Dziedziny Euklidesowe

11.1. Definicja. Dziedzina_,Euklidesowa_,nazywamy pare_,(R, v), gdzie R jest dzie-dzina_, ca lkowito´sci a v : R \ {0} −→ N ∪ {0} funkcja_,zwana_,waluacja_,, kt´ora spe lnia naste_,puja_,ce warunki:

1. dla dowolnych a, b ∈ R \ {0}, v(ab) ≥ v(a),

2. dla dowolnych a ∈ R oraz b ∈ R \ {0} istnieja elementy q, r ∈ R, takie ˙ze a = bq + r oraz r = 0 lub v(r) < v(b).

11.2. Twierdzenie. Ka˙zda dziedzina euklidesowa jest dziedzina_,idea l´ow g l´ownych.

Dow´od. Niech R be_,dzie dziedzina euklidesowa_,z waluacja_,v. Niech I C R be,dzie niezerowym idea lem. Niech x ∈ I be_,dzie niezerowym elementem, takim ˙ze v(x) = min{v(y) : y ∈ I \ {0}}. Poka˙zemy, ˙ze I = (x). Niech y ∈ I. W´owczas y = xq + r, gdzie r = 0 lub v(r) < v(x). Zauwa˙zmy, ˙ze skoro y, x ∈ I, to r ∈ I. Poniewa˙z waluacja x jest minimalna, to r = 0 i y = qx, a zatem I = (x).  Klasa pier´scieni be_,da_,cych dziedzinami idea l´ow g l´ownych jest szersza od klasy pier´scieni euklidesowych. Na tym wyk ladzie wszystkie omawiane przyk lady dzie-dzin idea l´ow g l´ownych be_,da_,pier´scieniami euklidesowymi. Zanim om´owimy przyk lady dziedzin euklidesowych odnotujmy pewne proste w lasno´sci waluacji.

11.3. Stwierdzenie. Niech v : R \ {0} −→ N ∪ {0} be_,dzie waluacja_,. W´owczas, a) dla ka˙zdego a ∈ R \ {0}, v(a) ≥ v(1).

b) dla dowolnych a, b ∈ R \ {0}, v(ab) = v(b) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest ele-mentem odwracalnym.

c) dla dowolnego a ∈ R \ {0}, v(a) = v(1) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem odwracalnym.

Dow´od. punkt a) jest oczywistym wnioskiem z definicji, za´s punkt c) wynika z punktu b). Tak wie_,c udowodnimy punkt b). Je˙zeli v(ab) = v(b), to z dowodu poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze (ab) = (b). W szczeg´olno´sci b ∈ (ab) i istnieje c ∈ R, dla kt´orego b = abc. Poniewa˙z b 6= 0 i R jest dziedzina ca lkowito´sci, to ac = 1. Odwrotnie, je˙zeli a jest elementem odwracalnym i c elementem odwrotnym, to v(b) = v(cab) ≥ v(ab). Nier´owno´s´c v(ab) ≥ v(b) wynika z definicji. Punkt c) jest

wnioskiem z b) je˙zeli we´zmiemy b = 1. 

Przyk ladami dziedzin euklidesowych sa_, : pier´scie´n liczb ca lkowitych Z, gdzie waluacja_, jest warto´s´c bezwzgle_,dna oraz pier´scie´n wielomian´ow K[X] nad cia lem K, gdzie waluacja jest stopie´n wielomianu.

Niech d ∈ Z be,dzie liczba ca lkowita_,,d 6= 1, bezkwadratowa_,. Niech v : Z[√

d] −→ N v(a + b√

d) = |a²− b²d|.

Wprowad´zmy oznaczenia: α = a + b√

d, ¯α = a − b√

d. W´owczas v(α) = |α ¯α|.

Latwy rachunek przekonuje nas o tym, ˙ze v(αβ) = v(α)v(β) oraz, ˙ze α jest ele-mentem odwracalnym wtedy i tylko wtedy, gdy v(α) = 1 i w´owczas ¯α jest ele-mentem odwrotnym.

11.4. Stwierdzenie. Funkcja v(a + b√

d) = |a²− b²d| jest waluacja_, euklidesowa_, na Z[√

d] dla d ∈ {−2, −1, 2, 3}

Dow´od. Jest oczywiste, ˙ze v(a+b√

d) ≥ 1, gdy˙z v(a+b√

d) = 0 oznacza loby, ˙ze d = (^a_b)², wbrew za lo˙zeniu, ˙ze d jest liczba bezkwadratowa_,. Sta_,d i z multyplilkatywno´sci funkcji v wynika, ˙ze warunek pierwszy jest spe lniony dla dowolnego d.

