Index of /rozprawy2/11319

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Rozprawa doktorska. Pakowania grafów i ich uogólnienia. Jerzy Konarski. Promotor. dr hab. Andrzej Żak. Wydział Matematyki Stosowanej Katedra Matematyki Dyskretnej. Kraków 2018.

(2) Bogu dziękuję za to, że pozwolił mi pokornym okiem spojrzeć wgłąb matematycznego świata, który tak pięknie stworzył. Mojej żonie, Kasi, dziękuję za nieocenione wsparcie, wyrozumiałość i motywację w dążeniu do celu. Promotorowi Andrzejowi, dziękuję za owocne prowadzenie mnie po świecie pakowań grafów. Całej rodzinie i znajomym dziękuję za dopingowanie mnie w trakcie pracy nad tą rozprawą doktorską..

(3) Spis treści Wstęp. 3. 1 Definicje i podstawowe wyniki. 5. 1.1. Grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2. Digrafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3. Hipergrafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.4. Pakowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2 Niemal pakowania dwóch grafów. 14. 2.1. Ek -niemal pakowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.2. Dk -niemal pakowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.3. Hk -niemal pakowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3 Pakowanie digrafów. 30. 4 Pakowanie hipergrafów jednolitych. 38. 5 Wierzchołkowa stabilność grafów. 45.

(4) Wstęp Teoria grafów ekstremalnych zajmuje się szukaniem odpowiedzi na pytania optymalizacyjne, związane z teorią grafów. Słowo ekstremalne oznacza, że nie tylko szuka się warunków, po spełnieniu których graf posiada pewną, żadaną własność, ale także maksymalizuje lub minimalizuje się te warunki. Istnieje wiele nurtów tej teorii. Jednym z najbardziej znanych jest problem Turána, w którym mając dany graf H szuka się minimalnej liczby m takiej, że każdy graf o rozmiarze co najmniej równym m posiada podgraf izomorficzny z H. Innym znanym problemem jest problem Ramseya znalezienia minimalnego rzędu grafu, który zapewnia posiadanie przez ten graf, lub jego dopełnienie, podgrafów izomorficznych z pewnymi, ustalonymi klikami (lub, ogólniej, z ustalonymi grafami). Celem poniższej rozprawy doktorskiej jest uogólnienie znanych twierdzeń dotyczących pakowania grafów. Samo pakowanie jest blisko związane z problemem Turána, pytamy się bowiem o to, czy dla dowolnych dwóch grafów, spełniających pewną zależność (np. dotyczącą sumy ich rozmiarów, lub iloczynu maksymalnych stopni), jeden z nich jest podgrafem dopełnienia drugiego grafu. Tematyka ta jest przedmiotem zainteresowania matematyków od lat 70. ubiegłego stulecia, kiedy pojawiła się, choć jeszcze nie jako odrębny problem, w teorii złożoności obliczeniowej własności grafów (w której pytamy jaka jest liczba informacji o istnieniu lub nie kolejnych krawędzi grafu potrzebna do określenia, czy dany graf ma pewną własność, czy nie). Milner i Welsch pokazali, że każdy warunek ograniczający sumę rozmiarów dwóch grafów i zapewniający ich pakowanie, jest także ograniczeniem dolnym złożoności obliczeniowej. Od ich hipotezy rozpoczęły się badania samego pakowania, już w ramach odrębnej teorii. W pierwszym rozdziale podajemy najbardziej podstawowe definicje i fakty uży-.

(5) SPIS TREŚCI. 4. wane w pracy, dotyczące grafów, digrafów i hipergrafów W szczególności zamieszczamy w nim definicję pakowania grafów i podstawowe wyniki, stanowiące punkt wyjścia do naszych badań. W drugim rozdziale prezentujemy wyniki dotyczące niemal pakowania grafów, w którym dopuszczamy aby krawędzie jednego grafu zachodziły na krawędzie drugiego w określony sposób. Są to uogólnienia twierdzeń Sauera i Spencera na przypadki czterech rodzajów niemal pakowań. Wyniki przedstawione w tym rozdziale opublikowane zostały częściowo w pracy [18]. Rozdział trzeci zawiera twierdzenie potwierdzające w części hipotezę postawioną w 1985 roku przez Benhocine, Veldmana i Wojdę ([4]), dotyczącą pakowania digrafów. Wyniki te opublikowane zostały w pracy [19]. W rozdziale czwartym zawarliśmy wyniki uogólniające pakowanie grafówna przypadek hipergrafów jednolitych. Pokazujemy w nim konstrukcję niepakowalnych hipergrafów o pewnej sumie rozmiarów, jak i uogólniamy twierdzenie Sauera i Spencera na przypadek ilocznów stopni maksymalnych dowolnego rzędu. W ostatnim rozdziale przedstawiamy wyniki dotyczące wierzchołkowej stabilności grafów, które posłużyły nam w rozdziale 2.3 do dowodzenia twierdzenia dotyczącego niemal pakowania ze względu na liczbę chromatyczną..

