Futrzak w pudełku i matematyczne piękno Futrzak w pudełku i matematyczne piękno Futrzak w pudełku i matematyczne piękno Futrzak w pudełku i matematyczne piękno
Niels Bohr
··· ...pańska mechanika falowa w swojej prostocie i przejrzystości matematycznej stanowi ogromny postęp w stosunku do dotychczasowej mechaniki kwantowej.
Niels Bohr
··· Po wielu latach poszukiwań w ciemnościach przeżywam szczególnie silnie speł−
nienie nadziei, jakie przyniosły nam odkrycia Pana i innych.
Albert Einstein
··· Ta koncepcja nie budzi logicznych zastrzeżeń i doprowadziła do wielu ważnych sukcesów.
Erwin Schrödinger
··· Nie ma dla mnie ważniejszego celu, niż praca nad odnalezieniem piękna w nauce.
Przedkładam piękno nad naukę.
Erwin Schrödinger. Balchin J., 100 uczonych, odkrywców i wynalazców, którzy zmienili świat. Świat Książki 2006
Fala prawdopodobieństwa cząstki, na przykład elektronu, wyraża prawdopodobieństwo znale−
zienia tej cząstki w tym lub innym miejscu. Greene B., Struktura kosmosu. Przestrzeń, czas i struktura rzeczywistości. Prószyński i S−ka 2005
PISMO PG PISMO PG PISMO PG PISMO PG PISMO PG 37 37 37 37 37
nienia falowych właściwości materii. Jego koncepcja opierała sie na rachunku róż−
niczkowym, którym na co dzień posługi−
wali się fizycy. George Uhlenbeck stwier−
dził, że „teoria Schrodingera przyniosła nam wielką ulgę, nie musieliśmy uczyć się dziwnej matematyki macierzy”. Z tego powodu właśnie jego koncepcja szybko zyskała popularność. Fizycy woleli me−
chanikę falową, bo model atomu, który proponowała, był łatwiejszy do wyobra−
żenia niż model macierzowy. Schrödin−
ger tak pisał o teorii Heisenberga: „Oczy−
wiście znałem jego teorię, ale odstraszały mnie, jeśli nie odrzucały, jego transcen−
dentne metody algebraiczne, które wyda−
wały mi się bardzo trudne”. Elementy macierzy opisywały bowiem prawdopo−
dobieństwo, w jakim miejscu znajdzie się cząstka, natomiast Schrödinger uważał, że w odniesieniu do atomu należy mówić o fali i stan elektronu opisywać za pomocą sinusoidalnej fali stojącej, skoncentrowa−
nej wokół jądra.
W nowej dyscyplinie nauki – kwanto−
wej mechanice falowej – Schrödinger opracował matematyczny model swojej koncepcji, dając w ten sposób solidny fun−
dament matematyczny teorii kwantów Maksa Plancka.
W 1926 roku podał słynne równanie różniczkowe cząstkowe:
d2y/dx2+d2y/dy2+d2y/dz2+[8p2m/h2](E–V)y=0 w którym y oznacza funkcję falową, a E i V odpowiednio całkowitą i potencjalną energię układu. Według interpretacji Schrödingera, kwadrat funkcji falowej, y2, był miarą gęstości ładunku elektronowe−
go w każdym punkcie przestrzennego, trójwymiarowego układu współrzędnych.
Badając zachowanie pakietu falowego, stwierdził, że nie rozprzestrzenia się on w miarę upływu czasu w coraz większym obszarze. Wysnuł z tego wniosek, że cząstka to skupiony pakiet falowy, a me−
chanika falowa jest nowym odgałęzieniem fizyki klasycznej, podobnie jak teoria oscylujących strun, bębnów i kul. Zgod−
nie z jego teorią, podstawową wielkością są fale, a cząstki to coś wtórnego; elek−
tron nie jest cząstką, ale rozkładem gęsto−
ści określonym przez kwadrat jego funk−
cji falowej. Potwierdzenie swojej teorii uzyskał, gdy przymierzył swoje teoretycz−
ne założenia do znanych wartości atomu wodoru i otrzymał prawidłowe wyniki dotyczące poziomu energetycznego elek−
tronu.
