strahlern
(54) Die ex ak ten Form eln fü r den S trahlungsw iderstand sind schon bei verhältnism äßig einfachen A ntennenform en recht v e r
w ickelt u n d um ständlich in der A usw ertung. H inzu kom m t, daß die au ftreten d en höheren F u n k tio n en fü r m anche Zwecke n icht genau genug oder in einem zu kleinen Bereich des A rgum entes tab elliert sind.
D aher ist es häufig einfacher u nd genauer, den Strahlungsw iderstand
1 4 8 T h e o rie u n d a llg e m e in e T e c h n ik
Rsa ist dem entsprechend der au f den B ezugsstrahler bezogene G esam t
strah lu n g sw id erstan d .
5. A ntennen m it n ich t sinusförm iger Strom verteilung l (55) W ie u n te r (35) a n einem Beispiel gezeigt w orden ist, b e ste h t der E influß der endlichen D äm pfung der A ntenne au f die S trah lu n g
s-1 4 9 Verteilung im w esentlichen n u r d arin , daß die N ullw inkel, die auf- tre te n w ürden, w enn die D äm pfung verschw indend klein u n d d am it die Strom verteilung sinusförm ig w äre, verw ischt werden. U n ter der V oraussetzung, daß das H orizontalstrahlungsm aß das gleiche ist wie bei sinusförm iger S trom verteilung, b leib t dies p rak tisch ohne E in fluß auf den S trahlungsw iderstand, wie m an an dem Beispiel der A bb. 72 leicht abschätzen k an n .
N u n ist u n te r (47) gezeigt worden, daß das H orizontalstrahlungs- m aß n u r sehr wenig von dem bei sinusförm iger Strom verteilung a b w eicht, w enn auf den S trom im S trom bauch bezogen wird. Man k a n n also ohne erheblichen F ehler fü r den S trahlungsw iderstand im S trom bauch einer A ntenne, deren Strom verteilung infolge der D äm p
fung von der sinusförm igen abw eicht, den Strahlungsw iderstand der däm pfungsfrei gedachten A ntenne einsetzen.
Die U m rechnung auf einen anderen B ezugspunkt, z. B. den Euß- p u n k t, d a rf jedoch d an n n ich t u n te r Zugrundelegung der sinusförm igen Strom verteilung erfolgen, w enn der Bezugspunkt m ehr als etw a § 2 vom freien E n d e des L eiters e n tfe rn t ist. Besonders deutlich zeigt sich dies a n dem auf den K n o ten bezogenen Strahlungs w iderstand, der bei sinus
förm iger S trom verteilung unendlich groß werden w ürde, was physi
kalisch unm öglich ist. Man e rh ä lt den w irklichen W ert in g u ter A n
näherung, w enn m an den S trahlungsw iderstand gem äß (305) um rechnet u n te r Zugrundelegung der u n te r (20) entw ickelten Strom verteilung auf gedäm pften L eitungen.
M it (95) erg ib t sich ohne weiteres fü r den Strahlungsw iderstand, bezogen auf den S trom im E u ß p u n k t F ( x = l ) :
zogen ist.
Die E rm ittlu n g der D äm pfungskonstanten w ird weiter u n te n be
sprochen. Bei der praktischen A nw endung von (323) bedient m an sich m it V orteil der Tafel I I , die auch die H yperbelfunktionen en th ält.
Bei den gebräuchlichen A ntennen ist ß so klein, daß in völlig aus
reichender N äherung der Zähler in (323) gleich 1 gesetzt w erden d a r f : sin2 « ( l + lva) + ©in2 ß ( l + Ivß) ' Bs0 ’ (323) wobei R $0 auf den S trom im ersten S trom bauch
sin2 a (l + Ua) + ©in2 ß (l + Ivß) ' (324) Im ersten S trom knoten ll -j- Z,
R
(l -j- lva = ist z. B. :
RsO (325)
W ir nehm en vorw eg, d aß in diesem F a ll a n g e n ä h e rt [auf G ru n d
ruppen-C harakteristik ist im allgem einsten F a ll durch (198) gegeben. W ir nehm en a n , die E in zelstrah ler seien R u n d stra h le r m it sinusförm iger Strahlungs
v erteilu n g (f0 (cp,ip) = cos cp), z. B. niedrige senkrechte Leiter. I n Abb. 54 sind einige H orizontalstrahlungskennlinien dargestellt. W ir verw enden die gleichen Bezeichnungen wie u n te r (38) bzw. in Abb. 38.