Poka˙zemy, ˙ze dla wymienionych warto´sci d w pier´scieniu Z[√

d] mo˙zna dzieli´c z reszta_,. Dow´od dostarcza tak˙ze algorytm wykonywania takiego dzielenia. Niech α, β ∈ Z[√

11.5. Przyk lad. Liczba 2 nie jest elementem pierwszym, ale jest elementem nie-rozk ladalnym w pier´scieniu Z[√

d], dla d ≤ −3. Przypu´s´cmy przeciwnie, ˙ze 2 = αβ, gdzie α, β nieodwracalne. W´owczas v(2) = 4 = v(α)v(β). Z nieodwracalno´sci v(α) 6= 1 i v(β) 6= 1, a wie_,c v(α) = v(β) = 2.Je˙zeli α = x + y√

d, to |x²− y²d| = 2, ale dla d ≤ −3, to nie jest mozliwe. Bowiem |x²− y²d| ≥ x²+ 3y²> 2 dla y 6= 0, ale y 6= 0, bo w przeciwnym razie 2 by laby kwadratem liczby naturalnej.

11.6. Wniosek. Dziedzina Z[√

d] nie jest dziedzina_,euklidesowa_,dla d ≤ −3.

Algorytm Euklidesa

Niech R be_,dzie dziedzina_,Euklidesowa_,z waluacja_,v. Poka˙zemy algorytm, kt´ory pozwoli na znajdowanie najwie_,kszego wsp´olnego dzielnika dw´och element´ow bez konieczno´sci rozk ladania ich na iloczyn czynnik´ow nierozk ladalnych.

Niech a₁, a₂∈ R \ {0}. Mamy:

co dowodzi ˙za_,da_,r´owno´s´c. Zatem (a1, a2) = (an−1, an). Wszak˙ze an−1= anqn−1 i (a1, a2) = (an−1, an) = (an), co wobec Stwierdzenia 10.12 dowodzi tezy.  Pier´scie´n_Z[i]liczb Gaussa.

Zacznijmy od ustalenia jak wygla_,daja_,elementy nierozk ladalne w pier´scieniu Z[i].

Poprzedzimy je oczywistymi uwagami:

1) Elementami odwracalnymi w Z[i] sa_,1, −1.i. − i.

1) Je˙zeli α ∈ Z[i] i v(α) jest liczba,pierwsza_,, to α jest elemetem nierozk ladalnym.

2) Element α jest nierozk ladalny wtedy i tylko wtedy, gdy nierozk ladalny jest ele-ment ¯α.

11.8. Stwierdzenie. Element nierozk ladalny dziedziny Z[i] jest dzielnikiem liczby ca lkowitej pierwszej.

Dow´od. Niech α ∈ Z[i] be,dzie elementem nierozk ladalnym. W´owczas α ¯α = n jest rozk ladem liczby ca lkowitej n na czynniki nierozk ladalne w Z[i]. Gdyby n nie by lo liczba_, pierwsza_, i n = rs, r, s ∈ N \ {1}, to rozk ladaja_,c r i s na czynniki nierozk ladalne w Z[i] otrzymaliby´smy inny rozk lad n, a wie,c sprzeczno´s´c.  11.9. Stwierdzenie. Liczba ca lkowita pierwsza p jest rozk ladalna w pier´scieniu Z[i] wtedy i tylko wtedy, gdy mo˙zna ja_,przedstawi´c w postaci sumy kwadrat´ow liczb ca lkowitych. Je˙zeli a²+ b²= p, to

a) α ¯α = p, gdzie α = a + bi jest jej rozk ladem na czynniki nierozk ladalne w pier´scieniu Z[i];

b) przedstawienie a²+ b²= p jest jednoznaczne.

Dow´od. Je˙zeli p = αβ jest rozk ladem liczby pierwszej na czynniki nierozk ladalne w pier´scieniu Z[i], to ´zaden z czynnik´ow tego rozk ladu nie jest stowarzyszony z liczba,

ca lkowita_,. Korzystaja_,c z multyplikatywno´sci waluacji otrzymujemy p²= v(α)v(β).

Poniewa˙z α i β sa_, czynnikami nieodwracalnymi, to ich waluacje sa_, r´o˙zne od 1 i jedyna_,mo˙zliwo´scia_,jest v(α) = v(β) = p. Je˙zeli α = a + bi, to v(α) = a²+ b²= p, a 6= 0, b 6= 0.

