W r o z d z i a l e n in ie j s z y m ro zp a try w a n e będą z a g a d n ie n ia s t a b i l n o ś c i n i e l i n io w y c h u k ła d ó w d yn a m ic zn y c h o p is a n y c h s t o c h a s t y c z n y m i, n i e li n io w y m i rów na
n ia m i ca łko w ym i z d e fin io w a n y m i na lz g a . G.
I s t n i e j e w ie le ró ż n y c h d e f i n i c j i s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z n e j d l a ukła d ów n i e l i n i o w y c h . O g ó l n i e można p o w ie d z ie ć , że p o j ę c ia s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z n e j można ro z p a t ry w a ć ja k o k o m b in a cje k o n c e p c ji s t a b i l n o ś c i ty p u Lapunowa i L a g r a n g e ’ a d l a zd e te rm in o w a n yc h u k ła d ów d yn a m iczn ych [ 5 2 , 5 6 , 6 0 , 7 8 , 8 7 , 1 0 2 , 1 0 9 , 1 2 3 , 1 3 8 , 1 4 1 , 1 7 7 , 1 8 3 , 2 1 4 , 2 2 5 , 2 8 5 , 3 0 2 , 3 5 4 , 3 6 6 , 3 7 4 ] i ró ż n y c h ro d z a jó w z b i e ż n o ś c i z n a n y c h w t e o r i i m ia ry [ 2 0 , 2 8 , 3 3 , 4 0 , 9 2 - 9 4 , 1 0 5 , 1 4 9 , 1 5 7 , 1 6 3 , 2 2 5 , 2 7 9 - 2 8 0 , 3 1 3 , 3 1 5 , 3 1 8 ] .
W t e o r i i p ro c e só w s t o c h a s t y c z n y c h możemy w y ró ż n ić n a s t ę p u ją c e , d o b rze zna ne r o d z a j e z b i e ż n o ś c i:
( i ) z b ie ż n o ś ć j e d n o s t a jn a ; ( i i ) z b ie ż n o ś ć p ra w ie je d n o s ta jn a ;
( i i i ) z b ie ż n o ś ć p ra w ie w sz ę d z ie (z praw dopodobieństw em 1 = m o d (P ));
( i v ) z b ie ż n o ś ć w s e n s i e śre d n im (w Lm(fl,3 , P ) , m 2 l);
( v ) z b ie ż n o ś ć w e d łu g m ia ry.
W yn ika s tą d , że k o n c e p c j i s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z n y c h , n i e l i n io w y c h u k ła d ó w d y n a m ic zn y c h J e s t co n a jm n ie j p i ę c i o k r o t n i e w ię c e j n i ż w p rz y p a d k u zdeterm inow anym . P r z e g lą d t y c h d e f i n i c j i można z n a le ź ć w p r a c y Ahmeda, Teo [ 6].
Z e w z g lę d u na f a k t , że w n i n i e j s z e j p r a c y do o p i s u u k ła d ó w d yn a m ic zn y c h w y k o rz y s ty w a n y j e s t a p a r a t równań całko w ych, w a n a l i z i e s t a b i l n o ś c i n ie b ę d z ie sto so w a n a m etoda fu n k c jo n a łó w Lapunowa. Z a in t e r e s o w a n e g o c z y t e l n i k a o d s y ła m y do l i t e r a t u r y [ 2 2 5 , 2 7 9 -2 8 0 ,3 5 4 ].
W p rz y p a d k u g d y u k ła d f i z y c z n y o p is a n y j e s t równaniem całkow ym , p o j ę c ie s t a b i l n o ś c i Lapunowa t r a c i se n s. Na o g ó ł z o s t a j e ono z a s t ą p io n e o g ó ln ie j s z y m p o ję c ie m c i ą g ł e j z a l e ż n o ś c i r o z w ią z a n ia od f u n k c j i p o b u d z a ją c e j, p r z y czym c i ą g ł o ś ć j e s t o k r e ś lo n a np. p r z e z normę p r z e s t r z e n i B a nacha s y g n a łó w s t o c h a s t y c z n y c h , w k t ó r e j badamy ro z w ią z a n ie .
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 101
W c i ą g u o s t a t n i c h 30 l a t c z ę s t o t liw o ś c io w e k r y t e r i a s t a b i l n o ś c i układów zd e te rm ino w anych z czasem c ią g ły m , o p a rt e na w y n ik a c h S a n d b e rg a [2 1 4 - 2 1 7 ], Zam esa [3 02] i J a k u b o w ic za [3 7 7 - 3 8 2 ], b y ły r o z s z e r z a n e na w ie le sp o so b ó w .P ra ce C ord une a nu [ 5 2 ], D e s o e r a , V id y a s a g a r a [ 6 0 ], Ja k u b o w ic za [ 3 8 1 - 3 8 2 ], K u d re w ic za
[1 3 8 ] , H a r r i s a , V a l e n c i [1 0 9 ] d a j ą o b s z e rn y p r z e g lą d t y c h w yników , s z c z e g ó ł y można z n a le ź ć w p ra c a c h [ 3 , 1 5 , 1 8 , 2 3 , 3 1 , 4 3 , 4 7 - 4 8 , 5 1 - 5 2 , 5 7 - 6 2 , 7 8 , 8 5 - 8 6 , 8 8 , 9 8 - 100, 1 0 3 ,1 0 9 ,1 1 2 ,1 2 9 - 1 3 0 ,1 3 8 ,1 4 4 ,1 4 7 ,1 5 1 - 1 5 4 , 160, 162, 1 6 5 -1 6 6 , 169, 1 7 3 -1 7 4 ,1 7 6 - 180, 195, 2 1 3 - 2 1 7 ,2 2 5 ,2 8 5 ,2 5 4 - 2 5 5 ,2 9 2 - 2 9 6 ,3 0 0 ,3 0 2 , 350, 3 5 4 ,3 7 7 - 3 8 2 ] .
U k ła d y z czasem d y sk re tn y m n ie b y ły badane ta k in te n s y w n ie , n ie m n ie j je d n a k w ię k s z o ś ć w yników a n a lo g ic z n y c h do r e z u lt a t ó w o s i ą g n i ę t y c h w t e o r i i u k ła d ó w c i ą g ł y c h z o s t a ł a sfo rm uło w a na ró w n ie ż d la układ ów d y s k r e t n y c h , p a t r z np. [1 0 9 , 121, 1 4 1 ,2 1 3 ,2 7 2 ,3 6 5 - 3 6 6 ] .
O b sz e rn ą l i t e r a t u r ę d o t y c z ą c ą t e j te m a tyk i c z y t e l n i k z n a j d z ie w p ra c y C y p k in a i Popkowa [3 7 4 ] .
A n a l i z a s t a b i l n o ś c i s t o c h a s t y c z n e j c i ą g ł y c h układów d yn a m iczn ych o p a r a m e tra ch lo so w ych , k t ó r e o p is a n o za pomocą równań c a łk o w y c h ty p u V o l t e r r y 2 ro d z a ju , to p rz e d e w s z y st k im p ra c e Ahmeda [ 2 , 4 , 6 ] , S k r z y p c z y k a [ 2 0 4 ,2 2 7 - 2 3 3 ,2 4 4 ] , T s o k o s a , P a d g e t t [1 7 0 ,2 7 5 - 2 7 8 ], L ie w it a [348] o r a z [ 2 1 - 2 2 ,6 9 ,1 0 1 , 1 7 2 ,2 7 9 - 2 8 0 ] .
D e t e r m in is t y c z n e u k ła d y dynam iczne z d e fin io w a n e na lz g a . b y ł y a n a liz o w a ne, z p u n k tu w id z e n ia i c h s t a b i l n o ś c i , w p ra c y F a lb a ,F re e d m a n a ,Z a m e sa [8 7 ].
Pewne w y n ik i d o t y c z ą c e w ła s n o ś c i, p r o s t s z y c h od ro z p a t ry w a n y c h w p ra c y , u k ła d ów d y n a m ic zn y c h z d e fin io w a n y c h na p i e r ś c i e n i u abelowym p o d a l i Emre i K h a rg o n e k a r [ 7 3 - 7 4 ,1 3 3 ] , p a t r z ró w n ie ż [1 2 4 ].
W p r a c y o g r a n ic z o n o ro z w a ż a n ia d o ty c zą c e s t a b i l n o ś c i do p o ję ć zw ią z a n y c h ze s t a b i l n o ś c i ą w s e n s i e śre d n im , a le a n a li z a prow adzona j e s t w r o z s z e r z o n e j p r z e s t r z e n i e n e rg e t y c z n e j, co p ozw ala na u w z g lę d n ie n ie sy g n a łó w o n ie o g r a n ic z o n e j e n e r g i i ś r e d n ie j .