Die A nw endung der V orschrift (303) erg ib t fü r den auf den Bezugs
stra h le r bezogenen G esam tstrahlungsw iderstand zunächst:
71 2 j t 2
60 Q e r
-ßse = |?y«(0) |2 1 I [1 + P2 + 2 p cos 2(8 — a a cos cp cos rp)] cos3<pd<pdip.
v=0 <p=0
D as H orizontalstrahlungsm aß %e(0) des B ezugsstrahlers ergibt sich aus den u n te r (45) aufgestellten Beziehungen. Um geform t is t:
Cd zi &
Rse == ^ ^ | S« (0) |2(1 + p 2) / [cos*cpdcpdip
y > = 0 q> =0 27 i 2
00£2 C C
+ | ?ye(0) |22p I j cos 2 (8 — aa cos p cos y) cos3<pdq>dy>.
v = o rp = o
D as erste D oppelintegral ist leicht lösbar [vgl. (313)]. Bei dem zw eiten führen w ir zu erst die In te g ra tio n nach ip durch, die auf B e s s e ls c h e F u n k tio n en fü h rt:
I cos 2 (8 — aa cos cp cos ip) cos3 cpdip
— cos3p
y=0 '¿7t
cos 2 8 I cos (2 a a cos cp cos ip) dtp + sin 2 <5 j sin (2 a a cos cp cosip) dip
rp—0 y = 0
= cos3 cp cos 2 8 • 2ti J 0( 2 a a cos cp) + 0.
Die B e s s e ls c h e F u n k tio n J0 (2 a a cos cp) entw ickeln wir, um die In te g ra tio n nach cp durchführen zu können, in eine R eihe:
J 0 (2 a a cos 9?) = 1 — | ( 2 « a c o s p)2 + ^ (2 a a c o s p)4 — (2a<zcosp)6.
U n ter dem T eilintegral nach cp s te h t diese Reihe, m ultipliziert .m it cos3 cp. N u n is t ab e r fü r ungerade Potenzen v on cos cp*):
*) Die A b leitung fin d e t m a n z. B . bei: R . R o th e, H öhere M athem atik, Teil I I , S. 11, B . G. T eubner, Leipzig 1929, oder bei: v. M angoldt-K nopp, E in fü h ru n g in die höhere M a them atik, i l l . B d., S. 145, S. Bürzel, Leipzig 1933 (6. Aufl.).
1 5 2 T h e o rie u n d a llg e m e in e T e c h n ik
1 5 3 des eines S trahlers als E inzelstrahler wird, gleichgültig, welchen A b
s ta n d 2 a die S trah ler haben.
W ie sich die A bhängigkeit des S trahlungsw iderstandes von <5 u n d 2 a bei gleichbleibender S trahlungsleistung auf die Größe der S trah lu n g (gegeben durch (308)) ausw irkt, erk en n t m an anschaulich au s A bb. 54. H ierzu sei auch auf Teil I I hingewiesen.
A uf den S trah lu n g sw id erstan d von S trah lerg ru p p en m it m ehr als zwei E in zelstrah lern , sowie au f die A ufteilung des G esam tstrahlungs
w iderstandes au f die E m zelstrah ler, die fü r die Leistungsverteilung beim B etrieb der G ruppe w ichtig ist, w ird u n te r (57) eingegangen.
(57) In te g rie rt m an die „S trahlungsleistungsdichte“ in der Weise, wie u n te r (52) v erfah ren ist, so e rh ä lt m an lediglich die G esam tstrah
lungsleistung bzw. den G esam tstrahlungsw iderstand. F ü r den p ra k tischen B etrieb von S trahlergruppen m it g e tre n n t gespeisten Einzel- s tra h le m is t ab er noch die K en n tn is der auf den E inzelstrahler e n t
fallenden Strahlungsleistung erforderlich. U m sie zu erm itteln , m uß die S trahlungsleistungsdichte ü b er eine Eläche in teg riert werden, die n u r einen E inzelstrahler um schließt. Als H üllfläche w ird zweckmäßig die Oberfläche des A ntennenleiters gew ählt.
