5“=MEH *HAEJAH )IJH@O=E= 9O“=@ CH=
?O % ' FFH=MEO # # % >IAHM=JHEK )IJHE?A 7) M 2=EK

Sªawomir Breiter

Astrodynamika

Wykªad Monograczny 2007-2009

(poprawiony 25.05.2017)

Obserwatorium Astronomiczne UAM

w Poznaniu

Rozdziaª 1

Podstawy lotów kosmicznych

1.1 Pr¦dko±ci kosmiczne

Loty kosmiczne podzieli¢ mo»na umownie na trzy grupy:

1. loty suborbitalne, kiedy pojazd wzosi si¦ ponad najgrubsze warstwy atmosfery ziemskiej (ok. 100 km nad powierzchni¡), ale nie wykonuje peªnego okr¡»enia Ziemi,

2. loty orbitalne, kiedy pojazd kosmiczny okr¡»a Ziemi¦ co najmniej raz,

3. loty mi¦dzyplanetarne, kiedy pojazd opuszcza otoczenie Ziemi.

Aby u±ci±li¢ te trzy kategorie, musimy posªu»y¢ si¦ poj¦ciem pr¦dko±ci ko- smicznych.

Ju» w Principia Mathematica Newtona znale¹¢ mo»na eksperyment my-

±lowy, z którego wywodzi si¦ idea lotów kosmicznych. Jest to tak zwana

armata Newtona  wyimaginowane dziaªo ustawione na wzniesieniu i wy- strzeliwuj¡ce pociski równolegle do powierzchni Ziemi z dowolnie du»¡ pr¦d- ko±ci¡, przy czym opór atmosfery jest zaniedbywany (rys. 1.1). Przy maªych pr¦dko±ciach mo»na uzna¢ w przybli»eniu, »e mamy do czynienia z rzutem poziomym i tor pocisku ma ksztaªt paraboli. Wªa±ciwy opis toru pocisków mo»emy jednak uzyska¢ dopiero odwoªuj¡c si¦ do zagadnienia dwóch ciaª;

tylko wtedy ustrze»emy si¦ karygodnych bª¦dów jak ten przedstawiony na rysunku 1.2. Z punktu widzenia zagadnienia dwóch ciaª, kulista Ziemia przyci¡ga tak, jak punkt materialny umieszczony w jej ±rodku masy. Tor pocisku b¦dzie wi¦c krzyw¡ sto»kow¡ (orbit¡) z ogniskiem w ±rodku Ziemi.

A poniewa» wystrzeliwujemy pocisk z zerow¡ pr¦dko±ci¡ radialn¡, to pocisk

Rysunek 1.1: Armata Newtona  oryginalny rysunek z Principia Mathe- matica.

Rysunek 1.2: Armata Newtona  absurdalny rysunek zaczerpni¦ty ze strony www.juliantrubin.com/kidsquotes.html. Podobny znale¹¢ mo»na w dziele T. Kuhna Rewolucja kopernika«ska.

opuszcza dziaªo w perygeum lub apogeum orbity. Przy maªych pr¦dko±ciach pocz¡tkowych dziaªo znajduje si¦ w apogeum wi¦c perygeum wypada¢ b¦- dzie pod powierzchni¡ Ziemi i pocisk nie ma szans na okr¡»enie planety. Przy wi¦kszej pr¦dko±ci pocz¡tkowej dziaªo znajduje si¦ w perygeum orbity, a za- tem tor pocisku nie b¦dzie przecinaª powierzchni Ziemi i mo»liwy jest ruch o charakterze okresowym. Šatwo si¦ domy±li¢, »e rozgraniczeniem mi¦dzy tymi dwoma typami ruchu jest orbita koªowa. Póªo± wielka orbity koªowej a jest caªy czas równa odlegªo±ci od ogniska r, wi¦c w caªce siª »ywych

v² 2 −µ

r =− µ 2 a,

podstawiamy a = r = R_⊕, gdzie R_⊕ = 6378.14 km to promie« Ziemi, a parametr grawitacyjny µ = G m⊕ = 3.986005× 10¹⁴m³s⁻². Otrzymujemy wtedy wzór na pr¦dko±¢ obiektu na orbicie koªowej przy powierzchni Ziemi czyli pierwsz¡ pr¦dko±¢ kosmiczn¡

vI =

√ µ

R_⊕. (1.1)

Jej warto±¢ wynosi vI ≈ 7.9^km_s (czyli ok. 28400 km/h).

W miar¦ zwi¦kszania pr¦dko±ci pocz¡tkowej b¦dziemy uzyskiwa¢ orbity o coraz dalszym apogeum, a» do momentu, gdy uzyskamy hiperboliczne or- bity otwarte. Graniczym przypadkiem mi¦dzy orbitami eliptycznymi i hiper- bolicznymi jest orbita paraboliczna, dla której caªka siªy »ywej przyjmuje posta¢

v² 2 −µ

r = 0.

Podstawiaj¡c r = R_⊕ otrzymujemy warto±¢ pr¦dko±ci w perygeum orbity parabolicznej znajduj¡cym si¦ przy powierzchni Ziemi czyli drugiej pr¦d- ko±ci kosmicznej

vII =

√ 2 µ R_⊕ =√

2 vI. (1.2)

Warto±¢ tej pr¦dko±ci, zwanej tak»e pr¦dko±ci¡ ucieczki, wynosi vII ≈ 11^km_s czli ok. 40000^km_h .

Rysunek 1.3 przedstawia kilka przykªadowych trajektorii wystrzeliwa- nych z armaty Newtona. Tworz¡ one rodziny orbit keplerowskich o wspól- nym perygeum lub apogeum i wspólnym ognisku (czarny punkt w ±rodku Ziemi). Linia przerywana oznacza te fragmenty orbit, które nie s¡ zycznie realizowane podczas lotu pocisku.

Mo»emy teraz dokªadniej rozró»ni¢ typy lotów kosmicznych:

Rysunek 1.3: Armata Newtona i orbity keplerowskie.

• loty suborbitalne odbywaj¡ si¦ z maksymaln¡ pr¦dko±ci¡ mniejsz¡ ni»

vI,

• loty mi¦dzyplanetarne wymagaj¡ pr¦dko±ci maksymalnej równej vII

lub wi¦kszej.

Nale»y jednak pami¦ta¢, »e poj¦cia pr¦dko±ci kosmicznych s¡ mocno wyide- alizowane poprzez zaniedbanie atmosfery Ziemi, jej dokªadnego ksztaªtu oraz wpªywu Sªo«ca i Ksi¦»yca.

1.2 Problem lokalizacji miejsca startu

1.2.1 Pr¦dko±¢ obrotu Ziemi

Rysunek 1.4 przedstawia rozmieszczenie miejsc startu rakiet kosmicznych. Z jednej strony jest ono uwarunkowane czynnikami polityczno-ekonomicznymi, ale nie jest to jedyny aspekt, który nale»y bra¢ pod uwag¦. Zastanawiaj¡ca jest na przykªad znaczana liczba platform startowych w okolicach równika, co wymaga transportu elementów rakiet na znaczne odlegªo±ci. Wytªuma- czeniem tej pozornej rozrzutno±ci jest fakt, »e pr¦dko±¢ liniowa obrotu Ziemi

Rysunek 1.4: Rozmieszczenie platform startowych na kuli ziemskiej.

zale»y od szeroko±ci geogracznej φ vo = 2 π R_⊕

P cos φ = (

0.46 km s⁻¹ )

cos φ, (1.3)

gdzie P oznacza okres obrotu Ziemi.

A zatem na równiku, gdzie cos φ = 1 pr¦dko±¢ ta jest najwi¦ksza i wy- strzeliwuj¡c rakiet¦ dokªadnie na wschód musimy zapewni¢ ju» tylko przyrost pr¦dko±ci ∆v ≈ 7.5^km_s aby uzyska¢ pierwsz¡ pr¦dko±¢ kosmiczn¡. Nie przy- padkiem wi¦c znacz¡ca wi¦kszo±¢ sztucznych satelitów Ziemi porusza si¦ po orbitach prostych czyli z zachodu na wschód: wystrzeliwanie rakiet w kierunku wschodnim pozwala na zmniejsznie wydatku energii lub na zwi¦kszenie ªadunku u»ytecznego rakietu dzi¦ki wykorzystaniu pr¦dko±ci obrotu Ziemi.

