do ró˙znych klas ale o zbli˙zonej topologii (mała zmienno´s´c mi˛edzyklasowa).
medycznej przyj˛eto własno´s´c lokalnego kierunku listewek jako najbardziej odpowied-ni ˛a do reprezentacji struktury wzorca w postaci cyfrowej. Wyznaczenie lokalnych kie-runków listewek dla bloków obrazu pozwala na zmniejszenie liczby informacji prze-twarzanej przez algorytmy inteligencji obliczeniowej i daje wiarygodn ˛a reprezentacj˛e charakterystycznych cech i punktów wzorca takich jak trójpromienie i centra. ´Swiad-czy o tym fakt mo˙zliwo´sci wyznaczenia z du˙z ˛a dokładno´sci ˛a poło˙zenia tych punktów na podstawie obrazu wrodzonego zawieraj ˛acego warto´sci lokalnych kierunków liste-wek za pomoc ˛a całki Poincare’a. Informacja o własno´sciach Poziomu 2 dotycz ˛aca wzajemnego poło˙zenia i poł ˛acze´n pomi˛edzy poszczególnymi listewkami, a tak ˙ze po-ło˙zenia zako´ncze´n listewek jest tracona w procesie wydobywania własno´sci. Obraz wrodzony warto´sci lokalnych kierunków listewek zawiera tylko własno´sci Poziomu 1 dlatego klasyfikatory wzorców dermatoglificznych wykorzystuj ˛ace te dane nazywane s ˛a klasyfikatorami własno´sci Poziomu 1.
4.3 Problemy klasyfikacji 41
Typowa procedura maj ˛aca na celu wydobycie własno´sci wzorca dermatoglificzne-go rozpoczyna si˛e od wyznaczenia warto´sci lokalnych kierunków listewek dla ka ˙z-dego punktu obrazu. Nast˛epnie generowana jest reprezentacja listewek poprzez usu-ni˛ecie z obrazu niedoskonało´sci takich jak przerwy w ci ˛agło´sci struktury listewek, fałszywych poł ˛acze´n mi˛edzy s ˛asiaduj ˛acymi listewkami etc. Na tym etapie poprawio-na struktura listewek wzorca nie zawiera ju˙z informacji o własno´sciach Poziomu 3, ale wci ˛a˙z zawiera kompletn ˛a informacj˛e o własno´sciach Poziomu 2, któr ˛a poprzez usuni˛ecie lokalnych zaszumie ´n, przerw w ci ˛agło´sci oraz nieprawdziwych poł ˛acze´n i zako´ncze´n listewek (minucji) uwa˙za si˛e za bardziej wiarygodn ˛a ni˙z na oryginalnym obrazie. Zało˙zenie o przejrzysto´sci lokalnej struktury wzorca opiera si˛e na definicji granicy pomi˛edzy listewkami, a rozdzielaj ˛acymi je dolinami. Jedn ˛a z najprostszych definicji tego podziału jest warto´s´c parametru progowego intensywno´sci pikseli. Jed-nak˙ze poniewa˙z poziomy jasnych i ciemnych pikseli maj ˛a niejednostajne warto´sci w lokalnych obszarach wzorca to lepszym rozwi ˛azaniem ni˙z u˙zycie pojedynczych globalnych warto´sci progowych jest wyznaczenie warto´sci progowych dopasowanych do tych małych lokalnych obszarów wzorca. Takim rozwiazaniem mo ˙ze by´c u˙zycie ´sredniej warto´sci intensywno´sci pikseli wyznaczanych w okre´slonych lokalnych s ˛ a-siedztwach, których centra s ˛a w˛ezłami zgrubnej siatki pikseli obejmuj ˛acej cały obszar wzorca.
