia
(6 5 ) p oza punktem ( X , x t ) o r a z in d e k s L e r a y a -S c h a u d e r a 1 ( $ , D) * 0
( i i ) V X e [ X - r , X + r ] o p e r a t o r U , o k r e ś lo n y r e l a c j ą (7 0 ), odw zorow uje k u lę
1 1 A
K (i), r ) p r z e s t r z e n i X w p r z e s t r z e ń Y, z a le ż y w s p o só b c i ą g ł y od p a ra m e tru X i s p e ł n i a w t e j k u l i w arunek L i p s c h i t z a
[lu x ,,1 ■ v 2IIy * a ( r - r . ) l K " 7ł2Hx* v v v u ( ’ , r ) ; (7 2 ) ( i i i ) o p e r a t o r o k r e ś lo n y r e l a c j ą (7 1 ) j e s t lin io w y m , zw artym p r z e k s z t a ł
ceniem p r z e s t r z e n i Y w X, zależnym w s p o só b c i ą g ł y od p aram e tru X € K (X , r i ), f u n k c j a h ( x j A ,,u ) j e s t c i ą g ł a V Xe'U (X, r^ );
( i v ) p ra w d ziw a j e s t n ie ró w n o ść
ą t r . r j < m in [ r - 5 xr if _ r- I - T i n f aD||$(X,xi .a,)||2) (7 3 ) g d z ie
q ( r . r i ):=suPx6<u(S:, r i )| ( I P )Ax U x(r+«xllX1ll2)0t{rr 1)
-144 Rozdział VIII
Wówczas ró w n a n ie (6 0 ) p o s ia d a r o z w ią z a n ie okre sow e
x (t,Ł > ) = x Q(u ) + 2x i ( u ) R e ^ 'V>( t ) j + 2 ^ | ^ R e ( t ) | (7 4 ) i p o n a d to z a c h o d z ą n a s t ę p u ją c e o sz a c o w a n ia r o z w ią z a n ia p r z y b li ż o n e g o (6 6):
llXr Xlll<r 2 ' ||[V°T’X 2’X3 ...
Dowód. N ie c h
m . x , ( I - P ) t j ) := ( I - P ) A xUaT7
W n o t a c j i o p e ra to ro w e j ró w n a n ie (68) można z a p is a ć w p o s t a c i
(I- P ) T I = r ( A , x i , ( I - P )tj) (7 5 )
D la k a ż d e g o u s t a lo n e g o p u n k tu ( A ^ J e D , j e ż e l i I I ( I - P )tj|| a r : = r - 5 r
11 MIX 3 X 1
to
IM |X s
||Phr5)||x+
||(I-P )(H -5 )| | X=
= l| P ( » - ^ llx + ||(I-P3n||x s 5xr i + r3 = r
W yn ika s t ą d , że j e ś l i || ( I-P)t)||x a r 3, llx 1- x 1ll2:Sr1> *-° ^ n a l e ż y do d z i e d z i n y o p e r a t o r a U^, a ( I - P ) i ) do d z i e d z i n y o p e r a t o r a T. O p e r a to r T p r z e k s z t a ł c a k u lę ||( I —P)tj||x—r3 p o d p r z e s t r z e n i ( I - P ) X w p o d p r z e s t r z e ń ( I —P )X i z a c h o d z i
* ą f r , ^ ) . x
o s z a c o w a n ie
| r ( ^ x1, ( i - P ) i ) | | x s | C I- P ) A a |y ^ x ||uad||y a
* s u p X6 ' i i ( X , r ł ) l ( I - p ) A A l Y ^ x ( r + 5 x l l x i l l 2) < x ( r ’ r i ) = q ( r ’ r ! )
J e ż e l i ' q ( r , r ) s r , to na mocy z a ł o ż e n ia ( i v ) , o p e r a t o r T od w zorow uje k u lę
||( I —P ) 'ł?|lx—r 3 w s i e b i e . Pokażemy, że j e s t w t e j k u l i zw ę ża ją c y. Z w arunku L i p s c h i t z a (7 2 ) d l a o p e r a t o r a U ., p raw d ziw ego w k u l i o p r o m ie n iu r > r w y n ik a