(6) Rozdział 1 Definicje i podstawowe wyniki 1.1. Grafy. Grafem G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)), gdzie V (G) jest zbiorem wierzchołków a E(G) ⊂. . . V (G) 2. jest zbiorem krawędzi. Krawędź {u, v} będziemy oznaczać w. skrócie przez uv. Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G = (V,. V 2. \ E).. Rzędem grafu nazwamy liczebność zbioru jego wierzchołków, a rozmiarem liczebność zbioru krawędzi. Jeżeli nie napisano inaczej, n w całej pracy oznaczać będzie rząd grafu. Jeżeli u, v są wierzchołkami grafu oraz uv ∈ E(G), to mówimy, że u jest sąsiadem wierzchołka v (i vice versa). Zbiór sąsiadów wierzchołka u w grafie G oznaczamy przez NG (u) (lub N (u), jeżeli wiadomo o jaki graf chodzi), a jego liczebność nazywamy stopniem wierzchołka u i oznaczamy przez dG (u) (lub analogicznie jak poprzednio d(u)). Średni stopień w grafie G oznaczamy przez dG i definiujemy jako dG :=. 1 n. P. v∈V (G). d(v). Wierzchołek stopnia zero, a więc nie połączony z żadnym in-. nym wierzchołkiem, nazywamy wierzchołkiem izolowanym. Minimalny i maskymalny stopień w grafie G oznaczamy odpowiednio δ(G) i ∆(G).Podgrafem grafu G nazywamy dowolny graf G0 , taki że V (G0 ) ⊂ V (G) i E(G0 ) ⊂ {uv ∈ E(G) : u, v ∈ V (G0 )}. Podgrafem indukowanym w G przez zbiór wierzchołków V0 ⊂ V (G), nazywamy graf G[V0 ] = (V0 , E0 ), gdzie E0 = {uv ∈ E(G) : u, v ∈ V0 }. Zbiór I ⊂ V (G) nazywamy zbiorem niezależnym, jeżeli G[I] jest grafem bez krawędzi. Maksymalną liczebność takiego zbioru w grafie G nazywamy liczbą niezależności.

(7) 1.1 Grafy. 6. i oznaczamy przez α(G). Grafem pełnym rzędu n nazywamy graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Oznaczamy go przez Kn . Maksymalny rząd grafu pełnego będącego podgrafem danego grafu G nazywamy liczbą klikową grafu G. Ścieżką rzędu n (oznaczaną przez Pn ) nazywamy graf, dla którego istnieje uszeregowanie wierzchołków w ciąg (v1 , . . . , vn ), taki że E(Pn ) = {vi vi+1 : i = 1, . . . n − 1}. Jeżeli dodatkowo istnieje krawędź pomiędzy wierzchołkami v1 i vn , to taki graf nazywamy cyklem i oznaczamy przez Cn . Graf o zbiorze wierzchołków V , dla którego istnieje podział na dwa rozłączne i niepuste podzbiory V1 , V2 w ten sposób, że V1 i V2 są niezależne, nazywamy grafem dwudzielnym. Przez Kp,q oznaczamy graf dwudzielny, w którym |V1 | = p, |V2 | = q oraz dla każdej pary wierzchołków u ∈ V1 , v ∈ V2 istnieje krawędź je łącząca. Graf nazywamy spójnym jeżeli istnieje ścieżka pomiędzy dowolnymi dwoma jego wierzchołkami. W przeciwnym przypadku graf nazywamy niespójnym. Maksymalny, w sensie inkluzji, podgraf spójny danego grafu nazywamy jego składową spójności. Lasem (oznaczanym przez F ) nazywamy graf bez cykli. Las spójny nazywamy drzewem (oznaczamy przez T ). Drzewo, w którym z jednego z wierzchołków wychodzi krawędź do wszystkich pozostałych, nazywamy gwiazdą i oznaczamy przez K1,n−1 (gdyż jest to w istocie graf dwudzielny pełny). Prostym faktem jest, że każde drzewo rzędu n ma rozmiar równy n − 1, zaś jeżeli graf G ma rozmiar n − k, k = 1, . . . , n − 1, to G zawiera co najmniej k składowych spójności, będących drzewami. Dwa grafy G i G0 nazywamy izomorficznymi jeżeli |V (G)| = |V (G0 )| oraz istnieje bijekcja f : V (G) → V (G0 ) taka, że dla dowolnych wierzchołków u, v ∈ V (G) uv ∈ E(G) ⇔ f (u)f (v) ∈ E(G0 ). Mając dane dwa grafy G = (V (G), E(G)) i H = (V (H), E(H)) o rozłącznych zbiorach wierzchołków, definujemy następujące grafy: . . • G ∪ H = V (G) ∪ V (H), E(G) ∪ E(H) . (suma rozłączna), . • G + H = V (G) ∪ V (H), E(G) ∪ E(H) ∪ {uv : u ∈ V (G), v ∈ V (H)} czenie).. (złą-.

(8) 1.2 Digrafy. 7. Dla uproszczenia będziemy używać notacji kG na określenie sumy rozłącznej k kopii grafu G. Jeżeli natomiast V (G) ⊂ V (H) = V to definujemy . . • G ⊕ H = V, E(G) ∪ E(H) . (suma krawędziowa),. . • G

