2. Zbi´ or generator´ ow grupy. Grupa cykliczna, rza

Kurs Geometrii z algebra_, liniowa_, na pierwszym roku po´swie_,cony by l badaniu przestrzeni liniowych nad cia lami. Pojawi ly sie_, te˙z inne wa˙zne struktury alge- braiczne, niekt´ore znane ju˙z ze szko ly. Zbi´or liczb ca lkowitych, zbi´or wielomian´ow o wsp´o lczynnikach rzeczywistych, czy te˙z zbi´or funkcji cia_,g lych o warto´sciach rzeczy- wistych okre´slonych na odcinku, to struktury w kt´orych okre´slone sa_, przemienne dzia lania dodawania i mno˙zenia spe lniaja_,ce wszystkie aksjomaty cia la z wyja_,tkiem tego, ˙ze dla dowolnego elementu r´o˙znego od zera istnieje element odwrotny, czyli nie zawsze mo˙zemy wykona´c dzielenie. Takie struktury nazywaja_,sie_,pier´scieniami przemiennymi z jedynka_,.

Zbi´or macierzy odwracalnych n × n nad cia lem K z dzia laniem mno˙zenia, czy te˙z zbi´or permutacji zbioru n – elementowego z dzia laniem sk ladania to przyk lady obiekt´ow algebraicznych zwanych grupami.

Badaniu podstawowych w lasno´sci pier´scieni przemiennych i grup po´swie_,cony jest kurs Algebry I.

1. Grupy i pier´scienie - podstawowe definicje i przyk lady

Grupy i ich homomorfizmy.

1.1. Definicja. Grupa_,nazywamy zbi´or G, wyposa˙zony^† w trzy dzia lania:

dwuargumentowe — mno˙zenie (x, y) 7→ x · y
,

jednoargumentowe — branie elementu odwrotnego x 7→ x⁻¹
i zeroargumentowe — element wyr´o˙zniony 1,

takie ˙ze spe lnione sa_,naste_,puja_,ce aksjomaty:

1. ∀_x,y,z∈G (x · y) · z = x · (y · z), 2. ∀_x∈G x · 1 = 1 · x = x,

3. ∀_x∈G x · x⁻¹ = x⁻¹· x = 1.

Dzia lanie dwuargumentowe grupy nazywamy zwykle mno˙zeniem, a element od- wrotny odwrotno´scia_,. Aksjomaty grupy gwarantuja_,trzy rzeczy:

1. la_,czno´s´c mno˙zenia,

2. istnienie elementu neutralnego dla mno˙zenia, 3. istnienie elementu odwrotnego dla mno˙zenia.

1.2. Definicja. Je˙zeli ∀x,y∈G x · y = y · x, to grupe_, nazywamy przemienna_, lub abelowa_,.

Z definicji latwo wynika, ˙ze jest tylko jeden element neutralny mno˙zenia i ˙ze dla dowolnego elementu istnieje dok ladnie jeden element odwrotny.

Zamiast x·y piszemy cze_,sto xy. Zwykle m´owimy grupa G, pomijaja_,c wyszczeg´ol- nianie pozosta lych element´ow struktury.

W przypadku grup abelowych cze_,sto dzia lanie dwuargumentowe oznacza sie_, znakiem + (x + y zamiast x · y), element odwrotny przez − (−x zamiast x⁻¹), a element neutralny przez 0. Zapis (G, ·, ·⁻¹, 1) nazywamy zapisem multiplikaty- wnym, a zapis (G, +, −, 0) zapisem addytywnym. W zapisie multiplikatywnym przyje_,te jest odczytywa´c symbol g⁻¹ jako odwrotno´s´c elementu g; w zapisie addy- tywnym symbol −g odczytujemy jako element przeciwny do elementu g.

1.3. Definicja. Moc zbioru G nazywamy rze_,dem grupy G i oznaczamy symbolem

|G|.

1.4. Definicja. Podgrupa_,grupy G nazywamy podzbi´or H ⊆ G, taki ˙ze

∀x,y∈H x · y ∈ H

∀x∈H x⁻¹∈ H 1 ∈ H.

Zapis H 6 G be,dzie oznacza´c, ˙ze H jest podgrupa_,grupy G.

Jest jasne, ˙ze 1 = {1} 6 G jest podgrupa,. Taka_,podgrupe_,be_,dziemy nazywa´c podgrupa_,trywialna_,. Oczywi´scie ca la grupa G te˙z jest swoja_,podgrupa_,: G 6 G.

1.5. Przyk lady.

0) Grupa Z liczb ca lkowitych z dodawaniem - jest to grupa przemienna.

† z formalnego punktu widzenia nale˙za loby napisa´c: czw´orke_, uporza_,dkowana_, (G, ·,⁻¹, 1)

1) Niech K be_,dzie cia lem. Symbolem K⁺ oznaczamy grupe_,addytywna_,tego cia la, symbolem K^∗grupe_,multyplikatywna_,cia la (zbiorem jej element´ow jest K \ {0}).

Obie grupy sa_,przemienne.

2) Niech teraz K = C i rozpatrzmy podgrupy grupy C^∗. 2a) S¹= {z ∈ C^∗: |z| = 1} 6 C^∗.

2b) Grupa Zn = {1, exp(^2πi_n ), . . . , exp(^2πi(n−1)_n )} pierwiastk´ow z jedynki stopnia n, z mno˙zeniem jako dzia laniem dwuargumentowym. Jest to podgrupa grupy S¹. Je˙zeli k | n, n = km, to Z^k = {1, exp(^2πim_n ), . . . , exp(^2πi(k−1)m_n )} 6 Zⁿ jest podgrupa_,.

3) Niech K be_,dzie cia lem. Symbolem GL(n, K) oznaczamy grupe_,macierzy odwra- calnych n × n o wsp´o lczynnikach z K. Macierze o wyznaczniku 1 stanowia_,pod- grupe_,, oznaczana_,symbolem SL(n, K) 6 GL(n, K). Innym wa˙znym przyk ladem jest podgrupa macierzy g´ornotr´ojka_,tnych z 1 na g l´ownej przeka_,tnej.

4) W grupie GL(n, R) zawarte sa_,dwie szczeg´olnie interesuja_,ce grupy:

O(n) 6 GL(n, R) — podgrupa z lo˙zona z macierzy ortogonalnych i

SO(n) 6 O(n) 6 GL(n, R) — podgrupa z lo˙zona z macierzy ortogonalnych o wyznaczniku 1.

5) Grupa dihedralna — podgrupa D_2n 6 O(2) przekszta lce´n zachowuja_,cych n–ka_,t foremny o ´srodku symetrii w pocza_,tku uk ladu wsp´o lrze_,dnych.

D2n= {1, ρ, ρ², . . . , ρⁿ⁻¹, ε, ρε, ρ²ε, . . . , ρⁿ⁻¹ε}, gdzie ρ jest obrotem o _n¹ ka_,ta pe lnego, a ε symetria_,osiowa_,.

Odnotujmy wa˙zny fakt, ˙ze ε² = 1, ρⁿ = 1 i ερε = ερε⁻¹ = ρ⁻¹. Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zsze to˙zsamo´sci wystarczaja_,do skonstruowania tabeli dzia lania dwuargumen- towego dla D2n.

Zauwa˙zmy, ˙ze Jn = {1, ρ, ρ², . . . , ρⁿ⁻¹} 6 D2n jest podgrupa_,. Nazywamy ja_, podgrupa_,obrot´ow grupy dihedralnej.

6) Niech X be_,dzie zbiorem. Symbolem ΣX oznaczamy grupe_, bijekcji zbioru X z dzia laniem sk ladania jako mno˙zeniem i identyczno´scia_,jako elementem neutral- nym. Nazywamy ja_,grupa_,permutacji zbioru X. Je˙zeli X jest zbiorem

n – elementowym, to grupe_,taka_,oznaczamy symbolem Σn.

Cze_,sto na zbiorze X zadana jest dodatkowa struktura (na przyk lad przestrzeni liniowej, afinicznej, metrycznej, topologicznej). W´owczas bijekcje zbioru X za- chowuja_,ce strukture_,sa_,podgrupami S(X). Badanie algebraicznych w lasno´sci tych podgrup jest istotnym elementem badania rozwa˙zanej struktury.

1.6. Definicja. Przekszta lcenie ϕ : G −→ H nazywamyhomomorfizmemgrup wte- dy i tylko wtedy, gdy ∀_g1,g2∈G ϕ(g₁· g2) = ϕ(g₁) · ϕ(g₂).

Latwo sprawdzi´c, ˙ze homomorfizm ϕ przeprowadza element neutralny na ele- ment neutralny, a element odwrotny do g na element odwrotny do ϕ(g), mo˙zemy wic w definicji homomorfizmu opu´sci´c wym´og zachowywania dzia la´n zero i jedno argumentowych.

