Podstawiaj¡c A = √µ p i linearyzuj¡c wzgl¦dem J2, dochodzimy do równo±ci
˙ orbi-talny odbywa si¦ dzi¦ki precesji linii apsyd z pr¦dko±ci¡ ˙ϖ = ˙α, która nie jest równa ruchowi ±redniemu n.
Do peªnego obrazu brakuje nam tylko oskulacyjnej póªosi wielkiej a, któr¡
znajdujemy z de nicji odlegªo±ci perycentrum q = a (1− e) = rc.
Podstawiaj¡c wzór dla e, rozwi¡zuj¡c powstaªe równanie wzgl¦dem a i line-aryzuj¡c rozwi¡zanie, otrzymujemy
Jak wida¢, elementy oskulacyjne kryj¡ w sobie wiele puªapek i warto pami¦ta¢ o podanym tu przykªadzie podczas analizy orbit o maªych
mimo-±rodach czy te» maªych nachyleniach.
3.3 Elementy ±rednie orbity w pierwszym
przybli-»eniu
Co prawda rozwi¡zanie przybli»one zagadnienia gªównego otrzymaª Brouwer przy pomocy formalizmu kanonicznego, ale zasadnicze wnioski mo»na tak»e
wyprowadzi¢ u»ywaj¡c równa« planetarnych Lagrange'a i prostej metody u±redniania. Równania Lagrange'a wykorzystuj¡ pochodne z funkcji pertur-bacyjnej, czyli tej cz¦±ci potencjaªu, która pozostaje po odj¦ciu potencjaªu zagadnienia dwóch ciaª. W naszym przypadku b¦dzie to
V2,0= J2
Poniewa» funkcja perturbacyjna musi by¢ wyra»ona przy pomocy elementów keplerowskich orbity, zaczniemy of podstawienia
sin φ = z
r = s sin (f + ω),
gdzie s = sin I oznacza sinus nachylenia, za± ω to argument perygeum. Z elementarnych to»samo±ci trygonometrycznych wynika, »e
sin2(f + ω) = 1− cos (2f + 2ω)
2 ,
wi¦c mo»emy zapisa¢ funkcj¦ perturbacyjn¡ jako
V2,0= J2
Zaªó»my teraz, »e nie interesuj¡ nas perturbacje krótkookresowe czyli ta-kie, które by zale»aªy od anomalii ±redniej czy te» prawdziwej. W tej sytuacji, mo»emy w pierwszym przybli»eniu zast¡pi¢ funkcj¦ perturbacyjn¡ V2,0 przez jej warto±c ±redni¡ ⟨V2,0⟩ wyznaczon¡ przy zaªo»eniu ruchu keplerowskiego jako przybli»enia zerowego. Warto±¢ ±rednia jest wtedy dana wzorem
⟨V2,0⟩ = 1
Poniewa» chodziªo nam o ±redni¡ czasow¡ ⟨V2,0⟩, zacz¦li±my od caªki wzgl¦-dem anomalii ±redniej M jako liniowej funkcji czasu, a nast¦pnie przeszli±my do caªkowania wzgl¦dem wyst¦puj¡cej w V2,0 anomalii prawdziwej f, korzy-staj¡c z II prawa Keplera w postaci
df
U»ywaj¡c formalizmu wprowadzonego na wykªadzie Mechanika nieba,
mo-»emy zamiast (3.26) napisa¢ krótko
⟨V2,0⟩ = ⟨V2,0⟩M =
Podstawiaj¡c do powy»szej równo±ci wzór (3.25), otrzymujemy
⟨V2,0⟩ =
Wykorzystali±my tu liniowo±¢ operatora u±redniania oraz prawo do wyª¡cze-nia przed nawias ⟨ ⟩f dowolnej staªej niezale»nej of f. Przypomnijmy, »e r = a η2/(1 + e cos f ), a wi¦c
W ten sposób otrzymujemy u±rednion¡ funkcj¦ perturbacyjn¡ zagadnienia gªównego
Mo»emy teraz wypisa¢ równania Lagrange'a, opisuj¡ce ewolucj¦ ta zwa-nych elementów ±rednich sztucznego satelity (elementy ±rednie ró»ni¡ si¦
od oskulacyjnych brakiem perturbacji krótkookresowych)
U±redniona funkcja perturbacyjna ⟨V2,0⟩ nie zale»y od M, ω i Ω, natomiast
∂⟨V2,0⟩
Jak zwykle, skorzystali±my z de nicji ruchu ±redniego poprzez µ = n2a3. W tej sytuacji równania Lagrange'a (3.31) upraszczaj¡ si¦ do
˙a = ˙e = dI
Jak wida¢, równania dla elementów ±rednich mo»na rozwi¡za¢ bez trudu i dochodzimy do bardzo istotnych wniosków:
1. rednia póªo± wielka, ±redni mimo±ród i ±rednie nachylenie orbity s¡
staªe; innymi sªowy ksztaªt orbity i jej nachylenie do równika podle-gaj¡ jedynie perturbacjom krótkookresowym.
