W YRÓWNAWCZYCHZ M ATEMATYKI M ATERIAŁYDO Z AJ˛E´C

(1)

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki,

chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Opracowanie: Aleksandra Wro´nska

M ATERIAŁY DO Z ^{AJ ˛} ^{E ´C}

W YRÓWNAWCZYCH Z M ATEMATYKI

Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UJ

wersja II, poprawiona Kraków, 2017

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

(2)

(3)

Spis tre´sci

1 Rachunek wektorowy 5

1.1 Definicje . . . . 5

1.2 Działania na wektorach . . . . 5

1.3 Przykłady . . . . 7

1.4 Cwiczenia . . . .´ 8

2 Liczby rzeczywiste 9 2.1 Definicje . . . . 9

2.2 Działania na liczbach rzeczywistych . . . . 9

2.2.1 Pot˛egowanie . . . . 9

2.2.2 Pierwiastkowanie . . . . 10

2.2.3 Warto´s´c bezwzgl˛edna . . . . 10

2.2.4 Logarytmowanie . . . . 11

2.3 Wielomiany . . . . 12

2.3.1 Działania na wielomianach . . . . 12

2.4 Cwiczenia . . . .´ 13

3 Równania i nierówno´sci 15 3.1 Definicje . . . . 15

3.2 Typy równa´n . . . . 15

3.3 Metody rozwi ˛azywania równa´n i nierówno´sci . . . . 16

3.4 Przykładowe schematy post˛epowania . . . . 17

3.5 Cwiczenia . . . .´ 21

4 Trygonometria 23 4.1 Definicje . . . . 23

4.2 Cwiczenia . . . .´ 29

5 Funkcje 30 5.1 Definicje . . . . 30

5.2 Podstawowe własno´sci funkcji . . . . 30

(4)

5.3 Funkcje podobne . . . . 33

5.4 Elementy rachunku ró˙zniczkowego . . . . 34

5.5 Cwiczenia . . . .´ 41

6 Ci ˛agi 44 6.1 Definicje . . . . 44

6.2 Ci ˛ag arytmetyczny . . . . 45

6.3 Ci ˛ag geometryczny . . . . 46

6.4 Cwiczenia . . . .´ 48

7 Prawdopodobie´nstwo i kombinatoryka 49 7.1 Definicje . . . . 49

7.2 Kombinatoryka . . . . 51

7.3 Schemat Bernoulliego . . . . 52

7.4 Cwiczenia . . . .´ 53

(5)

1 Rachunek wektorowy

1.1 Definicje

Wektorem nazywamy uporz ˛adkowan ˛a par˛e punktów, z których pierwszy nazywa si˛e pocz ˛atkiem, a drugi ko´ncem wektora. Mo˙zna te˙z mówi´c o wektorze jako o odcinku skierowanym, czyli takim, dla którego wyró˙zniono pocz ˛atek i koniec.

Wektor o pocz ˛atku w punkcie A i ko´ncu w punkcie B oznaczamy−→AB, cz˛esto u˙zywa si˛e te˙z oznacze´n jednoliterowych, np.~a.

Dowolny wektor mo˙zna scharakteryzować podaj ˛ac jego długo´sć (zwan ˛a tak˙ze modułem), kierunek i zwrot. Długo´sć wektora oznaczamy|−→AB| lub AB.

Dwa wektory s ˛a równe, je´sli ich trzy powy˙zsze cechy s ˛a identyczne, tzn. je´sli maj ˛a takie same długo´sci, kierunki i zwroty. O wektorach przeciwnych za´s mó- wimy wtedy, gdy maj ˛a one takie same długo´sci i kierunki, ale przeciwne zwroty.

Wektor zerowy to taki, którego pocz ˛atek i koniec pokrywaj ˛a si˛e. Nie ma on okre´slonego ani kierunku, ani zwrotu.

Cz˛esto do opisu wektora u˙zywa si˛e jego reprezentacji w układzie współrz˛ednych. Jednym z najcz˛e´sciej u˙zywanych jest kartezja´nski układ współrz˛ednych.

W tym układzie wektor jest reprezentowany przez trzy liczby (b ˛ad´z dwie, je´sli ograniczamy si˛e do rozwa˙za´n na płaszczy´znie) b˛ed ˛ace długo´sciami rzutów wektora na ka˙zd ˛a z osi: OX , OY i OZ. Zapisujemy wówczas~a = (ax, ay, az), gdzie ax, ay, az∈R.

1.2 Działania na wektorach

Dodawanie wektorów przeprowadzamy algebraicznie (je´sli podane s ˛a ich współ- rz˛edne) lub graficznie.

Suma dwóch wektorów~a = (ax, ay, az) i ~b = (bx, by, bz) w kartezja´nskim układzie współrz˛ednych to wektor~a +~b = (ax+ bx, ay+ by, az+ bz).

Graficznie sum˛e dwóch wektorów konstruujemy najcz˛e´sciej korzystaj ˛ac z tzw. metody trójk ˛ata. Dla powy˙zszego przykładu uczyniliby´smy to nast˛e-

(6)

puj ˛aco:

1. konstruujemy wektor~a,

2. konstruujemy wektor ~b tak, by jego pocz ˛atek pokrywał si˛e z ko´ncem wektora~a,

3. sum˛e~a +~b tworzymy jako wektor zaczepiony w pocz ˛atku pierwszego wektora, o ko´ncu w ko´ncu drugiego wektora.

Metod˛e t˛e stosować mo˙zna tak˙ze do dodawania wi˛ekszej liczby wektorów - wówczas suma tych wektorów jest zawsze wektorem o pocz ˛atku w pocz ˛atku pierwszego wektora w łańcuchu i końcu w końcu ostatniego wektora w łańcuchu.

