gdy (y) umrze jako pierwsza, (x) za zyna otrzymywa¢ rent do»y-

do»y-wotni¡ i¡gª¡zintensywno± i¡1narok.

Skªadkizatoubezpie zenies¡pªa onewposta irenty i¡gªeja»do

pier-wszej±mier izodpowiedniodobran¡staª¡intensywno± i¡netto

P ¯

^{. Podaj}

rezerw

10 V ¯

^{obli zon¡najedn¡polis. Danes¡:}

¯

a x = 13, ¯ a y = 17, ¯ a x:y ,

¯

a x+10 = 10.5, ¯ a y+10 = 15, ¯ a x+10:y+10 = 6,

10 p x = 0.85, 10 p y = 0.97.

Wska» najbli»sz¡odpowied¹. [Odp. ()11.6,(B)12.2,(C) 12.8,(D)13.4,

(E)14.0.℄

8.20 [EdA15.01.2000℄Trzyosobywwieku

(x)

^,

(y)

^,

(z)

^zakupiªybezterminowe ubezpie zenie na »y ie, wypªa aj¡ e 20 000 zª na konie roku pierwszej

±mier i oraz 10 000 zª na konie roku drugiej ±mier i. Ro zna skªadka

pªa ona jestwstaªej wysoko± i napo z¡tku ka»degorokuubezpie zenia

dodrugiej±mier i. Podajro zn¡skªadkwtymubezpie zeniu. Dane s¡:

¨

a x:y = 7

^,

¨ a x:z = 10

^,

¨ a y:z = 11

^,

a ¨ x:y:z = 8

^,

d = 6%

^{. [Odp. (A)472, (B)}

660,(C) 1100,(D)1220,(E)1533.℄

8.21 [EdA08.04.2000℄Ubezpie zenie dla dwó h niezale»ny h osób (z tej samej

popula ji)wwieku

(x)

^oraz

(x + 1)

^{pªa i1000zªnakonie rokupierwszej}

±mie i. Wyzna z skªadk netto dla tego ubezpie zenia, pªatn¡ w staªej

kwo ie napo z¡tkuka»degorokua»dopierwszej±mier i,je±li wiadomo,

»e

p x = 0.9

^,

p x+1 = 0.85

^,

A x+1,x+2 = 0.24

^,

v = 0.95

^{. [Odp. (A)29, (B)}

31,(C)33,(D)35,(E)37.℄

8.22 [EdA14.010.2000℄›ona(30) i m¡» (35)rozwa»aj¡ zawar ieumowy

ubez-pie zenia i h wspólnego »y ia, zsum¡ ubezpie zenia 1zª, wypªa an¡na

konie rokupierwszej±mier iosobiepozostaj¡ ejprzy»y iulubinnym

up-rawnionym. Regularnaskªadkaro zna

P 30:35

^{pªatna dopierwszej±mier i}

jesto1%mniejszani»odpowiedniaskªadka

P 31:36

^{,któr¡musielibypªa i¢,}

je±li si ubezpie z¡ za rok. Dane ponadto:

q 30 = 0.00055

^,

q 35 = 0.003

^,

v = 0.95

^{. Obli zy¢}

P 30:35

^{. [Odp. (A) 0.003,(B) 0.004, (C) 0.005, (D)}

0.006,(E)0.007.℄

8.23 [EdA03.10.2000℄

• ^t p x = 1 − t ² q x

^,

t ∈ [0, 1]

• ^t p y = 1 − t ³ q y

^,

t ∈ [0, 1]

• q ^x = 0.2

• q ^y = 0.4

• T (x)

ⁱ

T (y)

^s¡niezale»ne.

Obli zprawdopodobie«stwo,»e osoba

(x)

^{umrzew i¡gu9miesi yoraz}

jej ±mier¢bdzie poprzedzona przez ±mier¢osoby

(y)

^{. Podaj najbli»sz¡}

warto±¢. [Odp. (A)0.001,(B)0.003,(C)0.005,(D)0.007,(E)0.009.℄

8.24 [EdA24.11.1997℄M¡» (30) wykupuje dla »ony (20) rent wdowi¡ i¡gª¡,

pªa ¡ ¡ z intensywno± i¡ 12 000 zª na rok od momentu jego ±mier i.

Skªadkipªa one s¡domomentu pierwszej±mier iw formierenty i¡gªej

zintensywno± i¡

P

^{narok. Obli z}

P

^{je±li danes¡}

µ

^(m)

_30+t = 0.02 µ

^(»)

_20+t = 0.01 δ = 0.05.

