Funkcje modularne i j-niezmiennik 12

3.1. Grupa modularna i funkcje modularne

Definicja 3.1. Pełną grupą liniową GL(n, R) nazywamy grupę złożoną ze wszystkich odwra-calnych macierzy kwadratowych stopnia n nad pierścieniem R.

Definicja 3.2. Specjalną grupą liniową SL(n, R) nazywamy podgrupę grupy GL(n, R) skła-dającą się ze wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z pierścienia R, których wyznacznik wynosi 1.

Definicja 3.3. Pełną grupą modularną Γ nazywamy grupę SL(2, Z).

Definicja 3.4. Górną półpłaszczyzną Siegela nazywamy zbiór H = {x + iy ∈ C : y > 0}.

Definicja 3.5. Dla liczby całkowitej dodatniej n definiujemy zbiór Dn oraz skończony zbiór Sn jako

Propozycja 3.6. Istnieje bijekcja pomiędzy Sn, a prawymi warstwami D_n/Γ.

Dowód. Wobec tego, że S_n⊂ D_n, istnieje naturalne odwzorowanie φ : S_n→ D_n/Γ, indukowane przez inkluzję i rzutowanie. Sprawdzimy, że φ jest surjekcją i iniekcją, co da nam tezę.

Aby uzasadnić, że φ jest surjekcją, dla każdego α ∈ D_n wskażemy takie γ ∈ Γ, że γα ∈ S_n. Dzięki temu bez straty ogólności możemy założyć, że α =a b

0 d

 .

Jeżeli d < 0, możemy dodatkowo pomnożyć z lewej strony przez γ⁰ =−1 0 0 −1

Wobec tego, że ya⁰ = 0 otrzymujemy y = 0. Analizując wyznaczniki otrzymujemy, że wz = 1, czyli w = z = 1 lub w = z = −1. Ponieważ d = zd⁰ oraz d, d⁰ > 0, drugi przypadek nie może zajść. To implikuje, gdy w = z = 1, że d⁰ = d, a⁰ = a oraz b⁰ + xd⁰ = b.

Równość b ≡ b⁰ mod d, wraz z informacją, że b i b⁰ są mniejsze od d doprowadza nas do wniosku, że b = b⁰. Wobec tego α = β, co kończy dowód tego, że φ jest iniekcją.

12:5759549429 12

Definicja 3.7. Funkcją modularną wagi k nazywamy funkcję postaci f : H −→ C taką, że

• f jest meromorficzna na H

• dla każdego z ∈ H oraz dla każdej a b c d



∈ Γ zachodzi f ^az+b_cz+d
= (cz + d)^kf (z)

• f jest meromorficzna, gdy z −→ i∞

Obserwacja 3.8. Kładąc w definicji a = b = d = 1, c = 0, można zauważyć, że każda funkcja modularna spełnia równanie f (z + 1) = f (z). Wobec tego można ją rozwinąć w szereg Fouriera. Często rozważa się ten szereg jako szereg Laurenta f (q) względem q = q(z) = e^2πiz. Skoro z ∈ H, to q(z) należy do otwartego dysku o środku w punkcie 0, z usuniętym punktem 0. Założenie, że f (z) jest meromorficzna, gdy z −→ i∞, oznacza, że f (q) jest meromorficzna na całym dysku. Wynika stąd, że f ma rozwinięcie w szereg Laurenta f (z) = P∞

n=−ma_nqⁿ o skończonej części osobliwej.

3.2. j-niezmiennik

Obserwacja 3.9. Niech E będzie krzywą eliptyczną nad C wyznaczoną przez kratę Λ = [ω1, ω₂].

Wówczas

j(E) = j(Λ) = 1728 g₂(Λ)³ g2(Λ)³− 27g3(Λ)²

Niech τ = ω₁/ω₂. Ponieważ ω₁, ω₂ są liniowo niezależne nad R, to τ nie może być liczbą rzeczywistą. Ponadto zmieniając w razie czego kolejność wektorów w bazie Λ, możemy bez straty ogólności założyć, że Im(τ ) > 0. Wynika z tego, że τ ∈ H. Krata [τ, 1] jest podobna do kraty [ω₁, ω₂]. Wobec tego j([τ, 1]) = j([ω₁, ω₂]) = j(Λ).

