, ADROWYCH 34 U (ρ, τz) = A( ρ ρ0 ) + B(ρ ρ0 )σ+ (1 − τz)Vc+ Cρn− ρp ρ0 τz, (3.3) gdzie ρ0 to normalna gesto´s´c materii j, adrowej, τ, z jest odpowiednio r´owne 1 lub −1 dla neutronu lub protonu, VC to potencjaÃl kulombowski. StaÃle A, B, σ sa tak, dobrane aby uzyska´c poprawne warto´sci gesto´sci, energii wi, azania oraz parametru, nie´sci´sliwo´sci materii jadrowej K, zdefiniowanego jako:,
K = 9ρ20∂
2e(ρ, 0)
∂2ρ |ρ = ρ0. (3.4) StaÃla C jest staÃla w potencjale asymetrycznym, a ρ, n, ρp reprezentuja g, esto´sci neu-, tron´ow i proton´ow, odpowiednio. Wsp´oÃlczynniki A, B wynosza odpowiednio w, zale˙zno´sci od rodzaju r´ownania materii jadrowej (EOS) (patrz tabela 3.1):,
Rodzaj EOS A [ MeV ] B [ MeV ] σ K [ MeV ] sztywne -124.69 74.24 2 380 miekkie, -356 306.1 7/6 200
Tablica 3.1: Warto´sci wsp´oÃlczynnik´ow
Istnieje wiele technik rozwiazywania r´ownania BUU. Jedn, a z nich jest wprowa-, dzenie N testowych czastek dla ka˙zdego z nukleon´ow j, adra. Tak wi, ec w przypadku, zderzenia jadra A o liczbie nukleon´ow N, A i jadra B o liczbie nukleon´ow N, B mamy w sumie (NA+ NB)N testowych czastek. G, esto´s´c materii j, adrowej jest definiowana, jako:
ρ(r) = N0
N (NA+ NB)(δr)3, (3.5) gdzie N0 jest liczba cz, astek testowych w elemencie obj, eto´sci (δr), 3 wok´oÃl punktu opi-sanego wektorem r. W modelu tym pojedyncze jadro o liczbie nukleon´ow N, A jest reprezentowane jako zbi´or NA∗N testowych czastek wewn, atrz obj, eto´sci o promieniu, R. Uwzglednia si, e r´ownie˙z dla cz, astek testowych ruchy Fermiego. Zwi, azek pomi, edzy, promieniem R a pedem Fermiego p, F dany jest wyra˙zeniem: 4(4π
3 )2R3p3
F = h3NA. Zatem po wprowadzeniu N test czastek pojedyncze zderzenie j, ader atomowych jest, zastapione przez N r´ownolegÃlych zderze´, n, kt´ore sa ´sledzone we wsp´olnym ´srednim, polu, u´srednianym w ka˙zdym kroku czasowym [42]. W modelu BUU uwzglednia si, e, r´ownie˙z zakaz Pauliego. Kiedy dwie czastki testowe zderzaj, a si, e, ich wsp´oÃlrz, edne, zmieniaja si, e z (r, 1, p1)(r2, p2) na (r1, p10)(r2, p20). Je´sli przestrze´n fazowa wok´oÃl (r1, p10) i (r2, p20) jest zasadniczo pusta to dopuszczalne jest rozpraszanie, w prze-ciwnym przypadku jest zabronione.
