Aby zdefiniowa´c poj˛ecie pochodnej funkcji w punkcie x0, trzeba najpierw zde-finiowa´c poj˛ecie ilorazu ró˙znicowego. Rozwa˙zmy argument funkcji x0 i pewien jego przyrost ∆x. Zmianie argumentu z x0do x0+ ∆x odpowiada zmiana warto´sci funkcji od f(x0) do f (x0+ ∆x). Ilorazem ró˙znicowym nazywamy iloraz przyrostu
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
warto´sci funkcji do przyrostu argumentu:
u= f(x0+ ∆x) − f (x0)
∆x =∆ f(x)
∆x .
Je´sli istnieje własciwa granica ilorazu ró˙znicowego przy ∆x→ 0, to granic˛e t˛e nazywamy pochodn ˛a funkcji w punkcie x0i oznaczamy f′(x0) lub d fdx(x):
f′(x0) = lim
∆x→0
f(x0+ ∆x) − f (x0)
∆x .
Mówimy wówczas, ˙ze funkcja jest ró˙zniczkowalna w punkcie x0, a obliczanie pochodnej funkcji nazywamy ró˙zniczkowaniem.
Interpretacja geometryczna Warto´s´c pochodnej funkcji w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punk-cie (patrz rys. 5.2), a zarazem tangensowi k ˛ata, który ta styczna tworzy z osi ˛a OX .
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x)
2 1 α
2)
=f’(1 α tg
Rysunek 5.2: Geometryczna ilustracja pochodnej funkcji w punkcie.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
35
Poniewa˙z pochodna przyjmuje okre´slon ˛a warto´s´c w ka˙zdym punkcie dzie-dziny funkcji, w którym funkcja jest ró˙zniczkowalna, zatem pochodna tak˙ze jest funkcj ˛a.
Operacja ró˙zniczkowania ma nast˛epuj ˛ace własno´sci:
1. [ f (x) ± g(x)]′= f′(x) ± g′(x), 2. [k · f (x)]′= k · f′(x) (k jest stał ˛a), 3. [ f (x) · g(x)]′= f′(x) · g(x) + f (x) · g′(x), 4.
hf(x) g(x)
i′
= f′(x)·g(x)− f (x)·g′(x) g2(x) , 5. dxd f(g(x)) =d fdg·dgdx.
Poni˙zej podane s ˛a wzory na pochodne podstawowych funkcji(k ∈ R):
• xk′
= k · xk−1,
• [k]′= 0,
• [ax]′= axln a,
• [logax]′= x·lna1 ,
• [sinx]′= cos x,
• [cosx]′= −sinx.
Pochodne stosujemy do badania monotoniczno´sci funkcji i szukania ich eks-tremów.
Je´sli funkcja jest ró˙zniczkowalna w pewnym przedziale, to zwi ˛azek z
warto-´sciami pochodnej w tym przedziale jest nast˛epuj ˛acy:
1. f′(x) > 0 – funkcja jest rosn ˛aca w tym przedziale, 2. f′(x) < 0 – funkcja jest malej ˛aca w tym przedziale, 3. f′(x) = 0 – funkcja jest stała w tym przedziale.
Je´sli pochodna funkcji ró˙zniczkowalnej przyjmuje w jakim´s punkcie x0 war-to´s´c zero, a jej znak jest ró˙zny w prawym i lewym s ˛asiedztwie tego punktu, to funkcja ma w tym punkcie ekstremum. Rozró˙zniamy dwa przypadki:
Minimum – gdy miar˛e wzrostu argumentów, przy przechodzeniu przez x0 po-chodna funkcji zmienia znak z− na +,
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
Maksimum – gdy miar˛e wzrostu argumentów, przy przechodzeniu przez x0 po-chodna funkcji zmienia znak z+ na −.
Przykład 19 Poda´c równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji f (x) = 3x5− 6x2w punkcie x= 1.
Rozwi ˛azanie:
Poszukiwanie równania stycznej y = ax + b sprowadza si˛e do wyznaczenia jej parametrów a i b. Wiemy, ˙ze a-współczynnik kierunkowy stycznej jest równy warto´sci pochodnej funkcji w punkcie:
a= f′(1) =
15x4− 12x
x=1= 15 − 12 = 3.
Z kolei poniewa˙z ta prosta jest styczn ˛a do wykresu funkcji w tym punkcie, to musi zachodzi´c:
y(1) = f (1) 3· 1 + b = 3 · 15− 6 · 12
b= −6.
