Ciągi liczbowe zespolone. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ciągi liczbowe zespolone.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ciągi liczbowe zespolone

Definicja

Ciągiem zespolonym (ozn.: (z_n)) nazywamy ciąg, którego elementami są liczby zespolone, gdzie z_n= x_n+ jy_n – n-ty wyraz ciągu, x_n, y_n ∈ R.

Definicja

Ciąg zespolony (z_n) jest zbieżny do liczby zespolonej z₀ (ozn.: lim

n→∞zn= z0) ⇔ w dowolnym kole na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie z0 znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Przykład

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 5 początkowych wyrazów ciągu

jⁿ n

 .

Ciągi liczbowe zespolone

Definicja

Ciągiem zespolonym (ozn.: (z_n)) nazywamy ciąg, którego elementami są liczby zespolone, gdzie z_n= x_n+ jy_n – n-ty wyraz ciągu, x_n, y_n ∈ R.

Definicja

Ciąg zespolony (z_n) jest zbieżny do liczby zespolonej z₀ (ozn.: lim

n→∞zn= z0) ⇔ w dowolnym kole na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie z0 znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Przykład

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 5 początkowych wyrazów ciągu

jⁿ n

 .

Ciągi liczbowe zespolone

Definicja

Ciągiem zespolonym (ozn.: (z_n)) nazywamy ciąg, którego elementami są liczby zespolone, gdzie z_n= x_n+ jy_n – n-ty wyraz ciągu, x_n, y_n ∈ R.

Definicja

Ciąg zespolony (z_n) jest zbieżny do liczby zespolonej z₀ (ozn.: lim

n→∞zn= z0) ⇔ w dowolnym kole na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie z0 znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Przykład

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 5 początkowych wyrazów ciągu

jⁿ n

 .

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Niech z_n= x_n+ jy_n, z₀ = x₀+ jy₀.

n→∞lim z_n = z₀ ⇐⇒ lim

n→∞x_n= x₀ i lim

n→∞y_n= y₀

Przykład

Obliczyć granicę ciągu z_n= n + 2

n + j1 − 3ⁿ 3ⁿ+ 1.

Definicja

Ciąg zespolony (z_n) jest rozbieżny do ∞(ozn.: lim

n→∞z_n= ∞) ⇔ prawie wszystkie wyrazy tego ciągu znajdują się poza dowolnym kołem o środku w punkcie 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Niech z_n= x_n+ jy_n, z₀ = x₀+ jy₀.

n→∞lim z_n = z₀ ⇐⇒ lim

n→∞x_n= x₀ i lim

n→∞y_n= y₀ Przykład

Obliczyć granicę ciągu z_n= n + 2

n + j1 − 3ⁿ 3ⁿ+ 1.

Definicja

Ciąg zespolony (z_n) jest rozbieżny do ∞(ozn.: lim

n→∞z_n= ∞) ⇔ prawie wszystkie wyrazy tego ciągu znajdują się poza dowolnym kołem o środku w punkcie 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Niech z_n= x_n+ jy_n, z₀ = x₀+ jy₀.

n→∞lim z_n = z₀ ⇐⇒ lim

n→∞x_n= x₀ i lim

n→∞y_n= y₀ Przykład

Obliczyć granicę ciągu z_n= n + 2

n + j1 − 3ⁿ 3ⁿ+ 1.

Definicja

Ciąg zespolony (z_n) jest rozbieżny do ∞(ozn.: lim

n→∞z_n= ∞) ⇔ prawie wszystkie wyrazy tego ciągu znajdują się poza dowolnym kołem o środku w punkcie 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= ∞ ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = ∞

Przykład

Wykazać, że ciąg zn= (1 + j )ⁿ jest rozbieżny do ∞. Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= 0 ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = 0

Przykład

Wykazać, że ciąg zn=

1 + j 2

n

jest zbieżny do 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= ∞ ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = ∞

Przykład

Wykazać, że ciąg zn= (1 + j )ⁿ jest rozbieżny do ∞.

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= 0 ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = 0

Przykład

Wykazać, że ciąg zn=

1 + j 2

n

jest zbieżny do 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= ∞ ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = ∞

Przykład

Wykazać, że ciąg zn= (1 + j )ⁿ jest rozbieżny do ∞.

