Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1

Dr. S T E FA N B A N A C H

PRO FESOR UNIWERSYTETU J . K.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

TOM i.

LWÓW

WYDAWNICTWO ZAKŁADU NARODOWEGO IMIENIA OSSOLIŃSKICH

PRZEDMOWA.

Książka niniejsza przeznaczona jest do wstępnegD studjum rachunku różniczkowego i całkowego. Po prze­

czytaniu je j czytelnik może z korzyścią przystąpić do dziel obszerniejszych.

Staraliśm y się podać najważniejsze twierdzenia i to o ile możności z dowodami. Kilka jednak twier­

dzeń wypowiedzieliśmy bez uzasadnienia; uważaliśmy bowiem, że metody dowodów tych twierdzeń są za trudne do opanowania we wstępnem studjum.

Konieczną jest rzeczą, aby czytelnik przerol ii większą liczbę zadań*). W naszej książce ze względu na brak miejsca mogliśmy umieścić niewiele tylko zadań.

Drugi tom poświęcony rachunkowi całkowemu i zastosowaniom jest w druku.

Miło nam jest podziękować p. H. Auerbachowi y fi pomoc, której użyczył przy pisaniu tej książki.

Autor, Lwów, dn. 30 stycznia 1929 r.

*) Polecić możemy np, zbiór zadań z rachunku różniczko­

wego i całkowego Dr. N.kl.biirca i Dr. Steinhausa, który wkiót-~3 ukaże się nakładem Ossolineum.

W STĘP.

Podamy tu niektóre definicje i twierdzenia, z któ­

rych w dalszym ciągu będziemy korzystać.

1. Przedziałem (a, b) nazywamy zbiór liczb x, spełniających jedną z nierówności a < x < ¿>, a ^ .x < b, a < x ^ b, a ^. x ^ b.

Przedziałem zamkniętym nazywamy przedział, okre­

ślony przez nierówność a x

Ze względu na znaną interpretację liczb rzeczy­

wistych na linji liczbowej, nazywamy przedział również odcinkiem, a liczby również punktami.

2. Przypominamy czytelnikowi wzór znany pod nazwą dwumianu N ewtona:

dla niecałkowitych oraz dla ujemnych wartości rt.

(a + b)n — a n + | ” j an_16 + | ^ ) an -26* + . . . +

+ ( n - 2 ) aibn~2 + ( n- l ) abn~' +

Symbole określone ostatnim wzorem również

Rachunek różniczkowy I. 1

I 8 \ _ 8 . 7 . 6 . 5 _ ™ Np’ ( 4 ) 1 . 2 . 3 . 4 '

10 \ — 1 0. — 1 1 . — 1 2 . — 1 3 . — 14

( 1 )'

1 .2. 3 . 4 . 5 - 2002

¿1

1 3 5 2 k — 1

2' 2 ' 2' . . . ’ 2 1 . 2 . 3 ... /t

, 1 . 3 . 5 . . . . ( 2 £ — 1)

= ( - 1)

( 1 ⁾

2 . 4 . 6 . . . . 2 k

,

a więc V Q

J

3. Ze wzoru Newtona wynika natychmiast nie­

równość (1 + x )n 1 + n x dla x 0. Kładąc 1 + x = A,

możemy napisać A n ^ 1 + n {A — 1) dla A >- 1.

O bie nierówności są prawdziwe przy wszelkiem natu- ralnem n.

4. Dla q =j= 1 zachodzi tożsamość

_ _{<7h —} 1

a + a<7+ a <72 + . . . + a qn~l — a - --- przy wszelkiem naturalnem n. Je s t to znany wzór na sumę postępu geometrycznego.

5. Czytelnikowi znane jest z geometrji elemen­

tarnej określenie kąta i miary kąta, wyrażonej w stop­

niach i częściach stopnia.

3 W matematyce wyższej używa się przeważnie in­

nego określenia miary kąta, mianowicie t. zw. miary lukowej.

Niech k będzie kołem o środku leżącym w po­

czątku układu współrzędnych O X Y , o promieniu rów­

nym jedności.

W płaszczyźnie O X Y obieramy pewien kierunek obrotu (zaznaczony strzałką na rysunku), który nazy­

wać będziemy dodatnim ; przeciwny kierunek obrotu nazwiemy ujemnym.

Niech x będzie do­

wolną liczbą. Odmierzmy na okręgu koła k (rozpoczy­

nając od A ) łuk o długości l-tj w kierunku dodatnim lub ujemnym, zależnie od tego, czy x > o, lub a: < o. (Dla x — o łuk redukuje się do punktu A.) Jako punkt końcowy tego łuku otrzy­

mamy pewien ściśle okre­

ślony punkt B okręgu koła k. Liczbę x miarą łukową kąta A O B .

Rzecz jasna, że każdy kąt ma nieskończenie wiele miar łukowych, różniących się między sobą o całkowite wielokrotności obwodu koła czyli o 2n tc (n całkowite).

D o zamiany stopni na miarę łukową służy wzór nazywamy

n a

180 + 2 72 TT,

gdzie x oznacza miarę łukową, a liczbę stopni, zaś n dowolną liczbę całkowitą.

Np. miarą łukową kąta prostego X O Y jest ćwiartka okręgu, czyli ——Tt oraz każda liczba kształtu

1 *

+ 2n « ( n całkow ite); miarą łukową kąta półpełnego A O A' jest połowa obw odu* koła czyli n oraz każda z liczb n + 2 n n (n całkowite), a więc każda niepa­

rzysta wielokrotność liczby n i t. d.

6. Przypominamy znane nierówności

| a + b\ < | a | + | b | I a + b | jggjl a | — | b | prawdziwe dla wszelkich liczb a, b.

7. Powiadamy, że liczby a, b różnią się o mniej niż £, jeżeli zachodzi nierówność | a — b \ < e czyli nierówność — £ < a — ¿ < + £ .

ROZDZIAŁ I.

Teorja ciągów.

P ojęcie ciągu.

1. Definicja ciągu. Jeżeli mamy prawo, wedle którego każdej liczbie naturalnej przypisana jest pewna liczba, wówczas powiadamy, że mamy dany ciąg liczb.

Przykład. — Prawo, wedle którego każdej liczbie naturalnej przypisujemy liczbę, niechaj będzie następu­

ją c e : liczbie 1 przypiszmy 1, liczbie 2 przypiszmy ^ >

liczbie 3 przypiszmy ^ i t. d. — ogólnie liczbie n przypiszmy — . W ypisując te liczby, widzimy, że ciąg

n ma kształt:

^ 1 1 1 1 . . ,

’ 2’ 3 ’ 4 ’ 5'

Liczbę, przypisaną jedynce, nazywać będziemy wyrazem pierwszym ciągu, liczbę, przypisaną dwójce, wyrazem drugim ciągu i t. d. — liczbę, przypisaną liczbie n, na­

zwiemy wyrazem n-tym ciągu.

Wyrazy ciągu oznaczać będziemy w sposób na­

stępujący: Obierzemy sobie dowolną literę alfabetu, np. a i wyraz pierwszy oznaczymy symbolem a „ wy­

raz drugi symbolem a 2 i t. dv ogólnie wyraz n-ty sym­

bolem a„. Czytać będziemy: a pierwsze lub a ze wskaź­

nikiem jeden^ a drugie lub a ze wskaźnikiem dwa i t. d. — a „rc-te" lub a ze wskaźnikiem n. Zauważmy, że jeżeli a n jest n-tym wyrazem ciągu, wówczas a„+i jest to wyraz następny, a„ + 1 wyraz drugi zkolei po an i t. d. — wyraz a n+k, k-ty zkolei po an. Podobnie a „ _ i wyraz poprzedzający a n, a n- 2 wyraz poprzedza­

jący a„ _ i i t. d. C iąg o wyrazie ogólnym a n oznaczamy zwykle krótko przez {o„}, np. ciąg 1, przez Zapytajmy się teraz, w jaki sposób możemy mieć dany pewien ciąg, czyli innemi słowy, w jaki sposób może nam ktoś pewien ciąg określić. W rozmaitych wypad­

kach rozmaicie się postępuje; niektóre sposoby okre­

ślania ciągu są następujące.

