Metoda Rungego-Kutty

1314

Jest to jedna z najpopularniejszych metod numerycznych sªu»¡cych do rozwi¡zywania równa« zwyczajnych.

Ustalamy odpowiednio maª¡ liczb¦ h > 0. Maj¡c dany punkt (ti, x_i) okre±lamy wektory pomocnicze

k1 = hf (ti, xi)

k2 = hf (ti+^h₂, xi+ ^k₂¹) k3 = hf (ti+^h₂, xi+ ^k₂²) k4 = hf (ti+ h, xi+ k3) kolejny punkt iteracji dany jest wzorem

(t_i+1, x_i+1) = (t_i+ h, x_i+¹₆(k₁+ 2k₂+ 2k₃+ k₄)

Ogólnie mo»na powiedzie¢, »e ulepszona metoda Eulera oraz metoda Eulera-Cauchy'ego s¡ nieco dokªadniejsze od metody Eulera. Metoda Rungego-Kutty jest na ogóª znacznie dokªadniejsza od tych dwóch. Wybór metody numerycznej któr¡ chcemy zastosowa¢ jest jednak zale»ny od typu równania. Dlatego otrzymane numerycznie rozwi¡zanie

powinni-±my zawsze porównywa¢ z jako±ciow¡ analiz¡ równania (np. z portretem fazowym).

13Carle David Tolmé Runge 1856 - 1927, matematyk niemiecki.

14Martin Wilhelm Kutta 1867 - 1944, in»ynier niemiecki.

12 Stabilno±¢ rozwi¡za«

12. Stabilno±¢ rozwi¡za«

12.1. Poj¦cie stabilno±ci rozwi¡zania

Przykªad 12. Rozwa»my równanie autonomiczne

x⁰ = f (x), (44)

gdzie f : G → Rⁿ, G ⊂ Rⁿ jest zbiorem otwartym, f funkcj¡ klasy C¹; b¦dziemy stosowa¢

u»ywane ju» w wykªadzie po±wi¦conym równaniom zupeªnym oznaczenie: f ∈ C¹(G, Rⁿ). Ka»dy punkt ¯x taki, »e f(¯x) = 0 wyznacza pewne rozwi¡zanie stacjonarne (staªe) równania (44), mianowicie rozwi¡zanie postaci x(t) ≡ ¯x okre±lone na pewnym przedziale [t0, t₁]. Je±li równanie (44) zinterpretujemy jako opis ruchu pewnego ciaªa, to rozwi¡zanie stacjonarne opisuje poªo»enie równowagi tego ciaªa  ciaªo pozostaje w spoczynku. Przy poczynionych zaªo»eniach dla dowolnego x0 ∈ G istnieje jednoznaczne rozwi¡zanie x(·) zagadnienia

Cauchy'ego postaci ½

x⁰(t) = f (x)

x (t₀) = x₀ . (45)

Interesuje nas odpowied¹ na pytanie jak zachowa si¦ rozwi¡zanie zagadnienia (45) je±li x0

speªnia warunek ||x0− ¯x|| < ε dla pewnego (bliskiego zera) ε > 0, to znaczy jak zachowa si¦ ciaªo, którego ruch opisuje równanie (44), gdy w chwili t0 b¦dzie znajdowaªo si¦ ono

prawie w poªo»eniu równowagi. Zachowanie to mo»e by¢ bardzo ró»ne. Wyobra¹my sobie,

»e równanie (44) opisuje zachowanie kulki umieszczonej:

(a) wewn¡trz kulistej miseczki,

(b) na powierzchni tej miseczki odwróconej do góry dnem

W obydwu sytuacjach je±li kulka znajduje si¦ w chwili t = t0 w poªo»eniu równowagi, to zgodnie z interpretacj¡ równania (44) x(t0) = ¯x, gdzie f(¯x) = 0. Je±li jednak w chwili t = t₀ poªo»enie kulki opisane jest warunkiem x(t0) = x₀, gdzie ||x0− ¯x|| < εdla pewnego (bliskiego zera) ε > 0, to taki warunek oznacza niewielkie wytr¡cenie kulki z poªo»enia równowagi w chwili t = t0. Jej dalsze zachowanie zale»y od tego, czy rozwa»amy przypadek (a), czy (b). W sytuacja (a) kulka powróci do poªo»enia równowagi na staªe po pewnym czasie, je±li rozwa»ymy, realn¡, sytuacj¦, w której uwzgl¦dniamy siªy tarcia lub b¦dzie oscy-lowa¢ w pobli»u poªo»enia równowagi, gdy siªy tarcia zostan¡ zaniedbane. W sytuacji (b) kulka oczywi±cie nie powróci do poªo»enia równowagi.