2. rednia anomalia ±rednia, ±redni argument perygeum i ±rednia dªugo±c w¦zªa wst¦puj¡cego s¡ liniowymi funkcjami czasu o czestostliwo±ciach zale»nych od a, e, I oraz wspóªczynnika spªaszczenia Ziemi J2. Wynika to z faktu, »e je±li ±rednie elementy a, e, I s¡ staªe, to równie» prawe strony (3.34), (3.35) i (3.36) s¡ staªe. W tej sytuacji ewolucja oskulacyj-nych elementów ω, Ω i zmiennej oskulacyjnej M jest sum¡ perturbacji wiekowych typu (const) × t i perturbacji krótkookresowych.
3. Pomijaj¡c perturbacje krótkookresowe, linia w¦zªów podlega jednostaj-nej precesji w kierunku wstecznym (ze wschodu na zachód) zgodnie z rozwi¡zaniem Z rozwi¡zania tego wynika, »e perturbacje w dªugo±ci w¦zªa wst¦puj¡-cego znikaj¡ dla orbit biegunowych z nachyleniem I = 90◦, gdy» wtedy c = 0.
4. redni argument perygeum posiada perturbacje wiekowe ω = ω(t0)− J2n3 Zauwa»my, »e znak perturbacji wiekowych w argumencie perygeum zale»y od ±redniego nachylenia orbity. Je±li 5c2 > 1, to linia apsyd obraca si¦ zgodnie z kierunkiem ruchu orbitalnego, a je±li 5c2 < 1, to linia apsyd obraca si¦ ruchem wstecznym. Istniej¡ dwie warto±ci nachylenia, dla których zanikaj¡ perturbacje wiekowe w argumencie perygeum: Obie te warto±ci nosz¡ nazw¦ nachylenia krytycznego. Poniewaz orbit o nachyleniu krytycznym nie ma w pierwszym przybli»eniu per-turbacji wiekowych w argumencie perygeum, jej apogeum i perygeum wypadaj¡ caªy czas na tej samej szeroko±ci geogra cznej φ. A »e funk-cja perturbacyjna V2,0 jest zale»na od φ, to mamy tu do czynienia z
zycznym rezonansem, który znacznie komplikuje wprowadzenie dru-giego przybli»enia. Co ciekawe, w toczonych a» do ko«ca lat 1960. po-lemikach, czy nachylenie krytyczne jest zycznym efektem rezonanso-wym, czy te» jest to tylko sztuczny problem matematyczny zwi¡zany
z u»yciem elementów keplerowskich (podobny do omawianego wcze-sniej problemu interpretacji orbit koªowych), nikt nie posªu»yª si¦ tym sk¡dinad prostym argumentem.
5. Perturbacje wiekowe w ±redniej anomalii ±redniej sprawiaj¡, »e je±li utrzymujemy oznaczenie n = √(µ/a3), to przestaje obowi¡zywa¢ II prawo Keplera, gdy»
M = M (t0) + n (
1− J2
3 4
a2⊕ a2
1− 3 c2 η3
)
. (3.40)
i okres w którym M wzrasta o 2π przestaje by¢ równy 2π/n. Perturba-cje wiekowe w anomalii ±redniej zale»¡ od ±redniego nachylenia, wi¦c je±li 3c2 > 1, to okres obiegu jest krótszy ni» keplerowski i vice versa.
