H k -niemal pakowanie

Przypadek 3. ∆(G⁰₁) ­ n − 4 (przypadek gdy ∆(G⁰₂) ­ n − 4 jest analogiczny).

W takim razie również d_G1(u) ­ n − 4, czyli |E(G₂)| < n co pociąga za sobą

d_G2(v) ¬ 1. Mamy także

|E(G0

1)| + |E(G⁰₂)| < 2(n − 1) − 1.

Z wniosku 2.6 istnieje D1-niemal pakowanie g grafów G⁰₁ i G⁰₂. Wtedy bijekcja f okre-ślona wzorem f (x) = g(x), dla x ∈ V (G⁰₁) oraz f (u) = v jest D₃-niemal pakowaniem

G₁ i G₂. 2

Metoda dowodowa, przedstawiona w powyższych twierdzeniach, pozwala na uzy-skanie dokładnego wyniku dla m(n, D₂) i prawie dokładnego dla m(n, D₃), jednak zawodzi w przypadku Dk dla k > 3.

2.3 H

_k

-niemal pakowanie

W tym rozdziale zajmiemy się problemem pakowania grafów w taki sposób, aby graf konfliktów miał odpowiednią liczbę chromatyczną. W tym celu będziemy korzystać z twierdzeń mówiących o wierzchołkowej stabilności grafu ze względu na liczbę chro-matyczną. Dla przejrzystości pracy, w tym rozdziale podamy tylko te twierdzenia, z których będziemy korzystać, część zawierająca dowody tych twierdzeń znajduje się w ostatnim rozdziale niniejszej pracy.

Definicja 2.2 Niech F będzie dowolną rodziną grafów. Graf G nazywamy (F , k) wierzchołkowo stabilnym, jeżeli G−S zawiera podgraf izomorficzny z pewnym H ∈ F , dla dowolnego zbioru S ⊂ V (G), takiego, że |S| = k. Minimalnym grafem (F , k) wierzchołkowo stabilnym nazywamy graf spełniający powyższą definicję o minimal-nym rozmiarze. Rozmiar ten oznaczamy przez stab(F , k).

Jeżeli rodzina F składa się z jednego grafu H, to będziemy pisać (H, k) zamiast ({H}, k).

Koncepcja grafów wierzchołkowo stabilnych (in. odpornych na błędy) narodziła się w związku z możliwym wykorzystaniem w projektowaniu sieci komputerowych.

2.3 H_k-niemal pakowanie 26

Jeżeli procesory i połączenia między nimi modelować za pomocą odpowiednio wierz-chołków i krawędzi grafu, to wierzchołkowa stabilność G zapewnia, że błędy w dzia-łaniu co najwyżej k procesorów, nie spowodują np. przerwania łączności (gdyby za

F przyjąć rodzinę grafów spójnych).

W pracy [15] autor prezentuje wyniki dotyczące (C_n, k) i (P_n, k) stabilności grafów,

natomiast autor [29] podaje wynik dotyczący grafów stabilnych ze względu na kliki, udowadniając m.in.:

Twierdzenie 2.10 ([29]) Niech q ­ 2, k ­ 0 będą liczbami naturalnymi. Wtedy

stab(Kk; t) ­ (2k − 3)(t + 1),

gdzie równość zachodzi dla t ­ (k − 3)(k − 2) − 1.

Używając jednak podobnych technik można udowodnić ogólniejsze twierdzenie dotyczace grafów wierzchołkowo stabilnych ze względu na liczbę chromatyczną.

Twierdzenie 2.11 Niech H_qbędzie dowolnym grafem o liczbie chromatycznej równej q ­ 2. Wtedy

stab(Hk, t) ­ (2k − 3)(t + 1). (2.5)

W dowodzie poniższego twierdzenia będziemy używać znanego faktu, udowodnio-nego przez P´ala Tur´ana w 1944 roku.

Twierdzenie 2.12 W dowolnym grafie rzędu n i o średnim stopniu d_G zachodzi:

α(G) ­ ⁿ dG+ 1^.

Twierdzenie 2.13 Niech k ­ 3 a n₀(k) będzie dostatecznie duże. Jeżeli n ­ n₀(k),

to m(n, H_k) ­  k −³ 2 1/3 n^4/3.

Dowód. Niech G₁ i G₂ będą dowolnymi grafami rzędu n spełniającymi

|E(G₁)| + |E(G₂)| <  k −³ 2 1/3 n^4/3.

2.3 H_k-niemal pakowanie 27

Pokażemy, że G₁ i G₂ mają H_k-niemal pakowanie. Niech t + 1 = ^l_2(4k−6)^n2/3_1/3^m. Wtedy

|E(G₁)| + |E(G₂)| <^q2(2k − 3)(t + 1)(n − 1)n.

Z twierdzenia 2.1 wynika, że istnieje E_{(2k−3)(t+1)−1}-niemal pakowanie f grafów G₁ i G₂. Niech H = f (G₁) ⊕ G₂ i F = f (G₁)  G₂. Stąd

|E(F )| ¬ (2k − 3)(t + 1) − 1.

Z twierdzenia 5.3 wynika więc, że istnieje zbiór S ⊂ V (F ), |S| = t, taki że F − S nie zawiera podgrafu o liczbie chromatycznej równej k. Zauważmy, że po usunięciu pewnej ilości wierzchołków z grafu, jego liczba chromatyczna nie może się zwiększyć. Otrzymujemy więc, że χ(F − S) ¬ k − 1. Niech V_F będzie zbiorem wszystkich wierz-chołków, które mają stopień przynajmniej 1 w F (tzn. VF jest zbiorem wierzchołków incydentych z jakimś konfliktem). Niech H⁰ = H − V_F oraz S⁰ = V_F \ S. Zauważmy,

że |V (H⁰)| ­ n − 2|E(F )| > n − (4k − 6)(t + 1), |E(H⁰)| <  k −³ 2 1/3 n^4/3.

Niech d_G oznacza średni stopień w grafie H⁰. Wtedy (korzystając z założenia o do-statecznie dużym n) dG< ^{2(k −} 3 2)1/3n4/3 n − (4k − 6)(t + 1) ¬ ^{2(k −} 3 2)1/3n4/3 4n/5 − 1 = ⁵ 2  k − ³ 2 1/3 n^1/3− 1.

Z twierdzenia Tur´ana liczba niezależności grafu H⁰ spełnia

α(H⁰) ­ |V (H0)| d_G+ 1 ^> n − (4k − 6)(t + 1) 5 2(k − ³₂)1/3n1/3 ­ ₅ ^4n/5 2(k − ³₂)1/3n1/3 = ⁿ 2/3 25 8(k − ³₂)1/3 ­ ⁿ 2/3 2 · 22/3(k − ³₂)1/3 = ⁿ 2/3 2 · 21/3(2k − 3)1/3 ­ t.