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= 0 ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = 0

Przykład

Wykazać, że ciąg zn=

1 + j 2

n

jest zbieżny do 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= ∞ ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = ∞

Przykład

Wykazać, że ciąg zn= (1 + j )ⁿ jest rozbieżny do ∞.

Twierdzenie

Jeżeli (zn) jest ciągiem zespolonym, to

n→∞lim zn= 0 ⇐⇒ lim

n→∞|z_n| = 0

Przykład

Wykazać, że ciąg zn=

1 + j 2

n

jest zbieżny do 0.

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie (o działaniach na granicach ciągów zespolonych) Jeżeli (zn), (wn) – ciągi zespolone takie, że istnieją lim

n→∞zn= z0 i

n→∞lim w_n= w₀, to:

1 lim

n→∞(zn± w_n) = lim

n→∞zn± lim

n→∞wn= z0± w₀

2 lim

n→∞(az_n) = a · lim

n→∞z_n= az₀, gdzie a ∈ C

3 lim

n→∞(z_nw_n) = lim

n→∞z_n· lim

n→∞w_n= z₀w₀

4 lim

n→∞

z_n wn

=

n→∞lim zn n→∞lim wn

= z₀ w0

przy założeniu, że w0 6= 0.

Przykład Obliczyć lim

n→∞

n²+ 2jn jn²− 1 .

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie (o działaniach na granicach ciągów zespolonych) Jeżeli (zn), (wn) – ciągi zespolone takie, że istnieją lim

n→∞zn= z0 i

n→∞lim w_n= w₀, to:

1 lim

n→∞(zn± w_n) = lim

n→∞zn± lim

n→∞wn= z0± w₀

2 lim

n→∞(az_n) = a · lim

n→∞z_n= az₀, gdzie a ∈ C

3 lim

n→∞(z_nw_n) = lim

n→∞z_n· lim

n→∞w_n= z₀w₀

4 lim

n→∞

z_n wn

=

n→∞lim zn n→∞lim wn

= z₀ w0

przy założeniu, że w0 6= 0.

Przykład Obliczyć lim

n→∞

n²+ 2jn jn²− 1 .

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie (o działaniach na granicach ciągów zespolonych) Jeżeli (zn), (wn) – ciągi zespolone takie, że istnieją lim

n→∞zn= z0 i

n→∞lim w_n= w₀, to:

1 lim

n→∞(zn± w_n) = lim

n→∞zn± lim

n→∞wn= z0± w₀

2 lim

n→∞(az_n) = a · lim

n→∞z_n= az₀, gdzie a ∈ C

3 lim

n→∞(z_nw_n) = lim

n→∞z_n· lim

n→∞w_n= z₀w₀

4 lim

n→∞

z_n wn

=

n→∞lim zn n→∞lim wn

= z₀ w0

przy założeniu, że w0 6= 0.

Przykład Obliczyć lim

n→∞

n²+ 2jn jn²− 1 .

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie (o działaniach na granicach ciągów zespolonych) Jeżeli (zn), (wn) – ciągi zespolone takie, że istnieją lim

n→∞zn= z0 i

n→∞lim w_n= w₀, to:

1 lim

n→∞(zn± w_n) = lim

n→∞zn± lim

n→∞wn= z0± w₀

2 lim

n→∞(az_n) = a · lim

n→∞z_n= az₀, gdzie a ∈ C

3 lim

n→∞(z_nw_n) = lim

n→∞z_n· lim

n→∞w_n= z₀w₀

4 lim

n→∞

z_n wn

=

n→∞lim zn n→∞lim wn

= z₀ w0

przy założeniu, że w0 6= 0.

Przykład Obliczyć lim

n→∞

n²+ 2jn jn²− 1 .

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie (o działaniach na granicach ciągów zespolonych) Jeżeli (zn), (wn) – ciągi zespolone takie, że istnieją lim

n→∞zn= z0 i

n→∞lim w_n= w₀, to:

1 lim

n→∞(zn± w_n) = lim

n→∞zn± lim

n→∞wn= z0± w₀

2 lim

n→∞(az_n) = a · lim

n→∞z_n= az₀, gdzie a ∈ C

3 lim

n→∞(z_nw_n) = lim

n→∞z_n· lim

n→∞w_n= z₀w₀

4 lim

n→∞

zn

wn

=

n→∞lim zn n→∞lim wn

= z0

w0

przy założeniu, że w0 6= 0.