[Odp. (A)3800,(B)4000,(C)4200,(D)4400,(E)4600.℄

8.25 [EdA07.12.1996℄Rodzi e(25)i(35)wykupilidzie ku(0)polisposagow¡,

daj¡ ¡dzie kuwwieku20latwypªattylkowtedy,gdybdzieono

aªkow-it¡sierot¡. Obli zprawdopodobie«stwozdarzenia,»edojdzie dowypªaty

posagu, je±li nat»eniezgonówjestw tejpopula ji staªei wynosi

µ > 0

^.

[Odp. (A)

exp(−45µ) + exp(−55µ) − 1

^,(B)

(exp(−45µ) + exp(−55µ))/2

^,

(C)

exp(−20µ)−2 exp(−40µ)+exp(−60µ)

^,(D)

(exp(−20mu)−2 exp(−40µ)+

exp(−60µ))/2

^,(E)

(exp(−45µ) + exp(−55µ) + exp(−100µ))/3

^.℄

8.26 [EdA214.10.2000℄Obli z

˚ e 40:50

^{,je±li wiadomo»e:}

•

^{osobawwieku50lat jestniepal¡ a,}

•

^{osobawwieku40lat jestpal¡ a,}

• µ ^p x = 2 · µ ⁿ x

^,

• l ⁿ x = 100 · (100 − x)

^dla

0 ≤ x ≤ 100

^,

gdzie indeksgórny

n

^{ozna zaosobniepal¡ ¡,natomiast}

p

^{osobpal¡ ¡.}

[Odp. (A)11,(B) 14,(C)17,(D)20,(E)24.℄

9 Zadania

9.1 Wnastpuj¡ ymfragmen ietabli yszkodowo± idlaobupª iª¡ znie

TSZ-PL99zdodatkudla

x = 50, . . . , 54

^{uzupeªni¢brakuj¡ ekolumny.}

x l ^{(τ )} x d ⁽¹⁾ x d ⁽²⁾ x q ⁽¹⁾ x q x ⁽²⁾ q x ^{(τ )}

50 91708 661 85

51 90961 656 85

52 90221 650 84

53 89487 645 83

54 88759 640 83

55 88037 991 80

Korzystaj¡ ztej tabli y poli zy¢

k p ^{(τ )} ₅₀

^{, dla}

k = 2, 3, 4

^,

2 q ₅₂ ⁽¹⁾

^,

_2| q ₅₂ ⁽¹⁾

^{. Ile}

wynosi

l ^τ ₅₆

^?

9.2 Napodstawietabli y 9.1obli zy¢(i)prawdopodobie«stwozgonuw i¡gu

roku z powodu przy zyny 1 w wieku 24 lat, (ii) prawdopodobie«stwo,

»e(25)-latekumrze w i¡gurokuz dowolejprzy zyny, (iii)

prawdopodo-bie«stwo,»e (26)-latekumrze w i¡gu dwó hlat z powoduprzy zyny2.

Tabli a9.1: Tabli ana2ryzyka

x l ^{(τ )} x d ⁽¹⁾ x d ⁽²⁾ x

24

97526 33 102

25

97391 35 105

26

97251 37 110

27

97104 39 115

28

96950 39 122

29

96789 42 126

9.3 [EdA13.04.2002℄Osoba,która1sty zniako« zy

50

^{lat,nale»¡ ado}

pop-ula ji de Moivre'a z grani znym wiekiem 80 lat bdzie 1 pa¹dziernika

u zestni zyªa wraz z grup¡ osób w krótkotrwaªej imprezie (ekstremalny

sport), któr¡ prze»ywa 90 % u zestników. Obli zy¢

q ₅₀ ⁽¹⁾

ⁱ

q ⁽²⁾ ₅₀

^{, gdzie}

1

ozna za±mier¢naturaln¡,a

2

^{±mier¢pod zas}wspomnianejimprezy.

9.4 Obli zy¢oilepro entwzro±nieskªadkanaubezpie zenie jednoro znedla

osoby,ko« z¡ ej1sty znia

40

^{lat,planuj¡ ej1}pa¹dziernikau zestni zy¢

wraz z grup¡ osób w krótkotrwaªej imprezie (ekstremalny sport), któr¡

prze»ywa 90 % u zestników. Przyj¡¢ zas rozkªad przyszªego zasu

»y- ia tej osoby jest dany przez TT›-PL97m oraz

i = 3

^{%. Z polisy jest}

wypªa ona suma ubezpie zenia 1 jedynie z powodu ±mier i nie bd¡ ej

nastpstwembranieudziaªuwimprezie.