Uznanie ruchu obrotowego Ziemi za czynnik sprzyjaj¡cy musi zosta¢ ob- warowane do±c wa»nym zastrze»eniem. Istnieje wiele powodów, aby niektóre ze sztucznych satelitów umieszcza¢ na orbitach biegunowych (I = 90^◦) a na- wet na orbitach wstecznych (I > 90^◦). Je±li satelita porusza si¦ na orbicie o nachyleniu I, to przelatuje on nad pasem zawartym mi¦dzy szeroko±ciami geograczymi −I ¬ φ ¬ I (na przykªad satelita równikowy I = 0, przelatuje tylko nad równikiem). Orbity biegunowe zapewniaj¡ satelicie widoczno±¢ ca- ªej kuli ziemskiej, wi¦c s¡ szczególnie po»¡dane dla satelitów meteorologicz- nych, szpiegowskich itp. Z prostego dodawania wektorów (rys. 1.5) wynika,

»e przyrost pr¦dko±ci niezb¦dny dla uzyskania pierwszej pr¦dko±ci kosmicz- nej dla orbit biegunowych musi by¢ wi¦kszy ni» vI. Ruch obrotowy Ziemi

Rysunek 1.5: Diagram pr¦dko±ci w przypadku umieszczania satelity na or- bicie biegunowej.

staje si¦ wtedy czynnikiem negatywnym i najlepiej zmniejszy¢ go poprzez umieszczenie platformy startowej jak najdalej od równika.

1.2.2 Miejsce startu a nachylenie orbity

Posªu»my si¦ przykªadem kosmodromu na przyl¡dku Canaveral (Kennedy Space Cencer). Na stronie www.astronautix.com znale¹¢ mo»na dane doty- cz¡ce tego o±rodka, w±ród których warto zwróci¢ uwag¦ na trzy informacje:

• szeroko±¢ geograczna 28^◦28^′,

• nachylenie minimalne 28^◦,

• nachylenie maksymalne 57^◦.

Zbie»no±¢ szeroko±ci geogracznej i minimalnego nachylenia orbit nie jest przypadkowa.

Zacznijmy od stwierdzenia, »e je±li pojazd kosmiczny jest wystrzeliwany dokªadnie na wschód (aby wykorzysta¢ pr¦dko±¢ obrotu Ziemi), to nachy- lenie jego orbity jest równe warto±ci bezwzgl¦dnej szeroko±ci geogracznej miejsca startu I = |φ|. Wynika to st¡d, »e pªaszczyzna orbity musi przecho- dzi¢ przez miejsce startu i ±rodek Ziemi, a skoro w momencie startu nie ma skªadowej pr¦dko±ci ˙φ = 0 (start dokªadnie na wschód), to pojazd znajduje si¦ w najwy»szym (póªkula póªnocna) lub najni»szym (póªkula poªudniowa) punkcie orbity (rys. 1.6). Dlaczego jednak ma to by¢ nachylenie minimalne?

Bez wzgl¦du na to w któr¡ stron¦ odchylimy wektor pr¦dko±ci pocz¡tko- wej od osi zachód-wschód, uzyskamy zawsze orbit¦ z wi¦kszym nachyleniem.

Wynika to z samej geometrii: wszystkie orbity przechodz¡ce przez punkt o szeroko±ci geogracznej φ musz¡ mie¢ nachylenia zawarte w zakresie

|φ| ¬ I ¬ 180^◦− |φ|,

Rysunek 1.6: Nachylenie orbity przy nadaniu pr¦dko±ci pocz¡tkowej w kie- runku wschodnim.

przy czym lewa i prawa granica odpowiadaj¡ wektorom pr¦dko±ci skierowa- nym dokªadnie na wschód i dokªadnie na zachód w momencie osi¡gni¦cia szeroko±ci φ.

Czemu wi¦c na przyl¡dku Canaveral maksymalne nachylenie nie zostaªo okre±lone jako 152^◦ ? Tym razem odpowied¹ wymaga wykroczenia poza geo- metri¦ i mechanik¦. Decyduj¡ tu wzgl¦dy bezpiecze«stwa: rakiety wystrze- liwane s¡ tak, aby w potencjalnie niebezpiecznych chwilach po starcie nie przelatywaªy nad obszarami zamieszkanymi (wschodnim wybrze»em USA).

A zatem wybór miejsca startu rakiety wynosz¡cej sztucznego satelit¦

Ziemi musi uwzgl¦dnia¢ liczne czynniki i w wielu wypadkach przes¡dza o dost¦pno±ci okre±lonych typów orbit. Co prawda, mo»na zmieni¢ nachyle- nie orbity ju» podczas lotu wokóª Ziemi, ale jest to manewr wymagaj¡cy du»ych wydatków paliwa, które wcze±niej musi by¢ wyniesione na orbit¦

ogromnym kosztem. Ogl¡daj¡c statystyki nachyle« obiektów kr¡»¡cych wo- kóª Ziemi mo»na wr¦cz odgadn¡¢ szeroko±ci geograczne wa»niejszych ko- smodromów: du»e zag¦szczenia spotykamy na nachyleniach 28^◦ (Canaveral), 46^◦ (Bajkonur), czy 63^◦ (Plesieck).

1.3 Czynne manewry orbitalne

W poprzednim rozdziale pokazali±my, »e orbita, na jakiej zostaje umiesz- czony satelita Ziemi, jest uwarunkowana poªo»eniem miejsca startu. Aby nie przedªu»a¢ krytycznej dla lotu fazy startu, obiekty umieszcza si¦ zazwyczaj na wst¦pnej orbicie o niewielkiej wysoko±ci¹ i dopiero w drugiej kolejno±ci dokonuje si¦ zmiany tej orbity na orbit¦ docelow¡. Przej±cie z orbity wst¦p- nej na docelow¡ nazywamy manewrem orbitalnym. Przykªadem prostego manewru orbitalnego jest omówiona na wykªadzie mechaniki nieba zmiana nachylenia orbity.

1Przez wysoko±¢ orbity rozumiemy ró»nic¦ mi¦dzy jej promieniem a promieniem Ziemi.

1.3.1 Podziaª manewrów orbitalnych

Manewry orbitalne podzieli¢ mo»na na czynne, wykonywane przy pomocy silnika, oraz bierne  wykorzystuj¡ce pole grawitacyjne lub atmosfer¦ mi- janego ciaªa niebieskiego. Zasadnicze typy czynnych manewrów orbitalnych to

1. manewry impulsowe, oraz 2. manewry sªabym ci¡giem.

Ró»nica mi¦dzy nimi polega na tym, »e w przypadku manewrów impulso- wych stosowane jest krótkotrwaªe uruchomienie silnika, poª¡czone z do±¢ du-

»ym wydatkiem paliwa. Je±li silnik dziaªa przez czas dªu»szy, to w praktyce oznacza to, »e stosujemy sªaby ci¡g ze wzgl¦du na ograniczenia w wydatku paliwa. We wszystkich czynnych manewrach orbitalnych staramy si¦ przede wszystkim osi¡gn¡¢ zamierzon¡ zmian¦ orbity przy minimalnym wydatku paliwa, a wi¦c minimalizuj¡c konieczn¡ zmian¦ pr¦dko±ci pojazdu.

Manewry impulsowe klasykujemy ze wzgl¦du na ilo±¢ odpale« silnika ra- kietowego. Najcz¦±ciej spotykamy manewry dwuimpulsowe i trójimpulsowe.

1.3.2 Transfer Hohmanna

Najcz¦±ciej spotykanym manewrem dwuimpulsowym jest transfer Hohmanna, zaproponowany przez niemieckiego in»yniera Waltera Hohmanna ju» w roku 1925. Manewr ten sªu»y do znacz¡cej zmiany póªosi wielkiej orbity. Wytªuma- czymy go na przykªadzie zagadnienia przej±cia z orbity koªowej o promieniu R0 na orbit¦ koªow¡ o promieniu R1 > R0 le»¡c¡ w tej samej pªaszczy¹nie (rys. 1.7).

Pierwszy etap manewru to krótkotrwaªe uruchomienie silników w mo- mencie, gdy pojazd kosmiczny znajduje si¦ w punkcie A wst¦pnej orbity ko- ªowej o promieniu R0. Dysza silnika skierowana jest przeciwnie do kierunku lotu i przyrost pr¦dko±ci ∆vA skierowany jest zgodnie z wektorem pr¦dko-

±ci pocz¡tkowej v0 czyli stycznie do okr¦gu. Równie» nowa pr¦dko±c vA jest prostopadªa do promienia wodz¡cego pojazdu, gdy» jest sum¡ jednakowo skierowanych v0 i ∆vA.