Zauwa˙zmy, ˙ze id_G: G −→ G jest homomorfizmem i ˙ze z lo˙zenie homomorfizm´ow jest homomorfizmem.

1.7. Uwaga. Je˙zeli ϕ : G −→ H jest homomorfizmem, to ϕ(G) 6 H jest podgrupa,

grupy H. Tak˙ze dla ka˙zdej podgrupy H⁰ 6 H, ϕ⁻¹(H⁰) 6 G jest podgrupa, grupy G.

Istnieja_,r´o˙zne szczeg´olne typy homomorfizm´ow. Poni˙zej wymieniamy ich nazwy, stosowane bardzo szeroko w matematyce, r´ownie˙z poza teoria_,grup, czy nawet al- gebra_,:

Izomorfizm: taki homomorfizm ϕ : G −→ H, dla kt´orego istnieje homomorfizm ψ : H −→ G, taki ˙ze ϕψ = idH i ψϕ = idG.

1.8. Uwaga. Homomorfizm grup jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest homomorfizmem i bijekcja_,zbior´ow. Grupy izomorficzne be_,dziemy uwa˙za´c za takie same.

Automorfizm: Izomorfizm z grupy G w te_,sama_,grupe_,G.

Monomorfizm: homomorfizm r´o˙znowarto´sciowy.

Epimorfizm: homomorfizm, kt´ory jest na.

Endomorfizm: homomorfizm, kt´orego dziedzina i przeciwdziedzina sa_, identyczne (ale nie ˙za_,damy, ˙zeby by l na).

1.9. Definicja. Niech ϕ : G −→ H be_,dzie homomorfizmem. Podgrupe_, ϕ⁻¹(1) = {g ∈ G: ϕ(g) = 1} 6 G oznaczamy symbolem ker ϕ i nazywamy ja_,drem homomor- fizmu ϕ.

1.10. Uwaga. Homomorfizm ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = 1.

Je˙zeli homomorfizm ϕ : G −→ H jest monomorfizmem, to ϕ : G −→ im (ϕ) jest izomorfizmem (im (ϕ) = ϕ(G)).

1.11. Przyk lady.

0) Niech G = {0, 1, . . . , n − 1} z dzia laniem dodawania modulo n i zerem jako ele- mentem neutralnym. Funkcja ϕ : G −→ Zn, ϕ(k) = exp(^2πik_n ) jest izomorfizmem.

Dlatego grupe_,G be_,dziemy tak˙ze oznacza´c symbolem Zⁿ. 1) ϕ : Z −→ Zⁿ, ϕ(k) = exp(^2πik_n )

2) det : GL(n, K) −→ K^∗

3) Niech X be_,dzie przestrzenia_, liniowa_, n – wymiarowa_, nad cia lem K. Wyb´or bazy zadaje izomorfizm grupy liniowych automorfizm´ow przestrzeni X z grupa_, macierzy GL(n, K).

Pier´scienie i ich homomorfizmy.

1.12. Definicja. Pier´scieniem przemiennym z jedynka_,nazywamy zbi´or R wyposa˙zony^† w pie_,´c dzia la´n:

dwa dwuargumentowe — dodawanie (x, y) 7→ x + y
i mno˙zenie (x, y) 7→ x · y
, jedno jednoargumentowe — branie elementu przeciwnego (x 7→ −x),

dwa zeroargumentowe — element wyr´o˙zniony 0 oraz — element wyr´o˙zniony 1, takie ˙ze (R, +, −, 0) jest grupa_,przemienna_,i sa_,spe lnione naste_,puja_,ce warunki:

∀a,b,c∈R a · (b · c) = (a · b) · c

∀a,b∈R a · b = b · a

∀_a,b,c∈R a · (b + c) = a · b + a · c oraz ∀_a,b,c∈R (b + c) · a = b · a + c · a .

∀a∈R 1 · a = a · 1 = a.

1.13. Definicja. Podpier´scieniempier´scienia z jedynka_,R nazywamy podzbi´or P ⊆ R, taki ˙ze

P jest podgrupa_,grupy addytywnej pier´scienia R, 1 ∈ P,

∀a,b∈P a · b ∈ P.

Zapis P 6 R be,dzie oznacza´c, ˙ze P jest podpier´scieniem pier´scienia R.

W definicji pier´scienia z jedynka_,nie zak ladali´smy, ˙ze 0 6= 1. Jednak istnieje tylko jeden pier´scie´n, w kt´orym 0 = 1, tak zwany pier´scie´n zerowy.

1.14. Przyk lad. Pier´scieniem zerowym nazywamy pier´scie´n zawieraja_,cy tylko jeden element 0 = 1.

1.15. Uwaga Je˙zeli 0 = 1, to w rozpatrywanym pier´scieniu R nie ma ˙zadnych innych element´ow.

Dow´od. Niech x ∈ R. W´owczas x = x · 1 = x · 0 = 0.  1.16. Uwaga W algebrze rozpatruje sie_,tak˙ze pier´scienie nieprzemienne oraz pier-

´scienie bez 1, czyli bez wyr´o˙znionego elementu neutralnego wzgle_,dem mno˙zenia.

Jednym z wa˙znych przyk lad´ow nieprzemiennego pier´scienia z 1 jest pier´scie´n macierzy.

1.17. Przyk lad. Je˙zeli R jest niezerowym pier´scieniem przemiennym z jedynka_,, to zbi´or macierzy n×n, oznaczany symbolem Mn×n(R), ze zwyk lymi dzia laniami na macierzach, jest pier´scieniem z jedynka_,. Dla n > 1 pier´scie´n ten jest nieprzemienny.

Na tym wyk ladzie ograniczamy sie_, do rozpatrywania pier´scieni prze- miennych z jedynka_,.

1.18. Przyk lad. Cia lo jest pier´scieniem przemiennym z jedynka_,.

1.19. Przyk lad. Je˙zeli R jest pier´scieniem pier´scieniem przemiennym z jedynka_,, a X jest dowolnym niepustym zbiorem, to zbi´or R^X, z dzia laniami okre´slonymi w oczywisty spos´ob (np. f · g = h, gdzie h(x) = f (x) · g(x)), jest pier´scieniem przemiennym z jedynka_,.

1.20. Przyk lad. C[0, 1] - zbi´or funkcji cia_,g lych okre´slonych na odcinku [0, 1], wa˙zny obiekt bada´n analizy matematycznej, z dzia laniami jak w poprzednim przy- k ladzie, jest pier´scieniem przemiennym z 1.

1.21. Przyk lad. Pier´scie´n Zⁿliczb ca lkowitych modulo n z dodawaniem i mno˙ze- niem modulo n.

† z formalnego punktu widzenia nale˙za loby napisa´c: sz´ostke_,uporza_,dkowana_, (R, +, ·, −, 0, 1).

1.22. Przyk lad. Pier´scie´n wielomian´ow: Niech R be_,dzie pier´scieniem przemien- nym z jedynka_,. Pier´scieniem wielomian´ow jednej zmiennej nad R nazywamy zbi´or cia_,g´ow

{(a0, a1, . . . ): ai∈ R, ai= 0 dla prawie wszystkich i}

z dzia laniami

(a0, a1, . . . ) + (b0, b1, . . . ) = (a0+ b0, a1+ b1, . . . ) (a0, a1, . . . ) · (b0, b1, . . . ) = (c0, c1, . . . ), gdzie ci=

i

X

j=0

ajbi−j

−(a0, a1, . . . ) = (−a0, −a1, . . . )

oraz elementami: (0, 0, 0, . . . ) jako zerem i (1, 0, 0, . . . ) jako jedynka_,.

1.23. Definicja. Stopniem wielomianu f = (a0, a1, . . . ) nazywamy najwie_,ksza_,liczbe_, naturalna_,n, taka_,˙ze an6= 0 i oznaczmy symbolem deg(f ).

Oznaczymy przez X cia_,g (0, 1, 0, 0, . . . ). Cia_,g (a, 0, 0, . . . ) be_,dziemy w skr´ocie oz- nacza´c litera_,a. W´owczas Xⁿ = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) — cia_,g z jedynka_,na n–tym miejscu. Ponadto (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . . ) = a0+a1X +· · ·+anXⁿ. W tej konwencji mno˙zenie wielomian´ow wyra˙za sie_,znanym wzorem.

Pier´scie´n wielomian´ow nad R oznaczamy symbolem R[X].

Konstrukcje_,pier´scienia wielomian´ow mo˙zna iterowa´c: (R[X])[Y ] oznaczamy sym- bolem R[X, Y ] i nazywamy pier´scieniem wielomian´ow dw´och zmiennych.