Podstawowe p o j ę c ia i d e f i n i c j e d o ty c z ą c e ro z p a try w a n y c h ro d z a jó w s t a b i l n o ś c i ukła d ów d yn a m iczn ych o p is a n y c h w ielow ym iarow ym i, losow ym i rów naniam i ca łko w ym i podane s ą w c z ę ś c i 7 . 1 . 1 n i n ie j s z e g o r o z d z i a ł u . N a stę p n e dw ie c z ę ś c i p r a c y z a w ie r a j ą w y n ik i d o ty c z ą c e s t a b i l n o ś c i u k ła d u o p is a n e g o równa
niem całkow ym w dwóch p rzyp ad k ac h : gd y c z ę ś ć n i e l i n io w a z a w ie r a s i ę w pewnym s e k t o r z e stożkow ym o r a z g d y n i e l i n io w o ś ć za w ie ra s i ę w s e k t o r z e o k re ślo n y m fo rm ą kw adratow ą w r o z s z e r z o n e j p r z e s t r z e n i sy g n a łó w L ’ .2 2
102 Rozdział VII
W c z ę ś c i 7 . 3 p rz e d s t a w io n e z o s t a ł y w ła s n o ś c i a sy m p to ty c z n e ro z w ią z a ń o r a z d od atkow e z a ł o ż e n ia , p r z y k t ó r y c h r o z w ią z a n ia x ( t , - ) d ą ż ą do z e r a p r z y
" t — » co".
P o k a za n o m ię d zy in n ym i, że znane do t e j p o r y w y n ik i t e o r i i u k ła d ó w c i ą g ł y c h i d y s k r e t n y c h , zarów no w p rz y p a d k u s to c h a sty c z n y m , j a k i d e t e r m i n i s tycznym , s ą w n io sk a m i z p r z e d s t a w io n e j p o n iż e j , o g ó ln e j t e o r i i s t a b i l n o ś c i u k ła d ó w d y n a m ic z n y c h z d e fin io w a n y c h na lz g a .
7 .1 . ST A B ILN O ŚĆ UKŁADÓW, KTÓRYCH CZĘŚĆ N IE LIN IO W A LEŻ Y W SEKTORZE STOŻKOWYM
U k ła d y d yn a m iczn e w t e j c z ę ś c i p ra c y ro z p a try w a n e będą j a k u k ła d y s t e r o w ania . P rzy p o m n ijm y (p o r. ro zd z. I I ) , że m atem atyczny m odel t a k i e g o u k ła d u d y n a m ic zn e g o można o p i s a ć ja k o p a r y sy g n a łó w s t o c h a s t y c z n y c h w e jś c io w y c h u i w y jś c io w y c h y, n a le ż ą c y c h d o pew nych p r z e s t r z e n i fu n k c y jn y c h , o r a z dow olną ( n i e l i n i o w ą ) r e l a c j ę A z d e fin io w a n ą na e le m e n tac h t y c h p r z e s t r z e n i , o k r e ś l a j ą c ą z w ią z e k m ię d zy s y g n a ła m i w ejściow ym i i w y jśc io w y m i p o s t a c i
y = Ax (1 )
Wprowadzone o k r e ś l e n i e d o p u sz c z a r e l a c j e w ie lo z n a c z n e , k t ó r e jednemu w e j ś c i u p rz y p o rz ą d k o w u ją k i l k a w i e l k o ś c i w y jśc io w y c h . J e ś l i o g r a n i c z y ć r o z w a ż a n ia do r e l a c j i je d n o z n a c z n y c h , to A b ę d z ie op e ra to re m , nazywanym r ó ż n ie : o p e ra to re m p r z e j ś c i a , o p e r a c j ą w e j ś c ie - w y j ś c ie it p .
7 . 1 . 1 . O z n a c z e n ia i d e f i n i c j e
W prow adzim y d o ro zw a ż a ń nową p r z e s t r z e ń s y g n a łó w s t o c h a s t y c z n y c h . N ie c h Q b ę d z ie d o m k n ię tą p o d p ó łg ru p ą lz g a . G, d l a k t ó r e j n (Q )> 0 . P ó łg r u p a Q o k r e ś l a c z ę ś c io w e u p o rz ą d k o w a n ie g r u p y G, p a t r z c z ę ś ć 2 .2 . Z a k ła d a s i ę d a l e j , że p ó łg r u p a Q j e s t u s t a lo n a .
D E F IN IC J A 7 .1 . P r z e s t r z e ń sy g n a łó w s t o c h a s t y c z n y c h x ( t , 6 ) ) , teG.wen t a k ic h , że x TeLp,q (G; Rn ) , V reG, p , q Ł l, o z n a c za ć b ęd zie m y L p,q(G ;R n ), s ta n o w i ona r o z s z e r z e n i e (ze w z g lę d u na p ó łg r u p ę Q) p r z e s t r z e n i L p,q(G ;R n ). ■
S t a b i l n o ś ć ro z p a t ry w a n y c h u k ła d ó w d y n a m ic zn y c h b ę d zie m y ro z u m ie ć w s e n s i e " w e j ś c i e - w y j ś c i e " , o g ó l n i e znanym w l i t e r a t u r z e [6 0 , 1 0 9 , 3 0 2 ] .
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 103
D E F IN IC J A 7 .2 . N ie c h o p e ra t o r A: L p,q(G ;Rn ) — > L p ' q (G ;R m), p , q s l . U k ła d d y n a m iczn y o p is a n y op e rato re m A nazwiemy s ła b o s t a b iln y m w s e n s i e śre d n im , j e ż e l i i s t n i e j ą nieujem ne s t a ł e r z e c z y w is t e y,0<a> t a k ie , że p raw d ziw e j e s t o sz a c o w a n ie
II(A x ) || s r||x H + 0 V T 6 Q ,x6 Lp,q(G )« (2 )
" T T " p , q 11 T " p , q e
D E F IN IC J A 7 .3 . U k ła d d yn a m iczn y o p is a n y o p e ra to re m A nazw iem y s t a b iln y m ( s i l n i e ) w s e n s i e śre d nim , j e ż e l i w r e l a c j i (1 ) możemy p r z y j ą ć / 3 = 0 . m
J e ż e l i d l a pewnego o p e r a t o r a A z a c h o d z i o sz a c o w a n ie ty p u (2), to umownie p rz y jm u je s ię , że o p e r a t o r A j e s t L p,q(G;Rn ) - s t a b i l n y .
O g ó ln ie można p o w ie d z ie ć , że j e ż e l i A0=0 m od(P), to z n ie r ó w n o ś c i (2 ), p r z y /3=0, można w nioskow ać o c i ą g ł o ś c i o p e ra to ra A w z e r z e 0 r o z s z e r z o n e j p r z e s t r z e n i L p,q(G ;R n ). Zauważmy m ię d zy in n ym i, że u k ła d d y n a m ic z n y s t a b i l n y w s e n s i e d e f i n i c j i 7 . 3 p o s ia d a s t a b il n e r o z w ią z a n ie zerowe. W y n ik a ją s t ą d ró w n ie ż pewne m o d y fik a c je d e f i n i c j i 7 . 3 s p o ty k a n e w l i t e r a t u r z e , p o r . [60, 3 0 2 ]. Można p o w ie d z ie ć , że n a j b a r d z ie j o g ó ln e s fo rm u ło w a n ie pow inno pokryw ać s i ę po p r o s t u z d e f i n i c j ą c i ą g ł o ś c i o p e ra to ra A w p u n k c ie 0eLp,q(G; Rn ) .
D E F IN IC J A 7 .4 . U k ła d d ynam iczny o p is a n y o p e ra to re m A : L p,q(G ;R n ) — » L p , q (G ;R m), p , q s l , nazywamy s t a b iln y m ( s i l n i e ) w s e n s i e śre d n im , j e ż e l i
V xeQ, e>0 3 6>0 V xe Lp,q(G): ||x || < 5 =* ||(Ax) || <c.m e " T " p , q " T ' ' p , q
O c z y w iś c ie , ze s t a b i l n o ś c i w s e n s ie d e f i n i c j i 7 . 3 w y n ik a n a t y c h m ia s t s t a b i l n o ś ć w s e n s i e d e f i n i c j i 7 .4.
W p od ob ny s p o só b można o k r e ś l i ć s t a b i l n o ś ć u k ła d u d yn a m iczn e go w in n y c h p r z e s t r z e n i a c h sy g n a łó w s t o c h a s t y c z n y c h , co może łą c z y ć s i ę z ro z m a ity m i wym aganiam i sta w ia n y m i ta k im układom. Na p r z y k ła d s t a b i l n o ś ć d r g a ń o k re so w ych w s t a n i e u s ta lo n y m wymagać b ę d z ie in n y c h p r z e s t r z e n i s y g n a łó w s t o c h a s t y c z n y c h , a n i ż e l i a n a l i z a stanów n i e u s t a lo n y c h w u k ła d a c h s t a b i l i z u j ą c y c h r u c h u k ła d u .
