Poszukiwania egzotycznych układów formowanych w reakcjach z ciężkimi jądrami

Poszukiwania egzotycznych ukÃlad´

ow

formowanych w reakcjach z ci

e˙zkimi

_,

j

adrami

_,

Anna Sochocka

Praca doktorska

wykonana w ZakÃladzie Do´swiadczalnej Fizyki Komputerowej

Promotor: prof. dr hab. Roman PÃlaneta

PODZIEKOWANIA_,

Jako pierwszemu chciaÃlabym goraco podzi_, ekowa´c mojemu promotorowi, prof._, Romanowi PÃlanecie za zachet_, e, motywacj_, e, wiele godzin dyskusji i pomoc w_, napisaniu pracy doktorskiej, a tak˙ze za cierpliwo´s´c i ˙zyczliwo´s´c w caÃlym okresie studi´ow.

ChciaÃlabym podziekowa´c prof. StanisÃlawowi Mickowi, kierownikowi ZakÃladu_, Do´swiadczalnej Fizyki Komputerowej za umo˙zliwienie mi pisania pracy w swoim zakÃladzie.

Pragne tak˙ze zÃlo˙zy´c podzi_, ekowania prof. Zbigniewowi Majce, dr hab. Zbigniewowi_, Sosinowi, dr hab. Andrzejowi Wielochowi oraz dr hab. Januszowi Brzychczykowi z ZakÃladu Fizyki Goracej Materii za cenne uwagi i wskaz´owki merytoryczne._,

Dziekuj_, e dr PawÃlowi Hachajowi z Politechniki Krakowskiej za okazan_, a pomoc i_, liczne wyja´snienia.

Pragne r´ownie˙z okaza´c wdzi_, eczno´s´c prof. Wiktorowi Ziperrowi, mgr Annie Benisz,_, mgr Katarzynie Schmidt oraz mgr Andrzejowi Grzeszczukowi z Instytutu Fizyki Uniwersytetu ´Slaskiego za pomoc i cenne rady._,

ChciaÃlabym tak˙ze goraco podzi_, ekowa´c prof. Krystynie Siwek-Wilczy´_, nskiej, prof. Januszowi Wilczy´nskiemu oraz mgr Izabeli Skwirze-Chalot z Uniwersytetu Warszawskiego za ˙zyczliwe uwagi i cenne wskaz´owki.

Dziekuj_, e r´ownie˙z kolaboracji ISOSPIN a szczeg´olnie Angelo Pagano, Sara Pirrone,_, Enrico De Filippo, Francesca Rizzo oraz Giuseppe Cardella z INFN-LNS w Katanii za interesujace dyskusje naukowe._,

Podziekowania kieruj_, e tak˙ze pod adresem Nick’a Nicolis’a z Uniwersytetu w_, Ioanninie w Grecji za cenne uwagi i wskaz´owki.

Wyrazy podziekowania dla Pani mgr Janiny Mici´_, nskiej z Liceum

Og´olnoksztaÃlcacego w Grodkowie, dzi_, eki kt´orej zacz_, eÃla si_, e moja przygoda z fizyk_, a._, Praca zostaÃla cze´sciowo wsparta finansowo przez grant N20203132/0820._,

Zygmuntowi Starypan pragne podzi_, ekowa´c za wsparcie, cierpliwo´s´c i wiar_, e w to, ˙ze_, sie uda..._,

Prace dedykuj_, e mojej Mamie_,

2.3 Badanie mo˙zliwo´sci formowania sie egzotycznych j_, ader w ramach mi-_, kroskopowych modeli dynamicznych . . . 21 2.4 Przewidywania eksperymentalne . . . 28 3 Dynamiczne modele reakcji jadrowych_, 33 3.1 Model BUU . . . 33 3.2 Model QMD . . . 35

4 Rezultaty oblicze´n BUU 38

4.1 Centralne zderzenia Au+Au . . . 38 4.2 Niecentralne zderzenia Au+Au przy energii 23 MeV/nukleon . . . 40 4.3 Centralne zderzenia dla l˙zejszego ukÃladu:

124_{Sn +}124_{Sn . . . 40}

5 Model ETNA i jego charakterystyki 50

6 Wyniki oblicze´n 54

6.1 Definicja obserwabli i wyniki symulacji dla Au+Au . . . 54 6.2 Wyniki symulacji dla ukÃladu 124_{Sn +}124_{Sn . . . 58}

7 Propozycja eksperymentu 62

7.1 Detektor CHIMERA . . . 62 7.2 Poszukiwanie optymalnych warunk´ow rejestracji toroidalnych ksztaÃlt´ow 64

8 Podsumowanie 75

RozdziaÃl 1

Wst

ep

_,

Jeden z fundamentalnych problem´ow fizyki jadrowej nurtuj_, acych wsp´oÃlczesnych ba-_, daczy dotyczy zagadnienia maksymalnej masy jader atomowych oraz czasu ich ˙zycia._, Najcie˙zszym, naturalnym pierwiastkiem jest uran (U) o Z = 92, natomiast wszystkie_, inne jadra o wy˙zszej liczbie atomowej s_, a otrzymywane w spos´ob sztuczny. Historia_, syntezy takich jader jest bardzo dÃluga i si_, ega lat czterdziestych XX wieku. W 1934_, Enrico Fermi zaproponowaÃl metode produkcji pierwiastk´ow superci_, e˙zkich w reak-_, cjach z wychwytem neutronu. Bombardujac j_, adro (Z, N), gdzie Z to liczba proton´ow_, a N liczba neutron´ow, neutronami otrzymujemy izotop (Z, N+1), kt´ory na skutek rozpadu β− _{prowadzi do powstawania nowego pierwiastka (Z+1, N). Pierwszym}

jadrem wyprodukowanym t_, a metod_, a w labolatorium byÃlo j_, adro neptunu (_, 238_{N p) o}

Z=93 [1]. W tym samym czasie Seaborg i inni odkryli pluton (239_{P u), bombarduj} ,

ac tarcze uranow_, a wi_, azk_, a j_, ader deuteronu pochodz_, ac_, a ze 150 cm cyklotronu [2]._,

Pierwiastki o Z=99 i 100 po raz pierwszy zostaÃly wykryte po wybuchu bomby wodorowej testowanej w 1952 roku. Jadra o Z=95, 96, 97, 98, 101 otrzymane zostaÃly_, z pierwiastk´ow z Z=93, 94, 99 w reakcjach z neutronami i czastkami α. W latach 50-_, tych XX wieku wiazki j_, ader ci_, e˙zszych ni˙z cz_, astki α produkowane w akceleratorach,_, zostaÃly u˙zyte do syntezy cie˙zkich pierwiastk´ow. J_, adra o liczbie atomowej Z do 118,_, byÃly otrzymywane syntetycznie w wyniku reakcji z cie˙zkimi jonami. Czasy ˙zycia_, najcie˙zszych z nich o Z od 106 do 118, mieszcz_, a si_, e w obszarze od kilku minut do_, kilku mikrosekund.

Czy jadro o Z = 118 jest najci_, e˙zszym j_, adrem jakie mo˙ze istnie´c chocia˙zby przez_, kr´otka chwil_, e? Najnowsze badania pokazuj_, a, ˙ze nie. Naukowcy z A. Marinov [3]_, na czele, donosza o odkryciu j_, adra o Z = 122. W naturalnych rudach toru_, 232_Th

znaleziono, posÃlugujac si_, e metod_, a spektroskopii masowej, j_, adra o masie A=292,_, Ãladunku Z = 122, abundancji (1−10)×10−12_wzgl

,

edem toru232_{T h oraz poÃl´owkowym}

czasie ˙zycia t1 2 ≥ 10

8_{lat. Te ostatnie wyniki nie zostaÃly jednak potwierdzone przez}

inne grupy badawcze. Ponownie pojawia sie pytanie jak ci_, e˙zkie mog_, a by´c j_, adra,_, jaka jest granica ich masy? Je´sli istnieja j_, adrowe olbrzymy to jak je wykry´c?_,

Przewidywania w ramach modelu Hartree - Fock’a - Bogoliubov’a pokazuja, ˙ze_, 4

, , , ,

typu oddychanie [6]. Ponad 20 lat temu Wong wskazaÃl na zale˙zno´s´c prawdopo-dobie´nstwa istnienia takich ukÃlad´ow od temperatury [7]. Wzrost temperatury po-woduje zmniejszanie sie wsp´oÃlczynnika napi_, ecia powierzchniowego i oddziaÃlywanie_, kulombowskie wypycha materie j_, adrow_, a na zewn_, atrz. Prowadzi to do formowania_, sie j_, ader o ksztaÃltach toroidu lub powÃloki sferycznej. Moretto pokazaÃl, ˙ze opr´o˙zniona_, z Ãladunku centralna wneka w j_, adrach o ksztaÃlcie ba´_, nki stabilizuje je wzgledem oscy-_, lacji monopolowych [8]. Takie obiekty nie sa jednak stabilne wzgl_, edem oscylacji kwa-_, drupolowych i oktupolowych. Obliczenia wykonane w ramach uog´olnionego modelu rotujacej, naÃladowanej kropli cieczy wskazuj_, a, ˙ze dla j_, ader o masach rz_, edu 300-350_, minimum energii potencjalnej wystepuje dla toroidalnych ksztaÃlt´ow nawet dla zero-_, wego momentu pedu [9]. Metastabilna wyspa ba´_, nkowatych jader przewidywana jest_, r´ownie˙z w ramach oblicze´_{n modelu powÃlokowego dla mas z przedziaÃlu A = 450−3000} [10].