Definicja 3.10. j-niezmiennikiem nazywamy funkcję

j : H 3 τ 7−→ j(τ ) := j([τ, 1]) ∈ C

Propozycja 3.11 ([1, Proposition 11.2]). j-niezmiennik jest funkcją holomorficzną na H, posiadającą w nieskończoności biegun rzędu jeden.

Propozycja 3.12 ([10, Proposition 9.13]). Niech τ ∈ H oraz γ ∈ Γ. Wówczas j(γτ ) = j(τ ).

Propozycja 3.13 ([1, Theorem 11.8]). Niech q = q(τ ) := e^2πiτ. Wówczas j-niezmiennik posiada rozwinięcie w szereg Laurenta postaci

j(τ ) = 1

q + 744 + 196884q + · · · =

∞

X

k=−1

c_kq^k

przy czym wszystkie współczynniki c_k są liczbami całkowitymi.

Twierdzenie 3.14 ([1, Theorem 11.9]). j-niezmiennik jest funkcją modularną wagi 0.

Propozycja 3.15 ([10, Proposition 9.16]). Niech f będzie funkcją modularną wagi 0, różną od stale równej zero. Wówczas

ord_i∞(f ) +1

3ord_ζ3(f ) +1

2ord_i(f ) + X

z6=i,ζ3,i∞

ord_z(f ) = 0

gdzie ζ3 = e^2πi/3 oraz ordz(f ) oznacza rząd bieguna f w punkcie z.

13:2290588459 13

Propozycja 3.16. Niech f (τ ) będzie funkcją modularną wagi 0 taką, że f ∈ q⁻ⁿZ[[q]], dla pewnej liczby całkowitej n. Wówczas f (τ ) jest wielomianem względem funkcji j(τ ), ze współczynnikami całkowitymi, tzn. f ∈ Z[j].

Dowód. Z rozwinięcia j-niezmiennika w szereg Fouriera wynika, że

j(τ ) − 1 q =

∞

X

k=0

c_kq^k∈ Z[[q]]

Jeżeli f (τ ) = ^b_qⁿn + · · · , gdzie b_n ∈ Z, to f(τ ) − bnjⁿ = ^b_qⁿ⁻¹n−1 + · · · , gdzie b_n−1 ∈ Z. Dlatego też f (τ ) − bnjⁿ− bn−1jⁿ⁻¹ = ^b_qⁿ⁻²n−2 + · · · , gdzie bn−2 ∈ Z. Kontynuując dalej w ten sposób otrzymujemy

g(τ ) := f (τ ) − b_njⁿ− b_n−1jⁿ⁻¹− · · · − b₀ ∈ qZ[[q]]

gdzie b_n, · · · , b₀ ∈ Z. Funkcja g(τ ) jest analityczna na H i znika, gdy τ −→ i∞. Ponadto g(τ ) jest niezmiennicza ze względu na działanie Γ. Z propozycji 3.15 wynika, że jeżeli g nie jest stale równa zero, to odpowiednia suma rzędów wynosi 0. W naszej sytuacji wszystkie te rzędy są nieujemne, jako że g jest analityczna. Ponadto rząd bieguna g w i∞ jest dodatni. Zatem suma wszystkich rzędów musi być dodatnia. Wynika stąd, że g jest identycznościowo równa zero. Oznacza to, że f (τ ) − b_njⁿ− b_n−1jⁿ⁻¹− · · · − b₀ = g(τ ) = 0, czyli f ∈ Z[j].