D la u p r o s z c z e n ia n o t a c j i będziem y d a l e j używ ać n a s t ę p u ją c e g o o z n a c z e n ia : ll*( - ' - > I U . q : = ! l * T C‘ . ->llp,q (4)
D E F IN IC J A 7 .5 . D la r e l a c j i o p is u j ą c e j zw ią z e k w e j ś c ie - w y j ś c ie u k ła d u d yn a m iczn e go A : L p,q(G ;Rn ) — > L p , q (G ;R n ) z d e fin iu je m y w ie lk o ś ć
104 Rozdział VII
y ( A) := in f ^ jy e R * : ||Ax||^t ^ s y llx llpT q + V x € L p,q(G; Rn ) , T € q | (5 ) k t ó r a nazyw ana b ę d z ie śre d n im w sp ó łc z y n n ik ie m w zm o c n ie n ia .»
O c z y w is t e j e s t . ż e j e ż e l i y(A)<oo, to u k ła d d yn a m iczn y j e s t s t a b i l n y . C z ę s to n o r m a liz u j e s i ę ró w n a n ia u k ła d u w t a k i s p o s ó b ,ż e z a c h o d z i A0=0, wówczas
( I M I ^
y ( A ) = su p | — ||x ||PT,q : x e L p,q(G; Rn) , reQ, x^*0 |
S z c z e g ó ln e z n a c z e n ie odgryw a w z a s to so w a n ia c h p r z e s t r z e ń L 2 ,2 (G ;R n ). W
e
c e l u u s t a l e n i a uw ag i p rzyjm ie m y, że w s z y s t k ie s y g n a ły w e jś c io w e i w y jśc io w e uk ła d ó w d y n a m ic z n y c h ro z p a try w a n y c h w tym r o z d z i a l e s ą elem entam i
(6)
p r z e s t r z e n i L 2 ,2 (G;IRn).
e
N ie c h d a l e j s p e ł n io n e będą n a st ę p u ją c e z a ło ż e n ia :
H I ) S b ę d z ie lin io w y m , sta c jo n a rn y m , przyczynow ym o p e ra to re m losow ym typ u V o l t e r r y - S t i e l t j e s a , o k re ślo n y m p rz e z m ia rę m acie rzow ą o w ah a n iu o g ra n ic z o n y m seMQ(G; L m( u , 3 , P; ^ ( R " , R m) )) o r a z n o ś n ik u s u p p ( s ) c Q , p o s t a c i
( S x ) ( t , u ) := f s ( d T , u ) x ( t - T , u ) , teQ, oeC2 (7 )
°t d l a d o w o ln y c h x e L 2, Z (G; Rn ) . ■
e
Mów iąc d a l e j o dowolnym sta c jo n a rn y m , lin io w y m i przyczynow ym o p e r a t o r z e losowym b ęd zie m y s t a l e uważać, że ma on p o s t a ć o p e r a t o r a c a łk o w e g o ty p u (7 ).
W p rz y p a d k u d e t e r m in is t y c z n y m n a t u r a l n ie m ia ra s ( - ) n i e j e s t lo so w a.
H2) L i n io w e , s t a c j o n a r n e i p rzyczyno w e o p e r a t o r y K ,C ,R s ą o k r e ś lo n e w a n a l o g i c z n y do ( H I ) sp o só b , o d p o w ie d n io p r z e z m ia r y n ie lo s o w e k , c i r . a
O p ie r a j ą c s i ę na k o n c e p c j i S a fo n o v a i A th a n sa [2 13 ] s fo rm u łu je m y p o n iż e j dw ie h ip o t e z y , k t ó r e o d gryw a ć będą podstawową r o l ę w d a l s z y c h ro z w a ż a n ia c h .
H3) N ie c h d a n y b ę d z ie o p e r a t o r K. Załóżm y, że i s t n i e j ą o p e r a t o r y C ,R i S o r a z l i c z b a r z e c z y w is t a e >0 ta ka , że
||s<y-c*)|k 2 * * llC .J m
V y= K x, x e L 2,2 (G ;R n), xeQ. Powiemy wówczas, że o p e r a t o r K n a le ż y do w n ę t rz a s e k t o r a sto ż k o w e g o o p aram e trac h ( C , R , S ) , c o oznaczam y d a l e j
K 6 I n t ^ S t | c , R , S ; L 2 ,2 (G;Rn) j j
Hs ( y - c x)||2T ,2 = | M | 2Tj2 (9 )
H4) Jeżeli
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 105
V x = K y , y e L 2 ,2 (G; Rn) , xeQ, to mówimy, że r e l a c j a od w ro tn a do K , o z n a -O
c zo n a d a l e j ( - K ) , le ż y poza se ktorem stożkow ym o p a ra m e tra c h (C , R , S ) , tz n .
( - K ) 1 <t S t^ C ,R ,S ;L 2 ,2 (G;Rn ) j ■
N o t a c j a A 1 używ ana b ę d z ie do o z n a c z e n ia o p e r a c j i o d w ro tn e j do A, tzn . A1 b ę d z ie r e l a c j ą p rz y p o rz ą d k o w u ją c ą k a ż d e j f u n k c j i y e L 2 ,2 (G ;R n ) j e j p r z e c iw - o b ra z , t j . z b i ó r f u n k c j i x e L 2’ (G;Rn ) t a k ic h , że y = A x . R e la c j a A j e s t zaw sze o k r e ś lo n a , nawet d l a o p e ra to ró w A, d la k t ó r y c h o p e r a t o r o d w ro tn y A n ie i s t n i e j e .
7 . 1 . 2 . U o g ó ln i e n i e k r y t e r iu m N y q u is t a
Weźmy pod uwagę w ie lo w ym iarow y u k ła d d yn am iczn y ze s p rz ę ż e n ie m zwrotnym, k t ó r y może b yć p r z e d s t a w io n y sch e m a tyczn ie ja k na r y s . 7 .1 . S y g n a ł y s t o c h a s t y c z n e z i v uw ażane będą za w ejściow e, s y g n a ły x i y z a w y jśc io w e . U k ła d można o p i s a ć z a pomocą dwóch równań op e ra to ro w yc h
y = F x (1 0 )
x = - K ( y + v ) + z (1 1)
g d z ie x , y , z , v e L 2 ,2 (G ;R ") o r a z K, F: L 2,2(G; Rn ) — -> L 2,2 (G ;R n ), o p e r a t o r F j e s t n i e l i n io w y .
R y s . 7 .1 . Schem at u k ła d u d ynam icznego ze s p rz ę ż e n ie m zw rotnym F i g . 7 .1 . Scheme o f a fe e d b a ck dynam ie syste m
106 Rozdział VII
108 Rozdział VII
D a ls z e k r o k i dowodu będą t y l k o s y g n a liz o w a n e . S z c z e g ó ło w e ro z w a ż a n ia s ą p o w tó rze n ie m t e c h n i k i z dowodu t w ie r d z e n ia 5. 7. Mamy zatem
l|2 _ „2
I N I « , a = | | R K (I+ C K r S 'y | | ^ 2 = ||RK(I+C K ) - 1S - 1? T ||^>.