Po wydobyciu warto´sci lokalnych kierunków listewek z obrazów konieczne jest okre´slenie klas, do których przypisane b˛ed ˛a konkretne wektory danych. W podej-´sciu opisanym w rozprawie klasyfikatory dokonuj ˛a podziału przestrzeni własno´sci od-wzorowuj ˛ac metod˛e klasyfikacji wzorców zaproponowan ˛a przez Edwarda Henry’ego i Francisa Galtona. U˙zycie tej metody niesie za sob ˛a korzy´sci w postaci rozdziele-nia zbioru danych na nisk ˛a liczb˛e pi˛eciu klas co obni ˙za zło˙zono´s´c obliczeniow ˛a roz-wi ˛azywanego problemu, ale zarazem niesie ze sob ˛a wady zwi ˛azane z zmienno´sciami wewn ˛atrzklasowymi i mi˛edzyklasowymi wyst˛epuj ˛acymi przy tym zgrubnym podziale wzorców. Głównym powodem dla którego problem klasyfikacji wzorców palców dło-ni jest rozwi ˛azywany w tej rozprawie zgodnie z t ˛a metod ˛a jest fakt jej wykorzystania w nomogramie dermatoglificznym.
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 42
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod
prze-twarzania obrazów dermatoglifów
4.4.1 Ogólna metodologia przetwarzania obrazów dermatoglifów
Prawidłowa analiza odbitek, która polega na wydobyciu własno´sci ze wzorców oraz ich klasyfikacji zale˙zy od jako´sci obrazów zawieraj ˛acych odbitki [52]. Jako´s´c odbitek nie ma jednoznacznej obiektywnej miary, ale odpowiada ona ogólnie przejrzysto´sci struktury listewek. Odbitka dobrej jako´sci cechuje si˛e wysokim kontrastem i wyra´z-nie widoczn ˛a struktur ˛a listewek i dolin, a odbitka o słabej jako´sci ma niski kontrast i ´zle zdefiniowane granice pomi˛edzy listewkami i dolinami. Obrazy odbitek o słabej jako´sci utrudniaj ˛a proces uczenia algorytmów inteligencji obliczeniowej, a tak ˙ze ne-gatywnie wpływaj ˛a na zdolno´s´c do poprawnego rozpoznawania wzorców. Zdolno´s´c do poprawnej klasyfikacji mo˙ze zosta´c poprawiona poprzez wst˛epne przetworzenie anali-zowanych obrazów słu˙z ˛ace poprawieniu ich jako´sci. Zabiegi wst˛epnego przetwarzania obrazów maj ˛a na celu wyeliminowanie w takim stopniu w jakim jest to mo ˙zliwe niedoskonało´sci odbitek, które mog ˛a na pó´zniejszych etapach analizy by ´c ´zródłami nieporz ˛adanych bł˛edów. W podej´sciu zrealizowanym w pracy dermatoglify dzieci s ˛a poddane procedurze wst˛epnego przetwarzania i poprawienia jako´sci odbitek składa-j ˛acej si˛e z nast˛epuj ˛acych kroków:
1. Segmentacja obrazu na podstawie wyznaczonej maski obrazu.
2. Normalizacja rozmiarów obszaru wzorca.
3. Poprawienie kontrastu obszaru zawieraj ˛acego wzorzec.
4. Okre´slenie lokalnej cz˛estotliwo´sci i kierunków pływów listewek wzorca.
5. Poprawienie struktury listewek przy pomocy zespołu filtrów kontekstowych.
Ka˙zdy z tych kroków jest opisany poni ˙zej w bardziej szczegółowy sposób. Na-le˙zy pami˛eta´c, ˙ze kolejno´s´c operacji wykonywanych w zaproponowanym przez nas podej´sciu nie zawsze jest taka sama w przypadku podej´s´c opisanych w innych pra-cach dotycz ˛acych zagadnie´n przetwarzania obrazów odbitek palców dłoni. Przykła-dowo wielu badaczy u˙zywa pola kierunków pływów listewek do okre´slenia obszaru segmentacji co poci ˛aga za sob ˛a konieczno´s´c wyznaczenia warto´sci tego pola przed wykonaniem zabiegu segmentacji.
