ZADA
ADWYªADUZATEATY
UBEZ
ECZE‹A›YC
EBaª
iejBªaz zyzyT
azR

MATEMATYKI UBEZPIECZE‹ NA ›YCIE

Bartªomiej Bªasz zyszyn Tomasz Rolski

InstytutMatematy zny,UniwersytetWro ªawski

2013/2014

1 Zadania MU›; lista 1

1.1 W i¡gu5latdokonanowpªat/wypªatwedªugtabeli:

rok 0 1 2 3 4 5

wpªata 2 0 -2 1 0 4

Obli zy¢obe n¡warto±¢orazzakumulowan¡warto±¢ty h wpªatgdy

i = 4%

^.

1.2 Obli zy¢zakumulowanewarto± ipotrze hlata hdlaprzepªywówkapitaªu

A, BiCdany htabel¡

wariant 0rok 1rok 2rok

A 100 110 120

B 110 110 110

C 120 110 100

Którywariantjestnajlepszy? Przeprowadzi¢dowód, »eobli zanieobe -

nej warto± iizakumulowanejwarto± iprowadzidotegosamegouporz¡d-

kowania.Dla obli ze«przyj¡¢

i = 6%

^.

1.3 (i)Obli zy¢obe n¡warto±¢nastpuj¡ egoprzepªywupieni¡dza:

wlata h parzysty h(tj.

n = 0, 2, . . .

^{)wpªatywwysoko± i1,}

w lata h nieparzysty h (tj.

n = 1, 3, . . .

^{) wypªaty wwysoko± i 1/2. Za-}

pisz powy»sz¡ obe n¡ warto±¢ przy u»y iu symboli renty oraz zynnika

dyskonta.

(ii) Rozpatrzmyprzepªyw pieniadzaz punktu (i), ale w okresie2 lat tj.

gdy

n = 0, 1, 2

^{. Obli zy¢}zakumulowan¡warto±¢podwó h lata h.

1.4 Obli zy¢ efektywn¡ stop pro entow¡ je±li stopa nominalna wynosi 5%

oraz

(i) kapitaliza jajestkwartalna,

(ii) kapitaliza jajestpóªro zna,

(iii) kapitaliza jajest i¡gªa.

1.5 Przypu±¢my,zeskªadamypieni¡dzewbanku,gdysiªastopypro entowej

δ = 0.05

^{. Po jakim okresie podwoimy nasz wkªad? A je±li siªa stopy}

pro entowejwynosi

δ = 0.1

^{? Zakªadamymodel}kapitaliza ji i¡gªej.

1.6 Przepªywy pieni¡dzapewnej inwesty jis¡

Czytainwesty jajestopªa alnadlakogo±ktomo»epo»y za¢iosz zdza¢

przy ro znej stopie pro entowej

i = 6%

^{. Przyjakiej stopie} pro entowej przestajesiopªa a¢?

0rok 1rok 2rok 3rok 4rok

-500 -600 400 450 400

1.7 [EdA5.04.97℄ Z tytuªu renty bezterminowej dokonywane s¡ nastpuj¡ e

pªatno± i:

•

^{1nako« upierwszegorokuipó¹niej o4lata,}

•

^{3nako« udrugiegorokuipó¹niej o4lata,}

•

^{5nako« utrze iegorokuipó¹niej o 4lata,}

•

^{7nako« u zwartegorokuipó¹niej o4lata.}

Stopa pro entowawynosi

i = 5%

^{. Znale¹¢obe n¡ warto±¢ renty-poda¢}

najbli»sz¡warto±¢. Odpowied¹: A:70,25,B:73,68,C:76,58,D: 77,56,E:

80,40.

1.8 Bankproponujenastpuj¡ ykontrakt. Osoba(55)-letniawpªa aprzez10

latskªadkro zn¡

Π

^{zgóryinastpnieod65rokuotrzymujero zn¡rent}

bezterminow¡wwysoko± i1. Znale¹¢

Π

^{, je±li}

Π

^{jestskªadk¡netto, tzn.}

obli zon¡ przywarunku, »e obe na warto±¢ aªego przepªywu wynosi0.

Przyj¡¢

i = 5%

^.

1.9 Podanyjestprzepªywpieni¡dza

0 = C 0 = . . . = C 9

^,

5 = C 10 = C 11 = . . .

^.

(i)Obli zy¢OWtegoprzepªywu.

(ii)Zapisa¢OWprzyu»y iusymbolirent.

1.10 [EdA16.11.96℄ Przewiduj¡ staª¡ stop ina ji 22 % ustalono, »e jedno-

razowa spªata dªugu 100 jp po dwó h lata h wyniesie 190 jp. Realna

ro znastopakosztu dªuguwyniosªa: (i) 15.84%,je±li poziom ina jibyª

zgodny z przewidywaniami; (ii)10.30%, je±li w pierszym roku stopa in-

a jiwyniosªa22%,awdrugim28%;(iii)9.40%,je±li±redniaro znastopa

ina jiwyniosªa26%. Prawdziwes¡jedynieA: (i)(ii),B:(ii)(iii),C:(iii),

D:(i)(ii)(iii),E:»adne.

Wsk.:wprzypadkuwystpowaniaina jiwszelkieobli zenianale»yprowadzi¢

wtzw. staªympieni¡dzu. Mo»nawi naprzykªadkwotwart¡nominalnie

R

^{w hwili}

n

^{wyrazi¢wobe nym pieni¡dzu posªuguj¡ si}zale»no± i¡

R = ˜ R (1 + i

ⁱⁿ

) ⁿ ,

gdzie

i

in

jeststop¡ina ji. Wów zas

R ˜

^{jestrealn¡warto± i¡w hwili}

n

kwotynominalnej

R

^{,wyra»on¡wstaªympieni¡dzu. Ina zej: kwota}

R

^w

hwili

n

^{masiªnabyw z¡równ¡}

R ˜

^{obe ny hjednostek}pieni»ny h.

1.11 Obli zy , przyjakiej ro znejstopie pro entowej danakwota podwoiªaby

sw¡warto±¢po10lata h, je»elibankstosujero zn» kapitaliza jezªo»on¡

a)zdoªu,b)zgóry.

1.12 Wyzna zy¢ warto±¢ kapitaªu

C 1

^{po roku, jesli bank stosuje miesie zna}

kapitaliza jzªo»on¡ zgóry, za±miesi zna nominalnastopa pro entowa

wynosi

i 12

^.

Zadania teorety zne

1.13 Udowodni¢

1 − v ^1/m = 1 m d ^(m)

oraz

i ^(m)

m = 1 − v ^1/m v ^1/m .

1.14 Sprawdzi¢,»e

1 m

m−1

X

k=0

(1 + i) ^k/m = i i ^(m) .

1.15 Przez rent pewn¡ malej¡ ¡ z góry rozumiemy rent w której wypªaty

nastpuj¡wodwrotnejkolejno± ini»przyren ierosn¡ ej,przezkolejny h

n

^{lat. Tozna zy}

Czas Wypªata

0 1/m · · · 1 − 1/m n/m

1 1 + 1/m · · · 2 − 1/m (n − 1)/m 2 2 + 1/m · · · 3 − 1/m (n − 2)/m

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

n − 1 n − 1 + 1/m . . . n − 1/m 1/m

n 0

.

^(1.1)

Wtedyobe nawarto±¢rentymalej¡ ejozna zamyprzez

(D ⁽ⁿ⁾ a) ¨ m

^{. Pokaza¢,}

»e

(I¨ a) ^(m) n + (D ^(m) a) ¨ n = (n + 1) ¨ a ^(m) n .

^(1.2)

1.16 Wyprowadzi¢

(I¨ a) ^(m) _n = (I¨ a) ^(m) _∞ − v ⁿ (I¨ a) _∞ ^(m) − v ⁿ n¨ a ^(m) _∞ = a ¨ n − nv ⁿ

d ^(m) .

^(1.3)

(Ia) ^(m) n = a ¨ n − nv ⁿ

i ^(m) .

^(1.4)

1.17 Pokaza¢,»e

1 a n = 1

s n + i .

1.18 Wyprowadzi¢wzórna

¨ a ^(m) n

^oraz

¨ s ^(m) n

^.

1.19 Obli zy¢ bie»¡ ¡ warto±¢ renty pewnej (bezterminowej) z góry i z dolu

orazrentypewnej(bezterminowej) i¡gªej.

1.20 Wyprowadzi¢wzór naobe n¡, bie»¡ ¡i zakumulowan¡ warto±¢ i¡gªego

przepªywupieni¡dza

c(t)

^{. Czymasensmówi¢o}zakumulowanejwarto± i wprzypadkuniesko« zonegohoryzontu zasowego.

1.21 Udowodni¢,»e i¡gzakumulowany hwarto± i

S k (k = 0, . . . , n − 1)

^dany

wzorem

S n =

n

X

j=0

C j (1 + i) ^n−j

speªniatzw. prospektywn¡zale»no±¢

S k+1 = (1 + i)S k + C k+1 ,

pod zasgdy i¡grezerw

U k (k = 0, . . . , n − 1)

^danywzorem

U k =

n

X

j=k+1

C j v ^j−k

speªniatzw. retrospektywn¡zale»no±¢

U k = v(U k+1 + C k+1 ) .

Zadania dodatkowe

1.22 [EdA16.11.96℄ Przez

i(k)

^,

i(k) > 0

^{, ozna zono ro zn¡ nominaln¡ stop}

pro entow¡z

k

^-krotn¡ kapitaliza j¡ odsetek w i¡gu roku, przez

i ef

^oz-

na zonoodpowiadaj¡ ¡jej stop efektywn¡,za±przez

i c (k)

^{równowa»n¡}

stopopro entowania i¡gªego(siªstopypro entowej).