D abei k a n n m an z. B. v on (295) ausgehen. Schneller kom m en wir zum Ziel durch A nw endung von (294). Diese F orm el bezieht sich auf einen R au m ohne Energie-Q uellen u n d Senken. N ehm en w ir je tz t an, daß die im b e tra c h te ten R a u m vorhandenen L eiter E nergiequellen en th alten , die insgesam t augenblicklich die L eistung nQ abgeben, so m üssen w ir (294) wie folgt ergänzen:
Bei dem R au m in teg ra l des zw eiten Gliedes au f der rech ten Seite sind die E nergiequellen en th alten d en R aum teile auszuschließen. Aus der theoretischen E lek tro tech n ik is t n u n b ek an n t, daß in vollkom m enen L eitern keine elektrom agnetische Feldenergie aufgespeichert ist, a b gesehen v on dem „inneren“ m agnetischen F eld, das bei d ünnen L eitern v ernachlässigt w erden k an n . D er Sitz der Feldenergie ist vielm ehr der m it N ich tleitern angefüllte R au m . A uch w ird in vollkom m enen L eitern keine Energie v erb ra u ch t. D aher ist, w enn w ir die H ü ll
fläche des b e tra c h te te n R aum es m it der Oberfläche der L eiter zu
sam m enfallen lassen, die au streten d e L eistung in jedem A u g e n b l i c k gleich der von den E nergiequellen abgegebenen L e istu n g : n = n q>
T U . Strahlungskopplung 1. Allgemeine Theorie
V
1 5 4 T h e o rie u n d a llg e m e in e T e c h n ik
n ic h t etw a n u r im M ittel ü b er die S chw ingungsdauer, wie bei jedem beliebigen R a u m im eingeschw ungenen Z u stan d . Som it g ilt u n te r B erücksichtigung v on (295) fü r die aus der O berfläche der L eiter a u streten d e S tra h lu n g sle istu n g :
= — j e g d v . (329)
Sind m ehrere L eiter v o rh a n d en , so ist, um die au f einen L eite r e n t
fallende S trah lu n g sleistu n g zu erh a lte n , n u r ü b e r den betreffenden L eiter zu integrieren.
Im H inblick au f die technischen A n ten n en b esch rän k en w ir uns au f „ lin eare“ L eiter, d. h. auf L eiter, deren Q uerschnittsabm essungen sehr klein gegen ih re L änge u n d die W ellenlänge sind. A ußerdem nehm en w ir an , d aß die Q uerschnittsabm essungen sehr k lein gegen die A b stän d e v on den ü b rig en L eitern sind, so d aß e ü b e r den L e ite r
q u e rsc h n itt als gleichbleibend anzusehen ist. F ü r das V olum en
elem ent dv w ählen w ir als G rundfläche ein F lächenelem ent d f des Q uerschnitts, als H öhe ein L ängenelem ent d l des L eiters. Bei der T e ilin teg ratio n ü b er den L e ite rq u e rsch n itt k a n n e herausgezogen w erden. N u n is t aber, w enn i d er V ektor des augenblicklichen, durch den L e ite rq u e rsch n itt h in d u rc h tre te n d en S trom es:
= f ß d f (330)
t
Q u n d d a m it gem äß (329):
n s — —
j~
e d lj
q d f — —j
e i d l . (331)l q l
W ir b e tra c h te n n u n eine A n o rdnung v on m ehreren L e itern , denen wir die O rdnungszahlen 1, 2, . . . zuschreiben, u n d bezeichnen den A ugen
blicksw ert der K om ponente d e r elektrischen F e ld stä rk e in R ich tu n g des L eiterelem entes m it ee, den A ugenblicksw ert des Strom es im L e ite r
elem ent m it ie* ) . Die übrigen K om p o n en ten v on e liefern kein en B eitrag zu dem sk alaren P ro d u k t d er V ektoren e u n d i. D er A ugenblicksw ert der auf den L eiter 1 en tfallen d en S trah lu n g sleistu n g is t d a h e r :
—
j~
eei ‘ Vl ' d l , (332)wobei das In te g ra l ü b e r die ganze L änge des L eiters 1 zu e rstreck en ist.
eel d l ist die S p annung zwischen den E n d flä ch en des L
eiterele-*) W ir verwenden nicht, wie im Schrifttum üblich, den Index z oder dgl., sondern den neutraleren Index e, um keine einschränkenden Voraussetzungen über die Lage des Leiterelem entes m achen zu müssen.