Obliczenia hydrodynamiczne dla zderze´n pokazuja na powszechno´s´c kreowania_, obiekt´ow o toroidalnych ksztaÃltach (np. [11]). Symulacje z u˙zyciem modeli BUU i BNV pokazuja, ˙ze toroidalne i ba´_, nkowate ksztaÃlty jader mog_, a si_, e tworzy´c w cen-_, tralnych i prawie centralnych zderzeniach. Takie symulacje zostaÃly wykonane dla szeregu zderzajacych si_, e ukÃlad´ow w szerokim zakresie energii (np. [12])._,

Wiele obserwabli byÃlo sugerowanych jako charakterystyczne dla rozpadu ukÃlad´ow jadrowych o egzotycznych ksztaÃltach:_,

• liczba obserwowanych fragment´ow o po´srednich masach powinna by´c wieksza,

od liczby takich fragment´ow emitowanych ze sferycznych jader dla ustalonej_, temperatury rozpadajacego si_, e ukÃladu [13]_,

• obserwowane fragmenty powinny mie´c podobne rozmiary; modele teoretyczne wskazuja na zwi_, ekszone prawdopodobie´_, nstwo emisji fragment´ow o podobnych masach z ukÃlad´ow o egzotycznych ksztaÃltach [14, 15]

• parametr sferyczno´sci zdarze´n z emitowanymi fragmentami powinien charak-teryzowa´c sie maÃlymi warto´sciami [13]_,

Eksperymentalne ewidencje zgromadzone do tej pory wskazujace na rozpad ukÃladu_, jadrowego o egzotycznym ksztaÃlcie, s_, a bardzo ograniczone. W pracy Stone’a i innych_, [16] zaprezentowany jest zesp´oÃl danych eksperymentalnych dla reakcji 86_{Kr +}93_{N b}

ROZDZIAÃL 1. WST

,

EP ₆

mierzonej w zakresie energii od 35 do 95 MeV/nukleon. Niezale˙znie od Stone’a prace nad tym zagadnieniem prowadzili Jouault i inni, kt´orzy zebrali materiaÃl eks-perymentalny dla reakcji Au + P b oraz Ag + P b przy energii 29 MeV/nukleon [17]. Niniejsza praca po´swiecona jest badaniu mo˙zliwo´sci tworzenia si_, e egzotycznych_, ukÃlad´ow w reakcjach jadrowych z ci_, e˙zkimi jonami oraz ich identyfikacji za pomoc_, a_, wielolicznikowego detektora CHIMERA [18], kt´ory pracuje w INFN - LNS w Katanii. Uzyskane do tej pory wyniki zostaÃly ju˙z cze´sciowo opublikowane w pracach [19, 20,_, 21].

W prezentowanej pracy w rozdziale drugim zostana opisane przewidywania teo-_, retyczne wskazujace na istnienie egzotycznych konfiguracji w ramach modeli sta-_, tycznych i dynamicznych oraz uzyskane do tej pory rezultaty eksperymentalne. Nastepnie przedstawione zostan_, a modele dynamiczne BUU i QMD oraz rezultaty_, oblicze´n wykonanych w ramach tych modeli. W kolejnym kroku om´owiony zostanie program ETNA, przy pomocy kt´orego zostaÃly wykonane symulacje rozpadu sys-temu jadrowego maj_, acego ksztaÃlt kuli, ba´_, nki i torusa. W rozdziale sz´ostym opisane zostana wyniki oblicze´_, n oraz obserwable, kt´ore moga by´c zastosowane do identyfika-_, cji egzotycznych konfiguracji materii jadrowej. Nast_, epnie zostanie zaproponowany_, nowy ekperyment, po´swiecony poszukiwaniu egzotycznych obiekt´ow. W ostatnim_, rozdziale pracy zostana podsumowane wyniki przeprowadzonych bada´_, n.

modeli jadrowych: reakcji j_, adrowych oraz badaj_, acych stabilno´s´c ukÃlad´ow j_, adrowych._,

2.1

Przewidywania w ramach modeli badaj

acych

stabilno´

s´

c bardzo ci

e˙zkich ukÃlad´

ow j

adrowych

Po pracach Wheelera, w kt´orych po raz pierwszy zasugerowano mo˙zliwo´s´c istnienia bardzo cie˙zkich j_, ader atomowych o egzotycznych ksztaÃltach idea ta byÃla rozwijana_, przez wielu badaczy. PrzeszÃlo trzydzie´sci lat temu Siemens i Bethe jako jedni z pierwszych badali obiekty w ksztaÃlcie ba´nki i wydÃlu˙zonego sferoidu [6]. W swoich obliczeniach caÃlkowitej energii stabilnych konfiguracji posÃlugiwali sie formuÃl_, a Bethe-_, Weisz¨acker’a, kt´ora dla sferycznych obiekt´ow ma posta´c:

E = −f1(A, Z)A + f2(A, Z)A

2

3 + C(A, Z), (2.1)

gdzie C(A, Z) jest energia kulombowsk_, a wyra˙zon_, a przez_, 3₅(Ze)2_/r cA

1

3. Czynnik

f1 jest energia wi_, azania na nukleon w niesko´_, nczonej materii jadrowej, f_, 2

odpo-wiada energii powierzchniowej. Obydwa te czynniki zale˙za od wsp´oÃlczynnika nad-_, miaru neutron´ow D = N − Z i zmieniaja si, e wraz z (D/A), 2. Ich warto´sci

zo-staÃly zaczerpniete z pracy Green’a [22] i maj_, a warto´s´c: f_, 1 = α1 − α4(D/A)2,

f2 = α2 − α5(D/A)2, gdzie α1 = 15.88, α2 = 17.97, α4 = 31.5, α5 = 40.0, a

rC = 1.216. Natomiast w przypadku jader niesferycznych, autorzy zaÃlo˙zyli, ˙ze_,

czÃlon f2A2/3 jest proporcjonalny do powierzchni jadra. Zatem energia powierzch-_,

niowa r´owna sie f_, 2A2/3g5, gdzie g5 wyra˙za stosunek powierzchni niesferycznej jadra_,

do powierzchni ukÃladu sferycznego o tej samej objeto´sci. Analogicznie parametr g_, 4

wyra˙za stosunek energii kulombowskiej niesferycznego jadra do energii j_, adra sferycz-_, nego. Siemens i Bethe rozwa˙zali w swojej pracy konfiguracje spÃlaszczonego sferoidu, wydÃlu˙zonego sferoidu i sferycznej ba´nki pustej w ´srodku i kuli. CaÃlkowite energie

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₈

stabilnych konfiguracji dla danej liczby nukleon´ow A przedstawione sa na rysunku_, 2.1:

Rysunek 2.1: Wykres zale˙zno´sci caÃlkowitej energii od liczby masowej A dla r´o˙znych, stabilnych konfiguracji: sferoid´ow, powÃloki sferycznej i sfery (rys. 1 z pracy [6]).

Autorzy pokazali, ˙ze z warunku β-stabilno´sci danego r´ownaniem _∂N∂E = ∂E_∂Z = 0 otrzymujemy: Z = α4A 1/3_{− α} 5g5 [(2/A)(α4A1/3− α5g5) + ₁₀3(e2/rc)g4)] . (2.2)

Dla rozwa˙zanych w pracy geometrii czynniki g4 i g5 sa funkcjami jednej zmiennej_,

- parametru deformacji x, tak ˙ze najbardziej stabilna konfiguracja jest dana przez warunek ∂E

∂x = 0 . W pracy pokazano, ˙ze warunek β-stabilno´sci dla sfery, ba´nki,

spÃlaszczonego sferoidu jest bardzo podobny jak w przypadku jader o stosunku Z/A_, w granicy od 0.4 do 0.3 z liczba masow_, a A od 200 do 1000. Najbardziej interesuj_, acy_, jest przypadek wydÃlu˙zonego sferoidu. Akceptuje on dodatkowe nukleony znacznie chetniej ni˙z pozostaÃle konfiguracje. Jego krzywa β-stabilno´sci jest do´s´c pÃlaska z Z/A_, r´ownym okoÃlo 0.38 dla A = 1500 nukleon´ow. Kr´otsza o´s sferoidu pozostaje do´s´c staÃla od 8 fm dla A = 400 do 6 fm dla A = 1500. Wa˙zniejsze jest jednak to, i˙z wydÃlu˙zony sferoid przewa˙za energetycznie nad sfera, dla Z > 104._,

Na wykresie 2.2 przedstawiona zostaÃla caÃlkowita energia sferoidu dla zadanych warto´sci A i Z w funkcji paramertu ω, bed_, acego miar_, a deformacji sferoidu._,

Wybierajac warto´s´c A i Z autorzy kierowali si_, e warunkiem β-stabilno´sci dla sfery._, Stwierdzili, ˙ze ksztaÃlt krzywych jest prawie caÃlkowicie niewra˙zliwy na liczbe neu-_, tron´ow i zale˙zy gÃl´ownie od Z. I tak na przykÃlad dodajac 15 neutron´ow bardziej pre-_,

Rysunek 2.2: Wykres zale˙zno´sci energii sferoid´ow w funkcji parametru deformacji $ (rys.2 z pracy [6]).

ferowanym ksztaÃltem jest ba´nka natomiast zmiana energii nastepuje jedynie o 0.1_, MeV, natomiast przy 45 dodanych neutronach faworyzowanym ksztaÃltem jest ksztaÃlt wydÃlu˙zony ze zmiana energii o 0.5 MeV. Zatem je´sli j_, adro posiada pewn_, a krytyczn_, a_, liczbe proton´ow (w przeprowadzonych powy˙zej obliczeniach byÃlo to Z = 104) to_, majac ksztaÃlt sferyczny posiada bardzo pÃlytkie minimum energii, podczas gdy dla_, wydÃlu˙zonego ksztaÃltu minimum energii jest znacznie gÃlebsze. Im wi_, eksza liczba_, Z tym jadro o ksztaÃlcie sferycznym nie osi_, aga minimum energii a preferownym_, ksztaÃltem z minimum energii jest mocno wydÃlu˙zony, spÃlaszczony ksztaÃlt. Auto-rzy w swoich dalszych badaniach i przewidywaniach zakÃladali, ˙ze kolejnym jadrem_, preferujacym ksztaÃlt sferoidu jest j_, adro o Z = 114. W dalszych obliczeniach chcieli_, uwzgledni´c poprawki powÃlokowe, kt´ore wedÃlug autor´ow mog_, a mie´c wpÃlyw na sta-_, bilno´s´c sferoidalnych ukÃlad´ow. Jednak nawet i bez dodatkowych oblicze´n mocno wierzyli w poprawno´s´c swoich przewidywa´n i w istnienie jader o ksztaÃltach niesfe-_, rycznych.

Kolejnym autorem, kt´ory prowadziÃl badania nad egzotycznymi ksztaÃltami mate-rii jadrowej w oparciu o modele statyczne byÃl Wong [7]. W swej pracy badaÃl wpÃlyw_, wsp´oÃlczynnika napiecia powierzchniowego na tworzenie si_, e egzotycznych ukÃlad´ow._, Badania nad zachowaniem sie system´ow j_, adrowych przy wysokich temperaturach_, pokazaÃly, ˙ze ze wzrostem temperatury jadrowej T wsp´oÃlczynnik napi_, ecia powierzch-_, niowego σ(T ) maleje i oddziaÃlywanie kulombowskie wypycha materie j_, adrow_, a na_,

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₁₀

zewnatrz co prowadzi do tworzenia si_, e j_, ader toroidalnych b_, ad´z typu ba´_, nka. Rozpa-trzmy jadro atomowe o liczbie masowej A i Ãladunku Z w temperaturze T . Parametr_, rozszczepialno´sci tego jadra w temperaturze T = 0, napi_, eciu powierzchniowym σ(0)_, i gesto´sci j_, adrowej n(0) jest okre´slony przez:_,

x(0) = Z

2_e2_n(0)

10σ(0)A. (2.3) Stad parametr rozszczepialno´sci j_, adra x(T ) przy temperaturze T jest powi_, azany_, z x(0) zale˙zno´scia:_, x(T ) = · n(T )σ(0) σ(T )n(0) ¸ x(0). (2.4)

Przy wzro´scie temperatury spadek wsp´oÃlczynnika napiecia powierzchniowego jest_, szybszy ni˙z spadek gesto´sci. Prowadzi do wzrostu parametru rozszczepialno´sci x(T )._, Takie zachowanie wsp´oÃlczynnika rozszczepialno´sci zostaÃlo zaobserwowane w bada-niach przeprowadzonych przez Bartel’a [23].