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 43
4.4.2 Metody segmentacji obrazu
Segmentacja jest wa˙znym etapem wst˛epnego przetwarzania obrazów dermatoglifów. Zabieg segmentacji pozwala na skrócenie czasu wykonywania kolejnych etapów prze-twarzania obrazu oraz znacz ˛aco poprawia wiarygodno´s´c otrzymanych wyników na etapie wydobywania własno´sci wzorców. Celem segmentacji jest oddzielenie na obra-zie obszaru zawieraj ˛acego wzorzec odbitki od obszaru tła otaczaj ˛acego obszar wzorca. Obszar tła zawiera informacj˛e, która jest traktowana jako niepo˙z ˛adany szum.
Istnieje wiele algorytmów segmentacji i istnieje tak ˙ze wiele kryteriów według któ-rych mo˙zna pogrupowa´c te algorytmy ze wzgl˛edu na ich ogóln ˛a metodologi˛e. Przy-kładowo mo˙zna z grubsza podzieli´c metody segmentacji na metody wykonywane na obrazie piksel po pikselu oraz metody wykonywane na obrazie blok po bloku. Meto-dy segmentacji blok po bloku dziel ˛a obraz na nienakładaj ˛ace si˛e na siebie bloki tego samego rozmiaru, a nast˛epnie klasyfikuj ˛a te bloki jako obszar wzorca lub obszar tła na podstawie własno´sci wydobytych z ka˙zdego z bloków z osobna. Metody klasyfi-kacji piksel po pikselu klasyfikuj ˛a piksele obrazu poprzez analiz˛e własno´sci ka˙zdego z punktów obrazu. Najpopularniejszymi własno´sciami wykorzystywanymi w seg-mentacji obrazów dermatoglifów s ˛a własno´sci trybu szaro´sci, własno´sci kierunków listewek, własno´sci w dziedzinie cz˛estotliwo´sciowej obrazu i inne.
W pracy Mehtre et al., 1987 [55] obszar wzorca jest okre´slany na podstawie warto-´sci histogramów wyznaczanych na podstawie lokalnych kierunków listewek. Dla całe-go obrazu okre´slana jest mapa kierunków listewek. W kolejnym kroku obraz jest dzie-lony na bloki o rozmiarze16×16 pikseli. Dla ka˙zdego z tych bloków wyznaczana jest
warto´s´c histogramu kierunków pływów listewek. Bloki na obrazie, w których kierunki struktury listewek s ˛a wyra´zne daj ˛a siln ˛a odpowied´z (wyra˙zon ˛a poprzez zmienno´s´c in-tensywno´sci pikseli) dla pewnych kierunków i słab ˛a odpowied´z dla innych kierunków. Obliczana jest wariancja dla odpowiedzi na wszyskich kierunkach w bloku i wyzna-czana jest warto´s´c progowa, która słu˙zy do przypisania bloku do obszaru wzorca lub obszaru tła. Obecno´s´c skoku na histogramie oznacza wykrycie skierowanej struktury listewek, płaski lub prawie płaski kształt histogramu jest charakterystyczny dla sygna-łu izotropowego. Metoda opisana powy ˙zej zawodzi w przypadku bloku o idealnie jednostajnym poziomie szaro´sci pikseli (np. biały blok obszaru tła) poniewa ˙z nie jest mo˙zliwe wyznaczenie dla tego bloku lokalnego kierunku pływów listewek. W pracy Mehtre et al., 1989 [56] opisana została metoda kompleksowa, która oprócz wyzna-czania histogramów kierunków listewek oblicza tak ˙ze wariancj˛e poziomów szaro´sci
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 44
pikseli w ka˙zdym bloku i w przypadku braku wiarygodnej informacji wynikaj ˛acej z warto´sci histogramu przypisuje bloki posiadaj ˛ace nisk ˛a wariancj˛e poziomów szaro-´sci do obszaru tła.