1. Określamy ciąg formułą, kładąc np. a„ = 5 n.

Stąd odrazu widzimy, ż e :

ax = 5, a2 — 5.2 = 10, Os = 5.3 = 15, . . . a2o =

= 5.20 = 100 i t. d.

Podobnie określamy ciąg formułą, k ład ąc: a n — 5ri2 — n+ 1 W ów czas:

a, = 5, q2 = 19, . . . a lW = 49901 i t. d.

2. Określamy ciąg, mówiąc np., że a n jest to /1-ta cyfra liczby \j 2. Wówczas wiemy, ż e :

a x = 1, a3 = 4, a 3 — 1, . . . i t. d.

O bliczając pierwiastek z dwóch znanym algorytmem, możemy obliczyć cyfrę pierwszą, drugą, trzecią i t. d.

C iąg jest więc określony. .

Podobnie określamy ciąg, mówiąc,-że a„ jest n-tą cyfrą dziesiętną liczby n.

3. Innym sposobem podania ciągu je st określenie go przez t. zw. rekurencję. Sposób ten polega na tem, że podajemy wyraz pierwszy i sposób wyliczenia wyrazu n-tego przy pomocy poprzednich wyrazów. — W yja­

śnimy to na przykładach.

a) Niech pierwszy wyraz równa się zeru, a każdy inny równa się iloczynowi poprzedniego wyrazuprzez 3, powiększonemu o 2, t. j.

d = 0 , a „ = 3 o „ _ i + 2 , a w ięc: a2 = 2, a3 —8, a t — 26, i t. d.

b) Niech pierwszy wyraz będzie równy jeden, a każdy inny wyraz równy sumie wszystkich poprzed­

nich wyrazów, t. j.:

a, = 1, a n — a, + a2 + as + . . . + a „ _ i, a więc: a2 = 1, a s = 2, o4 = 4, aB = 8, i t. d.

c) Niech pierwszy wyraz ma wartość a, zaś każdy inny wyraz niech będzie równy poprzedniemu powięk­

szonemu o pewną liczbę d, t. j.

a : = a, a n — a „ „ i + d (postęp arytmetyczny), a w ięc: a2 = a + d, a 3 = a + 2d i t. d.

2. Ciągi monofoniczne. C iąg nazywamy rosnącym, jeżeli każdy wyraz jest większy od poprzedzającego, t. j. a n > a n- u malejącym, gdy a n < a „ _ i, niemaleją- cym, gdy a n ^ an — i, nierosnącym, gdy o„ an — i. Każdy taki ciąg nazywamy monotonicznym. Ciągi malejące i rosnące nazywamy ściśle monotonicznemi.

P r z y k ł a d y :

1. Ciąg liczb naturalnych { r c } je st rosnący.

2. Ciąg odwrotności liczb naturalnych

j~~j

malejący.

3. C iąg {a™}, gdzie a„ oznacza ilość liczb natu­

ralnych podzielnych przez 3 i nie większych od n, jest niem alejący:

a i = 0, a % —0, a s, = ^{1 ,} a4 = 1, a6_{= 1 , a s = 2} i t. d.

Ol = 1, a2 _— 1_{, a}3 = 1, a t = a5 = i t. d.

3. Ciągi ograniczone. Ciąg nazywamy ograniczo­

nym, jeżeli wszystkie wyrazy leżą w pewnym skończo­

nym przedziale ( — M, + M ) (M > o), innemi słowy, gdy | a n | < M, (n = 1, 2, 3 ,. . .)

P r z y k ł a d y :

1. Ciąg { a n}, gdzie a„ jest n-tą cyfrą dzie­

siętną liczby 2, jest ograniczony, bo | a„ | < 10. 2. Ciąg |—— } je st ograniczony, bo I a n | < 1. Zauważmy, że ciąg ograniczony niekoniecznie je s t

f l + ( — l ) n\

monotoniczny i naodwrót. Np. ciąg v---^--- j > t .j.;

a x =

0

0

jest ograniczony, ale nie monotoniczny, zaś ciąg liczb naturalnych { n } jest monotoniczny, ale nie ograniczony.

4 . Działania n a ciągach . Na ciągach określamy działania: mnożenia przez liczbę, dodawania, odejmo­

wania, mnożenia i dzielenia w sposób następujący:

’) £ (x) oznacza największą liczbę całkowitą, nie większą od x. Np.:

E (5) — 5, £ 0 0 = 3 , E ( lo 2 2) = 0 i t. d.

Liczba E (*) spełnia nierówność x — 1 < £ (x) x, wynikającą bezpośrednio z definicji.

i 1) . . .

i jest nierosnący:

9 C iąg mnożymy przez liczbę, mnożąc każdy wyraz ciągu przez tę liczbę. Np. iloczyn ciągu (a a, a 2, . . . a n. . . ) przez liczbę m jest to ciąg (m au m a2, . . . ma„ . . . ) .

Dwa ciągi dodajemy, odejmujemy lub mnożymy przez siebie, dodając, odejmując lub mnożąc odpowied­

nio wyrazy jednego ciągu przez wyrazy drugiego.

N p. m ając dwa c ią g i:

(<7l, <Z2, ^'¡t {bit b'2, ¿ j, . . . bn • • •), otrzymujemy na sum ę: (ai + bu a2 + b-i, . . . , a„ + bn, ...)

na różnicę: (ai — bu a2 — ¿2, . a n — bn, ...) na iloczyn: (a x bu a 2¿ 2, a s bs, . . . a„bn...) Iloraz możemy zdefinjować tylko z tem zastrze­

żeniem, że wyrazy ciągu, przez który dzielimy, są wszystkie różne od zera, gdyż dzielnikiem ilorazu nie może być zero.

C iąg jeden dzielimy przez drugi, w którym wszystkie wyrazy są różne od zera, dzieląc wyrazy pierwszego przez wyrazy drugiego. T . zn., że m ając dwa ciągi

Gi, a 2, a3> ■ • • . . . ¿>1, hi, bs, . . . bn. • * ■, przyczem-zawsze bn =j= 0, otrzymujemy na iloraz ciąg :

cu_ at_ a,

bi 6a ’ b3 ’ " ’ b n ’ " ' Symbolicznie piszemy t o :

m { a n } = { m an }

{ a n } + { bn ) — { a n + bn } { } { bn } { a n bn | { &n } • { b n ) { a n . bn}

M _ J M { M 16« i

Z a d a n i a :

1. W ykazać, że ciąg { ^ n ^ P l } ^eS*' rosn3cy- 2. W ykazać, że ciąg { a ,,} , gdzie a„ jest n-tą cyfrą dowolnie obranej liczby niewymiernej, nigdy nie jest monotoniczny.

3. W ykazać, że ciąg

j

4. Dla jakich x ciąg { 1 + x + x 2 + . . . + x" } jest ograniczony?

Intuicyjne pojęcie gran icy ciągu.

5. Granica ciągu m onofonicznego. Do pojęcia granicy ciągu możemy dojść intuicyjnie w następujący sposób: Przypuśćmy, że mamy dany ciąg monotoniczny { a ,,} , dajmy na to rosnący. Zdarzyć się mogą dwa wypadki:

1. albo liczby ciągu rosną nieograniczenie, t. zn.

jakkolwiek dużą liczbę weźmiemy, to wyrazy ciągu { a„ }, od pewnego począwszy, są wszystkie większe od tej liczby,

2. albo liczby ciągu { a ;!} nie rosną nieograni­

czenie; wówczas istnieje jedna jedyna liczba g, zwana granicą ciągu {o ,,}, do której jego wyrazy zbliżają się nieograniczenie, (t. zn., że wziąwszy sobie dowolnie małą liczbę e > 0, znajdziemy taki wyraz w ciągu, że wszyst­

kie następujące po nim wyrazy różnią się od o o mniej niż s).