W podobny spos´ob definiujemy te˙z pier´scie´n wielomian´ow dowolnej sko´nczonej liczby zmiennych.

1.24. Przyk lad. Pier´scie´n szereg´ow formalnych: Je˙zeli w Przyk ladzie 8.9 opu´sci- my za lo˙zenie, ˙ze prawie wszystkie wsp´o lczynniki ai sa_, r´owne 0, to z analogicznie okre´slonymi dzia laniami otrzymamy pier´scie´n szereg´ow formalnych, kt´ory oznacza- my symbolem R[[X]]. Tak, jak w przypadku wielomian´ow, zamiast cia_,gu

(a₁, a₂, . . . ) piszemy

∞

P

i=0

a_iXⁱ. Dzia lania wyra˙zaja_,sie_,znanymi wzorami:

∞

X

i=0

aiXⁱ+

∞

X

i=0

biXⁱ=

∞

X

i=0

(ai+ bi)Xⁱ

(

∞

X

i=0

a_iXⁱ) · (

∞

X

i=0

b_iXⁱ) =

∞

X

i=0

c_iXⁱ, gdzie c_i=

i

X

j=0

a_jb_i−j .

Podobnie jak w przypadku wielomian´ow konstrukcje_, pier´scienia szereg´ow formal- nych mo˙zna iterowa´c: (R[[X]])[[Y ]] oznaczamy R[[X, Y ]] i nazywamy pier´scieniem szereg´ow formalnych dw´och zmiennych, itd.

Podajemy jeszcze jeden przyk lad, dla zilustrowania tego, jak wa˙zne jest pre- cyzyjne okre´slenie rodzaju rozpatrywanych obiekt´ow.

1.25. Przyk lad. Rozpatrujemy pier´scie´n przemienny z jedynka_, Z10. Dzia lania dodawania i mno˙zenia sa_,wykonywane modulo 10, jedynka_,jest oczywi´scie liczba 1,

a zerem liczba 0. Rozpatrzmy podzbi´or P = {0, 5}. Podzbi´or ten nie zawiera jedynki pier´scienia z jedynka_,Z10, wie_,c nie jest podpier´scieniem pier´scienia z jedynka_,Z10. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze zbi´or P jest zamknie_,ty ze wzgle_,du na mno˙zenie, dodawanie, branie elementu odwrotnego i zawiera element zerowy. Przyje_,ty spos´ob wyra˙zenia tej sytuacji, to stwierdzenie, ˙ze P jest podpier´scieniem Z¹⁰ w kategorii pier´scieni, ale nie w kategorii pier´scieni przemiennych z jedynka_,. Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze w zbiorze P jest element neutralny ze wzgle_,du na mno˙zenie — liczba 5 (5 · 5 = 25 = 5, 5 · 0 = 0). Ale to nie wystarcza, ˙zeby P uzna´c za podpier´scie´n pier´scienia Z10 w kategorii pier´scieni przemiennych z jedynka_,. Definicja wymaga, ˙zeby do podpier´scienia pier´scienia przemiennego z jedynka_, nale˙za la jedynka wyj´sciowego pier´scienia.

1.26. Przyk lad. Niech d ∈ Z be,dzie liczba ca lkowita_,,d 6= 1, kt´ora nie jest podzielna przez kwadrat liczby naturalnej r´o˙znej od 1 - taka_,liczbe_,nazywamy bezkwadratowa_,. Oznaczmy przez Z[√

d] podpier´scie´n cia la liczb zespolonych, kt´orego elementami sa_, liczby postaci a + b√

d, a, b ∈ Z. Jak sie,przekonamy wa_,sno´sci tych pier´scieni maja_,

´scis ly zwia_,zek z teoria_,liczb.

1.27. Definicja. Przekszta lcenie ϕ : R → P pier´scieni przemiennych z jedynka_, nazywamy homomorfizmem, je˙zeli sa_,spe lnione naste_,puja_,ce warunki.

a) ϕ jest homomorfizmem grup addytywnych, b) ∀a,b∈R ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b),

c) ϕ(1) = 1.

1.28. Uwaga. Je˙zeli ϕ : R −→ P jest homomorfizmem, to ϕ(R) 6 P jest pod- pier´scieniem pier´scienia P . Tak˙ze dla ka˙zdego podpier´scienia P⁰6 P , ϕ⁻¹(P⁰) 6 R jest podpier´scieniem pier´scienia R.

Okre´slenia izomorfizm, monomorfizm, epimorfizm, automorfizm, endomorfizm sa_,u˙zywane w spos´ob analogiczny, jak w teorii grup.

1.29. Uwaga. Homomorfizm pier´scieni jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest homomorfizmem i bijekcja_,zbior´ow.

1.30. Przyk lad. Jedynym homomorfizmem Z → Z jest identyczno´s´c.

1.31. Przyk lad. Istnieje dok ladnie jeden homomorfizm f : Z → Zn — okre´slony wzorem f (x) = x (mod n).

1.32. Przyk lad. Istnieje dok ladnie jeden homomorfizm z dowolnego pier´scienia w pier´scie´n zerowy.

1.33. Przyk lad. Dla ka˙zdego elementu a pier´scienia R wz´or φ_a(a_nXⁿ+ · · · + a₁X + a₀) = a_naⁿ+ · · · + a₁a + a₀ okre´sla pewien homomorfizm φa : R[X] → R.

1.34. Przyk lad. Okre´slimy pewien homomorfizm Φ : R[X] → R^R. Niech w = a_nXⁿ + · · · + a₁X + a₀. Obraz wielomianu w oznaczamy symbolem Φ_w i zadajemy wzorem:

Φw(a) = anaⁿ+ · · · + a1a + a0.

Tak wie_,c Φ_w(a) to po prostu w(a) — warto´s´c wielomianu w w punkcie a. Elementy zbioru Φ(R[X]) nazywamy funkcjami wielomianowymi.

Dobrze wiadomo, ˙ze dla cia l R, Q, C homomorfizm Φ jest monomorfizmem — r´o˙zne wielomiany wyznaczaja_,r´o˙zne funkcje. Sp´ojrzmy jednak na naste_,puja_,cy przyk lad:

R = Z², w1 = X²+ X, w2= X³+ X. Latwo sprawdzi´c, ˙ze Φw₁ = Φw₂ — jest to w obydwu przypadkach funkcja zerowa.

1.35. Przyk lad. Niech R be_,dzie dowolnym pierscieniem przemiennym z jedynka_,. Dla ka˙zdego elementu r ∈ R istnieje dok ladnie jeden homomorfizm f : Z[X] −→ R, dla kt´orego f (X) = r

Podstawowa konstrukcja - produkt

(cze_,´s´c uje_,ta w gwiazdkach jest materia lem nieobowia_,zkowym)

*Konstrukcja produktu i sumy wyste_,puje w wielu sytuacjach w matematyce.

Zanim wie_,c podamy ja_,dla pier´scieni i grup przedstawimy problem w og´olniejszym kontek´scie - teorii kategorii. Taki punkt widzenia zosta l zaproponowany przez Samuela Eilenberga (absolwenta i doktora UW, doktora Honoris Causa UW, kt´ory przed wojna_,wyjecha l do USA i tam pozosta l) w latach czterdziestych i pie_,´cdziesia_,tych ubieg lego stulecia i przyja_, l sie_, w wie_,kszo´sci dziedzin matematyki, informatyki nie wy la_,czaja_,c.

1.36. Definicja. Kategoria C sk lada sie_, z klasy obiekt´ow ob C oraz zbior´ow mor- fizm´ow M orC(A, B) danych dla dowolnych dw´och obiekt´ow A, B ∈ ob C. Ponadto

• Dla ka˙zdego A ∈ ob C wyr´o˙zniony jest element idA∈ M orC(A, A)

• Dla ka˙zdych A, B, C ∈ ob C zadana jest operacja sk ladania

◦: M or_C(A, B) × M or_C(B, C) −→ M or_C(A, C)

• operacja sk ladania jest la_,czna, za´s elementy wyr´o˙znione sa_,dla niej ”neutralne”, tzn. dla morfizm´ow f, g, h,

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), id ◦ f = f, f ◦ id = f

1.37. Definicja. Morfizm f ∈ M orC(A, B) nazywa sie_,izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje morfizm g ∈ M orC(B, A) taki, ˙ze g ◦ f = idA i f ◦ g = idB. 1.38. Przyk lad. Set – kategoria zbior´ow. Obiektami sa_,zbiory, za´s morfizmami przekszta lcenia zbior´ow. Operacja sk ladania to sk ladanie przekszta lce´n. Izomorfiz- mami sa_,przekszta lcenia wzajemnie jednoznaczne i ”na”, czyli bijekcje zbior´ow.