Istnieje te˙z druga metoda graficznego dodawania wektorów, tzw. metoda równoległoboku. W tej metodzie konstruujemy równoległobok na bazie wektorów~a i ~b, w taki sposób, by ich punkty zaczepienia pokrywały si˛e.

Wychodz ˛aca z tego punktu przek ˛atna równoległoboku tworzy sum˛e~a +~b, której pocz ˛atkiem jest punkt zaczepienia wektorów składowych.

Sum˛e wektorów cz˛esto nazywa si˛e wektorem wypadkowym.

Dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym, tzn.~a +~b =~b +~a oraz ł ˛acznym, czyli~a + (~b +~c) = (~a +~b) +~c.

Odejmowanie wektorów ~a +~b realizujemy przez dodanie wektora przeciwnego

~a + (−~b).

Mno˙zenie wektora przez skalar (liczb˛e) k~a polega na zwi˛ekszeniu długo´sci wektora o zadany czynnik, przy zachowaniu jego kierunku. Dla k> 0 zachowa- ny zostaje tak˙ze zwrot wektora~a, dla k < 0 zwrot ~a zmieniamy na przeciwny.

Dla wektora w kartezja´nskim układzie współrz˛ednych mno˙zenie przez skalar polega na wymno˙zeniu przez t˛e liczb˛e wszystkich składowych wektora:

k~a = (kax, kay, kaz).

Działanie mno˙zenia przez skalar jest rozdzielne wzgl˛edem dodawania:

k(~a +~b) = k~a + k~b.

Iloczyn skalarny to działanie na parze wektorów, którego wynikiem jest skalar (liczba). Zapisujemy je~a ·~b. Dla wektorów o znanych długo´sciach i kie- runkach~a ·~b = abcos∢(~a,~b), za´s dla wektorów o znanych współrz˛ednych kartezja´nskich~a ·~b = a^xb_x+ ayb_y+ azb_z.

Jak wida´c na powy˙zszych wzorach, działanie to jest przemienne.

(7)

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Materiały do Zaj˛e´c Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010

Z własno´sci funkcji cos x widzimy, ˙ze dla wektorów prostopadłych iloczyn skalarny zeruje si˛e. Własno´s´c t˛e mo˙zemy wykorzysta´c do badania prosto- padło´sci (czyli ortogonalno´sci) dwóch wektorów.

Iloczyn skalarny posiada własno´s´c ł ˛aczno´sci przy mno˙zeniu przez skalar k(~a ·~b) = (k~a) ·~b oraz rozdzielno´sci ~a · (~b +~c) = ~a ·~b +~a ·~c.

1.3 Przykłady

Przykład 1 Dane s ˛a trzy wektory:~a = (1, 0, −1), ~b = (2,−1,3), ~c = (1,1,2).

Obliczy´c długo´sci tych wektorów oraz znale´z´c wektor~x = 3~a −~b + 4~c.

Rozwi ˛azanie:

|~a| = q

1²+ 0²+ (−1)²=√ 2

|~b| = q

2²+ (−1)²+ 3²=√ 14

|~c| = p

1²+ 1²+ 2²=√ 6

~x = (3 · 1 − 2 + 4 · 1, 3 · 0 − (−1) + 4 · 1, 3 · (−1) − 3 + 4 · 2) = (5,5,2).

Przykład 2 Znale´z´c wektor jednostkowy równoległy do wektora ~a = (3,−4,2).

Rozwi ˛azanie:

ˆ

a= _|~a|^~a =^√₉₊₁₆₊₄¹ ~a = ^√¹

29~a.

Przykład 3 Dane s ˛a dwa wektory~a = (3, −1,5) i~b = (1,2,−3). Znale´z´c wektor

~x = (x1, x2, x3) prostopadły do osi OZ i spełniaj ˛acy warunki~x ·~a = 9, ~x ·~b = −4.

Rozwi ˛azanie:

Warunek prostopadło´sci do osi OZ oznacza, ˙ze x₃= 0. Rozpisujemy na składo- wych pozostałe dwa warunki:

3x1− 1x²+ 5x3 = 9 1x1+ 2x2− 3x³ = −4 Rozwi ˛azuj ˛ac ten układ równa´n dostajemy~x = (2, −3,0).

7

(8)

1.4 ´Cwiczenia

1. Dane s ˛a dwa wektory ~a i ~b, takie ˙ze ~a +~b = (11, −1,5) oraz ~a −~b = (−5,11,9). Znale´z´c:

(a) wektory~a i~b,

(b) k ˛at pomi˛edzy wektorami~a i ~a +~b

oraz sprawdzi´c sum˛e k ˛atów w trójk ˛acie zbudowanym na wektorach~a, ~b oraz ich sumie~a +~b.

2. Dane s ˛a wektory~a = (2, 0),~b = (0, −2) oraz~c = (1,−2). Metod ˛a graficzn ˛a znale´z´c wektor~u = ~a −~b + 2~c. Wyznaczy´c współrz˛edne wektora ~u dwiema metodami - graficzn ˛a oraz algebraiczn ˛a.

3. Wyznaczyć długo´sć wektorów ~a = (−1,1,1), ~b = (0,4,−3), a nast˛epnie znale´zć jednostkowe wektory âoraz ˆb takie, ˙ze âk ~a, ˆb k~b.

4. Wykaza´c, ˙ze trójk ˛at o wierzchołkach A(3, 2), B(6, 5), C(1, 10) jest prosto- k ˛atny.

5. Dane s ˛a punkty A= (2, −1), B = (1 + a,2), C = (3,2 − a). Dla jakiej war- to´sci a wektory−→ABoraz−→AC s ˛a prostopadłe?

