Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki
Rafał Byczek
j-niezmiennik krzywej eliptycznej z mnożeniem zespolonym
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
specjalność: MATEMATYKA TEORETYCZNA
Praca wykonana pod kierunkiem prof. dr. hab. Sławomira Cynka
Czerwiec 2019
1:8832303001
Streszczenie
Jednym z najważniejszych obiektów wykorzystywanym w badaniu krzywych eliptycznych jest j-niezmiennik. j-niezmiennik determinuje zachowanie krzywej nad ciałem K z dokładnością do K-izomorfizmu. Dla danej krzywej E w postaci Weierstrassa y2 = x3+ ax + b, j-niezmiennik j(E) jest liczbą wymierną zależną od jej współczynników. W modelu zespolonym krzywej eliptycznej E ' C/Λ, gdzie Λ ⊂ C jest kratą, j-niezmiennik jest funkcją przestępną generato- rów kraty. Mówimy, że krzywa eliptyczna E ma mnożenie zespolone, gdy Z jest podzbiorem właściwym pierścienia End(E) endomorfizmów krzywej E.
Celem pracy jest przedstawienie pewnych zaskakujących własności j-niezmiennika. W pierwszych rozdziałach wprowadzam podstawowe pojęcia i wyniki z zakresu algebraicznej teorii liczb oraz teorii funkcji eliptycznych. W drugiej części przedstawiam dość szczegółowo teorię krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym. W ostatniej części pracy, mając na uwadze przestępną naturę j-niezmiennika, dowodzę fundamentalny fakt, że dla danej krzywej eliptycz- nej E z mnożeniem zespolonym, j-niezmiennik j(E) jest liczbą algebraiczną całkowitą.
2:4566270971 2
Spis treści
1. Preliminaria 4
1.1. Liczby algebraiczne całkowite . . . 4
1.2. Pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego . . . 4
1.3. Grupa klas ideałów . . . 4
1.4. Urojone ciała kwadratowe i ordynki . . . 4
2. Krzywe eliptyczne nad C 5 2.1. Krzywe eliptyczne . . . 5
2.2. Kraty i funkcje eliptyczne . . . 8
2.3. j-niezmiennik kraty Λ . . . 9
2.4. Iloraz C/Λ . . . 9
2.5. Krzywe eliptyczne z mnożeniem zespolonym . . . 10
3. Funkcje modularne i j-niezmiennik 12 3.1. Grupa modularna i funkcje modularne . . . 12
3.2. j-niezmiennik . . . 13
3.3. Wielomian modularny . . . 14
4. Główne twierdzenie 17 4.1. Dowód . . . 17
4.2. Stała Ramanujana . . . 18
Bibliografia 19
3:2205629453 3
1. Preliminaria
1.1. Liczby algebraiczne całkowite
Liczby algebraiczne to liczby zespolone, będące pierwiastkami pewnego niezerowego wie- lomianu o współczynnikach wymiernych. Dla każdej liczby algebraicznej α istnieje jedyny unor- mowany wielomian nierozkładalny nad Q, którego pierwiastkiem jest α, stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby α. Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało, które oznaczamy Q.
Każde ciało K będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych Q nazywamy ciałem liczbowym. Innymi słowy, jest to ciało zawierające Q jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad Q jest skończony.
Liczby algebraiczne całkowite to liczby zespolone, będące pierwiastkami pewnego nieze- rowego wielomianu unormowanego o współczynnikach całkowitych. Zbiór liczb algebraicznych całkowitych tworzy pierścień, który oznaczamy Z [4, Theorem 2.1].
1.2. Pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego
Pierścieniem liczb całkowitych OKciała liczbowego K nazywamy zbiór wszystkich liczb algebraicznych całkowitych zawartych w K. Jest on Z-modułem wolnym, to znaczy posiada bazę całkowitą [4, Theorem 2.30]. Oznacza to, że istnieje ciąg b1, · · · , bn ∈ OK taki, że każdy element α należący do OK może być jednoznacznie przedstawiony jako α = Pn
i=1aibi, gdzie ai ∈ Z. Ranga n pierścienia OK jako wolnego Z-modułu jest równa stopniowi rozszerzenia K nad Q.
Pierścień liczb całkowitych OK ciała liczbowego K jest pierścieniem Dedekinda [4, The- orem 3.29]. Oznacza to, że nie jest ciałem, ale jest pierścieniem całkowitym, noetherowskim i całkowicie domkniętym, w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym.
1.3. Grupa klas ideałów
Ideałem ułamkowym pierścienia całkowitego nazywamy niezerowy R-podmoduł I ciała ułamków K pierścienia R taki, że aI ⊆ R dla pewnego niezerowego a ∈ R. Ideał ułamkowy postaci tR, gdzie t ∈ K nazywamy ideałem ułamkowym głównym. Zbiór Id(R) ideałów ułamkowych pierścienia Dedekinda R tworzy grupę abelową wolną o bazie złożonej z niezero- wych ideałów pierwszych [4, Theorem 3.20].
Grupa klas ideałów pierścienia liczb całkowitych OK ciała liczbowego K to grupa ilora- zowa Cl(OK) = Id(OK)/P (OK) grupy ideałów ułamkowych Id(OK) przez podgrupę ideałów głównych P (OK). Grupa klas ideałów Cl(OK) jest skończona [4, Theorem 4.3]. Liczbą klas ideałów pierścienia liczb całkowitych OK ciała liczbowego K nazywamy rząd jego grupy klas ideałów.
1.4. Urojone ciała kwadratowe i ordynki
Definicja 1.1. Niech d > 0 będzie bezkwadratową liczbą całkowitą. Ciało Q(
√−d) nazywamy urojonym ciałem kwadratowym.
Definicja 1.2. Ordynkiem w urojonym ciele kwadratowym K nazywamy pierścień R taki, że Z R ⊆ OK
Uwaga 1. Z twierdzenia o postaci grup abelowych skończenie generowanych, a dokładniej z twierdzenia o postaci podgrup grupy abelowej wolnej rangi skończonej, wynika, że ordynek jest podgrupą abelową wolną rangi 2. Dzięki temu ma skończony indeks w R.
4:4561500988 4
Definicja 1.3. Niech R będzie ordynkiem w urojonym ciele kwadratowym K. Mówimy, że dwa ideały I1, I2 ⊆ R są równoważne, jeżeli istnieje γ ∈ K, γ 6= 0 taka, że γI1 = I2.
Definicja 1.4. Niech R będzie ordynkiem w urojonym ciele kwadratowym K. Przewodnikiem ordynka R nazywamy liczbę całkowitą fR > 0 równą indeksowi R w OK.