A 3
| | m , x lf (i-p) ^ ) - r ( x , x l f ( i - p ) n 2 ) | | (l_ ^
- P) X
* I ( I - P ) \ U X l l ^ d - P ) ^ - UX (I-P )T ,; <
2" Y
25 s u p A€ 7 i U , r i ) l ( I ‘ P )A x l Y ^ x a ( r »r i ) ll( I “P)7?i “ ( I “P)T,2Hx (7 6 ) Z w arunku (7 3 ) ła tw o w yn ik a , że T j e s t o p e ra to re m zw ężającym w k u l i
| | ( I —P ) 7ł|lx~r 3• U k ła d równań (6 3 = 7 5 ) ma w ię c w t e j k u l i d o k ła d n ie je d n o r o z w ią z a n ie
Drgania okresowe i prawie okresowe 145
s p e ł n i a j ą c e w arunek ||v||x s q ( r , r i ) i z a le ż n e w s p o só b c i ą g ł y od param etrów X i x ^ Podstawm y r o z w ią z a n ie (7 7 ) do ró w n a n ia (6 9 ). N ie c h d a l e j
F ( X , x i > w) : = h ^ A )j |^ui ( X , x0( x , x i ,(i)),xi , x2( x , x i , u ) u )
-- ui ( X , 0 , x i , 0 , 0 ...w ) j ( 7 8 )
b ę d z ie zw artym op e ra to re m zm iennych w o b s z a rz e D. Łatw o zauw ażyć, że
||F(X,xi ,w)||y = ||F(X,Xi ,<j)||2óy s a ( r , r^ ) ||v||x s ot(r, ^ ) q ( r , ^ ) (7 9 ) Z o s t a t n i e j n ie r ó w n o ś c i w ynika , że
||F(X,xi , u)||2 < i n f aD||$(X,xi , u)||2 a s t ą d , że
i n f aD||^(A,X i,Ł>) - F ( X , x i , ł i)||2 > 0
To d ow od zi, że o p e r a t o r y $ o r a z ł - F s ą hom o to p ijn e na 3D. Na p o d sta w ie w ła s n o ś c i h o m o t o p ii o p e ra to ró w zw a rty c h w ynika z z a ł o ż e n ia ( i ) , że
i ( $ - F , D ) * 0
a s t ą d , że ró w n a n ie (6 9 ) p o s ia d a we w n ę trzu o b s z a r u D co n a jm n ie j je dno r o z w ią z a n ie . Z i s t n i e n i a r o z w ią z a n ia ró w n a n ia (6 9 ) w yn ik a w p ro st i s t n i e n i e r o z w ią z a n ia u k ła d u równań (6 3 ), k t ó r e z a p isu je m y w p o s t a c i (7 4 ).
O sz a c o w a n ia d o k ła d n o ś c i r o z w ią z a n ia p r z y b liż o n e g o w y n ik a ją w p ro s t z d e f i n i c j i o b s z a r u D i n ie r ó w n o ś c i ( 7 6 ) . «
UWAGA 8 .3 . W k o n s t r u k c j i dowodu t w ie r d z e n ia 8 .5 w y k o r z y s t u j e s i ę warunek L i p s c h i t z a f u n k c j i n i e l i n i o w e j f. Można zauw ażyć, że z w arunku te g o można zre zy g n o w a ć ro zu m u ją c p o d o b n ie ja k w dow odzie t w ie r d z e n ia 8.3. A n a lo g ic z n ie , j e ś l i z a ło ż y m y c i ą g ł o ś ć o p e r a t o r a A , V uefi, z a ło ż e n ie o z w a r t o ś c i otrzym am y w s p o só b n a t u r a ln y , p oniew aż wówczas AA :C n — > Cn V ue£2 [ 2 4 5 - 2 4 6 ] . »