(i) Je±li

k > 1

^,to

i(k) < i ef (k)

^.

(ii) Je±li

k 1 > k 2

^oraz

i(k 1 ) = i(k 2 )

^,to

i c (k 1 ) < i c (k 2 )

^.

(iii) Je±li

i ef (k 1 ) = i ef (k 2 )

^,to

i c (k 1 ) = i c (k 2 )

^.

(iv) Je±li

i(k) = i ef (k)

^,to

i(k) = i ef (k) = i c (k)

^.

Prawdziwes¡jedynie: A:(i),B:(i)(ii),C:(i)(iii),D:»adne,E:wszystkie.

1.23 [EdA5.04.97℄Dokonujemynaprzemianwodstpa h2tygodniowy hwpªat

iwypªatwwysoko± i1000do/zfunduszu(pierwsz¡opera j¡jestw hwili

obe nej wpªata). Po 2 lata h skumulowana warto±¢ kapitaªu zgromad-

zonegowfunduszuwynosi1051(uwzgldniamyostatni¡wpªatnakonie

2-go roku). Znale¹¢ ro zn¡ efektywn¡ stop opro entowania funduszu.

Poda¢najbli»sz¡warto±¢. (1 rok=12miesi y=48 tygodni). Odpowied¹:

A:odpowied¹niejestjednozna zna,B:3%, C:4%,D: 5%,E:6%. [Wsk.

Napisa¢ OW strumienia wpªat/wypªat. Przyrówna¢ do OW zgromad-

zonego kapitaªu tj. do

v ² 1051

^{. Równanie albo rozwi¡za¢} numery znie, alboprzezodgadni ie sprawdzi¢,»e poprawnaodpowied¹jestD.℄

1.24 [EdA5.04.97℄ Inwestujemykapitaª równy1 wfunduszu opro entowanym

w sposób i¡gªy z ro zn¡ intensywno± i¡ opro entowaniaw

n

^{-tym roku}

równ¡

nδ

^{. Znale¹¢}zakumulowan¡wato± kapitaªunakonie 3-goroku.

1.25 [EdA5.04.97℄Podajktórezponi»szy hto»samo± is¡prawdziwe:

(i)

1 s 1

+ 2 s 2

+ 3 s 3

+ 3i = 1 a 1

+ 2 a 2

+ 3 a 3

.

[Wsk. Nie. Skorzysta¢zzadania1.17.

(ii)



1 + i ⁽¹²⁾ 12

 

1 − d ⁽¹²⁾ 12



= (1 + i) ^1/6 .

[Wsk. Nie. Lewastronarównasi1.℄

(iii)

108 + i(Is) _107| = s ₁₀₈ .

[Wsk. Tak. Przeni±¢108napraw¡stroni podzeli¢stronamiprzez

i

^{. Nastpnie rozpisa¢rentywjawnejposta i.℄}

(iv)

s _2n s n − s _3n

s _2n = 1 − s n

s _2n .

[Wsk. Nie. Dla

i = 0

^mamy

s n = n

^.℄

Odpowied¹: A:tylko(i)(ii),B:tylko(iv),C:tylko(iii),D: tylko(ii),(iv),

E: »adnaspo±ródodpowiedziA,B,C,D niejestprawdziwa.

1.26 Udowodni¢,»eje±lisiªastopypro entowej

δ(t)

^{jestfunk j¡ zasuorazin-}

tensywno±¢wypªatyrentypewnejw hwili

t

^wynosi

c(t)

^{,toobe nawarto±¢}

tejrentywynosi

Z ∞ 0

c(t)e ^{− R 0 t δ(s)}

^d

^s

^d

t .

2 Zadania MU›; lista 2

W zadania h 2.82.22 przyj¡¢, je±li potrzeba, »e speªniona jest odpowiednio

hipotezaHAlubHJP.

2.1 Przyszªy zas»y iaosobynowourodzonejjestwykªadni zyzparametrem

0.01. Obli zy¢

(i) prawdopodobie«stwo±mier iniepó¹niejni»w45roku»y ia,

(ii) prawdopodobie«stwodo»y ia80lat,

(iii) prawdopodobie«stwo±mier imidzy45a80rokiem»y ia.

U»y¢ozna ze«aktuarialny h.

2.2 Zakªadaj¡ ,»enat»enie±miertelno± ijeststaªedla

x ≥ 50

^oraz

˚ e 50 = 40

obli zy¢

p 60

^.

2.3 Wyzna z

17 p 19

ⁱ

15|13 q 36

^,je±li

s(x) = ^{√ 100−x} ₁₀

^,dla

0 ≤ x ≤ 100

^.

2.4 Nie h

µ [x]+t = 1/(100 − x − t)

^{. Obli zy¢}

10 p [50]+10

^,

10|10 q [50]+10

^oraz

˚ e 50

^.

2.5 Obli zy¢

e x

^oraz

˚ e x

^gdy

(i)

T 0

^marozkªadwykªadni zyzparametrem

µ

^,

(ii)

T 0

^{speªniaprawodeMoivre'a.}

2.6 Nie h

µ 20 = 0.0056044

^oraz

µ 30 = 0.0132678

ⁱ

T 0

^{speªnia prawoGom-}

pertza. Obli zy¢

10 p 25

^.

2.7 Obli zy¢

p 10

^,

p 20

^,

p 30

^,

p 40

przyjmuj¡ , »e rozkªad trwania »y ia osoby nowourodzonejpodlegaprawuGompertzazparametrami

B = 0.00026155

i

c = 1.07826

^{. Porówna¢ztabli amiTT›-PL97m.}

1. Rozwa»mypopula jz

k| q 0 = ₈₀ ¹

^,

k = 0, . . . , 79

^{. Zakªadaja hipotezeHU}

znajd¹e

0

^{. Wyzna z} prawdopodobie«stwo, zakªadaja ponadto HJP, »e osobawwieku

x = 10

^{do»yjewiekue}

0

^.

2.8 Przyj¡¢HUiobli zy¢

10|1.5 q 30

^{wiedz¡ ,»e}

l 30 = 523

^,

l 40 = 436

^,

l 41 = 427

^,

l 42 = 417

^{(danepo hodz¡ztabli Halleya).}

2.9 Osza owa¢

e 0

^{je±li zas »y ia jest opisany przez TT› Halley'a. Jaki}

jest mo»liwy bª¡d spowodowany urwaniem si tabli na

x = 83

^{, je±li}

przyjmiemy,»e

ω = 100

^?

2.10 Wiedz¡ ,»eza hodziHCFMznale¹¢korzystaj¡ zTT›-PL97k

(i)

0.5 q 56

^,

(ii)

µ 58.75

^.

2.11 NapodstawieTT›-PL97mobli zy¢

0.5 p 23

ⁱ

15|13 q 40

^{(przyj¡¢HU).}

2.12 Obli zy¢

• d ²⁰

^,

p 20

ⁱ

q 20

^,

•

prawdopodobie«stwo,»e(20)-latekumrzepomidzy30i50-tymrok- iem»y ia

je±li przyszªy zas»y iapodlega:

TT›-PL97m,

TT›-PL97k,

TT›-HALLEY.

2.13 Znale¹¢

µ 65.25

^{przyzaªozeniu:}

HU,

HCFM,

HB,

je±li rozkªad zasuob itego zasu»y iajestdanyprzezTT›-PL97k.

2.14 Znajd¹

l x

^je±li

l 0 = 1000

^i:

(i)

µ t = at

^,

(ii)

µ t = 1

(a 0 + a 1 t)(b 0 + b 1 t)

^.

2.15 Obli zy¢prawdopodobie«stwo,»e (70)-latekumrzepomidzy70.5i71.5-

tymrokiem»y iaje±li

q 70 = 0.04

^,

q 71 = 0.05

^{orazza hodzi}

(i) HU,

(ii) HB.

2.16 Obli zy¢

0.5 q 56

^,

2 p _{56.5 2|1} q 56.5

zakªadaj¡ ,»eprawo»y iadanejestzTT›- PL97k oraz

(i) HU,

(ii) HCFM.

Zaobserwowa¢niewielkieró»ni ewynikówobli zony hprzyró»ny hhipoteza h.

2.17 Korzystaj¡ ztabli TT›-PL97mpodajosza owaniena

l 58 , l ₅₈ ¹

3 , l ₅₈ ²

3

,

1 3 q 58 , ²

3 q 58

oraz

2

3 d 58

^{. Uzasadnijzjaki h hipotez}korzystaªe±.

2.18 Uzasadnijdla zegomo»nau»ywa¢przybli»enia

µ x ≈ q ^x

^{. Zaªo»y¢HCFM.}

2.19 Uzupeªnij nastpuj¡ ¡tabli  trwania»y ia przyzaªo»eniu HU wiedz¡ ,

»e

p 20 = 0.99969

^,

q 21 = 0.00032

^:

x l x

20 98597 20.5

21 21.5

22

2.20 Napodstawietabelkii przyzaªo»eniuHUobli zy¢

5 p 25

ⁱ

5.3 p 24

x q x

24 0.00133 25 0.00132 26 0.00131 27 0.00130 28 0.00130 29 0.00131 30 0.00133

2.21 Obli zy¢

e ◦ x

^dla

x = 107

^{; skorzysta¢ z kolumny podaj¡ ej}

l x

^{z tabli y}

TT›-PL97m.

2.22 Korzystaj¡ z tabli TT›-PL97k oraz TT›-PL97m obli zy¢

0.5 q 55

^oraz

2.5 q 50

^.