(9)

2 Liczby rzeczywiste

2.1 Definicje

Liczbami wymiernymi nazywamy wszystkie liczby całkowite i ułamkowe, tzn.

takie, które mo˙zna przedstawi´c w postaci ilorazu dwóch innych liczb. Przykłady:

−1, 3₁₆¹, 0, ²⁹⁷₂₉₈.

Liczby niewymierne to dopełnienie zbioru liczb wymiernych tak, by pokry- wały cał ˛a o´s liczbow ˛a. Ich wprowadzenie pozwala na przyporz ˛adkowanie liczby ka˙zdemu punktowi na osi liczbowej, a zatem uci ˛agla zbiór liczb. Liczbom niewy- miernym odpowiadaj ˛a niesko´nczone i nieokresowe ułamki dziesi˛etne. Przykłady:

√2, √³

10, e, π.

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Własno´sci liczb rzeczywistych:

1. ich zbiór jest uporz ˛adkowany, tzn. w ka˙zdej parze liczb, które nie s ˛a sobie równe mo˙zna wskaza´c, która z liczb jest wi˛eksza (np. 3< 5, −5 < 0), 2. jest to zbiór ci ˛agły, tzn. ka˙zdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada

pewna liczba rzeczywista,

3. w zbiorze liczb rzeczywistych okre´slone s ˛a działania, które (poza kilkoma wyj ˛atkami i zastrze˙zeniami, o których poni˙zej) daj ˛a w wyniku okre´slone liczby rzeczywiste. Te działania to: dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie, dzielenie dwóch liczb, obliczanie pot˛eg, obliczanie pierwiastków oraz lo- garytmów.

2.2 Działania na liczbach rzeczywistych

2.2.1 Pot˛egowanie

Pot˛egowanie a^c to działanie dwuargumentowe, wymaga podstawy pot˛egi a i wy- kładnika pot˛egi c. Dla ka˙zdego a6= 0: a⁰= 1.

(10)

Je´sli c jest liczb ˛a naturaln ˛a dodatni ˛a, to a^c= a · a · ... · a| {z }

c czynników

. Je´sli c jest całkowite ujemne, to a^c = ¹

a^|c|, przy czym mamy tu ograniczenie, ˙ze a6= 0.

Pot˛egi o wykładnikach niecałkowitych zdefiniowane s ˛a dla a > 0.

Je´sli wykładnik jest wymierny dodatni, to pot˛eg˛e obliczamy nast˛epuj ˛aco: a^d^c =

√d

a^c, a je´sli wymierny ujemny, to a^c^d = _|d|√¹

a^|c|, przy czym w tym drugim przypadku ˙z ˛adamy, aby a> 0.

Pot˛egi o wykładnikach niewymiernych mo˙zna obliczy´c jako granice ci ˛agów pot˛eg o wykładnikach wymiernych.

Pot˛egowanie ma nast˛epuj ˛ace własno´sci:

• a^c· a^d= a^c+d,

• _a^a^d^c = a^c^−d,

• (a^c)^d= a^c^·d,

• (a · b)^c= a^c· b^c,

• (^ab)^c=^a_b^cc.

Uwaga! Pot˛egowanie jest rozdzielne wzgl˛edem mno˙zenia i dzielenia, ale nie wzgl˛edem dodawania czy odejmowania:(a + b)^c6= a^c+ b^c.

2.2.2 Pierwiastkowanie

Pierwiastkiem n−tego stopnia z nieujemnej liczby a√ⁿ

anazywamy tak ˛a nieujem- n ˛a liczb˛e b, ˙ze bⁿ= a. Z liczb ujemnych istniej ˛a jedynie pierwiastki nieparzystych stopni – zdefiniowane podobnie jak powy˙zej.

2.2.3 Warto´s´c bezwzgl˛edna

Warto´s´c bezwzgl˛edna liczby rzeczywistej jest zdefiniowana jako

|x| =

x dla x >0

−x dla x < 0.

Warto´s´c bezwzgl˛edna to odległo´s´c punktu x od punktu 0 na osi liczbowej, jest wi˛ec nieujemna. Dla dwóch liczb x, y mamy nast˛epuj ˛ace własno´sci warto´sci bezwzgl˛ednej:

• |x + y| 6 |x| + |y|,

(11)

• |x − y| 6 |x| + |y|,

• |x · y| = |x| · |y|,

• dla y 6= 0 |^xy| = ^|x|_|y|.

2.2.4 Logarytmowanie

Logarytmem o podstawie a z liczby b log_abnazywamy tak ˛a liczb˛e x, ˙ze a^x= b.

Podstaw ˛a logarytmu mog ˛a by´c liczby a∈ (0,∞) \ {1}, za´s liczby logarytmowane b∈ (0,∞).

Je´sli podstawa logarytmu nie jest jawnie wpisana, to przyjmujemy domy´sln ˛a warto´s´c 10. Natomiast symbol ln oznacza logarytm, którego podstaw ˛a jest liczba Eulera e.

Przy spełnieniu odpowiednich zało˙ze´n obowi ˛azuj ˛a nast˛epuj ˛ace prawa działa´n na logarytmach:

• logab+ log_ac= log_a(b · c),

• logab− logac= log_a(^b_c),

• logab^k= k · logab,

• logab= ^log_log^c^b

ca,

• logab= _log¹

ba.

Przykład 4 Obliczy´c warto´s´c wyra˙zenia [p

1, 6 · 10³· (¹2)⁴]⁻¹. Rozwi ˛azanie:

[p

1, 6 · 10³ ¹2

4

]⁻¹= [ q16

10· 1000 ·16¹]⁻¹= (√

16· 100 ·16¹)⁻¹= (4 · 10 ·16¹)⁻¹=

= ₁₀⁴ = 0, 4.