J l|RK(I+ C K ) -1S _1y T C tt - )||2M (d t ) (2 8) Z n ie r ó w n o ś c i (2 8 ) w y n ik a
a f - ||r (z)ic (x .w ) ^ I + c ( x ) k ( x , u ) j s _1(Z )y T (x.Ł>)| m (d *)
m (d *) = y T C x.» ) = ||S(y-Cx)||
2 ■' ' ' 2 T , 2 2 T , 2
n a p o d s t a w ie r e l a c j i ( 2 6 -2 7 ). To k o ń c z y dowód t e z y lem atu w p ro st. □
(«•) P rzyp u ść m y, że h ip o t e z a (H4) j e s t s p e łn io n a . W ybierzm y c i ą g { y ( * , w ) } ’, k = l , 2, 3 ... o norm ach w L 2 (G ;Rn ) rów nych 1, m od(P) t a k i , że
1 = y k ( - , u ) — ||r (• )k( •, u) | l + c ( • )k( •, u)j s _1( - )yk(
: (*y ) k ( / , u ) | l + Ć ( * r ) k( *r ,a>)J W ) f . mod w)
(P )
d l a pew nego x eG, p r z y n — » co, por. tw. 5 .1 . To d ow odzi n ie r ó w n o ś c i (2 5 ). i
LEMAT 7 .3 . N ie c h K o z n a c z a o p e r a t o r c a łk o w y ty p u ( 7 ), a C ,R i S będą o p e ra t o ra m i n ie lo s o w y m l, s t a b il n y m i w L 2,2(Q ;R n) i p ona dto
i n f meJH | d e t ( r ( m ) ) | * ° - ' ( 2 9 )
W ówczas h ip o t e z a (H3) d l a o p e r a t o r a K j e s t s p e ł n io n a w tedy i t y l k o w te d y ,g d y
A 2 2 A n A
3 e>0 V x e L ’ (G ;R ), *e G j e s t s p e łn io n a n ie ró w n o ś ć
s(x) w)-c(x)jx(x,w) - r ( *) x(x, u) x( x, w) m od(P) (3 0 )
Dowód. (=>) Załóżm y, że r e l a c j a (3 0 ) j e s t praw dziw a. N ie c h x = Rx. D la y = K x mamy
l|2 _ n „ , „
||S(y-c x)||2T 2 = ||S(K-C)x||2x 2 = ||S(K-C)R_1x|[2t 2 (3 1 ) K o r z y s t a j ą c z f a k t u , że o p e r a t o r R j e s t p rzy c zy n o w y i w y k o r z y s t u j ą c t w ie r d z e n ie P a r s e v a l a [3 1 8 ,3 1 9 ] rów ność (3 1 ) można kontynuow ać
||S(y-Cx)||2T 2 = ||S(K-C)R-1x ||L. s [ ||(S(K-C)R_1x )(t,-)||ji(dt) = J o
= I ‘ (k t * - ' m(dj;) s
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 109
XT( X . •) r‘ (z)xT (x.•) m (d*) (3 2)
g d z i e o s t a t n i a n ie ró w n o ś ć w y n ik a z o sza c o w a n ia (3 0 ). P onow nie w y k o r z y s t u ją c t w ie r d z e n ie P a r s e v a la otrzymamy
Hs ( y - CX)||2T, 2 * J J • >||a - El (R_1XT) ( t , •) U i( d t ) =
= | ||xT (t . •) ł i( d t ) - e j | ( R '‘x T ) ( t . •: f i( d t ) =
||2!i2 T , 2
l f t j l » . 2 - e HR' " x l l L . 2 " M
S IIR< . 2 - E' ( K t, 2 + I M | 2t>2)
g d z i e e '= c / ( l + y 2 ( K ) ) p onie w aż K j e s t op e rato re m L 2’2 (Q; Rn ) - s t a b iln y m . □
(«=) Rozum ow anie d la w arunku k o n ie c z n e g o prow adzim y w t a k i sam sp o só b , ja k w d o w o d zie le m atu 7 .2 . To k o ń c z y dow ód.■
PRZYKŁAD 7 .1 . Weźmy pod uwagę jednowym iarow y u k ła d c i ą g ł y , G=R , Q=R+.
N ie c h d a l e j
c (ii> ) : = c (li> ) r ( ii> ) := r ( i l > ) s ( i i O g d z ie ye R 1 o r a z s p e ł n io n y j e s t n a s t ę p u ją c y warunek
2 2
k (it>,w ) - c (ii> ) s r ( i v ) - c - (3 3 ) d l a pewnego c>0, V yeR1, m od(P). N ie ró w n o ść (3 3 ) j e s t w arunkiem w y s t a r c z a j ą cym, a b y z a c h o d z i ł a r e l a c j a (3 0 ). Zatem o p e r a t o r lo so w y K generow any p rz e z m ia rę lo so w ą k le ż y w ew nątrz s e k t o r a stożkow ego, tzn.
K e I n t | s t | c , R , S ; L 2 ,2 (G;IRn ) j j
I n t e r p r e t a c j a ge o m e tryczn a w arunku (3 3 ), d l a je d n e j z m o żliw y c h r e a l i
-A j
z a c j i p r o c e s u k ( ii> , u o ), w^en, i>eR , p rz e d s t a w io n a z o s t a ł a na r y s . 7 . 2 . «
LEMAT 7 .4 . N ie c h f (x, u ) , xelRn, wen, b ę d z ie n i e l i n io w ą f u n k c j ą losow ą, k t ó r a od w zorow uje Rnx n — » Rm i s p e ł n i a w aru n ki C a r a t h e o d o r y ’ ego. G e n e ru je ona o p e r a t o r n i e l i n i o w y F
( F x ) ( t , w ) := f ( x ( t . u ) , w ) , teG, x e L 2 ,2 (Q ;Rn ) (34)
° -l
Z ałó żm y, że C,R i S będą s t a ły m i m acie rzam i o r a z że S i s t n i e j e . Wów
c z a s h ip o t e z a (H3) d l a o p e r a t o r a F j e s t s p e łn io n a w tedy i t y l k o w tedy, g d y
1 1 0 Rozdział VII
| | S ( f(x (t , •). •) - C x ( t . - ) ) | | 2 s ||Rx(t,-)||2 - c||x(t,-)||2 (3 5 ) V x e L 2 ,2 (Q; IRn ) , teQ.
©
Dowód. (=») N ie c h y ( t,<j) : = f ( x ( t , w ) , u ) i n ie ró w n o ś ć (3 5 ) j e s t s p e łn io n a . W y n ik a s t ą d , że
(||Sy(t. ■ )||2 - ||SCx(t,.)||2) 2 ^ ||Rx(t, • )||2 - c||x( t, • )||2 s ||Rx(t, • )||2 V teQ
||Sy(t,-)||2 - ||SCx(t,-)||2 s ||Rx(t, - )||2 V teQ (3 6 )
P rzyp o m n ijm y, że <r (S ) (<r ( S ) ) o z n a c z a n a j w ię k s z ą (n a jm n ie js z ą )
max mi n ^
w a r t o ś ć w ła s n ą m a c ie rz y h e r m it o w s k ie j S S. Z n ie r ó w n o ś c i (3 6 ) w y n ik a n a s t ę p u ją c e o s z a c o w a n ie
er (S)| | y(t, - )|l - <r (S)<r (C)||x(t, • )|| s <r (R)||x(t, • ) | l, V teQ
mi n " " 2 max max 11 " 2 max 11 " 2
a s t ą d w o c z y w is t y s p o só b
||y(t, -)||2 S a||x(t, -)||2, V teQ (3 7 )
o' (R ) o* (S)o- (C)
j i max ®a x ma x , . , . , ,
g d z i e a = — ---- + --- - --- ^ --- . Na p o d sta w ie n ie r ó w n o ś c i (3 7 ) mamy
mi n m i n
||S(Fx-Cx)||2t 2 = f ||S(f ( x ( t , - ) , - ) - C x ( t , - ) ) | | 2f i( d t ) s
° r
S | ^||Rx(t, • )||2 - e||x(t, •) )||2j n ( d t ) S
* f [l|R*<t.)|g C' (| | x ( t . ) >| | | . | | y < t . . » | g ) } i i ( a t >
-- I M Ł . 3 -- * I I C . J d l a c ' s e / ( l + a ). O s t a t n ia n ie ró w n o ś ć dow odzi t e z y le m a tu .a2
(<=) Z ałó żm y, że h ip o t e z a (H3) j e s t s p e łn io n a . N ie c h x ( t ,cj)=xo ((<>) mod(P) b ę d z ie zm ie nną lo so w ą e pewną s t a ł ą d o d a t n ią . Mamy d a l e j
| |S(f(xo ( - ) , - ) - C x o (.))| | 2 = - ^ | | s(Fx o-Cx o)||2t 2 *
* t ^ K i i l,2 -c(i m :x,2 h m i22t ,2) )
-- (llRXoll2T,2 - CHXoII22T , J = llRX0( - } ll2 - e llX0( - ) ll2 co k o ń c z y dowód. ■
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 1 1 1
PRZYKŁAD 7 .2 . N a le ż y z a z n a c z y ć , że w s y t u a c j i , g d y u k ła d d yn a m iczn y ( 1 0 - 1 1 ) j e s t jednow ym iarow y, możemy p r z y j ą ć np. , że S = l, C = A ,R = r, g d z i e ^.relR1.