2.23 Napodstawietabli yTT›-PL97mzaprojektujnastpuj¡ etabli ekwartalne

iwyja±nijmetod.

wiek li zba do»ywaj¡ y h li zba zmarªy h

x ℓ x 1/4 d x

10 98624

10 ¹ ₄ 10 ¹ ₂ 10 ³ ₄

11 *

(Przez

t d x

^{ozna zamyli zb}

x

^{-latków,którzyzmarliwprze i¡gu}

t

^lat.)

2.24 Median¡przyszªego zasu»y ia

(x)

^{-latkanazywamy}rozwi¡zanierównania

t q x = 0.5

^{. Pokaza¢,»e median¡ jest}rozwi¡zanie równania

l x+t = 0.5l x

^.

Przedyskutowa¢ warunki jednozna zno± rozwi¡zania. Przy zaªo»enia h

HU, HCFM i HB odpowiednio obli zy¢ median przyszªego zasu »y ia

(30)

^{-latkaprzyu»y iuTT›-PL97m.}

2.25 Przyzaªo»eniuhipotezyHUnapisa¢wzórna

µ 40.5

^{wtermina h}

l 40 , l 41

^.

2.26 Rodzi e(25)i (35)wykupilidzie ku (0)polisposagow¡,daj¡ ¡dzie ku

w wieku 20 lat wypªat (jednostki)tylko wtedy, gdy bdzie on zupeªn¡

sierot¡. Obli zy¢ prawdopodobie«stwozdarzenia, »e dojdzie dowypªaty

posagu,je±li nat»eniezgonówjestwtejpopula jistaªeiwynosi

µ > 0

^.

Zadania teorety zne

2.27 Udowodni¢,»e

f x (t) = t p x µ [x]+t

^.

2.28 Pokaza¢,»eprzyzaªo»eniustaªegonat»eniazgonów

µ t = µ (t ≥ 0)

^iHJP

mamy

q x = 1 − exp(−µ)

^.

2.29 Udowodni¢,»eprzyzaªo»eniuHJPs

x+t p 0 = x p 0 t p x

^.

2.30 Udowodni¢,»e

d( t p x )/dx = t p x (µ x − µ x+t )

^{(przyj¡¢HJP).}

2.31 Nie h

T 0

^{speªniaprawodeMoivrea.} Wyprowadzi¢wzórna

t p x

^oraz

µ x+t

(HJP).

2.32 Wyprowadzi¢ wzorynaprawdopodobie«stwoprze»y ia

s(x)

^oraz

t p x

^dla

prawGompertza,MakehamaiWeibulla.

2.33 Pokaza¢,»eprzyHA, dla aªkowity h,nieujemny h

k, n, x

k+n p x = k p x · ⁿ p x+k = n p x · ^k p x+n .

2.34 Pokaza¢,»eprzyHA, dlaka»dego

n = 1, 2, . . .

n p x = p x · p x+1 · . . . · p x+n−1 .

2.35 Zdeniujmy

S ^(m) = 1

m ⌊mS + 1⌋,

^(2.1)

zyli zaokr¡glenie

S

^donajmniejszej wikszej wielokrotno± i

1/m

^{. Zmi-}

enna

S ^(m)

^{przyjmuje zatem warto± i}

1/m, 2/m, . . . , 1

^{. Pokaza¢,»e przy}

HU zmienne

K

ⁱ

S ^(m)

^{s¡niezale»neoraz}

S ^(m)

^madyskretnyjednostajny rozkªad

Pr

(S ^(m) = k/m) = 1/m k = 1, 2, . . . , m.

^(2.2)

2.36 Pokaza¢, »e

S x

^{ma rozkªad i¡gªy z gsto± i¡}

P _∞

n=0 f x (t + n)

^{. Znale¹¢}

rozkªad

S x

^gdy

T x

^{ma: (i) rozkªad} wykªadni zy z parametrem

λ x

⁽ⁱⁱ⁾

rozkªadjednostajnyna

[0, ω x ]

^{. (iii)Czy jestmo»liweaby}

S

^{miaªrozkªad}

jednostajnyna

[0, 1]

^?

2.37 Udowodni¢,przyzaªo»eniuHU

v q [x]+u = vq x

1 − uq ^x ,

^(2.3)

u p x µ [x]+u = q x ,

^(2.4)

k+u p x q [x]+k+u = (1 − u) k p x q [x]+k + u k+1 p x q [x]+k+1 .

^(2.5)

dla

x = 0, 1, 2, . . .

^,

0 ≤ v, u ≤ 1, v + u ≤ 1

^. (Wskazówka: doty zy zy(2.5);

lewastrona wyra»aPr

(k + u < T x ≤ k + u + 1)

^{,skªadniki prawej strony}

zinterpretowa¢jakoPr

(k + u < T x ≤ k + 1)

^,Pr

(k + 1 < T x ≤ k + u + 1)

^.)

2.38 Nie h

x ∈ Z ⁺

^{. Udowodni¢,»e}

(i)przyzaªo»eniuHU

n+u p x = n+1 p x 1 − uq [x]+n

1 − q [x]+n

,

^(2.6)

(ii)przyzaªo»eniuHCFM

n+u p x = n+1 p x (p [x]+n ) ^u−1 ,

^(2.7)

2.39 Wprowadzasi entralnenat»enie±miertelno± ilubro znywspóª zynnik

nat»enia zgonów dla wieku

x

^wzorem

m x =

R 1

0 l x+t µ x+t

^d

t R 1

0 l x+t

^d

t = d x

L x

,

gdzie

L x = R 1

0 l x+t

^d

t

^{. Udowodni¢, »eprzyHU}

m x = q x

1 − q x /2 .

Zadania dodatkowe

2.40 [EdA16.11.96℄Wpopula jiAnat»eniezgonówdanejestwzorem

µ ^A _x = 1

100 − x dla x < 100,

awpopula jiBwzorem

µ ^B _x = n

100 − x dla x < 100,

gdzie

n

^jest parametrem. Wiadomo ponadto, »e osobniki z popula ji A maj¡przedsob¡ prze itnie o10%wi ej »y ia, ni»osobnikiz Bwtym

samym wieku. [Odp. (A)

n = 1.1

^{, (B)}

n = 1.15

^{, (C)}

n = 1.2

^{, (D)}

n = 1.21

^,(E)»adnazpowy»szy h.℄

2.41 [EdA21.07.96℄Nat»eniezgonówopisujefunk ja

µ x+t = be ^x+t

^{,gdzieparametr}

b > 0

^{. Dlajakiej warto± iparametru}

b

prawdopodobie«stwotego,»e 30- latekprzy»yjenastpny h10lat,po zymumrzew i¡gukolejny h5lat,

wynosi

r

^{, oraz}prawdopodobie«stwo

10 p 30 = 5r

^{. [Odp. (A)}

log 5/(log 2 · (exp(45) − exp(40)))

^,(B)

log 5/(2 log 2 · (exp(45) − exp(40)))

^,(C)

(log 5 − log 2/(2 · (exp(45) − exp(40)))

^,(D)

log 5/(log 2 · (exp(45) − exp(40)))

^(E)

(log 5 − log 2)/2 · (exp(45) − exp(40))

^.

2.42 [EdA5.04.97℄Nat»eniezgonówopisujefunk ja

µ x = x/100

^{. Obli zpraw-}

dopdobie«stwotego,»eosobawwieku15lat umrzemidzytrzydziestym

pi¡tyma zterdziestympi¡tymroku»y ia. [Odp.(A)

(exp(4)−1)/ exp(8)

^,

(B)

(exp(5)−1)/ exp(8)

^,(C)

(exp(6)−1)/ exp(8)

^,(D)

(exp(4)−1)/ exp(9)

^,

(E)

(exp(5) − 1)/ exp(9)

^.℄

2.43 [EdA05.12.1998℄Wdanejpopula ji±miertelno± i¡rz¡dziprawodeMoivre'a

z wiekiem grani znym

ω

^{. O wieku}

x

^{wiadomo, »e osoby w tym wieku}

umieraj¡ w i¡gu doby dwa razy rzadziej ni» osoby dwukrotniestarsze.

Obli zprawdopodobie«stwo,»eosobawwieku

x

^do»yjewieku

2x

^{. [Odp.}

(A)1/4,(B)1/3,(C) 1/2,(D)2/3,(E)3/4.℄

2.44 [EdA5.04.97℄ Jaka jest o zekiwana li zba osób z popula ji miliona 35-

latków,któreumr¡pouko« zeniu36lati4misi y»y iaiprzeduko« ze-

niem 37lat i 8miesi y? Przyjmujemyzaªo»enie Baldu iego doty z¡ e

umieralno± iwokresa huªamkowy h. Danes¡równie»:

q 35 = 3 · 10 ⁻³ q 36 = 6 · 10 ⁻³ , q 37 = 9 · 10 ⁻³ .

Przyjmij,»e1miesi¡ to1/12roku. Podajnajbli»sz¡warto±¢. [Odp. (A)

9934,(B) 9944,(C)9954,(D)9966,(E)9976.℄

2.45 [EdA9.12.2000℄ Który z poni»szy h wzorów na E

(T (x))

⁽

x

^{ aªkowity}

wiek)jestprawdziwyprzyzaªo»eniuostaªymnat»eniuwymieraniaosób

z danego ro znika

(µ x+k+0.5

^{ozna za poziom nat»enia wymierania w}

przedzialewiekowym

(x + k, x + k + 1)

^)?