Niech I = {v₁, . . . , v_t} będzie zbiorem niezależnym w H0 a S = {u₁, . . . , u_t}. Niech h : V (G₁) → V (G₂) będzie zdefiniowana następująco:

h(u) = f (u) dla u ∈ V (G₁) \ f⁻¹(I ∪ S)

h(f⁻¹(v_i)) = u_i

2.3 H_k-niemal pakowanie 28

Niech F⁰ = h(G₁)  G₂. Twierdzimy, że F⁰ nie zawiera podgrafu o liczbie chromatycz-nej k + 1. Ponieważ I jest zbiorem niezależnym w H⁰ i nie ma żadnej krawędzi pomię-dzy zbiorami S i I w F (I zawiera wierzchołki izolowane w F ), S ∪ I = h(f⁻¹(S ∪ I)) jest niezależny w F⁰. Ponieważ zaś wierzchołki z B := V (G2) \ (VF ∪ I) są izolowane

w F , B jest zbiorem niezależnym w F⁰. Co więcej, nie ma żadnego konfliktu pomiędzy zbiorem B a F⁰− (B ∪ I ∪ S). W takim razie F0[S⁰] = F [S⁰] = F − S, który ma liczbę chromatyczną nie większą niż k −1, uzupełniony jest dwoma zbiorami niezależnymi, z których jeden (S ∪ I) musi otrzymać inny kolor niż F⁰[S⁰] a drugi (B) może otrzymać dowolny kolor z F⁰[S⁰]. Stąd χ(F⁰) ¬ k i h jest szukanym Hk-niemal pakowaniem.2 Oczywiście dowolna klilka K_k należy do rodziny grafów k-kolorowalnych, K_k -niemal pakowanie jest więc szczególnym przypadkiem H_k-niemal pakowania. Podamy na koniec tej sekcji twierdzenie, które pokazuje, że w przypadku K_k-niemal pakowania (k ­ 3) parametr m jest rzędu n4/3.

Twierdzenie 2.14 ([18]) Niech k ­ 3 i n₀(k) będzie dostatecznie duże. Jeżeli n ­

n₀(k), to m(n, Kk) ¬ ³ 2· ^{k + 1} 2 !2/3 n^4/3. Dowód. Niech s =     k + 1 2 !1/3 n^2/3     , t = & n2/3 (k + 1)2/3· 21/3 ' . (2.6) Wtedy n/t ¬ (2n)^1/3(k + 1)^2/3.

Niech r = n − tbn/tc. Ponieważ r jest resztą z dzielenia n przez t, r < t. Rozważmy grafy

2.3 H_k-niemal pakowanie 29 Wtedy |E(G1)| + |E(G2)| = ^{s(s − 1)} 2 ^{+ t} bn/tc (bn/tc − 1) 2 < ^{k + 1} 2 !2/3 n4/3 2 ⁺ n 2⁽²ⁿ⁾ 1/3(k + 1)^2/3 = ³ 2· ^{k + 1} 2 !2/3 n^4/3.

Pokażemy, że nie istnieje K_k-niemal pakowanie G₁ i G₂. Załóżmy przeciwnie, że

f : V (G₁) → V (G₂) jest K_k-niemal pakowaniem G₁ i G₂. W takim razie f musi od-wzorowywać co najmniej bn/tc − k wierzchołków z każdej z klik Kbn/tc z G₁ na

V (G2) \ V (Ks), więc musi zachodzić n − s ­ t(bn/tc − k).

Kbn/tc Kbn/tc Kbn/tc K_bn/tc K_bn/tc · ·^· K_r Ks K_n−s < k ­ bn/t c −_k

Rysunek 2.4: Schemat ewentualnego pakowania. Stąd n ­ s + t(bn/tc − k) = s + n − r − tk > n + s − t − tk = n + s − t(k + 1) ­ n + ^{k + 1} 2 !1/3 n^2/3− ⁿ 2/3(k + 1)1/3 21/3 = n.

Otrzymujemy sprzeczność n > n. W takim razie nie istnieje Kk-niemal pakowanie

Rozdział 3

Pakowanie digrafów

Problem pakowania grafów badany był na różne sposoby z wieloma ważnymi rezul-tatami. Zdecydowanie mniej wiadomo na temat pakowania digrafów.

Definicja 3.1 Niech D₁, D₂ będą digrafami, |V (D₁)| ¬ |V (D₂)|. Pakowaniem D₁ i D₂ nazywamy iniekcję f : V (D₁) → V (D₂) taką, że dla dowolnych u, v ∈ V (G)

(u, v) ∈ A(D₁) ⇒ (f (u), f (v)) 6∈ A(D₂).

Jednym z wyników dotyczących pakowania digrafów jest następujące twierdzenie udo-wodnione przez Benhocine’a, Veldmana i Wojdę w [4].

Twierdzenie 3.1 ([4]) Niech D₁ i D₂ będą digrafami rzędu n takimi, że |A(D₁)| ·

|A(D₂)| < n(n − 1). Wtedy D₁, D₂ pakują się.

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest następujące

Twierdzenie 3.2 ([4]) Niech D₁ i D₂ będą digrafami rzędu n, takimi, że |A(D₁)| +

|A(D₂)| ¬ 2n − 2. Wtedy D₁ i D₂ pakują się.

Istotnie, zauważmy, że iloczyn dwóch dodatnich liczb o ograniczonej sumie jest największy, gdy obie liczby są równe połowie tego ograniczenia.

Następujący problem został zaproponowany przez Wojdę w 1985 [26]: dla wszyst-kich n, k tawszyst-kich, że 1 ¬ k ¬ n(n − 1), określić najmniejszą wartość f (n, k), taką, że

31

istnieją digrafy D₁, D₂ rzędu n, dla których |A(D₁)| = k i |A(D₂)| = f (n, k), a które się nie pakują. Wiadomo, że ([4]):

f (n, 1) = n(n − 1) D₁ - składający się z dowolnego łuku,

D₂ - digraf pełny,

f (n, 2) = ⁿ

2

!

D1 - składający się z dwóch łuków uv i vu,

D₂ - dowolnie zorientowany graf pełny,

f (n, 3) = n(n − 1) − bn/2c dla n ­ 7

f (n, n − 1) = n f (n, n) = n − 1

Wojda zaproponował hipotezę

Hipoteza 3.1 ([26]) Dla dowolnego m spełniającego 1 ¬ m ¬ n/2, f (n, n − m) = 2n −

n m



.

