W poprzednim przykªadach zbadali±my stabilno±¢ rozwi¡zania zerowego wykorzystuj¡c formuª¦ de niuj¡c¡ ogóª rozwi¡za«. Ide¡ jako±ciowej teorii równa« ró»niczkowych jest jednak badanie wªasno±ci rozwi¡za« (w tym stabilno±ci) bez znajomo±ci tych rozwi¡za«.
Tak¡ mo»liwo±¢ daje nam metoda funkcja Lapunowa.
Rozwa»my równanie
x0 = f (t, x). (52)
Dla uproszczenia przyjmijmy, »e f : [0, ∞)×Ω → Rn, gdzie Ω ⊂ Rnjest zbiorem otwartym.
Poniewa» b¦dziemy bada¢ stabilno±¢ rozwi¡za« zerowych (por. uwaga 17) zakªadamy, »e 0 ∈ Ω oraz f(t, 0) = 0 dla t ≥ 0. Oczywi±cie nie rezygnujemy z zaªo»enia, »e f jest ci¡gªa i lipschitzowsko ci¡gªa ze wzgl¦du na drug¡ zmienn¡ a ka»de rozwi¡zanie równania (52) jest przedªu»alne na [0, ∞).
Dla ustalonej funkcji V : [0, ∞) × Ω → R klasy C1 poªó»my V (t, x) :=˙ ∂V
∂t(t, x) + Vx0(t, x) ◦ f (t, x)
dla (t, x) ∈ [0, ∞)×Ω. Funkcj¦ ˙V nazywamy pochodn¡ funkcji V wzdªu» rozwi¡zania równania (52). Nazw¦ t¦ wyja±nia fakt, »e je±li x(·) jest rozwi¡zaniem równania (52), to
V0(t, x(t)) = ∂V
∂t(t, x(t)) + Vx0(t, x) ◦ x0(t) = ∂V
∂t (t, x(t)) + Vx0(t, x) ◦ f (t, x(t)).
De nicja 15. Funkcj¡ Lapunowa dla równania (52) nazywamy funkcj¦ V : [0, ∞) × Ω → R klasy C1 speªniaj¡c¡ warunki:
(l1) inft≥0V (t, x) > 0 dla x ∈ Ω \ {0}, (l2) V (t, 0) = 0 dla t ≥ 0,
(l3) V (t, x) ≤ 0˙ dla (t, x) ∈ [0, ∞) × Ω.
Uwaga 18. W przypadku, gdy równanie (52) jest autonomiczne, tzn. jest postaci
x0 = f (x), (53)
pochodna funkcji v wzdªu» rozwi¡zania ma posta¢
V (x) = V˙ 0(x) ◦ f (x),
za± funkcja Lapunowa dla tego równania jest funkcj¡ V : Ω → R klasy C1 speªniaj¡c¡
warunki:
(l1') V (x) > 0 dla x ∈ Ω \ {0}, (l2') V (0) = 0,
(l3') V (x) ≤ 0˙ dla x ∈ Ω.
Mamy nast¦puj¡ce
12 Stabilno±¢ rozwi¡za«
Twierdzenie 29 (Lapunowa o stabilno±ci). Je±li równanie (52) posiada funkcj¦ La-punowa, to jego rozwi¡zanie zerowe jest stabilne.
Dla otrzymania asymptotycznej stabilno±ci konieczne jest wzmocnienie zaªo»e« dotycz¡-cych funkcji V .
Twierdzenie 30 (Lapunowa o asymptotycznej stabilno±ci). Je±li równanie (52) posiada funkcj¦ Lapunowa tak¡, »e
x→0limsup
t≥0 V (t, x) = 0 oraz
sup
t≥0
V (t, x) < 0˙ dla x ∈ Ω \ {0}, to jego rozwi¡zanie zerowe jest asymptotycznie stabilne.