(A)

E

(T (x)) = X ∞ k=1

k p x q x+k

µ x+k+0.5

+ 1 2 ,

(B)

E

(T (x)) =

∞

X

k=1

k p x q x+k

µ x+k+0.5 − 1 2 ,

(C)

E

(T (x)) =

∞

X

k=1

k p x q x+k

µ x+k+0.5

+ log 2 ,

(D)

E

(T (x)) = X ∞ k=1

k p x q x+k

µ x+k+0.5

.

(E)›adenzwzorówniejestprawdziwy.

2.46 [EdA26.10.96℄Wyzna zprawdopodobie«stwoprze»y iaprzezosob55let-

ni¡ onajmniej10lat,je±lianalogi zneprawdopodobie«stwodlaosoby25

letniej wynosi 0.8 oraz nat»enie zgonów opisuje funk ja

µ x = kx

^dla

x > 0

^{. [Odp. (A)0.40,(B)0.64,(C)0.80,(D)0.81,(E)0.90.℄}

2.47 [SAE05.2001/14℄

1

Wykres poni»ej jest zwi¡zanyz ludzk¡ ±miertelno± i¡.

Któr¡znastpuj¡ y hfunk jiodwieku

x

najprawdopodobniejprezentuje

? (A)

µ x

^{, (B)}

l x µ x

^,(C)

l x p x

^,(D)

l x

^,(E)

l x ²

^.

1

SAEozna zazadanieegzamina yjneSo ietyofA tuaries;05.2001ozna zadatnatomiast

14numerzadania.

Rysunek2.1: Wykresdozad. 2.47

2.48 [SAE05.2001/27℄Aktuariuszmodeluje±miertelno±¢grupy1000osób,ka»dej

wwieku95lat,whoryzon ie3lat. Korzystaj¡ zzaªo»eniaHU ze± iowo

wypeªnionatabli a±miertelno± wygl¡danastpuj¡ o;patrztabli a2.48.

Jakzwykleli zysi

l 95+k = 1000 k p 95

^,dla

k = 1, 2, 3

^{. Poªówkowemiejs a}

wypeªniasikorzystaj¡ zhipotezyHU.Uzupeªnijnatejpodstawiebraku-

ja e miejs a a nastpnie obli z o zekiwan¡ li zb prze»ywaj¡ y h wiek

97.5, przy zaªozeniu, »e

p k

^dla

k = 1, 2, 3

^{jak wy»ej, ale przy zaªo»eniu}

hipotezyHCFM dlamiejs poªówkowy h. (A)270,(B)273,(C)276,(D)

279,(E)282.

x l x

95

¹⁰⁰⁰

95.5

⁸⁰⁰

96

⁶⁰⁰

96.5

⁴⁸⁰

97

^

97.5

²⁸⁸

98

^

Tabli a 2.1: Tabli a±miertelno± idozad. 2.48

2.49 [SAE05.2001/28℄Zakªadamyopopula ji,»e

(i)ka»daosobamastaªenat»enie±miertelno± i,

(ii)indiwidualnawielko±¢nat»enia±miertleno± ijestlosowaorozkªadzie

jednostajnymnaod inku

(0, 2)

^{. Obli zy¢}prawdopodobie«stwo,»eosoba wylosowanazpopula jiumrzewprze i¡gunajbli»szegoroku.

2.50 [SAE11.2002/35℄ Dane s¡

S = 1 − e ^{− R 0 1 µ x+t}

ⁱ

R = 1 − e ^{− R 0 1 (µ x+t +k)}

^.

Wiedz¡ , »e

S = 0.75R

^{obli zy¢}

k

^{. (A)}

log _1−0.75q ^{1−q x} _x

^,(B)

log ^1−0.75q _{1−p x} ^x

^{, (C)}

log ^1−0.75p _{1−p x} ^x

^,(D)

log _1−0.75p ^{1−p x} _x

^,(E)

log ^1−0.75p _{1−q x} ^x

^.

3 Zadania MU›; lista 3

3.1 Przyjmuj¡ TT›-PL97morazwiedz¡ ,»e

A ¹

40:4 = 0.8

^{obli z}obowi¡zuj¡ ¡ stoppro entow¡.

3.2 Obli zy¢drugimomentobe nejwarto± iubezpie zeniaZterminowegona

2latadla(65)-latkanasumubezpie zenia10gdy

±miertelno±¢: TT›-PL97m,

stopapro entowa:

i = 5%

^.

3.3 Obli zy¢

A 1

40:3

zakªadaj¡ TT›-PL97morazprzy

(i)

i = 4

^%,

(ii)

i = 12

^%.

Przeprowadzi¢powy»szeobli zeniarównie»zakªadaj¡ TT›-HALLEY.

3.4 Obli zy¢warian jobe nejwarto± iubezpie zeniaterminowegona3lata

na sum ubezpie zenia 20 000, dla (40)-latka, zakªadaj¡ TT›-PL97m

oraz

i = 4

^%.

3.5 Je±li

l x = 100−x

^,dla

0 ≤ x ≤ 100

^oraz

i = 0.05

^{obli z}

(IA) 40

^{. Zakªadamy}

potrzebnehipotezy.

3.6 Zakªadaj¡ prawodeMoivre'aprze»y iedla

(x)

^-latkaz

ω −x = 4

^{,obli zy¢}

JSNdlaubezpie zenianado»y ie

A ¯ x:2

^. Przeprowadzi¢obli zeniadla

δ = 0.06

^.

3.7 Pokaza¢,»e

2 A ¯ x

^równasi

A ¯ x

^{obli zonej przystopie} pro entowej

i ² + 2i

^.

3.8 Obli zy¢

A _30:10

^przy

i = 4%

^gdy

(i) przyszªy zas»y iapodlegaTT›-PL97m,

(ii) przyszªy zas»y iapodlegaTT›-HALLEY.

3.9 Rozpatrzmy nastpuj¡ e ubezpie zenie rosn¡ e, w którym suma ubez-

pie zeniaro±niekolejnowprzedziaªa hdªugo± i

1/m

^o

1/m

^{po z¡wszyod}

1/m

^wprzedziale

[0, 1/m)

^{. Wypªatajestnakonie roku±mier i. Pokaza¢,}

»e JSNdlategoubezpie zenia,przyzaªo»eniuHUwynosi

(IA) x − m − 1 2m A x .

3.10 Zakªadaj¡ TT›-PL97k znale¹¢ aproksyma jedla

A ¯ 30

^oraz

A ¯ 1

40:10

, przy

stopie pro entow¡

i = 4

^%.

3.11 [Egz98℄Portfelskªadasiz1000polisnana zystedo»y iedla40-latków,

nasum ubezpie zenia 1. Jakimusi by¢zabezpie zony funduszw hwili

t = 0

^{abybyªymo»liwewypªatyw}najbli»szymrokuzprawdopodobie«st- wem

.95

^{; w i¡gu rokunie wpªywaj¡ skªadki i nie bierzemy pod uwag}

stopypro entowej. Skorzystajztabli TT›-PL97m.

3.12 Rozpatrzmy polis dla osoby nowourodzonejna »y ie, pªatn¡ na konie

roku±mier iwedªugskali:

wiek korzy±¢

0 1000

1 2000

2 4000

3 6000

4 8000

520 10000

powy»ej21 50000

Obli zy¢JSN.

Napisa¢JSNwtermina hfunk ji komuta yjny h.

3.13 Produkt jestsprzedawanyz 5-letni¡gwaran j¡, obie uj¡ ¡zwrot

(100 − 20x)

^{% enyproduktu,je±lisionpopsujew i¡gu}

x

^{lat. Z}do±wiad zenia wiadomo,»eproduktuszkadzasiwpierwszymrokuzprawdopodobie«st-

wem0.2,wdrugim,trze imi zwartymrokuzprawdopodobie«stwem0.1

i w pi¡tym roku z prawdopodobie«stwem 0.2. Ponadto zakªadasi jed-

nostajnymomentuszkodzeniawprze i¡guroku. Obli zy¢jak¡ z±¢ eny

produktustanowi enagwaran ji,którajestwyli zonawedªugreguªyJSN

przy

i = 0.10

^.

Przprowadzi¢obli zeniauwzgldniaj¡ enastpuj¡ etrzywarianty:

(i) gwaran ja pªatna na konie roku w którym uszkodziª si produkt w

wysoko± i

(100 − 20 × x)

^{%, gdy}

x = 0, 1, . . . , 4

^{jest aªkowit¡ li zb¡ lat}

pra yproduktu.

(ii)gwaran ja pªatna wmomen ieuszkodzeniawwysoko± i

(100 − 20 × x)

^%,gdy

x = 0, . . . , 4

^.

(iii)gwaran japªatnaw hwiliuszkodzieniawwysoko± i

(100 − 20 × t)

^%,

t ∈ (0, 5)

^.

3.14 30-latekkupujeubezpie zenieemerytalnepªa a skªadk1000napo z¡tek

ka»degoroku»y ia,douko« zenia60roku. Ubezpie zenie togwarantuje

wypªatemerytury,którejwarto±¢wmomen ieuko« zenia60lat wynosi

100000,pod warunkiem, »eubezpie zonydo»yjedo60roku. Je»elinato-

miast umrze nie osi¡gnawszy 60 lat »y ia, to ubezpie zy iel zwró i aª¡

wpªa on¡skªadknakonie roku±mier i,beznali zaniapro entów. Jaka

jestwarto±¢o zekiwanaobe nejwarto± isumywypªattegoubezpie zenia.

Przeprowadzi¢obli zeniazakªadaj¡ TT›-PL97koraz

i = 4

^%.