(9) H = V, E(G) ∩ E(H). (iloczyn krawędziowy).. W wielu miejscach ninejszej pracy będziemy tworzyli grafy poprzez usunięcie pewnych wierzchołków lub krawędzi. Niech S ⊂ V (G). Przez G − S będziemy oznaczali graf indukowany przez zbiór V (G)\S. Jeżeli S = {v1 , . . . , vk } składa się z kilku wierzchołków, to często używamy notacji G − v1 − . . . − vk . Podobnie jeżeli e ∈ E(G), to przez G−e oznaczamy graf powstały poprzez usunięcie krawędzi e ze zbioru krawędzi grafu G (wierzchołki pozostają takie same). Jeżeli |V (G)| ¬ |V (H)| oraz f : V (G) → V (H) jest iniekcją, to obrazem grafu G przez f nazywamy graf . . f (G) = f (V (G)), {f (u)f (v) : uv ∈ E(G)} . Przy tych oznaczeniach f (e), dla e ∈ E(G) będzie oznaczało obraz krawędzi e (jako zbioru wierzchołków) przez odwzorowanie f .. 1.2. Digrafy. Digrafem D nazywamy parę zbiorów V (D) i A(D), gdzie V (D) jest zbiorem wierzchołków, a A(D) ⊂ V (D) × V (D) zbiorem łuków, tj. uporządkowanych par wierzchołków. Dla danego u ∈ V (D) zbiór wierzchołków v takich, że (u, v) ∈ A(D) ((v, u) ∈ A(D)) oznaczamy przez ND+ (u) (odpowiednio ND− (u)), zaś jego liczebność − nazywamy stopniem wyjścia (wejścia) i oznaczamy przez d+ D (u) (dD (u)). Podobnie. jak w przypadku grafów pomijamy indeks dolny, gdy nie ma wątpliwości o jaki digraf chodzi. Dla danego digrafu D definiujemy jego graf pierwotny G(D), gdzie V (G(D)) = V (D) oraz E(G(D)) = {uv : (u, v) ∈ A(D) ∨ (v, u) ∈ A(D)}. Mając dany graf G możemy także zamienić jego krawędzie na pary uporządkowane nadając im w ten sposób orientację. Tak utworzony digraf będziemy nazywać grafem zorientowanym..

(10) 1.3 Hipergrafy. 8. Jeżeli każdą krawędź {u, v} grafu pełnego Kn zamienimy na łuki (u, v) oraz (v, u), to tak powstały graf zorientowany nazywamy digrafem pełnym i oznaczamy przez Kn∗ .. 1.3. Hipergrafy. Hipergrafem H nazywamy parę zbiorów V (H) i E(H), gdzie V (H) jest zbiorem wierzchołków, a E(H) ⊂ 2V (H) zbiorem krawędzi. W przypadku hipergrafów krawędzią może być zatem dowolny (a nie tylko dwuelementowy) podzbiór wierzchołków. Zbiorem sąsiadów danego wierzchołka u nazywamy zbiór wszystkich wierzchołków, które należą do jakiejś krawędzi, do której należy u, tzn. NH (u) = {v ∈ V (H) : ∃e ∈ E(H) : u, v ∈ e}, a stopniem wierzchołka nazywamy liczbę krawędzi, do jakich ten wierzchołek należy. Ogólnie, dla dowolnego `-elementowego podzbioru U wierzchoł(`). ków hipergrafu, przez dH (U ) = |{e ∈ H : U ⊂ e}| oznaczamy stopień U , a przez (`). (`). δ (`) (H) = min{dH (U ) : U ∈. . . V (H) } stopień maksymalny rzędu `. Analogicznie ` V (H) } oznacza stopień minimalny rzędu `. Oznaczamy `. ∆(`) (H) = max{dH (U ) : U ∈. też ∆(1) = ∆, jak w zwykłych grafach. Jeżeli każda krawędź hipergrafu H jest rozmiaru k, to H nazywamy hipergrafem kjednolitym. Jeżeli zaś każdy `-elementowy podzbiór wierzchołków ma taki sam stopień r to taki hipergraf nazywamy (`, r)-regularnym.. 1.4. Pakowanie. Definicja 1.1 Niech G, H będą grafami, |V (G)| ¬ |V (H)|. Pakowaniem G i H nazywamy iniekcję f : V (G) → V (H) taką, że dla dowolnych u, v ∈ V (G) uv ∈ E(G) ⇒ f (u)f (v) 6∈ E(H). Pakowaniem grafów nazywamy więc taką funkcję różnowartościową, która jeden z grafów zanurza w dopełnieniu drugiego. Przypuśćmy, że mamy dwa grafy, które się pakują. Wtedy po dodaniu do mniejszego z nich (pod względem rzędu) takiej ilości wierzchołków izolowanych, by wyrównać rzędy grafów, nowe grafy dalej się pakują. Możemy więc od razu zakładać, że grafy G i H są równego rzędu i pakują.

(11) 1.4 Pakowanie. 9. się, jeśli G jest podgrafem dopełnienia H grafu H lub H jest podgrafem dopełnienia G grafu G. Stąd zaś wynika, że wiele ważnych problemów teorii grafów można wyrazić przy pomocy pakowania. Przykład 1.1 Graf G rzędu n zawiera graf H jako podgraf wtedy i tylko wtedy, gdy G pakuje się z H. Takie podejście zaprezentowali m.in. Alon i Yuster w swojej pracy [3], w której udowodnili twierdzenie dotyczące problemu Turána, konstruując bijekcję pakującą odpowiednie grafy. Przykład 1.2 Graf G rzędu n jest hamiltonowski, jeżeli G pakuje się z cyklem Cn . Przykład 1.3 Liczba niezależności α(G) grafu G rzędu n wynosi przynajmniej k wtedy i tylko wtedy, gdy G pakuje się z grafem Kk ∪ K n−k . Przykład 1.4 Graf G jest k-kolorowalny, gdy pakuje się z grafem tego samego rzędu będącym sumą k klik. Ponieważ w pakowaniu grafów szukamy kopii jednego z grafów w dopełnieniu drugiego, to można by powiedzieć, że jest to szczególny przypadek problemu Turána, szukania minimalnej liczby krawędzi w grafie, takiej, aby istniał w nim zawsze podgraf izomorficzny z danym. Jednak w problemach Turána jeden z grafów jest z góry zadany, podczas gdy w problemach pakowana oba grafy są dowolne, co czyni problem pakowania bardziej ogólnym. W szczególności inne są metody dowodowe, np. w problemach pakowania nie stosuje się lematu Szemerédiego. Jednym z pierwszych wyników dotyczących pakowania jest poniższe twierdzenie udowodnione przez Sauera i Spencera w pracy z 1978 roku. Twierdzenie 1.1 ([24]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że 3n |E(G)| + |E(H)| < − 1. 2 . Wtedy istnieje pakowanie grafów G i H.. .