,
nieelastycznego rozpraszania sa uwzgl, edniane.,
W modelu BUU uwzgleniane s, a efekty ´sredniego pola i zderzenia mi, edzy cz, astkami,, zatem model ten dostarcza informacji o funkcji gesto´sci pojedynczej cz, astki. Uprosz-, czenie to wykorzystuje sie w wielu sytuacjach fizycznych, w kt´orych dynamika ukÃladu, jest stabilna ( takich jak wczesny stan zderzenia jadrowego kiedy ukÃlad jest gor, acy, i zwarty ). Jednak podej´scie takie jest niewystarczajace do opisu niestabilnych pro-, ces´ow w kt´orych wystepuj, a du˙ze fluktuacje g, esto´sci ukÃladu[42].,
3.2 Model QMD
Kolejnym modelem, kt´oremu zostanie po´swiecona uwaga w niniejszej pracy jest mo-, del QMD (z ang. Quantum Molecuar Dynamics). Symuluje on reakcje cie˙zkojonowe, zachowujac wielociaÃlowe korelacje i fluktuacje [43]. W modelu tym ka˙zdy nukleon, reprezentowany jest przez paczke falow, a o staÃlej w czasie, minimalnej szeroko´sci, funkcji falowej danej r´ownaniem:
Ψi(r, t) = 1
(2πL)3/4e−(r−r0i(t))24L e−~ip0i(t)r, (3.8) gdzie r0i i p0i sa ´srednim poÃlo˙zeniem i p, edem i - tego nukleonu w centrum paczki, falowej scharakteryzowanej przez parametr L, kt´ory wyra˙za szeroko´s´c gaussowska., Warto´s´c L wynosi 1.08f m2 odpowiadajac ´sredniemu promieniowi kwadratowemu, nukleonu r´ownemu 1.8 fm [44]. Funkcja gaussowska zostaÃla zaadoptowana do opisu funkcji falowej pojedynczej czastki z trzech powod´ow [43]. Po pierwsze minimalna, paczka falowa (org. m.w.p.) speÃlnia zasade nieoznaczono´sci:,
∆rx∆px = ~
2. (3.9)
Po drugie jednociaÃlowy rozkÃlad gesto´sci skonstruowany z tych paczek falowych zga-, dza sie z obserwowanym profilem g, esto´sci nukleon´ow. Po trzecie gaussowskie paczki, falowe upraszczaja obliczenia. Szeroko´s´c paczki falowej jest staÃla przeciwnie do, rozwiazania r´ownania Schr¨odingera zale˙znego od czasu. Utrzymywanie niezmien-, nego L jest w zgodzie z obserwacja, ˙ze promie´, n zimnego jadra jest staÃly, wi, ec, na´sladuje wpÃlyw potencjaÃlu na funkcje falowa.,
ROZDZIAÃL 3. DYNAMICZNE MODELE REAKCJI J
,
ADROWYCH 36
N-ciaÃlowa funkcja falowa, ΨN, opisujaca j, adro atomowe jest iloczynem N jed-, noczastkowych funkcji falowych Ψ, i. Oczywi´scie takie uproszczenie jest pogwaÃlceniem antysymetryczno´sci funkcji falowejdla fermion´ow. W modelu QMD, efekty fermo-inowe sa symulowane przez efektywny potencjaÃl Pauliego oraz blokad, e Pauliego dla, zderze´n nukleon - nukleon. PotencjaÃl Pauliego zapobiega przebywaniu w maÃlej od-legÃlo´sci nukleon´ow tego samego rodzaju.
W tym celu tworzy sie wyznacznik Slatera, kt´ory w pierwszym przypadku musi, by´c r´owny -1 a w drugim 1. Efekty fermionowe uwzgledniane w dynamice zde-, rzajacych si, e j, ader atomowych mog, a by´c zasymulowane przy u˙zyciu potencjaÃlu, Pauliego z zakazem Pauliego stan´ow ko´ncowych indywidualnych kolizji nukleon -nukleon [43].
Stosujac przeksztaÃlcenie Wignera do r´ownania 3.9 otrzymujemy:, f(N )(R1, R2, ..., RN, p1, p2, ...pN) ≡ 1 (2π~)3N Z ( N Y i=1 d3ri)e−~i PN k=1pkrk Ψ?N(R1− r21, ..., RN−r2N)ΨN(R1+ r1 2 , ..., RN+ rN 2 ) = 1 (π~)3N e−2L1 PN k=1(Rk−r0k)2−2L ~2 PN k=1(pk−p0k)2 . (3.10) W prezentowanym podej´sciu ograniczono sie do jednocz, astkowego rozkÃladu w po-, staci [45]: f (r, p) ≡ Z ( N Y k=1 d3Rkd3pk) N X i=1 δ(r − Ri)δ(p − pi) fN(R1, R2, ..., RN, p1, p2, ..., pN) = 1 (π~)3 N X i=1 e−2L1 (r−r0i)2 e−2L~2(p−p0i)2 , (3.11)
kt´ora opisuje jednociaÃlowa g, esto´s´c przestrzeni fazowej w punkcie (r, p). Jedno-, ciaÃlowa gesto´s´c w przestrzeni poÃlo˙ze´, n i ped´ow jest dana odpowiednio:,