St ˛ad szukane równanie prostej ma posta´c y= 3x − 6.
Przykład 20 Znale´z´c najwi˛eksz ˛a i najmniejsz ˛a warto´s´c funkcji f(x) = x−sin(2x) w przedzialeh−π2, π2i.
Rozwi ˛azanie:
Najwi˛eksz ˛a i najmniejsz ˛a warto´s´c w przedziale funkcja przyjmuje: albo na jed-nym z ko´nców przedziału, albo w ekstremum, o ile istniej ˛a ekstrema funkcji w tym przedziale. Wyliczmy najpierw warto´sci funkcji na ko´ncach przedziału:
f
Nast˛epnie szukamy ekstremów funkcji. W tym celu obliczamy pochodn ˛a funkcji:
f′(x) = 1 − 2cos2x i szukamy jej miejsc zerowych:
f′(x) = 0 1− 2cos(2x) = 0
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
37
cos(2x) = 1 2 x1= −π
6, x2= π 6.
Mo˙zemy sprawdzi´c, czy s ˛a to ekstrema (zmiana znaku pochodnej), ale mniej cza-sochłonne b˛edzie wyliczenie warto´sci funkcji w tych punktach:
f π
Wida´c zatem, ˙ze w tym przedziale najwi˛eksz ˛a warto´sci ˛a funkcji jest f π2
= π2, za´s najmniejsz ˛a f −π2
= −π2.
Przykład 21 Zbada´c przebieg zmienno´sci funkcji
f(x) = x2− 2x + 2 x− 1 .
Rozwi ˛azanie:
Zbadanie przebiegu zmienno´sci funkcji polega na podaniu jej własno´sci (patrz rozdział 5.2), podsumowaniu ich w tabeli i naszkicowaniu wykresu funkcji.
1. Własno´sci ogólne.
(a) Dziedzina funkcji. Jest to funkcja wymierna, zatem x∈ R \ {1}.
(b) Miejsca zerowe i punkt przeci˛ecia z osi ˛a OY . x2− 2x + 2
x− 1 = 0 x2− 2x + 2 = 0
∆= (−2)2− 4 · 2 · 1 < 0
zatem funkcja nie ma miejsc zerowych, a o´s OY przecina dla y= f (0) = −2.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
(c) Parzysto´s´c, okresowo´s´c, ci ˛agło´s´c.
f(−x) = x2+ 2x + 2
−x − 1
f(−x) 6= f (x) oraz f(−x) 6= − f (x), zatem funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Funkcja ta nie jest tak˙ze okresowa.
Funkcja jest ci ˛agła w R z wyj ˛atkiem x= 1.
(d) Granice na ko ´ncach przedziałów okre´slono´sci.
x→−∞lim f(x) = lim
Analizuj ˛ac granice prawo- i lewostronn ˛a funkcji w x= 1 widzimy, ˙ze prosta x= 1 jest obustronn ˛a pionow ˛a asymptot ˛a funkcji f(x).
Poniewa˙z jednak jest to funkcja wymierna, której stopie´n licznika jest o 1 wy˙zszy od stopnia mianownika, spodziewamy si˛e, ˙ze funkcja ta ma równie˙z asymptot˛e uko´sn ˛a. Obliczmy jej parametry:
a = lim
Zatem równanie asymptoty uko´snej ma posta´c y= x − 1.
3. Własno´sci zwi ˛azane z pierwsz ˛a pochodn ˛a.
(a) Pierwsza pochodna i jej dziedzina.
f′(x) =(2x − 2)(x − 1) − 1 · (x2− 2x + 2)
(x − 1)2 = x2− 2x (x − 1)2, i dziedzina pokrywa si˛e z dziedzin ˛a funkcji.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
39
(b) Przedziały monotoniczno´sci i ekstrema. Badamy, gdzie pochodna przyjmuje warto´sci dodatnie, a gdzie ujemne.
f′(x) > 0 x2− 2x
(x − 1)2 > 0 (x2− 2x)(x − 1)2 > 0 x(x − 2)(x − 1)2 > 0
x
0 0.5 1 1.5 2
f’(x)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Rysunek 5.3: Wykres pomocniczej funkcji, który posłu˙zy do badania monotonicz-no´sci badanej funkcji.
i z pogl ˛adowego wykresu wielomianu b˛ed ˛acego lew ˛a stron ˛a nierów-no´sci (rys. 5.3) odczytujemy, ˙ze:
f′(x) > 0 dla x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞), f′(x) < 0 dla x ∈ (0,1) ∪ (1,2), f′(x) = 0 dla x ∈ {0,2}.