1.39. Przyk lad. Vect_K – kategoria przestrzeni liniowych nad ustalonym cia lem.

Obiektami sa_,przestrzenie liniowe nad K, morfizmami przekszta lcenia liniowe.

1.40. Przyk lad. Gr – kategoria grup. Obiektami sa_, grupy, morfizmami homo- morfizmy grup.

1.41. Przyk lad. Ab – kategoria grup abelowych. Jak wy˙zej, tylko obiektami sa_, wy la_,cznie grupy abelowe.

1.42. Przyk lad. R – kategoria pier´scieni przemiennych z 1. Obiektami sa_,pier´scienie przemienne z 1, za´s morfizmami homomorfizmy pier´scieni z 1.

1.43. Przyk lad. T op – Obiektami sa_,przestrzenie topologiczne, morfizmami przek- szta lcenia cia_,g le. Izomorfizmy nazywaja_,sie_,homeomorfizmami.

We wszystkich powy˙zszych przyk ladach obiektami sa_,zbiory wyposa˙zone w pewne dodatkowe struktury a morfizmami sa_,przekszta lcenia, kt´ore te struktury zachowuja_,. Tak wcale by´c nie musi - na kategorie_,trzeba patrze´c jak na klase_,obiekt´ow i zbiory strza lek mie_,dzy nimi i strza lki te mo˙zna sk lada´c. Pomys l polega na tym, by defin- iowa´c konstrukcje i w lasno´sci patrza_,c wy la_,cznie na owe strza lki. W ten spos´ob pewne konstukcje i ich w lasno´sci sa_,uniwersalne, niezale˙znie od tego w jakim matem- atycznym kontek´scie je rowa˙zamy.

1.44. Definicja. Niech {Xα}α∈Λ be_,dzie rodzina_,obiekt´ow kategorii C. Ich produk- tem nazywamy obiektQ

α∈ΛXα oraz rodzine_,morfizm´ow πα:Q

α∈Λ → Xα, taka_, ˙ze dla ka˙zdego obiektu Y ∈ ob C i ka˙zdej rodziny morfizm´ow ϕα: Y → Xα istnieje dok ladnie jeden morfizm ψ : Y →Q

α∈ΛXα dla kt´orego πα◦ ψ = ϕα, dla ka˙zdego α ∈ Λ.

1.45. Definicja. Niech {Xα}α∈Λ be_,dzie rodzina_, obiekt´ow kategorii C. Ich suma_, nazywamy obiekt `

α∈ΛXα oraz rodzine_, morfizm´ow iα: Xα → `

α∈Λ, taka_, ˙ze dla ka˙zdego obiektu Y ∈ ob C i ka˙zdej rodziny morfizm´ow ϕα: Xα→ Y istnieje dok ladnie jeden morfizm ψ :`

α∈Λ→ Y dla kt´orego ψ ◦ iα= ϕα, dla ka˙zdego α ∈ Λ.

Jednoznaczno´s´c produktu (analogicznie sumy), z dok ladno´scia_, do izomorfizmu w C, wynika z definicji, natomiast istnienie trzeba dowodzi´c dla ka˙zdej kategorii oddzielnie.

Powiemy, ˙ze kategoria dopuszcza produkty (odp. dopuszcza sumy) je˙zeli dla dowolnej sko´nczonej rodziny obiekt´ow istnieje ich produkt (odp. suma). Oczywi´scie na to by pokaza´c. ˙ze kategoria dopuszcza produkty (odp. sumy) wystarczy zdefin- iowa´c produkt (odp. sume_,) dw´och obiekt´ow. Nie ka˙zda kategoria dopuszcza pro- dukty ew. sumy. Poni˙zej poka˙zemy, ˙ze kategoria grup Gr i kategoria pier´scieni z 1, R dopuszczaja_,produkty. *

1.46. Definicja. Produkt grup: Je˙zeli G i H sa_, grupami, to iloczyn kartezja´nski G × H z dzia laniami (g, h) · (g⁰, h⁰) = (g · g⁰, h · h⁰), (g, h)⁻¹ = (g⁻¹, h⁻¹) oraz elementem neutralnym (1G, 1H) jest grupa_,, za´s πG× H −→ G, pG(x, y) = x i πH× H −→ H, πH(x, y) = y homomorfizmami. Grupa G × H wraz z homomorfizmami πG, πH jest produktem grup G i H.

Zbiory G × 1H = {(g, 1H) : g ∈ G} 6 G × H i 1^G× H = {(1G, h) : h ∈ H} 6 G × H sa_, podgrupami — oczywi´scie pierwsza podgrupa jest izomorficzna z G, a druga z H. Niech homomorfizmy iG : G −→ G × H, iH : H −→ G × H be_,da_,zadane wzorami iG(g, h) = (g, 1H), iH(g, h) = (1G, h).

*Niech teraz grupy G i H be_,da_,przemienne - u˙zyjemy wie_,c zapisu addytywnego.

1.47. Stwierdzenie. Je˙zeli grupy G i H sa_, przemienne, to G × H wraz z homo- morfizmami iG, iH jest suma_,grup G i H w kategorii grup abelowych.

Dow´od. Niech J be_,dzie dowolna_,grupa_,przemienna_,, a ϕ_G : G −→ J i ϕH: H −→ J be_,dA_,dowolnymi homomorfizmami. Jest jasne, ˙ze ψ : G × H −→ J zadane wzorem ψ(g, h) = ϕ_G(g) + ϕ_H(h) jest jedynym homomorfizmem spe lniaja_,cym warunek

ψ ◦ i_G= ϕ_G i ψ ◦ i_H= ϕ_H. 

Sume_,grup abelowych G i H oznacza sie_, tak˙ze symbolem G ⊕ H - tak wie_,c w kategorii grup abelowych oznaczenia sko´nczonej sumy (⊕) i sko´nczonego produktu (×) sa_,u˙zywane zamiennie.

1.48. Przyk lad. Produkt G × H wraz z homomorfizmami iG, iH nie jest suma_, w kategorii wszystkich grup. Rozpatrzmy G = H = Z, i grupe, Σ3 permutacji trzech element´ow lub r´ownowa˙znie grupe_,symetrii tr´ojka_,ta r´ownobocznegoABC na p laszczy´znie. Niech ϕ1 : Z −→ Σ3, przyporza_,dkowuje 1 ∈ Z symetrie, wzgle_,dem symetralnej boku AB, za´s ϕ₂ wzgle_,dem boku AC. Nie istnieje ˙za_,dany w definicji homomorfizm z grupy przemiennej Z × Z −→ Σ3gdy˙z symetrie ϕ_i(1), i = 1, 2 nie sa_, przemienne. Zainteresowany czytelnik mo˙ze spr´obowa´c wykaza´c, ˙ze szukana_,suma_, jest grupa s l´ow o dwuelementowym alfabecie.*

1.49. Definicja. Produkt pier´scieni: Na iloczynie kartezja´nskim P × R pier´scieni przemiennych z jedynka_,mo˙zna okre´sli´c dzia lania wzorami

(x, y) + (x⁰, y⁰) = (x + x⁰, y + y⁰), −(x, y) = (−x, −y), 0 = (0P, 0R) (x, y)(x⁰, y⁰) = (xx⁰, yy⁰), 1 = (1P, 1R).

Zbi´or P ×R z tak okre´slonymi dzia laniami jest pier´scieniem przemiennym z jedynka_,, za´s pP × R −→ P , pP(x, y) = x i pR× R −→ R, pR(x, y) = y homomorfizmami.

Pier´scie´n P × R wraz z homomorfizmami pP, pR jest produktem pier´scieni P i R.

*Kategoria grup i kategoria pier´scieni przemiennych z 1 dopuszczaja_,sumy - to zagadnienie od lo˙zymy na p´o´zniej.*

TEORIA GRUP

2. Zbi´ or generator´ ow grupy. Grupa cykliczna, rza

d elementu

Teorie_,grup zacznijmy od naste_,puja_,cego oczywistego stwierdzenia.

2.1. Stwierdzenie. Je˙zeli {H_i}_i∈I jest rodzina_,podgrup grupy G, to zbi´or T

i∈I H_i6 G jest podgrupa,grupy G.

Wobec tego, dla dowolnego podzbioru X ⊆ G istnieje najmniejsza podgrupa grupy G zawieraja_,ca X. Nazywamy ja_,podgrupa_,generowana_,przez X i oznaczamy symbolem h X i.

Oczywi´scie h ∅ i = 1.

2.2. Stwierdzenie. Je˙zeli X 6= ∅, to

h X i = {g^ε₁¹g^ε₂²· · · g_k^εk: k ∈ N, εⁱ= ±1, gi∈ X}.

