kąt B A D , pierwszego tróykąta, iest równy trzeciemu katowi C , drugiego; więc te dwa ti/óykąty są rówriokątne i podobne. Podobnie dowiedziemy, ze tróykąt A D C , iest podobny troykatowi B A C ; azatem trzy tróykąty są ró- wnokatne i podobne.
a do Z podobieństwa tróy kątów B D A , B A C ; A D C , B A C , mamy
PA B D : A B : B C .
t t D C . A C : B C . (A r y t.% . i 46. i 5o). otio Nakoniec, z podobieństwa tró jk ą tów AJ3 B , A I ) C , otrzymuiemJ:
w B D : A D : D C . Uwaga. Z wyższych proporcyy
Ar B D : A B : B C PA D C : A C : B C , następuiące wyciągam y równania: A B * = B D X B C ' A ( ł l = D C X B C , więc A B 2 + A C 2 — B D X B C 4 - D C X B C
= B C X ( B D + D C ) = B C X B C — B C 2,
azatem A B 2 4- A C 2 = B C 2; to iest: kwadrat z przeciw-prostokątney , równy summie kwa dratów z boków kąt prosty obeymuiących. W padam y więc na Zadanie kwadratu z prze ciw - prostokątne y drogą wcale odmienną od tey którąśmy w yżey postępowali.
Wniosek. Jeżeli z pmiktu A (fig. 127). na obwodzie koia f poprowadzimy dwie cienciwy
A B http://dlibra.ujk.edu.pl
A B , A C , do ostatecznych końców srzednicy B C ; tróykat B A C , będąc prostokątnym przy A ( Zad. X V III.R . I i.): więc 1/no prostopadła A D , iest srzednią proporcjonalną miedzy odcinkami B D , D C , srzednicy; albo co iest to samo A D 2 — B D X D C .
2 do Cień dw a A B iest srzednią propor- cyonalną miedzy srzednicą B C , i p rzyle głym odcinkiem B D , to iest:
A B 2 = B D X B C , mamy także A C 2 — C D X B C ; więc
A B * : A C 2 :: B D : C D .
Jeżeli-porównamy A B , z B C , będziemy mieli A B 2 : B C 2 :: B D : B C , otrzymamy także A Ć 2 : B C 2 :: D C : B C. T e stosun ki kwadratów z boków bądź między sobą, bądź z kwadratem przeciw - prostokątaey iuż są dane we Wnioskach III. i IV. Zadania XI*
Z A D A N I E XX IV. T w i e r d z e n i e .
D w a iróykąty maiące kąt równy, są iak prostokąty z boków kąt równy obey/nu żących. (fig. 128). T o iest:
V A B C : A D E A B X A C : A D X AE. Poprowadziwszy BE; dwa tróykaty ABE, A D E , maiące wierzchołek wspólny E , są iak podstawy ( Zad. AT.), więc
A B E
— 1 2 5 —
Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
A B E : A D E :: A B : A D , mamy także
A B C : A B E :: A C : A E .
Mnożąc porządkiem te dwie próporcye, i o - puszczaiąc wspólny wyraz A B E , będziemy mieli
A B C : A D E : : A B X A C . A D X A E . T'Vtlioselc. W ięc dwa tróykąty b y ły b y ró wno - wartuiące, gdyby prostokąt A B x A C , b y ł rów ny prostokątowi A D X A E ; gdybyś m y zaś mieli A B : A B : : A C : A E , linija D E , byłaby równoległą do boku B C.
Z A D A N I E X X V . T w i e r d z e n i e .
D w a tróykąty podobne, są miedzy sobą iak kwadraty z boków odpowiadaiących. (lig.
122). ,
Niech będzie kąt A = D , kąt B = E ; z przyczyny kątów równych A i D , podług Za duma poprzedzaiącego będziemy mieli
A B C k D E F : : A B X A C : D E X D F , dla podobieństwa zaś tych samych tróykatów
A B : D E :: A C : D F .
Rozmnożywszy tę proporcyą w yraz z w yra zem przez proporcyą następuiąeą iedną zna czącą A C : D F :: A C : D F ,
otrzymamy AB X A C : D E X D F :: A C 2 :D F S, ^yięc A B C .* D E F :; A C 2 : D F *. Azatem dwą
tróykąty podobne, s£i iak kwadraty z boków odpowiadaiąeycla.
Z A D A N I E X X V I. T w i e r d z e n i e .
D wa wielobóki podobne, składnią sie tey samey liczby trbykątów podobnych, i po dobnie rozłożonych, (lig. 129).
W wielobokach A B C D E , F G H J K , poprowadziwszy z kątów A i F, przekątne AC, A D , F H , F I ; ponieważ te wie!oboki są po dobne, kąt A B C , iest równy kątowi odpo- wiadaiącemu F G H (O p is.II.); a nadto boki A B ; B C , są proporcyonaine bokom 1' G , G H , więc
A B : F G : : B C : G H .