3.15 Rozpatrujemy 100 zªonków klubu w wieku

(x)

^{, którzy wpªa aj¡ kwot}

w

^{zªnafundusz,} zobowi¡zuj¡ ydo wypªaty1000zªw momen ie±mier i ka»degoz zªonków. Obli zy¢

w

^{,je±lirmapowinnasiwywi¡za¢zobow-}

i¡zkuzprawdopodobie«stwem0.95,ije±li

A ¯ x = 0.06

ⁱ

² A ¯ x = 0.01

^{. Przyj-}

mujemy,»eprzyszªe zasy»y ia zªonkóws¡niezale»ne.

3.16 Obli zy¢

A ¯ x

^je±li

µ x = µ

^{dla ka»dego}

x > 0

^{. Wykona¢ obli zenia dla}

µ = 1/100

^{iprzyro znejstopie}pro entowej

i = 11%

^.

3.17 Obli zobe n¡warto±¢aktuarialn¡

2

1000dowypªa enia50-latkowipo15

lata h. Obli zeniawykonajdla

i = 6%

^{oraztabli TT›-PL97m.}

3.18

(x)

^{-latekzawarª}ubezpie zeniena aªe»y iepªatnenakonie roku±mier i izsum¡ubezpie zeniawedªugtabeliprzedstawionejponi»ej.

Rok ±mier i

k

^Sumaubezpie zenia

b k

1 10

2 10

3 9

4 9

5 9

6 8

7 8

8 8

9 8

10 7

ka»dynastpnyrok 7

Podajwzórnajednorazow¡skªadknettotej polisywtermina h funk ji

komuta yjny h. Przeprowad¹ te» obli zenia dla

x = 33

^{je±li rozkªad}

prze»y ia jestzadanyprzezTT›-PL97k.

3.19 Dla i¡gªego ubezpie zenia na aªe »y ie

E [v ^2T ] = 0.25

^{. Zaªó»my, »e}

nat»enie±miertelno± iistopapro entowas¡staªe. Obli z

E [v ^T ]

^.

3.20 Zostaªawypisanapolisadla

(x)

^-latka:

•

^je±li ubezpie zonyumrzewprze i¡gu10lat,ubezpie zy ielwypªa i 100000zªnakonie roku±mier i,

•

^je±li ubezpie zonyprze»yje 10 lat, ubezpie zy iel wypªa i 50 000zª nakonie roku±mier i.

(i)Pokaza¢,»ejednorazowaskªadkanettodlategoubezpie zenia jest

50000 × (A ^x + A 1

x:10 ) .

(ii)Obli zy¢wzórnawarian jobe nejwarto± itegoubezpie zenia.

Przeprowadzi¢obli zeniaz

x = 40

korzystaj¡ ztabli TT›-PL97m.

2

t.j.warto±¢o zekiwan¡obe nejwarto± i

3.21 Obli zy¢JSN dlapolisydla(40)-latkazktórejsiwypªa a

2C

^nakonie

roku ±mier i do wieku 65 lat, natomiast

C

^{gdy ±mier¢ nast¡piªa po 65}

roku»y ia.

Zapisa¢JSNwtermina hfunk jikomuta yjny h.

Zadania teorety zne

3.22 Udowodni¢,»eje±lifunk jakorzy± i

b(t)

^{przyjmujewarto± itylkowzbiorze}

{0, 1}

^{, to}

n

^{-tymoment warto± iobe nej sumy} ubezpie zenia

E [Z ⁿ ]

^jest

równyjednorazowejskªad enettotegoubezpie zenia

A = E [Z]

^{wyli zonej}

przydanym zynniku dyskonta

v

podniesionymdo

n

^{-tejpotgi,albote»}

przydanymnat»eniu opro entowaniapomno»onym przez

n

^;tj.

E [Z ⁿ ] = ⁿ A,

gdzie

n A@v = A@v ⁿ

^lub

ⁿ A@δ = A@nδ

^.

3.23 Pokaza¢

m| A ¯ x = m p x v ^m A ¯ x+m .

3.24 Pokaza¢przyzaªo»eniuhipotezyHJP,»e

( ¯ I ¯ A) x = Z ∞

0

Z ∞ s

v ^t t p x µ x+t dt ds

= Z ∞

0 s| A ¯ x ds .

3.25 Udowodni¢,»e

m→∞ lim (I ^(m) A) ¯ x = ( ¯ I ¯ A) x .

3.26 Pokaza¢,»e

2 A ¯ x

^{równasiwarto± i}

A ¯ x

^{obli zonejprzystopie}pro entowej

i ² + 2i

^.

3.27 Udowodni¢

m| A x = m p x v ^m A _[x]+m

3.28 Udowodni¢

(IA) x =

∞

X

m=0 m| A x ,

(IA) 1

x:n =

n

X

m=0

m| A x − n x| A n

= nA 1

x:n −

n−1

X

k=1

A 1

x:k

.

3.29 Udowodni¢

(IA) ^(m) _x = i

i ^(m) (IA) x .

oraz

(DA) 1

x:n = E [(n − K)v ^K+1

¹

(K < n)]

= (n + 1)A ¹

x:n − (IA) ¹ _x:n .

3.30

A ¯ 1

x:n = i

δ A 1

x:n ,

^(3.1)

( ¯ I ¯ A) x = i δ



(IA) x −  1 d − 1

δ

 A x



,

^(3.2)

(3.3)

3.31 Udowodni¢

A ¯ x ≈ p(1 + i)A x .

^(3.4)

oraz

A ¯ 1

x:n ≈ p(1 + i)A 1

x:n ,

^(3.5)

A ¯ x:n ≈ p(1 + i)A 1

x:n + A 1

x:n .

^(3.6)

3.32 Udowodni¢,przyjmuj¡ hipotezHA,

2 A x = v ² q x + v ² p x 2 A x+1 .

3.33 Udowodni¢,przyjmuj¡ hipotezHA, wzórrekuren yjny:

(IA) x = vq x + v · p x (A x+1 + (IA) x+1 ) .

3.34 Pokaza¢,przyzaªo»eniuhipotezyHCFM

A ¯ x = X ∞ k=0

v ^k+1 k p x µ [x]+k

i + q [x]+k

δ + µ [x]+k

,

gdzie

µ [x]+k = − log p [x]+k

^.

Zadania dodatkowe

3.35 Udowodni¢,przyHU, »edla

0 ≤ u < 1 A [x]+u = 1 − u

1 − uq x

A x + up x

1 − uq x

A [x]+1 .

(Wsk.:Przyj¡¢jakodeni j

A [x]+u = P _∞

k=0 v ^k+1 k p [x]+u q [x]+k+u

^{. Por.te»}

zad.3.36.)

3.36 Udowodni¢ nastpuj¡ ¡ zale»no±¢ uogólniaj¡ ¡ tez zadania 3.35: przy

HU, dla dowolnej funk ji

h

ⁱ

0 ≤ u < 1

^{, warunkowawarto±¢ o zekiwana}

jestrówna

E [h(⌊T x − u⌋)|T x ≥ u] = E [h(⌊T x − u⌋)

¹

(T x ≥ u)]

Pr

(T x ≥ u)

= 1 − u 1 − uq x

E [h(K x )] + up x

1 − uq x

E [h(K [x]+1 )] ,

gdzie

E [h(K [x]+1 )] = E [h(K x − 1)

¹

(K x ≥ 1)]

^{. Wtym eluzauwa»y¢,»e}

⌊T x − u⌋ =

( K x

^gdy

S x ≥ u , K x − 1

^gdy

S x < u

^.

3.37 Udowodni¢

A 1

x:n = M x − M x+n

D x

,

^(3.7)

n| A x = M x+n

D x

,

^(3.8)

A x:n = M x − M ^x+n + D x+n

D x .

^(3.9)

3.38 [EdA26.10.96℄Na»y iepi¢dziesi iolatkawystawionobezterminow¡polis

daj¡ ¡wypªat1nakonie roku,wktórymnast¡pi±mier¢. Wyzna zjed-

norazow¡skªadknetto(podajnajbli»sz¡warto±¢), je±li wiadomo»e: (i)

analogi znaskªadkadlaosobyorok mªodszejwynosi0.6, (ii) stopapro-

entowa

i = 10%

^{,(iii)danes¡warto± ifunk ji}komuta yjny h

D 49 = 850

oraz

D 50 = 765

^{. [Odp. (A) 0.651,(B) 0.654, (C) 0.657, (D) 0.660,(E)}

0.663.℄

3.39 [EdA18.01.97℄Rozwa»mydwarodzajepolis:

•

^{polisaI,wystawionana40-latka,jest9-letnim}ubezpie zeniemtermi- nowymna»y ieze ±wiad zeniemrosn¡ ymzrokunarok o1000zª,

po z¡wszy od sumy ubezpie zenia 1000 wpierwszym roku. ‘wiad-

zenias¡wypªa anenakonie roku±mier i,

•

^{polisaIImatesameparametry,ztym»e}±wiad zeniemaleje oroku o1000po z¡wszyodkwotywyj± iowej9000zª.

Kowarian jawarto± iobe nej wypªat z pary polis I i II sprzedany h tej

samejosobiewynosi

0.005 · 10 ⁶

^{. Wiadomoponadto,»e}

A 1

40:9 = 0.025 ² A 1

40:9 = 0.006 .

Obli z

E [S]

^oraz

Var [S]

^{dla portfela 100}niezale»ny h polis, w który h wystpujepo50polisobydwutypów. [Odp.