Poniewa» nowa pr¦dko±¢ vAjest wi¦ksza od miejscowej pr¦dko±ci koªowej v₀=^√µ/R₀ i skierowana prostopadle do promienia wodz¡cego, to punkt A musi by¢ perycentrum nowej orbity zwanej orbit¡ transferow¡. Jest to orbita eliptyczna, której perycentrum wypada w punkcie A, za± apocentrum B powinno si¦ znale¹¢ w odlegªo±ci R1od masy centralnej (±rodek O tej masy jest oczywi±cie ogniskiem elipsy transferowej). Ruch po orbicie transferowej

Rysunek 1.7: Transfer Hohmanna.

trwa a» do osi¡gni¦cia punktu B, gdzie pojazd posiada pr¦dko±¢ vB. Pr¦dko±¢

ta musi zosta¢ zwi¦kszona tak, aby dalszy ruch odbywaª si¦ po okr¦gu.

Poniewa» w ruchu po okr¦gu pr¦dko±¢ jest prostopadªa do promienia wodz¡cego, nowy przyrost pr¦dko±ci ∆vBmusi zosta¢ skierowany stycznie do orbity  tak jak to miaªo miejsce podczas pierwszego impulsu. Nowa pr¦dko±¢

v1 musi mie¢ warto±¢ równ¡ miejscowej pr¦dko±ci koªowej w odlegªo±ci R1

od masy centralnej, czyli v1 =^√µ/R₁.

Do wyliczenia niezb¦dnych przyrostów pr¦dko±ci oraz czasu jaki zajmuje transfer Hohmanna mo»na posªu»y¢ si¦ prostymi wzorami zagadnienia dwóch ciaª. Znamy ju» pr¦dko±ci pocz¡tkow¡ v0 i ko«cow¡ v1. Wyprowadzimy teraz wzory na warto±ci przyrostów ∆vA i ∆vB oraz na czas przelotu po elipsie transferowej Tt. Zacznijmy od ustalenia elementów elipsy transferowej. Jej odlegªo±¢ perycentrum OA wynosi oczywi±cie qt = R₀, natomiast odlegªo±¢

apocentrum OB to Qt= R₁ (rys. 1.7). A zatem póªo± wielka tej elipsy dana jest wzorem

at= qt+ Qt

2 = R0+ R1

2 . (1.4)

A poniewa» dla dowolnej elipsy q = a(1−e) oraz Q = a(1+e), wi¦c mimo±ród

elipsy transferowej wynosi

e_t= Q_t− qt

2 a_t = R₁− R0

R₁+ R₀. (1.5)

Znalezienie przyrostów pr¦dko±ci sprowadza si¦ teraz do skorzystania z wzo- rów na pr¦dko±¢ w perycentrum i apocentrum elipsy transferowej. Caªka siªy

»ywej daje w perycentrum v_A²

2 − µ qt

=− µ 2 at

, (1.6)

a w apocentrum

v²_B 2 − µ

Q_t =− µ

2 a_t, (1.7)

Mamy wi¦c

∆v_A= v_A− v0 =

√ µ

(2 q_t − 1

a_t )

− v0=

√ µ R₀

(√ 2 R1

R₀+ R₁ − 1 )

, (1.8) oraz

∆v_B= v₁− vB= v₁−

√ µ

( 2 Q_t − 1

a_t )

=

√ µ R₁

( 1−

√ 2 R₀ R₀+ R₁

)

. (1.9) Z trzeciego prawa Keplera mo»emy otrzyma¢ okres ruchu po elipsie transfe- rowej, za± jego poªowa da nam czas transferu Hohmanna

Tt= (2π) 2

√ a³_t

µ = π 2

√

(R₀+ R₁)³

2 µ . (1.10)

Ju» Hohmann wykazaª, »e spo±ród wszystkich mo»liwych manewrów dwu- impulsowych, przeprowadzaj¡cych pojazd kosmiczny z jednej orbity koªowej na drug¡, manewr nazwany pó¹niej jego imieniem jest najbardziej wydajny z punktu widzenia zu»ycia paliwa. Wymaga on najmniejszego sumarycznego przyrostu pr¦dko±ci |∆vA| + |∆vB|. Mo»na sie domy±la¢, »e minimalizuj¡c wydatek paliwa, tracimy w dziedzinie jakich± innych parametrów; rzeczywi-

±cie  co± takiego ma miejsce, gdy» transfer Hohmanna wymaga najdªu»- szego czasu realizacji (przelot po elipsie transferowej) spo±ród wszystkich manewrów dwuimpulsowych. Mo»na sobie wyobrazi¢ manewr w którym or- bita transferowa jest hiperboliczna i po osi¡gni¦ciu odlegªo±ci R1 nast¦puje hamowanie pojazdu dla osi¡gni¦cia pr¦dko±ci koªowej v1. Taki manewr na

pewno b¦dzie trwaª krócej, ale ª¡czna zmiana pr¦dko±ci b¦dzie o wiele wi¦k- sza ni» w przypadku transferu Hohmanna.

Odwrotny transfer Hohmanna stosujemy do przej±cia z orbity o pro- mieniu wi¦kszym na orbit¦ o promieniu mniejszym. Zamiast sporz¡dza¢ dla nie go nowy rysunek, mo»emy wykorzysta¢ rysunek 1.7 zmieniaj¡c jedynie komentarz. Manewr rozpoczyna si¦ w punkcie B, gdzie pojazd musi przej±¢

z orbity koªowej na transferow¡. W tym celu musimy zmniejszy¢ pr¦dko±¢ z v₁ do vB, a wi¦c wektor ∆vB powinien by¢ skierowany przeciwnie ni» na rysunku 1.7, cho¢ jego dªugo±¢ pozostaje zgodna z wzorem (1.9). Dalszy ruch odbywa¢ si¦ b¦dzie po orbicie zaznaczonej lini¡ przerywan¡. Czas przelotu po elipsie transferowej pozostaje taki sam jak poprzednio i po jego upªy- wie musimy znowu zmniejszy¢ pr¦dko±¢ w punkcie A z vAdo v0. Konieczna zmiana pr¦dko±ci dana jest wzorem (1.8), ale i tym razem impuls silników musi by¢ skierowany odwrotnie ni» na rysunku 1.7.

Transfer Hohmanna jest powszechnie stosowany zarówno wobec sateli- tów Ziemi (cz¦±ciej) jak i sond mi¦dzyplanetarnych (rzadziej). Na przykªad wynoszenie satelitów komunikacyjnych na dwudziestoczterogodzinn¡ orbit¦

geostacjonarn¡ (a = R1 ≈ 42 000 km, e ≈ 0, nachylenie do równika I ≈ 0) odbywa si¦ w ten sposób, »e najpierw satelita z ostatnim stopniem rakiety no±nej parkuje na niskiej orbicie o R0 ≈ 6400 km i nachyleniu równym sze- roko±ci geogracznej miejsca startu. W odpowiednio wybranym momencie, nast¦puje przej±cie na elips¦ transferow¡ (GTO  Geostationary Transfer Or- bit) o mimo±rodzie et≈ 0.74 i póªosi at≈ 24 200 km. Po czasie Tt≈ 312 min satelita osi¡ga punkt B i zwi¦ksza pr¦dko±¢ do koªowej wykorzystuj¡c do tego celu ju» wªasne silniki. Ostatni stopie« rakiety no±nej zostaje odª¡czony przed tym impulsem, gdy» z dwojga zªego wolimy, aby pozostaª na orbicie transferowej (w miar¦ mo»no±ci z obni»onym apogeum) ni» by miaª za±mie- ca¢ orbit¦ stacjonarn¡. W zestawieniach orbit obiektów okoªoziemskich ªatwo mo»na zidentykowa¢ grup¦ obiektów na orbitach typu GTO.

Z denicji orbity stacjonarnej (I ≈ 0) wynika, »e je±li wspomniany wy-

»ej obiekt nie wystartowaª z równika, to konieczny jest dodatkowy manewr zmiany nachylenia. Kiedy lepiej go przeprowadzi¢: w punkcie A, czy B ? Odpowied¹ jest oczywista, je±li zauwa»ymy, »e zmiana nachylenia to zmiana wektora momentu p¦du G = r × v. Poniewa» z zasad dynamiki wiemy, »e do zmiany momentu p¦du potrzebny jest moment siªy r × F , to jasne, »e maksymalny efekt przy zadanej sile uzyskamy przy najwi¦kszym ramieniu siªy r. je±li wi¦c transferowi Hohmanna towarzyszy zmiana nachylenia, to dokonuje si¦ jej w apocentrum elipsy transferowej B.

Rysunek 1.8: Transfer dwueliptyczny.