Dzięki koncepcji Schrödingera wyja−
śnione zostało istnienie dyskretnych or−
bit, pomiędzy którymi nic nie jest dozwo−
lone, jako nieunikniona konsekwencja właściwości elektronu, w szczególności jego cech falowych zaproponowanych przez de Broglie’a. Istnienie dyskretnych orbit zostało wprawdzie udowodnione, ale naprawdę wyjaśnił je dopiero Schrödin−
ger.
Schrödinger wiedział, że jego teoria za−
wiera słabe punkty. Jeżeli odrzucił cząst−
ki, to trudno było zaproponować fizyczną interpretację właściwości i natury mate−
rii. Dlatego wysunął koncepcję „paczek fal”, które miałyby się zachowywać tak jak cząstki w fizyce klasycznej, będąc w rzeczywistości rodzajem fali.
Swoją teorię opublikował w „Annalen der Physik”. W ciągu pół roku przedsta−
wił trzy prace – wszystkie zatytułowane
„Kwantyzacja jako problem wartości wła−
snych” – wyjaśniające za pomocą metod matematycznych efekt Starka, przedsta−
wił obliczenia i polaryzację linii widmo−
wych oraz wprowadził relatywistyczną wersję swojego równania.
Teorię Schrödingera natychmiast zaata−
kowali Niels Bohr oraz Werner Heisen−
berg, ponieważ obawiali się, że zagrozi ona teorii macierzowej, której twórcą był ten ostatni. Jednak Schrödinger udowod−
nił, że mechanika falowa i mechanika ma−
cierzowa są równoważne. Formalizm ma−
tematyczny, w którym zawarte zostały sformułowania macierzowe i falowe, przedstawił w swoim podręczniku Paul Dirac. Stwierdził on również, że mecha−
nika kwantowa wyjaśnia „większość fi−
zyki i całą chemię”. Linus Pauling za jej pomocą wyjaśnił wiązania chemiczne, a Werner Heisenberg i Enrico Fermi wyka−
zali doświadczalnie jej prawdziwość na poziomie subatomowym.
Kim był Erwin Schrödinger? Pochodził z zamożnej fabrykanckiej rodziny z Wied−
nia. Babka była półkrwi Angielką, dlatego w domu mówiono po angielsku i po nie−
miecku. Do jedenastego roku życia uczył się prywatnie w domu, a następnie w gim−
nazjum, gdzie uzyskał znakomite wyniki – szczególnie w naukach przyrodniczych i językach. Interesowała go literatura i ma−
larstwo, nie przejawiał natomiast żadnego zainteresowania muzyką. Ojciec, popiera−
jący intelektualne zainteresowania jedyna−
ka, był zadowolony, gdy wstąpił on na Uniwersytet Wiedeński, gdzie studiował matematykę i fizykę u Mertensa i Wirtin−
gera. Był wybitnym studentem – edukację
uniwersytecką rozpoczął w 1906 roku, a już w 1910 uzyskał stopień doktora z fizy−
ki doświadczalnej. Cztery lata później zo−
stał Privatdozentem.
Prowadził bardzo urozmaicone i aktyw−
ne życie. Gdy wcielono go do austriackiej armii i wysłano na włoską granicę, a póź−
niej na Węgry, nie zaniechał pracy nauko−
wej i publikował kolejne prace. Za wybit−
ne dowodzenie oddziałem (był oficerem artylerii) podczas bitwy na froncie włoskim otrzymał wyróżnienie. Karierę naukową rozpoczął w Wiedniu, gdzie prowadził wykłady z meteorologii i pracował nad teo−
rią koloru. Potem jego droga życiowa wio−
dła kolejno przez Jenę, Stuttgart, Wrocław, Zurych, Berlin, Oxford, Gratz, Gandawę i Dublin.