(12) 1.4 Pakowanie. 10. Rysunek 1.1: Gwiazda i skojarzenie doskonałe nie pakują się. Zauważmy, że gwiazda K1,n−1 oraz skojarzenie doskonałe n2 K2 (lub, kiedy n jest nieparzyste, graf mający n − 1 wierzchołków stopnia 1 i jeden stopnia 2) nie pakują się, stąd ograniczenia nie da się już poprawić bez utraty ogólności. W tym samym roku Bollobás i Eldridge zauważyli jednak, że jeżeli zabronimy, by gwiazda K1,n−1 była podgrafem rozważanych grafów, wtedy znacznie słabszy warunek zapewnia pakowanie. Twierdzenie 1.2 ([6]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że ∆(G) < n − 1, ∆(H) < n − 1 i |E(G)| + |E(H)| ¬ 2n − 3, oraz {G, H} nie jest jedną z par z rysunku 1.2. Wtedy istnieje pakowanie grafów G i H. Ponieważ dzięki obniżeniu maksymalnego stopnia w obu grafach uzyskaliśmy osłabienie ograniczenia na sumę rozmiarów o n/2, można by domniemywać, że jeżeli ∆(G), ∆(H) ¬ n−k to będzie możliwe osiągnięcie ograniczenia postaci |E(G)|+|E(H)| ¬ ckn, gdzie c jest jakąś dodatnią stałą. Hipoteza ta, postawiona w [6] przez Bollobása i Eldridge’a, nie jest jednak prawdziwa, co pokazali Bollobás, Kostochka i Nakprasit w [7]. Warto także wspomnieć o wyniku Sauera i Spencera, którzy pokazali Twierdzenie 1.3 ([24]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że |E(G)| < n − 1,. |E(H)| < n − 1.. Wtedy istnieje pakowanie grafów G i H. W tym wypadku grafami ekstremalnymi są dwie gwiazdy K1,n−1 ..

(13) 1.4 Pakowanie. 11. Innym kierunkiem rozważań dotyczących pakowania grafów jest szukanie warunków na iloczyn rozmiarów, czy maksymalnych stopni rozważanych grafów. W pracy [24] Sauer i Spencer udowodnili Twierdzenie 1.4 ([24]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że !. n |E(G)| · |E(H)| < . 2 Wtedy istnieje pakowanie grafów G i H. Twierdzenie 1.5 ([24]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że 2∆(G)∆(H) < n. Wtedy istnieje pakowanie grafów G i H. Zauważmy, że pary grafów {Kn , K2 ∪ K n−2 } w pierwszym oraz {K n2 , n2 , n2 K2 } (dla n ≡ 2 mod 4) w drugim przypadku osiągają odpowiednie ograniczenia, ale nie pakują się. Zarówno twierdzenia 1.1, 1.2 jak i 1.4, 1.5 były uogólniane na wiele różnych sposobów. Związana z tym jest hipoteza, którą zaproponowali niezależnie Bollobás i Eldridge [6] oraz Catlin [8] w swojej pracy doktorskiej. Hipoteza 1.1 ([6];[8]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że (∆(G) + 1)(∆(H) + 1) ¬ n + 1. Wtedy istnieje pakowanie grafów G i H. Znów zauważmy, że podanego ograniczenia nie da się polepszyć. Grafami ekstremalnymi w tym przypadku są np. grafy d1 · Kd2 +1 ∪ Kd2 −1 oraz d2 · Kd1 +1 ∪ Kd1 −1 . Hipoteza ta jest ściśle związana ze znanym wynikiem Hajnala i Szemerédiego z pracy [13] Twierdzenie 1.6 ([13]) Niech G będzie grafem rzędu n oraz k 2 będzie liczbą naturalną. Jeżeli δ(G) to G zawiera. j. n k+1. k. kn − 1 , k+1. wierzchołkowo rozłącznych kopii grafów Kk+1 ..

(14) 1.4 Pakowanie. 12. Ponieważ pakowanie grafów jest w istocie szukaniem podgrafu jednego z grafów w dopełnieniu drugiego, możemy zauważyć, że hipoteza 1.1 mówi, że przy tym samym warunku, jaki występuje w twierdzeniu 1.6 graf G zawiera jako podgraf dowolny graf o maksymalnym stopniu równym k. Hipoteza ta, od czasu postawienia i pokazania jej związku z wcześniej udowodnionym twierdzeniem, stała się centralnym problemem teorii pakowania grafów. Do tej pory jej prawdziwość udało się pokazać w szczególnych przypadkach, m.in. gdy ∆(G) = 1 hipoteza wynika z twierdzenia 1.5, dla ∆(G) ∈ {2, 3} została pokazana w pracach [1], [9]. Innym podejściem do hipotezy było osłabianie założeń. W tym przypadku warto odnotować twierdzenie Kaul’a, Kostochki i Yu Twierdzenie 1.7 ([16]) Niech G i H będą grafami rzędu n takimi, że ∆(G), ∆(H) 300. Jeżeli 3 (∆(G) + 1)(∆(H) + 1) ¬ n + 1, 5 to istnieje pakowanie grafów G i H. Niedawno zaś pojawił się wynik van Batenburga i Kanga dla grafów bez cykli rzędu 4,6 i 8. Twierdzenie 1.8 ([25]) Niech G i H będą grafami rzędu n nie zawierającymi cykli rzędu 4,6 i 8, takimi, że ∆(G) 940060, lub ∆(G) ∆(H) 27620. Jeżeli (∆(G) + 1)(∆(H) + 1) ¬ n + 1, to istnieje pakowanie grafów G i H..