1 5 5 raentes. S om it is t ( — eel in dl) die elektrische A rb e it, die bei der Be
wegung d e r L ad u n g in dem L ehereJem ent in der- Z a t a o k ü geleistet w ird. (332) b esag t also, d a ß die Sum m e dieser A rb e it ü b er die L eiter- länge gleich d er au sg estrah lten L eistung is t. In der theoretischen E le k tro te c h n ik w ird d e r zeitbebe M ittelw ert des L .tegralausdrueks (3&2) gewöhnlich gleich N ull gesetzt, w enn, wie hier» die T o n n ü K t a q g gem acht w ird, d a ß eine U m w andlung elektrom agnetlucher E nergie in
\ \ ärm e n ic h t sta ttfin d e t. D as is t wohl u n te r „quasfetataonärerj11 V erhältnissen zulässig, d. h. bei L eiterlängen u n d A b stän d en , die seh r klein gegen die W ellenlänge sind. L a n n sin d näm lich Strom u n d S pannung um 90 ' in d e r P hase verschoben. L a s g ilt a b e r n ich t m ehr, w enn die L eiterlän g en u n d A b stän d e so g roß sind, d aß die endliche Ausbreitungsgesch windigkeit elektrom agnetischer F eld er «ine m erk
liche A bw eichung d er P h asen Verschiebung v on 00'' b edingt.
W enn die S trah lerg ru p p e in harm onischen Schwingungen erregt w ird, is t allgem ein:
« « i= E W j'^ sin fay i-j-7^ ) ; = 1 ^ ) 2 s in (mt - f 4*). (933) 3>ie W irkleistung N n , d . L d er zeitliche M ittelw ert von »a , u n d die B lindleistung A'w sind d a n n gem äß (332):
A7n = — \ E n cos ('/a — N n = — I E a sin {'/a — d l.
ä ä
(334) D er physikalische U nterschied d er beiden L eistungsanteile w ird vielleicht am anschaulichsten k la r, wenn m an sich v e r g e g e n w ä r t i g t ,
d aß ein Teil der Feldlinien, die im V erlaufe des Schs-ingungsvor ganges aus dem L eiter ,h e ra u s wachsen“ , in d en L eiter zu m ck sin k t, der andere Teil ab er sich a b sc h n ü rt und in den K aum hinausw andert, wie u n te r iß) gezeigte. Liesero letz tere n T eil d e r Feldlinien e n tsp rich t der- W irk- anteij der S trahlungsleistung, d e r die „S trah lu n g sleistu n g " im engeren Sinn d arste llt, w äh ren d d er zurik k srn k en d e T eil d e r Feldlinien dem B lin d an teil en tsp rich t.
S ind S pannung u n d Strom d u rch G a u ß sehe V ektoren ih re r E ffek tiv w erte gegeben. so e rh ä lt m an bekanntlich die L eistung als das P ro d u k t au s dem g erichteten E ffek tiv w e it d er Spannung u n d dem k o n ju g ie rt kom plexen W ert des gerichteten E ffektivw ertes des Strom es, m it d e r M aßgabe, d aß der- reelle A nteil die W b H eistn n g , d e r im aginäre A nteil die B lindleistung d a rste llt. Sind die gerichteten E ffek tiv werte in unserem F a ll:
= Bei Sei = /*! , (335)
u n d fü h re n w ir z u r A bkürzung fü r den k o n ju g iert kom plexen W ert des g e rich te ter Effekt] vw ertes des Strom es die Bezeichnung 3J1 ein, w o
1 5 6 T h e o rie u n d a llg e m e in e T e c h n ik
(336) so w ird die au f den L eiter 1 en tfallen d e S trah lu n g sleistu n g d arg e stellt d u r c h :
Die elektrische F e ld stärk e a n d er O berfläche des L eiters 1 k a n n aus verschiedenen A nteilen zusam m engesetzt g ed ach t w erden. D ie K o m p onente d er F e ld stä rk e in R ic h tu n g des L eiters, die a u ftre te n w ürde, w enn die ü b rig en L eiter n ic h t v o rh an d en w ären , sei @e l l . W en n n u r der L eiter 2 v o rh a n d en w äre, sei die K om ponente d er F e ld stärk e, die a n dem frü h ere n O rte des L eiters 1 in d er R ic h tu n g desselben a u f
tr e te n w ürde, @el2 usw. D a n n is t:
Die einzelnen A nteile ergeben sich säm tlich m it H ilfe d er u n te r (49) au fgestellten Beziehungen. H ierau f gehen w ir noch n ä h e r ein. M an e rk e n n t ab er schon, d aß d e r S tro m im B ezugspunkt des L eiters, von dem der betreffende A nteil der F eld stä rk e h e rrü h rt, als F a k to r eingeht.