Liczbę g nazywamy granicą ciągu, a piszemy to w sposób następujący: lim an — g. O ciągu {gt/i} mó-

n—>-ce wimy, że je st zbieżny do g.

Podobne uwagi można wypowiedzieć dla ciągów malejących.

11 Wypowiedzieliśmy więc następujące

T w i e r d z e n i e : Każdy ciąg ograniczony i mono- toniczny ma granicę (jest zbieżny).

P r z y k ł a d y :

1. Ciąg { n } jest rosnący, ale nieograniczony. Po­

dobnie ciąg { n ?}.

2. C iąg 11--- -- | jest rosnący i ograniczony.

Ma granicę 1.

3. C iąg | ~ “| je st ograniczony i malejący, o gra­

nicy 0.

4 - Ci« czyli { y + 5 (5» - 1) } ‘est ograniczony i malejący, o granicy — .

D

6. Ogólna definicja gran icy ciągu. Jeżeli teraz mamy ciąg { a n } .niekoniecznie monotoniczny, to może się zdarzyć, że istnieje liczba g, do której wyrazy ciągu zbliżają się nieograniczenie (t. zn. że obrawszy sobie dowolnie małą liczbę £ > 0, znajdziemy taki wyraz w ciągu, że wszystkie następne różnią się od g o mniej niż e).

Można udowodnić,, że jeżeli liczba taka istnieje, to tylko jedna.

Liczbę g nazywamy granicą ciągu i znaczymy jak poprzednio : lim a n — g.

rt — oo

Ciąg { a ,,} nie posiadający granicy, nazywamy cią­

giem rozbieżnym.

P r z y k ł a d y :

[ ( 1) " } .

1. Ciąg | | jest zbieżny i ma granicę zero.

2. Ciąg { ( — l ) n} jest rozbieżny.

7. Pew ne k ryterjn m zbieżności. Niełatwą jest

•czasem rzeczą stwierdzić, czy pewien ciąg ma granicę, czy nie. W wielu wypadkach korzystnem okazuje się następujące dość oczywiste

T w i e r d z e n i e : Jeżeli ciąg { a „ } da się zamknąć między dwoma ciągami {& „ } i { c „ } , zbieżnemi do tej sam ej granicy, wówczas ciąg { a n } jest zbieżny do wspól­

nej granicy ciągów { ¿ „ } i { c „ } .

U w a g a : Powiadamy, że ciągi {b„ } i { c„} za­

mykają ciąg { a „ } , jeżeli dla każdego n zachodzi na­

stępująca nierówność:

bn ^ On Cn . P r z y k ł a d y :

1. C iąg | — ma granicę x. Je s t bowiem n x — 1 < E {n x ) n x ,

1 E { n x ) a więc * --- < — 5— - < Xj

n n

■a ponieważ każdy z ciągów j * ---~ -| , { * } je st zbieżny do granicy x, więc to samo stosuje się do ciągu t —n— J zawar*e£ ° między niemi.

2. C iąg

j

| " | , mającemi granicę 0.

8 . Działania na ciąg ach zbieżnych. Jeżeli { a n}

i {b„ } są ciągami zbieżnemi, wówczas można udo­

wodnić następujące

13 T w ie r d z e n ie : Ciągi {a„ + bn), { c . an), {a „ . bn\

są zbieżne i :

1) lim { a n + bn) — Hm a n + lim b„

n— • > - cd n— - > - oo n— > - oo

2) Jeżeli c jest dowolną liczbą, to lim c . a n = c lim a n

n •> oo n—■>-oo

3) lim { a n bn) = lim a n • lim bn

n— >-oo n— >-oo n— > - oo

Ponadto, jeżeli bn =j= 0 i lim bn ={= 0 , to ciąg

jest zbieżny i : n—>-oo n

lim a n l —>-co lim /gn\ —

« — liilim bn

n— >- co

9. Ciągi rozbieżne do + oo. Wprowadzimy nastę- , pujący wygodny sposób wyrażania się :

O ciągu { a„ } mówimy, że jest rozbieżny do + oo,, jeżeli do każdej dowolnie dużej liczby A istnieje taki wyraz w ciągu, że począwszy od niego każdy następu­

jący jest większy od A . Piszemy t o : lim a n — + oo,

n— >- co

Takim ciągiem jest np. {/i n* — n ) i t. p.

Podobnie mówimy, że ciąg a n jest rozbieżny do — oo, jeżeli do każdej dowolnie małej (algebra­

icznie) liczby A istnieje taki wyraz w ciągu, że po­

cząwszy od niego każdy następny je st mniejszy od A, Piszemy to : lim a n = — co.

n — >-Oo

Przykłady takich ciągów otrzymamy, mnożąc po­

przednio podane ciągi przez ( —1). Innemi przykładami s ą : { n ~ ns} { —10" } i t. p.

Należy zawsze pamiętać o tem, że ciągi rozbieżne do + oo lub — oo nie mają granicy i że symbole + oo i — co nie są bynajmniej liczbami, a zostały wpro­

wadzone jedynie dla uproszczenia pisowni.

Uwaga. Jeżeli piszemy l im a n = g , bez dalszego dodatku, to zawsze milcząco zakładamy, że ciąg {o „}

jest zbieżny, że więc g jest liczbą rzeczywistą, a nie jednym z symboli + oo, — oo.

10. Twierdzenia o ciągach rozbieżnych do + co.

Można udowodnić następujące twierdzenia:

a ) Jeżeli ciąg {a,,} jest ograniczony, a l i m{£>„} = + oo,to n—^-ce

l im {a * + bn} — + 00 n -—^ co

l im {a„ — 6 „ } = — co

n —^-co

n ) ~ ® Prz^ zał°żeniu, że ^ O dla

■wszystkich n.

h ) Jeżeli lim a„ = + oo, l im b„ = 4- co, to n—>-oo n—^-cc

lim ( a n + b„) = + oo

n — cc

l im ( a n . b„) - + oo n-^S-oo

c) Jeżeli l im a„ = + oo, l im bn = — co, to 11 — oo n — co

lim (a„ — bn) = + oo n —^-oo

l im ( a n . bn) = — oo n —>-oo

d ) Jeżeli lim a„ — g , g =}= O, l im bn — + oo, to

n co n —^ oo

//m (o„ . & „ ) - + oo przy o- > O

/I — CO

« m (a„ . 6„) = — oo przy £ < O

15 e) Jeżeli lim a„ = g, g =j= O, lim b„ — O, bn > O, to

n— >-co n—->-co

lim ? £ = + o, prz g > 0

lim — _ co przy a < O Z a d a n i a :

1 w/ , . . . / s/n n x \ . A 1. W ykazać, ze ciąg j — - — j ma granicę U, przy dowolnie obranem x.

2. Czy ciąg { ( — l)" / i} je st rozbieżny do + oo,.

lub — oo ?

3. W ykazać, że ciąg { n s — 5 n ‘ + 3 } czyli:

| n3 1 1 — — + ~3 j j jest rozbieżny do + co.

4. T o samo dla ciągu -¡3 " — n } przy użyciu nierówności 3" 1 + 2 n . (Por. wstęp 3.)

* Ścisła definicja granicy ciągu.

11. Odcinki ciągu. Jeżeli mamy dany jakiś ciąg cii, a 2, . . . a n, wówczas n- tym odcinkiem tego ciągu nazywać będziemy zbiór liczb, otrzymany z danego ciągu przez odrzucenie pierwszych (n —-1) wyrazów. Np. od­

cinkiem szóstym będzie zbiór a6, a 7, as, . . . odcinkiem setnym a10o, «ioi. «iosj •••• W szczególności, w skład odcinka pierwszego wchodzą wszystkie wyrazy.