(A)

E (S) = 12 500

^,

Var (S) = 24 525 000

^,

(B)

E (S) = 16 200

^,

Var (S) = 24 525 000

^,

(C)

E (S) = 17 900

^,

Var (S) = 25 615 000

^,

(D)

E (S) = 16 200

^,

Var (S) = 26 375 000

^,

(E)

E (S) = 12 500

^,

Var (S) = 26 375 000

^,℄

3.40 [EdA18.01.97℄Naosobwwieku

x

^{-latwystawiono30-letni¡polisna»y-}

ie,daj¡ ¡przezpierwszy h10lat wypªat15000,przeznastpne10lat

kwot 10 000 oraz 5 000 przez ostatnie 10 lat wa»no± i polisy. ‘wiad-

zenie po±miertne jest pªatne na konie roku ±mier i. Wyzna z skªadk

E (Z) + SD(Z)

^{dla tejpolisy(}

SD

^{ozna zaod hylenie}standardowe),je±li wiadomo»e:

• Z ¹ , Z 2 , Z 3

^{towarto± iobe newypªatz10-letni hpolis}wystawiony h na

x

^{-latka,daj¡ y hwypªat1nakonie roku±mier i,i}odro zony h odpowiednioo0lat,10lat oraz20lat,

•

^{dlazmienny h}

Z 1 , Z 2 , Z 3

^znanes¡:

Var (Z 1 ) = 0.007225, Cov (Z 1 , Z 2 ) = −0.0033 Var (Z 2 ) = 0.0036, Cov (Z 1 , Z 3 ) = −0.003 Var (Z 3 ) = 0.003025, Cov (Z 2 , Z 3 ) = −0.00275.

Podajnajbli»sz¡warto±¢wyzna zonejskªadki. [Odp. (A)2230,(B)2245,

(C) 2260,(D)2275,(E)2290.℄

3.41 [EdA7.12.96℄Wyzna zjednorazow¡skªadknettowbezterminowymubez-

pie zeniu na »y ie 25-latka z sum¡ ubezpie zenia 10 000 zª, pªatn¡ na

konie roku,wktórymnast¡piªa±mier¢,je±liwiadomo»e:

1.

v = 0.9

^,

2.

q 24 = 0.00180

^oraz

q 25 = 0.00160

^,

3.

(IA) 24 = 0.64610

^oraz

(IA) 25 = 0.68180

^.

Wynikzaokr¡glijdo10groszy. [Odp. (A)325.60,(B)354.40,(C)355.80,

(D)356.40,(E)357.80.℄

3.42 [EdA7.12.96℄Na

x

^{-latkawystawionopolis,którapo10lata hodro zenia}

daje 40-letnie ubezpie zenie na »y ie ze ±wiad zeniem w wysoko± i 10,

pªatnym w momen ie ±mier i. Wyzna z warian j wypªat z tej polisy

wedªugi hwarto± inamomentwystawieniapolisy,je±li:

1. nat»eniezgonówjeststaªe:

µ x+t = 0.05

^,

2. nat»enieopro entowaniawynosi

δ = 0.05

^.

[Odp. (A)

25 · ((4/3)e ^−1.5 − e ⁻² + 2e ⁻⁶ − (4/3)e ^−7.5 − e ⁻¹⁰ )

^,

(B)

50 · ((4/3)e ^−1.5 − e ⁻² + 2e ⁻⁶ − (4/3)e ^−7.5 − e ⁻¹⁰ )

^,

(C)

25 · ((4/3)e ⁻² − e ⁻⁶ + (4/3)e ⁻⁸ − e ⁻¹⁰ )

^,

(D)

50 · ((4/3)e ⁻² − e ⁻⁶ + (4/3)e ⁻⁸ − e ⁻¹⁰ )

^,

(E)

25 · ((4/3)e ^−1.5 − 2e ⁻⁶ + (4/3)e ^−7.5 − e ⁻¹⁰ )

^.℄

3.43 [EdA16.11.96℄ Dla zabezpie zenia 10-letniego kredytu zawarto 10-letnie

ubezpie zeniena»y ie. Wyzna zjednorazow¡skªadknetto,je±li:

1. ±wiad zeniejestpªatnenamoment±mier i,

2. suma ubezpie zenia maleje jednostajnie wraz z upªywem zasu od

1000dozera,

3. nat»enieopro entowania

δ = 0.04

^,

4. nat»eniezgonówopisujefunk ja

µ x+t = (1/50)

^.

[Odp. (A)

(2500/3)(exp(−3/5) − (1/5))

^,

(B)

(2500/3)(exp(−3/5) − (4/9))

^,

(C)

(5000/9)(exp(−3/5) − (1/5))

^,

(D)

(5000/9)(exp(−3/5) − (2/5))

^,

(E)

(5000/9)(exp(−3/5) − (4/9))

^.℄

3.44 [EdA16.11.96℄ Nie h

Z 1 , Z 2 , Z 3

^{ozna zaj¡} odpowiednio warto± i obe ne wypªat znastpuj¡ y h poliswystawiony h dla40-latka: terminowej20-

letniej na »y ie, 20-letniej na do»y ie oraz 20-letniej na »y ie i do»y ie.

Obli z

E [Z 1 ]

^oraz

E [Z 2 ]

^{, je±liwiadomo,»e}

1.

Var (Z 1 ) = 0.0081

^;

Var (Z 2 ) = 0.0625

^;

Var (Z 3 ) = 0.0106

^,

2.

A 40:20 = 0.4

^.

[Odp. (A)

E (Z 1 ) = 0.1

^,

E (Z 2 ) = 0.3

^,

(B)

E (Z 1 ) = 0.15

^,

E (Z 2 ) = 0.3

^,

(C)

E (Z 1 ) = 0.15

^,

E (Z 2 ) = 0.25

^,

(D)

E (Z 1 ) = 0.1

^,

E (Z 2 ) = 0.35

^,

(E)

E (Z 1 ) = 0.12

^,

E (Z 2 ) = 0.28

^.℄

3.45 [EdA05.12.98℄Danajestli zba aªkowita

x

^oraz

A x = 0.5, p x = 0.6 v = 0.95 .

Obli z

A _x+ ¹

2

korzystaj¡ zzaªo»eniaojednostajnymrozkªadzie±mier iw

i¡guroku. [Odp. (A)0.360,(B)0.375,(C)0.390,(D)0.405,(E)0.420.℄

3.46 [EdA05.12.1998℄Wdziesi ioletnimubezpie zeniuna»y ieido»y iesuma

ubezpie zenia wynosiwpierwszym roku10000zª iro±nieo1000 zªpo

ka»dejro zni ywystawieniapolisy. ‘wiad zenie±miertelnepªatnejestna

konie roku ±mier i. Wyzna z jednorazow¡ skªadk netto dla ubezpie -

zonegowwieku50lat,je±lidanes¡:

A 50 = 0.1831 (IA) 50 = 2.3686 D 50 = 7475 A 60 = 0.2922 (IA) 60 = 2.9000 D 60 = 2450

Podajnajbli»sz¡ warto±¢. [Odp. (A) 

7 480

^{, (B) }

7 690

^{, (C) }

7 900

^,

(D)

8 110

^,(E)

8 330

^.℄

3.47 [EdA16.11.96℄ Wzwi¡zkuzkonie zno± i¡obni»eniate hni znegonat»e-

nia opro entowania o jeden punkt pro entowy, wyzna z nowy poziom

skªadki

A ¯ x

^{, je±li} doty h zasowe

A x = 0.15

^{, a} doty h zasowe

( ¯ I ¯ A) x = 2.2

^{.[Odp.(A)0.161,(B)0.172,(C)0.183,(D)0.194,(E)›adnaz}powy»szy h.℄

3.48 [EdA3.10.98℄Osobawwieku(x)rozwa»akupno jednegozdwó hbezter-

minowy h ubezpie ze« na »y ie. W obydwu ubezpie zenia h pªa i si

jednorazow¡skªadknetto. Pierwszeubezpie zeniedaje±wiad zenie1zª

nakonie roku±mier i,adrugieubezpie zenie ±wiad zenie1zªnakonie

póªro za±mier i. Skªadkazadrugieubezpie zeniejesto1.72%wy»szaod

pierwszejskªadki. Zakªadaj¡ jednostajnyrozkªadzgonóww i¡guroku,

wyzna zte hni zn¡(ro zn¡)stoppro entow¡

i

^,przyktórejskalkulowano obydwieskªadki. Podajnajbli»sz¡warto±¢. [Odp. (A) 6%,(B) 7%, (C)

8%,(D)9%,(E)10%.℄

4 Zadania MU›; lista 3 dodatkowa

4.1 Wubezpie zeniuna»y ieido»y ieobe nawarto±¢

Z = v ^T

¹

(T ≤ n) + v ⁿ

¹

(T > n) = Z 1 + Z 2 .

Pokaza¢,»e

Var Z ≤ Var Z 1 + Var Z 2 .

4.2 Wodro zonymubezpie zeniuna aªe»y ie

m| A ¯ x = m p x v ^m A ¯ [x]+m

oraz

m| A x = A x − A ¹ _x:m .

4.3 Przyzaªo»eniuhipotezyHUdla aªkowity h

n A ¯ ¹

x:n = i δ A ¹

x:n

oraz

(I ¯ A) 1

x:n = i δ (IA) 1

x:n .

4.4 Dlamalej¡ egoubezpie zeniana»y ie

(DA) 1

x:n = E [(n − K)v ^K+1

¹

(K < n)] = (n + 1)A 1

x:n − (IA) ¹ _x:n .

5 Zadania MU›; lista 4

5.1 Obli zy¢JSNdlanastpuj¡ ejrentydla(30)-latka:je±li»yjeonpodkonie

pierwszegorokuwypªatawynosi1000,je±li»yjepodkonie drugiegoroku

wypªata wynosi 3000, je±li »yje on pod konie trze iego roku wypªata

wynosi6000. Obli zenia zrobi¢dlaTT›-PL97moraz

i = 4

^%.