W przypadku równania autonomicznego (53) twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilno±ci przyjmuje posta¢
Wniosek 5. Je±li równanie (53) posiada funkcj¦ Lapunowa V : Ω → R speªniaj¡c¡
warunki (l1') (l2') oraz tak¡, »e
V (x) < 0˙ dla x ∈ Ω \ {0}, to rozwi¡zanie zerowe jest asymptotycznie stabilne.
Uwaga 19. W przypadku równania autonomicznego twierdzenia Lapunowa mówi¡, »e dla stabilno±ci rozwi¡zania zerowego potrzeba, aby istniaªa funkcja V : Ω → R klasy C1 nieujemna taka, »e V (x) = 0 ⇔ x = 0 oraz nierosn¡ca na wykresie dowolnego rozwi¡zania.
Aby uzyska¢ asymptotyczn¡ stabilno±¢ trzeba zaªo»y¢ wi¦cej - aby funkcja V byªa ±ci±le malej¡ca na wykresie dowolnego rozwi¡zania.
Przykªad 15. Rozwa»my równanie
x0 = kx,
z przykªadu 13 Oczywi±cie f(x) = kx dla x ∈ Ω = R. Zaªó»my, »e k < 0 i rozwa»my funkcj¦ V (x) = x2 dla x ∈ R. Jest ona klasy C1 i speªnia dwa pierwsze warunki de nicji 15. Ponadto,
V (x) = V˙ 0(x) · f (x) = 2kx2 < 0 dla x 6= 0.
Zatem na mocy twierdzenia 30 (albo wniosku 5) rozwi¡zanie zerowe jest asymptotycznie stabilne.
W przypadku, gdy k = 0 bior¡c t¦ sam¡ funkcja stwierdzamy, »e rozwi¡zanie zerowe jest stabilne. atwo te» stwierdzi¢, »e poniewa» f(x) = 0 dla x ∈ R, wi¦c nie mo»na zbudowa¢
takiej funkcji Lapunowa, dla której byªby speªniony warunek asymptotycznej stabilno±ci z twierdzenia 30. St¡d rozwi¡zanie zerowe nie mo»e by¢ asymptotycznie stabilne
Zanotujmy jeszcze
Twierdzenie 31 (Lapunowa o niestabilno±ci). Je±li dla równania (52) istnieje funkcja V : Ω → R klasy C1 taka, »e
12 Stabilno±¢ rozwi¡za«
1. istnieje ci¡g {xn} ⊂ Ω taki, »e limn→∞xn= 0 oraz V (xn) > 0 dla n ∈ N, 2. V (0) = 0,
3. V (x) > 0˙ dla x 6= 0,
to rozwi¡zanie zerowe jest niestabilne.
Dodatek
Dodatek
Zacznijmy od de nicji normy w przestrzeni Rn oraz przypomnienia podstawowych poj¦¢
topologicznych.
De nicja D.1. W zbiorze Rn okre±lamy funkcj¦
Rn3 x 7→ kxk ∈ R+ wzorem
kxk :=
vu utXn
i=1
x2i, dla x = (x1, x2, . . . , xn).
Tak okre±lon¡ funkcj¦ nazywamy norm¡ w Rn, za± przestrze« Rnz norm¡ przestrzeni¡
unormowan¡. Je±li elementy x przestrzeni Rn interpretowa¢ jako wektory zaczepione w zerze o wspóªrz¦dnej ko«cowej (x1, x2, . . . , xn), (czyli rozumie¢ Rnjako przestrze« liniow¡), to norma jest dªugo±ci¡ wektora x.
Uwaga D.1. Przestrze« unormowana Rn jest przestrzeni¡ metryczn¡ z metryk¡ ρ
okre-±lon¡ jako
ρ(x, y) := kx − yk.
De nicja D.2. Otoczeniem punktu x0 ∈ Rn o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór U(x0, ε) := {x ∈ Rn: kxk < ε} .
De nicja D.3. Zbiór G ⊂ Rn nazywamy otwartym, je±li dla ka»dego punktu x0 ∈ G istnieje otoczenie U(x0, ε) ⊂ G.
Uwaga D.2. Zbiór pusty ∅ jest oczywi±cie otwarty.