Przykład 5 Przepisa´c wyra˙zenie |2x − 5| + 4|1 − 2x| dla 1 < x < 2 bez u˙zycia symbolu warto´sci bezwzgl˛ednej.

Rozwi ˛azanie:

Stwierdzamy, ˙ze w tym zakresie warto´sci x warto´sci wyra˙ze´n pod warto´sciami bezwzgl˛ednymi|2x − 5| i |1 − 2x| s ˛a ujemne, w zwi ˛azku z czym powy˙zsze wyra-

˙zenie mo˙zemy zapisa´c jako−2x + 5 + 4[−(1 − 2x)] = 6x + 1.

11

(12)

Przykład 6 Obliczy´c warto´s´c wyra˙zenia 4^2+log⁴⁷. Rozwi ˛azanie:

Korzystamy kolejno z własno´sci pot˛eg i logarytmów:

4^2+log⁴⁷= 4²· 4^log⁴⁷= 16 · 7 = 112.

2.3 Wielomiany

Wielomianem stopnia n nazywamy funkcj˛e postaci

W(x) = anxⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ . . . + a1x+ a0, gdzie a_is ˛a rzeczywistymi współczynnikami liczbowymi, a a_n6= 0.

2.3.1 Działania na wielomianach

Dwa wielomiany s ˛a równe wtedy, gdy ich współczynniki przy odpowiednich po- t˛egach s ˛a równe.

Mno˙zenie wielomianu przez liczb˛e k polega na wymno˙zeniu przez t˛e liczb˛e ka˙zdego wyrazu wielomianu.

Dodawanie wielomianów polega na dodaniu do siebie wyrazów podobnych.

Odejmowanie wielomianów W(x) − R(x) polega na dodaniu do W (x) wielomianu R(x) pomno˙zonego przez −1.

Mno˙zenie wielomianów W(x) · R(x) polega na wymno˙zeniu ka˙zdego wyrazu wielomianu W(x) przez ka˙zdy wyraz wielomianu R(x).

Dzielenie wielomianów W(x)/R(x), gdzie R(x) 6= 0 odbywa si˛e analogicznie do dzielenia liczb rzeczywistych. Jego wynikiem jest inny wielomian oraz reszta z dzielenia (niekoniecznie zerowa).

Istnieje szereg twierdze´n zwi ˛azanych z rozkładem wielomianów na czynniki.

1. Ka˙zdy wielomian jest iloczynem wielomianów stopnia co najwy˙zej drugiego.

2. Je˙zeli liczba x₀ jest miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu P(x), to P(x) jest podzielny przez dwumian (x − x⁰).

3. Wielomian stopnia n mo˙ze mie´c co najwy˙zej n pierwiastków.

Przykład 7 Rozło˙zy´c na czynniki wielomian R(x) = x⁴+ 2x³− x − 2 i zidentyfi- kowa´c jego miejsca zerowe.

(13)

Rozwi ˛azanie:

Wył ˛aczaj ˛ac z pierwszej i drugiej pary wspólne czynniki przed nawias i korzystaj ˛ac ze wzoru skróconego mno˙zenia na ró˙znic˛e sze´scianów dostajemy:

x⁴+2x³−x−2 = x³(x+2)−(x+2) = (x+2)(x³−1) = (x+2)(x−1)(x²+x+1).

Zatem wielomian ten ma dwa miejsca zerowe:−2 i 1.

Przykład 8 Okre´sli´c dla jakich x ma sens liczbowy i doprowadzi´c do najprostszej postaci wyra˙zenie:

x

x− 5+ 2x− 25 x²− 7x + 10. Rozwi ˛azanie:

Sprawdzamy, dla jakich x mianowniki składników s ˛a niezerowe: x 6= 5 oraz x²− 7x + 10 6= 0. Drugi warunek upraszczamy, wyliczaj ˛ac kolejno wyró˙znik tego trójmianu ∆ i jego pierwiastki:

∆= (−7)²− 4 · 1 · 10 = 9, x₁= (7 −√

9)/2 = 2, x₂= (7 +√

9)/2 = 5.

Zatem podsumowuj ˛ac zało˙zenia: x∈ R \ {2, 5}.

Nast˛epnie wyliczamy:

x

x− 5+ 2x− 25

x²− 7x + 10 = x

x− 5+ 2x− 25

(x − 2)(x − 5)= x(x − 2) + 2x − 25 (x − 2)(x − 5) =

= x²− 25

(x − 2)(x − 5)= (x − 5)(x + 5)

(x − 2)(x − 5)= (x + 5) (x − 2).

2.4 ´Cwiczenia

1. Wyznaczy´c A∪ B, A ∩ B, A \ B oraz A^′je´sli:

(a) A= (−∞, −2i i B = (−3, 5i, (b) A= (3, 7i i B = {3}.

2. Obliczy´c warto´sci A, B i C, dla których prawdziwe jest równanie 6x²− x + 1

x³− x =A x + B

x− 1+ C x+ 1.

13

(14)

3. Obliczy´c warto´sci wyra˙ze´n:

(a) log₃6, 75 + log₃4, (b) log√

1000, (c) log_0,51, (d) log₅0, 04, (e) 25^log⁵³.

4. Dla x< −1 upro´sci´c wyra˙zenie |x| + |x + 1| + |x − 2|.

5. Wykonać działania: ^1+a_a₋₃−¹_3+a^−2a−â₉^(1−a)_−a² . 6. Rozło˙zyć wielomiany na czynniki:

(a) x⁵+ 10x⁴− x³− 10x², (b) 12x⁶− 3x²,

(c) x⁴− 16,

(d) 9− x²+ 2xy − y². 7. Obliczy´c warto´s´c wyra˙zenia:

3 :1

6+ 1 − 0,8 : 1, 5

3

2· 0,4 ·_1:⁵⁰¹

2

+1

4+ 1+¹₂·0,25¹

6−1+2,2·10⁴⁶

.