5.2 Obli zy¢, zakªadaj¡ TT›-PL97moraz

i = 4

^%

(i)

a 40

(ii)

a 40:20

(iii)

20| ¨ a 40

(iv) aproksyma jdla

¯ a x

^{(zaªo»y¢HU)}

(v)

¯ a _40:20

^.

Wsk.:w eluunikni iaobli ze« mo»nau»y¢funk jikomuta yjny h.

5.3 Obli zy¢

(Ia) _30:20

^oraz

(I¨ a) _30:20

^{dlaTT›-PL97moraz}

i = 4

^%.

5.4 Poda¢wzórnaaktuarialn¡zakumulowan¡warto±¢

Rozpatrzy¢nastpuj¡ egoubezpie zeniarentowedladla

(30)

^-latka:

(i) 1000nakonie ka»degomiesi¡ awwieku30do40lat,

(ii) 2000nakonie ka»degomiesi¡ awwieku40do50lat,

(iii) 5000nakonie ka»degomiesi¡ awwieku50do60lat,

Poda¢JSN.

Poda¢aktuarialn¡zakumulowan¡warto±¢.

Przprowadzi¢obli zeniadlaTT›-PL97moraz

i = 4

^%.

5.5 Rozpatrzmynastpuj¡ yportfelrentzgóry:

wiek li zba rent

60 36

70 49

80 64

Ka»darentawypªa a1takdªugojakrentobior a»yje. Zakªadamy

i = 4

^%

orazTT›-PL97m. Dlaobe nejwarto± ity h zobowi¡za«obli zy¢

•

^warto±¢o zekiwan¡,

•

^{warian j}

•

^{kwantyl5%rozkªadu.}

Nale»y zaªo»y¢, »e dªugo± i »y¢ s¡ niezale»ne. Do obli zenia warian ji

wykorzysta¢nastpuj¡ ¡tabli  funk jikomuta yjny h obli zony hprzy

nowestopiepro entowej

i = 8.16

^%:

wiek

M x D x

60 232.093 678.143

70 105.770 220.633

80 30.825 49.092

Wsk. Skorzysta¢z fun kjikomuta yjny h. Pamita¢,»e:

A x = M x /D x

^,

oraz,»e

Var Y = ( ² A x − A x )/d ²

^.

5.6 Je±liprzyszªy zas»y iaspeªniaprawoMakehama,to

A ¯ x = A¯ a x + (µ x − A)¯a ^, x

gdzie

A

^{jeststaª¡zwzorunaprawoMakehamaoraz}

¯ a ^, _x

^{obli zonejestprzy}

spe jalnejstopie pro entowej.

5.7 Zakªadaj¡ HU, obli zy¢

A ¯ 45

^{,wiedz¡ ,»e}

¨

a 45 = 19.864

^oraz

A 45 = 0.42143

^.

5.8 Korzystaj¡ ztabli trwania»y iaTT›-PL97m,przyro znejstopiepro-

entowej

i = 4%

^{, obli zy¢} jednorazow¡ skªadk netto zasowej renty na

»y iena3lata,osobywwieku

x = 40

^{,wypªa anejwwysoko± i}

C = 1000

napo z¡tkuka»degoroku»y ia.

5.9 Zakªadaj¡ prawode Moivre'a prze»y ia z

ω = 4

^{obli zy¢} jednorazow¡

skªadk netto dla nastpuj¡ ego ubezpie zenia »y iowo-rentowego: je±li

ubezpie zony

x = 0

^{umrze przedupªywem2lat towypªata10jednostek}

jestpªatnanakonie roku±mier i,poupªywie2latwypªa anajestrenta

wysoko± i 1 na po z¡tek ka»dego roku »y ia. Przeprowadzi¢ obli zenia

przy

δ = 0.2

^.

5.10 Danes¡nastpuj¡ ewarto± iprzy

i = 0.03

^:

x

^{72 73 74 75}

¨

a x

^{8.06 7.73 7.43 7.15}

Obli z

p 73

^.

5.11 Pokaza¢,»e

¯ a x:n

^{obli zonedlastaªegonat»enie}±miertelno± i

µ

^isilestopy

pro entowej

δ

^jestrówne

¯ a n

^{obli zoneprzysilestopy}pro entowej

δ + µ

^.

5.12 Zaªó»my, »e

Y

^{jest obe n¡ warto± i¡ rentyz góry na aªe »y ie dla}

(x)

^-

latkawypªa aj¡ ¡1. Danejest

a ¨ x = 10

^przy

i ^′ = 1/24 = e ^δ − 1

^,

¨ a x = 6

przy

i = e ^2δ − 1

^{. Obli zwarian j}

Y

^.

5.13 Grupa (30)-latkówpªa i po 1000 zªdo funduszu na konie ka»dego roku

przez 20 lat. Znajd¹ kwot przypadaj¡ ¡ dla jednego prze»ywaj¡ ego.

Obli zenia przeprowad¹ dla TT›-PL97m przy

i = 4%

^{. Wsk.: mo»na}

skorzysta¢ztabli y funk ji komuta yjny h.

Zadania teorety zne

5.14 Udowodnij orazpowiedzprzyjaki hzaªo»enia hjestprawdziwarówno±¢

(i)

n E x = t E _{x n−t} E x+t

dlawszystki h

t, n ∈ Z +

ⁱ

t ≤ n

(ii)

n E x = t E _{x n−t} E x+t

dlawszystki h

n ∈ Z +

^,

t ≥ 0

^oraz

t ≤ n

^.

5.15 Pokaza¢ przyHJP, »e warian ja obe nejwarto± i

Y

^{i¡gªej rentyodro -}

zonejwynosi

Var [Y ] = v ^2m m p x (1 − ^m p x )(¯ a x+m ) ² + v ^2m m p x

2 A ¯ x+m − ( ¯ A x+m ) ²

δ ² .

5.16 Udowodni¢

m|n ¯ a x = v ^m m p x ¯ a [x]+m:n ,

gdzie

¯ a [x]+m:n = R n

0 v ^t t p [x]+m

^orazprzyHJP

m|n ¯ a x = v ^m m p x a ¯ x+m:n .

5.17 Udowodni¢zale»no±¢

v¨ a x = a x + A x .

5.18 Udowodni¢nastpuj¡ ezwi¡zkidoty z¡ ejednorazowejskªadkinettoter-

minowejrentyzdoªu

a x:n = ¨ a x:n − 1 + A _x:n ¹ ,

¨

a x:n = 1 + a _x:n−1 , a x:n = v¨ a x:n − A ¹ _x:n , a _x:n−1 = v¨ a x:n − A x:n .

5.19 Przyzaªo»eniuHA,wyprowadzi¢wzórnawarian jobe nejwarto± iodro -

zonegoubezpie zenia na aªe»y ie

Var [Y ] = v ²ⁿ n p x (1 − n p x )(a x+n ) ² + v ²ⁿ n p x

2 A x+n − (A x+n ) ²

d ² ,

gdzie

Y =

( 0

^je±li

K = 0, 1, . . . , m − 1

^,

v ^m + v ^m+1 + . . . + v ^K

^je±li

K = m, m + 1, . . .

^.

5.20 Pokaza¢, »e jednorazowa skªadka netto rosn¡ ej renty na »y ie z doªu,

tzn.owypªata h

c k

^{=k(k=0,1,...) wokresie}

0 ≤ k ≤ K

^wynosi

(Ia) x =

∞

X

k=1

kv ^k k p x .

5.21 Wyprowadzi¢nastpuj¡ ewzorynajednorazoweskªadkinettorosn¡ y h

rentterminowy hzgóryizdoªu

(I¨ a) x:n =

n

X

k=1

kv ^k−1 _k−1 p x ,

^(5.1)

(Ia) _x:n =

n

X

k=1

kv ^k k p x .

^(5.2)

5.22 Udowodni¢nastpuj¡ ¡zale»no±¢:

A ^(m) _x = m(v ^1/m ¨ a ^(m) _x − a ^(m) x )

= 1 − d ^(m) ¨ a ^(m) _x .

5.23 Udowodni¢nastpuj¡ ¡zale»no±¢doty z¡ ¡rentyzupeªnej

1 = i ^(m) ˚ a ^(m) _x + ¯ A x .

5.24 Rozwa»aj¡ przepªywkapitaªudlaportfela

l x

^rentterminowy h,udowod- ni¢ »e zakumulowanewarto± iodpowiedni h rent dyskretny h nakonie

okresudanes¡wzorami

s x:n = a x:n n E x

,

¨

s x:n = ¨ a x:n n E x

.

oraz,»e analogi zniedlarenty i¡gªejmamy

¯

s x:n = a ¯ x:n n E x

.

5.25 Dla zegonierozwa»asizakumulowany hwarto± irentna aªe»y ie?

5.26 Przyjmijmynastpuj¡ ¡deni j i¡gªejfunk ji komuta yjnej

N ¯ x = Z ∞

0

D x+t

^d

t .

Udowodni¢,»e

¯ a x = N ¯ x

D x

.

5.27 Udowodni¢przyzaªo»eniuHU,»e

N ¯ x = id

δ ² N x − i − δ δ ² D x .

5.28 Pokaza¢,»e

s x:n = N x+1 − N ^x+n+1

D x+n ,

¨

s x:n = N x − N x+n

D x+n ,

n k x = M x − M ^x+n D x+n .