1.3.3 Transfer dwueliptyczny

Transfer Hohmanna jest najbardziej wydajnym spo±ród manewrów dwuim- pulsowych. Je±li jednak odwa»ymy si¡ na trzykrotne uruchamianie silnika (co zwi¦ksza ryzyko awarii i niepowodzenia misji) i nie zale»y nam na czasie zu»ywanym na transfer, to przej±cie pomi¦dzy dwiema orbitami koªowymi mo»na zrealizowa¢ przy jeszcze mniejszym wydatku paliwa. Tym razem opty- malny manewr nosi nazw¦ transferu dwueliptycznego. Nazwa ta bierze si¦ st¡d, »e wykorzystujemy dwie eliptyczne orbity transferowe zamiast jednej (rys. 1.8). Mo»na w nim dostrzec poª¡czenie zwykªego i odwrotnego transferu Hohmanna: pr¦dko±¢ pojazdu jest zwi¦kszana w punktach A i B, a zmniej- szana w C  za ka»dym razem prostopadle do promienia wodz¡cego. Punkt B jest przy tym apocentrum obu elips transferowych. O ile w przypadku trans- feru Hohmanna promienie orbit R0 i R1 jednoznacznie deniowaªy orbit¦

transferow¡ nie pozostawiaj¡c »adnej swobody, to w przypadku transferu dwueliptycznego odlegªo±¢ OB staje si¦ parametrem dowolnym i mo»na j¡

dobra¢ tak, aby osi¡gn¡¢ minimalny wydatek paliwa. Warto zauwa»y¢, »e

w transferze dwueliptycznym odlegªo±¢ OB jest zawsze wi¦ksza ni» R1; w porównaniu z transferem Hohmanna wydªu»a to czas manewru ponad dwu- krotnie, ale w zamian mo»emy wykona¢ w punkcie B zmian¦ nachylenia orbity mniejszym kosztem ni» w przypadku transferu Hohmanna (rami¦ siªy jest tu wi¦ksze ni» R1).

Oczywi±cie, równie» odwrotny transfer Hohmanna mo»na zast¡pi¢ od- wrotnym manewrem dwueliptycznym z dwoma impulsami hamuj¡cymi i jed- nym przyspieszaj¡cym.

Z powy»szych uwag nie nale»y wnioskowa¢, »e zoptymalizowany transfer dwueliptyczny jest zawsze bardziej wydajny ni» transfer Hohmanna. Dzieje si¦ tak dopiero dla dostatecznie du»ego stosunku R1/R₀.

1.4 Bierne manewry orbitalne

1.4.1 Sfera wpªywu

Bierne manewry orbitalne polegaj¡ na wykorzystaniu przyciagania mijanego prez sond¦ kosmiczna ciaªa niebieskiego do zmiany elementów orbity. Aby opisa¢ taki manewr musimy najpierw wprowadzi¢ umown¡ granic¦ rozgra- niczaj¡c¡ na przykªad ruch heliocentryczny zaburzony przez przyci¡ganie mijanej planety od ruchu w polu tej planety zaburzonego przez Sªo«ce. Dla uproszczenia ograniczymy si¦ do przykªadowej trójki ciaª: Sªo«ce, planeta i sonda. Nale»y jednak pami¦ta¢, »e podobne rozgraniczenie obowi¡zuje tak»e w ukªadzie planeta, jej ksi¦»yc i pojazd kosmiczny. Co wi¦cej, rozwa»ania przedstawione w tym podrozdziale s¡ istotne równie» w planetologii i bada- niach maªych ciaª Ukªadu Sªonecznego.

Zacznijmy od równa« ruchu trzech ciaª w dowolnym ukªadzie inercjal- nym. Ich promienie wodz¡ce r_⊙(Sªo«ce), rp(planeta) i r0(sonda) speªniaj¡

równania równania Newtona

m_⊙¨r_⊙ = k²m_⊙m_p

R³ R +k²m_⊙m₀

∆³ ∆, (1.11)

m_p¨r_p = −k²mpm_⊙

R³ R +k²m0mp

ρ³ ρ, (1.12)

m₀r¨₀ = −k²m₀m_⊙

∆³ ∆−k²m₀m_p

ρ³ ρ, (1.13)

gdzie (por. rysunek 1.9)

R = r_p− r_⊙, ∆ = r₀− r_⊙, ρ = r₀− rp, (1.14)

Rysunek 1.9: Zagadnienie Sªo«ce  planeta  sonda.

za± k oznacza staª¡ Gaussa (k = √

G). Równania ruchu upro±cimy dziel¡c obie strony przez mas¦ rozpatrywanego ciaªa oraz zaniedbuj¡c wpªyw sondy na ruchu Sªo«ca i planety, co prowadzi do ukªadu

r¨_⊙ = k²mp

R³ R, (1.15)

¨

r_p = −k²m_⊙

R³ R, (1.16)

¨

r₀ = −k²m_⊙

∆³ ∆−k²m_p

ρ³ ρ. (1.17)

W ten sposób, zaniedbywalna masa sondy m0 przestaje odgrywa¢ rol¦ w zagadnieniu.

Najprostsze poj¦ciowo kryterium polega na wprowadzeniu sfery przy- ci¡gania danego ciaªa. I tak, sfera przyci¡gania Sªo«ca to obszar w któ- rym pierwszy wyraz prawej strony równania (1.13) (siªa przyci¡gania sondy przez Sªo«ce) jest wi¦kszy co do warto±ci bezwgl¦dnej ni» wyraz drugi (siªa przyci¡gania sondy przez planet¦). Zast¦puj¡c wektory przez ich dªugo±ci dochodzimy do denicji sfery przyci¡gania Sªo«ca jako obszaru, w którym

m_⊙ρ²

mp∆² > 1, (1.18)

oraz sfery przyci¡gania planety jako obszaru, w którym m_⊙ρ²

m_p∆² < 1. (1.19)

Mimo swojej prostoty, poj¦cie sfery przyci¡gania jest niezbyt u»yteczne.

Warto wiedzie¢, »e Ksi¦»yc znajduje si¦ poza sfer¡ przyci¡gania Ziemi i jest przyci¡gany przez Sªo«ce dwa razy silniej ni» przez Ziemi¦, a jednak jego ruch traktujemy jako geocentryczny. W tej sytuacji nale»y wprowadzi¢ bar- dziej stosowne poj¦cie sfery wpªywu² sfer¡ oddziaªywania. Pojawia si¦

ono, gdy porównujemy ruch wzgl¦dny sondy opisywany w dwóch ukªadach:

heliocentrycznym i planetocentrycznym.

Ruch heliocentryczny

W ±wietle denicji (1.14) powinni±my mie¢ drug¡ pochodn¡ heliocentrycz- nego poªo»enia sondy dan¡ jako

∆ = ¨¨ r0− ¨r⊙. (1.20) Podstawiaj¡c równania (1.15) i (1.17) otrzymujemy

∆ =¨ −k²m_⊙

∆³ ∆−k²m_p

ρ³ ρ−k²m_p

R³ R. (1.21)

W powy»szym wzorze na przyspieszenie mo»emy wydzieli¢ dwa skªadniki zale»ne od ró»nych mas:

∆¨ = A_⊙+ a_⊙, (1.22)

A_⊙ = −k²m_⊙

∆³ ∆, (1.23)

a_⊙ = −k²mp

(ρ ρ³ + R

R³ )

, (1.24)

gdzie A⊙ to przyspieszenie heliocentryczne sondy wywoªane przyci¡ganiem Sªo«ca, natomiast a_⊙ to heliocentryczne przyspieszenie sondy pod wpªy- wem przyci¡gania planety. Przyspieszenie a_⊙ obejmuje zarówno bezpo±red- nie przyci¡ganie sondy (wyraz z czynnikiem ρ⁻³ρ) jak po±redni wpªyw pla- nety poprzez nieinercjalno±¢ heliocentrycznego ukªadu odniesienia (wyraz z czynnikiem R⁻³R opisuj¡cy wpªyw planety na ruch Sªo«ca).

2Sªowo sfera pojawiaj¡ce si¦ w tym rozdziale jest bardzo umowne. Bli»sze jest raczej geopolitycznemu poj¦ciu sfery wpªywu mocarstwa ni» geometrycznej denicji sfery.