W pracy Ratha et al., 1995 [67] bloki o rozmiarach16×16 pikseli s
˛aklasyfikowa-ne jako obszar wzorca lub tła na podstawie wariancji poziomów szaro´sci oblicza˛aklasyfikowa-nej na kierunku prostopadłym do wyznaczonego kierunku pływów listewek. Wyznaczany jest tak˙ze indeks jako´sci na podstawie wariancji bloku przy zało˙zeniu, ˙ze zaszumione ob-szary nie podlegaj ˛a ˙zadnym zale˙zno´sciom kierunkowym, a ich wariancja wyznaczona dla ka˙zdego mo˙zliwego kierunku jest mała, natomiast obszary zawieraj ˛ace struktu-r˛e wzorca wykazuj ˛a du˙z ˛a wariancj˛e poziomów szaro´sci w kierunkach prostopadłych do kierunków pływów listewek oraz mał ˛a wariancj˛e w kierunkach równoległych do kierunków pływów listewek.
W pracy Maio i Maltoni, 1997 [51] obszary wzorca i tła s ˛a rozró˙zniane poprzez wyznaczenie ´sredniej wielko´sci gradientu ka˙zdego z bloków obrazu. Poniewa˙z struk-tura wzorca dermatoglificznego składa si˛e z wielu grzbietów i dolin to wyznaczona odpowied´z gradientowa jest du˙za na obszarze wzorca i mała na obszarze tła.
W pracy Shi et al., 2004 [76] zaproponowana została kolejna metoda oparta o sta-tystyk˛e poziomów szaro´sci. W metodzie tej segmentacja uzale˙zniona od warto´sci lo-kalnego kontrastu jest poprzedzona operacj ˛a nieliniowej modyfikacji histogramu ma-j ˛ac ˛a na celu obni˙zenie warto´sci kontrastu w obszarach, dla których prawdopodobie ´n-stwo przynale˙zno´sci do obszaru wzorca jest małe.
W metodzie zaproponowanej przez Shen et al., 2001 [72] ka˙zdy z lokalnych blo-ków obrazu jest poddany operacji splotu z zespołem o´smiu filtrów Gabora, a wyniko-wa wyniko-wariancja odpowiedzi filtrów jest u˙zyta zarówno do segmentacji obszarów wzorca i tła, jak te˙z i do klasyfikacji bloków ze wzgl˛edu na ich jako´s´c, która jest wyra˙zona poprzez przypisanie etykiet "blok dobrej jako´sci", "blok złej jako´sci", "blok rozma-zany", "blok suchy". Poprawiona wersja tej metody opartej na filtrach Gabora została opisana w pracy Alonso-Fernandez et al., 2005 [1]. Podej´scie wykorzystuj ˛ace mo-menty Gaussa-Hermita do operacji splotu z lokalnymi blokami obrazu zawieraj ˛acego wzorzec odbitki palca zostało opisane w pracy Wang et al., 2005 [84].
Miara lokalnej energii w dziedzinie Fouriera została wykorzystana do segmenta-cji w pracach Pais Barreto Marques i Gay Thome, 2005 [63] oraz w Chikkerur et al., 2007 [11]. U˙zycie tej miary wynika z faktu, ˙ze lokalna struktura listewek i do-lin wykazuje du˙ze podobie´nstwo do funkcji falowej o kształcie sinusoidalnym, która
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 45
posiada dobrze okre´slon ˛a cz˛estotliwo´s´c oraz kierunek. Równocze´snie obszar tła cha-rakteryzuje si˛e brakiem regularnej struktury, a warto´sci lokalnych energii obliczanych w dziedzinie Fouriera dla bloków obrazu nale˙z ˛acych do obszaru tła jest niska.