De nicja D.4. Zbiór F ⊂ Rn nazywamy domkni¦tym, je±li zbiór G = Rn \ F jest otwarty.
De nicja D.5. Wn¦trzem zbioru A ⊂ Rn nazywamy najwi¦kszy zbiór otwarty G taki,
»e G ⊂ A. Wn¦trze zbioru A oznaczamy Int A.
De nicja D.6. Domkni¦ciem zbioru A ⊂ Rn nazywamy najmniejszy zbiór domkni¦ty F taki, »e A ⊂ F . Domkni¦cie zbioru A oznaczamy ¯A.
Wªasno±¢ D.1. Je±li A ⊂ Rn, to
1. A jest otwarty wtedy o tylko wtedy, gdy A = Int A, 2. A jest domkni¦ty wtedy o tylko wtedy, gdy A = ¯A.
De nicja D.7. Zbiór A ⊂ Rnnazywamy spójnym, je±li dla dowolnych x1, x2 ∈ Aistnieje funkcja ci¡gªa f : [0, 1] → A, taka, »e f(0) = x1 oraz f(1) = x2. Geometrycznie oznacza, to »e dowolne dwa punktu zbioru A mo»na poª¡czy¢ krzyw¡ zawart¡ w A.
De nicja D.8. Zbiór A ⊂ Rn nazywamy obszarem je±li jest otwarty i spójny.
Dodatek
Do najwa»niejszych wªasno±ci funkcji ci¡gªych nale»y
Twierdzenie D.1. (Lagrange'a)16 Je»eli funkcja g : [a, b] → R jest ci¡gªa w [a, b] oraz ró»niczkowalna w (a, b), to istnieje taka liczba τ ∈ [a, b], »e
f (b) − f (a)
b − a = f0(τ ).
oraz
Twierdzenie D.2. (Wªasno±¢ Darboux)17 Je»eli f : [a, b] → R jest ci¡gªa, to dla dowolnego c ∈ [min {f (a) , f (b)} , max {f (a) , f (b)}] istnieje x0 ∈ [a, b] , »e f (x0) = c.
x y
x0
f x( )
f( )b
a b
f( )a c f x= ( )0
Przypomnijmy teraz kilka wa»nych poj¦¢ algebraicznych
De nicja D.9. Niech A ∈ Cn×n. Je±li istniej¡ wektor x ∈ Cn 6= 0 oraz liczba λ ∈ C takie, »e
Ax = λx,
to liczb¦ λ nazywamy warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A, a wektor x wektorem wªasnym macierzy A odpowiadaj¡cym warto±ci wªasnej λ.
Równanie
det(A − λI) = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Jego pierwiastki za± pier-wiastkami charakterystycznymi macierzy A.
Cz¦sto wyst¦puj¡c¡ sytuacj¡ jest przypadek, gdy macierz A ma wyrazy rzeczywiste, za±
wektor wªasny i warto±¢ wªasna jest zespolona.
W znajdywaniu warto±ci wªasnych macierzy pomocna jest nast¦puj¡ca
Wªasno±¢ D.2. Liczba λ ∈ C jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy A ∈ Cn×n wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest jej pierwiastkiem charakterystycznym tzn.
det(A − λI) = 0
16Lagrange, Joseph-Louis (1736-1813) matematyk francuski
17Darboux, Jean Gaston (1842-1917) matematyk francuski.
Dodatek
Zaªo»eniem gwarantuj¡cym lokalne istnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego jest ci¡gªo±¢ i lipschitzowska ci¡gªo±¢ ze wzgl¦du na drug¡ zmienn¡ prawej strony równania. Sprecyzujmy tu na czym polega ta wªasno±¢
De nicja D.10. Mówimy, »e funkcja f : U → Rn, gdzie U ⊂ R × Rn jest zbiorem otwartym jest lipschitzowsko ci¡gªa ze wzgl¦du na drug¡ zmienn¡, je±li dla ka»dego punktu (t, x) ∈ U istniej¡ otoczenie W ∈ U punktu (t, x) i staªa L > 0, »e
||f (s, x1) − f (s, x2)|| ≤ L||x1− x2||
dla (s, x1), (s, x2) ∈ W.