8. Dla jakich liczb a i b wielomian x²− bx + 1 jest podzielnikiem wielomianu x³− x²+ bx + a?

9. Wyznaczy´c p i q tak, aby liczba 3 była podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³− 5x²+ px + q.

10. Rozwi ˛aza´c metod ˛a wyznaczników i znale´z´c, dla jakich warto´sci parametru zrozwi ˛azaniem jest para liczb o ró˙znych znakach

(z − 1)x − y = z

−x − (z + 1)y = 2.

(15)

3 Równania i nierówno´sci

3.1 Definicje

Równaniem nazywamy równo´s´c dwóch funkcji tej samej zmiennej: f(x) = g(x).

Rozwi ˛azać równanie to znale´zć takie warto´sci niewiadomej x, dla których rów- no´sć jest prawdziwa. Te warto´sci zmiennej x nazywaj ˛a si˛e rozwi ˛azaniami lub pierwiastkami równania.

Je´sli dane równanie jest spełnione dla wszystkich x, na których funkcje f(x) i g(x) s ˛a okre´slone, to takie równanie nazywa sie to˙zsamo´sci ˛a.

Nierówno´sć to stwierdzenie, ˙ze dwa wyra˙zenia f i g poł ˛aczone s ˛a relacj ˛a po- rz ˛adkuj ˛ac ˛a, czyli mo˙zna wskazać, które z nich ma wi˛eksz ˛a warto´sć. Wyró˙zniamy nierówno´sci słabe (nieostre), czyli takie, które dopuszczaj ˛a równo´sć wyra˙zeń f i g, np. f 6 g, oraz nierówno´sci mocne (ostre), np. f < g. Rozwi ˛azać nierów- no´sć to znale´zć wszystkie warto´sci wyst˛epuj ˛acych w niej zmiennych, dla których ta nierówno´sć jest prawdziwa. W przypadku nierówno´sci z jedn ˛a zmienn ˛a jest to najcz˛e´sciej przedział lub suma przedziałów na osi liczbowej, za´s dla nierówno´sci z dwiema zmiennymi rozwi ˛azaniem jest obszar w układzie współrz˛ednych.

3.2 Typy równa´n

Równania algebraiczne to takie równania, w których funkcje f(x) i g(x) s ˛a funkcjami algebraicznymi zmiennej x. Funkcje te mog ˛a by´c zarówno wymierne jak i niewymierne.

Równaniem wykładniczym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma lub jej funkcja wyst˛epuje jedynie w wykładnikach pot˛eg o danych podstawach.

Równanie logarytmiczne to takie, w którym niewiadoma lub jej funkcja wyst˛epuje jako liczba logarytmowana w logarytmie o znanej podstawie.

W równaniach trygonometrycznych niewiadoma x wyst˛epuje tylko jako argument funkcji trygonometrycznych.

(16)

3.3 Metody rozwi ˛ azywania równa´n i nierówno´sci

Rozwi ˛azywanie równa´n i nierówno´sci rozpoczynamy od ustalenia zbioru, na któ- rym s ˛a one okre´slone, czyli wyra˙zenia wyst˛epuj ˛ace w równaniu czy nierówno´sci maj ˛a sens liczbowy. W szczególno´sci wypisujemy nast˛epuj ˛ace zało˙zenia:

1. wyra˙zenia wyst˛epuj ˛ace w mianownikach wyra˙ze´n wymiernych musz ˛a by´c ró˙zne od zera,

2. wyra˙zenia wyst˛epuj ˛ace pod pierwiastkami musz ˛a by´c nieujemne(tzn. > 0), 3. wszystkie liczby logarytmowane musz ˛a by´c dodatnie,

4. wszystkie podstawy logarytmów musz ˛a by´c dodatnie i ró˙zne od 1,

5. w równaniach i nierówno´sciach trygonometrycznych wyra˙zenia g wyst˛e- puj ˛ace jako argument funkcji tangens musz ˛a spełnia´c g6= π/2 + kπ, za´s wyra˙zenia h wyst˛epuj ˛ace jako argument funkcji kotangens musz ˛a spełnia´c h6= kπ, gdzie w obydwu przypadkach k jest dowoln ˛a liczb ˛a całkowit ˛a.

Po wypisaniu i - w przypadku bardziej skomplikowanych zało˙ze´n - rozwi ˛aza- niu zało˙ze´n, przyst˛epujemy do rozwi ˛azywania samego równania lub nierówno´sci.

Polega to na przekształcaniu danego równania (nierówno´sci) w równanie (nierów- no´s´c) równowa˙zn ˛a, to znaczy posiadaj ˛ac ˛a takie same rozwi ˛azania.