Dow´od. Jest jasne, ˙ze zbi´or element´ow tej postaci tworzy podgrupe_,grupy G i jest zawarty w ka˙zdej podgrupie grupy G zawieraja_,cej X.  Je˙zeli h X i = G, to X nazywamy zbiorem generator´ow G. M´owimy, ˙ze grupa jest sko´nczenie generowana je˙zeli posiada sko´nczony zbi´or generator´ow.

2.3. Definicja. Grupe_,G nazywamycykliczna_,je˙zeli istnieje element g ∈ G, taki ˙ze h g i = G.

2.4. Twierdzenie. Grupy Zn i Z sa_, cykliczne. Ka˙zda grupa cykliczna jest izo- morficzna z jedna_,z nich.

Dow´od. Z = h 1 i, Zn = h exp(^2πi_n ) i, zatem grupy te sa_,cykliczne.

Niech G = h g i, czyli G = {gⁱ, i ∈ Z}.

Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje n ∈ N, takie ˙ze gⁿ= 1 i za l´o˙zmy, ˙ze n jest najmniejsza_, liczba_, naturalna_,o tej w lasno´sci. Ka˙zda liczba ca lkowita k ∈ Z mo˙ze by´c przed- stawiona w postaci k = ln + r, gdzie r ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, a zatem g^k = g^r. Wynika sta_,d, ˙ze G = {1, g, . . . , gⁿ⁻¹}. Wszystkie te elementy sa_,r´o˙zne (z r´owno´sci gⁱ= g^j wynika bowiem g^i−j= 1). Zatem |G| = n i przekszta lcenie ϕ : Zn −→ G, ϕ(exp(^2πim_n )) = g^m jest izomorfizmem.

Je˙zeli nie istnieje n ∈ N, takie ˙ze gⁿ = 1, to wszystkie elementy {gⁱ, i ∈ Z} sa_, r´o˙zne, |G| = ∞, a odwzorowanie ϕ : Z −→ G, zadane wzorem ϕ(m) = g^m jest

izomorfizmem. 

2.5. Twierdzenie. Niech G be_,dzie grupa_,cykliczna_,. W´owczas:

1) Je˙zeli H 6 G, to H jest grupa,cykliczna_,. 2) Je˙zeli H 6 G i |G| < ∞, to |H|

|G|.

3) Je˙zeli |G| < ∞, to dla ka˙zdego l

|G| istnieje dok ladnie jedna podgrupa H 6 G, taka ˙ze |H| = l.

Dow´od. Niech G = h g i. Niech k be_,dzie najmniejsza_,liczba_,ca lkowita_,i dodatnia_,, taka_, ˙ze g^k ∈ H. Jest jasne, ˙ze h g^ki 6 H. Je˙zeli g^m∈ H, m = ks + r, 0 ≤ r < k, to g^m = (g^k)^sg^r, wie_,c g^r ∈ H. Z minimalno´sci k wynika, ˙ze r = 0, wobec czego g^m= (g^k)^s∈ h g^ki. Zatem H = h g^ki, co ko´nczy dow´od 1).

Zak ladamy teraz, ˙ze |G| < ∞. Niech wie_,c |G| = n, i n = kl + r, r < k. Poniewa˙z gⁿ= 1 ∈ H, zatem, tak jak poprzednio, z minimalno´sci k wynika, ˙ze k | n. W´owczas H = {1, g^k, g^2k, . . . , g^(l−1)k} i |H| = ⁿ_k, co ko´nczy dow´od punktu 2). Punkt 3) wynika ju˙z z tych rozwa˙za´n – jedyna_,taka_,podgrupa_,jest H = h g^ki, gdzie k = ⁿ_l.

2.6. Definicja. Rze_,dem elementu g ∈ G nazywamy liczbe_, |h g i|, czyli rza_,d pod- grupy generowanej przez element g. Rza_,d elementu g oznaczamy symbolem o(g).

Z poprzednich rozwa˙za´n wynika jasno, ˙ze je˙zeli o(g) < ∞, to : 1. o(g) jest najmniejsza_,liczba_,naturalna_,n, taka_, ˙ze gⁿ = 1

2. o(g) = n wtedy i tylko wtedy, gdy gⁿ = 1 i dla ka˙zdej liczby ca lkowitej k, takiej

˙ze g^k= 1, ma miejsce podzielno´s´c: n | k.

3. Je˙zeli ϕ : G −→ H jest homomorfizmem, to dla ka˙zdego elementu g ∈ G o(ϕ(g)) | o(g).

2.7. Stwierdzenie. Je˙zeli o(g) = n, to o(g^k) =_(n,k)ⁿ .

Dow´od. Mamy n = (n, k)m i k = (n, k) · l, gdzie (m, l) = 1. Wynika sta_,d, ˙ze (g^k)^m= g^(n,k)lm= g^nl = 1, a zatem o(g^k) | m. Przypu´s´cmy, ˙ze (g^k)^r= 1. Wynika sta_,d, ˙ze n | kr, a zatem m | lr. Wobec (m, l) = 1, m | r, co dowodzi, ˙ze o(g^k) = m.

Z poprzedniego stwierdzenia wynika, ˙ze je˙zeli G = h g i i |G| = n, to genera- torami G, czyli elementami rze_,du n sa_,elementy g^k, gdzie (k, n) = 1. Liczbe_,tych generator´ow, to jest ilo´s´c takich liczb naturalnych nie wie_,kszych od n, kt´ore sa_, wzgle_,dnie pierwsze z n, oznaczamy symbolem ϕ(n). Funkcje_,ϕ nazywamy funkcja_, Eulera.

2.8. Uwaga. Je˙zeli k | n, to w grupie cyklicznej rze_,du n jest ϕ(k) element´ow rze_,du k. Mamy wie_,c

X

k | n

ϕ(k) = n.

2.9. Wniosek. Je˙zeli p jest liczba_, pierwsza_,, to grupa Z^p nie posiada nietrywial- nych podgrup w la´sciwych, ka˙zdy element r´o˙zny od neutralnego jest rze_,du p i ϕ(p) = p − 1.

2.10. Stwierdzenie. Je˙zeli (k, n) = 1, to Zk×Zn∼= Zkn. W przeciwnym przypadku ten produkt nie jest grupa_,cykliczna_,.

Dow´od. Niech g ∈ Z^k i h ∈ Zⁿ be_,da_,generatorami. Element (g, h)^l= (g^l, h^l) jest elementem neutralnym wtedy i tylko wtedy, gdy n | l oraz k | l. Je˙zeli (k, n) = 1, jest to r´ownowa˙zne kn | l, a zatem o((g, h)) = kn = |Z^k× Zn| i grupa jest cykliczna.

Je˙zeli (k, n) > 1, to z tych rozwa˙za´n wynika, ˙ze w Z^k× Zn nie ma elementu rze_,du

kn. 

2.11. Wniosek. Je˙zeli (k, n) = 1, to ϕ(kn) = ϕ(k)ϕ(n)

2.12. Wniosek. Je˙zeli p jest liczba_,pierwsza_,, to w grupie Zpn jest dok ladnie ϕ(pⁿ) = pⁿ− pⁿ⁻¹ element´ow rze_,du pⁿ.

Rze_,dy element´ow w grupach permutacji

Znamy ju˙z grupy permutacji. Wiemy, ˙ze ka˙zda grupa jest, z dok ladno´scia_, do izomorfizmu, podgrupa_,pewnej grupy permutacji. Teraz przyjrzymy sie_,dok ladniej grupom permutacji zbior´ow sko´nczonych. Dla ustalenia uwagi, za l´o˙zmy, ˙ze n–ele- mentowy zbi´or sk lada sie_,z liczb {1, 2, . . . , n}. Permutacje_,σ ∈ Σn mo˙zemy zapisa´c w postaci macierzowej:

 1 2 . . . n − 1 n

σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n)



W g´ornym wierszu macierzy piszemy permutowane elementy, a w dolnym ich obra- zy. Na przyk lad: γ =  1 2 3 4

3 1 4 2



oznacza permutacje_, γ, taka_, ˙ze γ(1) = 3, γ(2) = 1, γ(3) = 4, γ(4) = 2.

2.13. Definicja. Permutacje_, γ ∈ Σn nazywamy cyklem d lugo´sci k, je˙zeli istnieja_, takie elementy c1, c2, . . . ck, ˙ze

γ(ci) = c_i+1 gdy i < k c1 gdy i = k,

przy czym dla ka˙zdego elementu x spoza tej listy zachodzi γ(x) = x.