Przypadek m = 1 wynika z twierdzenia 3.1 lub 3.2. Dla takiego m bowiem suma rozmiarów wynosi nie więcej niż 2n − 1. Wojda i Woźniak twierdzą w [27], że hipoteza 4.7 jest prawdziwa dla m = 2. Przypadek m = n/2 wynika zaś z twierdzenia 3.1 (iloczyn rozmiarów jest mniejszy niż (2n − 2) ·ⁿ₂ = n(n − 1)).

Następujący przykład z [26] dwóch digrafów, które się nie pakują, pokazuje, że

f (n, n − m) ¬ 2n −^j_m^nk. Niech D₁ będzie digrafem o wierzchołkach v₁, . . . , v_ni n − m łukach takich, że d_D1(v_i) = d⁻_D1(v_i) ­ b(n − m)/mc dla i = 1, . . . , m, a d⁺_D1(v_j) = 1 i d⁻_D1(v_j) = 0 dla j ­ m + 1. Niech D₂ będzie digrafem rzędu n i rozmiaru 2n −^j_m^nk mającym wierzchołek w, taki że d⁺_D2(w) = n − 1 i d⁻_D2(w) = n −^j_m^nk+ 1.

Aby udowodnić ograniczenie dolne należy pokazać, że dla dowolnych digrafów D1

i D₂ rzędu n i takich, że |A(D₁)| ¬ n − m oraz |A(D₂)| ¬ 2n − bn/mc − 1, digrafy

D₁,D₂ pakują się.

W tym rozdziale udowodnimy następujący rezultat

Twierdzenie 3.3 Dla dowolnego m spełniającego m ­√

8n + 418275, f (n, n − m) = 2n − n m  .

32

Wynikiem znanym w folklorze matematycznym jest, że G o minimalnym stopniu

d zawiera dowolne drzewo T rzędu d + 1. Można to pokazać zachłannie zanurzając

kolejne wierzchołki z T w grafie G. Ponieważ co najwyżej d wierzchołków G jest zajętych w każdym momencie, zawsze jest wystarczająco miejsca na zanurzenie ko-lejnego wierzchołka z T . Co więcej wybór wierzchołków początkowych (zarówno z T jak i z G) jest zupełnie dowolny. Ponieważ G zawiera T wtedy i tylko wtedy, gdy dopełnienie ¯G grafu G oraz T pakują się, mamy następujący

Lemat 3.4 (folklor) Niech G będzie grafem o maksymalnym stopniu n − 1 − d, a T będzie drzewem rzędu d + 1. Niech u ∈ V (G) i v ∈ V (T ). Wtedy istnieje pakowanie f : V (T ) → V (G) grafów T i G takie, że f (v) = u.

Zastępując drzewo w lemacie przez las o k składowych, otrzymamy pakowanie, w któ-rym dowolne k wierzchołków z różnych składowych może być na początku spakowane z dowolnymi k wierzchołkami z G.

Lemat 3.5 Niech G będzie grafem o maksymalnym stopniu n−1−d, a F będzie lasem o k składowych i d + 1 wierzchołkach. Niech u₁, . . . , u_k ∈ V (G) i v₁, . . . , v_k ∈ V (F ) takie, że v_i, i = 1, . . . , k, należą do różnych składowych F . Wtedy istnieje pakowanie f : V (F ) → V (G) grafów F i G takie, że f (vi) = ui, i = 1, . . . , k.

Korzystając z tych lematów możemy teraz udowodnić twierdzenie 3.3.

Dowód. (twierdzenia 3.3) Niech C = 418275 i m ­ √

8n + C. Wtedy następujące nierówności są spełnione: m + ⁿ m − ⁹ⁿ m − 1 ­ C + 3, (3.1) m + 1 ­ ³ⁿ m − 1 ^{+ 1. (3.2)}

Pokażemy, że jeżeli D1, D2 są dowolnymi digrafami rzędu n takimi, że |A(D1)| ¬

n − m i |A(D₂)| ¬ 2n −^j_m^nk− 1 to istnieje pakowanie D₁ i D₂. Niech G₁ = G(D₁) i G₂ = G(D₂) będą grafami pierwotnymi odpowiednio dla D₁ i D₂. Oczywiście

|E(G_i)| ¬ |A(D_i)|

d_Gi(v) ¬ d_Di(v), dla i = 1, 2 dla każdego v ∈ V (D_i). Co więcej

33

Uwaga 3.6 Jeżeli G₁ i G₂ pakują się, to D₁ i D₂ także się pakują.

Jest tak, ponieważ jakkolwiek nie ustalilibyśmy orientacji krawędzi G1 i G2 to po spakowaniu tych grafów żadne dwie krawędzie nie pokrywają się w K_n, więc tym bardziej nie pokryją się łuki D₁ i D₂. Twierdzenie przeciwne nie jest jednak w ogól-ności prawdziwe.

Mówimy, że T jest składową drzewiastą (lub po prostu drzewem) w D₁, jeżeli T jest składową G₁, T jest drzewem w G₁ i T nie ma symetrycznych łuków w D₁. Ponieważ |A(D₁)| ¬ n − m, D₁ ma co najmniej m składowych drzewiastych. Niech

w₁ ∈ V (D₁) takie, że dG1(w1) = ∆(G1), a w2 ∈ V (D₂) takie, że dG2(w2) = ∆(G2). Rozważamy dwa przypadki.

P rzypadek 1. d_G1(w₁) = ∆(G₁) > ∆(G₂).

Niech T1, . . . , Tm−1, takie, że |V (T1)| ¬ |V (T2)| ¬ · · · ¬ |V (Tm−1)|, będą drze-wami w D₁ oraz w₁ 6∈ V (T_i), i = 1, . . . , m − 1. Oczywiście, dla k = 1, . . . , m − 1

k

X

i=1

|V (T_i)| ¬ ^kn

m − 1^{. (3.3)}

Ponieważ |E(G₂)| < 2n, δ(G₂) ¬ 3. Niech v₂ ∈ V (G₂) taki, że d_G2(v₂) = δ(G₂). Rozważmy graf G⁰₂ = G₂− v₂. Wtedy

|V (G⁰₂)| = n − 1. (3.4) Niech F = δ(G2) [ i=1 Ti.