W ogólno´sci mo˙zna powiedzie´c, ˙ze na obie strony równania lub nierówno-

´sci mo˙zemy zadziałać pewn ˛a funkcj ˛a, o ile funkcja ta nie jest stała i nie wyklu- cza ˙zadnego z rozwi ˛azań. Musimy pami˛etać, ˙ze je´sli funkcja, któr ˛a działamy jest malej ˛aca, to musimy zmienić znak nierówno´sci na przeciwny. W szczególno´sci dopuszczalne s ˛a:

1. dodanie (lub odj˛ecie) dowolnego wyra˙zenia od obydwu stron równania (nie- równo´sci),

2. pomno˙zenie lub podzielenie obydwu stron równania (nierówno´sci) przez to samo ró˙zne od zera wyra˙zenie; w przypadku nierówno´sci, je´sli wyra˙zenie jest ujemne, musimy zmieni´c znak nierówno´sci,

3. zlogarytmowanie obydwu stron równania (nierówno´sci) logarytmem o tej samej podstawie; je´sli podstawa logarytmu a∈ (0,1), to ten logarytm jest funkcj ˛a malej ˛ac ˛a i musimy zmieni´c znak nierówno´sci,

4. podniesienie obydwu stron równania (nierówno´sci) do tej samej pot˛egi, 5. wyliczenie warto´sci funkcji wykładniczej z obydwu stron równania (nie-

równo´sci); je´sli podstawa pot˛egi a∈ (0,1), to taka funkcja jest równie˙z funkcj ˛a malej ˛ac ˛a i musimy pami˛eta´c o zmianie znaku nierówno´sci.

(17)

3.4 Przykładowe schematy post˛epowania

Poni˙zej omówione s ˛a metody rozwi ˛azywania równa´n ka˙zdego typu, a nast˛epnie ró˙znice pojawiaj ˛ace si˛e przy rozwi ˛azywaniu nierówno´sci.

Przykład 9 Rozwi ˛aza´c równanie

x²+¹_x x+¹_x− 1 = 0.

Rozwi ˛azanie:

Takie przypadki sprowadzamy – przy pomocy metod podanych powy˙zej – do postaci P(x) = 0, gdzie P(x) jest wielomianem zmiennej x. Wówczas najwygodniej jest rozło˙zy´c wielomian P(x) na czynniki proste i argumentowa´c, ˙ze iloczyn zeruje si˛e, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

W pierwszym kroku czynimy zało˙zenia, dla jakich x wyra˙zenia w równaniu maj ˛a sens liczbowy: x6= 0 oraz x +¹x− 1 6= 0. W ´swietle pierwszego zało˙zenia mo˙zemy drugie zało˙zenie pomno˙zy´c obustronnie przez x, co daje x²− x + 1 6= 0.

Poniewa˙z wyró˙znik lewej strony jest ujemny, drugie zało˙zenie jest spełnione dla wszystkich x6= 0.

Nast˛epnie sprowadzamy równanie do postaci wielomianowej - rozszerzamy ułamek przez x i wymna˙zamy równanie obustronnie przez nowy mianownik:

x³+ 1

x²− x + 1 = 0 | · (x²− x + 1) x³+ 1 = 0.

Poniewa˙z lewa strona jest wielomianem stopnia trzeciego, mo˙zna go rozło˙zy´c na co najmniej dwa czynniki:

(x + 1)(x²− x + 1) = 0.

Wiemy ju˙z, ˙ze drugi czynnik nie zeruje si˛e dla ˙zadnej warto´sci x, zatem jedy- nym rozwi ˛azaniem pozostaje x= −1, o którym upewniamy si˛e, ˙ze jest zgodne z poczynionymi zało˙zeniami.

Przykład 10 Rozwi ˛aza´c nierówno´s´c

|x + 1| − |x| > 0.

17

(18)

Rozwi ˛azanie:

Taki typ nierówno´sci rozwi ˛azujemy przez opuszczenie warto´sci bezwzgl˛ednych.

W tym celu czynimy odpowiednie zało˙zenia. W powy˙zszym przykładzie ka˙zde z wyra˙ze´n pod warto´sci ˛a bezwzgl˛edn ˛a mo˙ze przyjmowa´c warto´sci ujemne lub nieujemne, co daje do rozwa˙zenia cztery przypadki:

1. 





x+ 1 > 0 x >0

x+ 1 − x > 0







x >−1 x >0 1> 0 x >0

2. 





x+ 1 > 0 x< 0

x+ 1 − (−x) > 0







x >−1 x< 0 2x> −1 x∈ (−1

2, 0)

3. 





x+ 1 < 0 x >0

−(x + 1) − x > 0







x< −1 x >0

−2x > 1 x∈ ∅

(19)

4. 





x+ 1 < 0 x< 0

−(x + 1) − (−x) > 0







x< −1 x< 0

−1 > 0 x∈ ∅

Sumuj ˛ac rozwi ˛azania z poszczególnych przypadków dostajemy x∈ (−¹₂, +∞).

Przykład 11 Rozwi ˛aza´c równanie wykładnicze 0, 25⁰,5x(x−1)−0,75=p⁴

0, 5⁻⁶.

Rozwi ˛azanie:

Obie strony powy˙zszego równania mo˙zemy - po przekształceniu - przedstawi´c jako pot˛egi o podstawie ¹₂:

1 2

2[0,5x(x−1)−0,75]

= 1 2

−⁶4

.

Dalej skorzystamy z ró˙znowarto´sciowo´sci funkcji pot˛egowej (dwie pot˛egi o jed- nakowych podstawach s ˛a równe, gdy ich wykładniki s ˛a równe), co pozwoli nam przyrówna´c wykładniki i uzyska´c równanie kwadratowe:

x(x − 1) −3 2 = −3

2 x(x − 1) = 0 x= 0 lub x= 1.

Przykład 12 Rozwi ˛aza´c nierówno´s´c trygonometryczn ˛a sin²3x> 1

4 dla0 6 x 6 2π.

19

(20)

Rozwi ˛azanie:

Powy˙zsza nierówno´s´c jest równowa˙zna:

|sin3x| > 1 2.