Som it k a n n geschrieben w erden, w enn Q i, Q2, Q3 . . . die Ström e in den B ezugspunkten der L e ite r 1, 2, 3 . . 3 * d en k o n ju g ie rt kom plexen W e rt v on Qn bezeichnen (D efinition e n tsp re ch en d (336)):
Die G rößen u n te r den In teg ralzeich en sind a b h än g ig v o n den A b
m essungen der L e ite r u n d ih re r A nordnung zueinander, d e r W ellen
länge u n d d er Lage d er B ezugspunkte, n ic h t a b e r v on d er G röße u nd der Phasenlage d e r Ström e. Die In te g ra le h a b en die D im ension eines W iderstandes u n d im allgem einen einen reellen u n d einen im aginären A nteil. W ir fü h re n zu r A bkürzung ein:
D er A usdruck in der K lam m er s te llt offenbar die K lem m en sp an n u n g 1^
d a r, die im S peisepunkt des L eiters 1 a u f tr itt, w enn S peisepunkt u n d B ezugspunkt zusam m enfallen. I n diesem F a ll is t ja die zugeführte L eistung $1^ ! - Diese is t gleich der au f d en L eiter 1 entfallen d en
(337) h
@el = @eii + ©ei2 + @ei3 + • • • (338)
% = - S iS :
k
So n im m t (339) die F o rm a n :
(340)
Sir = 3 ff ( 3 i 3 l u + 82^12 + + • • • ) • (3 4 1 )
S trahlungsleistung 9 ^ , w enn m an von den V erlusten im L eiter 1 u nd in seiner Iso latio n a b sieh t. Also is t:
Ui - SxSftu + S Ä + 33^X3 + • • • (342) Die B edeutung der durch (340) definierten G rößen ist dam it leicht zu erkennen. $RU ist der Scheinw iderstand des Leiters 1, w enn e r allein vorh an d en w äre. D er W irkanteil von 9tu ist also der Strahlungsw ider
sta n d , sein B lin d an teil der B lindw iderstand im Speisepunkt bei A b
w esenheit d er übrigen L eiter. Die W iderstände 9tia, 9t13 sind analog zu dem W id erstan d jco M der G eg eninduktivität von in d u k tiv gekop
p elten S trom kreisen, n u r m it dem U nterschied, daß sie n ich t n u r einen B lindanteil, sondern auch einen W irk an teil haben. M an k a n n sie daher als die, gegenseitigen“ Scheinw iderstände von A ntennen, als „kom plexe“
Strahlungskopplungsw iderstände oder einfach als „G egenstrahlungs- kopplung“ bezeichnen. I n Analogie zur „E ig en in d u k tiv ität“ bzw.
„ E ig e n k a p a zitä t“ k a n n m an d an n 3ft11 die „E igenstrahlungskopplung“
des L eiters 1 nennen. D er Scheinw iderstand im Speisepunkt des Lei
ters 1 beim B etrieb der gesam ten A ntennenanordnung ist som it:
9 ^ = Äx + j B 1 = | = 3ftu + 91x21 + S R x .| + • • • (343) Sein reeller A nteil R 1 ist m aßgebend fü r die zugeführte W irk leistu n g :
N sl = I \ • A i. (344)
B em erkensw ert ist, daß die In te g ra tio n gem äß (340) auch den B lind
w iderstand j B x des Leiters liefert, der vor allem m aßgebend fü r die A bstim m u n g ist. E n tsp rech en d gilt n u n fü r den Scheinw iderstand im Speisepunkt des L eiters 2:
Sft2 = Ä2 + j B t = J = SR*§* + + 8t« §* + • ■ • (345)
<02 0 2 0 2
wobei definiert is t:
3 * 2 x = - / | f § p ; 9(1,3 = - f ^ ± & d l .
h h h (346)
Analoge Beziehungen gelten fü r die übrigen Leiter.