Ponieważ ∆(G2) ¬ dG1(w1) ¬ n−m−1, korzystając z (3.2), (3.3) i (3.4) otrzymujemy, że

∆(G⁰₂) ¬ n − m − 1 ¬ n − 3 ⁿ

34

Stąd i z lematu 3.5 istnieje pakowanie f_F grafów F i G⁰₂takie, że N_G2(v₂) ⊆ f_F(V (F )). Niech G⁰₁ = G1− (V (F ) ∪ {w1}) i G0

2 = G2− (fF(V (F )) ∪ {v2}). Zauważmy, że |E(G⁰₁)| + |E(G⁰₂)| + max{∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂)}

¬ n − m − d_G1(w₁) + 2n − n m  − 1 + max{∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂)} ¬ 3n − m − n m  − 1 ¬ 3n − ⁹ⁿ m − 1 − C − 3 ¬ 3(n − |V (F )| − 1) − C,

co wynika z (3.1) oraz (3.3). Ponieważ

∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂) ¬ d_G1(w₁) ¬ n − m − 1 ¬ (n − 1 − ³ⁿ

m − 1^{) − 3 ¬ |V (G}

0

1)| − 2,

to G⁰₁ i G⁰₂ pakują się z twierdzenia 2.7. Niech f⁰ : V (G⁰₁) → V (G⁰₂) będzie pakowa-niem G⁰₁ i G⁰₂. Wtedy f takie, że f (w₁) = v₂, f (u) = f_F(u) dla każdego u ∈ V (F ) i f (u) = f⁰(u) dla każdego u ∈ V (G⁰₁) jest pakowaniem G₁ i G₂. Stąd z uwagi 3.6, f jest pakowaniem D₁ i D₂.

P rzypadek 2. dG1(w₁) < max{∆(G₁), ∆(G₂)}.

Niech T będzie składową drzewiastą o najmniejszym rzędzie w D1. Oczywiście

|V (T )| ¬

n m



. (3.5)

Uwaga 3.7 Jeżeli d⁻_D2(w2) = 0, lub d_D⁺₂(w2) = 0, to D1 i D2 pakują się.

Dowód uwagi 3.7. Bez straty ogólności możemy założyć, że d⁺_D2(w₂) = 0. Ponieważ

|A(T )| = |V (T )| − 1, T posiada zarówno źródło (wierzchołek, do którego nie wchodzą

żadne łuki) jak i ujście (wierzchołek, z którego nie wychodzą żadne łuki). Niech s₁ będzie źródłem w T . Rozważmy D⁰₁ = D₁ − s₁ i D₂⁰ = D₂ − w₂ oraz niech G⁰₁ i G⁰₂

35

będą ich grafami pierwotnymi. Zauważmy, że

|E(G⁰₁)| + |E(G⁰₂)| + max{∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂)}

¬ n − m + 2n − n m  − 1 − d_G2(w₂) + max{∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂)} ¬ 3n − m − n m  − 1 ¬ 3(n − 1) − C.

Jeżeli ∆(G⁰₂) ¬ n − 3 to G⁰₁ i G⁰₂ pakują się z twierdzenia 2.7, więc z uwagi 3.6, D⁰₁ i D₂⁰ również się pakują. W takim razie załóżmy, że d_G2(w₂) ­ n − 2 a stąd

|A(D⁰₁)| + |A(D⁰₂)| ¬ n − m + 2n − n m  − 1 − (n − 2) ¬ 2n − m − n m  + 1 ¬ 2(n − 1) − 2.

D₁⁰ i D⁰₂ pakują się więc z twierdzenia3.2.

Niech f⁰ : V (D₁⁰) → V (D⁰₂) będzie pakowaniem D₁⁰ i D⁰₂. Wtedy f takie, że

f (s₁) = w₂ i f (u) = f⁰(u) dla każdego u ∈ V (D₁⁰) jest pakowaniem D₁ i D₂, co kończy dowód uwagi 3.7.

Uwaga 3.8 Istnieje pakowanie f_T digrafów T i D₂ takie, że w₂ ∈ f_T(V (T )).

Dowód uwagi 3.8. Niech l₁ będzie liściem T . Bez straty ogólności możemy założyć, że

l₁ jest ujściem w T . Niech v₁ będzie sąsiadem l₁. Z uwagi 3.7 możemy założyć, że

d⁺_D2(w₂) ­ 1. (3.6)

Załóżmy teraz, że d⁻_D2(w₂) ¬ n−2. W takim razie istnieje x₂ ∈ V (G₂)\(N_D⁻₂(w₂)∪

{w₂}). Niech T0

= T − l1 i G⁰ = G2 − w₂. Jeżeli dla każdego u2 ∈ V (G0

) spełnione jest d_G0(u₂) ¬ n − bn/mc, to d_G0(u₂) ¬ n − 2 − n m  − 2  ¬ |V (G⁰)| − 1 − |E(T⁰)|,

i wtedy z lematu 3.4, istnieje pakowanie f⁰ of T⁰ i G⁰ takie, że f⁰(v1) = x2. Z wyboru

36

W takim razie załóżmy, że d_G0(u₂) ­ n − ^j_m^nk + 1 dla pewnego u₂ ∈ V (G0). Ponieważ d⁺_D2(w₂) + d⁻_D2(w₂) + d_G0(u₂) ¬ |A(D₂)| ¬ 2n − n m  − 1, z (3.6) otrzymujemy, że d⁻_D2(w₂) ¬ n − 3.

W takim razie istnieje y₂ ∈ V (G₂) \ (N_D⁻₂(w₂) ∪ {u₂, w₂}). Niech G00 = G₂− {u₂, w₂}.

Ponieważ każdy v₂ ∈ V (G00) spełnia

dG00(v₂) + 2(n − n m  + 1) − 1 ¬ dG00(v₂) + dG2(u₂) + dG2(w₂) − 1 ¬ |E(G₂)| ¬ 2n − n m  − 1, mamy d_G00(v₂) ¬ n m  − 2 ¬ |V (G⁰⁰)| − 1 − |E(T⁰)|,

dla każdego v₂ ∈ V (G00). Stąd z lematu 3.4, istnieje pakowanie f⁰⁰ grafów T⁰ i G⁰⁰ takie, że f⁰⁰(v₁) = y₂. Ponownie f_T takie, że f_T(l₁) = w₂ i f_T(u) = f⁰⁰(u) dla każdego

u ∈ T⁰ jest pakowaniem T i D₂. Załóżmy więc, że

d⁻_D2(w₂) = n − 1. Wtedy 1 ¬ d⁺_D2(w₂) ¬ n − n m  i (3.7) d_G2(u₂) ¬ n − n m  dla każdego u₂ 6= w₂. (3.8)

Niech s₁ będzie źródłem w T i niech G⁰ będzie grafem powstałym z G₂ przez usunięcie krawędzi między w₂ i V (G₂) \ N_D⁺₂(w₂). Z (3.7) i (3.8), ∆(G⁰) ¬ n − n m  ¬ n − 1 − |E(T )|.

W takim razie z lematu 3.4, istnieje pakowanie f_T grafów G⁰i T takie, że f_T(s₁) = w₂. Z wyboru s₁, f_T jest także pakowaniem T i D₂, co kończy dowód uwagi 3.8.