Propozycja 1.5. Niech K = Q(
√−d) będzie urojonym ciałem kwadratowym. Wtedy:
• jeżeli d ≡ 1, 2 mod 4, to OK = Z[√
−d]
• jeżeli d ≡ 3 mod 4, to OK = Zh
1+√
−d 2
i
Propozycja 1.6. Niech R będzie ordynkiem w urojonym ciele kwadratowym Q(
√−d). Wtedy:
• jeżeli d ≡ 1, 2 mod 4, to R = Z[fR
√−d]
• jeżeli d ≡ 3 mod 4, to R = Zh fR1+
√−d 2
i
2. Krzywe eliptyczne nad C
2.1. Krzywe eliptyczne
Standardowe oznaczenia:
K∗ grupa multiplikatywna ciała K K domknięcie algebraiczne ciała K char(K) charakterystyka ciała K
E(K) grupa punktów K-wymiernych krzywej eliptycznej E
Definicja 2.1. Dla niezerowego wektora v = (x, y, z) ∈ K3 \ {0} definiujemy jego rzutową klasę równoważności jako
[v] = [x : y : z] =n
λ(x, y, z) : λ ∈ K∗o
Definicja 2.2. Płaszczyzną rzutową nad ciałem K nazywamy zbiór wszystkich jego rzutowych klas równoważności
P2(K) :=
n
[x : y : z] : (x, y, z) ∈ K3\{0}o
Uwaga 2. Możemy płaszczyznę rzutową nad ciałem K interpretować również następująco:
P2(K) =n
[x : y : 1] : (x, y) ∈ K2o
∪n
[x : 1 : z] : (x, z) ∈ K2o
∪n
[1 : y : z] : (y, z) ∈ K2o P2(K) =n
[x : y : 1] : (x, y) ∈ K2o
∪n
[x : 1 : 0] : x ∈ Ko
∪n
[1 : 0 : 0]o
Definicja 2.3. Punkt [x : y : z] ∈ P2(K) nazywamy punktem K-wymiernym jeżeli istnieje λ ∈ K\{0} taka, że λx, λy, λz ∈ K.
Definicja 2.4. Krzywą eliptyczną nad ciałem K nazywamy nieosobliwą krzywą trzeciego stopnia E ⊂ P2(K), wraz z wyróżnionym punktem O ∈ E.
Propozycja 2.5. Jeżeli (E, O) jest krzywą eliptyczną nad ciałem K, to istnieje taki układ współrzędnych w P2(K), przy którym punkt O ma współrzędne [0 : 1 : 0], natomiast krzywa E ma równanie
Y2Z + a1XY Z + a3Y Z2 = X3+ a2X2Z + a4XZ2+ a6Z3 (1) dla pewnych a1, a2, a3, a4, a6 ∈ K. W tej sytuacji warunek nieosobliwości oznacza, że pochodne cząstkowe ∂X∂F, ∂F∂Y, ∂F∂Z krzywej E zapisanej w postaci równania F (X, Y, Z) = 0 nie znikają jednocześnie w żadnym punkcie krzywej.
5:5441574662 5
Definicja 2.6. Postacią afiniczną równania Weierstrassa krzywej eliptycznej nazywamy rów- nanie
Y2+ a1XY + a3Y = X3+ a2X2+ a4X + a6 (2) Definicja 2.7. Dla krzywej eliptycznej zdefiniowanej równaniem (2) wprowadzamy następu- jące oznaczenia:
b2 = a21+ 4a2 b4 = a1a3+ 2a4 b6 = a23+ 4a6
b8 = a21a6+ 4a2a6− a1a3a4+ a2a23− a24 c4 = b22− 24b4
c6 = −b32+ 36b2b4− 216b6
Definicja 2.8. Wyróżnikiem krzywej eliptycznej E nazywamy liczbę
∆(E) := −b22b8− 8b34− 27b26+ 9b2b4b6 Obserwacja 2.9. Jeżeli char(K) 6∈ {2, 3}, to ∆(E) = (c34− c26)/1728.
Definicja 2.10. Definiujemy j-niezmiennik nieosobliwej krzywej eliptycznej E jako j(E) := c34
∆(E)
Definicja 2.11. Niech E, E0 będą krzywymi eliptycznymi zadanymi równaniem Weierstrassa ze zmiennymi (X, Y ) i (X0, Y0) odpowiednio. Dopuszczalną zamianą zmiennych nazywamy prze- kształcenie zadane równościami
X = u2X0+ r
Y = u3Y0+ su2X0 + t gdzie r, s, t ∈ K, zaś u ∈ K∗.
Definicja 2.12. Mówimy, że krzywe eliptyczne E(X, Y ), E0(X0, Y0) są izomorficzne nad K wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dopuszczalna zamiana zmiennych przeprowadzająca E na E0. Twierdzenie 2.13 ([7, Proposition 1.4]). Niech E, E0 będą krzywymi eliptycznymi. Wówczas j(E) = j(E0), wtedy i tylko wtedy, gdy E i E0 są izomorficzne nad domknięciem algebraicznym ciała K.
Propozycja 2.14. Jeżeli char(K) 6∈ {2, 3}, to dokonując dopuszczalnej zamiany zmiennych postaci
X = X0− a21+4a12 2 Y = Y0− a21
X0−a21+4a12 2
− a23 przekształcamy krzywą
E : Y2+ a1XY + a3Y = X3+ a2X2+ a4X + a6 na krzywą z nią izomorficzną
Ea,b : Y2 = X3 + aX + b
gdzie a, b ∈ K. Postać tę nazywamy postacią normalną równania Weierstrassa.
6:4021814858 6
Propozycja 2.15. Jeżeli char(K) 6∈ {2, 3}, to krzywa E postaci Y2 = X3 + aX + b jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy 4a3+ 27b2 6= 0. W tej sytuacji j(E) = 17284a34a+27b3 2. Propozycja 2.16. j-niezmiennik krzywej eliptycznej y2 = x(x − 1)(x − λ) w postaci Legen- dre’a, gdzie λ 6= 0, 1 wynosi j(E) = 256(λλ22−λ+1)(λ−1)23.
Zbiór punktów K-wymiernych krzywej eliptycznej możemy wyposażyć w strukturę grupy abelowej. Rozważmy krzywą E : Y2+ a1XY + a3Y = X3+ a2X2+ a4X + a6.
Niech P , Q będą dwoma różnymi punktami K-wymiernymi na krzywej E. Ponieważ E ma stopień 3, to prosta łącząca P i Q musi przeciąć krzywą E w jeszcze jednym punkcie K- wymiernym. Oznaczmy ten punkt przez R. Następnie prowadzimy prostą przechodzącą przez R i punkt O. Prosta ta przecina krzywą w jeszcze jednym punkcie K-wymiernym. Oznaczamy ten punkt jako P +Q. W przypadku zdegenerowanym P = Q, zamiast prostej P Q, prowadzimy styczną do krzywej E w punkcie P . Dalej postępowanie przebiega tak samo. Otrzymany punkt oznaczamy jako P + P , albo [2](P ).
Powyższy proces wprowadza w E(K) strukturę grupy abelowej, działanie grupy zapisujemy addytywnie, zaś zerem grupy jest punkt O [7, Proposition 2.2].