Przykład Obliczyć lim

n→∞

n²+ 2jn jn²− 1 .

Ciągi liczbowe zespolone

Twierdzenie (o działaniach na granicach ciągów zespolonych) Jeżeli (zn), (wn) – ciągi zespolone takie, że istnieją lim

n→∞zn= z0 i

n→∞lim w_n= w₀, to:

1 lim

n→∞(zn± w_n) = lim

n→∞zn± lim

n→∞wn= z0± w₀

2 lim

n→∞(az_n) = a · lim

n→∞z_n= az₀, gdzie a ∈ C

3 lim

n→∞(z_nw_n) = lim

n→∞z_n· lim

n→∞w_n= z₀w₀

4 lim

n→∞

zn

wn

=

n→∞lim zn n→∞lim wn

= z0

w0

przy założeniu, że w0 6= 0.

Przykład Obliczyć lim

n→∞

n²+ 2jn jn²− 1 .

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.

Dziedzina funkcji – zbiór Ω. Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .

Definicja

Jeżeli dla dowolnych z₁, z₂∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z₂ mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.

Definicja

Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.

Dziedzina funkcji – zbiór Ω.

Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .

Definicja

Jeżeli dla dowolnych z₁, z₂∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z₂ mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.

Definicja

Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.

Dziedzina funkcji – zbiór Ω. Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .

Definicja

Jeżeli dla dowolnych z₁, z₂∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z₂ mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.

Definicja

Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.

Dziedzina funkcji – zbiór Ω. Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .

Definicja

Jeżeli dla dowolnych z₁, z₂ ∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z₂ mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.

Definicja

Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy funkcję f (z) określoną w pewnym zbiorze Ω ⊂ C o wartościach zespolonych.

Dziedzina funkcji – zbiór Ω. Przeciwdziedziną funkcjinazywamy zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję f .

Definicja

Jeżeli dla dowolnych z₁, z₂ ∈ D ⊂ C takich, że z1 6= z₂ mamy f (z1) 6= f (z2), to f (z) nazywamy funkcją różnowartościową.

Definicja

Jeżeli istnieje taka liczba T ∈ C, że f (z + T ) = f (z) dla dowolnego z ∈ C, to f (z) nazywamy funkcją okresową o okresie T.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Ważne przykłady funkcji zespolonych

1 sprzężenie: f (z) = z

2 funkcja liniowa: f (z) = a + bz, a 6= 0, a, b ∈ C

3 wielomian: f (z) = a_nz_n+ a_n−1zⁿ⁻¹+ · · · + a₁z + a₀, a0, a1, . . . , an∈ C

4 inwersja: f (z) = 1 z

5 homografia: f (z) = az + b

cz + d, c 6= 0, ad − bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C

6 funkcja wymierna: f (z) = P(z)

Q(z), gdzie P, Q – wielomiany

7 funkcja wykładnicza: f (z) = e^z

8 funkcje trygonometryczne: f (z) = sin z, f (z) = cos z, f (z) = tg z, f (z) = ctg z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Oznaczmy: w = f (z), z = x + jy . Dla danego z ∈ C wartość w ∈ C, zatem można zapisać w = u + jv , gdzie u = Re w , v = Im w – są to funkcje zmiennej z ∈ C, zatem zmiennych x, y ∈ R, tzn. u = u(x, y ), v = v (x , y ). Można zapisać:

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y )

Funkcję u(x , y ) nazywamy częścią rzeczywistą funkcji f (z), a v (x , y ) – jej częścią urojoną.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Oznaczmy: w = f (z), z = x + jy . Dla danego z ∈ C wartość w ∈ C, zatem można zapisać w = u + jv , gdzie u = Re w , v = Im w – są to funkcje zmiennej z ∈ C, zatem zmiennych x, y ∈ R, tzn. u = u(x, y ), v = v (x , y ). Można zapisać:

f (z) = u(x , y ) + jv (x , y )

Funkcję u(x , y ) nazywamy częścią rzeczywistąfunkcji f (z), a v (x , y ) – jej częścią urojoną.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Przykład

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji f (z) = z².