9.5 Osoba,która1sty zniako« zy

50

^{lat,nale»¡ adopopula jideMoivre'az}

grani znymwiekiem80latbdzie1lip aoraz1pa¹dziernikau zestni zyªa

wrazzgrup¡osóbwkrótkotrwaªy himpreza h(ekstremalnysport),ka»d¡

z ni h prze»ywa80 % u zestników. Obli zy¢

q ⁽¹⁾ ₅₀

ⁱ

q ⁽²⁾ ₅₀

^{, gdzie}

1

^{ozna za}

±mier¢naturaln¡,a

2

^{±mier¢pod zas}wspomnianejimprezy.

9.6 Rozwa»my ubezpie zenie od ±mier i, której nat»enie jest staªe i równe

0.05orazodniesz z±liwegowypadkupowoduj¡ egotrwaªekale two,którego

nat»enie wyst¡pienia równa si 0.01. W hwili ±mier i wypªa ona jest

suma ubezpie zenia 1,natomiastod momentuinwalidztwaa» do±mier i

pªa onajest i¡gªarentazintensywno± i¡1. Obli zy¢JSN.

9.7 Dla1000osóbwwieku25latobli zy¢o zekiwan¡li zbosóbktóreumr¡

w prze i¡gu roku z powoduprzy zyny 1. Równie» poli zy¢ o zekiwan¡

li zbosób, któreprze»ywszypierwszyrokumr¡ wnastpnymzpowodu

przy zyny1. Obli zeniaprzeprowadzi¢dladwuszkodowejtabli y9.1.

9.8 Odej± ia z pra y mog¡ by¢ z dwó h powodów: ±mier¢ (1) lub zmiana

pra y(2). Zmianapra ymo»enastpowa¢jedyniewdniu1pa¹dziernika.

Zakªadaj¡ , »e w i¡gu roku ±miertelno±¢ jest jednostajna oraz

TT›-PLm97 orazz powodu zmiany pra y opus za 5% pra owników, obli zy¢

prawdopodobie«stwo

q ₅₀ ^{(τ )}

^{,»e(50)-latekw i¡gurokuprzestaniepra owa¢}

(przyj¡¢, »e1sty zniajestdniemurodzinpra owników).

Zadania teorety zne

9.9 Opisa¢ przy pomo y

T x

ⁱ

J x

dopeªnienie zdarzenia

{T x ≤ t, J x = j}

^.

Zauwa»y¢,»e ogólnie

1 − t q ^(j) x 6=

^Pr

(T x > t, J x = j)

^{. Czyznaj¡ histori}

»y ia

(x)

^{-latkaod hwilizawar iaumowydo zasu}

t

^{da si}rozstrzygn¡¢, zy w jego przypadku zaszªo zdarzenie

{ T x > t, J x = j }

^{? A zdarzenia}

{ T ^x ≤ t, J ^x = j }

^,

{ T ^x > t }

^?

9.10 Udowodni¢,»e

Pr(J x = j|T x = t) = f x (t, j)

f x (t) = µ ^(j) _[x]+t µ ^{(τ )} _[x]+t .

(Formalnadeni jategowarunkowegoprawdopodobie«stwa,któregowarunek

ma prawdopodobie«stwo0,wymagaabybyªato funk jadwu zmienny h

j, t

speªniaj¡ a

Pr

(J x = j, a < T x ≤ b) = Z b

a

Pr(J x = j|T x = t) f x (t)

^d

t

dlaka»dego

j = 1, . . . , m

^,

0 ≤ a ≤ b

^.)

9.11 Udowodni¢to»samo±¢

t q _x ^(j) = ^t d ^(j) x t d ^{(τ )} x

t q _x ^{(τ )} .

9.12 Udowodni¢przyzaªo»eniuHCFM-D

s p ^′ _x ^(j) = 

Pokaza¢, »e (9.2) jest równie» prawdziwe przy HU-D. Przeksztaª aj¡

udowodni¢,»e

s q ^(j) _x = log r p ^′ x ^(j)

log r p ^{(τ )} x

s q _x ^{(τ )} .

^(9.3)

9.13 Udowodni¢,»eprzyzaªo»eniuHU

′

-Dmamy

t q _x ⁽¹⁾ = q _x ^{′ (1)} (t − q x ^{′ (2)}

t ²

2 ), 0 ≤ t ≤ 1,

sk¡dwywnioskowa¢,»eHU-Dniemo»ewtedy by¢prawdziwa.

9.14 Udowodni¢,»eje±li

T x

^{jestsko« zone,towarunek}

R ∞

0 µ ^{(τ )} _[x]+s ds = ∞

^musi

by¢speªniony. Poda¢przykªadiintepreta jgdynieza hodzi

R ∞

0 µ [x]+s

^d

s =

∞(j = 1, . . . , m)

^.