Ruch planetocentryczny

Planetocentryczne przyspieszenie sondy znajdujemy ró»niczkuj¡c wektor ρ i podstawiaj¡c równania (1.16) i (1.17), co prowadzi do

¨

ρ = r¨₀− ¨rp=−k²m_⊙

∆³ ∆−k²m_p

ρ³ ρ + k²m_⊙

R³ R = (1.25)

= Ap+ ap, (1.26)

gdzie

A_p = −k²m_p

ρ³ ρ, (1.27)

a_p = −k²m_⊙ (∆

∆³ − R R³

)

. (1.28)

Tak jak w przypadku ruchu heliocentrycznego, przyspieszenie planetocen- tryczne Ap wywoªane jest przyci¡ganiem sondy przez planet¦, natomiast przyspieszenie ap pochodzi od Sªo«ca  zarówno bezpo±rednio jak i poprzez nieinercjalno±¢ planetocentrycznego ukªadu odniesienia, wywoªan¡ wzajem- nym przyci¡ganiem Sªo«ca i planety.

Podstawowa denicja sfery wpªywu

Dla skrócenia dalszej dyskusji, bedziemy nazywa¢ przyspieszenia A wyra- zami gªównymi przyspieszenia, natomiast przyspieszenia a  wyrazami do- datkowymi. Obszar wpªywu planety to obszar, w którym stosunek wyrazu dodatkowego do gªównego jest mniejszy w ruchu planetocentrycznym ni» w ruchu heliocentrycznym, czyli

a_p Ap

 <a_⊙

A_⊙

. (1.29)

Obszar wpªywu jest ograniczony powierzchni¡ zwan¡ sfer¡ wpªywu planety,

gdzie 

 a_p Ap

 =a_⊙

A_⊙

, (1.30)

czyli, po podstawieniu wy»ej podanych denicji przyspiesze«, m²_⊙ρ² ∆

∆³ − R R³

= m²_p∆² ρ ρ³ + R

R³

. (1.31) Wzór ten jest ±cisª¡ denicj¡, obowi¡zuj¡c¡ dla dowolnych mas m_⊙ i mp.

1.4.2 Przybli»one równanie sfery wpªywu

Równanie (1.31) jest ±cisªe, ale trudno z niego odgadn¡¢, jaki wªa±ciwie ksztaªt ma sfera wpªywu planety i jak daleko si¦ga. W praktyce, cz¦±ciej posªugujemy si¦ przybli»eniem, jakie mo»na z tego wzoru otrzyma¢ po zaªo-

»eniu, »e masa planety jest du»o mniejsza ni» masa Sªo«ca, czyli mp≪ m_⊙. Wprowad¹my dwa dodatkowe symbole: S oznaczaj¡cy k¡t mi¦dzy wek- torami −R i ρ, czyli

R· ρ = −R ρ cos S, (1.32)

oraz α oznaczaj¡cy stosunek odlegªo±ci α = ρ

R ≪ 1. (1.33)

Spodziewamy si¦, »e je±li masa planety jest maªa, to równie» jej sfera wpªywu musi mie¢ maªy zasi¦g, co tªumaczy maªo±¢ α. Mo»emy nadal posªugiwa¢ si¦

Rysunkiem 1.9, ale zakªadaj¡c dodatkowo, »e sonda znajduje si¦ dokªadnie na sferze wpªywu.

Pierwszy etap wyprowadzenia przybli»onego równania sfery wpªywu po- lega¢ b¦dzie na przej±ciu od dªugo±ci wektorów zapisanej symbolicznie jako

|...| w równaniu (1.31), do jawnych wyra»e« algebraicznych dla tych dªugo±ci.

W etapie drugim pozb¦dziemy si¦ wektora ∆, wykorzystuj¡c fakt, »e ró»ni si¦ on od R tylko o maª¡ wielko±¢ rz¦du O(α). Wyprowadzenie zako«czymy podaj¡c wzór na sfer¦ odziaªywania (wpªywu) zale»ny od minimalnej liczby parametrów: odlegªo±ci R, stosunku mas i k¡ta S.

Etap 1

Przypomnijmy, »e dla dowolnego wektora b, jego dªugo±¢ zdeniowana jest wzorem b =√

b· b. Po lewej stronie równania (1.31) mamy wi¦c (pomijaj¡c chwilowo mas¦)

ρ² ∆

∆³ − R R³

 = ρ² [(∆

∆³ − R R³

)

· (∆

∆³ − R R³

)]¹

2

=

= ρ²

[∆· ∆

∆⁶ − 2∆· R

∆³R³ + R· R R⁶

]¹

2

=

= ρ² R²

√ 1 +R⁴

∆⁴ − 2∆ · R R

∆³. (1.34)

Podobnie, prawa strona równania (1.31) mo»e zosta¢ zapisana jako

∆² ρ ρ³ + R

R³

 = ∆² [(ρ

ρ³ + R R³

)

· (ρ

ρ³ + R R³

)]¹

2

=

= ∆² [ρ· ρ

ρ⁶ + 2ρ· R

ρ³R³ +R· R R⁶

]¹

2

=

= ∆² ρ²

√

1− 2 α² cos S + α⁴. (1.35) Powracaj¡c do równania (1.31), które przyjmuje teraz posta¢

m²_⊙ ρ² R²

√ 1 +R⁴

∆⁴ − 2∆ · R R

∆³ = m²_p∆² ρ²

√1− 2 α² cos S + α⁴,

a wi¦c α²ρ²

∆²

√ 1 +R⁴

∆⁴ − 2∆ · R R

∆³ = (m_p

m_⊙ )₂ √

1− 2 α² cos S + α⁴, (1.36) ko«czymy etap pierwszy.

Etap 2

Musimy teraz pozby¢ si¦ z równa« wektora ∆, wyra»aj¡c go jako

∆ = R + ρ. (1.37)

Mamy wi¦c

∆ =^√R· R + 2 R · ρ + ρ · ρ = R^√1− 2 α cos S + α², (1.38) z rozwini¦ciem w szereg Taylora

∆^k ≈ R^k (

1− α k cos S + (k

2 +k (k− 2) 2 cos²S

)

α²+ . . . )

, (1.39) oraz

∆· R = (R + ρ) · R = R²+ ρ· R = R²(1− α cos S). (1.40) Przyst¦pujemy teraz do uproszczenia wzoru (1.36). Po prawej jego stronie mo»emy zaniedba¢ wyrazy zale»ne od α i przyj¡¢

√1− 2 α² cos S + α⁴≈ 1.

Po lewej stronie mo»emy uzna¢, »e α²ρ²

∆² ≈ α²ρ² R² = α⁴.

Najbardziej kªopotliwy jest stoj¡cy po lewej stronie (1.36) pierwiastek. Gdyby w ogóle zaniedba¢ w nim α, to otrzymaliby±my wyra»enie pod pierwiastkiem równe 0. Musimy wi¦c podstawi¢ wzory (1.39) oraz (1.40) i to a» do α²wª¡cz- nie, gdy» przekonamy si¦, »e pierwsze pot¦gi α równie» znikn¡. Tak wi¦c

√ 1 +R⁴

∆⁴ − 2∆ · R R

∆³ ≈ ^[1 + (

1 + 4α cos S− 2α²+

+12α²cos²S + . . .⁾− 2 (1 − α cos S) ×

× (

1 + 3 α cos S−3 2α² + +15

2 α² cos²S + . . . )]¹

2 ≈

≈ α^√1 + 3 cos²S. (1.41)

W ten sposób równanie (1.36) przyjmuje przybli»on¡ posta¢

α^5√1 + 3 cos²S = (mp

m_⊙ )₂

. (1.42)

Etap 3

Pozostaªo ju» tylko czysto kosmetyczne przeksztaªcenie równania (1.42) do ko«cowej postaci

ρ = R (mp

m_⊙ )²

5 1

(1 + 3 cos²S)¹⁰¹

. (1.43)

Przedstawia ono parametryczne równanie sfery wpªywu dla planety o masie m_p, je±li planeta znajduje si¦ w odlegªo±ci R od Sªo«ca o masie m_⊙. Odlegªo±¢

od ±rodka planety do brzegu sfery wpªywu ρ zale»na jest od k¡ta pozycyjnego S. Z zale»no±ci ρ od jednego tylko k¡ta S wnioskujemy, »e sfera wpªywu ma symetri¦ obrotow¡ wzgl¦dem osi wyznaczonej przez wektor R. A poniewa»

ρ(S) = ρ(180^◦ − S), sfera wpªywu musi by¢ tak»e symetryczna wzgl¦dem pªaszczyzny prostopadªej do R i przechodz¡cej przez planet¦. Najmniejsz¡

odlegªo±¢ od ±rodka planety ρminosi¡ga sfera wpªywu dla S = 0 lub S = 180^◦ (najwi¦kszy mianownik w równaniu (1.43)), natomiast najwi¦ksz¡ odlegªo±¢

ρmax mamy w kierunku prostopadªym do osi planeta-Sªo«ce, gdy S = 90^◦: ρ_max = R

(m_p m_⊙

)²

5 , (1.44)

ρ_min = R (m_p

m_⊙ )²

5 1

(1 + 3)¹⁰¹

= ρ_max

2¹⁵ ≈ 0.87 ρmax. (1.45)

A zatem  wbrew nazwie  sfera wpªywu jest w istocie symetryczn¡ po- wierzchni¡ owaln¡ (przynajmniej w przedstawionym przybli»eniu).

