Funkcje trygom etryczne

y = sin x y = c o s x y -r ¿1 y — sin (x + z/ x)

¿1 y _ s/ n ( a + z/ a ) — s i n A' _ 2 s i n 2 c o s

¿1 x J x z/ X

w i ę c A x

¿ 1 — d p ;

c„s 2

4 * / ¿1 l c + T /

131

r> . . sm X . roniew az y — tg x — ^, więc na mocy twier­

dzenia o pochodnej ilorazu otrzymujemy:

, _ cos x cos x — sin x (— sin x) _ cos2 X + sin2 x

P r z y k ł a d y :

1. y — sin 4 x. K ładąc u •= 4 x, mamy y — sin u y — cos u. u', a więc y — 4 cos 4 x.

2* y ~ tg x2- Połórzm y: u = x 2; mamy wówczas y = ig u y = ----5— u zatem y = -----— - 2

cos* u co s1 x 2

3. y = cos10x K ładąc u — cos x, mamy y — u10 y —10 u8, u', a więc y = —10 co s9x sin x.

Z a d a n i a :

1. y = 2 cos x + 5 sin x y' = — 2 sin x + 5 cos x 2. y — cos 2 x + 1 y — — 2 sin 2 x

3. y — sin 2x y' = 2 sin x cos jt

4. y — ctg (x + e*) y — — . . ^ ---r— (1 + e x)

* * K u sin2 ( x + e ) \ '

21. Funkcje cyklom etryczne.

1

y — a r c sin x, y x = » Ix I + 1

Funkcją odwrotną jest x = sin y , więc x y — c o s y

stąd, na mocy twierdzenia o pochodnych funkcyj od­

wrotnych, otrzym ujem y:

1 1

Oczywiście y =J= i y i co odpowiada wartościom TL

jc =j= ± 1.

Ponieważ __________

cos y = \^1 — sin* y

(znak pierwiastka jest dodatni, g d y ż— ^ ^TT U <' "2^{TT \}/

więc ________

cos y = 1 — x 2, stąd

1 y * ~ y T ” * * '

U w a g a . Można wykazać, że dla x = ± 1 po­

chodna nie istnieje.

1

y = a r c c o s x, y'x = — (| X | + 1 ) Dowód podobny jak poprzednio.

, _ 1 y - a r c tg x, y , —

Funkcją odwrotną jest x = tg y , więc

V 9 co s2y

, . ™ -n . , . . . .

(p o n iew aż --- ^~ < y < - więc x y zawsze istnieje i jest różne od zera). S t ą d :

, _ 1 _ , t/ * --- — - co sly ,

X y

lecz 1

— 5— = 1 + tg* y = 1 + x 2,

cos2 y 0 J

135 więc

, _ 1 y x 1 + * 2 y = a r c ctg x y 'x = — ~

Dowód analogiczny do poprzedniego.

y — a r c s e c x y 1

at| V x 2 + 1 Funkcją odwrotną je s t: x — sec y, więc

.v' v = sec y tg y

(z wyjątkiem y — 0, y = n, co odpowiada wartościom x = + 1, x = — 1), stąd

1 lJ * sec y tg y Dla x > 1 jest 0 < ¿r < y

sec y = x — | jc|,

tg y = \jsec2 y — 1 — V * 2 ” !•

Znak pierwiastka bierzemy dodatni, gdyż w tym wy­

padku tg y jest dodatni. A więc dla X > 1 je s t:

y' *: 1

TC . _

Dla x < — 1 jest y < y < ^, więc tg y < 0, wobec te g o : ________ _______________

tg y = ~~ 'i sec2 y — 1 = — v 2 1, więc

y * =

---— X y jc2 — 1

ponieważ x < — 1, więc |at| = — x, i znowu 1

x | V x2 — r

i i , , . y - a r c c o s e c x, y x = — --- jx =fc 1.

| JC | V JC* — 1 Dowód przeprowadza się podobnie, jak poprzednio.

P r z y k ł a d y :

1. y — arc sin \j x 3.