W Berlinie Schrödinger otrzymał sta−
nowisko uniwersyteckiego profesora fizy−
ki teoretycznej i zajął je jako następca Maksa Plancka (w tym czasie rozpoczął tam pracę Albert Einstein). Został zwol−
niony z tego stanowiska przez nazistów w 1938 roku, a pretekstem była „politycz−
na chwiejność”, o którą go oskarżono.
Uciekł wówczas do Rzymu, a następnie przeniósł się do Dublina, gdzie w Instytu−
cie Studiów Zaawansowanych zajmował się teorią elektromagnetyzmu i teorią względności. Zmarł w ukochanym Wied−
niu, dokąd powrócił w 1956 roku.
Berlin był najbardziej twórczym miej−
scem w życiu Schrödingera. To tutaj prze−
czytał pracę doktorską Louisa de Bro−
glie’a, przedstawił pierwszą wersję swo−
jej teorii mechaniki fal oraz napisał fun−
damentalne prace o mechanice kwanto−
wej. To tutaj współpracował z Einsteinem, z którym łączyły go wspólne poglądy na mechanikę kwantową opartą na determi−
nizmie.
Półżywy kwantowy kot Schrödingera. Teore−
tycy, którzy akceptują czystą wersję mechani−
ki kwantowej, twierdzą, że kot istnieje w pew−
nym stanie pośrednim, ani żywy, ani martwy, dopóki jakiś obserwator nie zajrzy do pudła.
Brennan R. P., Na ramionach olbrzymów.
Życie i dzieło twórców współczesnej fizyki.
WNT 1999
38 38 38 38
38 PISMO PG PISMO PG PISMO PG PISMO PG PISMO PG
Po otrzymaniu Nagrody Nobla z dzie−
dziny fizyki, którą podzielił się z Paulem Dirakiem, a do której dwukrotnie zgłaszał go Niels Bohr, przeniósł się do Oxfordu.
Jako laureat Nagrody wygłosił przemó−
wienie, w którym złożył hołd Fritzowi Hasenhörlowi, nauczycielowi fizyki na wiedeńskiej uczelni, on to bowiem zain−
teresował młodego Erwina zagadnienia−
mi, które przyniosły mu tę nagrodę. Po−
wiedział wówczas, że to właśnie Ha−
senhörl odbierałby ją, gdyby nie było I wojny światowej, podczas której zginął.
Szczególne więzi naukowe łączyły Er−
wina Schrödingera z Nielsem Bohrem i Wernerem Heisenbergiem.
Heisenberg, zaniepokojony interpre−
tacją Schrödingera będącą próbą powro−
tu do interpretacji klasycznej, którą usły−
szał w czasie wykładu w Monachium, wysłał alarmujący list do Nielsa Bohra.
Bohr, wówczas dyrektor Instytutu Fizyki Teoretycznej w Kopenhadze, jednego z najważniejszych ośrodków akademickich na świecie, organizował naukowe deba−
ty, w których uczestniczyło wielu znanych chemików, fizyków i biologów, m.in.
Wolfgang Pauli, Werner Heinsenberg, Paul Dirac i Max Born. Zaprosił więc do Kopenhagi Schrödingera, by przedysku−
tować z nim problem mechaniki kwantów.
Bohr, człowiek niezmiernie dociekliwy, konsekwentny i doprowadzający każdy problem do ostatecznego wyjaśnienia, dzień i noc (Schrödinger mieszkał wów−
czas u Bohrów) usiłował wyjaśnić wszyst−
kie aspekty związane z mechaniką kwan−
tową. Kwestionował poglądy Schrödinge−
ra, a Schrödinger z kolei nie zgadzał się z teorią Wernera Heiseneberga i Maksa Bor−
na, która zakładała, że materia nie istnieje w jakimś określonym miejscu, ale jest roz−
proszona wszędzie, a dopiero dokonanie pomiaru sprawia, że jest w konkretnym miejscu. Rozmawiali po przyjacielsku, uprzejmie, ale do porozumienia nie doszli, bo żadna z obecnych osób nie była zdol−
na przedstawić pełnej, spójnej interpreta−
cji mechaniki kwantowej.