Metoda opisana w pracy Wu et al., 2007 [93] jest oparta na detektorze kraw˛e-dzi Harrisa [30]. Detektor Harrisa jest w tym podej´sciu zaimplementowany w wy-dajny sposób poprzez poł ˛aczenie pochodnych cz ˛astkowych pierwszego rz˛edu. Punkty obrazu, dla których warto´s´c odpowiedzi na detektor Harrisa jest wy˙zsza od okre´slo-nej warto´sci progowej s ˛a oznaczane jako główne punkty nale˙z ˛ace do obszaru wzorca, a ostateczny kształt maski segmentacji jest otrzymywany poprzez wyznaczenie jej wypukłej otoczki.
Metody segmentacji mog ˛a by ´c podzielone na metody nienadzorowane lub nadzo-rowane w zale˙zno´sci od faktu wykorzystania informacji o etykiecie klasy do której nale˙zy blok obrazu. Nienadzorowana segmentacja polega zazwyczaj na wyznaczeniu odpowiedniej warto´sci progu dla konkretnej własno´sci struktury wzorca, a nast˛epnie oddzieleniu obszaru wzorca od obszaru tła na podstawie warto´sci progowej. Metody nienadzorowane nie wymagaj ˛a informacji o etykiecie przydzielonej do bloku obrazu. W metodach nadzorowanych dokonywana jest nauka klasyfikatorów liniowych lub nieliniowych w oparciu o etykiety pikseli lub bloków obrazu. Nauczony klasyfika-tor jest nast˛epnie wykorzystywany do przewidywania przynale ˙znosci nowych pikseli lub bloków do konkretnej klasy. Metody segmentacji oparte na nauce klasyfikatorów zazwyczaj s ˛a dokładniejsze od metod opartych na wyznaczaniu warto´sci progu dla własno´sci obrazu.
W pracy Bazen i Gerez, 2001 [3] zaproponowano metod˛e piksel po pikselu, w której wyznaczane s ˛a dla ka˙zdego z pikseli warto´sci trzech własno´sci (gradientu spójno´sci, ´sredniej warto´sci jasno´sci oraz wariancji jasno´sci), a nast˛epnie klasyfikator liniowy decyduje o przynale˙zno´sci ka˙zdego piksela do obszaru tła lub obszaru wzor-ca. Po etapie klasyfikacji wykonywany jest etap przetwarzania masek wyznaczonych obszarów przez operator morfologiczny w celu usuni˛ecia dziur w obu tych obsza-rach oraz w celu regularyzacji kształtu maski obszaru wzorca. Takie same wektory własno´sci jak w pracy Bazen i Gerez, 2001, zostały wykorzystane przez Yin, Wang i Yang, 2005 [95] do segmentacji metod ˛a piksel po pikselu. Zamiast hiperpłaszczy-zny tworzonej przez klasyfikator liniowy wykorzystana jest kwadratowa powierzchnia podziału konstruowana przez klasyfikator nieliniowy. Zastosowanie klasyfikatora nie-liniowego poprawia dokładno´s´c segmentacji w stosunku do metody wykorzystuj ˛acej
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 46
klasyfikator liniowy.
W pracy Chen X., Tian J., Cheng J. i Yang X., 2004 [10] autorzy uczyli klasy-fikator liniowy rozpoznawania bloków nale˙z ˛acych do obszaru tła na podstawie nast˛e-puj ˛acych kryteriów: stopni grup bloku, ró ˙znicy pomi˛edzy lokaln ˛a ´sredni ˛a jasno´sci ˛a bloku i globaln ˛a ´sredni ˛a jasno´sci ˛a wyznaczon ˛a dla całego obrazu, oraz wariancj ˛a bloku. Stopie ´n grupy bloku jest miar ˛a grupowania poziomów szaro´sci dla ciemnych i jasnych odcieni skali szaro´sci odpowiadaj ˛acych grzbietom i dolinom listewek. Po wst˛epnej klasyfikacji stosowany jest operator morfologiczny do regularyzacji wyni-ków i zmniejszenia ilo´sci bł˛ednie sklasyfikowanych blowyni-ków.