Kładąc

u = .v2,3

mamy

y — arc sin u 1 zatem

n rz---1 “ ' V 1 — u2

1 3 _

S V 1 ' ~ X* 2 V'V

Połóżm y:

l ~ x u = T'T 1 + x’ wówczas

y — arc tg u

Ale

( 1 + x ) . ( - l ) ~ ( l - x ) . l _ - 2

(1 + * ) * ( ! + * ) * ’

137 więc

2 (1 + * )* _ 1

y

^{(i +}

xy

^{' (i +}

xy

^{+ (i -}

xy

^{i + .vs}

3. y = arc ctg \j x

Niech będzie

u = \/ x . O trzym ujem y:

y = arc ctg u

1 ■u — 1 1

1 + u2 1 + x 2 v -v Z a d a n i a :

1. y = arc ctg ~ y

\jx 2 ( x Jr l)\ jx

2. y = arc szn 2 x \jl ~ .v2 y ' 2

\! i — x :^■8 3. y = x arc sin x + y 1 — X* = arc s/n a:

22. Pochodna lo garytm iczn a. Weźmy pod uwagę funkcję

y = {/(a-)} <PW,

gdzie funkcje /(.v) i cp (x) są ciągłe, przyczem f ( x ) jest funkcją stale dodatnią. Biorąc logarytmy naturalne obu stron, otrzymujemy:

log y = cp (x) log f( x ) .

Uważajmy log y za funkcję złożoną zmiennej ^a: i wyznaczmy je j pochodną. A w ięc:

= 9' (*) lo g f ( x ) + cp (x ) (

1

).

W yrażenie ~ nazywamy pochodną logarytmiczną.

Równość (1) z uwagi, że y = {/(•^)}?,w daje nam : y = {/ W §<*>

|V

'(*) & * / ( * ) + ? W fj ^ \ -W ten sposób, zapomocą pochodnej logarytmicznej, wyznaczyliśmy pochodną funkcji y = {/(x){

P r z y k ł a d y :

1. W yznaczyć pochodną funkcji i/ = x x (x > 0).

lo g y = x lo g x , więc

stąd

— —

1

. lo g x + x — = lo g x +

1

, y ' = (lo g x +

1

).

2. Wyznaczyć pochodną funkcji y — (sin x) (0 < .v < tt)

lo g y — c o s x lo g sin x

u , cos x

--- — sm .v log sm x ^{t c o s} x

—-i/ sm X

więc

y ^{(sin .v}

) 1

• sin X lo g sin X + c o s

2

.V s m x.

Z a d a n i a :

= v log x y ' —2 x lo« x - 1 lo g x

1

. y - x

2

. y — (lo g x ) x y ' = (lo g x ) x ~ l (

1

+ lo g x . log (lo g x ) } 3. ( * j / " ( * ) ’

139 23. Pochodne wyższych rzędów. Jeżeli funkcja y = f ( x ) posiada pierwszą pochodną, to pochodną tej pochodnej, jeżeli istnieje, nazywamy drugą pochodną funkcji f( x ) .

Podobnie pochodną drugiej pochodnej nazywamy trzecią pochodną i t. d. — Symbolicznie pochodne

3. Wyznaczyć pochodne funkcji y == log x

r 1

y ~~~x

.•2

1 2 1 2

y .v3 v } x3

1 2 3 1 9 3

^(4) = = ( - i ) ,

y r t = ( _ ! ) « - ! ^

4. W yznaczyć pochodne funkcji y = sm x / _ _ • / i 71 \

y — cos .V — szn ^.v r — J

y" — ~ sin x = sin (.v + ri) = sin |.v + 2

y " — — cos x = sin | x + 3 - y j

y = szn .v -- sz/z |.t + 4 y j

yW = s in + n I L j .

Podobnie, jeżeli y = cos .v, to y {n) = cos |.v + n ■

141

Z a d a n i a :

1. y = e 3+4', - 1 6 e 3+4*, */'" = 6 4 e 3+4* . . yW =

= 4 rt e3+4A:

2. y = sin 5 x, y ^ = 5 n sin ^5 x + n

t —

„ 1 — cos .v „ 2

3-

^{y -}

- ;y

^{„ y}

4- y = log f ( x ) y " = / (x ) f " { x ) ~ / ' H x )- ^ 3 1

5

24. Form u ła L eibn itza. N iechaj y — u v , gdzie u i w są funkcjami zmiennej X . O tó ż :

y' = u' v + v' u

u" — u" v + u' t/ + u' z/ + w" u = u" v + 2 u v' + 4~ u v f

u'" = u" v + u" v + 2 u" v + 2 i i v " + u v " + + u v" — u " v + 3 u" v + 3 u v " + u v'"

jy(4) = UWV + 4 u"' v ' + 6 u ' v " + 4 u v " + u »W Widzimy więc, że współczynniki występujące w po­

wyższych formułach są te same, co przy rozwinięciu dwumianu (a + b)n wedle wzoru Newtona. Zapomocą indukcji zupełnej można łatwo udowodnić prawdziwość wzoru analogicznego do formuły Newtona, a miano­

w icie:

y(n) — u(n)y + j |i|n- '1)i/ + ^2 . . . + u W zór ten nosi nazwę formuły Leibnitza.