Stwierdzamy zatem, ˙ze funkcja jest rosn ˛aca w przedziałach(−∞,0) i (2, +∞), malej ˛aca w przedziałach (0, 1) i (1, 2) oraz posiada nast˛e-puj ˛ace ekstrema: maksimum w x= 0 ( f (0) = −2, pochodna zmienia znak z+ na −) oraz minimum w x = 2 ( f (2) = 2, pochodna zmienia znak z − na +). Przy analizie miejsc zerowych pochodnej odrzuci-li´smy rozwi ˛azanie x= 1 jako nienale˙z ˛ace do dziedzieny pochodnej funkcji.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
x −∞ (−∞, 0) 0 (0, 1) (1, 2) 2 (2, ∞) ∞
f′(x) + + 0 − − 0 + +
f(x) −∞ ր max,−2 ց−∞ ∞
ց min, 2 ր ∞
Tabela 5.1: Tabela przebiegu funkcji badanej w przykładzie 21.
x
-2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Rysunek 5.4: Wykres funkcji badanej w przykładzie 21.
4. Tabela podsumowuj ˛aca i wykres funkcji.
5.5 ´Cwiczenia
1. Wykres funkcji y = log2(x + m) + k, której dziedzin ˛a jest przedział (−2, +∞), przechodzi przez punkt A = (2,−1). Obliczy´c warto´sci para-metrów m i k oraz okre´sli´c, dla jakich liczb x funkcja przyjmuje warto´sci ujemne.
2. Dla poni˙zszych funkcji wyznaczy´c dziedzin˛e funkcji, zbiór warto´sci, miej-sca zerowe, asymptoty oraz przedyskutowa´c monotoniczno´s´c i parzysto´s´c.
(a) y1= x2−5x+4x , (b) y2= x3− 4x2+ 4x, (c) y3= x2·√
1− x2, (d) y4= log0,5(2 − x),
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
41
(e) y5= −2x+ 1, (f) y6= |1 − 2x|, (g) y7=|xx42−1−1|.
3. Zbada´c, czy funkcja y= x21+1 jest ró˙znowarto´sciowa na przedziałach:
a) h0, +∞), b) (−∞, +∞).
4. Obliczy´c nast˛epuj ˛ace granice funkcji:
(a) limx→+∞x3+x2−1
1−x3 , (b) limx→+∞√
x− q
x+p x+√
x
. 5. Wyznaczy´c dziedzin˛e funkcji f danej wzorem
f(x) =q log1
2(1 + x) − log12(8 − x).
6. Wyznaczy´c najwi˛eksz ˛a warto´s´c funkcji f(x) = −2x2+ x − 1 w przedziale 0 6 x 6 2.
7. Zbada´c parzysto´s´c funkcji f(x)=
(a) x2sin(x), (b) x3sin(x), (c) | x + 1 |, (d) ex, (e) e|x|+2,
(f) | x2+ 2x − 4 |, (g) || x + 2 | + | x − 2 ||.
8. Obliczy´c pochodne funkcji:
(a) f(x) = x cos3x, (b) f(x) =sin x√x, (c) f(x) =x2x+x+12+2 , (d) f(x) =x√3+x+1√3x,
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
(e) f(x) = √3−x
x2−4, (f) f(x) = x√
ax− x2, gdzie a> 0.
9. Obliczy´c współczynnik kierunkowy stycznej poprowadzonej do paraboli y= x2w punkcie x= 2.
10. W którym punkcie styczna do paraboli y= 0, 5x2jest równoległa do prostej 2x− y + 3 = 0?
11. Napisa´c równanie stycznej do funkcji f w zadanym punkcie:
(a) f(x) = x2+ 3x + 1, (0, 1), (b) f(x) =−3x+1x−4 , 2,52
.
12. Suma długo´sci kraw˛edzi czworo´scianu prawidłowego (o podstawie trójk ˛ a-ta równobocznego i spodku wysoko´sci w ´srodku tego trójk ˛ata) wynosi 24.
