' A D : D B :: A O : O C . L ecz z założenia
-A D . : D B : : -A F : F C , więc A O : O C : : A F : F C ;
proporcja fałszyw a, ponieważ z iedney strony poprzednik A E > A O , z drugiej następnik E C < O C ; więc równoległa prowadzona do podstawy B C przez punkt D, niemoże różnić się od linij D F j więc linija 13 F iest równo- ległą.
Uwaga. rPo samo rozwiązanie miałoby nuey-http://dlibra.ujk.edu.pl
inieysce, gdybyśmy założyli proporcyą A B : A D : : A C : A E . Ponieważ z tey proporcyi mielibyśmy
A B — A D : A D :: A C — A E : A E , albo B D ^ A D :: C E : A E .
Z A D A N I E XVII. T w i e r d z e n i e .
tróykącie, linija dzieląca kąt na dwie Części ró-wne, podzieli podstawę na dwa od cinki proporcyonalne bokom przyległym .
T ak że będziemy mieli ( im. 117.) B D : D C :: A B ; A C .
Przez punkt C , poprowadźmy linija C E ró wnoległą do D A , az do spotkania się w punk cie E , z przedłużonym bokiem B A . W tró y - kacie B C E , linija A D , będąc równoległą dq podstawy E C , mamy (Zad. X V ).
B D : D C : : B A : A E .
Eecz z przyczyny linij równoległych AD, E C , kąt A C E = C A D , kąt A E C = B A D (Zad. XXIII. K. I ). Z założenia zaś mamy kąt C A D = B A D , więc kąt A C E — A E G; azatern AE = A C (Z ad. XIII. K . I.); Pod staw i wszy w pro porcyi poprzedzaiącey, A p na mieyscu A E y otrzymamy >
B D : D C : : A B : A C , Z A D A N I E XVIII.
T w i e r d z e n i e .
D w a tróykąty równokąine maią boki od
ki p o
-Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
powiadaiq.ee proporcjonalne, i są podobne, Jeżeli we dwóch tróykątach (fig. n g ) . B A C , C D E , kąt B A C ^ C D E , A C B = D E C , A B C = D C E ;,p o w ia d a m źeboki od-
p o w i a d a i ą c e będą proporcyonalne, to iest:
B C : C E ;: A B : D C :: A C : D E.
U łożyw szy boki odpowiaclaiące B C, C E , w tym samym kierunku, przedłużmy boki B A, E D , aż do przecięcia się w punkcie F.
Ponieważ B C E iest linija prosta, a kąt B C A — C E D , więc bok A C iest równole g ły do boku D E ( Z a d .X X III.K .l). Dla tey samey przyczyny bok A B , iest rów n oległy do boku D C ; więc figura A C D F , iest rów no- łegłobokiem.
W tróykącie B F E , linija A C będąc ró wnoległa. do podstawy F E , mamy (Zad.XV).
, B C : C E : : B A : A F ,
na mieyscu A F , położyw szy C D , będziemy mieli
B C : C E :: B A : C D .
W tym samym tróykącie B F E , linija C D będąc równoległą do podstawy B F , mamy
k B C : Ć E ! : F D : D E ,
zamiast F D , położyw szy A C , otrzymąmy B C : C E : : A C : D E .
Nakoniec z dwóch proporcyy zamykaią- cych ten sam stosunek B C : C E , wypada
A C : D E : : B A : C D .
W iec tróykąty równokątne maią boki od- powiadaiące proporcyoname. Podług zaś O p
¿sania II. dwie figury są podobne, skoro ma-* ią kąty równe, a boki odpowiadaiące pro- porcyoualne; więc tróykąty równokątnef sąr fig u ry podobne.
fUniosek i Ażeby dwa tróykąty b y ły po dobne, dosyć aby dw a kąty w ied n ym , b y ły równe dw óm kątom w drugim, naówczas trze ci będzie r wity trzeciemu, i dwa tróykćdy będą równokątne.