Zadania dodatkowe

9.15 [EdA14.10.2000℄Wmodeluodwó hryzyka hwspóªbie»ny h[double

de re-mentmodel℄ nie h

q ⁽ⁱ⁾ x

^,

µ ⁽ⁱ⁾ x

^{ozna zaj¡}odpowiednioprawdopodobie«stwo zaj± iazdarzeniaoraznat»eniezdarzeniawstowarzyszonymmodelu

poje-dyn zegoryzyka[asso iatedsinglede rementmodel℄. Przyjmijmy

nastpu-j¡ e ozna zenia:

s

^{ ±mier¢ oraz}

n

^{ ±mier¢ w wyniku} niesz z±liwego wypadku. Danejest:

1.

q x ^(s) = 0.6

^orazjestrównomiernierozªo»onew i¡guroku, 2.

µ ⁽ⁿ⁾ _x+t = 0.04

^dla

0 ≤ t ≤ 1

^.

Wyzna z skªadk netto za ubezpie zenie na okres 1 roku (bez

uwzgld-nienia opro entowania) z któregow przypadku zaj± ia zdarze«objty h

umow¡wypªa anes¡nastpuj¡ e±wiad zenia:

1000wprzypadku±mier inaturalnej(zaj± iezdarzenias),

2000wprzypadku±mier iwwynikuwypadku(zaj± iezdarzenian).

Po-daj najbli»sz¡ warto±¢. [Odp. (A) 133, (B) 134, (C) 135, (D) 136, (E)

137.℄

9.16 [EdA05.12.1998℄ M¡», obe nie w wieku

x

^{, ubezpie za si na wypadek}

±mier i i nawypadek inwalidztwa. Nat»enia obu rodzajówszkodowo± i

wynosz¡ odpowiednio

µ

^(m±)

_x+t = 0.015

^,

µ

^(mi)

_x+t = 0.005

^{. Je±li m¡» zostanie}

inwalid¡, tonie ma szans na wyj± iezinwalidztwai prze hodzi do

pod-popula ji o wy»szej ±miertelno± i

µ

^(mi±)

_x+t = 0.04

^{. Nat»enie wymierania}

kobiet wynosi

µ

^(»)

_x+t

^{. Je±lim¡»umrze(nie bd¡ inwalid¡),to jego »ona,}

obe nie w wieku

y

^{, bdzie pobiera¢ do»ywotnio rent i¡gª¡ z}

intensy-wno± i¡ ro zn¡

P ¯

^{. Je±li natomiast m¡» zostanie inwalid¡, to do ko« a}

»y iabdziepobieraªrent i¡gª¡zintensywno± i¡ro zn¡

2 ¯ P

^{. M¡»pªa i}

skªadkiwformie renty i¡gªejzintensywno± i¡ ro zn¡

π ¯

^{,a» do}

wyst¡pi-enia jednego ze zdarze«: wªasnej ±mier i, inwalidztwa lub ±mier i »ony.

Intensywno±¢opro entowaniawynosi

δ = 0.05

^{. Obli z}

¯ π/ ¯ P

^{. Podaj}

na-jbli»sz¡ warto±¢. [Odp. (A) 0.377, (B) 0.431,(C) 0.452,(D) 0.486, (E)

0.547.℄

9.17 [EdA26.10.1996℄Wubezpie zeniuna»y iezterminem20lat±wiad zenie

jestpªatnewmomen ie±mier iiwynosi:

(1)1.50zª,gdyprzy zyn¡±mier ibyªwypadek,

(2)1zª,gdy±mier¢spowodowaªainna przy zyna.

Nat»eniezgonówwedªugobydwuprzy zynopisuj¡odpowiednio:

µ ⁽¹⁾ _x+t = t

60 , µ ⁽²⁾ _x+t = t 40 .

Wyzna zjednorazow¡skªadknettozat polisprzyzerowej stopie

pro- entowej. [Odp. (A)

1 − exp(−5)

^{, (B)}

⁵ ₆ (1 − exp(−20/3)

^{, (C)}

³ ₂ (1 − exp(−20/3))

^,(D)

⁶ ₅ (1 − exp(−25/3))

^,(E)

³ ₂ (1 − exp(−25/3))

^.℄

9.18 Pokaza¢,»eje±li

b(t) = ¯ s t

ⁱ

Π ¯

^{jest staªa}intensywno± i¡skªadki netto,to

t V = ¯ ¯ Π¯ s t

^.3

3

ZaBowersetal,str. 253.

W dokumencie ZADA
ADWYªADUZATEATY
UBEZ
ECZE‹A›YC
EBaª
iejBªaz zyzyT
azR (Stron 45-51)