Nast˛epnie wykonujemy pomocniczy szkic wykresu funkcji y= |sint| i odczytu- jemy z niego rozwi ˛azania.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

π 2π 3π

Widzimy, ˙ze rozwi ˛azania dla zmiennej 3x powtarzaj ˛a si˛e co π, a wi˛ec mo˙zemy zapisa´c ogólnie:

π

6+ kπ < 3x < 5π

6 + kπ, k= 0, 1, 2, . . . . Nast˛epnie wydzielamy wszystkie wyra˙zenia przez 3:

π 18+kπ

3 < x <5π 18+kπ

3

i wybieramy takie warto´sci k, dla których x mie´sci si˛e w przedziale zadanym w tre´sci zadania: k∈ {0,1,2,3,4,5}.

Przykład 13 Rozwi ˛aza´c równanie logarytmiczne log1

3

√x+ 1 < 1 + log¹

3

p4− x².

Rozwi ˛azanie:

Najwygodniej rozwi ˛aza´c to równanie sprowadzaj ˛ac obie jego strony do postaci logarytmów o tych samych podstawach i – korzystaj ˛ac z ró˙znowarto´sciowo´sci

(21)

funkcji logarytmicznej – porówna´c liczby logarytmowane. Najpierw jednak wypisujemy zało˙zenia, pami˛etaj ˛ac, ˙ze pierwiastki istniej ˛a wył ˛acznie z liczb nieujem- nych, a liczbami logarytmowanymi mog ˛a by´c wył ˛acznie liczby dodatnie:

(x+ 1 > 0 4− x²> 0.

Zało˙zenia te s ˛a spełnione dla x ∈ (−1,2). Nast˛epnie korzystamy z tego, ˙ze 1= log¹

3

1

3 oraz z twierdzenia o dodawaniu logarytmów o tych samych podstawach. Otrzymujemy:

log1 3

√x+ 1 < log¹

3

1 3

p4− x²,

co mo˙zemy zapisa´c opuszczaj ˛ac logarytmy jako

√x+ 1 > 1 3

p4− x²,

gdzie zauwa˙zamy zmieniony znak nierówno´sci ze wzgl˛edu na to, ˙ze funkcja y= log¹

3x jest malej ˛aca. Strony nierówno´sci podnosimy do kwadratu i dalej post˛epujemy jak w przypadku nierówno´sci kwadratowej:

x+ 1 > 1

9(4 − x²) x²+ 9x + 5 > 0 x∈ − ∞,−9 −√

61 2

!

∪ −9 +√ 61

2 , +∞

! . To rozwi ˛azanie, po uwzgl˛ednieniu zało˙ze´n zaw˛e˙za si˛e do

x∈ −9 +√ 61

2 , 2

! .

3.5 ´Cwiczenia

1. Rozwi ˛aza´c równania i nierówno´sci (pami˛etaj ˛ac o poczynieniu stosownych zało˙ze´n):

(a) _x+1² −^x+11−x = _x2^x−1² ,

21

(22)

(b) ₂_−x² +⁴_x = 3, (c) ^2x⁻⁵

x²−6x+8 < −1, (d) ⁴_x^−x2 −²x >1,

(e) −27 < x³6x|x + 2|, (f) √^e^x

2 = 2^x,

(g) 5^x+⁽⁵^x⁻⁵⁾⁽⁵₁₋₅x^x⁺⁵⁾ > 0, (h) |3x − 4| + 3|4x + 1| = 6,

(i) p

(x + 2)²− 8x + |3 − x| < 3x − 1, (j) (p

2+√

3)^x+ (p 2−√

3)^x= 4, (k) −²36 ³_5x+2^−4x 6 ³₂,

(l) √

x^x= x^√^x,

(m) x²· 2^x+ x · 2^x⁻¹> 0, (n) √

x^log^√^x= 10.

2. Wykaza´c, ˙ze liczba r= log₃4 spełnia równanie: 27^x= 3^x+ (√

3)^x+ 58.

3. Rozwi ˛aza´c w zale˙zno´sci od warto´sci parametru p nierówno´s´c x²+ px + p

4 > 0.

4. Narysowa´c zbiór wyznaczony na płaszczy´znie nierówno´sciami:

|x − y| < x + y, |x| + |y| 6 4.

5. Dla jakich warto´sci parametru m rozwi ˛azaniem układu

x− y = m

2x− y = 2 − m jest para liczb o przeciwnych znakach?

6. Zbada´c zale˙zno´s´c liczby pierwiastków równania (m − 1)x²+ (m + 1)x + (m − 1) = 0 od parametru m.

(23)

4 Trygonometria

4.1 Definicje

Niniejszy rozdział odnosi si˛e do k ˛atów. K ˛at to cz˛e´s´c płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym pocz ˛atku. K ˛at mierzymy w stopniach (1^◦ =

1

360 k ˛ata pełnego) lub w radianach (k ˛at pełny to 2π radianów). Zwi ˛azek pomi˛edzy tymi miarami to: 1^◦= ₁₈₀^π radianów.

Je´sli rozwa˙zymy trójk ˛at prostok ˛atny jak na rysunku poni˙zej, to mo˙zemy wy- pisa´c definicje funkcji trygonometrycznych k ˛ata ostrego:

Sinus sin α= ^a_c, Kosinus cos α= ^b_c, Tangens tg α= ^a_b, Kotangens ctg α= ^b_a.

Warto zauwa˙zy´c podstawowe zwi ˛azki mi˛edzy powy˙zszymi funkcjami trygo- nometrycznymi. Pierwszy z nich cz˛esto nazywany jest jedynk ˛a trygonometrycz- n ˛a:

sin²α+ cos²α= 1 tg α= sin α

cos α

a

b c

α

(24)

0^◦ 30^◦ (^π₆) 45^◦ (^π₄) 60^◦ (^π₃) 90^◦ (^π₂)

sin α 0 ¹₂

√2 2

√3

2 1

cos α 1

√3 2

√2 2

1

2 0

tg α 0

√3

3 1 √

3 nie istnieje ctg α nie istnieje √

3 1

√3

3 0

Tabela 4.1: Warto´sci funkcji trygonometrycznych wybranych k ˛atów.

ctg α= 1 tan α

oraz szereg innych, takich jak wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego lub połówkowego k ˛ata, które mo˙zna znale´z´c z ka˙zdych tablicach matematycz- nych.