Wracaj¡c do wspomnianego wcze±niej ksi¦»yca Ziemi, mo»emy ªatwo sprawdzi¢, »e porusza si¦ on wewn¡trz sfery wpªywu Ziemi, gdy» w zagad- nieniu Ziemia-Sªo«ce mamy mp/m_⊙≈ 1/333 000, co przy ±redniej odlegªo±ci Ziemia-Sªo«ce R ≈ 1.5 ×10⁸km daje ρmin≈ 810 000 km. Tymczasem ±rednia odlegªo±¢ Ksi¦»yca od Ziemi wynosi zaledwie 384 × 10³km, wi¦c traktujemy ruch Ksi¦»yca jako geocentryczny, mimo faktu, »e Sªo«ce przyci¡ga naszego satelit¦ silniej ni» Ziemia.

1.4.3 Wspomaganie grawitacyjne  zmiana kierunku pr¦dko-

±ci

O tym, »e maªe ciaªo przechodz¡c blisko planety mo»e znacznie zmieni¢ orbit¦

wiadomo ju» od stuleci. Wystarczy przypomnie¢, »e pochodz¡ce z XIX wieku kryterium Tisseranda powstaªo wªa±nie w celu wychwytywania takich zmian w orbitach komet, które zbli»yªy si¦ do Jowisza. Pomysª, aby wykorzysta¢ to zjawisko w podró»ach kosmicznych zostaª wysuni¦ty na pocz¡tku lat 1960- ych przez mªodego doktoranta, Michaela Minovitcha, podczas jego letniej praktyki w Jet Propulsion Laboratory. Od tego czasu wykorzystanie planet do znacz¡cych zmian orbity nie tylko zostaªo wielokrotnie wypróbowane, lecz staªo si¦ wr¦cz podstawowym elementem planowania misji mi¦dzyplanetar- nych.

Zapoznamy si¦ teraz z dwoma aspektami manewru znanego jako wspo- maganie grawitacyjne (ang. gravity assist). Zaczniemy od problem zmiany kierunku pr¦dko±ci sondy, a w nast¦pnym podrozdziale przekonamy si¦, »e zmianie ulega tak»e warto±¢ pr¦dko±ci.

Rysunek 1.10 przedstawia przelot sondy kosmicznej w pobli»u planety rozpatrywany w planetocentrycznym ukªadzie odniesienia. Od momentu kiedy sonda przekracza sfer¦ wpªywu planety a» do jej opuszczenia zaniedbujemy wpªyw Sªo«ca i uznajemy, »e ruch sondy mo»na opisa¢ w kategoriach za- gadnienia dwóch ciaª. Ruch hiperboliczny jest w tym przypadku typowy.

Zilustrujemy to przykªadem sondy zbli»aj¡cej si¦ do Marsa.

Heliocentryczny ruch sondy odbywa si¦ po elipsie transferowej z peryhe- lium qt = 1.5× 10⁸km (póªo± orbity Ziemi) i aphelium Qt = 2.3× 10⁸km (póªo± orbity Marsa). Z równania (1.4) otrzymujemy wi¦c póªo± elipsy trans- ferowej at = 1.9 × 10⁸km. Wedªug wzoru (1.7), pr¦dko±¢ w apocentrum tej orbity wynosi vB = 21.4 km s⁻¹, je±li przyjmiemy heliocentryczny pa- rametr grawitacyjny µ = 1.327 × 10¹¹km³s⁻². Je±li jednak przeniesiemy ukªad wspóªrz¦dnych do ±rodka Marsa, który porusza si¦ z pr¦dko±ci¡ vp =

Rysunek 1.10: Zmiana kierunku pr¦dko±ci sondy w ukªadzie zwi¡zanym z mijan¡ planet¡.

√µ/Qt = 24.1 km s⁻¹, oka»e si¦, »e sonda porusza si¦ wzgl¦dem planety z pr¦dko±ci¡ nie mniejsz¡ ni»

v₁=|vB− vp| = 2.7 km s⁻¹.

Przypomnijmy, »e pr¦dko±¢ w apocentrum elipsy transferowej jest zawsze mniejsza ni» ni» pr¦dko±¢ na docelowej orbicie koªowej (czyli pr¦dko±¢ pla- nety), wi¦c to raczej planeta dogania sond¦ ni» na odwrót (na rysunku 1.10 planeta porusza si¦ w lewo).³ Tak wi¦c, sonda przekracza sfer¦ wpªywu pla- nety z pr¦dko±ci¡ v1. Promie« minimalny sfery wpªywu dla Marsa wynosi ρmin = 5.8×10⁵km, je±li przyjmiemy stosunek mas mp/m_⊙ ≈ 1/(3.1×10⁶). Przy tym stosunku mas, parametr grawitacyjny Marsa wynosi

µ_p = µ m_p/m_⊙≈ 4.28 × 10⁴km³s⁻².

Sprawd¹my teraz warto±¢ staªej energii h dla ruchu planetocentrycznego w momencie przekroczenia przez sond¦ sfery wpªywu z pr¦dko±ci¡ v1. Otrzy- mujemy

h = v²₁ 2 − µ_p

ρmin ≈ 3.43 km²s⁻² > 0. (1.46) Dodatnia warto±¢ staªej energii oznacza ruchu hiperboliczny, co jest sytu- acj¡ typow¡ w misjach mi¦dzyplanetarnych. Je±li nie uruchomimy silników hamuj¡cych, sonda przeleci po ªuku hiperboli i opu±ci sfer¦ wpªywu planety

3W przypadku odwrotnego transferu Hohmanna, kiedy Ziemia jest w aphelium elipsy transferowej a lot odbywa si¦ do planet wewn¦trznych, mamy do czynienia z sytuacj¡

odwrotn¡  to sonda dogania planet¦, gdy» pr¦dko±¢ w peryhelium orbity transferowej jest wi¦ksza od pr¦dko±ci koªowej w tym punkcie.

w symetrycznie umieszczonym punkcie z planetocentryczn¡ pr¦dko±ci¡ v2

równ¡ co do warto±ci pr¦dko±ci wej±cia (v2 = v₁), lecz odchylon¡ je±li chodzi o kierunek wektora (v2 ̸= v1). Z punktu widzenia obserwatora na planecie nast¦puje wi¦c zmiana pr¦dko±ci

∆v = v₂− v1, (1.47)

wynikaj¡ca z odchylenia wektora pr¦dko±ci o k¡t β.

Spróbujmy znale¹¢ wzór dla k¡ta β, aby ustali¢ od jakich wielko±ci on zale»y. Z rysunku 1.10 wynika, »e k¡t β jest w istocie dopeªnieniem k¡ta mi¦- dzy asymptotami hiperboli do k¡ta peªnego, o ile przyjmiemy, »e pr¦dko±ci v1 i v2 niewiele si¦ ró»ni¡ od pr¦dko±ci asymptotycznej v_∞ ruchu hiperbo- licznego. Jak wiemy, k¡t mi¦dzy asymptotami hiperboli ψ = 180^◦−β, zale»y jedynie od jej mimo±rodu, gdy» cos (ψ/2) = e⁻¹. A zatem

sinβ

2 = sin180^◦− ψ

2 = cosψ 2 = 1

e. (1.48)

Mimo±ród hiperboli e zale»y z kolei od dwóch czynników: pr¦dko±ci v1 i póªosi urojonej b, któr¡ zycy zwykli nazywa¢ parametrem zderzenia (jest to odlegªo±¢ od ±rodka planety do asymptoty; dla uproszczenia uto»samimy asymptot¦ z prost¡, na której le»y v1). Poniewa» b = a√

e²− 1, oraz v_∞=

√

µ_p/a, mo»emy ªatwo znale¹¢ (utrzymuj¡c przybli»enie v1 ≈ v_∞)

e² = 1 + (b v²₁

µp

)₂

. (1.49)

Podstawiaj¡c (1.49) do (1.48) otrzymujemy

sinβ 2 =



1 + (b v₁²

µ_p )₂



−¹₂

. (1.50)

Jak wida¢, zmiana kierunku pr¦dko±ci b¦dzie tym wi¦ksza im mniejszy para- metr zderzena oraz im mniejsza pr¦dko±¢ v1. Planeta o du»ej masie (wi¦ksza warto±¢ µp) silniej zakrzywi trajektori¦ ni» planeta o maªej masie.