Uwaga

x = 1

2(z + z), y = 1

2j(z − z)

Przykład

Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u(x , y ) = x − y i części urojonej v (x , y ) = x + y .

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Przykład

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji f (z) = z². Uwaga

x = 1

2(z + z), y = 1

2j(z − z)

Przykład

Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u(x , y ) = x − y i części urojonej v (x , y ) = x + y .

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Przykład

Znaleźć część rzeczywistą i urojoną funkcji f (z) = z². Uwaga

x = 1

2(z + z), y = 1

2j(z − z)

Przykład

Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u(x , y ) = x − y i części urojonej v (x , y ) = x + y .

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y )

Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁ = z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj.

Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁ = z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁= z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z 6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁= z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z 6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁= z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z 6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁= z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z 6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

5 e^z1 = e^z2 ⇔ z₁= z₂+ 2kπj , k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcję wykładniczą określamy wzorem:

e^{z def}= e^{x +jy} = e^x(cos y + j sin y ) Przykład

Obliczyć: a) e^1+j, b) e^2πj. Własności funkcji wykładniczej Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 e^z 6= 0

2 e^z1+z2 = e^z1· e^z2

3 (e^z)^k = e^kz, gdzie k ∈ Z

4 e^z+2kπj = e^z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = e^z jest okresowa, T = 2πj

z z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:

sin z ^def= 1

2j(e^jz− e^−jz), cos z ^def= 1

2(e^jz+ e^−jz), tg z ^def= sin z

cos z, ctg z ^def= cos z sin z Przykład

Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:

sin z ^def= 1

2j(e^jz− e^−jz),

cos z ^def= 1

2(e^jz+ e^−jz), tg z ^def= sin z

cos z, ctg z ^def= cos z sin z Przykład

Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:

sin z ^def= 1

2j(e^jz− e^−jz), cos z ^def= 1

2(e^jz+ e^−jz),

tg z ^def= sin z

cos z, ctg z ^def= cos z sin z Przykład

Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:

sin z ^def= 1

2j(e^jz− e^−jz), cos z ^def= 1

2(e^jz+ e^−jz), tg z ^def= sin z

cos z,

ctg z ^def= cos z sin z Przykład

Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:

sin z ^def= 1

2j(e^jz− e^−jz), cos z ^def= 1

2(e^jz+ e^−jz), tg z ^def= sin z

cos z, ctg z ^def= cos z sin z

Przykład

Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcje trygonometryczne określamy wzorami:

sin z ^def= 1

2j(e^jz− e^−jz), cos z ^def= 1

2(e^jz+ e^−jz), tg z ^def= sin z

cos z, ctg z ^def= cos z sin z Przykład

Obliczyć: a) sin j , b) cos(5 − j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 sin²z + cos²z = 1

2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π

3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π

4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z

5 cos z = 0 ⇔ z = ^π₂ + kπ dla k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 sin²z + cos²z = 1

2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π

3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π

4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z

5 cos z = 0 ⇔ z = ^π₂ + kπ dla k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 sin²z + cos²z = 1

2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π

3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π

4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z

5 cos z = 0 ⇔ z = ^π₂ + kπ dla k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 sin²z + cos²z = 1

2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π

3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π

4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z

5 cos z = 0 ⇔ z = ^π₂ + kπ dla k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 sin²z + cos²z = 1

2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π

3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π

4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z

5 cos z = 0 ⇔ z = ^π₂ + kπ dla k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Własności funkcji trygonometrycznych Niech z, z₁, z₂∈ C. Wtedy

1 sin²z + cos²z = 1

2 sin(z + 2kπ) = sin z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = sin z jest okresowa o okresie T = 2π

3 cos(z + 2kπ) = cos z dla k ∈ Z – funkcja f (z) = cos z jest okresowa o okresie T = 2π