3.3. Wielomian modularny

Definicja 3.17. Wielomianem modularnym rzędu n dla τ ∈ H nazywamy wielomian postaci F_n^τ(X) = Y

α∈Sn

(X − (j ◦ α)(τ ))

Obserwacja 3.18. Wielomian modularny jest dobrze zdefiniowany, bo zbiór Sn jest skoń-czony. Dla α =a b

0 d



∈ S_n, funkcja (j ◦ α)(τ ) = j ^{aτ +b}_d
jest analityczna na H. Zauważmy, że F_n^τ(X) = P

ms_m(τ )X^m, gdzie współczynniki sm(τ ) są funkcjami analitycznymi na H, nie-zmienniczymi ze względu na działanie Γ.

Propozycja 3.19. sm(τ ) = s_m(γτ ), dla każdego γ ∈ Γ.

Dowód. Dzięki temu, że s_m są funkcjami niezmienniczymi, teza jest równoważna wykazaniu równości zbiorów

{j ◦ (αγ) : α ∈ Sn} = {j ◦ α : α ∈ Sn}

Niech α ∈ Sn, γ ∈ Γ. Wtedy αγ ∈ D_n. Z propozycji 3.6 wynika, że istnieje γ⁰ ∈ Γ taka, że γ⁰αγ ∈ S_n. Dzięki bijekcji pomiędzy S_n, a D_n/Γ wiemy, że γ⁰ jest jednoznacznie wyznaczona przez α, γ. Oznacza to, że jeżeli istnieje γ⁰⁰ ∈ Γ taka, że γ⁰⁰αγ ∈ S_n, to γ⁰⁰ = γ⁰. Jeżeli natomiast istnieją β ∈ Sn, δ⁰ ∈ Γ takie, że δ⁰βγ = γ⁰αγ, czyli α = (γ⁰)⁻¹δ⁰β, to propozycja 3.6 mówi nam, że α = β, a więc również γ⁰ = δ⁰.

Z powyższych rozważań wynika, że odwzorowanie S_n3 α 7−→ γ⁰αγ ∈ S_n jest iniekcją, a zatem jest również bijekcją, bo S_n jest skończony. Zauważmy teraz, że dla każdego α ∈ S_n zachodzi równość j ◦ (γ⁰αγ) = j ◦ (αγ) wynikająca z tego, że γ⁰ ∈ Γ. Wobec tego

{j ◦ (αγ) : α ∈ S_n} = {j ◦ (γ⁰αγ) : α ∈ S_n} = {j ◦ α : α ∈ S_n}

14:3168804676 14

Lemat 3.20. Niech a, d > 0 będą liczbami całkowitymi. Oznaczmy q = e^2πiτ oraz ζ = e^2πi/d.

jest wielomianem zmiennej X, którego współczynniki pk(e^{2πiaτ /d}) są wartościami szeregów Lau-renta w punkcie e^{2πiaτ /d} o współczynnikach całkowitych.

Dowód. Niech 0 ≤ b < d. Rozważmy następujące dwie macierze A ∈ M_d×d(C), vb ∈ M_d×1(C),

Wówczas liczby postaci P (ζ^be^{2πiaτ /d}), dla 0 ≤ b < d stanowią pełny zbiór wartości własnych macierzy P (e^{2πiaτ /d}A) ∈ M_d×d(C). Zatem jej wielomian charakterystyczny jest równy

d−1

Y

b=0

X − P (ζ^be^{2πiaτ /d})

Zauważmy teraz, że wyrazy macierzy P (e^{2πiaτ /d}A) są wartościami szeregów Laurenta w punkcie e^{2πiaτ /d} o współczynnikach całkowitych. Wynika stąd, że współczynniki wielomianu charaktery-stycznego są wartościami szeregów Laurenta w punkcie e^{2πiaτ /d}o współczynnikach całkowitych, a właśnie to chcieliśmy udowodnić.

Propozycja 3.21. Dla każdego m istnieje liczba całkowita k taka, że sm(τ ) ∈ q^−kZ[[q]].

Równoważnie s_m(τ ) posiada rozwinięcie w szereg Laurenta o współczynnikach całkowitych ze skończoną częścią osobliwą.