T róykąty A B C , F G H , maiące kąt równy , obiety bokami proporcyonalnemi, są podobne (Z ad .X X .); więc kąt B C A = G H F . T e ką ty rów ne, odięte od kątów równych B C D , G U I , reszty A C D , F H I f będą równe : lecz ponieważ tróykąty A B C , F G H , sći podo bne mamy
A C : F H : c B C : G H ,
z przyczyny zaś podobieństwa wielobokó w marny B C : G H :: C D : H I ,
więc
A C : F H :: C D : H I ;
lecz iu.ź widzieliśm y, że kąt A C D = F H I y azatem tróykąty A C 13, F i l i , maiące kąt ró—
- wny
125 1—*
Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
wny óbięty bokami proporcyonalnemi, są po dobne. Tym sposobem postępując w dow o dzeniu podobieństwa trójkątów nastepuiących, iakabykolwiek była liczba boków wieloboków zadanych, przekonywamy się, źe dwa wie loboki podobne, składaią się z tey sainey li czby Iróyktitów podobnych, i podobnie roz łożonych.
U waga. Zadanie odwrotne równie iest praw dziwem : Jeżeli dwa wieloboki składaią sig z tey samey liczby tróykątów podobnych i podobnie rozłożonychr te dwa wieloboki są podobne. Ponieważ z podobieństwa tró jk ą
tów względnych mamy : kat A B C = i ' G H , B C A — G H F , A C I) - - F H I j więc B C D — G i i I ; podobnie C D .E i i I iv i t. d. Nadto A B : F G :: B C : G H :: A C : F H :: C O : i i i i t. d. więc dwa wieloboki inaiące kąty równe, i bo ki proporcjonalne, są podobne'.
i
Z A D A N I F XXVII. Tw i e r d z e n i e .
Perymelrą wieloboków podobnych, są iak boki odpowiadaiq.ee, a ich powierzchnie, iak kwadraty z tych samych boków. (lig. imj).
l/no Ponieważ z natury figur podobnych mamy AB : F G :: B C : G U :: C D : H I :: D E : i t. d. więc summa poprzedników A B - f B C - f C D it. d. peryntetru pierw szej figury, iest do sum my następników F G - f G H - f H I i t. d. p
ery-metru
http://dlibra.ujk.edu.pl1 2 7 —
metru figury drugiey, iak poprzednik do na stępni k a, czyli A B : F G. ( A ryt. §.157).
2du Ponieważ tróykąty A B C , i G I I ; A C D , 4 r H I, są podobne mamy ( Zad. X X V ).
A B C : F G H : : T Ć
2
: F i l 2 , A C D : F H I :: A C 2 : F H %w ię c z przyczyny stosunku wspólnego otrzy mamy A ii C : F G H :; A C D : F FI I j przez po dobne rozumowanie znaleźlibyśmy A C D FH I :: A D E : F I K . W ięc summa poprzedni ków A B C -j- A C D 4 - A D E , czyli wielóbok A B C D E , iest do summy następników F G H - f F H I - j- F 1K , czyli do wie; o boku F G H IK , iak poprzednik A B C , iest do następnika F G H , albo A B 2 : F G 2 ; więc powierzchnie wielo- boków podobnych, są iak kwadraty z boków odpowiadaiących.
Uwaga. Gdybyśm y wykreślili trzy figu ry podobne, którychby odpowiadaiące boki b y ły równe trzem bokorn tróykąta prostokąt nego, figura wykreślona na przeciw - prosto-
kątney, będzie równa summie dwóch drugich figur. Niech będą naprzykład trzy figury po dobne P , Q , Ii (fig. 129, bis ), wykreślone na bokach A B , A C , B C, tróykąta prostokątne go , powiadam, źe będziemy mieli:
R — P 4- Q.
Jakoż, ponieważ figury P , Q , R , są po dobne mamy
P : Q Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
128
p : Q :: AB_2 : A C 2 R : Q :: B C 2 : A C 2,
następnie z pierw szej proporcji wyciągamy p _}_ Q ; Q :: A B 2 A C 2 : A C 2 (slr y t §. i 5 6 ). gdy A B 2 4" A C 2 =i.JS C 2, w ięc tr z j w yrazy tey ostatniey proporcyy, będąc równe trzem ostatnim wyrazom proporcyi poprzedzaiącey f azatem R — P -j- Q.
Z A D A N I E XXVIII,
rl w i e r cl Z e n i e.
C zę śc i d w ó c h cień c i w p r z e c i n a i a c y c h s i ż W e w n ą tr z o b w o d u k o ł a, są o d w r o tn ie p r o - p o r c y o n c d n e . (fig, ino). Po iest i
A O : D O :: C O : O B .
Złączyw szy CA, B D : w iróykątach AO Cy B O D , kąty przy O , są równe iaka w wierz chołku przeciw ległe; kąt Ą = . D j iako obey- muiące swemi ramionami ten sam łuk B C ; dla tey samey przyczyny kąt C = B ; więc poro wny waląc w tych dwóch tróy kątach po dobnych boki odpowiadaiące, będziemy mie li A O : D O :: C O : O B.