4.4.3 Metody okre´slania lokalnych kierunków pływów listewek
Warto´sci własno´sci reprezentuj ˛acych wzorce zbudowane z listewek s ˛a okre´slone po-przez wyznaczenie kierunków krzywych listewek. Lokalny kierunek listewek w punk-cie obrazu o współrz˛ednych [x, y] definiujemy jako k ˛at θxy tworzony pomi˛edzy listewkami wzorca przechodz ˛acymi przez okre´slonego rozmiaru s ˛asiedztwo punktu o współrz˛ednych[x, y], a osi ˛a poziom ˛a obrazu. Poniewa˙z dla listewek wzorca nie
okre´slamy zwrotu to warto´s´c θxy stanowi kierunek, którego zakres warto´sci zawiera si˛e w przedziale[0◦...180◦]. Zamiast oblicza´c lokalny kierunek listewek dla ka˙zdego
piksela nale˙z ˛acego do obszaru wzorca wi˛ekszo´s´c algorytmów wyznacza t ˛a warto´s´c dla okre´slonych dyskretnych rozkładów punktów na obrazie. Punkty w tych rozkładach s ˛a centrami ka˙zdego z lokalnych segmentów obrazu posiadaj ˛acych okre´slone i identycz-ne wymiary. Ten sposób reprezentacji wzorca za pomoc ˛a mapy lokalnych kierunków listewek został po raz pierwszy zaproponowany w pracy Grasseli, 1969 [27]. Mapa lokalnych kierunków listewek ma posta ´c macierzy. Ka˙zdy z elementów tej macierzy oznaczony jako θij, odpowiadaj ˛acy w˛ezłowi[i, j] siatki składaj ˛acej si˛e z kwadratów,
których geometryczne ´srodki maj ˛a współrz˛edne[xi, yi], oznacza ´sredni ˛a warto´s´c
lo-kalnego kierunku listewek w s ˛asiedztwie punktu o współrz˛ednych[xi, yi].
Mo˙zna wyró˙zni´c nast˛epuj ˛ace kategorie metod wyznaczania lokalnych kierunków pływów listewek: metody gradientowe, metody rozci˛e ´c i projekcji, metody wyznacza-nia kierunków w dziedzinie cz˛estotliwo´sciowej, metody oparte na globalnym modelu kierunków listewek.
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 47
Metody gradientowe
Jedn ˛a z najbardziej popularnych metod wyznaczenia lokalnych kierunków pły-wów listewek jest obliczanie warto´sci gradientów dla obrazu odbitki. Gradient
∇(x, y) w punkcie [x, y] obrazu I jest dwuwymiarowym wektorem postaci [∇x(x, y), ∇y(x, y)], gdzie składowe ∇x(x, y) i ∇y(x, y) s ˛apochodnymi
kierunkowy-mi I wyznaczonykierunkowy-mi odpowiednio na kierunkach osi x i y w układzie współrz˛ednych kartezja´nskich. K ˛at fazowy gradientu wyznacza kierunek najwi˛ekszej zmiany inten-sywno´sci pikseli. W zwi ˛azku z tym kierunek θ hipotetycznej kraw˛edzi przechodz ˛acej przez obszar, którego centrum znajduje si˛e w punkcie o współrz˛ednych[x, y] jest
ortogonalny do k ˛ata fazowego gradientu w punkcie [x, y]. Metoda oparta na
wyzna-czaniu pochodnych kierunkowych posiada kilka wad. Po pierwsze u ˙zycie klasycznych masek konwolucji Prewitta lub Sobela [26] w celu okre´slenia warto´sci składowych gradientu∇x(x, y) i ∇y(x, y) oraz obliczenia θ jako warto´sci funkcji arctang
pro-porcji ∇y(x, y)/∇x(x, y) jest problematyczne w zwi ˛azku z faktem wyst˛epowania
nieci ˛agło´sci i nieliniowo´sci dla warto´sci k ˛ata bliskich90◦. Ponadto oszacowanie
kie-runków pływów listewek jest dokonywane w metodzie gradientowej dla ka ˙zdego po-jedynczego punktu obrazu. Skala popo-jedynczego piksela, w której dokonywane jest oszacowanie jest zbyt wysoka, a przez to warto´s´c oszacowania jest obarczona błedem wynikaj ˛acym z obecno´sci szumu na obrazie wzorca. Poniewa˙z gradienty okre´slaj ˛a kierunki pływów listewek w pojedynczych punktach, a mapa kierunków obszaru wzorca opisuje kierunki lokalnych struktur dolin i wzgórz w bardziej zgrubnej skali to w celu wyznaczenia warto´sci tej mapy konieczne jest dokonanie operacji u´srednie-nia warto´sci gradientów dla wszystkich pikseli poło ˙zonych w tym samym lokalnym bloku obrazu.