Obserwacja 2.17. Niech P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) będą punktami na krzywej E. Wówczas (−P1) = (x1, −y1− a1x1− a3)
Jeżeli x1 6= x2, to oznaczamy
λ = y2− y1
x2− x1, µ = y1x2− y2x1 x2− x1 Jeżeli x1 = x2, ale P2 6= −P1, to
λ = 3x21+ 2a2x1+ a4− a1y1
2y1+ a1x1+ a3 , µ = −x31+ a4x1+ 2a6− a3y1 2y1+ a1x1+ a3 Jeżeli P3 = (x3, y3) = P1+ P2 6= O, to zachodzą następujące równości
x3 = λ2+ a1λ − a2− x1− x2 y3 = −(λ + a1)x3− µ − a3
Definicja 2.18. Niech E będzie krzywą eliptyczną. Definiujemy odwzorowanie [m] : E → E nazywane m-tą wielokrotnością punktu następująco:
[m](P ) =
m
z }| {
P + · · · + P , m > 0
O, m = 0
−([−m](P )), m < 0
Definicja 2.19. Niech E, E0 będą krzywymi eliptycznymi nad C. Niestały homomorfizm postaci
φ : E(C) 3 (x, y) 7−→ W1(x, y)
W2(x, y),W3(x, y) W4(x, y)
∈ E0(C) gdzie W1, W2, W3, W4 ∈ C[x, y] nazywamy izogenią.
Propozycja 2.20 ([10, Section 2.9]). Niech φ : E −→ E będzie izogenią. Wtedy istnieją wielomiany W1, W2, W3, W4 ∈ C[x] takie, że
φ(x, y) = W1(x)
W2(x), yW3(x) W4(x)
7:4450043518 7
2.2. Kraty i funkcje eliptyczne
Definicja 2.21. Kratą Λ = [ω1, ω2] nazywamy addytywną podgrupę C generowaną przez dwa elementy ω1, ω2, liniowo niezależne nad R.
Definicja 2.22. Niech Λ = [ω1, ω2] będzie kratą. Zbiór DΛ := {a1ω1+a2ω2 : 0 ≤ ai < 1, i = 1, 2}
nazywamy równoległobokiem podstawowym kraty Λ.
Definicja 2.23. Funkcją eliptyczną dla kraty Λ = [ω1, ω2] nazywamy taką funkcję meromor- ficzną na C, że f (z + ω) = f (z), dla każdego ω ∈ Λ, z ∈ C.
Obserwacja 2.24. Jeżeli Λ = [ω1, ω2], to warunek występujący w definicji funkcji eliptycznej dla kraty Λ jest równoważny warunkowi f (z + ω1) = f (z + ω2) = f (z), dla każdego z ∈ C.
Wniosek 1. Funkcja eliptyczna jest dwuokresową funkcją meromorficzną. Jej wartości na całej płaszczyźnie zespolonej zależą wyłącznie od wartości przyjmowanych na DΛ.
Definicja 2.25. Funkcją ℘-Weierstrassa dla kraty Λ nazywamy funkcję
℘(z; Λ) := 1
z2 + X
ω∈Λ\{0}
1
(z − ω)2 − 1 ω2
, z ∈ C \ Λ
Uwaga 3. Pracując z ustaloną kratą Λ będziemy pisać ℘(z) mając na myśli ℘(z; Λ).
Definicja 2.26. Szeregiem Eisensteina wagi k względem kraty Λ nazywamy szereg Gk(Λ) := X
ω∈Λ\{0}
1 ωk
Twierdzenie 2.27 ([1, Theorem 10.1]). Niech ℘(z) będzie funkcją ℘-Weierstrassa dla kraty Λ. Wtedy:
• ℘(z) jest funkcją eliptyczną dla Λ, której jedynymi osobliwościami są bieguny rzędu dwa w punktach kraty Λ.
• dla kzk < min{kωk : ω ∈ Λ, ω 6= 0} funkcja ℘(z) posiada następujące rozwinięcie w szereg Laurenta
℘(z) = 1 z2 +
∞
X
n=1
(2n + 1)G2n+2(Λ)z2n
• ℘(z) spełnia następujące równanie różniczkowe:
℘0(z)2 = 4℘(z)3− g2(Λ)℘(z) − g3(Λ)
gdzie stałe g2(Λ), g3(Λ) są zdefiniowane jako g2(Λ) := 60G4(Λ), g3(Λ) := 140G6(Λ).
• każda funkcja eliptyczna dla kraty Λ jest funkcją wymierną funkcji ℘ i ℘0
• dla z, w 6∈ Λ takich, że z + w 6∈ Λ zachodzi następująca równość
℘(z + w) = −℘(z) − ℘(w) + 1 4
℘0(z) − ℘0(w)
℘(z) − ℘(w)
2
8:2153761887 8
2.3. j-niezmiennik kraty Λ
Definicja 2.28. Mówimy, że dwie kraty Λ1, Λ2 są podobne jeżeli istnieje niezerowa liczba zespolona λ taka, że Λ1 = λΛ2.
Uwaga 4. Podobieństwo krat jest relacją równoważności.
Obserwacja 2.29. Jeżeli f (z) jest funkcją eliptyczną dla kraty Λ, to f (λ−1z) jest funkcją eliptyczną dla kraty λΛ. Ponadto zachodzi równość ℘(λz; λΛ) = λ−2℘(z; Λ).
Definicja 2.30. Dla kraty Λ definiujemy ∆(Λ) := g2(Λ)3− 27g3(Λ)2.
Obserwacja 2.31 ([1, Proposition 10.7]). Niech Λ będzie kratą. Jeżeli e1, e2, e3 są pierwiast- kami wielomianu 4x3 − g2(Λ)x − g3(Λ), to ∆(Λ) = 16(e1 − e2)2(e1 − e3)2(e2 − e3)2. Ponadto
∆(Λ) 6= 0.
Definicja 2.32. Definiujemy j-niezmiennik j(Λ) kraty Λ jako j(Λ) := 1728 g2(Λ)3
g2(Λ)3− 27g3(Λ)2 = 1728g2(Λ)3
∆(Λ) Twierdzenie 2.33 ([1, Theorem 10.9]). Niech Λ1, Λ2 będą kratami w C.
j(Λ1) = j(Λ2) wtedy i tylko wtedy, gdy Λ1 i Λ2 są podobne
2.4. Iloraz C/Λ
Obserwacja 2.34. Niech Λ będzie kratą. Z twierdzenia 2.27 wynika, że dla każdego z ∈ C zachodzi równość
℘0(z)2 = 4℘(z)3− g2(Λ)℘(z) − g3(Λ) Wobec tego punkty (℘(z), ℘0(z), 1) leżą na krzywej o równaniu
y2 = 4x3− g2(Λ)x − g3(Λ)
Twierdzenie 2.35 ([10, Theorem 9.10]). Niech Λ będzie kratą w C, zaś E będzie krzywą eliptyczną nad C daną równaniem y2 = 4x3 − g2(Λ)x − g3(Λ). Wtedy odwzorowanie
Φ : C/Λ 3 z 7−→ (℘(z), ℘0(z), 1) ∈ E(C) posyłające dodatkowo 0 w punkt O jest izomorfizmem grup.
Twierdzenie 2.36 ([1, Proposition 14.3]). Niech E będzie krzywą eliptyczną nad C daną równaniem Weierstrassa y2 = 4x3 − g2x − g3, gdzie g2, g3 ∈ C, g32 − 27g23 6= 0. Wtedy istnieje jedyna krata Λ w C taka, że g2 = g2(Λ) oraz g3 = g3(Λ).
Wniosek 2. Jeżeli E jest krzywą eliptyczną wyznaczoną przez kratę Λ ⊂ C, to j(Λ) = j(E).
Twierdzenie 2.37 ([1, Proposition 14.4]). Niech Λ, Λ0 będą kratami, zaś E, E0 odpowiada- jącymi im krzywymi eliptycznymi nad C. Wtedy następujące warunki są równoważne:
• E, E0 są izomorficzne nad C
• Λ, Λ0 są podobne
• j(E) = j(E0) 9:2611742473 9
2.5. Krzywe eliptyczne z mnożeniem zespolonym
Definicja 2.38. Izogenię φ : E −→ E nazywamy endomorfizmem krzywej eliptycznej E.
Uwaga 5. Zbiór endomorfizmów krzywej eliptycznej E oznaczamy przez End(E).
Twierdzenie 2.39. Niech Λ będzie kratą w C, natomiast E odpowiadającą jej krzywą elip- tyczną nad C. Wówczas
End(E) ∼= {β ∈ C : βΛ ⊆ Λ}
Dowód. Najpierw dowodzimy, że wszystkie endomorfizmy są dane przez pewne β ∈ C. Niech ψ będzie endomorfizmem krzywej eliptycznej E. Z propozycji 2.20 wynika, że ψ jest homomor- fizmem postaci ψ : E(C) 3 (x, y) 7−→ (R(x), yS(x)) ∈ E(C) dla pewnych funkcji wymiernych R, S. Z twierdzenia 2.35 dostajemy odwzorowanie Φ : C/Λ 3 z 7−→ (℘(z), ℘0(z)) ∈ E(C) będące izomorfizmem grup. Wobec tego odwzorowanie η : C/Λ 3 z 7−→ Φ−1(ψ(Φ(z))) ∈ C/Λ jest homomorfizmem. Jeżeli zawęzimy się do odpowiednio małego otoczenia U punktu z = 0, otrzymamy odwzorowanie analityczne prowadzące z U w C takie, że η(z1+ z2) ≡ η(z1) + η(z2) mod Λ, dla wszystkich z1, z2 ∈ U . Odejmując odpowiedni element Λ możemy założyć, że η(0) = 0. Z ciągłości η wynika, że η(z) jest bliskie 0, gdy z jest bliskie 0. Gdy obydwie strony są bliskie 0 mogą się różnić jedynie o element 0 ∈ Λ. Możemy zatem założyć, że dla odpowied- nio małego U zachodzi η(z1 + z2) = η(z1) + η(z2), dla wszystkich z1, z2 ∈ U . Wobec tego, dla z ∈ U , mamy
η0(z) = lim
h→0
η(z + h) − η(z)
h = lim
h→0
η(z) + η(h) − η(z)
h = lim
h→0
η(h) − η(0)
h = η0(0)
Niech β := η0(0). Wobec tego, że η0(z) = β dla każdego z ∈ U , otrzymujemy η(z) = βz, dla każdego z ∈ U . Niech teraz z będzie dowolną liczbą zespoloną. Wtedy istnieje liczba całkowita n taka, że z/n ∈ U . Wobec tego η(z) ≡ nη(z/n) = n(βz/n) = βz mod Λ, czyli endomorfizm η jest mnożeniem przez β. W szczególności βΛ ⊆ Λ.
Teraz dowiedziemy drugą część, tzn. że każde takie β zadaje pewien endomorfizm.
W tym celu załóżmy, że dla pewnego β ∈ C mamy zawieranie βΛ ⊆ Λ. Wtedy mnożenie przez β zadaje homomorfizm β : C/Λ −→ C/Λ. Musimy uzasadnić, że odpowiadające mu odwzorowanie na E jest dane przez funkcje wymierne. Funkcje ℘(βz) i ℘0(βz) są dwuokresowe względem kraty Λ, ponieważ βΛ ⊆ Λ. Z parzystości ℘, ℘0 oraz twierdzenia 2.27 wynika, że istnieją funkcje wymierne R, S takie, że ℘(βz) = R(℘(z)) oraz ℘0(βz) = ℘0(z)S(℘(z)). Zatem mnożenie przez β na C/Λ odpowiada odwzorowaniu (x, y) 7−→ (R(x), yS(x)) na E. Oznacza to, że β indukuje endomorfizm na E.
Twierdzenie 2.40. Niech E będzie krzywą eliptyczną nad C. Wówczas pierścień End(E) jest izomorficzny albo z Z, albo z ordynkiem w pewnym urojonym ciele kwadratowym.
Dowód. Niech Λ = [ω1, ω2] będzie kratą w C zadającą krzywą eliptyczną E. Niech R = {β ∈ C : βΛ ⊆ Λ}
Oczywiście Z ⊆ R. Ponadto R jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Wobec tego R jest pierścieniem. Przypuśćmy, że β ∈ R. Wtedy istnieją liczby całkowite w, x, y, z takie, że βω1 = wω1+ xω2, βω2 = yω1 + zω2. Oznacza to, że
β − w −x
−y β − z
ω1 ω2
= 0
10:8992979001 10
Zatem wyznacznik macierzy po lewej stronie jest równy 0, to znaczy β2− (w + z)β + (wz − xy) = 0
Wobec tego β jest liczbą algebraiczną całkowitą oraz należy do pewnego ciała kwadratowego.
Przypuśćmy, że β ∈ R. Wówczas (β − w)ω1− xω2 = 0 daje nam zależność liniową dla ω1, ω2 o współczynnikach w R. Z definicji kraty wynika, że ω1, ω2 są liniowo niezależne nad R. Wobec tego β = w, czyli R ∩ R = Z.
Załóżmy więc, że R 6= Z. Niech β ∈ R \ Z. Wówczas β jest liczbą algebraiczną całkowitą w pewnym ciele kwadratowym K. Skoro β 6∈ R, to K musi być urojonym ciałem kwadratowym.
Zatem istnieje bezkwadratowa liczba całkowita d > 0 taka, że K = Q(√
−d). Niech β0 6∈ Z będzie innym elementem R. Wtedy β0 ∈ K0 = Q(√
−d0) dla pewnego d0. Z faktu, że β + β0 również leży w pewnym ciele kwadratowym wynika, że K = K0. Dlatego też R ⊆ K. Wiemy, że wszystkie elementy R są liczbami algebraicznymi całkowitymi. Wynika stąd, że R ⊆ OK. Wobec tego jeżeli R 6= Z, to R jest ordynkiem w pewnym urojonym ciele kwadratowym.
Definicja 2.41. Niech E będzie krzywą eliptyczną nad C. Mówimy, że E ma mnożenie zespolone, jeżeli pierścień endomorfizmów End(E) jest izomorficzny z ordynkiem w pewnym urojonym ciele kwadratowym.
Twierdzenie 2.42. Niech R będzie ordynkiem w urojonym ciele kwadratowym K.
1. Jeżeli Λ jest kratą w C zadającą krzywą eliptyczną E taką, że End(E) ∼= R, to istnieje niezerowa γ ∈ C taka, że γΛ jest ideałem w R.
2. Jeżeli Λ jest podzbiorem C oraz γ ∈ C jest taką niezerową liczbą, że γΛ jest ideałem w R, to Λ jest kratą w C zadającą krzywą eliptyczną E taką, że R ⊆ End(E).
Dowód. Dla dowodu pierwszej części zauważmy, że przeskalowanie Λ nie zmienia End(E), zatem możemy założyć, że Λ = [τ, 1], gdzie Im(τ ) > 0. Niech β ∈ R \ Z. Jako, że 1 ∈ Λ, to β · 1 = nτ + m · 1, gdzie n, m ∈ Z, n 6= 0. Zatem τ = (β − m)/n ∈ K. Niech γ ∈ Z będzie liczbą całkowitą, taką że γτ ∈ R. Taka liczba istnieje, ponieważ nτ ∈ OK, a R jest skończonego indeksu w OK. Wówczas I := γΛ = γτ Z + γZ jest niepustym podzbiorem R zamkniętym na dodawanie i odejmowanie, zamkniętym również na mnożenie przez elementy R, ponieważ I jest przeskalowaniem Λ. Oznacza to, że I jest ideałem w R.
Dla dowodu drugiej części weźmy x ∈ γΛ, x 6= 0. Wówczas Rx ⊆ γΛ ⊆ R. Skoro R jest grupą abelową rangi 2, to Rx również. Wynika stąd, że istnieją ω1, ω2 ∈ Λ takie, że γΛ = γω1Z+γω2Z.
Jako, że R zawiera dwa elementy liniowo niezależne nad R, to Rx również. Oznacza to, że Λ też ma tę własność. Zatem ω1, ω2 są liniowo niezależne nad R, to znaczy Λ = ω1Z + ω2Z jest kratą.
γΛ jest ideałem w R, więc RγΛ ⊆ γΛ, skąd wynika, że RΛ ⊆ Λ. Oznacza to, że R ⊆ End(E), gdzie E jest krzywą eliptyczną wyznaczoną przez kratę Λ.
Wniosek 3. Niech R będzie ordynkiem w urojonym ciele kwadratowym K. Wówczas ist- nieje bijekcja pomiędzy zbiorem klas równoważności krat Λ takich, że RΛ ⊆ Λ, a zbiorem klas równoważności niezerowych ideałów zawartych w R.
Wniosek 4. Z twierdzenia o skończoności grupy klas ideałów Cl(OK) wynika, że zbiór krzy- wych eliptycznych (z dokładnością do K-izomorfizmu) takich, że End(E) ∼= OK jest skończony.
11:5489628648 11
3. Funkcje modularne i j-niezmiennik
3.1. Grupa modularna i funkcje modularne
Definicja 3.1. Pełną grupą liniową GL(n, R) nazywamy grupę złożoną ze wszystkich odwra- calnych macierzy kwadratowych stopnia n nad pierścieniem R.
Definicja 3.2. Specjalną grupą liniową SL(n, R) nazywamy podgrupę grupy GL(n, R) skła- dającą się ze wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z pierścienia R, których wyznacznik wynosi 1.
Definicja 3.3. Pełną grupą modularną Γ nazywamy grupę SL(2, Z).
Definicja 3.4. Górną półpłaszczyzną Siegela nazywamy zbiór H = {x + iy ∈ C : y > 0}.
Definicja 3.5. Dla liczby całkowitej dodatniej n definiujemy zbiór Dn oraz skończony zbiór Sn jako
Dn=a b c d
: a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = n
Sn =a b 0 d
: a, b, d ∈ Z, ad = n, d > 0, 0 ≤ b < d
Propozycja 3.6. Istnieje bijekcja pomiędzy Sn, a prawymi warstwami Dn/Γ.
Dowód. Wobec tego, że Sn⊂ Dn, istnieje naturalne odwzorowanie φ : Sn→ Dn/Γ, indukowane przez inkluzję i rzutowanie. Sprawdzimy, że φ jest surjekcją i iniekcją, co da nam tezę.
Aby uzasadnić, że φ jest surjekcją, dla każdego α ∈ Dn wskażemy takie γ ∈ Γ, że γα ∈ Sn. Niech α =a b
c d
. Jeżeli c = 0, to szukaną γ jest 1 0 0 1
.
Możemy, więc założyć, że c 6= 0. Istnieją wtedy p, q ∈ Z takie, że (p, q) = 1 oraz −ac = pq. Wynika z tego, że pa + qc = 0. Ponadto istnieją liczby całkowite r, s takie, że ps + qr = 1.
Dla γ =r −s p q
otrzymujemy γα =ra − sc rb − sd pa + qc pb + qd
=ra − sc rb − sd 0 pb + qd
. Dzięki temu bez straty ogólności możemy założyć, że α =a b
0 d
.
Jeżeli d < 0, możemy dodatkowo pomnożyć z lewej strony przez γ0 =−1 0 0 −1
Sprowadziliśmy zatem całe rozumowanie do przypadku, gdy α ∈ Dn ma d > 0, c = 0, ad = n.
Dla liczby całkowitej m, niech γm =1 m 0 1
∈ Γ. Wtedy γmα =a b + dm
0 d
. Istnieje takie m0, że 0 ≤ b + dm0 < d. Zatem γm0α ∈ Sn.
Aby uzasadnić, że φ jest iniekcją, weźmy α, β ∈ Sn takie, że φ(α) = φ(β), to znaczy istnieje γ ∈ Γ taka, że α = γβ.
Oznacza to, że a b 0 d
= α = γβ =w x y z
a0 b0 0 d0
=wa0 wb0+ xd0 ya0 yb0+ zd0
Wobec tego, że ya0 = 0 otrzymujemy y = 0. Analizując wyznaczniki otrzymujemy, że wz = 1, czyli w = z = 1 lub w = z = −1. Ponieważ d = zd0 oraz d, d0 > 0, drugi przypadek nie może zajść. To implikuje, gdy w = z = 1, że d0 = d, a0 = a oraz b0 + xd0 = b.
Równość b ≡ b0 mod d, wraz z informacją, że b i b0 są mniejsze od d doprowadza nas do wniosku, że b = b0. Wobec tego α = β, co kończy dowód tego, że φ jest iniekcją.
12:5759549429 12
Definicja 3.7. Funkcją modularną wagi k nazywamy funkcję postaci f : H −→ C taką, że
• f jest meromorficzna na H
• dla każdego z ∈ H oraz dla każdej a b c d
∈ Γ zachodzi f az+bcz+d = (cz + d)kf (z)
• f jest meromorficzna, gdy z −→ i∞
Obserwacja 3.8. Kładąc w definicji a = b = d = 1, c = 0, można zauważyć, że każda funkcja modularna spełnia równanie f (z + 1) = f (z). Wobec tego można ją rozwinąć w szereg Fouriera. Często rozważa się ten szereg jako szereg Laurenta f (q) względem q = q(z) = e2πiz. Skoro z ∈ H, to q(z) należy do otwartego dysku o środku w punkcie 0, z usuniętym punktem 0. Założenie, że f (z) jest meromorficzna, gdy z −→ i∞, oznacza, że f (q) jest meromorficzna na całym dysku. Wynika stąd, że f ma rozwinięcie w szereg Laurenta f (z) = P∞
n=−manqn o skończonej części osobliwej.
3.2. j-niezmiennik
Obserwacja 3.9. Niech E będzie krzywą eliptyczną nad C wyznaczoną przez kratę Λ = [ω1, ω2].
Wówczas
j(E) = j(Λ) = 1728 g2(Λ)3 g2(Λ)3− 27g3(Λ)2
Niech τ = ω1/ω2. Ponieważ ω1, ω2 są liniowo niezależne nad R, to τ nie może być liczbą rzeczywistą. Ponadto zmieniając w razie czego kolejność wektorów w bazie Λ, możemy bez straty ogólności założyć, że Im(τ ) > 0. Wynika z tego, że τ ∈ H. Krata [τ, 1] jest podobna do kraty [ω1, ω2]. Wobec tego j([τ, 1]) = j([ω1, ω2]) = j(Λ).
Definicja 3.10. j-niezmiennikiem nazywamy funkcję
j : H 3 τ 7−→ j(τ ) := j([τ, 1]) ∈ C
Propozycja 3.11 ([1, Proposition 11.2]). j-niezmiennik jest funkcją holomorficzną na H, posiadającą w nieskończoności biegun rzędu jeden.
Propozycja 3.12 ([10, Proposition 9.13]). Niech τ ∈ H oraz γ ∈ Γ. Wówczas j(γτ ) = j(τ ).
Propozycja 3.13 ([1, Theorem 11.8]). Niech q = q(τ ) := e2πiτ. Wówczas j-niezmiennik posiada rozwinięcie w szereg Laurenta postaci
j(τ ) = 1
q + 744 + 196884q + · · · =
∞
X
k=−1
ckqk
przy czym wszystkie współczynniki ck są liczbami całkowitymi.
Twierdzenie 3.14 ([1, Theorem 11.9]). j-niezmiennik jest funkcją modularną wagi 0.
Propozycja 3.15 ([10, Proposition 9.16]). Niech f będzie funkcją modularną wagi 0, różną od stale równej zero. Wówczas
ordi∞(f ) +1
3ordζ3(f ) +1
2ordi(f ) + X
z6=i,ζ3,i∞
ordz(f ) = 0
gdzie ζ3 = e2πi/3 oraz ordz(f ) oznacza rząd bieguna f w punkcie z.
13:2290588459 13
Propozycja 3.16. Niech f (τ ) będzie funkcją modularną wagi 0 taką, że f ∈ q−nZ[[q]], dla pewnej liczby całkowitej n. Wówczas f (τ ) jest wielomianem względem funkcji j(τ ), ze współczynnikami całkowitymi, tzn. f ∈ Z[j].
Dowód. Z rozwinięcia j-niezmiennika w szereg Fouriera wynika, że
j(τ ) − 1 q =
∞
X
k=0
ckqk∈ Z[[q]]
Jeżeli f (τ ) = bqnn + · · · , gdzie bn ∈ Z, to f(τ ) − bnjn = bqn−1n−1 + · · · , gdzie bn−1 ∈ Z. Dlatego też f (τ ) − bnjn− bn−1jn−1 = bqn−2n−2 + · · · , gdzie bn−2 ∈ Z. Kontynuując dalej w ten sposób otrzymujemy
g(τ ) := f (τ ) − bnjn− bn−1jn−1− · · · − b0 ∈ qZ[[q]]
gdzie bn, · · · , b0 ∈ Z. Funkcja g(τ ) jest analityczna na H i znika, gdy τ −→ i∞. Ponadto g(τ ) jest niezmiennicza ze względu na działanie Γ. Z propozycji 3.15 wynika, że jeżeli g nie jest stale równa zero, to odpowiednia suma rzędów wynosi 0. W naszej sytuacji wszystkie te rzędy są nieujemne, jako że g jest analityczna. Ponadto rząd bieguna g w i∞ jest dodatni. Zatem suma wszystkich rzędów musi być dodatnia. Wynika stąd, że g jest identycznościowo równa zero. Oznacza to, że f (τ ) − bnjn− bn−1jn−1− · · · − b0 = g(τ ) = 0, czyli f ∈ Z[j].
3.3. Wielomian modularny
Definicja 3.17. Wielomianem modularnym rzędu n dla τ ∈ H nazywamy wielomian postaci Fnτ(X) = Y
α∈Sn
(X − (j ◦ α)(τ ))
Obserwacja 3.18. Wielomian modularny jest dobrze zdefiniowany, bo zbiór Sn jest skoń- czony. Dla α =a b
0 d
∈ Sn, funkcja (j ◦ α)(τ ) = j aτ +bd jest analityczna na H. Zauważmy, że Fnτ(X) = P
msm(τ )Xm, gdzie współczynniki sm(τ ) są funkcjami analitycznymi na H, nie- zmienniczymi ze względu na działanie Γ.
Propozycja 3.19. sm(τ ) = sm(γτ ), dla każdego γ ∈ Γ.
Dowód. Dzięki temu, że sm są funkcjami niezmienniczymi, teza jest równoważna wykazaniu równości zbiorów
{j ◦ (αγ) : α ∈ Sn} = {j ◦ α : α ∈ Sn}
Niech α ∈ Sn, γ ∈ Γ. Wtedy αγ ∈ Dn. Z propozycji 3.6 wynika, że istnieje γ0 ∈ Γ taka, że γ0αγ ∈ Sn. Dzięki bijekcji pomiędzy Sn, a Dn/Γ wiemy, że γ0 jest jednoznacznie wyznaczona przez α, γ. Oznacza to, że jeżeli istnieje γ00 ∈ Γ taka, że γ00αγ ∈ Sn, to γ00 = γ0. Jeżeli natomiast istnieją β ∈ Sn, δ0 ∈ Γ takie, że δ0βγ = γ0αγ, czyli α = (γ0)−1δ0β, to propozycja 3.6 mówi nam, że α = β, a więc również γ0 = δ0.
Z powyższych rozważań wynika, że odwzorowanie Sn3 α 7−→ γ0αγ ∈ Sn jest iniekcją, a zatem jest również bijekcją, bo Sn jest skończony. Zauważmy teraz, że dla każdego α ∈ Sn zachodzi równość j ◦ (γ0αγ) = j ◦ (αγ) wynikająca z tego, że γ0 ∈ Γ. Wobec tego
{j ◦ (αγ) : α ∈ Sn} = {j ◦ (γ0αγ) : α ∈ Sn} = {j ◦ α : α ∈ Sn}
14:3168804676 14
Lemat 3.20. Niech a, d > 0 będą liczbami całkowitymi. Oznaczmy q = e2πiτ oraz ζ = e2πi/d. Niech P (q) = j(τ ) =P∞
k=−1ckqk. Wówczas wielomian
d−1
Y
b=0
X − P (ζbe2πiaτ /d) =
d
X
k=0
pk(e2πiaτ /d)Xk
jest wielomianem zmiennej X, którego współczynniki pk(e2πiaτ /d) są wartościami szeregów Lau- renta w punkcie e2πiaτ /d o współczynnikach całkowitych.
Dowód. Niech 0 ≤ b < d. Rozważmy następujące dwie macierze A ∈ Md×d(C), vb ∈ Md×1(C), gdzie
A =
0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... . .. ...
1 0 0 · · · 0
vb =
1 ζb ζ2b
... ζ(d−1)b
Wówczas Avb = ζbvb. Wynika z tego, że P (e2πiaτ /dA)vb = P (ζbe2πiaτ /d)vb.
Wówczas liczby postaci P (ζbe2πiaτ /d), dla 0 ≤ b < d stanowią pełny zbiór wartości własnych macierzy P (e2πiaτ /dA) ∈ Md×d(C). Zatem jej wielomian charakterystyczny jest równy
d−1
Y
b=0
X − P (ζbe2πiaτ /d)
Zauważmy teraz, że wyrazy macierzy P (e2πiaτ /dA) są wartościami szeregów Laurenta w punkcie e2πiaτ /d o współczynnikach całkowitych. Wynika stąd, że współczynniki wielomianu charaktery- stycznego są wartościami szeregów Laurenta w punkcie e2πiaτ /do współczynnikach całkowitych, a właśnie to chcieliśmy udowodnić.
Propozycja 3.21. Dla każdego m istnieje liczba całkowita k taka, że sm(τ ) ∈ q−kZ[[q]].
Równoważnie sm(τ ) posiada rozwinięcie w szereg Laurenta o współczynnikach całkowitych ze skończoną częścią osobliwą.
Dowód. Wiemy, że j-niezmiennik ma rozwinięcie w szereg Laurenta następującej postaci j(τ ) = 1
q + 744 + 196884q + · · · =
∞
X
k=−1
ckqk = P (q)
gdzie q = e2πiτ, natomiast współczynniki ck ∈ Z. Wynika stąd, że j aτ + b
d
=
∞
X
k=−1
ck(ζbe2πiaτ /d)k = P (ζbe2πiaτ /d)
gdzie ζ = e2πi/d. Ustalmy a, d > 0 takie, że ad = n. Wtedy e2πiaτ /d = e2πia2τ /n. Wynika z tego, że na wartości szeregów Laurenta pk(e2πiaτ /d) pojawiające się w lemacie 3.20, możemy patrzeć jak na wartości szeregów Laurenta w punkcie e2πiτ /n o współczynnikach całkowitych. Z lematu 3.20 wynika, że współczynniki sm(τ ) wielomianu Fnτ(X) są wartościami szeregów Laurenta w punkcie e2πiτ /n o współczynnikach całkowitych. Macierz 1 1
0 1
∈ Γ działa na H poprzez odwzorowanie τ 7→ τ + 1. Z propozycji 3.19 dostajemy, że sm(τ ) jest niezmiennicza ze względu na działanie τ 7→ τ + 1. Zauważając, że (e2πiτ /n)k jest niezmiennicza ze względu na działanie τ 7→ τ +1 tylko, gdy n|k, wnioskujemy, że szereg Laurenta dla sm(τ ) musi być wartością szeregu Laurenta w punkcie (e2πiτ /n)n= e2πiτ o współczynnikach całkowitych.
15:1425753873 15
Twierdzenie 3.22. Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas:
• istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych Φn(X, Y ) ∈ Z[X, Y ]
taki, że współczynnik przy największej potędze X wynosi 1 oraz Fnτ(X) = Φn(X, j(τ ))
• jeżeli n nie jest pełnym kwadratem, to
Hn(X) := Φn(X, X) ∈ Z[x]
jest niestałym wielomianem o współczynniku przy największej potędze X równym ±1 Dowód. Z propozycji 3.21 otrzymujemy informację, że dla każdego m istnieje liczba całkowita k taka, że sm(τ ) ∈ q−kZ[[q]]. Wówczas propozycja 3.16 kończy dowód pierwszej części twier- dzenia.
Dla dowodu drugiej części zauważmy, że
Hn(j) = Φn(j, j) = Fnτ(j) = Y
α∈Sn
(j − (j ◦ α))
jest wielomianem zmiennej j o współczynnikach całkowitych. Popatrzmy na współczynnik przy największej potędze j. Niech α =a b
0 d
∈ Sn. Rozważając rozwinięcie czynnika j − (j ◦ α) w szereg Laurenta względem e2πiτ /n o współczynnikach całkowitych zauważmy, że pierwszym wyrazem w rozwinięciu dla j jest e−2πiτ = (e−2πiτ /n)n, natomiast pierwszym wyrazem dla j ◦ α jest ζ−be−2πiaτ /d= ζ−b(e−2πiτ /n)a2, gdzie ζ = e2πi/d. Z założeń n 6= a2. Wynika stąd, że te wyrazy reprezentują różne potęgi e2πiτ /n i dlatego się nie redukują. Zatem jeden z nich musi być pierwszym wyrazem w rozwinięciu j − (j ◦ α). Dlatego pierwszy wyraz w rozwinięciu j − (j ◦ α) ma współczynnik 1 lub ζ−b. W szczególności, dla każdego czynnika j−(j◦α), współczynnik przy pierwszym wyrazie w rozwinięciu jest pierwiastkiem z jedynki. Współczynnik przy pierwszym wyrazie w rozwinięciu Hn(j) jest iloczynem tych pierwiastków z jedynki, zatem sam też jest pierwiastkiem z jedynki. Ponieważ wyrazy nie redukują się nawzajem, pierwszy wyraz każdego czynnika zawiera ujemną potęgę e2πiτ /n. Wobec tego pierwszy wyraz w rozwinięciu Hn(j) jest ujemną potęgą q, skąd dostajemy informację, że Hn(X) jest niestały.
Przypuśćmy, że Hn(X) = uXk+ wyrazy mniejszego stopnia. Wiemy już, że u ∈ Z. Jako, że szereg Laurenta dla j zaczyna się od q−1, to Hn(j) = uq−k+ wyrazy większego stopnia. Zatem u jest pierwiastkiem z jedynki, który jest liczbą całkowitą. Wobec tego u = ±1.
16:6607190054 16
4. Główne twierdzenie
4.1. Dowód
Twierdzenie 4.1. Niech E będzie krzywą eliptyczną nad C z mnożeniem zespolonym.
Wówczas j-niezmiennik j(E) jest liczbą algebraiczną całkowitą.
Dowód. Niech Λ = [ω1, ω2] będzie kratą w C zadającą krzywą eliptyczną E. Bez straty ogólności możemy założyć, że Λ = [τ, 1]. Krzywa eliptyczna E ma mnożenie zespolone, zatem istnieje urojone ciało kwadratowe K = Q(√
−d) takie, że pierścień End(E) jest izomorficzny z pewnym ordynkiem R zawartym w OK. Oczywiście RΛ ⊆ Λ.
Jako, że √
−d ∈ OK, to istnieje niezerowa liczba całkowita n taka, że n√
−d ∈ R. W szcze- gólności n√
−dΛ ⊆ Λ. Zatem istnieją liczby całkowite t, u, v, w takie, że n√
−d · τ = tτ + u, n√
−d · 1 = vτ + w. Wynika stąd, że
τ = tτ + u vτ + w Łącząc te dwie równości dostajemy informację, że (n√
−d)2− (t + w)(n√
−d) + (tw − uv) = 0.
Zatem n√
−d jest pierwiastkiem wielomianu w1(X) = X2−(t+w)X +(tw −uv). Zauważmy, że n√
−d jest również pierwiastkiem wielomianu w2(X) = X2+ n2d. Jeżeli w1 6= w2, to wielomian w := w1− w2 jest niezerowy, stopnia jeden, ma współczynniki całkowite oraz w(n√
−d) = 0, co jest niemożliwe. Wobec tego w1 = w2. Wynika stąd, że
det t u v w
= tw − uv = n2d
Na mocy lematu 3.6 istnieją γ ∈ Γ, β ∈ Sn2d takie, że t u v w
= γβ. Z propozycji 3.12 otrzymujemy następujące równości j(τ ) = j(vτ +wtτ +u) = j(γβτ ) = j(βτ ) = (j ◦ β)(τ ). Wówczas
Hn2d(j(τ )) = (j − (j ◦ β))(τ ) ·
Y
α6=β α∈Sn2d
(j(τ ) − (j ◦ α)(τ ))
= 0
Załóżmy teraz, że d 6= 1. Jako, że n2d nie jest kwadratem liczby całkowitej, to na mocy twierdzenia 3.22, współczynnik przy największej potędze X w Hn2d(X) jest równy ±1. W razie konieczności zmieniając znak Hn na przeciwny, znajdziemy wielomian unormowany o współczynnikach całkowitych, którego j(τ ) jest pierwiastkiem. Oznacza to, że j(E) = j(τ ) jest liczbą algebraiczną całkowitą.
Jeżeli d = 1, to K = Q(i). Zmieniając w powyższym rozumowaniu √
−d na 1 + i oraz w2(X) = X2 + n2d na w2(X) = X2 − 2nX + 2n2 dostajemy tw − uv = 2n2, co nie jest kwadratem liczby całkowitej. Wobec tego zastosowanie twierdzenia 3.22 kończy dowód również w tym przypadku.
17:6946278661 17
4.2. Stała Ramanujana
Twierdzenie Bakera-Starka-Heegnera ściśle określa, które ciała kwadratowe pozwalają na jednoznaczny rozkład w ich pierścieniu liczb całkowitych. Jeżeli D < 0, wówczas liczba klas Q(
√D) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy D ∈ {−1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163}.
Liczby te nazywamy liczbami Heegnera. Nie jest przypadkiem, że stała Ramanujana eπ
√
163 = 262537412640768743.9999999999992...
jest prawie liczbą całkowitą. Wytłumaczenie jest proste z użyciem teorii krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym. Rozważmy j-niezmiennik j(τ ) kraty Λ = [τ, 1], dla którego na mocy propozycji 3.13 zachodzi równość j(τ ) = 1q+ 744 + 196884q + 21492760q2+ · · · , gdzie q = e2πiτ. Gdy τ = 1+
√−163
2 , to Λ = Z[1+
√−163
2 ]. Wtedy q = −e−π
√163. Z twierdzenia 4.1 wynika, że j-niezmiennik j(τ ) jest liczbą algebraiczną całkowitą. Pierścień Z[1+
√−163
2 ] jest pierścieniem ideałów głównych, zatem ma liczbę klas równą 1. Wynika stąd, że j(τ ) ∈ Z, to znaczy
−eπ
√
163+ 744 − 196884e−π
√
163+ 21493760e−2π
√
163+ · · · ∈ Z Ponieważ 196884e−π
√163− 21493760e−2π
√163+ · · · < 10−12, to eπ
√163 różni się od pewnej liczby całkowitej o mniej niż 10−12. Analogiczne wnioski można wyciągnąć rozważając pozostałe urojone ciała kwadratowe o liczbie klas równej 1, otrzymując następujące aproksymacje
eπ
√
19≈ 963+ 744 − 0.22 eπ
√
43≈ 9603+ 744 − 0.00022 eπ
√
67≈ 52803+ 744 − 0.0000013 eπ
√163≈ 6403203+ 744 − 0.00000000000075
Powyższe rozważania były możliwe głównie dzięki temu, że dla tych konkretnych wartości τ j-niezmiennik j(τ ) jest nie tylko liczbą algebraiczną całkowitą, ale więcej - jest liczbą całkowitą.
Dzięki twierdzeniu Bakera-Starka-Heegnera możemy wypisać wszystkie krzywe eliptyczne z mnożeniem zespolonym, których j-niezmiennik jest liczbą całkowitą [9, strona 7].
ordynek krzywa eliptyczna j-niezmiennik
Z[
√−1] y2 = x3− x 1728
Z[2
√−1] y2 = x3− 11x − 14 287496
Z[
√−2] y2 = x3− x2− 3x − 1 8000
Z[1+
√−3
2 ] y2+ y = x3 0
Z[1 +
√−3] y2 = x3− 15x + 22 54000
Z[3+3
√−3
2 ] y2+ y = x3− 30x + 63 -12288000
Z[1+
√−7
2 ] y2+ xy = x3− x2− 2x − 1 -3375 Z[1 +
√−7] y2 = x3− 595x − 5586 16581375
Z[1+
√−11
2 ] y2+ y = x3− x2− 7x + 10 -32768 Z[1+
√−19
2 ] y2+ y = x3− 38x + 90 -884736
Z[1+
√−43
2 ] y2+ y = x3− 860x + 9707 -884736000 Z[1+
√−67
2 ] y2+ y = x3− 7370x + 243528 -147197952000 Z[1+
√−163
2 ] y2+ y = x3− 2174420x + 1234136692 -262537412640768000
18:7424649788 18
Literatura
[1] David A. Cox. Primes of the Form x2 + ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, 2nd Edition. Wiley, 1990.
[2] Benedict. H. Gross. Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication. Springer, 1980.
[3] Neal I. Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer, 1993.
[4] J. S. Milne. Algebraic Number Theory. https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/
ANT.pdf
[5] Jürgen Neukirch. Algebraic Number Theory. Springer, 1999.
[6] Jack Petok. CM Elliptic Curves and Class Field Theory. https://mathematics.
stanford.edu/wp-content/uploads/2013/08/J.-Petok-draft.pdf [7] Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer, 1986.
[8] Joseph H. Silverman, John T. Tate. Rational Points on Elliptic Curves. Springer, 2015.
[9] Jana Sotáková. Elliptic curves and complex multiplication.. https://share.cocalc.com/
share/59d813ab73a98fb8c56fe14bafd63c02de7a85ac/Notes/elliptic_curves_and_
complex_multiplication.pdf
[10] Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. CRC Press, 2008.
[11] Don Zagier. Aspects of Complex Multiplication. https://math.dartmouth.edu/
~jvoight/notes/274-Zagier.pdf
19:1136087421 19