(15) 1.4 Pakowanie. 13. n=4. n=5. n=6. n=6. n=7. n=8. n=9. Rysunek 1.2: Pary grafów z twierdzenia Bollobása i Eldridge’a, które się nie pakują..

(16) Rozdział 2 Niemal pakowania dwóch grafów Głównym celem badań przedstawionych w tej pracy jest uogólnienie pakowania grafów na przypadki, gdy dopuszczamy, aby odpowiednie kopie grafów miały wspólne krawędzie w Kn . Te dopuszczone przecięcia grafów muszą jednak spełniać odpowiednie własności. Doprowadziło to do koncepcji niemal pakowania grafów. Definicja 2.1 Niech G, H będą grafami, |V (G)| ¬ |V (H)|. Niech F będzie rodziną grafów o rzędach równych |V (H)|. Iniekcję f : V (G) → V (H) taką, że Ff = f (G)

(17) H ∈ F nazywamy F-niemal pakowaniem (lub niemal pakowaniem dopuszczającym F) grafów G i H. Graf Ff nazywamy grafem konfliktów (względem iniekcji f ; jeżeli wiadomo o jaką iniekcję chodzi, ograniczamy zapis do F ), a jego krawędzie konfliktami. Zauważmy, że zwykłe pakowanie jest równoważne F-niemal pakowaniu, przy F składającej się tylko z grafu pustego, tj. bez krawędzi. Będziemy rozważać następujące rodziny grafów. Niech k ∈ N. 1. Ek – rodzina grafów rozmiaru co najwyżej równego k, 2. Dk – rodzina grafów o maksymalnym stopniu co najwyżej równym k, 3. Hk – rodzina grafów o liczbie chromatycznej co najwyżej równej k 1,.

(18) 2.1 Ek -niemal pakowanie. 15. 4. Kk – rodzina grafów o liczbie klikowej co najwyżej równej k 1. Przy takich definicjach pakowanie jest równoważne E0 -, D0 -, H1 - i K1 -niemal pakowaniu. W pracy skupiamy się na znalezieniu minimalnej liczby takiej, że istnieją dwa grafy (tego samego rzędu równego n), dla których nie istnieje F-niemal pakowanie. Liczbę tą oznaczamy przez m(n, F). Niech N (n, F) oznacza rodzinę par grafów rzędu n, dla których nie istnieje Fniemal pakowanie. Wtedy m(n, F) = min{|E(G1 )| + |E(G2 )| : {G1 , G2 } ∈ N (n, F)}.. 2.1. Ek -niemal pakowanie. Naturalnym problemem niemal pakowania jest określenie jak wiele krawędzi jednego grafu może przejść na krawędzie drugiego grafu. Dla przykładu, grafy ekstremalne z twierdzenia Sauera i Spencera (1.1), tj. gwiazda K1,n−1 i skojarzenie doskonałe n2 K2 mają E1 -niemal pakowanie (por. rys. 1.1), jednakże gdyby za drugi graf wziąć cykl Cn nie będzie to już możliwe. Problem Ek -niemal pakowania został zaproponowany przez Bollobása i Erd˝osa w [5], aczkolwiek nie pod nazwą używaną w niniejszej pracy. Używając podstawowej metody probabilistycznej udowodniliśmy następujące Twierdzenie 2.1 ([18]) Niech G1 i G2 będą grafami rzędu n, 0 ¬ k < n. Wtedy m(n, Ek ) . q. 2(k + 1)n(n − 1).. Dowód. Niech G1 i G2 będą grafami rzędu n takimi, że |E(G1 )| + |E(G2 )| <. q. 2(k + 1)n(n − 1).. (2.1).

(19) 2.1 Ek -niemal pakowanie. 16. Zauważmy, że dla ustalonej sumy dwóch liczb ich iloczyn jest największy, gdy są one sobie równe. Stąd q. |E(G1 )| · |E(G2 )| < . 2(k + 1)n(n − 1). 2 . 2 !. n = (k + 1) . 2 Rozważmy przestrzeń probabilistyczną, której elementami są wszystkie bijekcje f : V (G1 ) → V (G2 ) pomiędzy zbiorami wierzchołków grafów G1 i G2 . Dla dowolnych krawędzi e1 ∈ E(G1 ), e2 ∈ E(G2 ) definiujemy indykatorową zmienną losową Xe1 e2 Xe1 e2 (f ) =.   . 1. gdy. f (e1 ) = e2.  . 0. gdy. f (e1 ) 6= e2 .. Aby Xe1 e2 = 1 wierzchołki tworzące krawędź e1 muszą przejść na wierzchołki tworzące krawędź e2 (są 2 takie możliwości), natomiast reszta wierzchołków z G1 może przechodzić na dowolne wierzchołki z G2 . Stąd wartość oczekiwana zmiennej Xe1 e2 wynosi E(Xe1 e2 ) = P (Xe1 e2 Niech X =. P. e1 ∈E(G1 ),e2 ∈E(G2 ). 2(n − 2)! n = 1) = = n! 2. !−1. .. Xe1 e2 . Wtedy X jest zmienną losową określającą ilość. konfliktów dla danej bijekcji. Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej obliczamy E(X) =. X. X. E(Xe1 e2 ) =. e1 ∈E(G1 ) e2 ∈E(G2 ). n = |E(G1 )||E(G2 )| 2. X. e1 ∈E(G1 ) e2 ∈E(G2 ). n 2. !−1. !−1. < k + 1.. Zatem, ponieważ wartość oczekiwana zmiennej losowej jest mniejsza od k + 1 i X przyjmuje wartości całkowite, musi istnieć bijekcja f0 , dla której zmienna X przyjmuje wartość co najwyżej równą k. W takim razie f0 jest szukanym Ek -niemal pako2. waniem grafów G1 i G2 . Natychmiastowym wnioskiem jest fakt, że m(n, E1 ) = 2n − 1.. (2.2).