Gradienty nie mog ˛a by´c u´srednione przy pomocy prostej operacji arytmetycznej w lokalnym bloku obrazu, poniewa ˙z przeciwnie skierowane wektory gradientów ni-weluj ˛a si˛e wzajemnie pomimo wskazywania tego samego kierunku struktury listewek. Fakt ten wynika z okresowego charakteru zakresu warto´sci k ˛atowych gradientów, któ-re zawieraj ˛a si˛e w przedziale[0, π]. Ze wzgl˛edu na problemy z arytmetycznym
u´sred-nianiem warto´sci oszacowa´n k ˛atów w pracy Kess i Wilkins, 1978 [45] zaproponowa-no eleganckie rozwi ˛azanie pozwalaj ˛ace na wiarygodne wyznaczenie ´sredniej warto´sci oszacowa´n lokalnych gradientów. W rozwi ˛azaniu tym warto´s´c wyznaczonego k ˛ata jest podwajana przed operacj ˛a u´sredniania. Podwojenie warto´sci k ˛atów powoduje, ˙ze przeciwnie skierowane wektory posiadaj ˛a po tej operacji ten sam zwrot i kierunek
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 48
co daje wzmocnienie oszacowania na danym kierunku, natomiast wektory gradien-tów prostopadłe do siebie niweluj ˛a si˛e wzajemnie obni ˙zaj ˛ac warto´s´c oszacowania dla danego kierunku.
Pojedyncze oszacowanie w zaproponowanym w tej pracy podej´sciu jest wyra˙zone jako:
d= [r ∗ cos(2θ), r ∗ sin(2θ)] (4.1) gdzie warto´s´c 2θ jest u˙zywana zamiast warto´sci θ w celu zniwelowania
proble-mów wynikaj ˛acych z własno´sci warto´sci k ˛atowych. Warto´s´c r jest proporcjonalna do siły oszacowania orientacji (e.g. normy kwadratowej gradientu∇2
x+∇2
y). U´srednienie warto´sci k ˛atów w lokalnym bloku obrazu o oznaczeniu W i o wymiarach n× n
w celu otrzymania wiarygodnego oszacowania d mo˙ze zosta´c zrealizowane poprzez oddzielne u´srednienie warto´sci składowych x i y:
d= 1 n2 W r∗ cos(2θ), 1 n2 W r∗ sin(2θ) (4.2)
Obliczenie ´sredniej warto´sci pomi˛edzy dwoma ortogonalnymi kierunkami przy u˙zyciu równania (4.2) wymaga sumowania dwóch wektorów o przeciwnych zwro-tach i tej samej długo´sci. Długo´s´c wynikowego wektora ma warto´s´c 0. Wskazuje to na fakt, ˙ze taki wektor nie posiada sensownej interpretacji niezale˙znie od jego wyzna-czonego kierunku.