Przeprowadzone obliczenia doprowadziÃly r´ownie˙z do wyznaczenia warto´sci tem-peratury Tth, przy kt´orej parametr rozszczepialno´sci x(Tth) osiaga warto´s´c progow_, a_,

dla jader toroidalnych i typu ba´_, nka. Dla jader toroidalnych przy temperaturze pro-_, gowej Tth warto´s´c x(Tth wynosi 0.964 przy stosunku promieni R/r r´ownym 2.079.

Promienie R i r sa promieniami zewn_, etrznym i wewn_, etrznym toroidu. Natomiast dla_, formowania sie j_, ader typu ba´_, nka przy temperaturze progowej Tthwarto´s´c x(Tth)

wy-nosi 2.03 przy stosunku promieni R/r r´ownym 0.421, gdzie R to promie´n zewnetrzny_, ba´nki a r to promie´n wewnetrzny._,

Aby wyznaczy´c temperature progow_, a potrzebna jest znajomo´s´c zale˙zno´sci pomi_, edzy_, σ i T . W obliczeniach zostaÃla wykorzystana zaproponowana przez Ravenhall’a, Pe-thick’a i Lattimer’a parametryzacja [24] σ(T ):

σ(T ) = σ(0) " 1 − TT22 c 1 + aT2 T2 c #p , (2.5)

gdzie temperatura krytyczna TcwynosiÃla 20 MeV, a = 0.935 a p = 1.25. W kolejnym

kroku autor wyznaczyÃl gesto´s´c materii j_, adrowej n(T ) w stanie r´ownowagi z minimum_, energii swobodnej, korzystajac z r´ownania na ci´snienie P w stanie r´ownowagi:_,

P A n + · −2Es+ Ec 3 ¸ = 0, (2.6)

gdzie Es i Ec to odpowiednio energia powierzchniowa i kulombowska jadra typu,

toroid lub ba´nka.

Na rysunku 2.3 przedstawiony zostaÃl wykres Tth/Tc (Tth-temperatura progowa,

Tc-temperatura krytyczna) oraz n(T ) w funkcji liczby atomowej dla jader poÃlo˙zonych,

Rysunek 2.3: Wykres zale˙zno´sci Tth/Tcod liczby atomowej (a), wykres zale˙zno´sci n(T) od liczby

atomowej; linia ciagÃla odpowiada j_, adrom typu toroid, linia przerywana odpowiada j_, adrom typu_, ba´nka (rys. 1 z pracy [7]).

Wsp´oÃlczynnik napiecia powierzchniowego znika, gdy temperatura przekracza_, temperature krytyczn_, a T_, c. Wtedy r´o˙znice w ksztaÃltach zanikaja i nie jeste´smy ju˙z_,

w stanie ich rozr´o˙zni´c. Zatem jadra typu toroid i ba´_, nka moga by´c tworzone w tem-_, peraturach z przedziaÃlu Tth ≤ T ≤ Tc. Dla cie˙zszych j_, ader temperatura krytyczna_,

jest ni˙zsza przez co przedziaÃl temperatury jest szerszy.

Autor r´ownie˙z rozwa˙za przypadek rotujacych j_, ader toroidalnych, kt´ore obracaj_, ac_, sie wok´oÃl gÃl´ownej osi symetrii doznaj_, a dziaÃlania siÃly od´srodkowej wypychaj_, acej ma-_, terie j_, adrow_, a na zewn_, atrz. Temperatura progowa dla formowania si_, e takich j_, ader_, jest ni˙zsza ni˙z w przypadku nierotujacych j_, ader toroidalnych._,

Zbadane zostaÃly zatem konsekwencje spadku wsp´oÃlczynnika napiecia powierzch-_, niowego i jego wpÃlyw na tworzenie sie egzotycznych ksztaÃlt´ow materii j_, adrowej._, WedÃlug autora zbadania wymaga r´ownie˙z ewolucja takich ksztaÃlt´ow po ich utworze-niu. Mo˙ze ona zale˙ze´c zar´owno od r´ownania stanu materii jadrowej jak i zale˙zno´sci σ_, od temperatury T , kt´ora to zale˙zno´s´c wzbudza nadal wiele zainteresowania. WedÃlug autora jednym ze sposob´ow zbadania czy toroidalne jadra b_, ad´z j_, adra typu ba´_, nka sa formowane jest zmierzenie temperatury fragment´ow powstaÃlych po fragmentacji_,

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₁₂

jadra i zbadanie czy koresponduje ona z przedziaÃlem temperatury T_, th ≤ T ≤ Tc, o

kt´orym byÃla mowa powy˙zej.

2.2

Przewidywania w ramach modeli

mikroskopo-wych

W´sr´od najnowszych bada´n w ramach mikroskopowych modeli statycznych sa prace_, przeprowadzone przez Dietrich’a i Pomorskiego [10]. W swoich obliczeniach posÃlugiwali sie modelem kroplowym z poprawkami powÃlokowymi. Skupili si_, e oni gÃl´ownie na_, jadrach typu ba´_, nka. Badali efekty powÃlokowe dla tego typu obiekt´ow w du˙zym za-kresie liczby neutron´ow N i proton´ow Z znacznie powy˙zej znanych jader. U˙zywali_, oni fenomenologicznego modelu powÃlokowego stosujac metod_, e Strutinsky’ego do wy-_, znaczenia energii poprawki powÃlokowej δEsell. Motywacja do pracy byÃlo znalezie-_,

nie magicznej liczby proton´ow i neutron´ow i oszacowanie warto´sci energii poprawki powÃlokowej. Wydaje sie, ˙ze to proste podej´scie jest wystarczaj_, aco realistyczne, aby_, ustali´c znaczenie efekt´ow powÃlokowych w jadrach ba´_, nkowatych i ich wpÃlywu na stabilno´s´c takich ukÃlad´ow.

W metodzie Strutinskiego caÃlkowita energia wiazania, E, j_, adra skÃladaj_, acego si_, e_, z N neutron´ow i Z proton´ow o danym ksztaÃlcie jest r´owna sumie energii jadra rozpa-_, trywanego jako kropla cieczy ELD(N, Z) oraz energii poprawki powÃlokowej δ(E)shell

E(N, Z) = ELD(N, Z) + δ(E)shell. (2.7)

W tym modelu dla sferycznych baniek energie pojedynczej czastki e_, ν tak jak energia

modelu kroplowego zale˙za od wewn_, etrznego R_, 2 i zewnetrznego R, 1 promienia ba´nki.

Oba te promienie sa zwi_, azane ze sob_, a zale˙zno´sci_, a:_,

R₁3_{− R}3₂ = R3₀, (2.8) gdzie R0 = r0A

1

3 jest promieniem zwartego sferycznego j

,

adra o tej samej masie. KsztaÃlt ba´nkowatego obiektu jest opisywany przez wsp´oÃlczynnik f zdefiniowany jako stosunek objeto´sci pustej przestrzeni wewn_, atrz ba´_, nki a caÃla jej obj_, eto´sci_, a i jest_, wyra˙zony przez: f = R 3 2 R3 1 . (2.9)

W czystym modelu kroplowym energia ba´nkowatych jader staje si_, e mniejsza ni˙z_, energia jader kulistych dla parametru rozszczepialno´sci x > 2.02 [25, 26]. Rozwi_, azania_, dla ba´nkowatych jader nie s_, a stabilne wzgl_, edem zmieniaj_, acych si_, e deformacji tak_, jak zwarte, sferyczne jadra nie s_, a stabilne wzgl_, edem rozszczepienia przy parame-_, trze x > 1. Autorzy podejmuja si_, e wi_, ec zbadania roli efekt´ow powÃlokowych dla_, ba´nkowatych jader._,

• w przypadku oscylatora harmonicznego: V (r) = −V0+

M ω2

2 (r − R

2_{), (2.11)}

gdzie V0 to gÃleboko´s´c studni potencjaÃlu. Wielko´s´c V_, 0, nie ma wpÃlywu na energie_,

poprawek powÃlokowych, wiec mo˙ze by´c r´owna zero._,

Prezentacje wynik´ow swoich oblicze´_, n autorzy rozpoczynaja od rezultat´ow dla_, czystego modelu kroplowego pokazanych na rysunku 2.4. Parametry do modeleu kroplowego sa wzi_, ete z [6]. Punkty le˙z_, ace na ekwipotencjalnych liniach odpowiadaj_, a_, rozwiazaniom dla sferycznej ba´_, nki w modelu kroplowym.

Rysunek 2.4: Linie staÃlej energii wiazania na nukleon w modelu kroplowym (LD) w funkcji_, (N, Z). Proste linie reprezentuja izobary (rys. 1 z pracy [10])._,

Nale˙zy podkre´sli´c, ˙ze najwiekszy przyrost energii wi_, azania wyst_, epuje dla liczby nu-_, kleon´ow 1200 ≤ A ≤ 2000 i liczby proton´ow 325 ≤ Z ≤ 400. Niekt´ore z izoba-rycznych linii ( o staÃlej liczbie N ) sa przeci_, ete dwukrotnie przez lini_, e staÃlej energii._, Je´sli energia wiazania na cz_, astk_, e pomi_, edzy tymi dwoma punktami jest mniejsza_, to β-stabilny izobar znajduje sie w tym regionie. Oczywi´scie takie rozwa˙zanie jest_, bezskuteczne biorac pod uwag_, e fakt, i˙z ba´_, nki w modelu kroplowym sa niestabilne_, wzgledem rozszczepienia. W modelu tym rozwi_, azania dla sferycznej ba´_, nki znajduja_, sie w punkcie siodÃlowym a nie w minimum._,

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₁₄

Na rysunku 2.5 zostaÃla przedstawiona wielko´s´c energii poprawki powÃlokowej ska-lowana czynnikiem A−2/3_{w funkcji Z lub N przy zadanym parametrze f = 0.28 dla}

przypadku niesko´nczonej studni potencjaÃlu. Wida´c, ˙ze energia powÃlokowa mo˙ze wywoÃlywa´c przyrost energii wiazania (poprawk_, e energetyczn_, a) rz_, edu 20 MeV dla_, jednego rodzaju czastki. Oczywi´scie podw´ojnie magiczna powÃloka mo˙ze wyst_, api´c_, tylko je´sli dwie magiczne liczby odpowiadaja tej samej warto´sci f._,

Rysunek 2.5: Zale˙zno´s´c energii poprawki powÃlokowej w funkcji Z lub N przy zadanym parametrze f = 0.28 dla przypadku niesko´nczonej studni potencjaÃlu (rys. 3 z pracy [10]).