Kilka tygodni po wizycie w Kopenha−
dze Schrödinger pisał: „Mimo że wiele o nim słyszałem, wrażenie, jakie wywarła na mnie osobowość Bohra, z czysto ludz−
kiego punktu widzenia było całkiem nie−
oczekiwane. Trudno byłoby znaleźć inne−
go człowieka, który osiągnął tak ogrom−
ne sukcesy zewnętrzne i wewnętrzne, któ−
rego – w jego dziedzinie – cały świat czci niemal jak półboga, a który mimo to po−
został – nie powiedziałbym skromny i wolny od pychy – ale raczej nieśmiały i delikatny jak student teologii. Nie traktu−
ję tego jako komplement, ponieważ nie jest to mój ideał człowieka. Niemniej jed−
nak jego zachowanie budzi wielką sym−
patię, zwłaszcza jeśli porównamy je z za−
chowaniem wielu gwiazd średniej wiel−
kości w naszej profesji (...).
Mimo wszystkich różnic w poglądach na teorię, o których dyskutowaliśmy, sto−
sunki z Bohrem, a zwłaszcza z Heisenber−
giem – a obaj zachowywali się wzrusza−
jąco uprzejmie, troskliwie i uważnie – były całkowicie bezchmurne, przyjaciel−
skie i serdeczne (...) [Bohr] często mówi przez szereg minut w marzycielski, wizjo−
nerski i naprawdę całkiem niezrozumiały sposób, częściowo dlatego, że jest tak roz−
ważny i stale się waha – obawia się, że rozmówca mógłby przyjąć jego, Bohra, pogląd za wyraz braku dostatecznego uznania dla własnych (czyli w tym przy−
padku, dla mojej pracy)”.
Po tej wizycie Bohr i Heisenberg przy−
stąpili do pracy nad wyjaśnieniem duali−
zmu teorii atomowej. Po wielu latach Niels Bohr ujawnił, że wpływ na ukształtowa−
nie jego poglądów miał ojciec, Rutherford, Schrödinger podczas wizyty w Kopenha−
dze w 1926 roku oraz Heisenberg (w okre−
sie dyskusji zaraz po tej wizycie) i przy−
znał, że spotkanie to było niezmiernie ważne, bo stanowiło początek nowej fazy w jego życiu naukowym i doprowadziło do sformułowania pojęcia komplementar−
ności.
Natomiast Schrödinger, pragnąc poka−
zać ograniczenia interpretacji kopenha−
skiej mechaniki kwantowej, zapropono−
wał hipotetyczne doświadczenie z kotem ukrytym w pudełku. Ten paradoks myślo−
wy miał wyjaśnić istnienie elektronu, któ−
ry jest jednocześnie i falą, i cząstką.
Niewidoczny atom (podobnie jak kot zamknięty w pudełku z buteleczką śmier−
telnej trucizny) znajduje się w stanie nie−
określonym: jest w stanie rozpadu promie−
niotwórczego lub nie jest w stanie rozpa−
du (kot martwy lub żywy). O tym, czy atom/kot rozpadł się/jest żywy lub mar−
twy, dowiemy się, gdy otworzymy pudeł−
ko.
Gdy informacja o świecie kwantowym (uzyskana przez obserwatora) znajdzie się w makroświecie, wówczas stanie się obiek−
tywna i nieodwracalna. Gdy zajrzymy do pudełka, będziemy wiedzieli, czy kot żyje, czy jest martwy (atom rozpadł się lub nie rozpadł). Ale wówczas nie będziemy mo−
gli powrócić do dziwnego świata mecha−
niki kwantowej. W tym miejscu nasuwają się pytania: jak duży musi być obiekt, żeby nie trzeba było stosować mechaniki kwan−
towej? Gdzie kończy się świat kwantowy, a zaczyna świat klasyczny?