37

Z uwagi 3.8 wynika, że istnieje f_T, pakowanie T i D₂, takie, że w₂ ∈ f_T(V (T )). Niech D⁰₁ = D1 − V (T ) i D0

2 = D2 − fT(V (T )) oraz G⁰₁ i G⁰₂ niech będą ich gra-fami pierwotnymi. Zauważmy, że

|E(G⁰₁)| + |E(G⁰₂)| + max{∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂)}

¬ n − m − |V (T )| + 1 + 2n − n m  − 1 − d_G2(w₂) + max{∆(G⁰₁), ∆(G⁰₂)} ¬ 3n − m − |V (T )| − n m  < 3(n − |V (T )|) − C. Stąd jeżeli d_G2(w₂) ¬ n −^j_m^nk− 2, to G0

1 i G⁰₂ pakują się z twierdzenia 2.7, więc z uwagi 3.6, D₁⁰ i D₂⁰ również się pakują. W przeciwnym przypadku d_G2(w₂) ­ n −

jn m k + 1, skąd |A(D₁⁰)| + |A(D₂⁰)| ¬ n − m − |V (T )| + 1 + 2n − n m  − 1 − dG2(w2) ¬ 3n − m − |V (T )| − n m  − (n − n m  + 1) < 2(n − |V (T )|) − 2.

W takim razie z twierdzenia 3.2, D₁⁰ i D⁰₂ pakują się.

Niech f⁰ będzie pakowaniem D₁⁰ i D⁰₂. Wtedy f takie, że f (u) = f⁰(u) dla u ∈

Rozdział 4

Pakowanie hipergrafów jednolitych

W ostatnim rozdziale pracy prezentujemy wyniki dotyczące pakowania hipergrafów.

Definicja 4.1 Pakowaniem dwóch hipergrafów H₁, H2, |V (H1)| ¬ |V (H2)|,

nazy-wamy iniekcję f : V (H₁) → V (H₂) taką, że dla dowolnej krawędzi e ∈ E(H₁) jej

obraz (będący zbiorem obrazów wierzchołków tworzących tę krawędź) nie jest krawę-dzią w H₂.

Jest to więc uogólnienie pakowania grafów na przypadek hipergrafów.

Niech m(n, k) będzie najmniejszą możliwą sumą rozmiarów dwóch k-jednolitych hipergrafów H₁, H₂ rzędu n, które się nie pakują. Twierdzenie Sauera i Spencera (1.1) implikuje więc: m(n, 2) = 3 2ⁿ  − 1.

Pakowaniem hipergrafów zajmował się m.in. Alon w 1994 [2]. Ograniczenia na ilo-czyn maksymalnych stopni hipergrafów uogólniali R¨odl, Ruciński i Taraz w 1999 [23]. Niedawno uogólnienie twierdzenia Bollob´asa i Eldridge’a (1.2) zostało udowodnione przez Kostochkę, Stockera i Hamburgera w [14]. Wykazali oni

Twierdzenie 4.1 ([14]) Niech H₁ i H₂ będą dwoma hipergrafami rzędu n > 9 nie posiadającymi krawędzi rozmiaru 0,1,n − 1, n. Jeżeli

|E(H₁)| + |E(H₂)| ¬ 2n − 3,

39

(i) jeden z hipergrafów H₁, H₂ zawiera gwiazdę złożoną z krawędzi rozmiaru 2, a każdy wierzchołek drugiego hipergrafu należy do jakiejś krawędzi rozmiaru 2, lub

(ii) jeden z hipergrafów H₁, H₂ ma n − 1 krawędzi rozmiaru n − 2 nie zawierających danego wierzchołka i dla dowolnego wierzchołka x z drugiego hipergrafu istnieje krawędź rozmiaru n − 2 nie zawierająca x.

Jeżeli dopuścimy w hipergrafie istnienie krawędzi rozmiaru 1, lub n − 1 to dowolne dwa hipergrafy mające łącznie n + 1 krawędzi rozmiaru 1 nie pakują się. Naroski udo-wodnił, że są to grafy ekstremalne:

Twierdzenie 4.2 ([20]) Niech H₁, H2 będą hipergrafami rzędu n nie posiadają-cymi krawędzi rozmiaru 0 ani n. Jeżeli |E(H₁)| + |E(H₂)| ¬ n, to H₁, H₂ pakują się.

Innym kierunkiem badań były zanurzenia hipergrafu H, tj. pakowanie dwóch kopii H. W 2011 Pilśniak i Woźniak udowodnili

Twierdzenie 4.3 ([22]) Niech H będzie hipergrafem rzędu n bez krawędzi rozmiaru 0,1,n − 1, n. Jeżeli |E(H)| ¬ n − 2, to dwie kopie H pakują się.

Na koniec tej sekcji udowodnimy zaś uogólnienie twierdzenia 1.4. Ten kierunek był badany m.in. przez by R¨odla, Rucińskiego i Taraza w [23]. Jednym z ich rezultatów jest

Twierdzenie 4.4 ([23]) Niech H₁ i H₂ będą k-jednolitymi hipergrafami rzędu n ta-kimi, że:

∆(H₁)∆^(k−1)(H₂) + ∆(H₂)∆^(k−1)(H₁) < n − k + 2.

Wtedy istnieje pakowanie H1 i H2.

W tym rozdziale udowodnimy kilka uogólnień podstawowych twierdzeń dotyczą-cych pakowania grafów na przypadek pakowania hipergrafów k-jednolitych.

Twierdzenie 4.5 Niech H₁, H₂ będą k-jednolitymi hipergrafami rzędu n takimi, że

|E(H₁)| · |E(H₂)| < ⁿ

k

!

.

40

Dowód. Rozważmy przestrzeń probabilistyczną, złożoną z wszystkich n! bijekcji f : V (H1) → V (H2). Dla dowolnych dwóch krawędzi e1 ∈ E(H1), e2 ∈ E(H2) niech

X_e1e2 oznacza indykatorową zmienną losową, przyjmującą wartość 1 gdy f (e₁) = e₂, a w przeciwnym przypadku 0. Wtedy

E(X_e1e2) = P r[X_e1e2 = 1] = ^{k!(n − k)!} n! ⁼ n k !−1 . Niech X = P

e1∈E(G1),e2∈E(G2)Xe1e2. Zauważmy, że tak określona zmienna losowa X mierzy ilość konfliktów dla danej bijekcji. Stąd i z subaddytywności wartości oczeki-wanej dostajemy, że

E(X) ¬ ^X

e1∈E(G1),e2∈E(G2)

E(X_e1e2) = |E(G₁)| · |E(G₂)| ⁿ

k

!−1

< 1.