Przykªad powy»szy motywuje wprowadzenie poj¦cia stabilnego poªo»enia równowagi (roz-wi¡zanie stablinego)  przypadek (a) bez siª tarcia, asymptotycznie stabilnego poªo»enia równowagi  przypadek (a) z uwzgl¦dnieniem siª tarcia oraz niestabilnego poªo»enia rów-nowagi  przypadek (b).

Wprowad¹my ±cisªe okre±lenie poj¦cia stabilno±ci. Rozwa»my równanie

x⁰ = f (t, x), (46)

gdzie f : U → Rⁿ, jest funkcj¡ ci¡gª¡ oraz lipschitzowsko ci¡gª¡ wzgl¦dem drugiej zmien-nej (zob. denicja D.10), U ⊂ R × Rⁿ zbiorem otwartym. B¦dziemy zakªada¢, »e ka»de rozwi¡zanie x(·) równania (46) jest przedªu»alne na [t0, ∞)(tzn. x(·) mo»na okre±lic przy-najmniej na zbiorze [t0, ∞)), gdzie t0 jest pewn¡ ustalon¡ liczb¡.

12 Stabilno±¢ rozwi¡za«

Denicja 14. Mówimy, »e rozwi¡zanie ¯x(·) : [t0, ∞) → Rⁿ jest stabilne w sensie Lapunowa¹⁵ dla t → ∞, je±li dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0, »e ka»de rozwi¡zanie x(·) równania (46), takie »e

||x(t0) − ¯x(t0)|| < δ, speªnia dla t ≥ t0 warunek

||x(t) − ¯x(t)|| < ε.

Je±li dodatkowo

t→∞lim kx(t) − ¯x(t)k = 0,

to mówimy, »e rozwi¡zanie ¯x(·) jest asymptotycznie stabilne.

Uwaga 16. Wydaj¦ si¦, »e w denicji rozwi¡zania asymptotycznie stabilnego wystarczy zaªo»y¢, »e dla rozwi¡za« x(·) startuj¡cych dostatecznie blisko rozwi¡zania ¯x(·) zachodzi warunek limt→∞kx(t) − ¯x(t)k = 0. Mo»na jednak poda¢ do±¢ nieelementarny przykªad równania, w którym wszystkie rozwi¡zania d¡»¡ do rozwi¡zania staªego, ale rozwi¡zanie staªe nie jest stabilne.

Przykªad 13. Rozwa»my równanie

x⁰ = k · x. (47)

gdzie k ∈ R. O rozwi¡zaniach zakªadamy tu, »e s¡ funkcjami o warto±ciach rzeczywistych.

Zbadamy stabilno±¢ rozwi¡zania zerowego ¯x(t) ≡ 0 dla t ∈ R. Przyjmijmy t0 = 0. Ogóª rozwi¡za« powy»szego równania wyra»a si¦ oczywi±cie wzorem x(t) = c·e^tk, t ∈ R : c ∈ R. Nietrudno si¦ domy±li¢, »e je±li k > 0, to rozwi¡zanie zerowe jest niestabilne  wykresy rozwi¡za« niezerowych uciekaj¡ w niesko«czono±¢ przy t → ∞. Gdy k = 0 mamy do czynienia tylko z rozwi¡zaniami staªymi. Rozwi¡zanie zerowe jest tu stabilne. Istotnie, wystarczy dla dowolnego ε > 0 wzi¡¢ δ = ε i je±li tylko x(·) jest rozwi¡zaniem, to z warunku