Odcinki ciągu znaczyć będziemy sym bolami: A n A 2, A 3i . . . i t. d. — wskaźnik u dołu oznacza, który to jest odcinek. Zatem np. A e jest to odcinek szósty.

O odcinkach można wypowiedzieć kilka oczy­

wistych uwag, którą są potrzebne do zrozumienia póź­

niejszych rzeczy.

1. Jasn ą je s t rzeczą, że jeżeli mamy dwa dowolne odcinki, np. A^o i Aioo, to zawsze odcinek późniejszy mieści się we wcześniejszym; w naszym więc wypadku A106 mieści się w A so.

2. Jeżeli weźmiemy dowolny odcinek, np. A l00, to tylko skończona liczba wyrazów ciągu do odcinka tego nie należy. W naszym wypadku tylko 99 wyrazów pierwszych nie należy do A l00, to jest. wyrazy a lf a2> • • • a99-

3. Naodwrót, jeżeli weźmiemy dowolną s k o ń ­ c z o n ą liczbę wyrazów, to istnieje odcinek, który ich nie zawiera (np. każdy odcinek, którego wskaźnik je s t większy od wszystkich wskaźników tych wyrazów).

4. Podobnie, jeżeli weźmiemy dwa dowolne od­

cinki, np. A 60 i A w , to tylko skończona liczba wyrazów odcinka wcześniejszego nie mieści się w późniejszym.

W naszym przykładzie 50 pierwszych wyrazów od­

cinka A so, a więc wyrazy: a b0, a6U a52, . . . a99 nie mieszczą się w odcinku A lW. Wszystkie pozostałe wy­

razy odcinka A 50 mieszczą się w odcinku A 100.

12. Ciągi, różniące się tylko porządkiem wy­

razów . O dwóch ciągach powiadamy, że różnią się tylko porządkiem wyrazów, jeżeli każda liczba wystę­

puje jednakową, skończoną lub nieskończoną ilość razy, w obu ciągach.

P r z y k ł a d y . Następujące ciągi różnią się tylko porządkiem wyrazów:

1. (0,1,0,1,0,1, . . . ) i (0,0,1,0,0,1,0,0,1 . . . ) 2. ( 1 ,2 ,3 ,4 , 5 ,6, . . . ) i ( 2 , 1 , 4 , 3 ,6, 5 , . . . )

O takich ciągach można wypowiedzieć następujące T w i e r d z e n i e . Jeżeli dwa ciągi różnią się tylko porządkiem wyrazów, to każdy odcinek jednego, za­

wiera jakiś odcinek drugiego.

17 Dowód. Niechaj pierwszym ciągiem będzie a u as, o3, . . . drugim zaś bu ¿3, O ba ciągi różnią się tylko porządkiem wyrazów. Weźmy pod uwagę jakiś odcinek ciągu pierwszego, np. A„■ O dcinek A n nie za­

wiera tylko wyrazów a x, a 2, a$, . . . a„_i. Wyrazy te występują w ciągu b u bit . . . . . . (być może w in­

nym porządku); ponieważ je st ich jednak liczba skoń­

czona, więc w ciągu Aj, ¿2, . . . istnieje taki odcinek, nazwijmy go B r, który ich nie zawiera. Jasn ą jest teraz rzeczą, że B r mieści się w A n, gdyż każdy wyraz od­

cinka B r jest późniejszy od a lt a 3, a 3, . . . a „ -u a tylko tych wyrazów A„ nie zawiera.

P r z y k ł a d . Niech { a n } będzie ciągiem liczb na­

turalnych 1, 2, 3, . . . t. zn. a„ — n, a } bn } ciągiem : 2, 1, 4, 3, 6, 5, . . . t. zn. 62h -i = 2n, bin — 2n — 1. O d­

cinek A 6 jest zawarty np. w B J0.

13. P ojęcie przybliżenia. Powiadamy, że jakaś liczba a przybliża liczbę b, z błędem mniejszym niż s ; jeżeli |a —6| < e . Mówimy również, że a jest war­

tością przybliżoną liczby b z błędem mniejszym niż e.

Rzeczą jasną jest, że jeżeli a przybliża b z błędem mniejszym od f, to a przybliża również b z błędem mniej­

szym od gdzie rj jest dowolne, ale większe od e.

Gdyby natomiast rj było mniejsze od s, to a może przy­

bliżać b z błędem mniejszym od r\ lub nie.

P ojęcie wartości przybliżonej jest bardzo ważne, gdyż w praktyce operujemy prawie wyłącznie liczbami przybliżonemi, bądź dlatego, że dokładnych wartości nie znamy (pomiar je st zawsze niedokładny z więk- kszym lub mniejszym błędem, zależnie od precyzji narzędzia, którem mierzymy), bądź dlatego, że d?ia- , łania, jakie mamy na danych liczbach wykonać, byłyby bardzo skomplikowane i żmudne, gdybyśmy brali ich wartości dokładne; w rachunkach posługujemy się, więc,

Rachunek różniczkowy I.

2

gorszem lub lepszem, przybliżeniem, zależnie od tego, o jaką dokładność nam chodzi.

. 1

Np. 1. Liczba 3 1 4 1 6 jest przybliżeniem na 2q“qq^

liczby n, to znaczy:

| ? r - 3 -1 4 1 6 1 < 2o;qOÓ-

2. Liczba 1*41 je st przybliżeniem \/2 na — Jeżeli a przybliża b z błędem mniejszym niż £, to mamy, jak wiemy, \a — b\ < £. Możemy wówczas na­

pisać t e ż :

a — £ ^ . b - ^ a + £ (porównaj wstęp 7).

Powiadamy, że odcinek ciągu przybliża pewną liczbę g z błędem mniejszym niż £, jeżeli każdy wyraz tego odcinka przybliża g z błędem mniejszym niż £.

nt • -i 1 1 1

Np. o ciągu 1, -¿p 3» ••• n ••• możemy powie­

dzieć, że odcinek przybliża zero z błędem mniej­

szym niż ^

Jeżeli jakiś odcinek ciągu przybliża g z błędem mniejszym niż £, to każdy odcinek w nim zawarty, czyli każdy późniejszy, przybliża też g z błędem mniej­

szym niż e.

Np. w przykładzie poprzednim /^ooo przybliża też zero z błędem mniejszym niż ^qqq-

14. Definicja granicy. Powiadamy, że liczba g jest granicą ciągu a ,, a2, a3, . . . a n, . . . jeżeli w ciągu tym istnieją odcinki, które przybliżają g z błędem tak małym, jak nam się pod oba; innemi słowy, jeżeli

19 dla każdej liczby £ > O istnieje odcinek, który przy­

bliża g z błędem mniejszym niż s l).

Piszemy t o : lim a n = g, a zamiast mówić, że

n — oo

ciąg ma granicę g, mówimy nieraz, że ciąg jest zbieżny do g, lub że ciąg zmierza do g. Podobnie mówimy nieraz: „ciąg jest zbieżny“, zamiast „ciąg ma granicę“.

P r z y k ł a d y : 1. lim J _ — o

H- - n

2. Ciąg { 0 -6, 0 ’66, 0 '6 6 6 ,. . . } ma granicę równą liczbie 0666 . . . = ~ .

3. Ciąg o wyrazie ogólnym a„ — —źp-j ma jako granicę liczbę 1. Żeby to wykazać, weźmy pod uwagę dowolny odcinek An. Jeżeli a n należy do odcinka An, czyli jeżeli N, to

1 —

n + 1

1 i n + 1

a więc odcinek An przybliża liczbę 1 z błędem mniej­

szym niż - jj .Jeżeli więc chcemy, żeby błąd był mniejszy od pewnej liczby s > 0 | np. e = ^ q q j > to wystarczy obrać N tak, abyśmy mieli < s, czyli N > - i - . Każdy więc odcinek rzędu większego niż przybliża 1 z błę­

dem mniejszym niż e. Ponieważ e jest dowolne, więc ') Jak łatwo widać, def. granicy, podana poprzednio, jest równoważna z powyższą.