(20) 2.1 Ek -niemal pakowanie. 17. Istotnie, zauważmy, że z twierdzenia (2.1) wynika, że m(n, E1 ) . q. 2 · 2n(n − 1) > 2(n − 1). Z drugiej strony, ponieważ każda bijekcja gwiazdy K1,n−1 i cyklu Cn generuje graf konfliktów z conajmniej dwoma konfliktami, mamy m(n, E1 ) ¬ 2n − 1.. Rysunek 2.1: Dla gwiazdy i cyklu nie istnieje E1 -niemal pakowanie. Dla ogólnego k nie jest znana dokładna wartość parametru m(n, Ek ). Jak się jednak okazuje, ograniczenie 2.1 jest dość ciasne. Twierdzenie 2.2 (JK, Żak [18]) Niech n0 (k) będzie dostatecznie duże, n n0 (k) będzie liczbą parzystą. Wtedy q. m(n, Ek ) < 2 Dowód. Niech t =. lq. . . k/2 + 1/2 n.. m. k/2 . Rozważmy grafy:. G1 = Kt + K n−t , G2 – (2t + 1)-regularny graf o talii przynajmniej t + 1. Wtedy q (2t + 1)n |E(G1 )| + |E(G2 )| < tn + = 2 k/2 + 1/2 n. 2. Wystarczy więc udowodnić, że dla G1 i G2 nie istnieje bijekcja, która dawałaby nie więcej niż k konfliktów. Niech więc f będzie dowolną bijekcją V (G1 ) → V (G2 ) oraz F = f (G1 )

(21) G2 . Niech V (Kt ) = {v1 , . . . , vt }. Zauważmy, że każdy wierzchołek z V (Kt ) jest połączony z każdym innym w G1 , stąd dF (f (vi )) = 2t+1 dla i = 1, . . . , t. Ponadto, ze względu na założenie o talii grafu G2 , graf F [f (v1 ), . . . , f (vt )] jest lasem..

(22) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 18. Ponieważ zbiór V (K n−t ) jest niezależny, to pakuje się on bez konfliktów. Stąd |E(F )| = (2t + 1)t − |E (F [f (v1 ), . . . , f (vt )])| 2t2 + t − (t − 1) = 2t2 + 1 k + 1, czyli graf konfliktu dla dowolnej bijekcji f jest rozmiaru większego niż k. Nie istnieje 2. więc Ek -niemal pakowanie grafów G1 i G2 .. Aby uzyskać ograniczenie prawdziwe dla dowolnego, dostatecznie dużego n (niekoniecznie parzystego) wystarczy podstawić w powyższym dowodzie t =. l. m √ 1+ 1+8k , 4. a za graf G2 wziąć dowolny 2t-regularny graf o talii co najmniej równej t + 1. W takim razie dla dowolnego, dostatecznie dużego n √ ' & 1 + 1 + 8k n. m(n, Ek ) < 2 4 Zostawiamy jednak jako twierdzenie przypadek parzystego n, gdyż wtedy ograniczenie na m(n, Ek ) jest lepsze dla dowolnego k.. 2.2. Dk -niemal pakowanie. Kolejnym uogólnieniem pakowania grafów jest Dk -niemal pakowanie, pierwszy raz wprowadzone przez Eaton w jej pracy z 2000 roku [11]. Eaton udowodniła w niej twierdzenie (w wersji nieco ogólniejszej niż poniższa) będące uogólnieniem twierdzenia 1.5, dotyczącego warunku z iloczynem stopni maksymalnych. Twierdzenie 2.3 ([11]) Niech G1 , G2 będą grafami rzędu n o maksymalnych stopniach odpowiednio ∆1 , ∆2 oraz niech k ∈ N, k < n. Jeżeli ∆1 ∆2 <. k+1 n, 2. to G1 i G2 mają Dk -niemal pakowanie. Zauważmy, że w przypadku k = 0, czyli w przypadku zwykłego pakowania, twierdzenie redukuje się do twierdzenia 1.5. Wnioskiem jaki Eaton otrzymała z dowodu tego twierdzenia (i motywacją do pracy nad nim) jest słabsza wersja hipotezy Bolobása-Eldridge’a..