Ponieważ wartość oczekiwana X jest mniejsza od 1 a X przyjmuje tylko warto-ści całkowite to istnieje bijekcja f , dla której ilość konfliktów jest równa 0, tzn. f jest

pakowaniem H₁ i H₂. 2

Natychmiastowym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest

Wniosek 4.6 Niech H₁, H₂ będą hipergrafami k-jednolitymi rzędu n takimi, że

|E(H₁)| + |E(H2)| < 2 v u u t n k ! .

Wtedy H₁ i H₂ pakują się.

Oznacza to także, że m(n, k) = Ω(n^k/2).

Definicja 4.2 Niech X będzie zbiorem o n elementach. Wtedy t−(n, k, λ_t)-konfiguracją

na X nazywamy rozdzinę T k-elementowych podzbiorów X taką, że każde t elementów X zawarte jest w dokładnie λ_t zbiorach z T .

Zauważmy, że t − (n, k, λ_t)-konfiguracja w istocie jest równoważna z pewnym, (t, λ_t )-regularnym hipergrafem k-jednolitym o zbiorze wierzchołków X i zbiorze krawędzi T . Można także pokazać, że jeżeli istnieje t − (n, k, λ_t)-konfiguracja, to istnieje także

41

własności t-konfiguracji, wynika, że warunkiem koniecznym na istnienie t − (n, k, λ_t )-konfiguracji są warunki podzielności

∀_0¬s¬t(k − s)(k − s − 1) · . . . · (k − t + 1)|λt(n − s)(n − s − 1) · . . . · (n − t + 1). (4.1) Łatwo zauważyć, że warunkami koniecznymi istnienia 2-(n, 3, 1) konfiguracji (zwanej Systemem Trójek Steinera) jest aby n przystawało do 1 lub 3 modulo 6. W 1846 Kirkman pokazał, że ten warunek jest również wystarczający po czym, w 1853, Ste-iner zaproponował zbadanie, czy dla dowolnych konfiguracji warunki 4.1 są również wystarczające? Od tego czasu przybywało kolejnych prób dowodu tej tzw. hipotezy istnienia, jednak dopiero niedawno Keevash [17] dał pełny, ogólny dowód. W oparciu o ten wynik podamy konstrukcję hipergrafów, które się nie pakują, których suma rozmiarów jest tego samego rzędu, co we wniosku 4.6.

Twierdzenie 4.7 Niech k = 2α będzie parzyste. Wtedy

m(n, k) ¬ ^{n − α} α ! + n α  2α α .

Dowód. Rozważmy dwa hipergrafy na n wierzchołkach:

S – składający się z α wierzchołków R takich, że dowolny α-elementowy podzbiór V (S) \ R tworzy krawędź z R,

H – ^k₂ − (n, k, 1)-konfiguracja.

Z twierdzenia Keevasha hipergraf H istnieje dla wszystkich n i k spełniających odpowiednie warunki podzielności. Zauważmy, że

|E(S)| + |E(H)| = ^{n − α} α ! + n α  2α α ,

gdyż dowolny z ^n_α^ podzbiorów wierzchołków H zawarty jest w dokładnie jednej krawędzi, natomiast każda z nich jest liczona ^2α_α^ razy (tyle jest α-elementowych podzbiorów w każdej krawędzi).

Zauważmy, że dla dowolnej bijekcji f : V (S) → V (H) zbiór R jest odwzorowany na jakiś zbiór α wierzchołków R⁰ w H, dla którego, zgodnie z definicją H istnieje α

42

wierzchołków R⁰⁰ takich, że R⁰∪ R00 ∈ E(H). Ponieważ dla dowolnego U ⊂ V (S) \ R

mamy U ∪ R ∈ E(S), to krawędź R ∪ f⁻¹(R⁰⁰) przechodzi na krawędź R⁰∪ R00. Stąd

nie istnieje pakowanie S i H. 2

Twierdzenie to, gdyby udało się udowodnić równość, byłoby wprost uogólnieniem twierdzenia Sauera i Spencera (1.1) na przypadek hipergrafów k-jednolitych (przy-najmniej dla parzystych k). Również hipergrafy użyte w powyższej konstrukcji to uogólnienia gwiazdy i skojarzenia doskonałego, będących grafami ekstremalnymi dla twierdzenia Sauera i Spencera. Co więcej można udowodnić, że tak, jak dwie gwiazdy nie pakują się ze sobą, tak również dwie hipergwiazdy (wg. definicji hipergrafu S z powyższego dowodu) nie dadzą się spakować. To motywuje nas do postawienia hipo-tezy, że możliwe jest analogiczne uogólnienie innego twierdzenia Sauera i Spencera, twierdzenia 1.3

Hipoteza 4.1 Niech k = 2α będzie parzyste, a H₁, H₂ będą k-jednolitymi hipergra-fami rzędu n. Jeżeli

|E(H₁)| < ^{n − α} α ! i |E(H₂)| < ^{n − α} α ! to H₁ i H₂ pakują się.

Zauważmy, że gdyby hipoteza ta okazała się prawdziwa, to implikowałaby, razem z twierdzeniem 4.5, równość w twierdzeniu 4.7. Istotnie, weźmy dwa dowolne hi-pergrafy rzędu n o sumie rozmiarów mniejszej niż ^n−α_α ^+ ⁽

n α) (2α

α)^{. Jeżeli oba} hiper-grafy mają rozmiar mniejszy niż ^n−α_α ^ to z prawdziwości hipotezy 4.1 pakowałyby się. Niech więc bez straty ogólności H₁ ma rozmiar przynajmniej ^n−α_α ^. Wtedy H₂ musi być rozmiaru co najwyżej^n_α^/^2α_α^. Łatwo zauważyć, że w tym wypadku maksy-malna wartość iloczynu rozmiarów tych hipergrafów (biorąc pod uwagę ograniczenia na sumę rozmiarów) wynosi ^n−α_α ^·^n

α



/^2α_α^ = ^_2α^n = ^n_k^. W takim razie H1,H2

pakowałyby się na mocy twierdzenia 4.5.

Przypadek nieparzystego k jest bardziej skomplikowany, gdyż nie możemy już brać pod uwagę podzbiorów zbioru wierzchołków liczebności połowy rozmiaru krawędzi.

Twierdzenie 4.8 Dla dowolnych k ∈ N

43

Dowód. Niech t = bn(k−2)/(2k−3)c Rozważmy dwa hipergrafy:

H1 – będący sumą rozłączną k-jednolitego hipergrafu pełnego na (k − 2)t + 1 wierzchołkach i n − ((k − 2)t + 1) niezależnych wierzchołków takich, że każdy z nich tworzy krawędź z każdym możliwym (k − 1)-elementowym podzbiorem wierzchołków pierwszej części,

H₂ – t rozłącznych kopii (k − 1)-(n/t, k, 1) konfiguracji.