Cykl taki be_,dziemy oznacza´c symbolem γ = (c1, . . . , ck). Oczywi´scie zapis ten ma sens tylko wtedy, gdy dobrze wiemy, na jakim zbiorze jest okre´slona ca la permu- tacja. Na przyk lad pytanie o to, czy permutacja σ = (1, 4, 3, 2) ma punkty sta le jest bez sensu, je˙zeli nie mamy zewne_,trznej informacji o tym, na jakim zbiorze ta permutacja jest okre´slona. Warto te˙z zwr´oci´c uwage_,na fakt, ˙ze zapis ten nie jest jednoznaczny — r´ownie dobrze mo˙zna by napisa´c na przyk lad σ = (2, 1, 4, 3).

Cykl d lugo´sci dwa, (a, b), nazywamytranspozycja_,element´ow a i b.

2.14. Definicja. Cykle σ = (b1, b2, . . . , br) ∈ Σn i τ = (c1, c2, . . . , cs) ∈ Σn sa_, roz la_,czne je˙zeli {b1, b2, . . . , br} ∩ {c1, c2, . . . , cs} = ∅.

Jest jasne, ˙ze dwa cykle roz la_,czne sa_,przemienne.

2.15. Twierdzenie. Ka˙zda_, permutacje_, mo˙zna przedstawi´c jako iloczyn roz la_,cz- nych cykli. Przedstawienie to jest jednoznaczne z dok ladno´scia_,do kolejno´sci cykli.

Dow´od tego faktu przeprowadza sie_, przez indukcje_, ze wzgle_,du na moc permu- towanego zbioru — jest on bardzo latwy i pomijamy go. Idee_,dowodu mo˙zna latwo zrozumie´c analizuja_,c przyk lad.

Rozk lad na cykle roz la_,czne permutacji:

 1 2 3 4 5 6 7 1 5 7 4 6 2 3



= (1) (2 5 6) (3 7) (4) = (2 5 6) (3 7)

W rozk ladzie permutacji na cykle roz la_,czne cze_,sto opuszcza sie_,cykle d lugo´sci jeden.

2.16. Stwierdzenie. Je˙zeli permutacja σ jest iloczynem cykli roz la_,cznych d lugo´sci n₁, n₂, . . . , n_k, to o(σ) = N W W (n₁, n₂, . . . , n_k)

Dow´od. Cykle roz la_,czne sa_, przemienne, zatem o(σ) | N W W (n₁, n₂, . . . , n_k). Z drugiej strony, skoro σ^l = id, to l− ta pote_,ga ka˙zdego cyklu jest identyczno´scia_, (korzystamy tu z roz la_,czno´sci cykli). Zatem dla ka˙zdego 1 ≤ i ≤ k mamy ni| l,

wie_,c N W W (n1, n2, . . . , nk) | o(σ). 

3. Warstwy grupy wzgle

dem podgrupy, twierdzenie Lagrange’a

Stwierdzenie, ˙ze rza_,d podgrupy jest dzielnikiem rze_,du grupy, kt´ore ju˙z udowod- nili´smy dla grup cyklicznych, jest prawdziwe dla wszystkich grup sko´nczonych i nosi nazwe_,twierdzenia Lagrange’a.

Niech G be_,dzie dowolna_,(niekoniecznie sko´nczona_,) grupa_,, a H 6 G jej podgrupa_,. Dla dowolnego g ∈ G rozpatrzmy podzbi´or gH = {gh; h ∈ H} ⊆ G. Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze:

1) zbi´or gH jest klasa_,abstrakcji zawieraja_,ca_,g naste_,puja_,cej relacji r´ownowa˙zno´sci w zbiorze element´ow G: x ∼ y ⇐⇒ x⁻¹y ∈ H. Zbi´or gH nazywamywarstwa_, lewostronna_,elementug wzgle_,dem podgrupyH.

2) 1H = H

3) Dowolne dwie warstwy lewostronne sa_,r´ownoliczne, w szczeg´olno´sci ka˙zda war- stwa jest r´ownoliczna ze zbiorem H (przyporza_,dkowanie h 7→ gh ustala bijekcje_, zbioru H i warstwy gH).

Zbi´or warstw lewostronnych oznaczamy symbolem G/H, a jego moc nazywamy indeksem podgrupyH w grupieG i oznaczamy [G: H]. (Uwaga: analogicznie mo˙zna zdefiniowa´c warstwy prawostronne grupy G wzgle_,dem podgrupy H — sa_,to pod- zbiory postaci Hg = {hg : h ∈ H} ⊆ G).

Z faktu, ˙ze ka˙zda warstwa lewostronna ma tyle samo element´ow, co podgrupa H wynika natychmiast naste_,puja_,ce twierdzenie.

3.1. Twierdzenie Lagrange’a. Je˙zeli G jest grupa_,sko´nczona_,i H 6 G, to |G| =

|H| · [G: H].

To proste twierdzenie ma szereg oczywistych, ale wa˙znych, konsekwencji:

3.2. Wniosek. Rza_,d elementu jest dzielnikiem rze_,du grupy.

3.3. Wniosek. Ka˙zda grupa rze_,du p, gdzie p jest liczba_,pierwsza_,, jest izomorficzna z Zp.

Dow´od. Z twierdzenia Lagrange’a wynika, ˙ze podgrupa cykliczna generowana przez dowolny element r´o˙zny od neutralnego musi by´c rze_,du p, a wie_,c musi by´c r´owna

ca lej rozpatrywanej grupie. 

3.4. Stwierdzenie. Grupa sko´nczona G rze_,du n jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego k | n zawiera co najwy˙zej jedna_,podgrupe_,rze_,du k.

Dow´od. Wystarczy pokaza´c, ˙ze w grupie G istnieje element rze_,du n. Niech ν(k) oznacza liczbe_,element´ow rze_,du k w grupie G. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze

ν(k) ≤ ϕ(k),

gdzie ϕ jest funkcja_,Eulera.Z twierdzenia Lagrange’a wnioskujemy ˙ze ν(k) ma szanse_, by´c niezerowe tylko wtedy, gdy k | n. Zatem

n =X

k | n

ν(k) ≤X

k | n

ϕ(k) = n,

a wie_,c dla ka˙zdego k | n zachodzi r´owno´s´c ν(k) = ϕ(k). W szczeg´olno´sci

ν(n) = ϕ(n) > 0, co ko´nczy dow´od. 

W zwia_,zku z twierdzeniem Lagrange’a nasuwa sie_, pytanie o mo˙zliwo´s´c jego odwr´ocenia. Za l´o˙zmy, ˙ze k jest dzielnikiem |G|. Czy istnieje podgrupa rze_,du k grupy G i ile jest takich podgrup? Cze_,´sciowa_,odpowiedzia_, na to pytanie be_,dzie twierdzenie Cauchy’ego, kt´ore m´owi, ˙ze je˙zeli liczba pierwsza p jest dzielnikiem |G|, to w G istnieje element rze_,du p, a wie_,c i cykliczna podgrupa rze_,du p. Udowodnimy je w naste_,pnym rozdziale.

4. Dzia lanie grupy na zbiorze

Znaczna cze_,´s´c poznanych przez nas przyk lad´ow grup, to podgrupy grupy bi- jekcji jakiego´s zbioru. Cze_,sto taka podgrupa sk lada sie_,z bijekcji, kt´ore zachowuja_, dodatkowa_,strukture_,geometryczna_,, topologicza_,lub algebraiczna_,, zdefiniowana_,na rozpatrywanym zbiorze.

4.1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy homomorfizm φ: G −→ Σ_X. Dzia lanie nazywamy wiernym, je˙zeli φ jest monomorfizmem.

Je˙zeli zadane jest dzia lanie grupy G na zbiorze X, to m´owimy ˙ze X jest G – zbio- rem. Zamiast oznaczenia φ(g)(x) be_,dziemy na og´o l u˙zywa´c bardziej czytelnego symbolu φg(x). W tym zapisie φg jest nazwa_, pewnej bijekcji zbioru X—bijekcji, kt´ora_,homomorfizm φ przypisuje elementowi g z grupy G. Natomiast φg(x) oznacza warto´s´c tej bijekcji dla argumentu x. Czasem stosuje sie_,jeszcze bardziej uproszczony zapis: g(x) zamiast φg(x).

4.2. Przyk lad. Dla dowolnej grupy G, niech ψ_g: G −→ G be_,dzie zadane wzorem ψ_g(x) = gx (poza przypadkiem g = 1, ψ_g nie jest automorfizmem G lecz tylko bi- jekcja_,zbioru element´ow). Przekszta lcenie ψ : G −→ Σ_G, ψ(g) = ψ_gjest oczywi´scie monomorfizmem grup. Wobec tego prawdziwe jest naste_,puja_,ce twierdzenie.

4.3. Twierdzenie Cayleya. Ka˙zda grupa G jest izomorficzna z pewna_, podgrupa_, grupy bijekcji zbioru G. W szczeg´olno´sci ka˙zda grupa rze_,du n jest izomorficzna z pewna_,podgrupa_,grupy Σn.