W omawianym przykªadzie wektor pr¦dko±ci sondy odchyli si¦ o 34^◦ je-

±li sonda przekroczy sfer¦ wpªywu z pr¦dko±cia v1 wycelowan¡ w punkt odlegªy od ±rodka Marsa o 2 × 10⁴km.

Rysunek 1.11: Zmiana heliocentrycznej pr¦dko±ci sondy. Przyspieszenie (góra) i spowolnienie (dóª) ruchu.

1.4.4 Wspomaganie grawitacyjne  zmiana warto±ci pr¦dko-

±ci

Dla obserwatora zwi¡zanego z mijan¡ planet¡, wspomaganie grawitacyjne powoduje jedynie zmian¦ kierunku predko±ci sondy, gdy» v1 = v2. A jak wy- gl¡da ta sama sytuacja, je±li uwzgl¦dnimy fakt, »e planeta porusza si¦ wgl¦- dem Sªo«ca z pr¦dko±ci¡ Vp ? Z geometrycznego punktu widzenia zagadnie- nie jest proste. Musimy doda¢ do wektorów v1 i v2 z rysunku 1.10 wektor pr¦dko±¢ Vp a otrzymamy wektory pr¦dko±ci heliocentrycznych sondy przed spotkaniem z planet¡

V1= v1+ Vp, i po opuszczeniu sfery wpªywu

V2= v2+ Vp.

Rysunek 1.11 u±wiadamia nam, »e warto±ci pr¦dko±ci heliocentrycznych V1

i V2 nie musz¡ by¢ jednakowe. Zale»nie od sytuacji, mo»e nast¡pi¢ albo przyspieszenie albo spowolnienie sondy.

Jaki jest warunek zwi¦kszenia pr¦dko±ci sondy ? Rozpatrzmy kwadraty pr¦dko±ci heliocentrycznych. Sonda przyspieszy ruch, je±li V2²− V1² > 0. A zatem rozpatrujemy znak wielko±ci

V₂²− V₁² = (

v₂²+ 2 v2· Vp+ V_p²

)−⁽v²₁+ 2 v1· Vp+ V_p² )

. A poniewa» v1= v₂, oraz oznaczyli±my ∆v = v2− v1, pozostaje

V₂²− V1²= 2 V_p· (∆v) > 0. (1.51) Inaczej mówi¡c, k¡t mi¦dzy wektorem pr¦dko±ci planety a wektorem ∆v musi by¢ mniejszy ni» 90^◦.

Jeszcze na pocz¡tku lat sze±¢dziesi¡tych XX wieku uwa»ano, »e obszary Ukªadu Sªonecznego dost¦pne dla bada« kosmicznych wyznaczone s¡ przez technologiczne ograniczenia nap¦du rakietowego. Si¦ganie do coraz odleglej- szych planet wymagaªoby coraz pot¦»niejszych silników. Na przykªad lot do Merkurego byª jeszcze w poªowie lat 1970. nie do zrealizowania przy po- mocy transferu Hohmanna. Misja Mariner 10 (1973-75) otworzyªa w dziejach lotów kosmicznych nowy rozdziaª, gdy sonda osi¡gn¦ªa okolice Merkurego dzi¦ki wspomaganiu grawitacyjnemu mini¦tej po drodze planety Wenus. Od

tego czasu zacz¦to stosowa¢ coraz bardziej wymy±lne kombinacje wielokrot- nych manewrów wspomagania grawitacyjnego. Do najbardziej spektakular- nych nale»¡ misje Voyager (wykorzystanie przelotów obok Jowisza, Saturna, Urana i Neptuna) oraz Cassini. Sonda Cassini osi¡gn¦ªa Saturna dzi¦ki cie- kawej sekwencji spotka«: Wenus  znowu Wenus  Ziemia (!)  Jowisz⁴.

1.5 Sztuczne satelity Ziemi (SSZ)  wiadomo±ci pod- stawowe

Dalsze cz¦±ci wykªadu po±wi¦cone b¦d¡ gªównie zagadnieniom ruchu sztucz- nych satelitów Ziemi (posªugiwa¢ si¦ b¦dziemy skrótem SSZ). Zanim przej- dziemy do bardziej zaawansowanych problemów, dobrze b¦dzie zako«czy¢

ten rozdziaª wprowadzeniem gar±ci podstawowych faktów na temat typo- wych wielko±ci zwi¡zanych z orbitami SSZ.

1.5.1 Ruch keplerowski jako przybli»enie zerowe

Zerowym przybli»eniem problemu ruchu satelitów Ziemi jest zagadnienie dwóch ciaª z zaniedbywaln¡ mas¡ satelity. Równania ruchu satelity w ukªa- dzie geocentrycznym o staªej orientacji osi maj¡ wtedy posta¢

¨ r =−µ

r³r, (1.52)

gdzie, zgodnie z rekomendacj¡ IAU,

µ = G m_⊕= 3.9860044× 10¹⁴m³s⁻². (1.53) Przybli»enie keplerowskie oznacza, »e Ziemi¦ traktujemy jako ciaªo kuliste o promieniu

a_⊕= 6.37813766× 10⁶m. (1.54) Jest to warto±¢ zwana promieniem równikowym Ziemi (±cisªe znaczenie tego terminu podamy w nast¦pnym rozdziale) rekomendowana przez Mi¦dzyna- rodow¡ Uni¦ Astronomiczn¡, ale trzeba pami¦ta¢, »e tak naprawd¦ warto±¢

a_⊕uzyskuje sens dopiero w ramach konkretnego modelu pola grawitacyjnego Ziemi.

O ile w dynamice ciaª Ukªadu Sªonecznego posªugujemy si¦ niemal wy- ª¡cznie póªosiami wielkimi orbit i odlegªo±ciami od ±rodka ukªadu wspóªrz¦d- nych (Sªo«ca albo ±rodka masy ukªadu), o tyle omawiaj¡c ruch SSZ cz¦sto

4Warto odwiedzi¢ http://saturn.jpl.nasa.gov/mission/gravity-assists.cfm

posªugujemy si¦ poj¦ciem wysoko±ci (ang. altitude) satelity. Przez wysoko±¢

rozumiemy odlegªo±¢ od powierzchni Ziemi h, a wi¦c

h = r− a_⊕, (1.55)

je»eli przez r oznaczymy odlegªo±¢ satelity od ±rodka Ziemi. W analogiczny sposób deniujemy wysoko±¢ perygeum hq = q− a⊕ i wysoko±¢ apogeum h_Q= Q− a_⊕.

Bior¡c pod uwag¦ atmosfer¦ Ziemi, nie spotykamy praktycznie satelitów na wysoko±ciach mniejszych ni» 200 km. Okres obiegu SSZ na takiej niskiej

orbicie wynosi okoªo 90^m. Jest to charakterystyczna skala czasu, któr¡ warto zna¢ na pami¦¢ z wielu wzgl¦dów; otrzymujemy j¡ z III prawa Keplera, które dla orbity koªowej daje okres obiegu T satelity

T = 2 π

√µ (a_⊕+ h)^3/2. (1.56)

Sci±le rzecz bior¡c, T = 90^m na wysoko±ci h = 275 km, ale wzrasta wraz z wysoko±ci¡ do±¢ wolno, ulegaj¡c podwojeniu (T = 3^h) dopiero na wysoko±ci 4180 km. Dwie wa»ne wysoko±ci to h = 20 230 km (tzw. wysoko±¢ póªsyn- chroniczna), gdzie okres obiegu wynosi 12^h, oraz wysoko±¢ zwana geosynchro- niczn¡ (h = 35 863 km) na której satelita obiega Ziemi¦ w ci¡gu jednej doby.

Przewa»aj¡ca cz¦±¢ sztucznych satelitów Ziemi porusza si¦ na wysoko±ciach zawartych mi¦dzy h = 200 km a h = 36 000 km.

1.5.2 Gªówne siªy zaburzaj¡ce

Je±li u±wiadomimy sobie, »e pomiary poªo»enia i pr¦dko±ci SSZ nale»¡ do najdokªadniejszych w astronomii (poni»ej centymetra w poªo»eniu) i obej- muj¡ odcinki czasu si¦gaj¡ce dziesi¡tek lat⁵, to jest zrozumiaªe, »e nie mo»na poprzesta¢ na zagadnieniu dwóch ciaª aby opisa¢ ruch tych obiektów.