N ie r ó w n o ś ć (3 5 ) p r z y jm ie w tym p rzyp a d k u p o s t a ć
II2l,2T,2
||y-Xx|r . * r “||xir . " G- w „ . , - * K , . , ) - r i K . , (38)
R y s . 7 . 2 . I n t e r p r e t a c j a ge o m e tryczna w arunku c z ę s t o t liw o ś c io w e g o F i g . 7 .2 . G e o m e t ric a l I n t e r p r e t a t i o n o f a f r e q u e n c y c o n d i t io n
R y s . 7 . 3 . In t e r p r e t a c j a ge o m e tryczn a s e k t o r a sto żk o w e g o F i g . 7 .3 . G e o m e t ric a l i n t e r p r e t a t i o n o f c o n ic s e c t o r
1 1 2 Rozdział VII
O trzym an a r e l a c j a j e s t podobna do r e l a c j i z n a n e j z a n a l i z y s t a b i l n o ś c i u k ła d ó w c i ą g ł y c h , p o r . [ 1 3 8 , 2 1 4 -2 1 6 ,3 0 2 ]. Z n ie r ó w n o ś c i (3 8 ) w y n ik a m ię d zy in n y m i, źe
IMI„>a* <|r|*M)|HI„ła
a w ię c u k ła d y o p is a n e r e l a c j ą (3 8 ) mają o g r a n ic z o n e ś r e d n i e w zm o cn ie n ie ( c z y l i w s p ó łc z y n n ik y ( - ) w p r z e s t r z e n i L 2 ,2(Q; IRn ) ), p a t r z r y s . 7. 3. J e ż e l i r= 0 , mamy do c z y n i e n i a z układem lin io w y m .»
7 . 1 . 3 . S t a b i l n o ś ć z ło ż o n e g o u k ła d u d ynam iczne go
Zajm iem y s i ę p o n iż e j sfo rm uło w a nie m warunków s t a b i l n o ś c i z ło ż o n e g o , w ie lo w ym iarow e go u k ła d u d yn am iczn e go w p rz y p a d k u losowym. Z ałó żm y, że u k ła d d y n a m ic z n y ma budowę j a k na r y s . 7 .4 .
R y s . 7 .4 . Schem at z ło ż o n e g o syste m u w ie lo w ym ia row e go F i g . 7 .4 . Scheme o f a composed m u lt id im e n s io n a l sy ste m
P rz y jm ie m y d a l e j n a s t ę p u ją c e o z n a c z e n ia : F := d ia g |F , F ,
L 1 2 (3 9 )
C : = d ia g
|c
,C ,.L 1’ 2* (4 0 )
R := d ia g j[r ,R , L 1 2
. . . , R n] (4 1 )
S := d ia g j S
1 ,s
2, (4 2 )Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 113
g d z i e C , R , S s ą m acie rzam i k la tk o w ym i, n a to m ia s t r e l a c j a d i a g ^ . F ^ , ...fJ j e s t z d e fin io w a n a w sp o só b n a st ę p u ją c y :
d i a « [ Fl ’ F3 FN] [ v
*2
Xn]T=[ (F1
XX)T’ (F2X2)T < W T] T^zj , z 2... z j o z n a c z a m a c ie rz k la tk o w ą , k t ó r e j kolum nam i s ą w e k to ry
z , z z .
1 2 N
U k ła d d y n a m iczn y p rz e d s t a w io n y na r y s . 7 .4 j e s t o p is a n y systemem w ie lo w ym iarow ych równań n i e li n io w y c h
y = F x , i = l , 2 , 3 N (4 3 )
l i i
o r a z w ielow ym iarow ym lin io w y m równaniem operatorow ym (całkow ym )
x = z - K (y + v ) (4 4 )
g d z ie r _ T T
« - [ « i . « ; ... *;]
? - [ y > i... < f
■ [ w ... 4
r t T , ] T
:= z , z ...z
L i* 2 J
K := [k. J , l , j = l , 2 N v
z
i e le m e n ty m a c ie rz y k la tk o w e j K s ą w ielow ym iarow ym i, lin io w y m i, s t a c j o n a rn y m i i p rzyczyn o w ym i o p e ra to ra m i całkow ym i V o l t e r r y - S t i e l t j e s a o param et
r a c h lo so w y c h , p o s t a c i (7 ).
LEMAT 7 . 5 . J e ż e l i d l a w s z y s t k ic h 1 = 1 , 2 N s p e ł n io n a j e s t h ip o t e z a (H3) d l a o p e ra to ró w F i o d p o w ie d n io (C ,R , S ), to h ip o t e z a (H3) j e s t praw dziw a ró w n ie ż d l a o p e r a t o r a F i t r ó j k i ( C ,R ,S ).
Dowód. W ynika p r o s t o z d e f i n i c j i o p e ra to ró w ( 3 9 - 4 2 ) . »
TW IERDZEN IE 7 .6 . Załóżm y, że i s t n i e j ą o p e r a t o r y C ,R i S, k t ó r e s ą l i n i o - s t a c j o n a r n e , p rzyczyn o w e or.
s p e ł n io n e n a st ę p u ją c e z a ło ż e n ia :
we, s t a c j o n a r n e , p rzyczyn o w e o r a z s t a b i l n e w L^(Q;IR ). N ie c h p o n a d to będą
114 Rozdział VII
( i i ) ł n f me!Hl | d e t ( ? ( m) ] | 54 0>
i n f m€W <m) ) | * 0;
( i i i ) d l a w s z y s t k i c h 1 = 1 , 2 ... N s p e łn io n a j e s t h ip o t e z a (H3) d l a o p e ra to ró w F ( i o d p o w ie d n io (C ,R , S );
( i v ) lo so w e o p e r a t o r y F i K o p is u j ą c e u k ła d d yn a m iczn y ( 4 3 - 4 4 ) s ą p r z y c z y nowe 1 u k ła d j e s t L 2’2 (Q ;Rn ) - s t a b i l n y w p rzy p a d k u , g d y d la 1 = 1 , 2 N;
( V ) s u p ^ - P - e s s su p u 6 n « ^ ( h t a . « ) ) a 1,
g d z ie h ( x , w ) = r ( * ) k ( x , w ) ^ I+ c ( * ) k (*,a>)j s ( * ) . Wówczas u k ła d d y n a m iczn y ( 4 3 - 4 4 ) j e s t s t a b i l n y w L 2,2 (Q ;R n ).
Dowód. Na p o d s t a w ie z a ł o ż e n i a ( i v ) z lem atu 7 . 5 w y n ik a w s p o s ó b o c z y w is ty , że s p e ł n i o n a j e s t h ip o t e z a (H3) d la o p e r a t o r a F i t r ó j k i ( C , R , S ) . Z wa
ru n k u ( v ) i p o z o s t a ły c h z a ło ż e ń w yn ik a , że s p e łn io n e s ą wymogi le m atu 7 .2 , a zatem d l a r e l a c j i ( - K ) 1 s p e ł n io n a j e s t h ip o t e z a (H4).
Na p o d s t a w ie ud ow od nione go w c z e ś n ie j t w ie r d z e n ia 7. 1 w n io sk u je m y zatem, że t e z a t w ie r d z e n ia z o s t a ł a u z a s a d n io n a . ■
UWAGA 7 .7 . Można zauw ażyć, że j e ż e l i m a c ie rz K (m ,u ) j e s t o d w ra c a ln a V tneJH, m od(P), to w arunek (v ) można z a p is a ć in a c z e j
( v ') i n f - P - e s s i n f „ <r ( u ( x , ł > ) 1 ł 1 ,
* 6 G u e Q mi n ^ J
g d z i e u ( x , ł > ) = s ( * ) ^ c ( * ) + k ( x , w ) j r ( * ) • ■
7 .2 . ST A B ILN O ŚĆ UKŁADÓW, KTÓRYCH CZĘŚĆ N IE LIN IO W A LEŻY W SEKTORZE OPISANYM FORMĄ KWADRATOWĄ
W ro zp a tryw a nym w c z ę ś c i 7 .1 złożonym u k ła d z i e dynam icznym n i e l i n i o w a c z ę ś ć u k ła d u o p is a n a b y ł a r e l a c j ą n ie r ó w n o ś c i d l a pewnej s z c z e g ó ln e j fo rm y kw a d ra to w e j.
S t a b i l n o ś ć c i ą g ł y c h u k ła d ó w d y n a m ic zn y c h w p rz y p a d k u d e t e rm in is t y c z n y m , k t ó r y c h c z ę ś ć n i e l i n i o w a o p is a n a b y ł a r e l a c j ą n ie r ó w n o ś c i d l a pew nych o g ó l n y c h fo rm kw ad ratow ych, in t e n s y w n ie b a d a ł J a k u b o w ic z [ 3 7 7 -3 8 2 ], p o r. ró w n ie ż
[ 1 3 8 , s t r . 1 90 ].
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 115
Z a g a d n ie n ia z w ią z a n e z r e l a c j ą m iędzy s t a b i l n o ś c i ą w e j ś c i e - w y j ś c ie i s t a b i l n o ś c i ą w s e n s i e Lapunowa, o p a rt e na p o j ę c iu tzw. ( Q , S , R ) - d y s s y p a t y w - n o ś c i badane b y ł y p r z e z H i l l a i M o yla na [1 1 2 ,1 7 4 ].