4.4. Definicja. Ka˙zdy element g ∈ G grupy G wyznacza pewien automorfizm φ_g : G −→ G, zadany wzorem φ_g(x) = gxg⁻¹. Nazywamy go automorfizmem wewne_,trznymgrupy G wyznaczonym przez element g.

Otrzymujemy homomorfizm φ : G −→ Aut(G), φ(g) = φg. Jest to wa˙zny przyk lad dzia lania grupy G na zbiorze jej element´ow - nazywamu go dzia laniem poprzez automorfizmy wewne_,trzne. Zauwa˙zmy, ˙ze

ker φ = {g ∈ G : ∀x∈Ggx = xg}.

Tak okre´slona podgrupa ma swoja_,nazwe_,: 4.5. Definicja. Podgrupe_,

Z(G) = {g ∈ G : ∀x∈Ggx = xg} 6 G nazywamy centrum grupy.

Przyjrzyjmy sie_,bli˙zej strukturze dowolnego G—zbioru X.

4.6. Definicja.

Orbita_,punktu x ∈ X nazywamy zbi´or

G(x) = {g(x): g ∈ G} ⊆ X.

Punktem sta lymdzia lania grupy G na zbiorze X nazywamy ka˙zdy punkt spe lniaja_,cy warunek G(x) = {x} lub r´ownowa˙znie ∀g∈G g(x) = x. Zbi´or punkt´ow sta lych oz- naczamy symbolem X^G.

Grupa_,izotropiipunktu x ∈ X nazywamy podgrupe_, G_x= {g ∈ G: g(x) = x} 6 G.

4.7. Uwaga. Je˙zeli punkt x⁰ ∈ G(x), to x⁰ = g(x) dla pewnego g ∈ G i w´owczas Gx⁰= g(Gx)g⁻¹.

Rozpatrzmy na zbiorze X relacje_,zadana_,wzorem x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈G y = g(x).

Bez trudu sprawdzimy, ˙ze relacja ta jest relacja_,r´ownowa˙zno´sci, a klasa_,abstrakcji zawieraja_,ca_,punkt x ∈ X jest orbita tego punktu G(x). Zatem niepusty G–zbi´or X jest suma_,parami roz la_,cznych orbit.

4.8. Definicja. Dzia lanie grupy G na zbiorze X nazywamy tranzytywnym(inaczej:

przechodnim) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{x, y∈X}∃_g∈Gg(x) = y.

Zauwa˙zmy, ˙ze dzia lanie na niepustym zbiorze jest tranzytywne wtedy i tylko wtedy, gdy ma dok ladnie jedna_,orbite_,.

Rozpatrzymy teraz podstawowy i w pewnym sensie uniwersalny przyk lad dzia- lania grupy:

4.9. Przyk lad. Niech G be_,dzie dowolna_,grupa_,, a H jej podgrupa_,. Zdefiniujemy dzia lanie φ : G −→ Σ_G/H, grupy G na zbiorze warstw lewostronnych G/H, wzorem φg(xH) = (gx)H.

Odnotujmy naste_,puja_,ce w lasno´sci powy˙zszego dzia lania:

1. jest ono tranzytywne;

2. GgH= gHg⁻¹.

3. je˙zeli H = 1, to dzia lanie jest wierne, czyli φ : G −→ ΣG jest monomorfizmem.

Zauwa˙zmy, ˙ze ten ostatni fakt, to znane nam ju˙z Twierdzenie Cayley’a.

Wyja´snienie, dlaczego powy˙zsze dzia lanie jest uniwersalnym przyk ladem, poprze- dzimy definicja_,.

4.10. Definicja. M´owimy, ˙ze dwa G–zbiory X i Y sa_,G–izomorficzne, je˙zeli ist- nieje bijekcja f : X −→ Y , taka ˙ze

∀x∈X∀g∈G f (g(x)) = g(f (x)).

Zauwa˙zmy, ˙ze zachodzi latwe, ale wa˙zne stwierdzenie:

4.11. Stwierdzenie. Niech X be_,dzie G–zbiorem i niech x ∈ X. W´owczas przek- szta lcenie fx: G/Gx−→ G(x), zadane wzorem

fx(gGx) = g(x), jest G–izomorfizmem G–zbior´ow.

Dow´od. Zauwa˙zmy, ˙ze gGx = g⁰Gx wtedy i tylko wtedy, gdy g⁰g⁻¹ ∈ Gx czyli wtedy i tylko wtedy g⁰g⁻¹(x) = x, co jest r´ownowa˙zne g(x) = g⁰(x). Wynika ztego,

˙ze f_x jest dobrze okre´slone i r´o˙znowarto´sciowe. To, ˙ze f_xjest ”na” jest oczywiste.

Co wie_,cej f_xzachowuje dzia lanie grupy G, to znaczy f (g(g⁰G_x)) = g(f (g⁰G_x)) dla

ka˙zdego g ∈ G i ka˙zdej warstwy w G/G_x. 

4.12. Wniosek. Je˙zeli X jest G–zbiorem, to dla ka˙zdego x ∈ X

|G(x)| = [G: Gx], gdzie |G(x)| oznacza moc orbity G(x).

Podsumowuja_,c: ka˙zdy G–zbi´or jest roz la_,czna_,suma orbit, a ka˙zda orbita jest G–

izomorficzna z dobrze znanym G–zbiorem (postaci G/H). Je˙zeli X jest sko´nczonym G–zbiorem, to moc X jest r´owna sumie d lugo´sci orbit rozpatrywanego dzia lania.

Uwzgle_,dniaja_,c wz´or na d lugo´s´c orbity podany we Wniosku 4.11 mo˙zemy to stwierdze- nie zapisa´c w postaci naste_,puja_,cego wzoru.

4.13. Stwierdzenie. Je˙zeli X jest sko´nczonym niepustym G–zbiorem, to (4.14) |X| = [G : Gx1] + [G : Gx2] + · · · + [G : Gxn],

gdzie G(x₁), G(x₂), . . . , G(x_n) sa_,wszystkimi orbitami dzia lania G na X.

Zanotujmy jeszcze wniosek wyp lywaja_,cy z powy˙zszego stwierdzenia:

4.15. Wniosek. Je˙zeli X jest sko´nczonym G–zbiorem i |G| = p^k, gdzie p jest liczba_,pierwsza_,, to

|X^G| ≡ |X| (mod p).

Dow´od. Suma d lugo´sci orbit jednoelementowych jest oczywi´scie r´owna mocy zbio- ru punkt´ow sta lych. Z twierdzenia Lagrange’a i Wniosku 4.12 wynika zatem, ˙ze suma mocy pozosta lych orbit jest podzielna przez p.  Stwierdzenie 4.12 i Wniosek 4.13 sa_,cze_,sto u˙zywane w taki spos´ob, ˙ze dowodzi sie_,i˙z grupa G nie mo˙ze dzia la´c na zbiorze mocy n bez punkt´ow sta lych, bo liczba n nie daje sie_,przedstawi´c w postaci sumy, takiej jak we wzorze (4.14), chyba ˙ze co najmniej jednym ze sk ladnik´ow jest jedynka. Oczywi´scie dopuszczalne sk ladniki musza_, nie tylko by´c dzielnikami liczby |G| ale musza_, to by´c liczby wyra˙zaja_,ce indeksy podgrup grupy G (wkr´otce be_,dziemy potrafili pokaza´c, ˙ze np. w grupie Σ₅, kt´ora jest rze_,du 120, nie ma podgrupy indeksu 8, chocia˙z 120 = 8 · 15).

Wniosek 4.15 pozwala tak˙ze na udowodnienie wa˙znego, a wcale nie oczywistego twierdzenia:

4.16. Twierdzenie Cauchy’ego. Je˙zeli G jest grupa_,sko´nczona_,i liczba pierwsza p jest dzielnikiem rze_,du grupy G, to w G istnieje element rze_,du p.

Dow´od. Niech X = {(g1, g2, . . . , gp) ∈ G × G × · · · × G: g1· g2· . . . · gp= 1}. Zbi´or X ma |G|^p−1 element´ow, w szczeg´olno´sci

|X| ≡ 0 (mod p).

Niech f ∈ Σ_X, f (g₁, g₂, . . . , g_p) = (g_p, g₁, g₂, . . . , g_p−1). Latwo sprawdzi´c, ˙ze o(f ) = p, a wie_,c h f i ∼= Zp. Zauwa˙zmy, ˙ze

X^{h f i}= {(g, g, . . . , g) ∈ G × G × · · · × G : g^p= 1}.