Twierdzenie Keevasha zapewnia istnienie H₂ dla nieskończenie wielu n. Poza tym

|E(H₁)| + |E(H₂)| = ^{(k − 2)t + 1} k ! + ^{(k − 2)t + 1} k − 1 !_ n − (k − 2)t − 1  + ^n/t k − 1 ! (k − 2)t ¬ c₁t^k+ c₂nt^k−1− c₃t^k+ c₄(ⁿ t⁾ k−1 t ¬ cn^{(k2−k−1)/(2k−3)}

dla pewnych stałych c, c₁, c₂, c₃, c₄ zależnych tylko od k.

Zauważmy, że dla dowolnej bijekcji f : V (H1) → V (H2) co najmniej k − 1 wierz-chołków {v_i1, . . . , v_ik−1} z podhipergrafu pełnego w H₁ może być odwzorowane na jedną z konfiguracji w H₂, np. H⁰. W takim razie istnieje wierzchołek x w H⁰, taki że

{f (v_i1), . . . , f (v_ik−1), x} jest krawędzią w H₂. Ponieważ dla dowolnego wierzchołka

v ∈ V (H₁) różnego od v_i1, . . . , v_ik−1 istnieje krawędź {v_i1, . . . , v_ik−1, v}, przypadek,

gdy v = f⁻¹(x) dowodzi, że nie istnieje pakowanie H1 i H2. 2

Na koniec rozdziału udowodnimy szersze uogólnienie twierdzenia 1.4.

Twierdzenie 4.9 Niech H₁ i H₂ będą k-jednolitymi hipergrafami na n wierzchoł-kach. Jeżeli istnieje β takie, że 0 < β < k oraz

∆^(β)(H₁)∆^(k−β)(H₂) + ∆^(k−β)(H₁)∆^(β)(H₂) < ⁿ β ! − ^k β ! + 2 (4.2) to istnieje pakowanie H₁ i H₂.

Dowód. Przypuśćmy nie wprost, że nierówność 4.2 jest spełniona dla pewnego β,

ale nie istnieje pakowanie H₁ i H₂. Niech f : V (H₁) → V (H₂) będzie bijekcją o minimalnej ilości konfliktów C (tzn. takich zbiorów wierzchołków, że C ∈ E(H₂) oraz

44

U⁰ = {u⁰₁, . . . , u⁰_β} ⊂ V (H₂) i jego przeciwobraz f⁻¹(U⁰) = U = {u₁, . . . , u_β} ⊂ V (H1). Niech V = {v1, . . . , vβ} ⊂ V (H1) oraz V⁰ = f (V ) = {v₁⁰ . . . , v_β⁰}. Zdefiniujmy

bijekcję f_V poprzez zamianę obrazów U i V tzn.

f_V(v_i) = f (u_i) = u⁰_i f_V(u_i) = f (v_i) = v_i⁰

f_V(x) = f (x), dla x ∈ V (H₁) \ (U ∪ V ).

Pokażemy, że możemy tak wybrać zbiór V aby C nie było konfliktem względem f_V oraz aby nie powstał żaden nowy konflikt. Oczywiście V 6⊂ f⁻¹(C), gdyż w tym wy-padku C pozostanie konfliktem. Zamiana nie będzie odpowiednia także, gdy zajdzie jeden z warunków:

∃C₁: U ∪ C1 ∈ E(H₁) ∧ V⁰∪ f_V(C1) ∈ E(H2),

∃C₂⁰: U⁰∪ C₂⁰ ∈ E(H₂) ∧ V ∪ f_V⁻¹(C₂⁰) ∈ E(H₁),

gdyż wtedy, np. w pierwszym przypadku, f_V(U ∪ C₁) = V⁰ ∪ f_V(C₁), tzn. krawędź przejdzie na krawędź tworząc nowy konflikt. W pierwszym przypadku istnieje co najwyżej ∆^(β)(H₁) takich C₁ oraz f_V(C₁) może być zawarte w co najwyżej ∆^(k−β)(H₂) krawędziach w H₂. Wyłączając przypadek, gdy V⁰ = U⁰, zakazuje to wymiany U z

∆^(β)(H1)∆^(k−β)(H2) − 1

zbiorami. W drugim przypadku podobnie, istnieje co najwyżej ∆(β)(H₂) takich C₂⁰ oraz f (C₂⁰) może być zawarte w co najwyżej ∆(k−β)(H₁) krawędziach w H₂. Wyłą-czając przypadek, gdy V = U zakazuje to

∆^(k−β)(H₁)∆^(β)(H₂) − 1

β-elementowych podzbiorów do zamiany z U . Ponieważ z założenia twierdzenia

∆^(β)(H₁)∆^(k−β)(H₂) − 1 + ∆^(k−β)(H₁)∆^(β)(H₂) − 1 < ⁿ β ! − ^k β !

to istnieje takie V 6⊂ f⁻¹(C), że bijekcja f_V generuje mniejszą liczbę konfliktów niż

Rozdział 5

Wierzchołkowa stabilność grafów

Przypomnijmy, że graf G nazywamy (F , k)-wierzchołkowo stabilnym, jeżeli po usu-nięciu z G dowolnego zbioru k wierzchołków (wraz z krawędziami zawierającymi te wierzchołki), otrzymany graf zawiera podgraf izomorficzny z pewnym grafem z ro-dziny F . Jeżeli G ma najmniejszy rozmiar spośród wszystkich takich grafów, to nazywamy go minimalnym grafem (F , k)-wierzchołkowo stabilnym, a jego rozmiar oznaczamy przez stab(F , k).

W dalszej części rozdziału będziemy używali poniższej definicji:

Definicja 5.1 Graf G rzędu n nazywamy k-zdegenerowanym, jeżeli istnieje takie uszeregowanie jego wierzchołków w ciąg (v₁, . . . , v_n), że dowolny wierzchołek v_i ma co najwyżej k sąsiadów pośród wierzchołków {v₁, . . . , v_i−1}, (i = 1, . . . , n).

Niech H_qbędzie rodziną grafów o liczbie chromatycznej równej q. W rozdziale 2.3, do dowodów twierdzeń dotyczących Hq-niemal pakowania, używaliśmy twierdzeń o (H_q, k)-wierzchołkowej stabilności, które w tym rozdziale udowodnimy.