4 sin z = 0 ⇔ z = kπ dla k ∈ Z

5 cos z = 0 ⇔ z = ^π₂ + kπ dla k ∈ Z

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Logarytmem naturalnym liczby z ∈ C nazywamy każdą taką liczbę w ∈ C, która spełnia warunek

e^w = z

Jeżeli ten warunek jest spełniony, piszemy w = Ln z Uwaga

Ze wzgledu na okresowość funkcji e^w, logarytm nie jest określony jednoznacznie: Ln z nie jest funkcją w dotychczasowym sensie – jest to przykład tzw. funkcji wieloznacznej.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Logarytmem naturalnym liczby z ∈ C nazywamy każdą taką liczbę w ∈ C, która spełnia warunek

e^w = z Jeżeli ten warunek jest spełniony, piszemy

w = Ln z

Uwaga

Ze wzgledu na okresowość funkcji e^w, logarytm nie jest określony jednoznacznie: Ln z nie jest funkcją w dotychczasowym sensie – jest to przykład tzw. funkcji wieloznacznej.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Logarytmem naturalnym liczby z ∈ C nazywamy każdą taką liczbę w ∈ C, która spełnia warunek

e^w = z Jeżeli ten warunek jest spełniony, piszemy

w = Ln z Uwaga

Ze wzgledu na okresowość funkcji e^w, logarytm nie jest określony jednoznacznie: Ln z nie jest funkcją w dotychczasowym sensie – jest to przykład tzw. funkcji wieloznacznej.

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Sposób obliczania Ln z

Niech w = u + jv , z = |z|e^{j arg z}, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π).

Wtedy z jednej strony e^w = e^u+jv = e^ue^jv a z drugiej strony z = |z|e^{j arg z} zatem e^u= |z| oraz e^jv = e^{j arg z}

Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|

a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj

Stąd

Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Sposób obliczania Ln z

Niech w = u + jv , z = |z|e^{j arg z}, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony

e^w = e^u+jv = e^ue^jv

a z drugiej strony z = |z|e^{j arg z} zatem e^u= |z| oraz e^jv = e^{j arg z}

Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|

a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj

Stąd

Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Sposób obliczania Ln z

Niech w = u + jv , z = |z|e^{j arg z}, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony

e^w = e^u+jv = e^ue^jv a z drugiej strony z = |z|e^{j arg z} zatem e^u= |z| oraz e^jv = e^{j arg z}

Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|

a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj

Stąd

Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Sposób obliczania Ln z

Niech w = u + jv , z = |z|e^{j arg z}, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony

e^w = e^u+jv = e^ue^jv a z drugiej strony z = |z|e^{j arg z} zatem e^u= |z| oraz e^jv = e^{j arg z}

Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|

a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj

Stąd

Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Sposób obliczania Ln z

Niech w = u + jv , z = |z|e^{j arg z}, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony

e^w = e^u+jv = e^ue^jv a z drugiej strony z = |z|e^{j arg z} zatem e^u= |z| oraz e^jv = e^{j arg z}

Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|

a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj

Stąd

Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Sposób obliczania Ln z

Niech w = u + jv , z = |z|e^{j arg z}, gdzie arg z jest argumentem głównym liczby z, tzn. arg z ∈ [0; 2π). Wtedy z jednej strony

e^w = e^u+jv = e^ue^jv a z drugiej strony z = |z|e^{j arg z} zatem e^u= |z| oraz e^jv = e^{j arg z}

Z definicji logarytmu naturalnego w dziedzinie rzeczywistej wynika, że u = ln |z|

a z okresowości funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej wynika, że jv = j arg z + 2kπj

Stąd

Ln z = w = u + jv = ln |z| + j (arg z + 2kπ), gdzie k ∈ Z – dowolne

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Logarytmem głównym liczby zespolonej z nazywamy funkcję (jest to funkcja w zwykłym sensie)

ln z = ln |z| + j arg z

Uwaga

ln 0 nie istnieje. Przykład

Obliczyć ln(1 + j ) i Ln(1 + j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Logarytmem głównym liczby zespolonej z nazywamy funkcję (jest to funkcja w zwykłym sensie)

ln z = ln |z| + j arg z

Uwaga

ln 0 nie istnieje.

Przykład

Obliczyć ln(1 + j ) i Ln(1 + j ).

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Definicja

Logarytmem głównym liczby zespolonej z nazywamy funkcję (jest to funkcja w zwykłym sensie)

ln z = ln |z| + j arg z

Uwaga

ln 0 nie istnieje.

Przykład

Obliczyć ln(1 + j ) i Ln(1 + j ).