|x(t₀) − ¯x(t₀)| < δ wynika warunek |x(t) − ¯x(t)| < ε dla t ≥ t0. Oczywi±cie rozwi¡zanie zerowe nie jest asymptotycznie stabilne. Wreszcie w przypadku, gdy k < 0 rozwi¡zanie zerowe jest asymptotycznie stabilne, bo dowolne rozwi¡zanie niestaªe jest postaci x(t) = c · e^tk dla t ∈ R oraz pewnego c ∈ R. Warunek |¯x(t0) − x(t₀)| < δ oznacza po prostu, »e

|c| < δ, wi¦c dla t ≥ 0 równie»

|¯x(t) − x(t)| = |ce^kt| ≤ |c| < δ,

a zatem i tu wystarczy wzi¡¢ δ = ε. Ponadto

t→∞lim |x(t) − ¯x(t)| = lim

t→∞

¯¯c · e^tk¯

¯ = 0.

Przykªad 14. Rozwa»my ukªad liniowy w R² x⁰ = Ax, gdzie A =

· α β

−β α

¸

. (48)

15Aleksandr Michajªowicz Lapunow 1857 - 1918 matematyk, zyk i mechanik rosyjski.

12 Stabilno±¢ rozwi¡za«

Funkcja staªa ¯x(t) ≡ [0, 0]^T jest oczywi±cie rozwi¡zaniem tego równania. Poniewa» ukªad jest autonomiczny, wi¦c ¯x(·) jest poªo»eniem równowagi. Zbadajmy stabilno±¢ tego poªo»e-nia, czyli stabilno±¢ rozwi¡zania ¯x(·). Jak wiadomo (por. przykªad 10) rozwi¡zania ukªadu (48) maj¡ posta¢:

x₁(t) = c₁e^tαcos (tβ) + c₂e^tαsin (tβ)

x2(t) = −c1e^tαsin (tβ) + c2e^tαcos (tβ) , t ∈ R : c₁, c₂ ∈ R.

ªatwo wida¢, »e je±li α < 0, to |x1(t)| i |x2(t)| s¡ dowolnie bliskie zeru. A zatem ¯x(·) jest asymptotycznie stabilnym poªo»eniem równowagi. Je±li α > 0, to rozwi¡zania |x1(t)|

i |x2(t)| oscyluj¡ pomi¦dzy osi¡ czasu i wykresem e^αt, mamy wi¦c do czynienia z rozwi¡-zaniem niestablinym.

Okazuje si¦, »e formuªuj¡c wªasno±ci dotycz¡ce stabilno±ci rozwi¡za« wystarczy ograniczy¢

si¦ do badania rozwi¡za« staªych, a nawet zerowych. Fizycznie mo»emy sobie to uzasadni¢

poprzez zamian¦ ukªadu wspóªrz¦dnych tak, aby obserwator poruszaª si¦ po trajektorii rozwi¡zania, którego stabilno±¢ badamy. W ukªadzie wspóªrz¦dnych zwi¡zanym, z tak usytuowanym obserwatorem badane rozwi¡zanie jest zerowe.

Uwaga 17. Rozwa»my rozwi¡zanie ¯x(·) równania (46). Dla dowolnie ustalonego rozwi¡-zania ˜x(·) równania (46), przyjmijmy ˜y(t) := ˜x(t) − ¯x(t) dla t ≥ t0 i rozwa»my równanie

y⁰ = g(t, y), (49)

gdzie g(t, y) := f (t, y + ¯x(t)) − f (t, ¯x(t)).

Wówczas mamy, »e

˜

y⁰(t) = ˜x⁰(t) − ¯x⁰(t) = f (t, ˜x(t)) − f (t, ¯x(t)) = f (t, ˜y(t) + ¯x(t)) − f (t, ¯x(t)) = g(t, ˜y(t)).

Zatem rozwi¡zaniu ˜y(·) równania (49) odpowiada rozwi¡zanie ˜x(·) równania (46) i od-wrotnie. W szczególno±ci rozwi¡zaniu ¯x(·) odpowiada rozwi¡zanie zerowe równania (49).

Ponadto, rozwi¡zanie ¯x(·) równania (46) jest stabilne oraz asymptotycznie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy rozwi¡zanie zerowe równania (49) jest stabilne, asymptotycznie stabilne odpowiednio.