Zaczniemy od następującego lematu:

Lemat 5.1 Jeżeli G jest minimalnym grafem (H_q, k) wierzchołkowo stabilnym, gdzie q, k ∈ N+, to

|V (G)| − ^X

v∈V (G)

q − 1

46

Dowód. Niech G będzie dowolnym, minimalnym grafem (H_q, k) wierzchołkowo

sta-bilnym rzędu n oraz niech σ = (v1, . . . , vn) będzie dowolnym uszeregowaniem wierz-chołków grafu G. Przez d⁻_σ(v_i) będziemy oznaczać liczbę sąsiadów wierzchołka v_i o indeksie mniejszym niż i. Ponadto niech

S_σ = {v : d⁻_σ(v) ¬ q − 2}.

Zauważmy, że usuwając z grafu G wierzchołki należące do zbioru V (G) \ S_σ otrzy-mamy graf (q − 2)-zdegenerowany. To oznacza także, że jest (q − 1)-kolorowalny, gdyż można takie kolorowanie uzyskać przez zachłanne kolorowanie wierzchołków od naj-mniejszego do największego indeksu w tym uszeregowaniu, za każdym razem mając co najwyżej q − 2 sąsiadów już pokolorowanych. Ponieważ zaś G jest grafem (Hq, k)

wierzchołkowo stabilnym, to

|V (G)| − |Sσ| ­ k + 1, (5.1)

dla dowolnego uszeregowania σ.

Załóżmy teraz, że uszeregowanie σ jest losowym ciągiem wierzchołków (sprośród wszystkich możliwych losujemy jeden ciąg niezależnie, z równym prawdopodobień-stwem). Prawdopodobieństwo, że wierzchołek v będzie miał co najwyżej j sąsiadów o mniejszym indeksie niż v w uszeregowaniu σ wynosi

P (d⁻_σ(v) ¬ j) =  n d(v)+1  (j + 1)(d(v))!(n − d(v) − 1)! n! ⁼ j + 1 d(v) + 1^. Stąd P (v ∈ S_σ) = ^{q − 1} d(v) + 1^.

Zauważmy, że zmienna losowa |Sσ|, dla ustalonego σ jest sumą indykatorowych

zmien-nych losowych |Sv

σ|, które przyjmują wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy v ∈ S_σ i 0 w pozostałych przypadkach. Stąd wartość oczekiwana zmiennej |S_σ| wynosi

E(|S_σ|) = X v∈V (G) E(|S_σ^v|) = X v∈V (G) P (v ∈ S_σ) = ^X v∈V (G) q − 1 d(v) + 1^.

Ponieważ jest to dokładna wartość zmiennej losowej, to istnieje takie uszeregowanie

σ wierzchołków grafu G, że |S_σ| ­ P

v∈V (G) q−1

47 którego |G| − ^X v∈V (G) q − 1 d(v) + 1 ­ k + 1, co należało udowodnić. 2

Wnioskiem z lematu 5.1 jest

Wniosek 5.2 Niech H_q będzie rodziną grafów o liczbie chromatycznej równej q ­ 2. Wtedy

stab(H_q, k) ­ (k + 1)(q − 1 +^q(q − 1)(q − 2) − 1/2).

Dowód. Wystarczy udowodnić ten wniosek dla minimalnych grafów (Hq, k)

wierz-chołkowo stabilnych. Niech G będzie takim grafem. Wówczas z lematu 5.1 mamy

|V (G)| ­ X

v∈V (G)

q − 1

d(v) + 1 ^{+ k + 1.}

Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią harmoniczną mamy także X v∈V (G) 1 d(v) + 1 ­ ¹ |V (G)| X v∈V (G) 1 d(v) + 1 ­ _P ^{|V (G)|} v∈V (G)(d(v) + 1) = ¹ (1/|V (G)|)P v∈V (G)d(v) + 1^.

Otrzymujemy więc, że |V (G)| ­ |V (G)|_d^q−1

G+1+ k + 1 a stąd |V (G)| ­ (k + 1) ^dG+1

d_G+1−q+1, gdzie dG oznacza średni stopień w grafie G. W takim razie

|E(G)| = ^dG

2 |V (G)| ­ ^{k + 1}

2

d_G(d_G+ 1)

d_G+ 1 − q + 1^.

Analizując pochodną funkcji f (x) = _x+1−q+1^x(x+1) otrzymujemy, że f posiada minimum w punkcie x₀ = q − 1 +^q(q − 1)(q − 2) − 1. W takim razie |E(G)| ­ ^k+1₂ f (x₀) =

(k + 1)(q − 1 +^q(q − 1)(q − 2) − 1/2). 2

Jesteśmy teraz przygotowani do udowodnienia twierdzenia, które posłużyło nam w dowodzie twierdzenia o niemal pakowaniu grafów.

48

Twierdzenie 5.3 Niech H_q będzie dowolnym grafem o liczbie chromatycznej równej q ­ 2. Wtedy

stab(H_q, k) ­ (2q − 3)(k + 1). (5.2)

Dowód. Weźmy dowolny minimalny (H_q, k) wierzchołkowo stabilny graf G. Podobnie

jak w dowodzie wniosku 5.2 mamy |E(G)| ­ ^k+1₂ ^dG(dG+1)

dG+1−q+1. Traktując prawą stronę nierówności jako funkcję f (dG) i licząc jej pochodną, otrzymujemy, że funkcja ta maleje dla d_G ¬ d₀ i rośnie dla d_G ­ d₀, gdzie d₀ = q − 1 +^q(q − 1)(q − 2) − 1. Zauważmy, że 2q − 4 ¬ d0 ¬ 2q − 3 oraz że f (2q − 4) = f (2q − 3). Stąd ograniczenie

dolne w 5.2 jest osiągalne tylko dla d_G ∈ [2q − 4, 2q − 3], a suma P

v∈V (G) _d(v)+1¹ jest najmniejsza, gdy stopnie wierzchołków grafu G różnią się najmniej jak to możliwe od d_G, tzn. d(v) ∈ {2q − 4, 2q − 3} dla dowolnego v ∈ V (G). Niech β oznacza liczbę wierzchołków grafu G stopnia 2q − 3. Wtedy

X v∈V (G) 1 d(v) + 1 ^{= β} 1 2q − 2 ^{+ (|V (G)| − β)} 1 2q − 3 ⁼ 2(q − 1)|V (G)| − β 2(q − 1)(2q − 3) ^.

Z lematu 5.1 otrzymujemy w takim razie, że

|V (G)| ­ (k + 1)^{2q − 3} q − 2 − ^β 2(q − 2)^, a stąd |E(G)| ­ ^{β(2q − 3) + (|V (G)| − β)(2q − 4)} 2 ­ ^{β + (k + 1)} 2q−3 q−2(2q − 4) − _2q−4^β (2q − 4) 2 = (k + 1)(2q − 3), co kończy dowód. 2

Bibliografia

[1] M. Aigner and S.Brandt, Embedding arbitrary graphs of maximum degree two,

W dokumencie Index of /rozprawy2/11319 (Stron 26-52)