P r z y k ł a d y :

1. W yznaczyć n-tą pochodną funkcji: y = x e x,— Kładąc u = ex v = x , otrzymujemy ze wzoru Leibnitza:

y = x e x + n e*

2. Formuła Leibnitza pozwala nam wyznaczyć nieraz łatwo wartość n - tej pochodnej dla pewnej szczególnej wartości na x. Wyjaśnimy to na przykładach:

Wyznaczyć wartość n - tej pochodnej funkcji, / (x) = ^{a r c} tgx dla .v = 0.

/ ' w = r f e i -stad

/ '( * ) . (1 + A’2) = 1.

Biorąc teraz ⁿ - tą pochodną według formuły Leibnitza, otrzym ujem y:

/<">(*) + 2 ,v + y<2j f {" - 2) (.v). 2 = 0.

K ładąc x = 0, otrzymujemy :

/< " > (0 ) + n ( n - 1 ) 0 ) = 0 ,

a w ię c:

/M(0) / (»-2)(0) [„ 4= 1]

Otrzymaliśmy dogodny wzór redukcyjny na war­

tość ⁿ- tej pochodnej dla ^X — 0.

P on iew aż/ '(0) = 1, zaś f " ( x ) = — ^ - ^ . w i ę c f " (0) — 0, — otrzymujemy z wzoru redukcyjnego, kła­

dąc ⁿ = 3, 4, 5, . . .

/ " '( 0 ) = - 3. 2 = - 6 /<4>(0) = 0

/<5>(0) = - 5. 4 . - 6 = 120 i. t. d.

143

3. Wyznaczyć wartość n - tej pochodnej fu n kcji:

2 x + 1 /(■*) = x'*—3 x + l dla X = 0.

M am y: / (x ) (x 2 — 3 x + 1) = 2 x + 1.

Biorąc n - t ą pochodną (n > 2 ), otrzymujemy:

fM (x ) (x* - 3 -V + 1) 4 m /<»-i>(x) (2 x — 3) +¡n\

+ (“ j / ( « - 2)(x). 2 = 0.

Kładąc X = 0 , mamy:

/W (0) - 3 n / (n -1>(0) - n (/i - 1) f ( n~ 2>(0) = 0, stąd

/<">(0| = 3 n / < *rf(0 ) - n ( n ~ 1) / < "-2>(0) (u > 2 ) W yznaczając wprost pierwszą i drugą pochodną, otrzym ujem y:

/'(O) = 5, /"(O) = 28,

następnie z formuły rekurencyjnej, kładąc tj = 3, 4, 5 , . . . wyznaczamy wyższe pochodne.

Z a d a n i a :

1. y = e * ( 3 x 2 —4) i/M = ejr [3 x 2 + 6n x + 3 / i (n — 1) — 4]

2 y = x log X /l:' l ) ’x ^ ~ 2>l

3. // — ,v‘ sm y!n| = .V2 sin (j; + n -?-J +

2 n x sin x + (n — 1 + n (n — 1) s/ra n X + (n — 2) ^

4. f( x ) — (arc sin x)'2 (1 — .r2) f " (x )—x f (x) = 2 /(2 » + i)(0 )= O / (2n)(0) = 2. 2 2. 4K 6S . . .( 2 n - 2 ) * 5. f ( x ) = e sin x f ' ( x ) = f { x ) sin x

/ (" + ,) (0) = /W (0) - (2) / < " -2>(o) + (4) / (« - '» i0) - . . . stąd:

/(O) = 1, /'(O) = 1, /"(O ) = 1, /"'(O) = O, / «(O ) = - 3 i t. d.