(23) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 19. Wniosek 2.4 Niech G1 , G2 będą grafami rzędu n o maksymalnych stopniach odpowiednio ∆1 , ∆2 . Jeżeli (∆1 + 1)(∆2 + 1) ¬ n + 1, to G1 i G2 mają D1 -niemal pakowanie z co najwyżej. n 2. + 1 − ∆1 − ∆2 konfliktami.. Otwartym pozostaje wciąż pytanie o warunek na sumę rozmiarów grafów, zapewniający Dk -niemal pakowanie dla dowolnego k. Z twierdzenia 2.1 z poprzedniego rozdziału otrzymujemy w szczególności oczywisty wniosek, że m(n, Dk ) . q. 2(k + 1)n(n − 1). (2.3). Prosty przykład daje nam ograniczenie górne, pokażemy też ogólne ograniczenie dolne: Twierdzenie 2.5 ([18]) &. '. k+2 (k + 3)n n + 1 ¬ m(n, Dk ) ¬ − 1. 2 2. (2.4). Dowód. Dla dowodu ograniczenia dolnego załóżmy, że G1 i G2 są grafami rzędu n, takimi, że |E(G1 )| + |E(G2 )| ¬. k+2 n, 2. dla których nie istnieje Dk niemal pakowanie.. Niech n będzie, przy tych warunkach, najmniejsze możliwe. Przypuśćmy, że któryś z grafów, np. G1 , zawiera wierzchołek izolowany v. Oczywiście w grafie G2 istnieje wierzchołek stopnia co najmniej k + 1 (gdyby nie istniał, to ∆(G2 ) ¬ k i dowolna bijekcja pomiędzy zbiorami wierzchołków grafów G1 i G2 byłaby Dk niemal pakowaniem tych grafów). Niech x będzie takim wierzchołkiem. Rozważmy grafy G01 = G1 − u, G02 = G2 − x. Zauważmy wtedy, że |E(G01 )| + |E(G02 )| ¬. (k + 2)(n − 1) . 2. Z wyboru n istnieje Dk niemal pakowanie f 0 grafów G01 i G02 , które możemy rozszerzyć na Dk niemal pakowanie G1 i G2 , kładąc f 0 (v) = x. Możemy więc założyć, że w obu grafach nie ma wierzchołka izolowanego. Niech Vi będzie zbiorem wierzchołków stopnia i w obu grafach, natomiast α oznacza ilość.

(24) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 20. wierzchołków stopnia co najwyżej k (w obu grafach). Wtedy z lematu o uściskach dłoni: α + (k + 1)(2n − α) ¬ |V1 | + 2|V2 | + . . . k|Vk | + (k + 1)(2n − α) ¬ (k + 2)n. Stąd otrzymujemy, że α n. Niech zatem K będzie n-elementowym zbiorem wierzchołków stopnia co najwyżej k w obu grafach. Niech K1 = V (G1 ) ∩ K, K2 = V (G2 ) ∩ K. Wtedy dowolna bijekcja f spełniająca warunek f (K1 ) = V (G2 ) \ K2 , f (V (G1 ) \ K1 ) = K2 jest Dk niemal pakowaniem G1 i G2 . Aby pokazać ograniczenie górne, wystarczy podać przykład dwóch grafów o sumie rozmiarów równej temu ograniczeniu, które nie mają Dk niemal pakowania. Niech G1 będzie gwiazdą K1,n−1 , natomiast G2 będzie grafem (k + 1)-regularnym rzędu n (jeżeli k + 1 lub n jest parzyste), lub mającym n − 1 wierzchołków stopnia k + 1 i jeden stopnia k + 2. Dla dowolnej bijekcji f : V (G1 ) → V (G2 ) wierzchołek v centralny w gwieździe musi przejść na wierzchołek stopnia co najmniej k+1. Ponieważ v jest połączony ze wszystkimi pozostałymi wierzchołkami w G1 , to dF (f (v)) k +1, a zatem nie istnieje Dk -niemal pakowanie G1 i G2 . f (v) v. ··· k+1. Rysunek 2.2: Przykład z twierdzenia 2.5. Natychmiastowym wnioskiem z ograniczeń (2.3) i (2.4) jest Wniosek 2.6 m(n, D1 ) = 2n − 1.. 2.

(25) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 21. W dalszej cześci tego rozdziału przydatne będzie następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.7 (Gy¨ ori, Kostochka, McConvey, Yager [12]) Niech C = 418275. Niech G1 , G2 będą grafami rzędu n takimi, że ∆(G1 ) ¬ n − 2 i ∆(G2 ) ¬ n − 2. Jeżeli |E(G1 )| + |E(G2 )| + max{∆(G1 ), ∆(G2 )} ¬ 3n − C, to G1 i G2 pakują się. Korzystając z tego wyniku, udowodniliśmy następujące twierdzenia: Twierdzenie 2.8 ([18]) Niech n 106 . Wtedy 5n m(n, D2 ) = −1 2 . . Dowód. Niech G1 i G2 będą grafami rzędu n spełniającymi 5n |E(G1 )| + |E(G2 )| ¬ − 2. 2 . . Z twierdzenia 2.5 wynika, że wystarczy udowodnić, że tak wybrane grafy G1 i G2 mają D2 -niemal pakowanie. Niech C = 418275, jak w twierdzeniu 2.7. Bez straty ogólności załóżmy, że w G1 istnieje wierzchołek u, taki że dG1 (u) = ∆(G1 ) = max{∆(G1 ), ∆(G2 )}. Niech v będzie wierzchołkiem o stopniu minimalnym w G2 . Gdyby δ(G2 ) 5 to |E(G2 )| . 5n 2. co przeczyłoby założeniu. Stąd dG2 (v) ¬ 4.. Rozważmy grafy G01 = G1 − u oraz G02 = G2 − v. Wtedy |E(G01 )| + |E(G02 )| ¬ |E(G1 )| + |E(G2 )| − ∆(G1 ). Przypadek 1. ∆(G01 ) ¬ n − 5, ∆(G02 ) ¬ n − 5 i δ(G2 ) ¬ 2. Oczywiście max{∆(G01 ), ∆(G02 )} ¬ ∆(G1 ). Stąd |E(G01 )| + |E(G02 )| + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} ¬ |E(G1 )| + |E(G2 )| 5n ¬ −2 2 ¬ 3(n − 1) − C..