Na p rz y p a d e k c i ą g ł y c h ukła d ów s to c h a s t y c z n y c h , o p a ra m e tra c h lo so w ych , w y n ik i J a k u b o w ic z a z o s t a ł y r o z s z e r z o n e p rz e z L ie w i t a [3 8 4 ] o r a z S k r z y p c z y k a
[ 2 2 7 , 2 2 9 - 2 3 2 ] .
B a d a ny b ę d z ie ro z p a t ry w a n y w c z e ś n ie j u k ła d d y n a m iczn y z dwoma w e jś c ia m i o p i s a n y ró w n a n ia m i (1 0 - 1 1 ) . Załóżm y, że praw dziw a j e s t h ip o t e z a :
H5) R e la c j a o p i s u j ą c a u k ła d n i e l i n io w y F ma p o sta ć : Di ( y , x ) + 0 ł 0
g d z ie 0łO i D ^ t -) j e s t pewną form ą kw adratow ą zm ie n n ych y i x w w ie lo w ym ia ro w e j ( z a le ż n e j od wymiarów w ektorów y i x ) r o z s z e r z o n e j p r z e s t r z e n i L 2’2 (Q; Rn ) . ■
P o n iż e j p rz e d s t a w io n e z o s t a n ie d o ść o g ó ln e t w ie r d z e n ie d o t y c z ą c e s t a b i l n o ś c i w s e n s i e śre d n im , k t ó r e j e s t ro z s z e rz e n ie m z n a n y c h w yników [1 3 8 ,2 2 7 , 3 7 7 - 3 8 2 ] , na p rz y p a d e k lo so w y c h układów d ynam icznych o k r e ś lo n y c h na lz g a . G.
Załó żm y, że w d a l s z y c h ro z w a ż a n ia c h x j e s t u s ta lo n y m elementem p ó łg r u p y Q'cG.
TW IERDZEN IE 7 .8 . J e ż e l i llK ll2T 2<c° 1 D1( y ' x ^+P - 0 - a p o n a d to fo rm a kw ad ra
towa Di ( y , K y ) j e s t u je m n ie o k r e ś lo n a , to u k ła d d y n a m ic zn y ( 1 0 - 1 1 ) j e s t s ła b o s t a b i l n y w L 2 ,2(Q; Rn ).
Dowód. Oznaczym y p r z e z
D (w ,v) := D (w+v) - D (w) - D (v )
2 1 1 1
form ę d w u lin io w ą i p r z e z 2q normę fo rm y D [120, s t r . 1 91 ]. Otrzym am y d a l e j Dj ( y , K ( y + v ) + z ) =
= Di ( y , K y ) + D i ( 0 , K v ) + D i ( 0 , z ) + D 2 ^ 0 , K v } - , - { y , K y ^ + D 2 | - j 0 , z | - , - { y , K ( y + v ) }.j s
s D ^ y . K y ) + Dt ( 0 , K v ) + D ^ O . z ) + 2 q || K v || 2T y , KyHI2T, 2 +
+ 2q||z||2T ,2IM y . K (y +v ) (4 5)
P o n ie w a ż D ^ y ,x)+ 0łO, a form a kwadratowa Dt (y,Ky)s-5||y||2^ 2> 6>0, w ię c n ie r ó w n o ś ć (4 5 ) można z a p is a ć w p o s t a c i
- a l l C , , • q | M | ^ . * 4 s (| | y| gT a . M L , , ) ’" *
* 2<|II z i Ł , 2 ( i m i L , 2 * HK ( y * v ) i Ł . J * “ 1 0 ( 4 6 >
116 Rozdział VII
2 +
c z y l i
2 T , 2 "
Po p r o s t y c h o s z a c o w a n ia c h z n ie r ó w n o ś c i (4 6 ) w y n ik a ,ż e
- » i m t . , • 2 q ( ‘ * i M t . J ' / 2 ( i w u . J M i « . s * i m u J i m u
* " ( m u , ! * M U J H U . i ) * B ‘ 0
* ( ł )
a s t ą d w y n ik a , że u k ła d (1 0 -1 1 ) j e s t s ła b o s t a b i l n y w L 2 ,2 (Q ;R n ) . «
Z t w ie r d z e n ia 7 . 8 w y n ik a , j a k o i n t e r e s u j ą c y w n io s e k , t w ie r d z e n ie S k e le t o n a d l a u k ła d ó w d e t e r m in is t y c z n y c h [8 7].
PRZYKŁAD 7 .3 . N ie c h form a kwadratowa o p i s u j ą c a je dno w ym iarow ą r e l a c j ę n i e l i n i o w ą ma p o s t a ć
D ( y , x ) := f y ( t ) x ( t ) j i ( d t ) - < x f | y ( t ) |2| i(d t) ł 0 , teQ
J n J /■» (4 7 )
g d z i e a j e s t u s t a l o n ą l i c z b ą r z e c z y w is t ą . «
Możemy ła tw o ud ow od nić n a s t ę p u ją c y w ynik.
WNIOSEK 7 .9 . Weźmy pod uwagę jednow ym iarow y u k ła d d y n a m ic z n y (1 0 - 1 1 ) . J e ż e l i f u n k c j a n i e l i n i o w a (1 0 ) s p e ł n i a w arunek (4 7 ) i p on a d to:
( i ) SUP^€Ć p _ e s s | k ( *. w) | < «;
( i i ) su p ^ g * P - e s s su p ug£J Re |k(*,Ł>)j < a;
to ro z p a t r y w a n y u k ła d d y n a m iczn y j e s t s i l n i e s t a b i l n y w L Z ,2 (Q;IRn ) . ■
J a k ła t w o zauw ażyć, w p rz y p a d k u u k ła d u c i ą g ł e g o i d e t e r m in is t y c z n e g o , otrzym u je m y z n a n y w y n ik [ 1 3 8 , s t r . 142].
PRZYKŁAD 7 .4 . N ie c h fo rm a kwadratow a o p i s u j ą c a r e l a c j ę jednow ym iarow ą ma tym razem p o s t a ć :
D ( y , x ) : = /?f | y ( t ) |2j i( d t ) -
f
y ( t ) x ( t ) | i ( d t ) i 0, teQ (4 8 ) g d z i e j e s t u s t a l o n ą l i c z b ą r z e c z y w is t ą . «Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 117
WNIOSEK 7 .1 0 . J e ż e l i f u n k c j a n ie li n io w a (1 0 ) s p e ł n i a w arunek (4 8 ), j e s t s p e ł n i o n y w arunek ( i ) w n io sk u 7 .9 i ponadto
( i ) i n f ^ ^ " P - e s s Re ^ ( x , w ) | > /3;
to u k ła d d y n a m ic zn y ( 1 0 -1 1 ) j e s t s i l n i e s t a b i l n y w L 2’2 (Q; IRn ) . ■
P o w y ż sz y w y n ik j e s t ró w n ie ż znany w t e o r i i ukła d ów c i ą g ł y c h [1 3 8 ].
7 .3 . WŁASNOŚCI ASYMPTOTYCZNE
R o z w a ż a n ia t e j c z ę ś c i p ra c y o p a rt e s ą na n a stę p u ją c y m le m acie .
LEMAT 7 .1 1 . J e ż e l i q j e s t l i c z b ą rz e c z y w is t ą , l<q<co i q '= q / ( q - l ) o r a z k eLq (G;IR1 ) i x e L q< (G;IR1 ), to c a łk a
v ( t ) : = f k ( t - T ) x ( r ) n ( d r ) G
( i ) i s t n i e j e V teG i o k r e ś l a fu n k c ję z p r z e s t r z e n i Cq(G; (R1);
( i i ) j e ż e l i k e L 1 (G ;R 1 ) i X6L°°(G;IR1), to c a łk a i s t n i e j e V teG i o k r e ś l a f u n k c j ę j e d n o s t a j n i e c i ą g ł ą z p r z e s t r z e n i C (G ;R 1)c C (G ;R 1);
( i i i ) j e ż e l i s p e łn io n e s ą w a ru n ki p u nk tu ( l i ) i p o n a d to xe L (G ;R ), to s p l o t v j e s t f u n k c j ą z Cq(G ;R 1).
Dowód. A d . ( i - i l ) p a t r z [3 7 2 ,s t r . 376].