Uwaga. Z iad wypada (jlr y t. §. lóo).
A O X Ó B = : i ) 0 X C O ; _ to iest: z e p r o s t o k ą t z d w ó c h c zę śc i ie c ln e y c i e ń c i w y, ie s t r ó w n y p r o s to k ą to w i z d w ó c h c z ę ś c i c ie ń c iw y d r u g i e y , Z A D A -http://dlibra.ujk.edu.pl
Z A D A N I E X X I X , T w i e r d z e n i e .
Z punktu -wziętego zewnątrz obwodu ko- ta , poprowadzone dwie sieczne kończące się wewnątrz obwodu, są odwrotnie proporcyo- ncdne do części zewnętrznych, (fig. xi5i).
T o iest: O B : O C :; O D : O A.
Z łą c z y w s z y D B , A C ; w tróykątach O D B , O A C , podobnych iako maiących kąt O, wspól ny , kąt B — C ( Zad. XVIII. K . II.), azatem i kąt trzeci O D B = O A C ; porównywaiąe bo ki odpowiadaiące, będziemy mieli:
O B ; O C :: O D : O A.
TFniosek. W i ę c prostokąt O B X O A = O C X o D .
Z A D A N I E X X X . T w i e r d z e n i e .
Z punktu wziętego zewnątrz obwodu ko ta , poprowadzone styczna, i sieczna; sty czna będzie srzednią proporcyonaluą między sieczną, i iey częścią zewnętrzną, (fig. i 52-)./
T o iest: O C : O A :: O A : O D.
Z ł ą c z y w s z y A D , A C ; w tróykątach O A D , O A C , podobnych iako raaiacych kat wspól n y O , kąt O A D = C ( Z a d . X I X . K . I I . ) , aza tein i trzeci kąt O A C = O D A ; p o ró w n yw a- iąc boki odpowiadaiace otrzym am y:
O C : O A :: O A : O D .
I v " '* FTw
o-Biblioteka Cyfrowa UJK http://dlibra.ujk.edu.pl
Wniosek. W ięc równaiąc wieloczyn z® srzednich, z wieloczynem ze skraynych m am y:
T Ć ) a = O C x O D .
TJwaga. T o zadanie iest szczególnym przypadkiem poprzedzaiącego; ponieważ, gdy sieczna O A B (fig. i 3 i . ) , obraca się około punktu O , a kąt JBOC powiększa się, punk- ta A , B , zbliżaiąc się, zbiegną się w iednym punkcie A , linija prosta O A B , z sieczney sta nie się styczną (fig. 132). Naówczas, odległo ści O A , O B (fig. i 3 i.) , będąc ró w n e, w p ro - Aorcyi dowiedzioney (Z ad.X X IX ),
O D : O A : : O B : O C ,
kładąc na mieyscu O B , ilość równą O A , o - trzymamy proporcyą Zadania X X X ., to iest:
O D : O A :: O A : O G . Z A D A N I E X X X I.
T w i e r d z e n i e.
W tr6ykq.de, podzieliw szy kąt liniją prostą na dwie części równe, prostokąt zbu ków ten kąt obeymuiącycht iest równy pro stokątowi z odcinków boku trzeciego, wigcey kwadratowi z linij kąt dzielącey. (fig. 13 3 ).
T o iest: B A X A C = A D 4 + B D X D C . przez trzy punkta A , B , C , poprowadziwszy obwód kota, i przedłużywszy liniją A D , dzie lącą kąt B A C na dwie części rów ne, aż do obwodu, złączm y C E .
Tróykąt B A D , iest podobny tróykątowi
http://dlibra.ujk.edu.plA E C; ponieważ z założenia kąt B A E = E A C, kąt B = E , iako maiące za miarę połowę łu - ku A C , azatem kąt trzeci A D B = A C E ; więc
W tycli tróykątach podobnych, boki odpowia- daiące daią proporcyą
B A : A E :: A D : A C , z tąd B A X A C = A E x A D ; lecz
A F — A D - f D E ,
rozmnożywszy obie strony przez A D , otrzy- mamy: A E X A D = A D 2 - f A D X D E ; lecz gdy A D X D E = B D X D C (Zad. X X V III ) , azatem
B A x A C - l D 2 + B D x D C . Z A D A N I E X X X II.
T w i e r d z e n i e .
Przepuściw szy przez trzy wierzchołki tróykąta obwód koła, prostokąt z dwóch bo-^ ków} iest równy prostokątowi ze srzednicy, przez prostopadłą spuszczoną na bok trzeci
tróykąta. (fig. i 5 4 ). T o iest: A B X A C = E C X A D .
Z łączyw szy A E ; w tróykątach A D B , E A C, kąt prosty D = A , kąt B = E ; azatem B A i) = A C E , więc tróykąty podobne, daią proporcyą następuiacą:
A B : E Ć :: A D : A C , a z tąd A B X A C — E C X A D .