Eksperyment myślowy Schrödingera został sprawdzony praktycznie dopiero w 1996 roku. Po mocnym ochłodzeniu ato−
mu berylu i stymulowaniu go laserowymi bodźcami, fizycy sprawili, że zaczął on istnieć w dwóch stanach jednocześnie.
Dzisiaj możemy przeprowadzać auten−
tyczne eksperymenty: atom we wnęce mikrofalowej – będący bliskim analogiem kota w pudełku Schrödingera – może po−
służyć do mierzenia i śledzenia dekohe−
rencji pojawiającej się w wyniku oddzia−
Kształt najniższego energetycznie orbitalu s.
Na rysunku po lewej stronie prawdopodobień−
stwo znalezienia elektronu w danej odległości od jądra zaznaczono za pomocą różnego stop−
nia cieniowania. Na znajdującym się powyżej wykresie widać, że wraz z odległością od ją−
dra prawdopodobieństwo to maleje wykładni−
czo. Rysunek po prawej stronie przedstawia
„powierzchnię graniczną” otaczającą prze−
strzeń, gdzie prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest większe niż 90 procent. Atkins P., Palec Galileusza. Dziesięć wielkich idei nauki. REBIS 2006
Paczka falowa utworzona przez superpozycję (dodanie) trzydziestu funkcji falowych fali.
Choć położenie cząstki jest dość dobrze okre−
ślone, trudno powiedzieć, która z trzydziestu długości fali określa jej pęd. Taka paczka fa−
lowa porusza się podobnie jak cząstka klasycz−
na. Atkins P., Palec Galileusza. Dziesięć wiel−
kich idei nauki. REBIS 2006
PISMO PG PISMO PG PISMO PG PISMO PG PISMO PG 39 39 39 39 39
ływania z otoczeniem, a tym samym do sprawdzenia szeroko rozpowszechnione−
go poglądu, że to właśnie te oddziaływa−
nia odpowiadają za przejście od kwanto−
wej superpozycji do klasycznej pewności.
Kota Schrödingera znaleźć można w każdej książce popularyzującej współ−
czesną fizykę. Niektórych fizyków dopro−
wadza to do szaleństwa. Stephen Hawking powiedział kiedyś: : : : : „Gdy słyszę o kocie Schrödingera, sięgam po pistolet”.
Mechanika kwantowa zastąpiła kla−
syczną mechanikę sformułowaną przez Newtona, a dokonali tego „naukowcy abs−
trakcyjni”: Max Planck, Louis de Broglie, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner He−
isenberg, Erwin Schrödinger i Paul Dirac.
Mechanika falowa wraz z jej podsta−
wowym równaniem, opracowana przez Erwina Schrödingera, odgrywa w proce−
sach atomowych taką samą fundamen−
talną rolę, jak prawa Newtona w mecha−
nice klasycznej.
Gdyby nie było „absurdalnych” kon−
cepcji de Broglie’a, Schrödingera i He−
isenberga, dzisiejszy przemysł elektro−
niczny, częściowo oparty na kwantowej teorii materiałów zwanych półprzewodni−
kami, nie mógłby rozwinąć technologii mikroprocesorowej. Lasery działają i zna−
lazły zastosowanie tylko dzięki zrozumie−
niu – na podstawowym poziomie kwan−
towym – mechanizmu emisji światła przez atomy.
Również różne rodzaje materii (od nad−
przewodników do gwiazd neutronowych) możemy zrozumieć dzięki temu, że rozu−
miemy, jak zachowują się duże zbiory obiektów kwantowych, gdy są gęsto upa−
kowane w pewnym obszarze.