Ad. ( i i i ). Dowód p rze p ro w a d zo n y z o s t a n ie metodą n ie w p ro st. F u n k c ja v n a le ż y do L 2 (G ;R 1 )nC (G jR 1). Wobec te g o V e>0 I s t n i e j e o t o c z e n ie U p u n k tu e t a k ie ,
U
że | v ( t ) - v ( s ) | s e V t , s : t - s e U . J e ż e l i v t C (G ;R 1) , t o wówczas 3 e >0, t a k ie , że
i i o o
d l a d ow olne go z b i o r u z w a rte go FcG i s t n i e j e t e F ', d l a k t ó r e g o | v (t )| ŁeQ-P o n ie w a ż v ( ■ ) j e s t n ie ujem ną f u n k c j ą m ie r z a ln ą ta k ą , że2
f v 2 ( t ) f i ( d t ) < co
• ' g
w ię c i s t n i e j e f u n k c j a y o k r e ś lo n a na G taka, że 0 s y ( t ) 5 v2 ( t ) , V teG o r a z
J y ( t ) f i ( d t ) = J v 2 (t ) / i( d t )
G G
P o n a d to d l a d o w o ln e j l i c z b y r z e c z y w is t e j a łO z a c h o d z i, że z b i ó r teG: y ( t )> a j- j e s t o— zw a rty . N ie c h A = •{ teG: y ( t )> 0 }•. P ra w d ziw y j e s t c i ą g n ie r ó w n o ś c i
J v 2 ( t ) n ( d t ) ł J v 2 ( t ) n ( d t ) — J* y ( t ) f i ( d t ) = J y ( t ) j j ( d t ) = J v 2 (t )fx (d t )
G A A G G
118 Rozdział VII
a na t e j p o d s t a w ie
I" v 2 ( t ) j i( d t ) = f v 2 ( t ) f i ( d t )
A
P o n ie w a ż A j e s t z b io re m <r-zwartym, i s t n i e j ą z w a rte p o d z b io r y G ^ .G ^ G , ..
g r u p y G t a k i e , że G cG n n+1 d l a w s z y s t k ic h n a t u r a ln y c h n, s p e ł n i a j ą c e w arunek
00
u Gn = A n = 1 T a k i w ybór z b io r ó w G p o c ią g a za sob ą, że
n
f v 2 (t )> j(d t ) = lim I" v 2 ( t ) ) i ( d t )
C n - * ° J G
n
lim f v 2 ( t ) f i ( d t ) = 0 (4 9 )
n —>oo J G\Gn
CO 00
I s t n i e j e t a k i p u n k t t Qe (J G^, że t Q+Uc U G^. Można to ła tw o w ykazać.
k= n + 1 k = n +1
D a le j mamy
v 2 ( t ) n ( d t ) ł f v 2 ( t ) n ( d t )
•*0X0 ■'t +u
n 0
N ie c h £q=2e. Z j e d n o s t a j n e j c i ą g ł o ś c i v w yn ik a , że V t : t - t ^ e U
|V( t ) | Ł |V( t Q) | - |V( t ) - v ( t Q)| Ł 2C - € = E a s t ą d w y n ik a , że
v 2 (t )^ t (d t ) Ł e2m(U) > 0 t +u
o
co d ow od zi s p r z e c z n o ś c i z (4 9 ). To k o ń c z y dow ód.«
O p ie r a j ą c s i ę na le m a c ie 7 .1 1 sfo rm u łu je m y p o n iż e j lem at d l a f u n k c j i o w a r t o ś c ia c h w ektorow ych, k t ó r y w y k o rz y s t a n y z o s t a n ie w a n a l i z i e w ła s n o ś c i a s y m p to ty c z n y c h n i e l i n io w y c h ukła d ów s t o c h a s t y c z n y c h .
LEMAT 7 .1 2 . N ie c h q i q ' będą t a k i e same j a k w le m a c ie 7 .1 1 . J e ż e l i p o n a d to k 6 L q (G ;L"(£2,3,IP;ie(IR“,R n) ) ) i x e L q< (G; L 2 (fi, g, P; r" ) ), to c a ł k a
v ( t , u ) = f k ( t - x ,u)x(t, u)fx(dT) G
( i ) i s t n i e j e V teG, m od(P) i j e s t f u n k c j ą lo so w ą z Cq(G ;L 2 (Q, g, P; Rn ) );
( i i ) j e ż e l i k e L 1 (G; L°°(fi, g, P; ^ (r”,R n ) ) ) i x e L " ( G ; L 2 (n, g ,P ; R ™ )), to c a ł k a i s t n i e j e m o d (P), V teG i o k r e ś l a f u n k c ję j e d n o s t a j n i e c i ą g ł ą w s e n s i e śre d n io kw a d ra to w ym , t j . veC (G; L 2 (Q, g, P; Rn ) );
u
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 119
( i i i ) j e ż e l i s p e ł n i o n e s ą w aru n ki p unktu ( i i ) o r a z x e L 2 (G ;L 2 (Q, g , P ; R m) ), to s p l o t j e s t f u n k c j ą lo so w ą k l a s y Cq(G; L 2 (£2, g, P; Rn ) ).
Dowód. W yn ika z rozum ow ania a n a lo g ic z n e g o d o p rze p ro w a d zo n e go w d ow od zie le m atu 7 .1 1 i t e o r i i c a ł k i w p r z e s t r z e n ia c h w ektoro w ych [ 6 4 ,3 1 5 ] .»
Możemy t e r a z sfo rm u ło w a ć w y n ik i d o t y c z ą c e w ła s n o ś c i a sy m p to ty c z n y c h r o z w ią z a ń u k ła d u równań (1 0 -1 1 ) o p is u ją c e g o n i e l i n i o w y u k ła d d y n a m iczn y o p a r a m e tra ch lo so w ych .
T W IER D Z EN IE 7 .1 3 . P rzypuśćm y, że
( i ) w s z y s t k i e r o z w ią z a n ia u k ła d u równań ( 1 0 - 1 1 ) s p e ł n i a j ą w arunek F x e L 2,2(Q;Rm), V x e L 2 ,2(Q ;Rm) ;
( i i ) k e L 2 (Q ;L “ ( n , g , P ; je(Rm,R n) ) ) ; ( i i i ) z, v e L 2’2 (Q ;R” ) o r a z z e B 2 (Q;Rm).
W ówczas s y g n a ł x b ę d ą cy ro zw ią za n ie m u k ła d u równań (1 0 - 1 1 ) ró w n ie ż n a le ż y do p r z e s t r z e n i L 2’2 (Q; Rm)n B 2 (Q; Rm) , tzn. p o s ia d a s k o ń c z o n ą e n e r g ię ś r e d n ią , j e s t o g r a n ic z o n y w s e n s i e śre d n im i d ą ż y do z e r a w s e n s i e ś r e d n i o kwadratowym p r z y " t — » o j " . J e ż e l i p onadto zeCQ(G; L 2 (CJ, g ,P ; Rm) ), t o ró w n ie ż s y g n a ł x j e s t elementem p r z e s t r z e n i Co (G ;L (£2, g , P ; R m) ).
Dowód. W ynika w p ro st z w ła s n o ś c i ( i ) lem atu 7 . 1 2 . «
T W IER D Z EN IE 7 .1 4 . P rzyp uśćm y, że
( i ) V r o z w ią z a n ia x u k ła d u równań (1 0 -1 1 ) s p e ł n i o n y j e s t w arunek, że
||(Fx) (t , •)||2eL2 (Q;Rn )n 8 (Q ;R m), V xe L 2 ,2 (Q; R ") , tz n . n i e l i n i o w o ś ć j e s t f u n k c j ą o g r a n ic z o n ą w s e n s i e ś re d n im V teQ;
( i i ) k e L 1 (Q ;L m(n, g ,P ; J£(Rm,Rn ) )) ; ( i i i ) v, z e L 2 ,2(Q ;R m) o r a z z e 8 2 (Q;Rm).
Wówczas k a ż d y s y g n a ł x będący ro zw ią za n ie m u k ła d u rów nań (1 0 - 1 1 ) ma s k o ń c z o n ą e n e r g ię ś r e d n i ą i j e s t o g r a n ic z o n y w s e n s i e ś r e d n im , t z n . n a le ż y do p r z e s t r z e n i L 2,2 (Q; Ri”)aB 2 (Q; R1" ) . J e ż e l i p o n a d to s y g n a ł y v, z e 8 2 (Q; Rm) , to r ó w n ie ż x e 8 2 (Q ;R m).
o
Dowód. W yn ika w p ro s t z w ła s n o ś c i ( i i i ) lem atu 7 . 1 2 . «
1 2 0 Rozdział VII
7 .4 . PRZYKŁAD
Weźmy pod uwagę dwa p o ja z d y m echaniczne p o r u s z a j ą c e s i ę je d e n za d rugim , w z d łu ż t o r u p r o s t o lin io w e g o , ja k p rz e d s t a w io n o na r y s . 7 .5 .
z ( t , w ) --- >
o o o o
R y s . 7 .5 . M ode low anie ru c h u dwóch p oja zd ów F i g . 7. 5. M o d e l lin g o f two c a r s m o tio n
R ó w n a n ia o p i s u j ą c e ru c h pojazdów s ą n a st ę p u ją c e
y i = v
my = - y + F ( t ) — z (t,o t)
2 2
g d z i e m o z n a c z a masę d r u g ie g o p oja zd u , F - s i ł ę napędową d z i a ł a j ą c ą na d r u g i p o j a z d , k t ó r ą uw ażać będziem y za s t e r o w a n i e , c z y l i w e jś c io w y s y g n a ł s t e r u j ą c y , v j e s t p r ę d k o ś c i ą p ie rw s z e g o w e h ik u łu , a zarazem wymuszeniem kinem atycznym , z j e s t z a k łó c e n ie m sto c h a sty c zn y m .