Uwaga 20. W szczególno±ci funkcja f ∈ C1(U, Rn) jest ci¡gªa i lipschitzowsko ci¡gªa ze wzgl¦du na drug¡ zmienn¡.
Na zako«czenie podamy kilka de nicji i wªasno±ci dotycz¡cych zbie»no±ci ci¡gów funkcyj-nych.
De nicja D.11. Mówimy, »e ci¡g (gk)k∈N funkcji gk : [a, b] → Rn (k = 1, 2, . . .) jest jednostajnie zbie»ny do funkcji g : [a, b] → Rn, co zapisujemy gk ⇒ g, gdy k → ∞, je±li
∀ε>0∃k0∀k>k0∀x∈[a,b] ||gk(x) − g(x)|| < ε.
De nicja D.12. Mówimy, »e rodzina {gt}t∈T funkcji gt : (a, b) → Rn jest jednakowo ci¡gªa w punkcie x0 ∈ (a, b), gdy
∀ε>0∃δ>0∀t∈T∀x0∈(a,b) (|x − x0| ≤ δ ⇒ kg (x) − g (x0)k ≤ ε) .
Twierdzenie D.3. (Arzeli) Niech {gt}t∈T rodzin¡ funkcji ci¡gªych okre±lonych na [a, b]
o warto±ciach w Rn. Wówczas z rodziny tej mo»na wybra¢ podci¡g jednostajnie zbie»ny w [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina jest jednakowo ci¡gªa i ograniczona w ka»dym punkcie zbioru [a, b] tzn. gdy istnieje staªa c > 0, »e
∀t∈T∀x∈[a,b] ||gt(x)|| ≤ c.
Twierdzenie D.4. (O przechodzeniu do granicy pod znakiem caªki) Je±li ci¡g (gk)n∈N funkcji gk : [a, b] → Rn (k = 1, 2, . . .) caªkowalnych jest jednostajnie zbie»ny do funkcji g : [a, b] → Rn, to funkcja g jest caªkowalna oraz
k→∞lim Zb
a
gn(x)dx = Zb
a
k→∞lim gn(x)dx = Zb
a
g(x)dx.
Skorowidz
lipschitzowsko ci¡gªa ze wzgl¦du na drug¡ zmienn¡, 48
pierwotna równania, 14 Gauss, Johann Carl Friedrich, 7 Jordan, Marie Ennemond Camille, 24 Jordana
twierdzenie o asymptotycznej stabil-no±ci, 44
twierdzenie o niestabilno±ci, 44
twierdzenie o stabilno±ci, 44 Lipschitza
Newtona druga zasad¡ dynamiki, 7
norma,46 pochodna funkcji wzdªu» rozwi¡zania,43 pole kierunków, 7
o rozdzielonych zmiennych, 9
skalarne liniowe
n−tego rz¦du o staªych wspóªczyn-nikach,27
jednorodne, 13
niejednorodne, 13
pierwszego rz¦du, 13
zupeªne,14
zwyczajne, 4
n−tego rz¦du,4
w postaci normalnej, 5
liniowe
niestabilne,41
rodzina funkcji jednakowo ci¡gªa, 48 rozwi¡zanie
asymptotycznie stabilne, 40
równania ró»niczkowego zwyczajnego,
stabilne w sensie Lapunowa,4 40
Dodatek
stacjonarne, 9
wysycone (integralne), 10 Runge, Carle David Tolmé, 38 twierdzenie
o przechodzeniu do granicy pod zna-kiem caªki, 48
ukªad fundamentalny, 26 Volterra, Vito, 8
Volterry-Lotki równanie, 8 warto±¢ wªasna macierzy, 24,47 wektor wªasny macierzy, 47 wn¦trze zbioru, 46
zbiór
domkni¦ty, 46
otwarty, 46
spójny, 46