ρ(r) = Z f (r, p)d3p = 1 (2)3/2 N X i=1 e−2L1 (r−r0i)2 , (3.12) g(p) = Z f (r, p)d3r = (2L π~2)3/2 N X i=1 e−2L~2(p−p0i)2 . (3.13)
Nastepnie konstruuj, ac ukÃlad pocz, atkowy, centroidy Gauss´ow ( czyli nukleony) s, a, wybierane losowo w przestrzeni poÃlo˙ze´n i ped´ow w nast, epuj, acy spos´ob [44]. Na,
, , ,
z jadra przez ok. 300 fm/c. Podczas propagacji tylko pozycje (r, i) i pedy (p, i) i-tego nukleonu sa zmieniane, szeroko´s´c funkcji falowej jest utrzymywana. Ewolucja, czasowa ukÃladu dana jest przez klasyczne r´ownania Hamiltona dla centroid pakiet´ow falowych: ˙ri0 = ∂H ∂pi0 , (3.14) ˙pi0 = −∂r∂H i0 , (3.15)
gdzie hamiltonian H = T +U , U to caÃlkowita energia potencjalna nukleon´ow, a T to caÃlkowita energia kinetyczna. R´ownania r´o˙zniczkowe sa rozwi, azywane metod, a caÃlek, Euler’a z ustalonym krokiem czasowym ∆t. W wyniku tej metody otrzymujemy:
p0i(n + 1) = p0i(n) − ∇rUi(n + 1 2)∆t, (3.16) r0i(n +1 2) = r0i(n − 12) + p0i(n) (p0i(n)2+ m2 i)1/2∆t + ∇pUi(n)∆t. (3.17) Po ka˙zdym kroku czasowym badana jest mozliwo´s´c zderzenia sie dw´och nu-, kleon´ow. Nukleony moga zderzy´c si, e je´sli zbli˙z, a si, e na odlegÃlo´s´c mniejsz, a ni˙z r =, p
σ/π, gdzie σ jest caÃlkowitym przekrojem czynnym na zderzenie nukleon-nukleon. Dodatkowo uwzgledniony jest zakaz Pauliego. Jednak efektywny przekr´oj czynny, jest mniejszy ze wzgledu na przestrzegany zakaz Pauliego w stanie ko´, ncowym. Ozna-cza to, ˙ze ilekro´c nastapiÃlo zderzenie przestrze´, n fazowa wok´oÃl stanu ko´ncowego roz-praszanych nukleon´ow jest sprawdzana. Jest liczona z prawdopodobie´nstwem P1 i P2 dla stan´ow ko´ncowych ka˙zdych dw´och rozpraszanych nukleon´ow, odpowiednio i je´sli jest ju˙z zajeta przez inne nukleony to wtedy jest blokowana z prawdopodo-, bie´nstwem Pblock = P1P2 lub dopuszczona z prawdopodobie´nstwem 1 − Pblock. Je´sli kolizja jest zablokowana ped rozpraszanych nukleon´ow jest r´owny ich p, edom sprzed, rozpraszania.
W modelu QMD dopuszcza sie tylko te energie tarczy, przy kt´orych nie wi, ecej ni˙z, 84% wszystkich kolizji jest blokowanych. Zatem dolna granica energii kinetycznej dla stosowalno´sci modelu wynosi Tlab= 20MeV/nukleon [46].
RozdziaÃl 4
Rezultaty oblicze´n BUU
Opisywany w poprzednim rozdziale model BUU zostaÃl u˙zyty do symulowania cza-sowej ewolucji ukÃlad´ow powstaÃlych w wyniku zderzenia cie˙zkich j, ader atomowych., Obliczenia wykonano korzystajac z kodu BUU stworzonego przez Bao An Li [36]., Jak ju˙z zostaÃlo wspomniane r´ownanie BUU rozwiazuje si, e metod, a N-test cz, astek., Liczba czastek testowych u˙zyta w symulacjach wynosiÃla 200. Rozmiar kom´orki w, przestrzeni poÃlo˙ze´n wynosiÃl 1 f m3, krok czasowy wykonywanych oblicze´n byÃl r´owny 0.2 fm/c. Po ka˙zdym kroku czasowym wyliczana byÃla ´srednia gesto´s´c cz, astek oraz, ´sredni potencjaÃl oddziaÃlywania. Mo˙zliwe to byÃlo do realizacji, gdy˙z znana nam byÃla ilo´s´c czastek w kom´orce po ka˙zdych 0.2 fm/c. Czasow, a ewolucj, e ukÃladu ´sledzili´smy, do czasu t = 250 fm/c. Obliczenia zostaÃly wykonane dla dw´och warto´sci parame-tru nie´sci´sliwo´sci symetrycznej materii jadrowej. Warto´s´c parametru K byÃla r´owna, K = 200 MeV dla miekkiego r´ownania stanu materii j, adrowej i K = 380 MeV dla, sztywnego r´ownania stanu. Uwzglednione zostaÃly r´ownie˙z dwie warto´sci parametru, nie´sci´sliwo´sci asymetrycznej materii jadrowej:,
Ksym = 9ρ20∂
2esym(ρ)
∂2ρ |ρ = ρ0 (4.1) r´owne -69 MeV i 61 MeV.