Zgodnie z Wnioskiem 4.15

|X^{h f i}| ≡ |X| ≡ 0 (mod p).

Moc zbioru X^{h f i} jest na pewno r´o˙zna od zera, bo na pewno (1, 1, . . . , 1) ∈ X^Zp. Wobec faktu, ˙ze p

|X^{h f i}|, zbi´or X^{h f i} musi zawiera´c jeszcze co najmniej p − 1 innych cia_,g´ow (g, g, . . . , g) ∈ X, teraz ju˙z takich, ˙ze g 6= 1. Oczywi´scie z tego, ˙ze g 6= 1 i g^p= 1, gdzie p jest liczba_,pierwsza_,, wynika ˙ze o(g) = p. 

Wr´o´cmy do przyk ladu, od kt´orego rozpocze_,li´smy ten rozdzia l.

4.17. Przyk lad. Niech grupa G dzia la na zbiorze jej element´ow przez automor- fizmy wewne_,trzne, φ : G −→ Aut(G). O automorfizmie wewne_,trznym φg m´owimy tak˙ze, ˙ze jest sprze_,˙zeniem wyznaczonym przez element g. Jak sie_,przekonamy, ana- liza tego dzia lania odgrywa wa˙zna_,role_,w badaniu struktury grupy i dlatego jego orbity i grupy izotropii maja_,odre_,bne nazwy:

orbite_,{gxg⁻¹: g ∈ G} elementu x nazywamyklasa_,sprze_,˙zono´scielementu x;

grupe_, izotropii elementu x nazywamy centralizatorem elementu x w G i oz- naczamy symbolem CG(x). Zatem

CG(x) = {g ∈ G : gxg⁻¹ = x}, a moc klasy sprze_,˙zono´sci elementu x jest r´owna [G : C_G(x)].

Zbi´or punkt´ow sta lych dzia lania przez automorfizmy wewne_,trzne ma ju˙z swoja_, nazwe_,— jest to centrumZ(G) grupy G.

Je˙zeli G jest grupa_, sko´nczona_,, to r´owno´s´c (4.14) wyste_,puja_,ca w Stwierdze- niu 4.13 nazywa sie_,r´ownaniem klasi przybiera posta´c:

(4.18) |G| = |Z(G)| + [G : CG(g1)] + [G : CG(g2)] + · · · + [G : CG(gk)], gdzie g₁, g₂, . . . , g_k jest lista_, reprezentant´ow wszystkich nie jednoelementowych klas sprze_,˙zono´sci.

Zanotujmy wa˙zny wniosek z r´owno´sci 4.18.

4.19. Wniosek. Je˙zeli |G| = p^k, gdzie p jest liczba_, pierwsza_,, k > 0, to centrum Z(G) grupy G jest nietrywialne.

Dow´od. Z r´owno´sci 3.13 wynika, ˙ze |G| ≡ |Z(G)| ≡ 0 (mod p). Poniewa˙z

|Z(G)| ≥ 1 i p

|Z(G)|, to |Z(G)| ≥ p, a wie_,c centrum jest nietrywialne.  4.20. Wniosek. Je˙zeli p jest liczba_, pierwsza_,, to ka˙zda grupa G rze_,du p² jest przemienna.

Dow´od. Mamy udowodni´c, ˙ze G = Z(G). Z poprzedniego wniosku wiemy, ˙ze w Z(G) jest jaki´s element nietrywialny x.

Je˙zeli h x i = G, to grupa G jest cykliczna, a wie_,c przemienna.

Je˙zeli h x i jest podgrupa_,w la´sciwa_,, to istnieje jaki´s element y ∈ G, taki ˙ze y /∈ h x i.

Oczywi´scie xy = yx. Zatem h x, y i jest grupa_, przemienna_,. Ale h x, y i, to ju˙z na

pewno jest ca la grupa G. 

Zastan´owmy sie_,jeszcze nad zwia_,zkiem liczby klas sprze_,˙zono´sci grupy sko´nczonej z jej rze_,dem - czy je˙zeli grupa ma k klas sprze_,˙zono´sci, to jej rza_,d m˙ze by´c dowolnie du˙zy? Okazuje sie_,, ˙ze nie i ˙ze prawdziwy jest naste_,puja_,cy fakt.

4.21. Stwierdzenie. Dla liczby naturalnej k ∈ N istnieje liczba naturalna B(k) ∈ N, taka ˙ze je˙zeli grupa sko´nczona G ma dok ladnie k klas sprze_,˙zono´sci, to |G| ≤ B(k).

Skorzystamy z latwego lematu, kt´orego dow´od pozostawiamy czytelnikowi.

4.22. Lemat. Dla ustalonej liczby naturalnej k i dodatniej liczby rzeczywistej a r´ownanie

1

x₁ + · · · + 1 x_k = a

ma sko´nczona_,liczbe_,rozwia_,za´n w zbiorze liczb naturalnych.

Dow´od Stwierdzenia 4.21 Rozpatrzmy r´ownanie klas:

|G| = [G : CG(g₁)] + [G : C_G(g₂)] + · · · + [G : C_G(g_k)],

gdzie g1, g2, . . . , gk sa_,reprezentantami wszystkich (tak˙ze tych jednoelementowych) klas sprze_,˙zono´sci grupy G. Mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze g1= 1. Korzystaja_,c z twierdzenia Lagrange’a i dziela_,c obie strony r´owno´sci przez |G| otrzymujemy

1 = 1

|CG(g1)|+ · · · + 1

|CG(gk)|. Poniewa˙z liczba rozwia_,za´n r´ownania _x¹

1 + · · · + _x¹

k = 1 jest sko´nczona, to ist- nieje B(k) ∈ N, zale˙zne tylko od k i takie ˙ze dla ka˙zdego i, |CG(g_i)| ≤ B(k). W szczeg´olno´sci dla g₁= 1, |C_G(g₁)| = |G| ≤ B(k).  Na zako´nczenie tych rozwa˙za´n zobaczymy jak mo˙zna skorzysta´c z wprowadzo- nych poje_,´c odpowiadaja_,c na pytanie: Czy istnieje grupa, kt´ora ma dok ladnie osiem element´ow rze_,du 5?

Poka˙zemy, ˙ze nie. Przypu´s´cmy, ˙ze jednak istnieje. W´owczas taka grupa G ma dok ladnie dwie podgrupy cykliczne rze_,du 5, H = h x i 6 G i K = h y i 6 G.

Dzia lanie grupy H na grupie G przez automorfizmy wewne_,trzne wyznacza dzia lanie H na zbiorze podgrup grupy G. Dzia lanie to zachowuje dwuelementowy zbi´or pod- grup 5–cio elementowych. Mamy wie_,c homomorfizm H −→ Σ2. Homomorfizm ten jest trywialny Wynika sta_,d, ˙ze automorfizmy wewne_,trzne wyznaczone przez elementy grupy H zachowuja_, podgrupe_,K, a wie_,c grupa H dzia la na grupie K i mamy homomorfizm H −→ Aut(K). Poniewa˙z |Aut(K)| = ϕ(5) = 4, to analog- iczne rozumowanie jak poprzednio dowodzi, ˙ze dzia lanie to jest trywialne. Oznacza to w szczeg´olno´sci, ˙ze xyx⁻¹ = y. Spe lnione sa_, za lo˙zenia zadania 2.6, a wie_,c h x, y i ∼= Z5× Z5. Wobec tego w grupie G sa_, co najmniej 24 elementy rze_,du 5.

Dochodzimy do sprzeczno´sci z za lo˙zeniem, ˙ze jest ich dok ladnie 8.

Klasy sprze_,˙zono´sci w grupach permutacji

Niech σ = (c₁, . . . , c_s) be_,dzie pewnym cyklem, a γ pewna_, permutacja_, w Σ_n. W´owczas γσγ⁻¹ = (γ(c₁), . . . , γ(c_s)) — latwo to sprawdzi´c w drodze bezpo´srednie- go rachunku. Korzystaja_,c (wielokrotnie) z r´owno´sci axya⁻¹ = (axa⁻¹)(aya⁻¹) otrzymujemy naste_,puja_,cy wniosek.

4.23. Wniosek. Dwie permutacje sa_, sprze_,˙zone wtedy i tylko wtedy, gdy maja_, podobne rozk lady na iloczyn cykli roz la_,cznych, tzn. w obydwu rozk ladach wyste_,puje po tyle samo cykli tej samej d lugo´sci.

4.24. Przyk lad. Permutacje (126)(347)(58)(9) i (6)(345)(29)(178) sa_,sprze_,˙zone w Σ₉, bo maja_,po jednym cyklu d lugo´sci jeden, po jednej transpozycji i po dwa cykle d lugo´sci trzy w rozk ladzie na iloczyn cykli roz la_,cznych.