Zadania dodatkowe

5.29 [FAM℄Obli zy¢

a ¨ ⁽²⁾ _45:10

^,

a _30:20 ⁽¹²⁾

^,

¯ a _30:20

^{przyzaªo»eniuTT›-PL97moraz}

i = 4

^%korzystaj¡ z

(i) zaproksyma jiDL,

(ii) zakªadaj¡ HU.

5.30 Dla (65)-latkazakªadaj¡ TT›-PL97moraz

i = 4

^{% obli zy¢}aktuarialn¡

obe n¡warto±¢rentyna aªe»y iepªatnejmiesi zniezgóry.

5.31 [EdA16.11.1996℄Nie h

Y

^{bdzie obe n¡warto± i¡renty}do»ywotniej dla 70-latka, daj¡ ej mu wypªat 100 na po z¡tek ka»dego roku. Obli z

Var [Y ]

^{je±li dane s¡}

A 69 = 0.55211

^,

² A 69 = 0.34022

^,

p 69 = 0.97

^oraz

v = 0.95

^{(podajnajbli»sz¡warto±¢). [Odp. (A)119151,(B)129252,(C)}

139353,(D)149454,(E)159555.℄

5.32 Obli zy¢

A 20

^,

a ¨ 20

^,

P 20

^przy

i = 6%

^{orazTFK-PL97m.}

5.33 [EdA26.10.96℄ Czterdziestoletnia osoba za i¡gnªa kredyt na 10 lat, z

ro zn¡ rat¡ w wysoko± i

r

^{spªa an¡ w formie renty i¡gªej z opro en-}

towaniem

δ

^{. Dla pokry ia dªugu wystawiono polis daj¡ ¡ w momen-}

ie ±mier i dªu»nika wypªat równ¡ pozostaªej kwo ie dªugu. Przyjmu-

j¡ tsam¡stoppro entow¡

δ

^{wska»formuª}wyzna zaj¡ ¡jednorazow¡

skªadknettozatpolis.

[Odp. (A)

(r/δ)( ¯ A 1

40:10 + v ¹⁰ · 10 p 40 )

^,

(B)

(r/δ)( ¯ A 1

40:10 − v ¹⁰ · ¹⁰ p 40 )

^,

(C)

(r/δ)( ¯ A ¹

40:10 − v ¹⁰ · ¹⁰ q 40 )

^,

(D)

(r/δ)(A 1

40:10 − v ¹⁰ · ¹⁰ q 40 )

^,

(E)

(r/δ)(A 1

40:10

+ v ¹⁰ · 10 q 40 )

^.℄

5.34 [EdA26.10.96℄Osobie zterdziestoletniejwystawionopolisnarentdo»y-

wotni¡, odro zon¡ na 20 lat, pªatn¡ w wysoko± i 1 na po z¡tek roku.

Wyzna zjednorazow¡skªadknettozat polis,je±liwiadomo, »e:

A 40 = 0.112 s ¨ 40:20 = 77.7 20 p 40 = 0.78 i = 0.1 .

[Odp. (A)0.76,(B) 0.80,(C) 0.84,(D)0.88,(E)0.92.℄

5.35 [EdA5.10.96℄Danes¡trzyformuªy:

(i)

A ¯ x = _δ ⁱ − ^d·¨ _δ ^{a x}

^,

(ii)

A ¯ x:n = A x:n + ( _δ ⁱ − 1)A ¹

x:n

,

(iii)

(IA) x = _δ ⁱ (IA) x

^.

Którazni hjestpoprawnaprzyzaªo»eniujednostajnegorozkªaduzgonów

w i¡guroku?

[Odp. (A)tylko(i),(B)tylko(ii),(C) tylko(iii),(D) tylko(ii)oraz(iii),

(E)»adna.℄

5.36 [EdA5.10.96℄Danes¡:

¨

a _x:3 = 2.70 i = 0.1 3 p x = 0.9.

Przyzaªo»eniujednostajnegorozkªaduzgonóww i¡guroku

¨ a ⁽¹²⁾ _x:3

^wynosi

(podajnajbli»sz¡warto±¢):

[Odp(A)2.40,(B)2.45,(C)2.50,(D)2.55,(E)2.60.℄

5.37 [EdA7.12.96℄ Osobie 35-letniej wystawiono polis na rent do»ywotni¡,

odro zon¡na30lat,pªatn¡wwysoko± i100zªoty hnapo z¡tkumiesi¡ a.

Przyzaªo»eniujednostajnegorozkªaduzgonóww i¡gurokuwyzna zjed-

norazow¡skªadknetto, pªatn¡ wmomen ie wystawieniatej polisy, je±li

danes¡:

(i)

A ⁽¹²⁾ ₃₅ − A 35 = 0.004212

^,

(ii)

A 1

35:30 = 0.06519

^,

(iii)

¨ a _35:30 = 11.425

^,

(iv)

d = 7.407%

^,

d ⁽¹²⁾ = 7.672%

^,

α(12) = 1.0005

^,

β(12) = 0.4713

^.

Wynikzaokr¡glijdoli zby aªkowitej.

[Odp. (A)513,(B) 660,(C)807,(D)954,(E)1101.℄

5.38 [EdA21.06.97℄Znajd¹ warian j zmiennejlosowej

Y = ¯ a _T

^{przy staªej in-}

tensywno± iopro entowania

δ > 0

^{,wiedz¡ »e:}

¯

a x = 9

^przyintensywno± iopro entowania

δ

^,

¯

a x = 6

^przyintensywno± iopro entowania

2δ

^oraz

² A ¯ x / ¯ A x = 2/3

^.

[Odp. (A)3/2,(B) 3,(C)9,(D)27/2,(E)27.℄

5.39 [EdA3.10.98℄Wpewnejpopula ji±miertelno± i¡rz¡dziprawoWeilbullaz

intensywno± i¡wymierania

µ x = x/400

^{. Ponadto}intensywno±¢opro en- towania

δ = 0.05

^oraz

Φ(u)

^{ozna za}dystrybuantstandardowegorozkªadu normalnego. Wyzna z

a ¯ 20

^.

[Odp. (A)

20 √

2πe ² (1 − Φ(2))

^,

(B)

40 √

2πe ² (1 − Φ(2))

^,

(C)

1 20

√ 2πe ² (1 − Φ(2))

^,

(D)

1 20

√ 2πe ⁴ (1 − Φ(2))

^,

(E)

1 400

√ 2πe ⁴ (1 − Φ(2))

^.℄

5.40 Pokaza¢,»e

α(m) = 1 + m ² − 1

12m ² δ ² + 2m ⁴ − 5m ² + 3

720m ⁴ δ ⁴ + . . .

oraz

β(m) = m − 1

2m [1 + m + 1

3m δ + m(m + 1)

12m ² δ ² + (m + 1)(6m ² − 4)

360m ³ δ ³ + . . .] .

6 Zadania MU›; lista 5

6.1 Trzyletni kredyt zostaª zabezpie zony ubezpie zeniem, wypªa anym na

konie roku±mier i. Poni»ejdanes¡informa je otym ubezpie zeniu za-

wartymprzez

(x)

^-latka:

k b k+1 k| q x

0 3 0.010

1 2 0.010

2 1 0.020

(i)NapiszOWsumytegoubezpie zenia.

(ii)Obli zJSNdlategoubezpie zenia(najlepiejbezpo±redniozdeni ji).

(iii) Obli zro zn¡ skªadknetto pªa on¡w jednakowej wysoko± i

P

^tak

dªugojakubezpie zony»yje.

(iv)Obli zrezerwnettopodrugimroku(najlepiejbezpo±redniozdeni ji).

Doobli ze«przyj¡¢

i = 1/9

^.

6.2 Poni»ej danes¡informa jeo3-letnimubezpie zeniu nado»y iepªatnym

nakonie roku±mier izawartymprzez

(x)

^-latka:

k b k+1 k| q x

0 2 0.20

1 3 0.20

2 4 0.3

Skªadkapªa onajestnapo z¡tkuubezpie zeniai

i = 1/9

^{. Wprzypadku}

prze»y iawypªa anajestkwota

b 3 = 4

^.

(i)NapiszOW sumytegoubezpie zenia. Czymo»na Napisa¢JSN

A

^dla

tegoubezpie zeniaprzyu»y iustandardowy hozna ze«?

(ii)Obli zJSNdlategoubezpie zenia(najlepiejbezpo±redniozdeni ji).

(iii) Obli zro zn¡ skªadknetto pªa on¡w jednakowej wysoko± i

P

^tak

dªugojakubezpie zony»yje.

(iv) Obli z rezerw netto po pierwszym roku (najlepiej bezpo±rednio z

deni ji). Rozwa»y¢dwaprzypadki: (

1 ^◦

^{)skªadkanettojest pªa onajed-}

norazowowmomen iewypisaniapolisy,(

2 ^◦

^{)skªadkajestpªa ona oro znie.}

Doobli ze«przyj¡¢

i = 1/9

^.

6.3 Wykupionopolisdla30-latkana aªe»y iezskªadk¡ro zn¡nettopªatn¡

napo z¡tkuka»degorokujakdªugoubezpie zony»yjeiwynosz¡ ¡100zª.

Znajd¹najak¡sumubezpie zenia zostaªawypisanapolisa,je±li

x = 30

^,

i = 4%

^{oraz przyjto} ±miertelno±¢ wg TT›-PL97m. Obli zy¢ rezerw

nettopopierwszymroku.

6.4 Napisa¢obe n¡warto±¢ aªkowitejstraty

L

^{dlarentyzgóryna aªe»y ie,}

odro zonej na2lata, snansowanej skªadk¡ nettopªa on¡ wpierwszy h