Przedstawienie liczby p w postaci p = a²+ b², oznacza, ˙ze w pier´scieniu Z[i], p = α ¯α, gdzie α = a + bi Oba czynniki sa_,nierozk ladalne, gdy˙z ich waluacja jest liczba_, pierwsza_,. Pier´scie´n Z[i] jest dziedzina, z jednoznaczno´scia_, rozk ladu, wie_,c rozk lad p jest jedyny z dok ladno´scia_, do stowarzyszenia, a zatem przedstawienie

p = a²+ b²o ile istnieje to jest jedyne. 

11.10. Wniosek. Elementami nierozk ladalnymi pier´scienia Z[i] sa,liczby ca lkowite pierwsze, kt´ore nie daja_,sie_,przedstawi´c w postaci sumy dw´och kwadrat´ow oraz liczby a ± bi, gdzie a²+ b² jest liczba_,pierwsza_,.

Pozostaje pytanie, jakie liczby pierwsze mo˙zna przedstawi´c w postaci sumy kwadrat´ow liczb ca lkowitych. Oczywi´scie 2 = 1²+ 1². Poniewa˙z kwadrat dowolnej liczby ca lkowitej przytsaje do 0 lub do 1 mod 4, to warunkiem koniecznym na to by takie przedstawienie istnia lo jest by liczba pierwsza by la postaci p = 4k + 1, k ∈ Z.

To, ˙ze jest to warunek dostateczny jest tre´scia_, twierdzenia Fermata. Jego dow´od poprzedzimy lematem.

11.11. Lemat. Je˙zeli liczba pierwsza p ∈ N jest postaci 4k + 1, to istnieje liczba ca lkowita m, dla kt´orej p | m²+ 1.

Dow´od. Przypomnijmy twierdzenie Wilsona, ktore by lo zastosowaniem do grupy multyplikatywnej Z^∗p latwego faktu, i˙z w grupie przemiennej sko´nczonej iloczyn wszystkich element´ow jest r´owny iloczynowi element´ow rze_,du dwa. Twierdzenie to m´owi wie_,c, ˙ze dla liczby pierwszej p, (p−1)! ≡ −1(mod p). Mamy p−l ≡ −l(mod p) i je˙zeli p = 4k+1, to (p−1)! ≡ (−1)^2k((2k)!)²(mod p). Zatem przyjmuja_,c m = (2k)!

mamy m²≡ −1(mod p). 

11.12. Twierdzenie Fermata o sumie dw´och kwadrat´ow. Je˙zeli p jest liczba_, pierwsza_,postaci 4k + 1, to istnieja_,liczby ca lkowite a i b dla kt´orych p = a²+ b². Dow´od. Wiemy, ˙ze p | m²+ 1 dla pewnej liczby ca lkowitej m. W pier´scieniu Z[i], m²+ 1 = (m + i)(m − i) zatem p | (m + i)(m − i). Jest jednak jasne, ˙ze p - m + i i p - m − i, zatem p nie jest elementem pierwszym, czyli nierozk ladalnym. Ze stwierdzenia 11.9 wynika wie_,c, ˙ze p jest suma_,kwadrat´ow dw´och liczb ca lkowitych

i to dok ladnie na jeden spos´ob. 

Autorzy skryptu nie moga_, nie ulec pokusie, by przedstawi´c Pa´nstwu zupe lnie inny, nie korzystaja_,cy z teorii rozk ladu w pier´scieniu Z[i] tylko z teorii dzia la´n grup, dow´od twierdzenia Fermata. Autorem tego nowego (sprzed kilkunastu lat) dowodu jest Don Zagier.

Dow´od. (Don Zagier). Niech p be_,dzie liczba_,pierwsza_,postaci 4k + 1 i niech X = {(x, y, z) ∈ N³: x²+ 4yz = p} . Zbi´or X jest oczywi´scie sko´nczony i dzia la na nim grupa Z² tak ˙ze generator odwzorowuje (x, y, z) na (x, z, y). Twierdzenie Fermata jest r´ownowa˙zne stwierdzeniu ˙ze dzia lanie to ma punkty sta le. Na zbiorze X istnieje tak˙ze inne dzia lanie grupy Z². Je˙zeli przez ϕ oznaczymy bijekcje_,zdefiniowana_,przez generator, to

ϕ(x, y, z) =







(x + 2z, z, y − x − z), je˙zeli x < y − z (2y − x, y, x − y = z), je˙zeli y − z < x < 2y (x − 2y, x − y + z, y), je˙zeli x > 2y

.

Proste sprawdzenie pokazuje, ˙ze to ostatnie dzia lanie ma dok ladnie jeden punkt sta ly i jest nim (1, 1, k) . Wynika z tego, ˙ze moc X jest liczba_,nieparzysta_,a zatem pierwsze dzia lanie tak˙ze musi mie´c punkty sta le.