(58) B etrach ten wir nunm ehr zwei allein vorhandene Leiter, so können w ir die K lem m en ih rer Speisepunkte als Eingangs- bzw. A us
gangsklem m en eines linearen Vierpols b etrach ten . F ü r derartige Vier
pole g ilt n u n der sog. U m kehrungssatz *). E r besagt, daß der Strom im kurzgeschlossenen Ausgang nach Größe u n d Phase gleich dem S trom ist, der im kurzgeschlossenen Eingang a u ftritt, w enn die
Ein-*) Vgl. z. B . : K . K üpfm üller, E in fü h ru n g in die theoretische E le k tro technik, S. 216, J . Springer, B erlin 1932.
■?aiMKsiaiiimnr --,n. den Aufgang g ek g t wird. A~r eie o o d en An.ter.n e s - lerter angew aidet heißt cas gemäß 342 :
a Kurzgeschlossener .A usgang" In d e x a
I I Je = S ] J • 3 l * X S j ä • 3 ä c - H ä a = " & s T S L * * 3 l « = 0
-h Kurzgesc--hl«saaer „E ingang" .In d ex b)
H ü —1 S n ’ vVii n S n ■ v' = ® - = S ^ ■ x - S g * * Mir II, f = XL-,, u n d w irc:
^ = ^ 12- C^T)
E ntsprechend gilt natürZah S a = S ;s . r ; 3 = hhs i s ~ .
D er Zusam m enhang m it den. unter (52) eingeführten G rö ßai er
gibt sieh, 's? - - mfiTi ¿en W irk a s re i ¿er Ges&mtstrahämgsucisrsng a u ste llx :
1 — i l IZ. - ' i S
B edeutet S , t den f e a m i s tTai m w ariiiB siam i. bewjgea and den Strom I i; so gilt:
i L l i = B z l i - V i - S a l | ---..
■woraus m an u n te r B erti:-ksic~::gang von 343 u n d 347 erh ält:
K t e l i = Ä u i f — f i ^ i |
---— i ^ i j L c K d- ---— A- ---— 2 5 -j I - Ijcos <ä — d — ■ -- 347a Hierin sind fia ■ - • die reelles Anteile t o h S n . fb* - ■ ■ m td 6-. & - • ■ die XuIIphasenwinkel der Ströme I x , 1=— Bem erkenswert an 347a ist. d a l zur Berechnung von S , , u n d dämm der Strahlung bei gegebener G csam tstrahlurgslelstu r g eie K enntnis der B hndanteile xon ■ &i* ■ ■ ■ n ich t erforderüek ist. W :h l ab er sind diese r l - gebend ih r die Verteilung der Gesamtleistung au f die Einzelstrahler.
ä. Beierlm nng der StrahhmgskopplTmg
(59) Die Surahltmgskepplungen sind denniert durch Ausdrücke von der F orm :
% * = - (34S)
J O» Oi hß
ist d er G a u ß sc h e Vektor des Stromes in ernem E lem ent des u-ten.
Leiters. sein konjugiert komplexer W ert. ist der Strom in dem P u n x t. auf den 3l_, bezogen werden soll. sein konjugiert komplexer Wext. Die E rm ittlung von ^ ist u nter I L gezeigt worden dort m it 3ezeder.net . Bei B erü tk si:h tiz -n n der endlichen D äm p
fung ist außer der Größe auch die Phase von von dem O rt des
158 Theorie Trori ahgememe le e in ik
L eiterelem entes abhängig. W enn m an es, wie m eist bei technischen S trah lerg ru p p en , m it L eitern zu tu n h a t . die, vom Speisepunkt aus gerechnet, k ü rz er oder gleich § / sind, so k a n n die D äm pfung v e r
nachlässigt w erden u n d die Phase des Strom es w ird vom O rt u n ab hängig. D am it w ird :
1 5 9
I. (349)
ß
Dieser Q uotient ist a b e r n ich ts anderes als die „S tro m v erteilu n g ” . F ü r g la tte L eiter bzw. L eiterab sch n itte, a u t die w ir u n s im folgenden beschränken, lä ß t sich die S trom verteilung in der F orm d arstellen :
j “ = j 1 sin a (le/t -f- / ^ ) , (350) w o der S tro m im Strombauc-h, ItfJ die L eiterlänge zwischen dem b e tra c h te ten L eiterelem ent u n d dem L eiterende u n d lr^ die wirksam e V erlängerung d u rch a m E n d e angeschlossene L eiter (z. B. E nd k ap azi
tä te n ) sind.