2

istnieją odcinki, które przybliżają 1 z błędem dowolnie małym,

zatem lim —-j—— == 1. n — oo n. “i I

Je s t to typowy sposób udowadniania, że jakiś ciąg {a n } ma granicę g. Zanalizujemy ten dowód.

A więc bierzemy naprzód pod uwagę dowolny odcinek An i dowolny wyraz a„ tego odcinka, czyli wyraz, którego wskaźnik jest większy lub równy N.

Badamy różnicę | g — a n | i staramy się, znając N, wy­

znaczyć jedną liczbę, od której wszystkie | g — a„ j by­

łyby mniejsze, jeżeli tylko n ^ N, t. zn. jeżeli tylko a n należy do An- W poprzednim przykładzie liczbą tą było Liczba ta będzie wyznaczona pewnem wyra­

żeniem, w którem występuje t y l k o N, a nie wystę­

puje n. Następnie staramy się wykazać, że istnieją od­

cinki, dla których odpowiednia liczba jest dowolnie mała.

Jeżeli zatem ciąg ma granicę g, to do dowolnego e > 0 istnieje w ciągu odcinek An, którego wszystkie wyrazy przybliżają g z błędem mniejszym niż e. W ięc jedynie takie wyrazy mogą nie przybliżać g z biędem mniejszym niż s, które do odcinka An nie należą, a tych jest tylko skończona liczba. Możemy zatem pow iedzieć:

Jeżeli lim a n — g i jeżeli £ > 0, to tylko s k o ń-

11...co

c z o n a liczba wyrazów ciągu różni się się od g o £ lub o więcej niże. Naodwrót: Jeślibyśm y o danym ciągu { a n1 wykazali, że istnieje liczba g taka, że przy do­

wolnie obranem £ > 0 tylko skończona liczba wyrazów tego ciągu różni się od g co najmniej o s, to możemy wtedy twierdzić, że lim a„ — g', obierając bowiem

n — >»co

dowolną liczbę e > 0, możemy twierdzić, że istnieje w ciągu taki odcinek A„, który żadnego z tej skoń-

21 czonej liczby wyrazów nie zawiera, a więc, którego wszystkie wyrazy przybliżają g z błędem mniejszym niż £.

Nieraz powyższe postępowanie łatwo pozwala do­

wieść, że pewna liczba je st granicą ciągu.

P r z y k ł a d : W ykazać, że lim ^ n *

n — co J TL ” I ’ ¿L J

Weźmy dowolną liczbę s > 0 i zbadajmy, ile jest wyrazów, różniących się od - y co najmniej o 3 s. W tym

3_

celu zbadajmy różnicę 5 a,, . O tó ż : 3_

5

3 3 / 2 + 1 | 1 1 5 5/1 + 2 1 25 n + 10

1 25 n + 10 T e więc tylko wyrazy różnią się od ~ co najmniej o f, dla których 25 n + 1 0~ £ ^e s *: *:u*:aj wskaźnikiem badanego wyrazu), lecz s tą d :

25 n + 10 —

25 n < — — 10 s

w ię c :

— — 10 8

25

Lecz liczb naturalnych, nie większych od pewnej danej liczby jest co najwyżej skończona liczba, a więc w szcze-

j

10

gólności liczb naturalnych nie większych od — ^5

może wogóle nie być j np. dla £ —5, £ = — j, a jeżeli c, że są, to tylko w skończonej liczbie. Widzimy więc, że tylko dla skończonej liczby wyrazów jest 3---a„

O

a więc _^ « — >- co Qn ~ 5 .

U w a g a : Przy dowodzie, że dany ciąg { a n ) ma granicę g, t. j. że do k a ż d e g o £ > 0 istnieje odci­

nek A n, przybliżający g z błędem mniejszym niż £, można zawsze przyjąć, że £ jest mniejsze od pewnej dowolnej liczby dodatniej cc, np. mniejsze od ~jqq'> bo odcinek A,„ przybliżający g z błędem mniejszym od

£ < «, przybliża g tem bardziej z błędem mniejszym od dowolnego £ ^ a. Z uwagi tej niebawem skorzystamy.

Z a d a n i a :

1. W ykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym a„ —, 1 4- 2 + 3 + . . . + n . 1

=■--- —--- ma granicę y .

2. W ykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym a„ —

— — (1 + x + x i + . . . + x") jest dla x > 1 zbieżny

V

do granicy x — l '

■ ■ ■ i 3 n2 — 2 n + 6 \

3. W ykazać, ze ciąg j — j ni + \2— j ma Zr&~

nicę - y3

} ( ” )] 1

4. W ykazać, że ciąg ma 2Tan*c ę 120

23

* Tw ierdzenia o gran icy ciągów .

15. Zbieżność ciągów o równych w yrazach. J e ­ żeli wyrazy ciągu { a „ } są wszystkie równe tej samej liczbie g, to liczba ta je s t granicą ciągu.

M 1 . 1 1 1

Np. ciąg a „ ~ Y > więc ^{y , y , y ,} . . . ma granicę y .1

Dowód wynika z uwagi następu jącej: Gdy weź­

miemy dowolną liczbę £ > 0, to wszystkie wyrazy przybliżają g z błędem mniejszym niż s, bo z błę­

dem = 0:

I g — °n | = | g — g | = 0.

16. Niezależność g ran icy od porządku wyrazów.

Granica ciągu zbieżnego nie zależy od porządku wy­

razów, t. zn. granica ciągu zbieżnego nie zmieni się, gdy zmienimy w nim porządek wyrazów.

Np. C iąg | — j ma granicę 0. Jeżeli zmienimy porządek wyrazów w ten sposób, że wyraz rzędu pa­

rzystego przesuniemy o jedno miejsce wstecz, wyraz zaś rzędu nieparzystego przesuniemy o jedno miejsce wprzód to otrzymamy ciąg { ¿ « } następujący:

i. I 1 JL 1 J_

O tóż ten nowy ciąg ma też granicę 0.

D o w ó d : Niechaj ciąg { an} ma granicę g. N ie­

chaj {b„ } będzie to ciąg powstały z ciągu {a n } przez zmianę porządku wyrazów. Ponieważ lim a n = g, więc

n —-^-co

jeżeli weźmiemy sobie dowolną liczbę £ > 0, to istnieje odcinek An, który przybliża g z błędem mniejszym

niż £. Lecz na mocy twierdzenia ze str. 16 odcinek An zawiera w sobie jakiś odcinek ciągu { ¿ «} , powiedzmy odcinek Bu• Jasną jest rzeczą, że odcinek Bu, jako za­

warty w odcinku An, przybliża g też z błędem mniej­

szym niż £. A więc jeżeli obierzemy sobie dowolną liczbę £ > 0, to znajdziemy w ciągu { b„ } odcinek Bu, który przybliża g z błędem mniejszym niż s, czyli lim b„ — g.

n —>-<»

U w a g a : Z twierdzenia powyższego wynika, że jeżeli ciąg {a„ } jest rozbieżny, to każdy ciąg, różniący się od niego tylko porządkiem wyrazów, jest również rozbieżny.

17. Zbieżność ciągów częściowych. Każdy ciąg częściowy ciągu zbieżnego ma tę samą granicę, co ciąg pierwotny.

U w a g a : Ciąg częściowy otrzymujemy, wyjmując z ciągu danego nieskończoną liczbę wyrazów i przy­

porządkowując je liczbom naturalnym w tym porządku, w jakim występowały pierwotnie.