Bogactwo niezaniedbywalnych siª dziaªaj¡cych na sztuczne satelity jest chyba wyj¡tkowe w mechanice nieba. Nale»y tu uwzgl¦dnia¢ dwie grupy od- zdziaªywa« zaburzaj¡cych ruch keplerowski:

1. Siªy grawitacyjne.

Nale»¡ do nich przyci¡ganie Ziemi traktowanej jako ciaªo o skompli- kowanym i zmiennym w czasie ksztaªcie oraz bezpo±redni i po±redni

5Nie nale»y si¦ sugerowa¢ bezwzgl¦dn¡ warto±ci¡ odcinka czasu, lecz nale»y j¡ odnie±¢

do okresu orbitalnego: kilkadziesi¡t lat dla Jowisza, to kilka obiegów wokóª Sªo«ca, ale dla satelity Ziemi to setki tysi¦cy obiegów wokóª macierzystej planety !

wpªyw innych ciaª  zwªaszcza Sªo«ca i Ksi¦»yca. Dokªadniej, mo»emy tu zaliczy¢:

(a) Staªe w czasie (a wi¦c u±rednione) pole grawitacyjne niesferycznej Ziemi. Mówimy, »e pole takie wytwarzane jest przez tak zwan¡

skªadow¡ statyczn¡ geopotencjaªu.

(b) Bezpo±rednie przyci¡ganie satelity przez Sªo«ce i Ksi¦»yc.

(c) Po±redni wpªyw Sªo«ca i Ksi¦»yca poprzez pªywy mas oceanicz- nych i skorupy ziemskiej.

(d) Efekty relatywistyczne.

2. Siªy niegrawitacyjne.

Zaliczamy do nich:

(a) Opór atmosfery.

(b) Bezpo±rednie ci±nienie ±wiatªa pochodz¡cego od Sªo«ca oraz od- bitego od Ksi¦»yca i Ziemi.

(c) Wtórne efekty zwi¡zane z padaj¡c¡ i re-emitowan¡ energi¡ takie jak efekt Poyntinga-Robertsona, efekt Jarkowskiego, efekt Jar- kowskiego-Shacha itp.

(d) Siªy elektromagnetyczne.

(e) Wycieki paliwa i kolizje z innymi obiektami.

Wspóln¡ cech¡ siª grawitacyjnych jest ich potencjalno±¢  ka»da z nich mo»e zosta¢ otrzymana z mniej lub bardziej skomplikowanego potencjaªu. W kon- sekwencji, »adna z nich nie mo»e spowodowa¢ wiekowych (tzn. systematycz- nych) zmian w póªosi wielkiej lub mimo±rodzie orbity. Ponadto, z punktu widzenia tych siª mo»na traktowa¢ satelit¦ jako punkt materialny o zanie- dbywalnej masie.

Inaczej przedstawia si¦ sprawa z siªami niegrawitacyjnymi. Niektóre z nich sa potencjalne (ci±nienie ±wiatªa) a inne nie. Ale nawet dla siª poten- cjalnych z tej grupy, nie mo»emy traktowa¢ satelity jak punktu materialnego:

jego masa, ksztaªt, rozmiary i wªasno±ci zyczne powierzchni (nawet kolor !) staj¡ si¦ istotne. Te z siª niegrawitacyjnych, które nie posiadaj¡ potencjaªu, mog¡ wywoªa¢ wiekowe zaburzenia póªosi wielkiej i mimo±rodu orbity SSZ i maj¡ istotny wpªyw na czas przebywania satelitów na orbicie.

Rozdziaª 2

Pole grawitacyjne Ziemi

2.1 Poj¦cie geopotencjaªu

Geopotencjaªem nazywamy potencjaª grawitacyjny Ziemi V⊕, którego gra- dient generuje przyspieszenie masy próbnej przyci¡ganej przez nasz¡ planet¦

¨

r =−∇ V⊕. (2.1)

W ±wietle udowodnionego przez Newtona twierdzenia, gdyby Ziemia miaªa ksztaªt kuli zªo»onej z warstw o staªej g¦sto±ci, to potencjaª w jej otoczeniu byªby równy potenjcaªowi punktu materialnego o tej samej masie umieszczo- nego w jej ±rodku, czyli

V₀ =−µ_⊕

r . (2.2)

Traktowanie Ziemi jako izotropowej kuli jest jednak zaledwie szkolnym uprosz- czeniem, którego nie mo»na utrzyma¢ podejmuj¡c analiz¦ ruchu sztucznych satelitów Ziemi. Mniej wi¦cej od poªowy XX wieku zacz¡ª si¦ dynamiczny rozwój modeli geopotencjaªu, uwzgl¦dniaj¡cych coraz to subtelniejsze od- st¦pstwa potencjaªu Ziemi od V0. Na wczesnym etapie lotów kosmicznych próbowano przybli»a¢ geopotencjaª przez skªadanie punktów matrialnych zwanych maskonami (ang. mass concentration) o tak dobranych masach i tak umiejscowionych pod powierzchni¡ sferycznie symetrycznej Ziemi, aby uzyska¢ jak najlepsze przybli»enie rzeczywistego pola grawitacyjnego naszej planety. Obecnie jednak gªównym narz¦dziem matematycznym sªu»¡cym do konstrukcji modeli geopotencjaªu s¡ szeregi harmoniczne funkcji sferycznych.

Nast¦pne dwa podrozdziaªy po±wi¦cimy najpierw pokazaniu, jak takie szeregi powstaj¡ przy rozwi¡zywaniu równania Laplace'a a nast¦pnie zademonstru- jemy zwi¡zek gªównych wyrazów tego szeregu z rozkªadem masy Ziemi.

2.2 Szereg harmoniczny dla geopotencjaªu

2.2.1 Metoda separacji zmiennych dla równania Laplace'a Potencjaª Ziemi, jak ka»dy potencjaª, powinien na zewn¡trz ciaªa, które go wytwarza speªnia¢ równanie Laplace'a

△V_⊕= 0. (2.3)

Ze wzgl¦du na to, »e pierwszym przybli»eniem dla V⊕jest radialny potencjaª V₀, najlepiej jest posªu»y¢ si¦ w równaniu (2.3) operatorem Laplace'a △ wy- ra»onym we wzpóªrz¦dnych biegunowych r, λ, φ. Geocentryczne wspóªrz¦dne kartezja«skie mo»na wyrazi¢ poprzez wspóªrz¦dne biegunowe jako

x = r cos φ cos λ,

y = r cos φ sin λ, (2.4)

z = r sin φ.

Zakªadamy, »e o± Ox przechodzi przez poªudnik Greenwich, o± Oz jest skie- rowana do bieguna póªnocnego i ukªad jest prawoskr¦tny. K¡t λ odpowiada wtedy dªugo±ci, a k¡t φ szeroko±ci geogracznej punktu znajduj¡cego si¦ w odlegªo±ci r od ±rodka Ziemi.

Równanie Laplace'a we wspóªrz¦dnych biegunowych przybiera posta¢

1 r²

[∂

∂r (

r²∂V_⊕

∂r )

+ 1

cos φ

∂

∂φ (

cos φ∂V_⊕

∂φ )

+ 1

cos²φ

∂²V_⊕

∂λ² ]

= 0. (2.5) Przypomnijmy, »e jego rozwi¡zanie musi mie¢ warto±ci sko«czone i d¡»¡ce do zera gdy r → ∞. Obie strony równo±ci (2.5) mo»emy pomno»y¢ przez r², gdy» na zewn¡trz Ziemi r ̸= 0. Pozostaje wtedy równanie

∂

∂r (

r²∂V_⊕

∂r )

+ 1

cos φ

∂

∂φ (

cos φ∂V_⊕

∂φ )

+ 1

cos²φ

∂²V_⊕

∂λ² = 0. (2.6) Jest to równanie ró»niczkowe liniowe o pochodnych cz¡stkowych. Jego lewa strona jest sum¡ trzech wyrazów, z których ka»dy zawiera pochodne wzgl¦- dem jednej tylko zmiennej. Pierwsza wªasno±¢ (liniowo±¢) oznacza, »e peªne rozwi¡zanie tego równania b¦dzie liniow¡ kombinacj¡ wszystkich liniowo nie- zale»nych wyrazów speªniaj¡cych to równanie. Z drugiej za± wªasno±ci wy- nika, »e ka»dy z tych wyrazów mo»na przedstawi¢ jako iloczyn trzech funkcji zale»nych wyª¡cznie od r, od λ i od φ. Mo»emy wi¦c posªu»y¢ si¦ metoda separacji zmiennych i przyj¡¢, »e V⊕ skªada si¦ z wyrazów o postaci

V = R(r) F (φ) L(λ). (2.7)