Nachylenie przy którym znikaj¡ perturbacje wiekowe w M, czyli
I = arc cos (
±
√1 3
) ,
nie prowadzi do »adnego zycznego rezonansu i nie odgrywa »adnej istotnej roli w teorii ruchu SSZ.
Mówi¡c krótko: w pierwszym przybli»eniu mo»emy traktowa¢ ruch sztucz-nego satelity Ziemi jako ruch po orbicie keplerowskiej z jednostajnie obra-caj¡cymi si¦ liniami w¦zªów i apsyd oraz z okresem obiegu niespeªniaj¡cym III prawa Keplera. Uwzgl¦dnienie tego wniosku jest niezb¦dne nawet przy bardzo szacunkowych prognozach ruchu sztucznych satelitów. Zaªó»my, »e dla niskiego satelity (a⊕/a) ≈ 1 o maªym mimo±rodzie η ≈ 1 przyjmiemy keplerowski model ruchu i wyliczymy na jego podstawie efemeryd¦. Ponie-wa» dla niskich satelitów n ≈ 360◦/1h.5, to dla nachylenia orbity I = 60◦ perturbacje w samej tylko dªugo±ci w¦zªa daj¡
Ω˙ ≈ −7.5 × 10−4n≈ −0.18 deg/h.
A zatem w ci¡gu 1000 godzin (ok. 42 doby) w¦zeª wst¦puj¡cy orbity znajdzie si¦ po przeciwnej stronie sfery niebieskiej i satelita b¦dzie zachodziª tam, gdzie wedªug naszej efemerydy keplerowskiej powinien wschodzi¢.
Spis tre±ci
1 Podstawy lotów kosmicznych 1
1.1 Pr¦dko±ci kosmiczne . . . 1
1.2 Problem lokalizacji miejsca startu . . . 4
1.2.1 Pr¦dko±¢ obrotu Ziemi . . . 4
1.2.2 Miejsce startu a nachylenie orbity . . . 6
1.3 Czynne manewry orbitalne . . . 7
1.3.1 Podziaª manewrów orbitalnych . . . 8
1.3.2 Transfer Hohmanna . . . 8
1.3.3 Transfer dwueliptyczny . . . 12
1.4 Bierne manewry orbitalne . . . 13
1.4.1 Sfera wpªywu . . . 13
1.4.2 Przybli»one równanie sfery wpªywu . . . 17
1.4.3 Wspomaganie grawitacyjne zmiana kierunku pr¦dko±ci 20 1.4.4 Wspomaganie grawitacyjne zmiana warto±ci pr¦dko±ci 24 1.5 Sztuczne satelity Ziemi (SSZ) wiadomo±ci podstawowe . . . 25
1.5.1 Ruch keplerowski jako przybli»enie zerowe . . . 25
1.5.2 Gªówne siªy zaburzaj¡ce . . . 26
2 Pole grawitacyjne Ziemi 28 2.1 Poj¦cie geopotencjaªu . . . 28
2.2 Szereg harmoniczny dla geopotencjaªu . . . 29
2.2.1 Metoda separacji zmiennych dla równania Laplace'a . 29 2.2.2 Rozwi¡zanie dla L(λ) . . . 30
2.2.3 Rozwi¡zanie dla F (φ) . . . 31
2.2.4 Rozwi¡zanie dla R(r) . . . 32
2.2.5 Podsumowanie . . . 33
2.3 Interpretacja geometryczna harmonik geopotencjaªu . . . 33
2.3.1 Wielomiany Legendre'a . . . 33
2.3.2 Funkcje Legendre'a . . . 34
2.3.3 Harmoniki geopotencjaªu . . . 36
2.3.4 Harmoniki tesseralne i sektorialne . . . 40
2.4 Interpretacja zyczna harmonik potencjaªu . . . 44
2.5 Mody kacje reprezentacji geopotencjaªu . . . 49
2.6 Modele pola grawitacyjnego Ziemi . . . 51
3 Zagadnienie gªówne SSZ 53 3.1 Sformuªowanie i krótka historia zagadnienia . . . 53
3.2 Rozwi¡zania szczególne . . . 55
3.2.1 Orbity biegunowe . . . 55
3.2.2 Orbity równikowe . . . 55
3.2.3 Orbity koªowe w pªaszczy¹nie równika . . . 56
3.3 Elementy ±rednie orbity w pierwszym przybli»eniu . . . 59