P r z y k ł a d : Uważajmy ciąg a„ = — . W ybierz­

my z niego wszystkie wyrazy o wskaźnikach nieparzy­

stych. Otrzymamy nowy ciąg \ bn \ ■

JL 1 Ł JL

więc b„ — — 7■ O tóż ponieważ lim a n = 0, więc

Z f l 1 n — > - oo

lim bn = 0. n — > - o o

D o w ó d : Niechaj { a n } będzie ciągiem pierwot­

nym zbieżnym do granicy g, zaś {bn } jego ciągiem częściowym. Do dowolnego £ > 0, dobierzemy taki od­

cinek An, który przybliża g z błędem mniejszym niż e.

25 Lecz jasną jest rzeczą, że odcinek An zawiera w sobie jakiś odcinek Bk ciągu [b n ), gdyż [b „} jest ciągiem częściowym ciągu { a, , } . W ob ec tego Bu przybliża też g z błędem mniejszym niż e. A więc wziąwszy sobie do­

wolną liczbę e > 0, znajdziemy odcinek B i przybliża­

jący g z błędem mniejszym niż s, t. zn. lim b„ = g.

n — >-c©

P r z y k ł a d : C iąg

j ^ j

21)

do granicy ~ . Zatem ciągi

f 3 (n* + n) + 1 \ ( 3 (2 n + 1) + 1 \ j 5 , 2"* + 1 \ 15 (n2 + n) + 2 * ’ 15 (2 /i + 1) + 2 i ’ 15 . 2"2 + 2 1 ’ które są jeg o ciągami częściowemi, mają tę samą granicę.

U w a g a : Ważną jest rzeczą pamiętać, że jeżeli ciąg częściowy jest zbieżny, to ciąg pierwotny nie musi być zbieżny.

Np- ciąg 1, y , 1, -Ą-, 1, y , ... jest roz- ... 1 1 1

bieżny, ciąg zas częściow y: y , , ... jest zbieżny do zera.

18 . Granica ciągu o w yrazach nieujemnych.

Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu zbieżnego są nieujemne, to granica jest również nieujemna.

D o w ó d wynika z uwagi, że jeżeli /.t je s t liczbą ujemną, a d zaś liczbą nieujemną, to | d — fi | | ju|.

Czyli liczba nieujemna różni się od liczby ujemnej co najmniej o bezwzględną wartość liczby ujemnej. Jeżeli więc mamy jakiś ciąg [ a n } o wyrazach nieujemnych i jakąś liczbę ujemną ft, to żaden odcinek tego ciągu nie przybliża fi z błędem mniejszym niż | fi \ . Błąd ten

więc nie może być dowolnie m ały; zatem fi nie jest granicą naszego ciągu. C iąg więc ma jako granicę liczbę nieujemną.

19. Granica sumy i różnicy ciągów . Suma dwóch ciągów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym do sumy granic tych ciągów.

P r z y k ł a d : Niechaj ciąg {a n} będzie ciągiem ( l - y ~ } > ci3 ? { M * ciągiem [ f f - J j i y } > ci3£ i 0«' »

. . f 3 n — 1 , . 1 1 } 8n2 — 5 n — 11

= i ... - } •

Ponieważ lim a„ = 1, lim b„ = ^-3ę^- , więc lim c„ —

n — oc n— >-co -5

- i + A = A.

5 5

D o w ó d : Niechaj } a„ } ma granicę a, ciąg { bn } ma granicę b. Wyrazy ciągu { c„ j, który jest ich sumą, mają kształt: c„ = a„ + bn. Otóż mamy udowodnić, że lim c„ = a + b.

n — >- cc

Ponieważ lim a„ = a, lim bn = b, więc wziąwszy

n — >> oc ti — oo

dowolną liczbę £ > 0, znajdziemy odcinki An i Ą , które przybliżają odpowiednio a i b z błędem mniejszym niż £.

Niechaj R będzie liczbą całkowitą większą od N i od k. Oczywista, że odcinki Ar i Br, jako zawarte odpowiednio w odcinkach An i B k, też przybliżają a względnie b z błędem mniejszym niż £. Ponieważ każdy wyraz cn, należący do Cr, jest kształtu: (a,, + bn), gdzie a n i b,, należy do Ar, względnie do Br więc

| a — an | < « i l i — bn | < f , zatem , a + b — c„ | = | a + b — a„ — bn \ — \(a — a„) +

(b — ¿>„)j < | a — a n i + \b — ¿„ ) < 2 £.

27 A więc odcinek Cr przybliża (a + b) z błędem mniej­

szym niż 2 e. Gdybyśmy więc chcieli, żeby odcinek Cr przybliżał nam (a + b) z błędem mniejszym niż pewna dowolna liczba rj > 0, wystarczyłoby na początku wziąć takie £ > 0, abyśmy mieli 2 £ < r\, czyli wystarczyłoby wziąć £ < ~ . A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę i] > 0, znajdziemy taki odcinek Cr, który przybliża (a + b) z błędem mniejszym od ij, t. zn. //m c„ = a + 6.

n — >-co

P r z y k ł a d : Ciąg

|

jest zbieżny do zera.

U w a g a : Twierdzenie powyższe możemy tak na­

pisać : Jeżeli ciągi {a ,,} i { b„ } są ciągami zbieżnemi, to lim (a„ -r b„) = lim a„ + lim b„-

n —*>- oo n — oo n — >-oo

Podobne twierdzenie stosuje się do różnicy dwóch ciągów, a więc:

lim (a„ — bn) — lim a n — lim b„

n — >- oo n — >- oo n — >- cc

Dowód jest analogiczny, gdyż:

ja — b — c„\ — i a — b — a„ + bn =

, = |(a — a„) — (b — b„) | •< | a — a„ | + j b — bn j •< 2£.

2 0 ; Granica iloczynu ciągów. Iloczyn dwu cią­

gów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym, a jego granica równa się iloczynowi granic tych ciągów.

2n

P r z y k ł a d : Niechaj ciąg { a „ } będzie ciągiem { l — ci ^ { ^ " ! ciągiem { 5” } ’ c!^ 1 c« I ciągiem { a n . b„ }. W ów czas:

c„ = a„ . bn = ( l — — ) • 5 n _ 1 =

— n — 1 3n — 1 _ 3ril — An + 1 n 5 n — 1 5 n* — n ’

ponieważ lim a„ = 1, lim b„ = -3ę-, więc lim c„ —

n t> n — cc J n — 00

D o w ó d : Niechaj ciąg { o«} ma granicę a, ciąg

| bn} granicę b. Wyrazy ciągu { c „} , który jest ich ilo­

czynem, są : cn = a„ . b,t. Mamy udowodnić, że:

lim c„ — a . b.

I I ---CO

Ponieważ lim an — a, zaś lim bn — b, więc

n— n— 00

wziąwszy dowolną liczbę dodatnią £ < 1 (por. uwagę str. 22), znajdziemy odcinki An i B k, które przybliżają odpowiednio a i Z» z błędem mniejszym niż £. Niechaj R będzie liczbą całkowitą, większą równocześnie od N i k. O dcinki Ar i Br, jako zawarte odpowiednio w An i S *i też przybliżają odpowiednio a i b z błę­

dem mniejszym niż £. Zbadajmy, z jakim błędem od­

cinek C r przybliża a . b . Każdy wyraz c„ odcinka C r jest równy a n . bn, gdzie a„ i b„ należą do Ar względ­

nie Br. Ponieważ

a — a n | < £ | b — b„ | < s, więc kładąc

On o. ff/i bn b m am y.

| a„ bn — ab | < £ ( | a | + | b | + 1).