P rz y jm u ją c d a l e j , że m=l, x 1=y 2- v > x 2= y ^ y , otrzym am y
_d_
d t
X - I , 0 ' X '1 - 1
1 = 1 + F ( t ) +
X2 •1 •H O i X2 0 0
z ( t , u ) , ts O .u e n (5 0 )
Rozważmy p r o j e k t n ie lin io w e g o u k ła d u s t e r u j ą c e g o ruchem d r u g ie g o p o ja z d u w s y s t e m ie ze s p rz ę ż e n ie m zwrotnym, p o s t a c i
F ( t ) = f ( x , x ): = - f (x ) - f (x )
1 2 1 1 2 2 (5 1 )
g d z i e f i f o z n a c z a ją pewne fu n k c je n i e li n io w e . Bę dzie m y z a k ła d a ć d a l e j , że f u n k c j e te s p e ł n i a j ą " n ie r ó w n o ś c i s e k to ro w e " p o s t a c i
f . ( y ) m s --- < m ,
i y i 1=1, 2 V yelR (5 2 )
g d z i e mj ,M i s ą pewnymi s t a ły m i. N ie c h k i = (Mj+mi )/2, f i ( y ) = k [y - g ( y ) , 1=1 ,2 . W prowadzone do ro zw ażań f u n k c j e g ( mają t a k ż e w ła s n o ś c i se k to ro w e , podobne
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 1 2 1
do (5 2 ) , ze zm ie n io nym i s t a ły m i, tzn. m(= - ( M ^ m ^ / 2 , ( ^ - ( M ^ n ^ )/2, lu b w p o s t a c i , k t ó r a p o j a w iła s i ę w n ie r ó w n o ś c i (3 8 ), w p r z y k ła d z i e 8 .2
| g , ( y ) - * , y | s r l y l • v y6Rl g d z ie ^ = 0 , r = m ą x - i - . d l a 1=1,2.
R ys. 7 .6 . D o p u s z c z a ln e w a r t o ś c i brzegow e param etrów syste m u s t a b il n e g o F i g . 7 .6 . A d m is s ib le b o u n d a ry v a lu e s o f p a ra m e te rs o f s t a b l e syste m
Ró w n a n ia za m kn ię te go u k ła d u s te ro w a n ia w z m ie n io n y c h o z n a c z e n ia c h będą m ia ł y p o s t a ć
d_
d t
Oznaczm y d a l e j
- 1 - k i , - k 2 X
i
4
. ’ V Xl ) + g 2 ( X2 ) '4
. ' - 1 'X2 0 0
z ( t , u) (5 3 )
x := [x , x ^ ] T, A : =
r - l - k , - k 1
1 2
. g ( x ) := g 1(Xl )+g2(X2) ' , b : = - I 1 2
- 1 - 0 0 0
W now ych o z n a c z e n ia c h ró w na nie (5 3 ) p rz y jm u je sta n d ard o w ą p o s t a ć , por.
c z ę ś ć 3. 3. 2.
x(t,a > ) = A x (t,< j) + g ( x ( t , u ) ) + b z ( t , u ) , ta O .u e n (5 4 ) R ó w na nie (5 3 = 5 4 ) można w p r o s t y s p o só b p r z e k s z t a ł c i ć w ró w n a n ie ca łko w e typ u V o l t e r r y 2 r o d z a ju
122 Rozdział VII
g d z ie , z g o d n ie z w c z e ś n ie j p r z y j ę t ą n o t a c j ą k ( t ) : = e x p ( A t ),
z ( t ,(*)) := k ( t ) x ( 0 , Ł > ) + [" k ( t - T ) b z ( T , u ) d r , tŁO .w en
•*o n a t o m ia s t
T s / S k ( s ) =
o z n a c z a t r a n s f o r m a t ę L a p l a c e ’ a m a c ie rz y k - k /5
2
- 1 / 6 ( l + k j + s l / S S = ( l + k + s ) s - k
i 2
1 1 2 2
Do s p e ł n i e n i a w arunku, że k e L (R^jiStR , R ) ) p o t r z e b a i w y s t a r c z a , a b y c z ę ś c i r z e c z y w is t e w s z y s t k i c h w a r t o ś c i w ła s n y c h m a c ie rz y sy ste m u (5 4 ), tzn.
m a c ie r z y A, b y ł y ujemne, co z a c h o d z i , j e ż e l i k i > -1 o r a z k^< 0. J e ż e l i w ym
ię-2 1 2 2
n io n e w a r u n k i s ą s p e łn io n e , z a c h o d z i p o n a d to k e L (R+; £ ( R , R ) ) .
W c e l u z a p e w n ie n ia s t a b i l n o ś c i w s e n s i e śre d n im w y s t a r c z y s p r a w d z ić , c z y s p e ł n i o n e s ą z a ł o ż e n i a je d n e g o z tw ie rd ze ń : 7 . 1 , 7 . 6 , e w e n t u a ln ie le m atu 7 .2 .
N ie c h o p e r a t o r CeiECR ,R ) i j e s t z d e fin io w a n y w n a s t ę p u j ą c y sp o só b :
Cx : =
X x +X x
1 1 2 2
X = [ X X i W
Z n ie r ó w n o ś c i (5 2 ) w yn ik a , że m2
||g(x) - Cx||2 = i W + g ^ J - A ^ - ^ x / s r 2||x||2
R y s . 7 .7 . G r a n ic e t o l e r a n c j i p a ra m e tru s e k t o r a r u k ła d u s t a b i l n e g o F i g . 7 .7 . C o n ic s e c t o r b o u n d s o f p aram e te r r o f a s t a b l e sy ste m
Stabilność nieliniowych układów dynamicznych 123
W ro zp atryw a nym p r z y k ła d z i e w a ru n k i c z ę s t o t liw o ś c io w e mogą b y ć w yrażone np. w p o s t a c i n a s t ę p u ją c e j:
i n f _ d e t f l - C k (s )| * 0;
R e ( s ) Ł 0 ^ J
su p *Ra(s)£0 _ m a x lSrS2^ r u ( s ) J < »,
g d z ie f i ( s ) , H2 ( s ) s ą w a r to śc ia m i w łasn ym i m a c ie rz y h e r m it o w s k ie j 1 ( s ) l ( s ) ,
1 ( s ) = k ( s ) ^ I+ C k ( s ) j , se C 1.
W y n ik i o b l i c z e ń p rz e d s t a w io n e s ą w p o s t a c i g r a n i c o b sza ró w param etrów , k t ó r e z a p e w n ia ją s t a b i l n o ś ć u k ła d u (5 4 = 5 5 ).
Zauważmy, że wpływ w arunku p oczątkow ego x ^ (0 ) j e s t t a k i sam, j a k z a k łó c e n ie p o s t a c i x z ( 0 ) S ( t ) . P re ze nto w a ne w a r t o ś c i param etrów r . k ^ k ^ z a p e w n ia ją , że e f e k t y w y n ik a ją c e z warunków p oczątko w ych w c h w i l i t= 0 z a n ik a j ą . J e ż e l i p o n a d to p r o c e s z s p e ł n i a z a ł o ż e n i a t w ie r d z e n ia 7. 13 lu b 7. 14, t o u k ła d j e s t g l o b a l n i e a s y m p to ty c z n ie s t a b i l n y w s e n s ie r o z d z i a ł u 7 .3 .
J e ż e l i n ie ró w n o ś ć (5 3 ) j e s t s p e łn io n a d l a p r z y r o s t ó w f u n k c j i f , tzn.
f ( x ) - f (y )
m s — i--- !--- < M , i * 1 , 2 V x, yeR
i x - y 1
p r z y ty c h sam ych o z n a c z n ia c h , t o można p okazać, że wpływ warunków p o czątko w ych z a n ik a p r z y t — > oo. J e ż e l i n a to m ia s t p ro c e s z J e s t sumą
z(t,u>) = z ^ t . u ) + z 2 ( t , u )
p r o c e s u s t a c j o n a r n e g o w s iln y m s e n s i e z i p ro c e su , k t ó r y s p e ł n i a z a ł o ż e n ia
[
X1 ’ X2 t t 1 t*j e s t a s y m p t o t y c z n ie s t a c j o n a r n y [2 44 ].