Zestawienie warto´sci funkcji trygonometrycznych dla wybranych k ˛atów przedstawia tabela 4.1. Warto´sci dla k ˛atów 30^◦ i 60^◦ mo˙zna z łatwo´sci ˛a otrzy- ma´c rozwa˙zaj ˛ac połow˛e trójk ˛ata równobocznego o boku 1, za´s warto´sci dla k ˛ata 45^◦z rozwa˙za´n trójk ˛ata równoramiennego o długo´sci ramion 1.

Tak˙ze w układzie współrz˛ednych mo˙zemy okre´sli´c tzw. k ˛at skierowany. Jest to k ˛at pomi˛edzy dodatni ˛a cz˛e´sci ˛a osi OX a wektorem wodz ˛acym punktu A o współrz˛ednych(x, y), przy czym za zwrot dodatni uwa˙zamy ten liczony w stron˛e przeciwn ˛a do kierunku ruchu wskazówek zegara. Ilustruje to poni˙zszy rysunek.

r

α

x y

A(x,y)

W takiej sytuacji mo˙zna rozszerzy´c definicje funkcji trygonometrycznych tak-

˙ze dla k ˛atów wi˛ekszych od 180^◦, dla których niemo˙zliwe jest skorzystanie z definicji opartej o długo´sci boków trójk ˛ata. Mamy zatem:

Sinus sin α=^y_r,

(25)

Kosinus cos α= ^x_r, Tangens tg α= ^y_x, Kotangens ctg α= ^x_y,

gdzie r=p

x²+ y²jest długo´sci ˛a wektora wodz ˛acego.

Warto´sci funkcji trygonometrycznych dowolnego k ˛ata mo˙zemy wyliczy´c zna- j ˛ac warto´sci tych funkcji dla k ˛atów ostrych (czyli z zakresu od 0 do ^π₂) oraz tzw. wzory redukcyjne. Znak funkcji dla k ˛ata z danej ´cwiartki układu współrz˛ednych ustalimy albo z powy˙zszych definicji, albo pami˛etaj ˛ac wyliczank˛e:

W pierwszej ´cwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus,

w czwartej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Po ustaleniu znaku zapisujemy k ˛at jako sum˛e lub ró˙znic˛e krotno´sci ^π₂ i k ˛ata ostrego (np. 240^◦= 270^◦− 30^◦ lub 240^◦= 180^◦+ 60^◦). Je´sli pierwszy składnik tej sumy to 90^◦ lub 270^◦, to mówimy ˙ze funkcje przechodz ˛a w kofunkcje, czyli sin(90^◦+ x) → cosx, cos(90^◦+ x) → sinx oraz analogicznie dla pary funkcji tangens i kotangens.

Przykład 14 Obliczy´c: cos120^◦,sin 225^◦,tg 315^◦,ctg 300^◦. Rozwi ˛azanie:

Kolejno: rozpisujemy k ˛at w sposób podany powy˙zej, ustalamy znak funkcji w danej ´cwiartce układu współrz˛ednych, sprawdzamy czy funkcja przechodzi w kofunkcj˛e:

cos 120^◦ = cos(90^◦+ 30^◦) = −sin30^◦= −1 2, sin 225^◦ = sin(180^◦+ 45^◦) = −sin45^◦= −

√2 2 , tg 315^◦ = tg(270^◦+ 45^◦) = −ctg45^◦= −1, ctg 300^◦ = ctg(360^◦− 60^◦) = −ctg60^◦= −

√3 3 .

25

(26)

Funkcja Dziedzina Zbiór warto´sci Miejsca zerowe Okres Parzysto´s´c

sin x R h−1,1i kπ 2π nieparzysta

cos x R h−1,1i ^π₂+ kπ 2π parzysta

tg x R\ {^π2+ kπ} R kπ π nieparzysta

ctg x R\ {kπ} R ^π

2+ kπ π nieparzysta

-3 -2 -1 0 1 2 3

π π 0

- 2

-π 2

π

2 π

3 2π

sin(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3

π π 0

- 2

-π 2

π

2 π

3 2π

cos(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3

π π 0

- -2π 2π

2π

3 2π

tg(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3

ctg(x)

π π 0

- -2π 2π

2π

3 2π

ctg(x)

Rysunek 4.1: Wykresy funkcji trygonometrycznych. Niebieskimi liniami zazna- czone zostały asymptoty pionowe funkcji tg x i ctg x.

W YRÓWNAWCZYCHZ M ATEMATYKI M ATERIAŁYDO Z AJ˛E´C

M ATERIAŁY DO Z AJ ˛ E ´C

W YRÓWNAWCZYCH Z M ATEMATYKI

Spis tre´sci

1 Rachunek wektorowy

1.1 Definicje

1.2 Działania na wektorach

1.3 Przykłady

1.4 ´Cwiczenia

2 Liczby rzeczywiste

2.1 Definicje

2.2 Działania na liczbach rzeczywistych

2.3 Wielomiany

2.4 ´Cwiczenia

3 Równania i nierówno´sci

3.1 Definicje

3.2 Typy równa´n

3.3 Metody rozwi ˛ azywania równa´n i nierówno´sci

3.4 Przykładowe schematy post˛epowania

3.5 ´Cwiczenia

4 Trygonometria

4.1 Definicje

M ATERIAŁY DO Z ^{AJ ˛} ^{E ´C}