W eiter is t in 348) die v o n dem r-te n L eiter herrührende elek
trische F eld stärk e a n der Stelle des b e tra c h te te n Elem entes des u -ten L eiters in der R ich tu n g desselben. is t d er S tro m im B ezugspunkt des r-te n Leiters. M it den oben erw äh n ten E in s c h rä n k u n g en bezüglich d er Strom verteilung kann m ittels (280) oder (284) e rm itte lt werden.
D azu ist lediglich einzusetzen: 3o» Ih r 3 o - K fü r l. Jz7 fü r lz u n d (bei p arallelen L eitern) d ^r fü r o, wo d er senkrechte A b stan d zwischen dem u -ten u n d dem r-te n L eiter ist. D er Q uotient 6 * ^/3 » ist eine kom plexe F u n k tio n des Ortes a u f dem L eiter.
N u n lä ß t sich (348) in einer W eise um form en, die u n te r der V oraus
setzung, d aß die L eiter säm tlich gerade u n d p arallel sind u n d das V ek to rp o ten tial n der R ich tu n g der L eiter b e k an n t is t, die A us
w ertung wesentlich vereinfacht [30] [31], Gem äß (7) g ilt näm lich u n te r B erücksichtigung v on (12):
D a n u n :
6 3= ^ g ra d . (div % ) - ¿ i j j i . (351)
g ra d . (div %z) = g ra d . = 'V-^x , (352)
1 * * * - a * & , (353)
c* ofi
so k a n n (348) auch geschrieben w erden:
1 6 0 T h e o rie u n d a llg e m e in e T e c h n ik
U n te r d er w eiteren ein schränkenden V oraussetzung, d aß die S tro m verteilung sich d u rch (350) d arstellen lä ß t, u n d d a ß die W inkel
k o n sta n te der stehenden W ellen au f dem L e iter m it der der fo rtsc h re i
te n d e n W ellen im freien R au m ü b erein stim m t, g ilt n u n :
(355) D a m it erg ib t die p artielle In te g ra tio n des zw eiten Gliedes in (354):
I «2 % ßVI Zßd z = - I + J ^ ~ s f d z
-(356) Die p artielle In te g ra tio n des e rste n Gliedes e rg ib t:
~ d * -* * dz Izi*~dT ~~ ~ d T ~d^d z' {ö57) Som it w ird :
31 = JL 8
M d-zß JL ( % A \
8z U J 8z \ & / . (358)
Die eckige K lam m er b e d eu tet, d a ß die D ifferenz zw ischen den W erten zu bilden is t, die sich d u rc h E in setzen d er H öhe des oberen u n d u n teren L eiterendes fü r z ergeben. Die In te g ra tio n in (348) ist d a m it auf eine einfache D ifferen tiatio n zu rü ck g efü h rt. *ßZitv is t aus (273) zu entnehm en.
Die A usw ertung b ie te t im allgem einen keine S chw ierigkeiten, fü h rt ab e r au f A usdrücke, die re c h t um fangreich sind. D eshalb seien hier n u r die w ichtigen F älle b e tra c h te t. W o abw eichende V oraussetzungen vorliegen, w ird im allgem einen die graphische In te g ra tio n v on (348) d e r B erechnung vorzuziehen sein.
Z uvor seien noch allgem eine B em erkungen zu d er „ E ig e n stra h lungskopplung“ f)fXpp gem acht. Zu ih re r E rm ittlu n g is t wegen cL^ = 0 der G renzübergang q —> 0 auszuführen. E r e rg ib t m m fü r d en reellen Teil im m er, fü r den im aginären Teil n u r d a n n einen endlichen W ert, w enn die L eiterlänge einschließlich Spiegelbild ein ganzes Vielfaches vo n -¡r ist. D er reelle Teil is t se lb stv erstän d lich id en tisch m it dem A
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S trahlungsw iderstand, den m an m it dem u n te r (52) an g ew an d ten V er
fah ren e rh ä lt, w eshalb auf die d o rt a u fg efü h rten F o rm eln verw iesen w erden k an n . W as den im aginären Teil von , d. h. d en „ E ig en b lin d w id erstan d “ des L eiters, b e trifft, so m ach t sich die U n z u l ä n g l i c h k e i t
des A nsatzes b em erkbar, die d a rin b e steh t, d aß der L eiter als lin ear angenom m en w urde, w äh ren d er doch in W irklichkeit einen endlichen
des A nsatzes b em erkbar, die d a rin b e steh t, d aß der L eiter als lin ear angenom m en w urde, w äh ren d er doch in W irklichkeit einen endlichen