Na rysunku 2.6 zaprezentowano caÃlkowita energi_, e wi_, azania j_, ader typu ba´_, nka po uwzglednieniu energii poprawki powÃlokowej w funkcji ( N, Z) wzgl_, edem energii dla_, modelu kroplowego sferycznego jadra o tej samej liczbie proton´ow i neutron´ow dla_, przypadku niesko´nczonej studni potencjaÃlu. Odniesione to zostaÃlo wzgledem energii_, modelu kroplowego dla sferycznego jadra w o tej samej liczbie proton´ow i neutron´ow._, Mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze przyrost energii wiazania r´owny jest kilkaset MeV(od -100 do_, -400 ).

Autorzy badaja stabilno´s´c ba´_, nkowatych jader tak˙ze w przypadku ich deformacji._, Rysunek 2.7 przedstawia dramatyczny wpÃlyw poprawek powÃlokowych na energie_, wiazania dla j_, adra ba´_, nkowatego w funkcji momentu kwadrupolowego β2 dla jadra o_,

Z = 288, A = 750 i f = 0.26. CaÃlkowita energia wiazania w modelu kroplowym dla_, jadra o ksztaÃlcie sferycznej ba´_, nki zostaÃla przyr´ownana do zera.

Cze´s´c energii koresponduj_, aca do modelu kroplowego maleje monotonicznie wraz ze_, wzrostem |β2|. Dodajac energi, e poprawki powÃlokowej δE, shell zwiazan, a zale˙zno´sci, a z,

momentem kwadrupolowym opisana przez Mayers’a i ´_, Swiateckiego [27] na wspomi-_, nanym wykresie mo˙zna zauwa˙zy´c minimum o warto´sci -30 MeV. Wielko´s´c bariery na rozszczepienie ma wysoko´s´c okoÃlo 25 MeV co oznacza, ˙ze prawdopodobie´nstwo na spontaniczne rozszczepienie znika.

Rysunek 2.6: Linie staÃlych przyrost´ow energii (∆ELD+ δEshell). Poprawki powÃlokowe byÃly

obliczane dla przypadku niesko´nczonej studni potencjaÃlu (rys. 4 z pracy [10]).

Dietrich i Pomorski pokazali zatem, ˙ze energia poprawki powÃlokowej mo˙ze sta´c sie tak du˙za jak -40 MeV i ˙ze j_, adrowe ba´_, nki moga zatem pozostawa´c stabilne lub_, mie´c bardzo dÃlugi czas ˙zycia dla kanaÃlu rozszczepienia.

Autorzy pr´obuja r´ownie˙z znale´z´c odpowied´z co dzieje si_, e w innych kanaÃlach_, rozpadu. Rozpad poprzez emisje cz_, astek α, kt´ory ogranicza czas ˙zycia superci_, e˙zkich_, jader,oczywi´scie mo˙ze ogranicza´c tak˙ze czas ˙zycia j_, ader ba´_, nkowatych.

Penetracja bariery kulombowskiej dla czastki α zale˙zy eksponencjalnie od po-_, tencjaÃlu kulombowskiego przy r = R1, kt´ory ma warto´s´c 2Ze_R10. Im wy˙zszy potencjaÃl

kulombowski tym mniejsze prawdopodobie´nstwo rozpadu-α. Mo˙zna r´ownie˙z za-uwa˙zy´c, ˙ze typowa energia ucieczki czastki α jest okoÃlo 18 MeV w por´ownaniu do_, okoÃlo 5 MeV dla aktynowc´ow.

Wszystkie aktynowce sa pierwiastkami promieniotw´orczymi i metalami, ale z_, drugiej strony efektywna bariera potencjaÃlu odczuwana przez czastki α jest wy˙zsza_, o kilka MeV ni˙z dla typowych jader aktynowych z powodu ich wi_, ekszej liczby Z._, Z przeprowadzonej powy˙zej analizy wida´c, ˙ze pytanie o stabilne bad´z dÃlugo ˙zyj_, ace_, jadra ba´_, nkowate nadal pozostaje otwarte i intrygujace. Niestety masy i Ãladunki_, kandydat´ow na takie jadra s_, a tak wysokie (rz_{, edu 450 − 3000 a.m.u.), ˙ze istniej,} a_, nikÃle szanse na ich produkcje w klasycznych reakcjach jadrowych [28]._,

ZupeÃlnie inny spos´ob podej´scia do zagadnienia zaprezentowaÃl Warda [29]. BadaÃl on stabilno´s´c cie˙zkich ukÃlad´ow j_, adrowych w funkcji momentu kwadrupolowego ˆ_, Q2.

Z przeprowadzonej analizy wynikaÃlo, ˙ze istnieja dla tak ci_, e˙zkich j_{, ader (Z ≥ 130),} lokalne minima energii potencjalnej przy du˙zych ujemnych warto´sciach momentu kwadrupolowego.

W pracy pokazano, ˙ze istnieja dwa typy takich obiekt´ow z ujemnymi warto´sciami_, momentu kwadrupolowego. Dyski odpowiadaja momentom kwadrupolowym rz_, edu_,

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₁₆

Rysunek 2.7: Energia modelu LD (linia kreskowana, linia bez charaterystycznego minimum dla β2= 0), energia poprawek powÃlokowych (linia kropkowana, linia biegnaca od E_, LD+ δEshell= 0 z

charakterystycznym minimum dla β2= 0), caÃlkowita energia (linia ciagÃla, linia biegn_, aca od E_, LD+

δEshell ≈ −15 z charakterystycznym minimum dla β2 = 0) w funkcji momentu kwadrupolowego

β2(rys. 5 z pracy [10]).

−150 b natomiast toroidalne jadra maj, a jeszcze bardziej ujemne warto´sci ˆ, Q2. RozkÃlady

gesto´sci dla ukÃladu_, 416₁₆₄

252 w konfiguracji sferycznej jak i w dysku i torusie sa_,

przedstawione na rysunku 2.8.

Dla jader o Z > 140 zar´owno w przypadku dysku jak i torusa minimum ener-_, gii potencjalnej obu konfiguracji znajduje sie poni˙zej energii sfery. W przypadku_, najcie˙zszych badanych system´ow bariera oddzielaj_, aca minimum energii dysku od_, toroidu znika i konfiguracja dysku nie ma lokalnych minim´ow na powierzchni ener-gii potencjalnej. Spadek enerener-gii toroidalnego minimum z rosnac_, a mas_, a j_, ader jest_, szybszy ni˙z w przypadku minimum dysku. W przeprowadzanych obliczeniach przy-rost energii potencjalnej siegaÃl od 85 MeV dla_, 416₁₆₄

252 do 180 MeV dla 476182292.

Dla cie˙zszych j_, ader pozycja minimum energii przesuwaÃla si_, e w kierunku bardziej_, ujemnych warto´sci moment´ow kwadrupolowych. Dolny panel rysunku 2.9 przedsta-wia zale˙zno´s´c energii potencjalnej od momentu kwadrupolowego dla jadra_, 416₁₆₄

252.

Pokazano, ˙ze jadra o Z > 140 osi_, agaj_, a minimaln_, a energi_, e w ksztaÃlcie toroidalnym._, Warto´s´c Z jader z toroidalnym stanem podstawowym ro´snie powoli z liczb_, a neu-_, tron´ow N od Z = 140 dla N = 180 do Z = 150 dla N = 250.

Na g´ornych panelach rysunku 2.9 pokazano ˙ze, ´sredni promie´n kwadratowy to-rusa RMSR ro´snie liniowo z bezwzgledn_, a warto´sci_, a momentu kwadrupolowego. Pro-_, mie´_{n torusa w minimum energii jest r´owny ok. 10 − 12 fm, podczas gdy ´sredni} pro-mie´n tuby d torusa ro´snie od 3 do 3.5 fm. Warto´s´c RMSR/d dla toroidu w stanie podstawowym zmienia sie od 3 do 4 fm. Tak du˙za warto´s´c tego wsp´oÃlczynnika a_,

Rysunek 2.8: RozkÃlad gesto´sci dla j_, adra_, 416

164252: kulista konfiguracja dla Q2= 0 (a), dysku

dla Q2= −130 (b), toroidu dla Q2= −280 (c) ( rys. 4 z pracy [29]).

zarazem maÃla warto´s´c promienia tuby czynia super-ci_, e˙zkie toroidalne j_, adro niesta-_, bilne wzgledem multifragmentacji. Warto´s´c wsp´oÃlczynnika RMSR/d jest mniejsza_, ni˙z wskazywaÃlyby na to przewidywania z modelu kroplowego. W powy˙zszym stu-dium nad jadrem toroidalnym, struktura powÃlokowa j_, adra nie byÃla brana pod uwag_, e,_, pomimo ˙ze autor zdaje sobie sprawe z wagi jak_, a mo˙ze ona odgrywa´c w stabilno´sci_, ukÃladu.

Podsumowujac otrzymane przez Ward_, e rezultaty mo˙zna powiedzie´c, ˙ze mini-_, mum energii potencjalnej dla torusa maleje wzgledem energii sferycznych konfigu-_, racji wraz z rosnac_, a mas_, a ukÃladu. Dla j_, ader o Z > 140 globalne minima ener-_, gii potencjalnej odpowiadaja toroidalnym ksztaÃltom a przyrost energii potencjalnej_, wzrasta od 180 MeV dla A ∼ 480. Dodatkowo Warda uwa˙za, ˙ze w przeciwie´nstwie do jader typu ba´_, nka, masy jader toroidalnych s_, a eksperymentalnie mo˙zliwe do otrzy-_, mania w zderzeniach stabilnych izotop´ow. Jednak˙ze wedÃlug Wardy stabilno´s´c super-cie˙zkich toroidalnych j_, ader wzgl_, edem zmian momentu kwadrupolowego powinna by´c_, por´ownana z innymi ni˙z multifragmentacja sposobami rozpadu. Wprawdzie wydaje sie, ˙ze multifragmentacja dominuje w kanale rozpadu j_, ader toroidalnych jednak emi-_, sja lekkich czastek i rozpad β powinny by´c tak˙ze uwzgl_, ednione._,

Alternatywne podej´scie prezentuje Vienas [30], kt´ory prowadziÃl badania egzotycz-nych jader w oparciu o uog´olnion_, a metod_, e Thomas’a-Fermi’ego (ETF) z zaadop-_, towana siÃl_, a Skyrmy i rozwi_, azaniami r´owna´_, n Euler-Lagrange’a (EL)dla okre´slonej liczby proton´ow i neutron´ow. Na wykresie 2.10 przedstawione zostaÃly rozkÃlady gesto´sci proton´ow i neutron´ow ukÃladu j_, adrowego o liczbie neutron´ow N = 560 i_, liczbie proton´ow Z = 240. W przypadku tego obiektu istnieja dwa rozwi_, azania_, r´owna´n EL z bardza podobn_, a energi_, a na nukleon. Jedno z nich odpowiada j_, adru_, ze zredukowana ale sko´_, nczona g_, esto´sci_, a w centrum ukÃladu. Taki obiekt nazywamy_, niepeÃlna ba´_, nka (org. semibubbel). Drugie rozwi_, azanie odpowiada prawdziwej ba´_, nce

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₁₈

Rysunek 2.9: Energia potencjalna dla ukÃladu jadrowego_, 416

164252 w funkcji momentu

kwadru-polowego (dolny panel). KsztaÃlt kulisty jest przedstawiony linia ci_, agÃla, torus - linia kreskowana._, ´

Sredni promie´n kwadratowy (RMSR) w funkcji momentu kwadrupolowego (´srodkowy panel). Pro-mie´n tuby d i wsp´oÃlczynnik RM SR/d (linia kropkowana) dla torusa (g´orny panel)( rys. 2 z pracy [29]).

(org. true bubbel), w kt´orej nukleony sa skoncentrowane w cie´_, nkiej warstwie na po-wierzchni sfery.

Na rysunku 2.11 zebrane zostaÃly wyniki, kt´ore wyra˙zaja energi_, e na nukleon_, zar´owno proton´ow jak i neutron´ow, ich potencjaÃl chemiczny zar´owno dla niepeÃlnej ba´nki jak i prawdziwej ba´nki dla izotop´ow pierwiastka o Z = 240 . Z rysunku 2.11 wida´c, ˙ze dla danej liczby atomowej Z istnieje wiele warto´sci N, dla kt´orych wsp´oÃlistnieja oba przypadki. Zar´owno niepeÃlna ba´_, nka jak i prawdziwa koegzystuja_, w obszarze od N = 524 do N = 576. Dla liczby N z przedziaÃlu od 498 do 524 tylko prawdziwe ba´nki sa stabilne wzgl_, edem emisji proton´ow, mimo ˙ze niepeÃlne ba´_, nki istnieja w tym obszarze to s_, a one jednak niestabile (dodatnie warto´sci potencjaÃlu_, chemicznego dla proton´ow). Dla liczby neutron´ow powy˙zej N = 576 do N = 620 otrzymujemy rozwiazania tylko dla prawdziwych baniek. Z rysunku 2.11 wynika_, r´ownie˙z, ˙ze dla Ãla´ncucha izotop´ow o Z = 240 stan podstawowy ukÃladu znajduje sie w prawdziwej ba´_, nce, w przeciwie´nstwie do mniejszych warto´sci Z kiedy to stan podstawowy przyjmuje ksztaÃlt niepeÃlnej ba´nki.

Rysunek 2.10: RozkÃlady gesto´sci proton´_, ow i neutron´ow (lewy wykres) i potencjaÃlu jed-noczastkowego spp (prawy wykres) dla ukÃladu j_, adrowego o liczbie neuton´ow N = 560 i liczbie_, proton´ow Z = 240 w ksztaÃlcie prawdziwej ba´nki (linia ciagÃla) i niepeÃlnej ba´, nki (linia kreskowana)(

rys. 1 z pracy [30]).

Na rysunku 2.10 przedstawiony zostaÃl tak˙ze dla proton´ow i neutron´ow rozkÃlad potencjaÃlu jednoczastkowego (spp). W przypadku neutron´ow widzimy, ˙ze zanika on_, przy centralnej cze´sci j_, adra dla prawdziwej ba´_, nki natomiast w przypadku niepeÃlnej ba´nki jest on znacznie zredukowany z zachowaniem warto´sci minimalnej. Dla pro-ton´ow spp jest bardzo silny w centralnej cze´sci oraz na zewn_, atrz prawdziwej ba´_, nki, za´s w przypadku niepeÃlnej ba´nki generuje silna barier_, e kulombowsk_, a tylko na zewn_, atrz_, konfiguracji.

W wyniku zderze´n cie˙zkich jon´ow przy ´srednich energiach formowane ukÃlady s_, a_, mocno wzbudzone. Po cze´sciowej dysypacji energii nast_, epuj_, acej w wyniku emisji_, czastek ze stanu preequilibrium (stan przed ustaleniem si_, e r´ownowagi termicznej)_, oraz rotacji, jadro zÃlo˙zone osi_, aga stan r´ownowagi z ustalon_, a energi_, a wzbudzenia_, E∗_{. Ten wzbudzony stan mo˙ze by´c opisany przy pomocy temperatury T, je´sli czas}

termalizacji jest kr´otszy ni˙z czas dla typowej skali rozpadu. Stan ten jest stanem metastabilnym wzgledem emisji nukleon´ow. Wa˙znym jest podkre´slenie tego i˙z, w_, momencie, gdy temperatura T wzrasta wpÃlyw poprawek powÃlokowych na opis jadra_, staje si_{e sÃlabszy a przy temperaturze T ∼ 2 − 3 MeV zupeÃlnie zanika [31]. Z drugiej,} strony obliczenia Hartree - Fock’a pokazuja, ˙ze istnieje temperatura graniczna T_, lim,

poza kt´ora normalne j_, adra staj_, a si_, e niestabilne z powodu oddziaÃlywania kulombow-_, skiego. Kiedy temperatura wzrasta, energia powierzchni maleje szybciej ni˙z udziaÃl oddziaÃlywania kulombowskiego i nukleony sa wyrzucane na zewn_, atrz j_, adra przy_, odpowiednio wysokiej temperaturze [32]. W zwiazku z powy˙zszym o ile przy tem-_, peraturze zero sferyczne ba´nki sa stabilne wzgl_, edem deformacji z powodu efekt´ow_, powÃlokowych to o tyle przy temperaturze T ∼ 2−3 MeV powinny znika´c ze wzgl, edu,

na sÃlabniecie efekt´ow powÃlokowych. U˙zywaj_, ac jednak prostego modelu pokazano,_, ˙ze efekty termiczne moga stabilizowa´c ukÃlad wzgl_, edem deformacji. Obliczenia wy-_, konane przy u˙zyciu modelu Thomas’a - Fermi’ego, TF, dla ukÃladu500_{180 w ksztaÃlcie}

niepeÃlnej ba´nki oraz ukÃladu 900_{274 o ksztaÃlcie prawdziwej ba´nki pokazuj} ,

gra-ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₂₀

Rysunek 2.11: Energia na nukleon w MeV zar´owno proton´ow jak i neutron´ow oraz ich potencjaÃl chemiczny dla prawdziwej ba´nki i niepeÃlnej dla izotop´ow Z = 240 ( tabela 1 z pracy [30]).

niczna temperatura Tlim w obu przypadkach wynosi okoÃlo 5 MeV. Jest ona

znacz-nie ni˙zsza od temperatury dla normalnych - sferycznych jader, dla kt´orych wynosi_, ona okoÃlo Tlim ∼ 8 − 10 MeV. Wynika to z faktu, ˙ze du˙za liczba proton´ow w

rozwa˙zanych ba´nkach preferuje niestabilno´s´c wywoÃlana oddziaÃlywaniem kulombow-_, skim, gdy wzrasta temperatura. Na poziomie TF energia wzbudzenia na nukleon przy granicznej temperaturze dla niepeÃlnej ba´nki 500_{180 wynosi 3.40 MeV/A,}

pod-czas gdy prawdziwej ba´nki 900_{274 wynosi 2.06 MeV/A, co zgodne jest z faktem,}

˙ze w przypadku sferycznych jader graniczna energia wzbudzenia na nukleon ma-_, leje wraz ze wzrostem masy ukÃladu. Na rysunku 2.12 przedstawiony zostaÃl rozkÃlad gesto´sci neutron´ow i proton´ow dla obu rozwa˙zanych konfiguracji przy wybranych_, temperaturach T = 0, 2.5, 5 MeV.

Widzimy, ˙ze wraz ze wzrostem temperatury nukleony sa wypychane na zewn_, atrz_, ukÃladu wywoÃlujac wzrost promienia danej konfiguracji, prowadz_, ac do rozmycia po-_, wierzchni. Poniewa˙z stabilne wzgledem emisji proton´ow i neutron´ow j_, adra ba´_, nkowate zawieraja du˙z_, a liczb_, e nukleon´ow, to czyni je trudnymi do otrzymania w reakcjach_, jadrowych. Podejrzewa si_, e jednak, ˙ze j_, adra egzotyczne mog_, a wyst_, epowa´c w po-_, wierzchniowych warstwach gwiazd neutronowych i dop´oki istnieje takie przypusz-czenie dop´oty problem istnienia jader sferycznych nie zostaÃl rozwi_, azany i wymaga_, dalszych bada´n.

Rysunek 2.12: RozkÃlady gesto´sci neutron´_, ow i proton´ow dla konfiguracji ba´nki o 500 (lewy panel) i 900 (prawy panel) nukleonach przy wybranych temperaturach granicznych T = 0, 2.5, 5 MeV ( rys. 2 z pracy [30]). RozkÃlad o mniejszej gesto´sci odpowiada protonom, natomiast rozkÃlad o_, wiekszej g, esto´sci odpowiada neutronom.,

2.3

Badanie mo˙zliwo´

sci formowania si

e egzotycz-

nych j

ader w ramach mikroskopowych modeli

dynamicznych

Mikroskopowe modele dynamiczne badajac zderzenia j_, adro - j_, adro uwzgl_, edniaj_, a_, efekty ´sredniego pola i zakaz Pauliego. ´Sledza one czasow_, a ewolucj_, e ukÃladu, kt´ory_, powstaje w wyniku kolizji jader atomowych. Formalizm dw´och takich modeli jest_, zaprezentowany w rozdziale 3.

PrzykÃladem oblicze´n w ramach modeli dynamicznych sa rezultaty otrzymane dla_, ukÃlad´ow:

• 84_{Kr +}197_{Au przy energii 65 MeV/nukleon dla b=0 fm i 2 fm [12]}

• 92_{M o+}92_{M o przy energii 75 MeV/nukleon dla b=0 fm przy zaÃlo˙zeniu mi} ,

ekkiego i sztywnego r´ownania stanu [33]

• 93_{N b +}93_{N b przy 60 MeV/nukleon i parametrze zderzenia b=0 fm [13]}

• 90_{M o +}90_{M o przy energiach 55, 75, 100 MeV/nukleon, dla dw´och warto´sci}

parametr´ow nie´sci´cliwo´sci materii jadrowej K=200 i 540 MeV [34]_, • 36_{Ar +}45_{Sc przy energii 80 MeV/nukleon dla centralnych zderze´n [35]}

• 52_{Ca +}48_{Ca przy energii 80 MeV/nukleon dla b=0 fm [36]}

• 238_{U +}238_{U oraz} 232_{T h +}250_{Cf , dla energii z zakresu 5.7 − 15.8 MeV/nukleon}

dla centralnych zderze´n [37]

Poni˙zej przedstawione sa rezultaty oblicze´_, n dla ukÃladu92_{M o +}92_{M o przy energii}

75 MeV/nukleon jakie zaprezentowaÃl H. M. Xu [33], kt´ory badaÃl formowanie sie_, egzotyczne ukÃlad´ow w ramach modelu BUU.

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₂₂

Rysunek 2.13: Rezultaty oblicze´n BUU dla czoÃlowego zderzenia pomiedzy_, 92

M o +92

M o przy energii 75 MeV/nukleon dla twardego r´ownania stanu dla obszaru, w kt´orym gesto´s´c ρ miaÃla_, warto´s´c wieksz_, a ni˙z 0.1ρ, 0 ( rys. 1 z pracy [33]).

StaraÃl sie znale´z´c odpowied´z na pytanie: czy bariera potencjalna na rozszcze-_, pienie i multifragmentacje jest osi_, agana w czasie, w kt´orym tworzone s_, a egzotyczne_, ksztaÃlty i czy zaÃlo˙zenie niskiej gesto´sci w modelach rozszczepienia ma wpÃlyw na_, rozpad takich ukÃlad´ow. W pracy pokazano, ˙ze maximum energii potencjalnej i ba-riera na fragmentacje osi_, agane s_, a w czasie tworzenia si_, e egzotycznych ksztaÃlt´ow._, Pokazano tak˙ze, ˙ze ukÃlady egzotyczne sa formowane, kiedy system rozszerza si_, e,_, osiagaj_, ac bardzo maÃl_, a g_, esto´s´c. Na wykresach 2.13 i 2.14 przedstawiono czasow_, a_, ewolucje rozkÃladu g_, esto´sci badanego ukÃladu._,

Widzimy, ˙ze dla sztywnego r´ownania stanu rozkÃlad gesto´sci przyjmuje ksztaÃlt_, toroidalny w czasie okoÃlo 120f m/c z osia symetrii r´ownolegÃl_, a do osi wi_, azki. Nato-_, miast dla miekkiego r´ownania (rys. 2.14) stanu w chwili czasu okoÃlo 140f m/c tworzy_, sie ba´_, nka, kt´ora rozpada sie izotropowo. Jak wida´c na powy˙zszych wykresach dy-_, namiczna kompresja i nastepnie ekspansja odgrywaj_, a wa˙zn_, a rol_, e w tworzeniu si_, e_, egzotycznych konfiguracji.

Ilo´sciowo przedstawione to zostaÃlo na wykresie 2.15, na kt´orym prezentowana jest ewolucja ´sredniej g_{esto´sci zdefiniowanej jako hρi =,} R_Dρ2_d3_r/R

Dρd

3_{r w funkcji czasu.}

Tutaj D jest obszarem, w kt´orym g_{esto´s´c wynosi ρ ≥ 0.1ρ,} 0, gdzie ρ0 to normalna

gesto´s´c materii j_, adrowej. Dolny panel wykresu przedstawia ewolucj_, e czasow_, a masy_, cie˙zkiego residuum A_, res. Dla obu tych wielko´sci przedstawione sa przewidywania_,

dla miekkiego i twardego r´ownania stanu. Ewolucja masy A_, res pokazuje wyra´znie

dwie tendencje: gwaÃltowny spadek odpowiadajacy emisji w stanie preequilibrium_, (czyli przed osiagni_{, eciem r´ownowagi)w pierwszej fazie (t = 30 − 100fm) i stopniowy,}

Rysunek 2.14: Rezultaty oblicze´n BUU dla czoÃlowego zderzenia pomiedzy, 92

M o +92

M o przy energii 75 MeV/nukleon dla miekkiego r´_, ownania stanu. Dolna granica rozkÃladu gesto´sci zostaÃla_, przyjeta na poziomie 0.1ρ_, 0( rys. 2 z pracy [33]).

spadek przypominajacy powolne parowanie cz_, astek w p´o´zniejszym czasie._,

Dynamika kompresji i ekspansji jest przedstawiona na g´ornym panelu rysunku 2.15. Widzimy tutaj ˙ze, maximum ´sredniej gesto´sci jest osi_{, agane dla hρi,} max ≈

1.2hρ0i bardzo szybko, ju˙z dla t ≈ 25 − 30 fm/c. Po czasie okoÃlo 100 fm/c nastepuje,

wyra´zna ekspansja z minimum g_{esto´sci hρi,} min ≈ 0.2hρ0i. ´Srednia gesto´s´c stopniowo_,

wzrasta dla czasu t ≥ 100, co odzwierciedla kondensacje fragment´ow. Pocz, atkowo,

gesto´sci dla obu rodzaj´ow r´owna´_, n maja podobne warto´sci, ale po czasie r´ownym_, okoÃlo 50 fm/c sztywnemu r´ownaniu odpowiada wy˙zsza warto´s´c gesto´sci. Dzieje si_, e_, tak dlatego, ˙ze dla twardego r´ownania stanu siÃla napiecia powierzchniowego jest_, wieksza, zatem tendencja do rozpadu ukÃladu jest mniejsza. Wida´c r´ownie˙z, ˙ze_, najmniejsza gesto´s´c jest osi_{, agana przy czasie r´ownym okoÃlo t ≈ 100 fm/c, kiedy,} to ,jak widzieli´smy na wykresach 2.19 i 2.20, tworzy sie j_, adro ba´_, nki i torusa. I o ile efekty kompresji i ekspansji w procesach niskoenergetycznych moga by´c zaniedbane_, o tyle w przypadku formowania sie j_, ader egzotycznych nie mo˙zna ich zaniedba´c przy_, rozwa˙zanej energii.

W celu ilo´sciowego opisu wpÃlywu procesu kompresji i ekspansji na warto´s´c ba-riery potencjalnej oszacowana zostaÃla warto´s´c energii deformacji jako funkcji czasu. Wyra˙zenie na wspomniana energi_, e ma nast_, epuj_, ac_, a posta´c:_,

E_def∗ = Eint(T = 0, ρ) − Eint(T = 0, ρ = ρ0). (2.12)

Drugi czÃlon r´ownania wyra˙za energie wewn_, etrzn_, a stanu podstawowego j_, adra; pierw-_, szy czÃlon jest wewnetrzn_, a energi_, a zimnego j_, adra o temperaturze T = 0 i g_, esto´sci ρ._,

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₂₄

Rysunek 2.15: G´orny panel: ´Srednia gesto´s´c w funkcji czasu dla czoÃlowego zderzenia pomi_, edzy_,

92

M o +92

M o przy energii 75 MeV/nukleon dla miekkiego (linia przerywana) i sztywnego (linia_, ciagÃla) r´ownania stanu; dolny panel: ewolucja czasowa masy ci, e˙zkiego residuum w funkcji czasu (,

rys. 3 z pracy [33]).

Obejmuje on zar´owno energie potencjaln_, a i energi_, e kinetyczn_, a zwi_, azan_, a z ruchem_, Fermiego.

Rysunek 2.16 przedstawia energie deformacji w funkcji czasu dla sztywnego (linia_, ciagÃla) i mi_, ekkiego (linia przerywana) r´ownania stanu dla g_{, esto´sci ρ ≥ 0.1ρ,} 0. Z

wykresu wida´c, ˙ze po czasie t ≈ 75 fm/c energia deformacji osiaga maksimum dla obu,

przypadk´ow r´owna´n. Na rysunku 2.17 zaprezentowano energie deformacji skalowan_, a_, jednostka masy ci_, e˙zkiego residuum r´ownie˙z w funkcji czasu._,

Wida´c r´ownie˙z jak du˙za warto´s´c osi_, aga bariera, E_, ∗

def ∼ 600 MeV dla miekkiego,

r´ownania stanu, E∗

def ∼ 750 MeV dla twardego r´ownania stanu lub Edef∗ /Ares ∼ 4

MeV/A dla obu r´owna´_{n w czasie t ≈ 120−130 fm/c dla miekkiego i t ≈ 80−100 fm/c,} dla sztywnego r´ownania stanu, kt´ore sa bliskie czasom kiedy torus i ba´_, nka wÃla´snie sie uformowaÃly. Przy tych czasach ´srednia g_, esto´s´c egzotycznych ksztaÃlt´ow osi_, aga_, warto´s´c minimalna. A zatem poniewa˙z formowanie si_, e toroidalnych i ba´_, nkowatych konfiguracji nastepuje przy bardzo niskiej ´sredniej g_, esto´sci, wysoko´s´c bariery na_, fragmentacje jest bardzo wysoka: 2 do 3 razy wieksza ni˙z przewiduje model kroplowy_, [38].

Podsumowujac otrzymane rezultaty, pokazane zostaÃlo, i˙z egzotyczne ksztaÃlty_, tworzone sa przy niskich g_, esto´sciach z powodu wysokich warto´sci amplitud g_, esto´sci_, kompresji i ekspansji. Z tego te˙z powodu wysoko´sci barier dla egzotycznych konfi-guracji sa znacznie wy˙zsze ni˙z przewiduje to model kroplowy. WedÃlug Xu rozpad_, egzotycznych obiekt´ow powinien by´c wcielony w standardowe modele statystyczne

Rysunek 2.16: Energia deformacji w funkcji czasu dla czoÃlowego zderzenia pomiedzy_, 92

M o +92

M o przy energii 75 MeV/nukleon dla miekkiego (linia przerywana) i sztywnego (linia ci_, agÃla)_, r´ownania stanu ( rys. 4 z pracy [33]).

w celu przeprowadzenia dalszych bada´n nad tym zjawiskiem.

Niezale˙zne badania r´ownie˙z przy u˙zyciu modelu BUU przeprowadziÃl Bauer [13]. W swojej pracy wskazuje na mo˙zliwo´s´c pojawienia sie j_, ader w ksztaÃlcie ba´_, nki i to-roidu przy centralnych zderzeniach cie˙zkich jon´ow i energiach kolizji rz_{, edu 50 − 60,} MeV/nukleon. Obliczenia wykonano dla reakcji 93_{N b +}93 _{N b. Na rysunku 2.18}

obserwujemy ewolucje czasow_, a ukÃladu powstaÃlego w wyniku centralnego zderzenia_,

93_{N b +}93_{N b przy energii 60 MeV/nukleon. W pocz} ,

atkowej fazie reakcji t = 40f m/c obserwujemy kompresje ukÃladu i wzrost g_, esto´sci do warto´sci 1.4ρ_, 0. W kolejnych

chwilach system rozszerza sie a g_, esto´s´c w centrum ukÃladu spada do ρ_, 0/2, a wiekszo´s´c_,

materii tworzy powÃloke sferyczn_{, a. W czasie 100 − 130 fm/c materia blisko centrum,} nadal wypÃlywa w kierunku zewnetrznym, a˙z w ko´_, ncu po czasie 160 fm/c spada do 0.3ρ0 tworzac ukÃlad w ksztaÃlcie ringu w kierunku prostopadÃlym do osi wi_, azki. Wi-_,

doczne na rysunku fluktuacje ksztaÃltu spowodowane sa niestabilno´sci_, a powierzchni_, Rayleigh-Taylor’a.

Przeprowadzone przez Bauera i jego grupe symulacje pozwoliÃly przewidzie´c eks-_, perymentalne konsekwencje wynikajace z formowania si_, e ukÃlad´ow w ksztaÃlcie ba´_, nki czy ringu. Po pierwsze fragmenty powstaÃle z rozpadu takich obiekt´ow powinny mie´c bardziej podobne masy ani˙zeli z rozpadu obiekt´ow kulistych przy tej samej tempe-raturze. Cho´c sami autorzy zwracaja uwag_, e na trudno´s´c w ilo´sciowym okre´sleniu_, tej tendencji, to jasnym jest wedÃlug autor´ow, ˙ze wzglednie zimny obiekt o du˙zej_, powierzchni bedzie produkowaÃl wi_, ecej obiekt´ow ni˙z obiekt gor_, acy o mniejszej po-_, wierzchni, kt´ory gÃl´ownie emituje neutrony i izotopy wodoru i helu. Po drugie od-dziaÃlywanie kulombowskie w stanie ko´ncowym powinno by´c ´srednio mniejsze ni˙z w przypadku oddziaÃlywania na fragmenty powstaÃle z rozpadu zwartych obiekt´ow. Wy-nika to z ni˙zszej warto´sci bariery kulombowskiej obiekt´ow egzotycznych ni˙z obiekt´ow zwartych - kulistych.

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₂₆

Rysunek 2.17: Energia deformacji na jednostke masy ci, e˙zkiego residuum w funkcji czasu dla,

czoÃlowego zderzenia pomiedzy_, 92

M o +92

M o przy energii 75 MeV/nukleon dla miekkiego (linia_, przerywana) i sztywnego (linia ciagÃla) r´_, ownania stanu ( rys. 5 z pracy [33]).

tycznych ukÃlad´ow w reakcjach centralnych z cie˙zkimi jonami przy energiach pocisku_, rz_{edu 50 − 60 MeV/nukleon, a obserwablami, kt´ore pozwoliÃlyby je zidentyfikowa´c,} sa fragmenty o podobnych masach powstaÃle z rozpadu takich system´ow oraz ni˙zsza_, warto´s´c oddziaÃlywania kulombowskiego pomiedzy tymi fragmentami._,

Badania nad egzotycznymi jadrami w zupeÃlnie innym uj_, eciu zaproponowano_, w pracy [37]. Przedmiotem zainteresowania byÃla gÃleboko nieelastyczna reakcja_,

238_{U +}238_{U przy energiach zderzenia od 5.7 do 15.8 MeV/nukleon (E}

c.m. = 680−1880

MeV). Badano mechanizm formowania a tak˙ze wÃla´sciwo´sci powstajacego ukÃladu_, zÃlo˙zonego przy u˙zyciu modelu ImQMD (org. improved quantum molecular dyna-mics model) [39].

W modelu tym nie uwzglenione zostaÃly efekty powÃlokowe, czÃlon spin-orbita w_, rozkÃladzie energii a tak˙ze deformacja stanu podstawowego zderzanych jader. Zba-_, dane zostaÃly takie wÃla´sciwo´sci ukÃladu jak ´sredni czas ˙zycia ukÃladu, jego ksztaÃlt, rozkÃlad pedu, rozkÃlad k_, atowy powstaj_, acych z rozpadu fragment´ow przy r´o˙znych_, energiach zderzenia.

Do ilo´sciowego opisu dynamicznej deformacji systemu posÃlu˙zono sie zmian_, a w_, czasie momentu kwadrupolowego Qzz zdefiniowanego jako:

Qzz =

X

i

[2z(i)2_{− x(i)}2_{− y(i)}2], (2.13) gdzie i przebiega po wszystkich nukleonach w ukÃladzie, x(i), y(i), z(i) sa wsp´oÃlrz_, ednymi_, i-tego nukleonu. Na wykresie 2.19 widzimy ewolucje czasow_, a momentu kwadru-_, polowego Qzz podczas formowania sie zÃlo˙zonego ukÃladu powstaÃlego po czoÃlowym_,

zderzeniu 238_{U +}238_{U przy r´o˙znych energiach zderzenia.}

Przy energiach od 5.7 do 7.4 MeV/nukleon ( Ec.m.=680 - 880 MeV), Qzz na

Rysunek 2.18: Czasowa ewolucja gesto´sci ρ w jednostkach ρ_, 0 w pÃlaszczy´znie reakcji (o´s z jest

osia wi_, azki) dla centralnego zderzenia_, 93

N b +93

N b przy energii 60 MeV/nukleon ( rys. 1 z pracy [13]).

rosna´c. Dodatnia warto´s´c Q_, zz oznacza, ˙ze powstaÃly ukÃlad przybiera ksztaÃlt lekko

wydÃlu˙zonej kuli w kierunku osi z. Dla energii 15.8 MeV/nukleon (Ec.m.=1880 )

ob-serwujemy r´ownie˙z bardzo szybki spadek od warto´sci dodatnich do zera by nastepnie_, pÃlynnie wraz ze wzrostem czasu spa´s´c do warto´sci ujemnych. Na rysunku 2.20 obser-wujemy dla tego przypadku zmiany zachodzace w ksztaÃlcie systemu wraz z upÃlywem_, czasu. Widzimy jak w chwili czasu 200 fm/c zderzajace si_, e j_, adra zlepiaj_, a si_, e ra-_, zem tworzac zÃlo˙zony ukÃlad o ksztaÃlcie sferycznym by nast_, epnie po 350 fm/c zacz_, a´c_, wydÃlu˙za´c sie w kierunku prostopadÃlym do osi wi_, azki. Wraz z upÃlywaj_, acym czasem_, deformacja systemu staje sie coraz wi_, eksza a˙z w ko´_, ncowym stanie ukÃlad rozpada sie_, w pÃlaszczy´znie prostopadÃlej do osi wiazki._,

Na wykresie 2.19 obserwujemy, ˙ze dla energii ni˙zszych od 880 MeV lub wy˙zszych od 1880 MeV, Qzz na poczatku maleje, nast, epnie przyjmuje warto´s´c zero przy czasie,

rzedu kilkuset fm/c, by ostatecznie przyj_, a´c warto´s´c dodatni_, a lub ujemn_, a, odpowied-_, nio. Wida´c zatem, ˙ze ksztaÃlt formujacego si_, e ukÃladu zale˙zy od energii zderzenia i_, przy rozpatrywanych energiach ulega on du˙zej deformacji. KsztaÃlt sferyczny system zachowuje tylko w bardzo kr´otkim okresie czasu od 300 do 400 fm/c, kt´ory jest du˙zo

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₂₈

Rysunek 2.19: Czasowa ewolucja momentu kwadrupolowego Qzz dla czoÃlowego zderzenia 238

U +238

U przy wybranych energiach ( rys. 11 z pracy [37]).

kr´otszy ni˙z ´sredni czas ˙zycia powstaÃlego ukÃladu.

Na rysunkach 2.21, 2.22 widzimy ewolucje czasow_, a ukÃladu powstaÃlego w wy-_, niku centralnego zderzenia 238_{U +}238 _{U przy energii 30 MeV/nukleon (E}

c.m.=3570

MeV). Obserwujemy jak w kolejnych chwilach czasowych ukÃlad ewoluuje od kuli-stego ksztaÃltu przy czasie okoÃlo 200 fm/c poprzez spÃlaszczona sfer_, e przy 300 fm/c_, a˙z do osiagni_, ecia ksztaÃlu torusa przy 400 fm/c i fragmentacji po upÃlyni_, eciu okoÃlo_, 600 fm/c.

Podsumowujac wyniki pracy Tian’a i innych mo˙zna stwierdzi´c, i˙z wÃla´sciwo´sci_, zÃlo˙zonego ukÃladu takie jak ´sredni czas ˙zycia, jego ksztaÃlt, rozkÃlad katowy frag-_, ment´ow rozpadu silnie zale˙za od energii zderzenia._,

2.4

Przewidywania eksperymentalne

Jak ju˙z zostaÃlo wspomniane we wstepie eksperymentalne ewidencje zgromadzone do_, tej pory wskazujace na rozpad ukÃladu o egzotycznym ksztaÃlcie s_, a bardzo nieliczne._, Jedna z prac prezentuj_, acych dowody na rozpad systemu o egzotycznym ksztaÃlcie_, jest praca Stone’a i innych [16]. Zaprezentowano w niej wyniki analizy danych eksperymentalnych dla centralnych zderze´n86_{Kr +}93_{N b w szerokim zakresie energii}

od 35 do 95 MeV/nukleon u˙zywajac detektora typu 4π z MSU [41]._,

Jedna z analizowanych obserwabli wskazuj_, ac_, a na rozpad ukÃladu o egzotycznym_, ksztaÃlcie, byÃla krotno´s´c fragment´ow o po´srednich masach (NIM F), kt´orych Ãladunek

Z mie´sciÃl si_{e w obszarze 3 ≤ Z ≤ 20. Na rysunku 2.23 wida´c rozkÃlad N,} IM F w funkcji

energii zderzenia (g´orny panel ) oraz ´sredni Ãladunek IMF-´ow znormalizowany do Ãladunku ´zr´odÃla. Na wykresie tym mo˙zna zauwa˙zy´c 5% wzrost emisji fragment´ow o po´srednich masach oraz taki sam wzrost podobie´nstwa Ãladunk´ow tych fragment´ow.

Rysunek 2.20: Czasowa ewolucja gesto´sci ukÃladu dla centralnego zderzenia_, 238

U +238

U przy energii 15.8 MeV/nukleon (Ec.m.=1880 MeV ) w pÃlaszczy´znie x-z, z-o´s wiazki ( rys. 12 z pracy_,

[37]).

Kolejna obserwabl_, a, kt´orej rozkÃlad wskazywaÃl na to, ˙ze mamy do czynienia z_, rozpadem z ukÃladu egzotycznego byÃla sferyczno´s´c (org. sphericity) S (patrz rozdziaÃl 6.1). Wielko´s´c ta charakteryzuje ksztaÃlt ukÃladu, im wieksza jest jej warto´s´c tym_, bardziej izotropowy byÃl rozpad. Na wykresie 2.24 przedstawiony zostaÃl rozkÃlad sfe-ryczno´sci w funkcji enegii. Zaobserwowano 5% zmniejszenie parametru sfesfe-ryczno´sci mierzonych zdarze´n przy energii zderzenia 60 MeV/nukleon.

Podsumowujac prac_, e Stone’a, zebrane przez jego grup_, e dane wskazuj_, a na 5%_, wzmocnienie w emisji fragment´ow o po´srednich masach a tak˙ze w podobie´nstwie rozmiar´ow emitowanych IMF-´ow. Zaobserwowano tak˙ze 5% redukcje warto´sci sfe-_, ryczno´sci, kt´ora mo˙ze wskazywa´c na rozpad z torusa a nie z obiektu sferycznego. Wszystkie zmiany w obserwowanych parametrach wystepuj_, a dla energii pocisku z_, przedziaÃlu od 60 do 75 MeV/nukleon.

Wyniki Stone’a to nie jedyne dane eksperymentalne wskazujace na istnienie_, ukÃlad´ow o ksztaÃltach niesferycznych. Niezaleznie od Stone’a prace nad tym za-gadnieniem prowadziÃla grupa Jouault’a z CNRS (Francja), kt´ora zebraÃla materiaÃl eksperymentalny dla reakcji Au + P b i P b + Ag przy energii 29 MeV/nukleon [17]. Na wykresie 2.25 przedstawiony zostaÃl rozkÃlad energii kinetycznej i predko´sci_, emitowanych fragment´ow w funkcji ich Ãladunku. Widzimy, ˙ze predko´s´c fragment´ow_, maleje mocno z Ãladunkiem dla reakcji P b + Ag i znacznie sÃlabiej dla Au + P b. Energia kinetyczna natomiast, w przypadku Au + P b wzrasta wraz z Ãladunkiem do

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₃₀

Rysunek 2.21: Czasowa ewolucja gesto´sci ukÃladu dla centralnego zderzenia_, 238

U +238

U przy energii 30 MeV/nukleon (Ec.m.=3570 MeV) w pÃlaszczy´znie x-y, prostopadÃlej do osi wiazki [40]._,

pewnej warto´sci po czym osiaga staÃl_, a warto´s´c niezmienn_, a wraz z Ãladunkiem, podczas_, gdy dla reakcji P b + Ag obserwujemy charakterystyczne maksimum dla po´srednich Ãladunk´ow. RozkÃlady predko´sci dla obu reakcji wskazuj_, a zatem na rozr´o˙znienie_, ksztaÃlt´ow z jakich nastapiÃl rozpad. W przypadku dysku, fragmenty s_, a produko-_, wane wszedzie, w caÃlej dost_, epnej obj_, eto´sci przez co rozkÃlad pr_, edko´sci jest szeroki._, Najcie˙zsze fragmenty s_, a formowane w centrum ukÃladu i maj_, a najni˙zsz_, a pr_, edko´s´c_, w niesko´nczono´sci. Dla toroid´ow, fragmenty sa ulokowane blisko powierzchni co_, pociaga za sob_, a w_, aski rozkÃlad pr_, edko´sci. Potwierdza to przewag_, e rozpadu ze ´zr´odÃla_, w ksztaÃlcie dysku w centralnym zderzeniu P b + Ag oraz multifragmentacji ze ´zr´odÃla toroidalnego w reakcji Au + P b.

Rezultaty eksperymentalne zostaÃly por´ownane z wynikami symulacji dla tych reakcji. Obliczenia zostaÃly wykonane przy u˙zyciu modelu Landau-Vlasov rozsze-rzonego o czÃlon zderzeniowy Uehling-Uhlenbeck z zaÃlo˙zeniem miekkiego r´ownania_, stanu. Widoczne na rysunku 2.25 czarne kropki to rezultaty symulacji, kt´ore jak widzimy na wykresie pokrywaja sie w granicach bÃl_, edu z danym eksperymentalnymi._, Zatem wyniki przedstawione przez Jouault’a w powy˙zej wspomnianej pracy do-starczaja eksperymentalnych wskaz´owek na mo˙zliwo´s´c istnienie egzotycznych (toro-_, idalnych) ukÃlad´ow w reakcjach z cie˙zkimi jonami przy po´srednich energiach._,

Rysunek 2.22: Czasowa ewolucja gesto´sci ukÃladu dla centralnego zderzenia_, 238

U +238

U przy energii 30 MeV/nukleon (Ec.m.=3570 MeV ) w pÃlaszczy´znie x-z, z-o´s wiazki [40]._,

Rysunek 2.23: RozkÃlad (a) krotno´sci fragment´ow o po´srednich masach NIM F (b) caÃlkowitego

Ãladunku IMF-´ow (3 ≤ ZIM F ≤ 20) w funkcji energii zderzenia dla reakcji 86

Kr +93

N b ( rys. 1 z pracy [16]).

ROZDZIAÃL 2. PRZEWIDYWANIA MODELOWE I EKSPERYMENTALNE ₃₂

Rysunek 2.24: RozkÃlad sferyczno´sci w funkcji energii zderzenia dla reakcji86

Kr +93

N b ( rys. 3 z pracy [16]).

Rysunek 2.25: RozkÃlad predko´sci i energii kinetycznej emitowanych fragment´ow w funkcji ich_, Ãladunku dla centralnych zderze´n w reakcjach P b + Ag i Au + P b przy energii 29 MeV/nukleon. Kropki to rezultaty symulacji, naniesione na dane eksperymentalne wraz z bÃledami ( rys. 8 z pracy_, [17]).

jader atomowych prowadzi si_, e w oparciu o modele dynamiczne [42]. Traktuj_, a one_, zderzenie jadro - j_, adro w spos´ob mikroskopowy z uwzgl_, ednieniem zderze´_, n nukleon - nukleon, efekt´ow ´sredniego pola i zakazu Pauliego.

W poni˙zszym rozdziale opisane zostana dwa wybrane modele dynamiczne: BUU_, i QMD. Rezultaty oblicze´n wykonanych w ramach tych modeli prezentowane sa_, w rozdziale 4. Uzyskane wyniki posÃlu˙zyÃly w analizie mo˙zliwo´sci formowania sie_, ukÃlad´ow o egzotycznych ksztaÃltach.

3.1

Model BUU

Model BUU oparty jest o r´ownanie transporu Boltzmana uzupeÃlnione przez Ueh-ling’a i Ulenbeck’a o czÃlon zderzeniowy i zakaz Pauliego. R´ownanie to ma posta´c:

[∂ ∂t+ v∇r− (∇rU )∇p]f (r, p, t) = − 1 (2π)6 Z d3p₂d3p₂0dΩ dσ dΩv12 {ff2(1 − f10)(1 − f₂0) − f₁0f₂0(1 − f)(1 − f₂)(2π)3δ3(p + p₂− p₁0 − p₂0)}, (3.1)

gdzie f ≡ f(r, p, t) jest funkcja rozkÃladu g, esto´sci prawdopodobie´, nstwa znalezienia

w chwili t czastki o wsp´oÃlrz_, ednej poÃlo˙zenia r i p_, edzie p._,

Czynnik dσ/dΩ to przekr´oj czynny na rozpraszanie nukleon-nukleon, v12 to

predko´s´c wzgl_, edna dw´och nukleon´ow. Aktualna g_, esto´s´c materii j_, adrowej ρ(r) wyra˙zona_, jest przez:

ρ(r) = 4 (2π)3

Z

f (r, p, t)d3p. (3.2) Z kolei U jest potencjaÃlem ´sredniego pola i zdefiniowane jest jako:

ROZDZIAÃL 3. DYNAMICZNE MODELE REAKCJI J , ADROWYCH ₃₄ U (ρ, τz) = A( ρ ρ0 ) + B(ρ ρ0 )σ_{+ (1 − τ}z)Vc+ C ρn− ρp ρ0 τz, (3.3)

gdzie ρ0 to normalna gesto´s´c materii j_, adrowej, τ_, z jest odpowiednio r´owne 1 lub

−1 dla neutronu lub protonu, VC to potencjaÃl kulombowski. StaÃle A, B, σ sa tak_,

dobrane aby uzyska´c poprawne warto´sci gesto´sci, energii wi_, azania oraz parametru_, nie´sci´sliwo´sci materii jadrowej K, zdefiniowanego jako:_,

K = 9ρ2₀∂

2_{e(ρ, 0)}

∂2_ρ |ρ = ρ0. (3.4)

StaÃla C jest staÃla w potencjale asymetrycznym, a ρ_, n, ρp reprezentuja g, esto´sci neu-,

tron´ow i proton´ow, odpowiednio. Wsp´oÃlczynniki A, B wynosza odpowiednio w_, zale˙zno´sci od rodzaju r´ownania materii jadrowej (EOS) (patrz tabela 3.1):_,

Rodzaj EOS A [ MeV ] B [ MeV ] σ K [ MeV ] sztywne -124.69 74.24 2 380 miekkie_, -356 306.1 7/6 200

Tablica 3.1: Warto´sci wsp´oÃlczynnik´ow

Istnieje wiele technik rozwiazywania r´ownania BUU. Jedn_, a z nich jest wprowa-_, dzenie N testowych czastek dla ka˙zdego z nukleon´ow j_, adra. Tak wi_, ec w przypadku_, zderzenia jadra A o liczbie nukleon´ow N_, A i jadra B o liczbie nukleon´ow N_, B mamy

w sumie (NA+ NB)N testowych czastek. G, esto´s´c materii j, adrowej jest definiowana,

jako:

ρ(r) = N0

N (NA+ NB)(δr)3

, (3.5)

gdzie N0 _{jest liczb} ,

a czastek testowych w elemencie obj_, eto´sci (δr)_, 3 _{wok´oÃl punktu}

opi-sanego wektorem r. W modelu tym pojedyncze jadro o liczbie nukleon´ow N_, A jest

reprezentowane jako zbi´or NA∗N testowych czastek wewn_, atrz obj_, eto´sci o promieniu_,

R. Uwzglednia si_, e r´ownie˙z dla cz_, astek testowych ruchy Fermiego. Zwi_, azek pomi_, edzy_, promieniem R a pedem Fermiego p_, F dany jest wyra˙zeniem: 4(4π₃ )2R3p3F = h3NA.

Zatem po wprowadzeniu N test czastek pojedyncze zderzenie j_, ader atomowych jest_, zastapione przez N r´ownolegÃlych zderze´_, n, kt´ore sa ´sledzone we wsp´olnym ´srednim_, polu, u´srednianym w ka˙zdym kroku czasowym [42]. W modelu BUU uwzglednia si_, e_, r´ownie˙z zakaz Pauliego. Kiedy dwie czastki testowe zderzaj_, a si_, e, ich wsp´oÃlrz_, edne_, zmieniaja si_, e z (r_, 1, p1)(r2, p2) na (r1, p10)(r₂, p₂0). Je´sli przestrze´n fazowa wok´oÃl

(r1, p10) i (r₂, p₂0) jest zasadniczo pusta to dopuszczalne jest rozpraszanie, w