Cdybyśmy więc chcieli, żeby odcinek Cr przybli­

żał a . b z błędem mniejszym niż pewna dowolna liczba t] > 0, wystarczyłoby wziąć na początku takie £ > 0, by

£ ( |a l + |&| + l ) < J J czyli e < -_____1____

|a| + |6| + l ’

A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę r\ > 0, znaleźć możemy taki odcinek Cr, że wszystkie jeg o wy­

razy, przybliżają a . b z błędem mniejszym niż r\, t. zn.

lim c„ ~ ab.

n - oo

U w a g a : Twierdzenie powyższe możemy tak na­

pisać: Jeżeli {a n} i są ciągami zbieżnemi, to lim (a„ bn) — lim a„ • lim bn

n — oo n — oo n — oo

P r z y k ł a d : Ciąg

je st zbieżny i ma granicę 6.

2 1 . G ranica iloczynu ciągu przez liczbę. Jeżeli

|a„) jest ciągiem zbieżnym do granicy a, zaś m jest dowolną liczbą, to ciąg {m . a „) jest zbieżny do gra­

nicy m. a, czyli

lim (m . an) = 'm . lim a n.

ji — cc n —>-oo

Dowód otrzymamy z poprzedniego twierdzenia, kładąc b„ — m (n — 1, 2, 3, . , . ) .

22. Granica ilorazu ciągów . Iloraz dwu ciągów zbieżnych ma granicę równą ilorazowi granic, pod wa­

runkiem, że wszystkie wyrazy i granica ciągu, przez który dzielimy, są różne od zera.

Np. niechaj będzie:

_ j . 1 Ł _ 3 r c + 1

a " 1 n ’ K 5 n + l _ a„ _ 5n2 + 6/1 + I

bn 3/j2 + n Ponieważ:

3 a = lim a n ~ 1, b = lim bn = —5

, 3 5 w ię c : hm cn = l : w

n — y - co D *3

D o w ó d : Postępując podobnie jak w dowodzie o granicy iloczynu, otrzymujemy odcinki A^ri B^r, przy- przybliżające a i b z błędem mniejszym niż £. Przyj­

mijmy przytem, że £ < ^ | b |. (Por. uwagę str. 22.) Zbadajmy teraz, z jakim błędem odcinek C^r przybliża y.

b D ają c literom a n i (}„ znaczenie takie jak w dowodzie twierdzenia o iloczynie, mamy:

|b | | a n | + | a | | /?„ |

a n a _bccn apn

bn 6 b (b + /?„) b j | b + (jn |

Poniew aż: | e P < ^ | 5 | , w ięc:

... . 1

31

zatem : | b + pn \ ^ \ b |

Na mocy powyższej nierówności możemy n ap isać:

On _

bn b

Gdybyśmy więc chcieli, żeby odcinek Cr przy­

bliżał ^ z błędem mniejszym, niż pewna dowolna liczba

>J > 0, wystarczyłoby wziąć na początku takie e > 0, by

1) £ C | | | |

2) i f l t M | < n

Innemi słowy wystarcza wziąć s dodatnie, mniejsze

1 , *

od liczb x | 6 | i v i , i1

2* j CL J * | u j

A więc wziąwszy sobie dowolną liczbę r] > 0, znaleźć możemy taki odcinek Cr, że wszystkie jego wyrazy przybliżają ~ z błędem mniejszym niż q, t. zn., że

l im c„ — j-

n — oc O

U w a g a : Twierdzenie powyższe napisać możemy w sposób następujący:

lim a n l i m Gn ^__ n— > - o o

" a b„ lim bn n - — > - o o

(przy wymienionych założeniach).

Z a d a n i a :

1 wr i - • . /3n s + 1 8 \

1. Wykazać, ze ciąg j i.ns' + ^ J ma 8frarucę zero.

2 w u • ■ • (ti)S • 1

2. Wykazać, ze ciąg ^—y- I ma granicę

3. W ykazać, że c i , ? { | § ± § ( l + i + } . 5

ma granicę y .

4. W ykazać, że jeżeli ciągi { a n), {bn } mają tę samą granicę, to ciąg {a„ — bn } ma granicę zero.

* K ry terja zbieżności.

23. Zbieżność ciągów monofonicznych i o g ra ­ niczonych. Zapytajmy się teraz, w jaki sposób można stwierdzić, czy dany ciąg {a„ } je s t zbieżny. O tóż już poprzednio wypowiedzieliśmy twierdzenie następujące:

Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.

Dowód tego twierdzenia pomijamy jako trud­

niejszy.

Zauważmy jednak, że jest ono bardzo oczywiste.

Np. ciąg pól 2" boków umiarowych wpisanych w kolo jest rosnący, ograniczony (bo wszystkie leżą np. w kwa­

dracie na kole opisanym) i, jak już to było intuicyjnie jasne dla Archimedesa, ma- jako granicę pole koła.

Nie każdy jednak ciąg zbieżny jest monofoniczny.

( ( —1)"1

Np. ciąg |1 + — —— j nie jest monofoniczny, a jak łatwo widzieć, ma granicę 1.

24. W arunek Cauchy’ego. Powiadamy, że ciąg {a,,} spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli istnieje prawo, przypisujące każdej liczbie dodatniej s odcinek, któ­

rego dwa jakiekolwiek wyrazy różnią się od siebie o mniej niż e.

T w i e r d z e n i e : Każdy ciąg zbieżny spełnia wa­

runek Cauchy’ego (t. j. warunek Cauchy’ego jest dla zbieżności konieczny).

(str. 19) jest zbieżny do granicy 1, spełnia warunek Cauchye’go. Mamy bowiem:

D o w ó d : N iechaj lim a„ = a. Jeżeli r\ je st do- który, jak wiemy

Qn O-m \

n m

Jeżeli więc m > N, n > N, to i G/l Am | ''C ~jy'

Dla N > 2 m^> N, n > N jest w ięc:

I a n — a m | < £.

n co

wolną liczbą dodatnią, to istnieje odcinek An, który 3

przybliża a z błędem mniejszym niż t]. Niechaj a„, i ap będą wyrazami odcinka An■ Zatem

a m ~ a < rj ap ~ a < rj.

Ponieważ:

| am ~ ap | = | a m — a + a — ap | | a m — a \ + | a — ap \, w ięc:

j O-m CLp j 2łJ.

Jeżeli teraz e będzie dowolną liczbą dodatnią, to

£

biorąc *1 = 2' w*dzimy, ze dwa dowolne wyrazy a m i ap odcinka An różnią się od siebie o mniej niż 2»? = £.

C iąg nasz spełnia więc warunek Cauchy’ego.

Można również udowodnić twierdzenie odwrotne.

T w i e r d z e n i e . Każdy ciąg, spełniający warunek Cauchy’ego, jest zbieżny (t. j. warunek Cauchy’ego jest dla zbieżności dostateczny).

Zbierając oba ostatnie twierdzenia, możemy po­

wiedzieć :

Warunkiem koniecznym i wystarczającym dla zbież­

ności ciągu jest to, by ciąg spełniał warunek Cau- chy’ego.

25. Ograniczoność ciągów zbieżnych. Jeżeli {an ! jest ciągiem zbieżnym do granicy g, to wszystkie wyrazy, od pewnego począwszy,spełniają nierówność \a„— ¿ i < l , czyli — 1< a „ — g < + 1, lub g - 1 < a n < g + 1 . Z tej nierówności, oraz z uwagi na to, że pozostałych wy­

razów jest tylko liczba skończona, wynika, że ciąg i a,,' jest ograniczony.

Udowodniliśmy więc

T w i e r d z e n i e : Każdy ciąg zbieżny jest ogra­

niczony.

Odwrócenie tego twierdzenia jest fałszywe, jak widać na przykładzie ciągu { ( — 1) " } . ograniczonego i rozbieżnego.