Przy jakiej wysoko´sci obj˛eto´s´c tego czworo´scianu jest najwi˛eksza?
13. Zbada´c przebieg zmienno´sci nast˛epuj ˛acych funkcji:
(a) y1= x2x−42 , (b) y2= 1 −p3
(x − 4)2, (c) y3= (x+3)(x+2)32,
(d) y4= xq
2−x 2+x, (e) y5= ln(1 − ex),
(f) y6= (x+1)x2+12.
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
43
6 Ci ˛ agi
6.1 Definicje
Ci ˛agiem nazywamy funkcj˛e, b˛ed ˛ac ˛a odwzorowaniem zbioru kolejnych liczb na-turalnych dodatnich (sko´nczonego lub niesko´nczonego) na zbiór wyrazów ci ˛agu.
Zatem ci ˛agiem liczbowym nazwiemy zbiór liczb, z których ka˙zda zajmuje
okre-´slone miejsce o zadanym numerze. Ci ˛agi oznaczamy zwykle liter ˛a z indeksem:
(an).
Przykłady ci ˛agów:
• liczbom naturalnym przyporz ˛adkowujemy ich kwadraty (ci ˛ag liczbowy nie-sko´nczony),
• numerujemy kolejne tomy sagi lub encyklopedii (ci ˛ag sko´nczony),
• numerujemy liczby pierwsze (ci ˛ag liczbowy niesko´nczony).
W dajszej kolejno´sci zajmiemy si˛e wył ˛acznie ci ˛agami liczbowymi.
Ci ˛agi liczbowe okre´slamy zwykle przez:
• podanie przepisu słownego,
• podanie wzoru ogólnego, tzn. takiego, na podstawie którego znaj ˛ac n
mo-˙zemy wyliczy´c an,
• podanie wzoru rekurencyjnego, tzn. podanie pierwszego wyrazu oraz prze-pisu, jak wyliczy´c an+1na podstawie an.
Granic ˛a wła´sciw ˛a ci ˛agu jest liczba g wtedy, gdy w dowolnie małym otoczeniu liczby g (a wi˛ec w przedziale(g − ε,g + ε), gdzie ε jest dowolnie mał ˛a liczb ˛a do-datni ˛a) znajduj ˛a si˛e prawie wszystkie wyrazy ci ˛agu. Przez “prawie wszystkie” w matematyce rozumiemy “wszystkie, z wyj ˛atkiem sko´nczonej liczby”. Rachunek granic ci ˛agów przeprowadza si˛e tak, jak rachunek granic funkcji.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
Monotoniczno´s´c ci ˛agu
Ci ˛ag nazywamy rosn ˛acym, je´sli ka˙zdy jego wyraz (oprócz pierwszego) jest wi˛ek-szy od poprzedniego, czyli
an+1> andla n∈ N+. Ci ˛ag jest malej ˛acy, gdy zachodzi
an+1< andla n∈ N+.
Je˙zeli w tych dwóch przypadkach nie zachodz ˛a nierówno´sci ostre, ale zacho-dz ˛a nieostre, to mówimy w tych przypadkach odpowiednio o ci ˛agu niemalej ˛acym i nierosn ˛acym.
Ci ˛ag nazwiemy stałym, je´sli wszystkie jego wyrazy s ˛a sobie równe.
Przykład 22 Ile ujemnych wyrazów ma ci ˛ag zadany wzorem ogólnym an= n2− 7n + 10 ?
Podaj te wyrazy.
Rozwi ˛azanie:
Na pocz ˛atku rozwa˙zymy funkcj˛e kwadratow ˛a, która jest przedłu˙zeniem (an) dla liczb rzeczywistych y(x) = x2−7x+10. Mo˙zemy łatwo (np. wyliczaj ˛ac wyró˙znik wyra˙zenia x2− 7x + 10) znale´z´c, ˙ze miejscami zerowymi tej funkcji s ˛a x1 = 2 i x2= 5. Wykres tej funkcji ma ramiona skierowane ku górze, zatem warto´sci ujemne funkcja przyjmuje dla x∈ (2,5). Teraz korzystamy z tego, ˙ze ci ˛ag jest okre´slony wył ˛acznie dla liczb naturalnych dodatnich. Takie liczby w przedziale (2, 5) to 3 i 4, a wi˛ec s ˛a dwa takie wyrazy: a3= 9 − 21 + 10 = −2 i a4= 16 − 28+ 10 = −2.