Opieraj ˛ac si˛e na powy˙zszej idei wyprowadzono szereg metod wyznaczania mapy kierunków listewek wzorca [67] [4]. W pracy Ratha et al.,1995 [67] obliczany jest do-minuj ˛acy kierunek pływów listewek θij poprzez poł ˛aczenie wielu oszacowa´n gradien-tów wewn ˛atrz okna W o rozmiarze17 × 17 pikseli, którego ´srodek ma współrz˛edne [xi, yj]: θij = 12atan2(2Gxy, Gxx− Gyy) + π2 (4.3) Gxy = 8 h=−8 8 k=−8 ∇x(xi+ h, yj + k)∇y(xi+ h, yj + k) (4.4) Gxx = 8 h=−8 8 k=−8 ∇x(xi+ h, yj+ k)2 (4.5)
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów dermatoglifów 49 Gyy = 8 h=−8 8 k=−8 ∇y(xi + h, yj+ k)2 (4.6) gdzie ∇x i ∇y s ˛a pochodnymi kierunkowymi obliczonymi na kierunkach x i y przy pomocy operatorów Sobela o wymiarach 3 × 3 piksela. Funkcja atan2(x, y)
wyznacza warto´s´c arctangens dla dwóch zmiennych x i y. Funkcja ta jest podobna do funkcji arctang z x/y, z tym wyj ˛atkiem, ˙ze znaki obu argumentów s ˛a u˙zywa-ne do okre´slenia ´cwiartki wykresu, do której nale˙zy wynikowy k ˛at. W pracy Bazen i Gerez, 2002 [4] pokazano, ˙ze powy˙zsza metoda jest matematycznie równowa˙zna analizie składników głownych macierzy autokorelacji wektorów gradientów. Kolejna niezale˙znie zaproponowana metoda opisana w pracy Donahue i Rokhlin, 1993 [20] polega na minimalizacji metod ˛a najmniejszych kwadratów u ˙zyt ˛a do u´sredniania war-to´sci oszacowa´n kierunków i prowadzi do równowa˙znych wyra˙ze´n. Wiarygodno´s´c r oszacowania θ mo˙ze zosta´c wyznaczona za pomoc ˛a miary zgodno´sci (spójno´sci) wek-torów kierunków d w lokalnym oknie W [45] [4]. W zwi ˛azku z naturaln ˛a ci ˛agło´sci ˛a i gładko´sci ˛a struktury listewek skórnych w obszarach nie zawieraj ˛acych punktów cha-rakterystycznych, oszacowanie stwierdzaj ˛ace gwałtowne zmiany kierunków listewek na takich obszarach wzorca powinno by´c uwa˙zane za mało wiarygodne.
Kass i Witkin definiuj ˛a spójno´s´c jako norm˛e sumy wektorów orientacji podzielon ˛a przez sum˛e ich indywidualnych norm. Warto´s´c skalarna tego stosunku zawsze zawiera si˛e w zakresie [0, 1] i przyjmuje warto´s´c maksymaln ˛a w przypadku gdy
wszyst-kie wszyst-kierunki s ˛a do siebie równoległe (maksymalna spójno´s´c), a warto´s´c minimaln ˛a w przypadku gdy kierunki s ˛a przeciwne (minimalna spójno´s´c):
r = spojnosc(θ) = |
W d|
W|d| (4.7)
Dla podej´s´c opartych o wyznaczanie gradientów przy u˙zyciu równania (4.3), mo˙z-na udowodni´c, ˙ze rówmo˙z-nanie (4.7) mo˙zmo˙z-na sprowadzi´c do uproszczonej postaci:
r= spojnosc(θij) = (Gxx− Gyy)2+ 4G2 xy Gxx+ Gyy (4.8)
W pracy Jain et al., 1997 [36] zgodno´s´c kierunków obliczana jest na podstawie wariancji pomi˛edzy s ˛asiaduj ˛acymi ze sob ˛a blokami o rozmiarach5×5 pikseli podczas
4.4 Dotychczasowy stan bada ´n dotycz ˛acy metod przetwarzania obrazów
dermatoglifów 50
warto´sci resztowej z minimalizacji metod ˛a najmniejszych kwadratów.
Główn ˛a wad ˛a estymatorów opartych na metodach gradientowych jest ich niska