26. Zbieżność ciągu, zaw artego między dwoma innemi. Jeżeli mamy dane trzy ciągi {a„ }, {¿>n }, {c„}

spełniające następujące warunki:

1) lim a n = lim b„ = g

n— > - o o n— > - o o

2) a n < c„ < b„ (dla n =. 1, 2, 3 , . . . ) , to ciąg (en) jest zbieżny i lim c„ = g.

n — > - o o

D o w ó d : Niechaj £ będzie dowolną liczbą do­

datnią. Istnieją takie odcinki An i Bn, które przybli­

żają g z błędem mniejszym niż £. Wykażemy, że i od­

cinek Cn przybliża g z. błędem mniejszym niż £. Jeżeli bowiem c„ należy do odcinka Cn, wówczas na mocy założenia

Qn C/i bn,

w ięc:

g — b n < g — C* < £ - a„ ,

ale wyrazy a n względnie bn należą do odcinka A n względnie Bn, w ięc:

— z < g — b n

g — a„ < £.

Stąd otrzymamy nierów ność:

~ £ < g ~ cn < £ czyli:

| g — cn \ < £.

W ięc każdy wyraz odcinka Cn przybliża g z błędem mniejszym niż £. Ponieważ £ było liczbą dowolnie obraną, więc lim cn — g

11 —■>- Co

35

3*

P r z y k ł a d . Niech

n yjn*' + 1 yn2 + 2 \jn* + n Mamy wtedy

1 1

< Cn < n

Vn2 + n ^ " V71* + i a ponieważ

\/n2+ n < n + 1, \]n* + 1 > n, więc tern bardzie]:

n > c;! -< n ---- 1 — 11_.

T i + l n

Kładąc a„ = ^ , b„ = 1, mamy, jak wiadomo, lim a„ = 1 //m = 1.

n — oo n — co

Stąd lim c„ — 1.

n—>-os Z a d a n i a :

1. W ykazać, że jeżeli ciąg ¡ o«} ma g ran icę^ , to ciąg | an2 } ma granicę gs.

2. W ykazać, że jeżeli ciąg j a „ } ma granicę g, to ciąg { 5 on3 + 1 8 a n ~ 1} ma granicę {5g3 + 18^ — 1).

Uogólnić to.

3. W ykazać, że ciąg \E (n \ 2) } jest rosnący i ogra­

niczony.

4. W ykazać, że ciąg {an }, określony w sposób następujący:

_ n _ 1 _ a n —1 + a n - 2 / _ r>\

O, a 2 1? Q/i q \n ^

37

a więc ciąg :

n i i 1 1 11 31

’ ’ 2 ’ 4 ’ 8’ 16’ 3 2 ’ ma tę własność, że:

„ _ A = A :( J i ir , 9 ^ . . .

0/1 3 3 2” ~ 1 ~

a więc jest zbieżny do granicy — . (Dowód przez in­2 dukcję.)

5. W ykazać, że ciąg

i Q° nk + o i nk ~ 1 + • • • + ak - i n + a* \ 1 60 n* + n* ~1 + • ■ • 4- bk - 1n + bj, 1

1 4- 1 4- 1 I

a0 + a i -r- + ■ ■ • + a* _ i —r—: + a* —?-

n nK 1 Tik >

b0 + bi A +•••-)- b k -\ - j z r x + bk ~ k i

n n n K>

jest zbieżny do granicy — przy założeniach:

0 o

¿»o^O, b0 nk + bi nk ~ 1 + • • • + bi, 4= 0 dla wszystkich n.

6. W ykazać, że jeżeli ciąg j ^ ~ j (^« > 0 ) jest f «i + a 2 + • • • a n ] . , .

m onotoniczny, to cią g i 7-- , ...r --- -r- f jest rów nież l U j ¹ O ² ** * * U n J

monotoniczny.

7. W ykazać, że o i,s + }

ma gran icę — .X

8. Niech

ai — \ x , «71 + 1 = \ -v + a„ (x > 0), a w ięc:

o2 — \X + \j x , o3 = \x + + \] x i t. d.

W ykazać, że ciąg { ^{a „} } jest rosnący i że a n < x + 1 (przez indukcję). Ciąg { a„ } jest więc zbieżny.

9. O pierając się na wynikach zadania 8 i na w zorze:

wykazać, że oznaczając przez g granicę ciągu { a„ j, mamy:

10. W ykazać, że każdy ciąg, zawierający nieskoń­

czenie wiele zer i jedynek, jest rozbieżny.

11. W ykazać, że ciąg, którego wszystkie wyrazy są liczbami całkowitemi, jest wtedy i tylko wtedy zbieżny, jeżeli wszystkie wyrazy, od pewnego począwszy, mają tę samą wartość.

12. W ykazać, że granica g ciągu zbieżnego ( ani , którego wyrazy spełniają nierówność:

spełnia tą samą nierówność.

O bliczenie pewnych g ran ic. L iczb a e.

27. W yznaczenie niektórych gran ic. Udowodnimy teraz dwa twierdzenia, z których w dalszym ciągu b ę­

dziemy korzystać.

a 2„ ^{+ 1} = x + a,„

g* = x + g, a stąd

A < a„ < B ,

39 T w i e r d z e n i e : O znaczając przez { a„ } dowolny ciąg liczb naturalnych rozbieżny do + 00, m amy:

1°. lim A an = + 00 dla A > 1

/»-■>-« = 1 „ A = 1

= 0 „ 0 < A < 1

% __

2°. lim = 1 dla .4 > 0

n—>-00 D o w ó d :

1°. Istotnie, jeżeli A > 1, to na podstawie znanej nierówności (wstęp 3) jest

A an > 1 + a„ (A — *1).

Oznaczmy przez M dowolną liczbę dodatnią.

Ponieważ ciąg {cr„ } jest rozbieżny do + co, więc istnieje w nim wyraz a N, od którego począwszy jest On > -a E Ą ’ czyH 1 + '«n (A — 1) > M. Dla n > N mamy zatem A an > M, czyli, wobec dowolności M, lim A a" — + 00.

n — >- cc

Jeżeli A = 1 , to A a” = 1 przy każdem n, a więc i lim A an —1 ; podobnie, jeżeli A = 0, to A an = 0

n—■>» cc

(n = 1, 2, . . . ) , a więc i lim A a,t —0. n—>-00

W reszcie, jeżeli 0 < . A < 1 , to > 1, zatem

= + « • Ponieważ A a* = wi<?C

z uwagi na podane twierdzenie (str. 14) otrzymujemy lim A “n = 0.

2°. Załóżmy najpierw, że A ^ 1. Wówczas również

a-n ___ a/i _

V A ^ 1. K ładąc więc \l A = 1 + e„ (e„ 0), mamy A — (1 + f,,)“71 ;> 1 + ccn En (por. wstęp 3 ) , a więc

Ą __ \

0< £ „ < --- --- . Ponieważ lim an = + oo, zatem

n — > - o o

^ 0 (P °r- Str- 14) ‘ Ci£l? ieSt wiSC zawarty między ciągami {0}, j — --- j zbieżnemi do zera. Stąd na podstawie znanego twierdzenia (str. 35)

* &n

wynika, że lim e„ = 0 ; a więc lim \/ A = 1.

n — > - oo n — > - o o

J eŻel!

0 < A < 1, to -ą- > 1, zatem ^ = 1. Po- 1

«/i &n : ^

nieważ \J A — Y/"^ , więc również i w tym wypadku a/i_

mamy: lim A — ---= — = 1.

,,- ^ oe lim “n/ J_

\ A

Udowodniliśmy więc w zupełności nasze twier­

dzenie.

T w i e r d z e n i e : Przy dowolnie obranem A' jest lim ± 1 = o.

n— ni

D o w ó d : Niech x będzie dowolną liczbą. O bierz­

my liczbę naturalną k, spełniającą nierówność : x \ < k.

I x |

Oznaczając przez # liczbę mamy: