Definicja
Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.
Dziedzina funkcji – zbiór Ω. Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .
Definicja
Jeżeli dla dowolnych z1, z2 ∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z2 mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.
Definicja
Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.
Dziedzina funkcji – zbiór Ω. Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .
Definicja
Jeżeli dla dowolnych z1, z2 ∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z2 mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.
Definicja
Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Ważne przykłady funkcji zespolonych
1 sprzężenie: f (z) = z
2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C
3 wielomian: f (z) = anzn+ an−1zn−1+ · · · + a1z + a0, a0, a1, . . . , an∈ C
4 inwersja: f (z) = 1 z
5 homografia: f (z) = az + b
cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C
6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)
Q(z), gdzie P, Q – wielomiany
7 funkcja wykładnicza: f (z) = ez
8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Oznaczmy: w = f (z), z = x + jy . Dla danego z ∈ C wartość w ∈ C, zatem można zapisać w = u + jv , gdzie u = Re w , v = Im w – są to funkcje zmiennej z ∈ C, zatem zmiennych x, y ∈ R, tzn. u = u(x, y ), v = v (x , y ). Można zapisać:
f (z) = u(x , y ) + jv (x , y )
Funkcję u(x , y ) nazywamy częścią rzeczywistą funkcji f (z), a v (x , y ) – jej częścią urojoną.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Oznaczmy: w = f (z), z = x + jy . Dla danego z ∈ C wartość w ∈ C, zatem można zapisać w = u + jv , gdzie u = Re w , v = Im w – są to funkcje zmiennej z ∈ C, zatem zmiennych x, y ∈ R, tzn. u = u(x, y ), v = v (x , y ). Można zapisać:
f (z) = u(x , y ) + jv (x , y )
Funkcję u(x , y ) nazywamy częścią rzeczywistąfunkcji f (z), a v (x , y ) – jej częścią urojoną.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Przykład
Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji f (z) = z2.
Uwaga
x = 1
2(z + z), y = 1
2j(z − z)
Przykład
Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u(x , y ) = x − y i części urojonej v (x , y ) = x + y .
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Przykład
Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji f (z) = z2. Uwaga
x = 1
2(z + z), y = 1
2j(z − z)
Przykład
Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u(x , y ) = x − y i części urojonej v (x , y ) = x + y .
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Przykład
Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji f (z) = z2. Uwaga
x = 1
2(z + z), y = 1
2j(z − z)
Przykład
Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u(x , y ) = x − y i części urojonej v (x , y ) = x + y .
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y )
Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1 = z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj.
Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1 = z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1= z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez 6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1= z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez 6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1= z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez 6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1= z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez 6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
5 ez1 = ez2 ⇔ z1= z2+ 2kπj , k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcję wykładniczą określamy wzorem:
ez def= ex +jy = ex(cos y + j sin y ) Przykład
Obliczyć: a) e1+j, b) e2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 ez 6= 0
2 ez1+z2 = ez1· ez2
3 (ez)k = ekz, gdzie k ∈ Z
4 ez+2kπj = ez dla k ∈ Z – funkcja f (z) = ez jest okresowa, T = 2πj
z z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:
sin z def= 1
2j(ejz− e−jz), cos z def= 1
2(ejz+ e−jz), tg z def= sin z
cos z, ctg z def= cos z sin z Przykład
Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:
sin z def= 1
2j(ejz− e−jz),
cos z def= 1
2(ejz+ e−jz), tg z def= sin z
cos z, ctg z def= cos z sin z Przykład
Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:
sin z def= 1
2j(ejz− e−jz), cos z def= 1
2(ejz+ e−jz),
tg z def= sin z
cos z, ctg z def= cos z sin z Przykład
Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:
sin z def= 1
2j(ejz− e−jz), cos z def= 1
2(ejz+ e−jz), tg z def= sin z
cos z,
ctg z def= cos z sin z Przykład
Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:
sin z def= 1
2j(ejz− e−jz), cos z def= 1
2(ejz+ e−jz), tg z def= sin z
cos z, ctg z def= cos z sin z
Przykład
Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:
sin z def= 1
2j(ejz− e−jz), cos z def= 1
2(ejz+ e−jz), tg z def= sin z
cos z, ctg z def= cos z sin z Przykład
Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 sin2z + cos2z = 1
2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π
3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π
4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z
5 cos z = 0 ⇔ z = π2 + kπ dla k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 sin2z + cos2z = 1
2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π
3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π
4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z
5 cos z = 0 ⇔ z = π2 + kπ dla k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 sin2z + cos2z = 1
2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π
3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π
4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z
5 cos z = 0 ⇔ z = π2 + kπ dla k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 sin2z + cos2z = 1
2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π
3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π
4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z
5 cos z = 0 ⇔ z = π2 + kπ dla k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 sin2z + cos2z = 1
2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π
3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π
4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z
5 cos z = 0 ⇔ z = π2 + kπ dla k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z1, z2∈ C. Wtedy
1 sin2z + cos2z = 1
2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π
3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π
4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z
5 cos z = 0 ⇔ z = π2 + kπ dla k ∈ Z
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Logarytmem naturalnym liczby z ∈ C nazywamy każdą taką liczbę w ∈ C, która spełnia warunek
ew = z
Jeżeli ten warunek jest spełniony, piszemy w = Ln z Uwaga
Ze wzgledu na okresowość funkcji ew, logarytm nie jest określony jednoznacznie: Ln z nie jest funkcją w dotychczasowym sensie – jest to przykład tzw. funkcji wieloznacznej.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Logarytmem naturalnym liczby z ∈ C nazywamy każdą taką liczbę w ∈ C, która spełnia warunek
ew = z Jeżeli ten warunek jest spełniony, piszemy
w = Ln z
Uwaga
Ze wzgledu na okresowość funkcji ew, logarytm nie jest określony jednoznacznie: Ln z nie jest funkcją w dotychczasowym sensie – jest to przykład tzw. funkcji wieloznacznej.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Logarytmem naturalnym liczby z ∈ C nazywamy każdą taką liczbę w ∈ C, która spełnia warunek
ew = z Jeżeli ten warunek jest spełniony, piszemy
w = Ln z Uwaga
Ze wzgledu na okresowość funkcji ew, logarytm nie jest określony jednoznacznie: Ln z nie jest funkcją w dotychczasowym sensie – jest to przykład tzw. funkcji wieloznacznej.
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Sposób obliczania Ln z
Niech w = u + jv , z = |z|ej arg z, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π).
Wtedy z jednej strony ew = eu+jv = euejv a z drugiej strony z = |z|ej arg z zatem eu= |z| oraz ejv = ej arg z
Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|
a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj
Stąd
Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Sposób obliczania Ln z
Niech w = u + jv , z = |z|ej arg z, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony
ew = eu+jv = euejv
a z drugiej strony z = |z|ej arg z zatem eu= |z| oraz ejv = ej arg z
Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|
a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj
Stąd
Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Sposób obliczania Ln z
Niech w = u + jv , z = |z|ej arg z, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony
ew = eu+jv = euejv a z drugiej strony z = |z|ej arg z zatem eu= |z| oraz ejv = ej arg z
Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|
a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj
Stąd
Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Sposób obliczania Ln z
Niech w = u + jv , z = |z|ej arg z, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony
ew = eu+jv = euejv a z drugiej strony z = |z|ej arg z zatem eu= |z| oraz ejv = ej arg z
Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|
a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj
Stąd
Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Sposób obliczania Ln z
Niech w = u + jv , z = |z|ej arg z, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony
ew = eu+jv = euejv a z drugiej strony z = |z|ej arg z zatem eu= |z| oraz ejv = ej arg z
Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|
a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj
Stąd
Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Sposób obliczania Ln z
Niech w = u + jv , z = |z|ej arg z, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony
ew = eu+jv = euejv a z drugiej strony z = |z|ej arg z zatem eu= |z| oraz ejv = ej arg z
Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|
a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj
Stąd
Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Logarytmem głównym liczby zespolonej z nazywamy funkcję (jest to funkcja w zwykłym sensie)
ln z = ln |z| + j arg z
Uwaga
ln 0 nie istnieje. Przykład
Obliczyć ln(1 + j ) i Ln(1 + j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Logarytmem głównym liczby zespolonej z nazywamy funkcję (jest to funkcja w zwykłym sensie)
ln z = ln |z| + j arg z
Uwaga
ln 0 nie istnieje.
Przykład
Obliczyć ln(1 + j ) i Ln(1 + j ).
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Definicja
Logarytmem głównym liczby zespolonej z nazywamy funkcję (jest to funkcja w zwykłym sensie)
ln z = ln |z| + j arg z
Uwaga
ln 0 nie istnieje.
Przykład
Obliczyć ln(1 + j ) i Ln(1 + j ).