Uwaga. W tróykątach podobnych, bo ki odpowiadaiące są przeciwdegłe kątom ró wnym ; więc kąt A C B , będąc równy kątowi D E C , bok A B ', iest odpowiadającym boko wi D C ; podobnie A C i D E są odpowiadaią- cemi, iako przeciwległe kątom równym A B C # D C E ; znaiąc boki odpowiadaiące składaią się natychmiast proporce e
B C : C E :: A C : DE :: B A ; C D . Z A D A N I E X IX .
T w i e r d z e n i e
D w a tróykąty jnaiące boki odpowiada- iące proporcyonalne, są równokątne i 'podo
bne. (fig. 120). Przypuśćmy źe
B C : E F :; B A : E D :: A C ; D F , powiadam, źe tróykąty A B C , D E F , będą miały kąty rów ne, to iest:
A = D , B = E , C — F.
Złóżm y w punkcie E , kąt F E G = B f
t t 2 w
punk-Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
w punkcie F , kąt E F G = C , trzeci kąt G, bę dzie równy trzeciemu katowi A , i dwa tróy- kąty A B C , E F G , będą równokątne ; więc podług Zadania poprzedzałacego
B C : E P :: A B : E G , lecz z założenia
B C : E F : : A B : D E ;
a zatem E G = D E. Będziemy ieszcze mieli B C : E F :: A C : F G ,
B C : E F r: A C : D F^
więc F G = D F ; azatem tróykąty E G F , D E F , maiace trzy boki w iednym, równe trzem bokom w drugim, są równe (Zad.X I. K . I ). L ecz z wykreślenia tróykąt E G F , iest i równokątny z tróykątem A B C , więc tróyką
ty D E F , A B C , są także równokątne i po dobne.
Uwaga I. W idziem y z tych dwóch osta tnich proporcyy, że w tróykatach równość ką tów wypada zproporcyonalności boków, i w za- iemnie; więc dla zapewmienia się o podobień stwie tróykątów , ieden z tych warunków do statecznym bydź może. Lecz nie iest to sa mo z figurami w ięcey boków inaiącemi; po nieważ gdyby szło tylko o czworoboki; bez odmiany kątów można odmienić proporcyą boków, bez odmiany zaś boków, proporcyą kątów: więc proporcjonalność boków niemo- że bydź wypadkiem równości kątów, ani na odwrót. W idziem y ua przykład (fig. 1 2 i . ) , że prowadząc E F , równolegle do B C , kąty
cz\yo— http://dlibra.ujk.edu.pl
czworoboku A E F D , są równe kątom" czwo roboku A B C D ; lecz proporcya boków iest Wcale różna : podobnie bez odmiany czterech boków A B , B C , C D , A D , możemy zbli żyć *lub oddalić punkta B i D, co odmieni kąty.
Uwaga II. D w a zadania poprzedzaiące, łą cznie z zadaniem kwadratu z przeciw - prosto- kątney, są Zadaniami nayważnieyszemi i nay- obiitszemi w Geometry i ; wszystkie bowiem figury mogą się dzielić na tróykąty, a każdy tróykąt na dwa tróykąty prostokątne. W ięc ogólne własności tró.ykątów, zamykaią w yra źnie własności wszystkich figur.
Z A D A N I E XX . T w i e r d z e n i e .
D w a tróykąty maiące kąt równy obi ety bokami proporcyonalnemi} są podobnej fig. 12 2).
Niech będzie kąt A = D , i boki A B : D E :: A C : D F ;
powiadam, źe tróykąt B A C , iest podobny tróykątowi E D F.
W eźm y A G = D E , i poprowadźmy li- niją G H równoległa do B C ; kat A G H — A B C (Zad.XXIII. K .I .) , a tróykąt A G I I , będąc równokatny z tróykatem A B C , mamy:
A B : A G : : A Ć : A H ; lecz założenia
A B : D E : : A C : D F ,
zaś z wykreślenia A G=?= D E wiec A H = D F, Dwa Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
D w a trójkąty G A H , E D F m iirce kąt ró w ny obi ęty bokami równemi, są równe. Lecz tróykąt G A H iest podobny tróykątowi B A C ; azatem tróykąt E D F , iest także podpbny tróy kątowi B A C.
Z A D A N I E X X L T w i e r d z e n i e .
D w a tróyhąty maiq.ce bohi odpowiada- iq.ce równoległe 3 albo prostopadłe, sq podo- bne. (fig. j 2o ).
Ponieważ imo Jeżeli bok A B , iest ró w noległy do boku D E , B C do E F , kąt A B C iest równy kątowi D E F ( Z a d .X X V I.K .I.) • dla tey samey przyczyny kąt A C B ± = D F E , B A C — E D F ; więc tróykąty A B C , D E F bę dąc równokątne, są podobne.
2do Niech będzie bok D E (fig. 124).pro stopadły na bok A B , . D F na A C ; w czwo roboku A I D H , cztery kąty razem wzięte w ar- tuią cztery kąty proste (Zad. XXVIII. K , I .); gdy dwa z nich I, H , są proste, więc dwa p o - ‘ zostałe I A H , I D H warluią dwa kąty pro ste. L ecz dwa kąty E D F , E D H w ar tui ą także d e a kąty proste; więc kąt E D F — I A H , albo A. Podobnie dowiedziemy ieźeli bok E F , iest prostopadły na bok B C , F D na A C , kąt D F E — C , kąt D E F — B ; więc dwa tróy kąty B A C , D E i " , w których boki iednego
są
— n 8 —
— i i 9
są prostopadłe do boków drugiego, są równo- kątne i podobne.
Uwaga. W przypadku boków równo ległych , bokami odpowiadaiącemi są boki ró wnoległe; w przypadku zaś boków prostopa d ły ch , bokami odpowiadaiącemi są boki pro stopadłe. Tak w tym ostatnim przypadku, D E iest. bokiem odpowiadającym bokowi A B , F U bokowi A C , zaś E F bokowi CB. W przy padku boków prostopadłych względne poło żenie dwóch tróykątów, może bydź odmien ne od położenia na figurze 124; lecz równość kątów względnych dowiedłaby się zawsze, bądź przez czworoboki, bądź przez porównanie, dwóch tróykątów, które z kątami w wierzchoł ku przeciwległemu składaią kąty proste: naprzy- k ia d , niech będą dwa tróy kąty B A C , E D F (fig. 124.bis), których boki są prostopadłemi to iest: D E na A B , D F na A C , F E n a B C ; powiadam naprzód źe kąt F = kątowi C. Ja koż ieżeli do kąta D K F , dodamy kąt F , bę dziemy mieli kąt prosty; ieżeli do kąta G K C = D K F , dodamy kąt C , będziemy mieli tak że kąt prosty , więc kąt F — kątowi C.
Następnie obwiodę że kąt F D E = kąto w i C A B. Jakoż ID A -j- ł D F = i kąt pro sty ; w tróy kącie prostokątnym A I D , mamy ID A - F I A D — i kąt prosty, więc I D F = I A D ; lecz mamy
I D F - | - F D E — 2 kąty proste I A D - f - C A B — 2 kąty proste,
więc Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
więc kąt F D E = kątowi C A B . Nakoniec o-r każe, źe kąt D E F = kątowi A li C. Jakoż ma my I E G - f - D E F — 2 kąty proste. W czwo roboku B G E I , w którym summa kątów ró wna czterem kątom prostym , i w którym ką ty G , I , są prostemi, mamy I E G -{ - A B C — 2 kąty proste; więc kąt D E F = k ą t o w i A B C*
Z A D A N I E XXII.
T w i e r d z e n i e .
L/inije prowadzone od upodobania przez wierzchołek trójkąta3 dzielą podstawę 3 i li- niją równoległą do podstawy proporcjonal nie. (fig. 125). T o iest że będziemy mieli:
DI:BF::IK:FG::KL:GH::LE:HC.
Ponieważ linija D I , iest równoległa dó B F , tróykaty A D i , A B F równokatńe daią ( Zad. X V III). D I : B F :: A I : A F.