25 . Funkcje dane przedstawieniem param etrycz- nem. Przypuśćmy, że mamy dane dwie funkcje

x = f ( ł ) y = <p(t)

jednej zmiennej ł, obie określone i ciągle w tym zamym przedziale zmienności i. Jeżeli funkcja x = f{ t ) je st funkcją ściśle monotoniczną, to istnieje je j funkcja od­

w rotna: t = ip (x), ciągła i ściśle monotoniczną. Możemy w obec tego uważać zmienną y , jako zależną od zmien­

nej x za pośrednictwem zmiennej t. Kładąc y = c p <1p (x )) = F (x ),

widzimy, że funkcja y — F (x ) je s t funkcją ciągłą. Mó­

wimy o niej, że daną je st parametrycznie za pośred­

nictwem zmiennej i.

P r z y k ł a d y :

y

1. x - r cos i . r sin t

Ponieważ funkcja x — r cos t je s t ściśle malejącą dla 0 t ^ nr, więc wyznaczając z pierwszego równa­

nia i i wstawiając w drugie, otrzymamy żądaną funkcję zmiennej x.

Dojdziemy prościej do celu, jeżeli zauważymy ż e : .V2 + y 2 — rs (coss t + sin- i) =

r-y = \j r

2

— X

2

2. Przedstawienie parametryczne ma szczególne znaczenie przy badaniu ruchu punktu. Jeżeli punkt niczną, możemy, postępując jak poprzednio, wyznaczyć funkcję y = F (x), której obrazem geometrycznym b ę­

posiadają pochodne ciągłe w otoczeniu pewnej wartości t i że nadto dla tej w artości: f (i) 4= 0. Niechaj funkcja

u'x = <pr (>P ( * ) ) . y / (x), czyli:

y x m '

Wykazaliśmy więc, że pochodna funkcji, przedsta­

wionej parametrycznie, wyraża się wzorem:

, _ ¥ ( f ) J x / '( O ’ o ile /' (i) ={= 0.

P r z y k ł a d . Biorąc pod uwagę funkcję określoną w przykładzie 1), otrzymujemy:

r cos t , , /. i n \

y = --- -- - — ctg t (t + 0, n).

— r sin t

Łatwo możemy wyznaczyć pochodne wyższych rzędów, o ile założymy, że funkcje / (i) i <p (t) mają odpowiednie pochodne.

Pochodną drugą otrzymamy w sposób następu­

ją c y : Zauważmy, że funkcja y'x jest przedstawiona pa­

rametrycznie funkcjami

- n = * «

Podobnie, kładąc y " x = (p2 (t) otrzymujemy:

147

a w ięc:

y'"* = { [ / ' (t)¥ ¥ " (t) - f (ł) / " ' (0 ¥ W -- 3 / ' (ł) / " (0 ¥ ' (t) + 3 [ / " « ] ’ ¥ (0

Postępując w ten sposób dalej, możemy wyznaczyć pochodne dowolnego rzędu.

Z a d a n i a : 1. y — at

X = a (1 — t) ^/

y _- ^{- 1}

2. y = sin2 t X = sin 2 t

y r _- i tg 2 t 3. ij — sin t — t cos t

X = cos t + t sin t y = tg i 4. y — i t 2

X = § V 2 ^ y' =

VI

nio

26. Różniczki wyższych rzędów. Ja k już poprzed wspomnieliśmy, różniczka

dx y — f' ( x ) dx X

jest funkcją zmiennej x. W o b ec tego możemy mówić o różniczce różniczki. Połóżm y:

dx (dx y ) = dx2y dx (dx - y) = dx 3y dx (dxn~ ly) = dxny

10*

Na mocy twierdzeń o różniczce iloczynu otrzy­

mujemy:

d x2 y = d x [ f ' { x ) d xx ] = d x f '(x) d xx + f ' ( x ) d x3 X.

Ponieważ

dx

f ' ( x ) =

f"(x)

d x X, zaś

d j x =

0

(bo

dxx

je s t funkcją stałą), więc

dx*y = f" ( x ) (dxxy

Podobnie otrzymamy:

dx* y ’= f' " ( x ) (dxXy dxńy = /'<«)(*) \dx xY S tą d :

y (x) “ T i i ) » ’ 7 ( ) (dxXy ’ • • • ' {x) (dxx y Pisząc

d

zamiast

dx

i

dxn

zamiast (

dx x)n,

otrzymujemy:

d y

149

W dokumencie Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1 (Stron 134-153)