Dowód. Wiemy, że j-niezmiennik ma rozwinięcie w szereg Laurenta następującej postaci j(τ ) = 1 że na wartości szeregów Laurenta p_k(e^{2πiaτ /d}) pojawiające się w lemacie 3.20, możemy patrzeć jak na wartości szeregów Laurenta w punkcie e^{2πiτ /n} o współczynnikach całkowitych. Z lematu 3.20 wynika, że współczynniki s_m(τ ) wielomianu F_n^τ(X) są wartościami szeregów Laurenta w punkcie e^{2πiτ /n} o współczynnikach całkowitych. Macierz 1 1

0 1



∈ Γ działa na H poprzez odwzorowanie τ 7→ τ + 1. Z propozycji 3.19 dostajemy, że s_m(τ ) jest niezmiennicza ze względu na działanie τ 7→ τ + 1. Zauważając, że (e^{2πiτ /n})^k jest niezmiennicza ze względu na działanie τ 7→ τ +1 tylko, gdy n|k, wnioskujemy, że szereg Laurenta dla s_m(τ ) musi być wartością szeregu Laurenta w punkcie (e^{2πiτ /n})ⁿ= e^2πiτ o współczynnikach całkowitych.

15:1425753873 15

Twierdzenie 3.22. Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas:

• istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych Φ_n(X, Y ) ∈ Z[X, Y ]

taki, że współczynnik przy największej potędze X wynosi 1 oraz F_n^τ(X) = Φ_n(X, j(τ ))

• jeżeli n nie jest pełnym kwadratem, to

Hn(X) := Φn(X, X) ∈ Z[x]

jest niestałym wielomianem o współczynniku przy największej potędze X równym ±1 Dowód. Z propozycji 3.21 otrzymujemy informację, że dla każdego m istnieje liczba całkowita k taka, że sm(τ ) ∈ q^−kZ[[q]]. Wówczas propozycja 3.16 kończy dowód pierwszej części twier-dzenia.

Dla dowodu drugiej części zauważmy, że

H_n(j) = Φ_n(j, j) = F_n^τ(j) = Y

α∈Sn

(j − (j ◦ α))

jest wielomianem zmiennej j o współczynnikach całkowitych. Popatrzmy na współczynnik przy największej potędze j. Niech α =a b

0 d



∈ S_n. Rozważając rozwinięcie czynnika j − (j ◦ α) w szereg Laurenta względem e^{2πiτ /n} o współczynnikach całkowitych zauważmy, że pierwszym wyrazem w rozwinięciu dla j jest e^−2πiτ = (e^{−2πiτ /n})ⁿ, natomiast pierwszym wyrazem dla j ◦ α jest ζ^−be^{−2πiaτ /d}= ζ^−b(e^{−2πiτ /n})^a2, gdzie ζ = e^2πi/d. Z założeń n 6= a². Wynika stąd, że te wyrazy reprezentują różne potęgi e^{2πiτ /n} i dlatego się nie redukują. Zatem jeden z nich musi być pierwszym wyrazem w rozwinięciu j − (j ◦ α). Dlatego pierwszy wyraz w rozwinięciu j − (j ◦ α) ma współczynnik 1 lub ζ^−b. W szczególności, dla każdego czynnika j−(j◦α), współczynnik przy pierwszym wyrazie w rozwinięciu jest pierwiastkiem z jedynki. Współczynnik przy pierwszym wyrazie w rozwinięciu H_n(j) jest iloczynem tych pierwiastków z jedynki, zatem sam też jest pierwiastkiem z jedynki. Ponieważ wyrazy nie redukują się nawzajem, pierwszy wyraz każdego czynnika zawiera ujemną potęgę e^{2πiτ /n}. Wobec tego pierwszy wyraz w rozwinięciu Hn(j) jest ujemną potęgą q, skąd dostajemy informację, że H_n(X) jest niestały.

Przypuśćmy, że Hn(X) = uX^k+ wyrazy mniejszego stopnia. Wiemy już, że u ∈ Z. Jako, że szereg Laurenta dla j zaczyna się od q⁻¹, to H_n(j) = uq^−k+ wyrazy większego stopnia. Zatem u jest pierwiastkiem z jedynki, który jest liczbą całkowitą. Wobec tego u = ±1.

16:6607190054 16