Nie tylko świat atomów i elektronów był przedmiotem zainteresowania Erwi−
na Schrödingera. Jest jeszcze jedna dzie−
dzina, której nic nie łączy z fizyką, a w której rozwoju odegrał on ogromną rolę.
Jego publikacja „Czym jest życie” („What is life?”) z 1944 roku w bardzo istotny sposób wpłynęła na rozwój współczesnej biologii. Zainteresował się nią Maurice Wilkins, gdy pracował przy Projekcie Manhattan w Berkeley. Zainspirowała go do zajęcia się badaniami nad istotą genu i doprowadziła do odkrycia DNA jako no−
śnika dziedziczności. Schrödinger w roku 1943 po raz pierwszy użył pojęcia kodu genetycznego.
Badał on, podobnie jak inni naukow−
cy, wszechświat i formułował zasady jego funkcjonowania. W swoim działaniu kie−
rował się ideą piękna. Mówił, że jeśli dane
rozwiązanie nie było piękne w sensie matematycznym, to prawie na 100% było błędne. Zakładał, że główną strukturą rze−
czywistości jest piękno – matematyczne piękno. W 1944 roku stwierdził: „Nie ma dla mnie ważniejszego celu, niż praca nad odnalezieniem piękna w nauce. Przedkła−
dam piękno nad naukę. Nitimur in veti−
tum (Zawsze dążymy do tego, co zakaza−
ne). Pożądamy żony naszego bliźniego i doskonałości, której nie możemy osią−
gnąć”. (W ciągu swojego życia naukowiec ten miał wiele romansów, a niektóre z nich odbywały się za zgodą jego żony; swoją pierwszą pracę napisał podczas wakacji spędzonych z kochanką, które nazwał
„spóźnionym wybuchem erotycz−
nym”!!!).
Jego „słabość” do matematyki potwier−
dził Paul Dirac: „Wspólnie ze Schrödin−
gerem niezwykle poważnie podchodzili−
śmy do zagadnienia matematycznego piękna, które zdominowało całą naszą pra−
cę. Głęboko wierzyliśmy, że każde rów−
nanie opisujące podstawowe prawa natu−
ry musi być matematycznie piękne”.
Na zakończenie jako ciekawostkę przy−
taczam uwagę Nielsa Bohra, że każdy, kto twierdzi, iż mechanika kwantowa jest zro−
zumiała, w gruncie rzeczy w ogóle jej nie rozumie. Jak kot żywy i nieżywy jedno−
cześnie... Jak atom, który się rozpadł i nie rozpadł jednocześnie...
Ewa Dyk−Majewska Emerytowany pracownik PG Bibliografia
1. Atkins P., Palec Galileusza. Dziesięć wiel−
kich idei nauki. REBIS 2006
2. Balchin J., 100 uczonych, odkrywców i wynalazców, którzy zmienili świat. Świat Książki 2006
3. Brennan R. P., Na ramionach olbrzymów.
Życie i dzieło twórców współczesnej fi−
zyki. Wydawnictwa Naukowo−Technicz−
ne 1999
4. Brock W.H., Historia chemii. Prószyński i S−ka 1999
5. Charap J.M. Objaśnienie wszechświata. Fi−
zyka w XXI wieku. Prószyński i S−ka 2005 6. Moore P., Odkrycia i wynalazki, które zmieniły świat. Pionierzy współczesnej nauki i ich osiągnięcia. Firma Księgarska Jacek i Krzysztof Olesiejuk 2008 7. Nagrody Nobla. PWN 2001
8. Pais A., Czas Nielsa Bohra. W fizyce, fi−
lozofii i polityce. Prószyński i S−ka 2005 9. Parker B., Einstein. Pasje uczonego. Wy−
dawnictwo Książkowe Twój Styl 2006 10. Regis E., Kto odziedziczył gabinet Einste−
ina. Prószyński i S−ka 2001
11. Rhodes R., Jak powstała bomba atomowa.
Prószyński i S−ka 2000