4.1 Centralne zderzenia Au+Au
W pracy wykonano symulacje dla cie˙zkiego ukÃladu Au+Au przy energiach 8, 15, 23,, 40 MeV/nukleon dla dw´och rodzaj´ow r´ownania jadrowego: mi, ekkiego i sztywnego., Na rysunku 4.1 przedstawiona zostaÃla czasowa ewolucja systemu do czasu t = 200 fm/c dla centralnego zderzenia Au+Au przy wy˙zej wspomnianych energiach dla miekkiego r´ownania stanu w pÃlaszczy´znie x, y dla z=0 gdzie, z to o´s wi, azki. Nato-, miast rysunek 4.2 przedstawia rezultaty w pÃlaszczy´znie x, z dla y=0.
Jak wida´c z rysunk´ow 4.1 i 4.2 po zderzeniu jader nast, epuje kompresja materii, jadrowej a nast, epnie jej ekspansja i spadek g, esto´sci. Widzimy, ˙ze przy najni˙zszej, energii ukÃlad przyjmuje ksztaÃlt sferyczny w chwili czasu 200 fm/c. Przy energii 15
trzech chwil czasowych: poczatkowej t = 0 fm/c, t=100 fm/c i 250 fm/c. Wyb´or, energii i chwil czasowych nie byÃl przypadkowy. Ze wzgledu na rodzaj r´ownania, konieczna byÃla wy˙zsza energii i dÃlu˙zszy czas ewolucji na utworzenie egzotycznych ukÃlad´ow. Widzimy, ˙ze przy energii 8 MeV/nukleon obserwujemy, ˙ze materia jadrowa, przyjmuje ksztaÃlt spÃlaszczonej kuli. Wzrost energii do 23 MeV/nukleon powo-duje, ˙ze ukÃlad przyjmuje ksztaÃlt dysku w czasie 250 fm/c dopiero przy energii 35 MeV/nukleon w wyniku ewolucji czasowej system przybiera ksztaÃlt spÃlaszczonej ba´nki przy czasie 100 fm/c aby ewoluowa´c do ksztaÃltu torusa przy czasie 250 fm/c. Przy najwy˙zszej dostepnej energii ukÃlad osi, aga ksztaÃlt toroidalny ju˙z po czasie 100, fm/c, aby po 250 fm/c zacza´c p, eka´c.,
Jak wida´c z rysunk´ow 4.1, 4.2 oraz 4.3, 4.4 pr´og energetyczny na tworzenie sie to-, roidalnych jader zale˙zy od sztywno´sci r´ownania materii j, adrowej i ro´snie wraz z ni, a., Dla miekkiego r´ownania stanu torusy tworzyÃly si, e juz przy energii 23 MeV/nukleon., ZakÃladajac natomiast sztywne r´ownanie stanu materii j, adrowej pr´og energetyczny, na utworzenie toroidu znajduje sie przy warto´sci 35 MeV/nukleon.,
Alternatywna metod, a prezentowania rozkÃladu test-cz, astek jest utworzenie rozkÃladu, katowego k, ata Θ zawartego pomi, edzy osi, a wi, azki a wektorem poÃlo˙zenia danej test-, czastki. Na rysunku 4.5 lewa kolumna przedstawia rozkÃlad k, atowy Θ dla liczby, czastek testowych r´ownej 200 dla reakcji Au + Au przy energiach 8, 15, 23, 40, MeV/nukleon. Natomiast prawa kolumna pokazuje rozkÃlad gesto´sci dla 10 cz, astek, testowych. Mo˙zemy zobaczy´c, ˙ze dle energii 8 MeV/nukleon rozkÃlad katowy ma nie-, mal staÃla warto´s´c co ´swiadczy o ksztaÃlcie kulistym powstaÃlego obiektu ( patrz rys., 4.1, 4.2 ). W przypadku energii 15 MeV/nukleon obserwujemy delikatnie zarysowany szeroki pik przy okoÃlo 900ze sÃlabo opadajacym zboczem odpowiadaj, acy spÃlaszczonej, ba´nce. Wraz ze wzrostem energii maksimum zlokalizowanego w pÃlaszczy´znie pro-stopadÃlej do osi wiazki staje si, e wyra´zniejsze i coraz bardziej strome co wskazuje na, tworzenie sie obiektu toroidalnego przy energii 23 i 40 MeV/nukleon.,
Po prawej stronie rysunku 4.5 przedstawiono rozkÃlady gesto´sci dla powy˙zej wspo-, mnianych energii dla podklasy 10 test-czastek. ´, Swiadcza one o tym, i˙z tworz, ace si, e, ksztaÃlty: kuli dla 8 MeV/nukleon, ba´nki przy 15 MeV/nukleon oraz torusa przy 23 i 40 MeV/ nukleon nie zale˙za od ich liczby test - cz, astek u˙zywanych do generacji, rozkÃlad´ow gesto´sci.,