(26) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 22. Z założenia ∆(G0i ) ¬ (n − 1) − 2, i = 1, 2. Stąd, z twierdzenia 2.7 istnieje pakowanie f 0 grafów G01 i G02 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = f 0 (x), dla x ∈ V (G01 ) oraz f (u) = v jest D2 -niemal pakowaniem G1 i G2 . Przypadek 2. ∆(G01 ) ¬ n − 5, ∆(G02 ) ¬ n − 5 i δ(G2 ) = 3. Ponieważ δ(G2 ) = 3, to |E(G1 )| ¬ n − 2 co oznacza, że G1 ma przynajmniej dwie składowe, będące drzewami. Stąd istnieje wierzchołek ` ∈ V (G1 ) stopnia co najwyżej 1 taki, który nie jest w tej samej składowej, co u. W szczególności ù 6∈ E(G1 ). Niech w będzie dowolnym sąsiadem v. Rozważmy grafy G001 = G1 − u − ` oraz G002 = G2 − v − w. Wtedy |E(G001 )| + |E(G002 )| + max{∆(G001 ), ∆(G002 )} ¬ |E(G1 )| + |E(G2 )| 5n ¬ −2 2 ¬ 3(n − 2) − C. Z założenia ∆(G00i ) ¬ (n − 2) − 2, i = 1, 2. Stąd, z twierdzenia 2.7 istnieje pakowanie f 00 grafów G001 i G002 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = f 00 (x), dla x ∈ V (G001 ) oraz f (u) = v, f (`) = w jest D2 -niemal pakowaniem G1 i G2 . Przypadek 3. ∆(G01 ) ¬ n − 5, ∆(G02 ) ¬ n − 5 i δ(G2 ) = 4. Ponieważ δ(G2 ) = 4, to G1 ma wiele składowych, będących drzewami. W szczególności istnieją wierzchołki `1 , `2 ∈ V (G1 ) stopnia co najwyżej 1 takie, który nie są w tej samej składowej oraz ì u 6∈ E(G1 ), i = 1, 2. Niech w1 , w2 będą dowolnymi sąsiadami v. 000 Rozważmy grafy G000 1 = G1 − u − `1 − `2 oraz G2 = G2 − v − w1 − w2 . Wtedy 000 000 000 |E(G000 1 )| + |E(G2 )| + max{∆(G1 ), ∆(G2 )} ¬ |E(G1 )| + |E(G2 )| 5n −2 ¬ 2 ¬ 3(n − 3) − C..

(27) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 23. Z założenia ∆(G000 i ) ¬ (n − 3) − 2, i = 1, 2. Stąd, z twierdzenia 2.7 istnieje pako000 000 wanie f 000 grafów G000 1 i G2 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = f (x), dla. x ∈ V (G000 1 ) oraz f (u) = v, f (`1 ) = w1 , f (`2 ) = w2 jest D2 -niemal pakowaniem G1 i G2 .. `1. u. `2. w1. v. w2. Rysunek 2.3: D2 -niemal pakowanie - przypadek 3.. Przypadek 4. ∆(G01 ) n − 4 (przypadek gdy ∆(G02 ) n − 4 jest analogiczny). W taki razie również dG1 (u) n−4, czyli |E(G2 )| < n, co pociąga za sobą dG2 (v) ¬ 1. Mamy także |E(G01 )| + |E(G02 )| < 2(n − 1) − 1. Z wniosku 2.6 istnieje D1 -niemal pakowanie g grafów G01 i G02 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = g(x), dla x ∈ V (G01 ) oraz f (u) = v jest D2 -niemal pakowaniem 2. G1 i G2 . Twierdzenie 2.9 ([18]) Niech n 140000 i C 0 = C + 9 = 418284. Wtedy m(n, D3 ) 3n − C 0 . Dowód. Niech G1 i G2 będą grafami rzędu n spełniającymi |E(G1 )| + |E(G2 )| < 3n − C 0 .. Do dowodu twierdzenia wystarczy pokazać, że G1 i G2 mają D3 -niemal pakowanie. Bez straty ogólności załóżmy, że w G1 istnieje wierzchołek u, taki że dG1 (u) =.

(28) 2.2 Dk -niemal pakowanie. 24. ∆(G1 ) = max{∆(G1 ), ∆(G2 )}. Niech v będzie wierzchołkiem o stopniu minimalnym w G2 . Gdyby δ(G2 ) 6 to |E(G2 )| 3n, co przeczyłoby założeniu. Stąd dG2 (v) ¬ 5. Rozważmy grafy G01 = G1 − u oraz G02 = G2 − v. Wtedy |E(G01 )| + |E(G02 )| ¬ |E(G1 )| + |E(G2 )| − ∆(G1 ). Przypadek 1. ∆(G01 ) ¬ n − 5, ∆(G02 ) ¬ n − 5 i δ(G2 ) ¬ 3. Oczywiście max{∆(G01 ), ∆(G02 )} ¬ ∆(G1 ). Stąd |E(G01 )| + |E(G02 )| + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} ¬ |E(G1 )| + |E(G2 ) ¬ 3(n − 1) − C. Z założenia ∆(G0i ) ¬ (n − 1) − 2, i = 1, 2. Stąd, z twierdzenia 2.7 istnieje pakowanie f 0 grafów G01 i G02 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = f 0 (x), dla x ∈ V (G01 ) oraz f (u) = f (v) jest D3 -niemal pakowaniem G1 i G2 . Przypadek 2. ∆(G01 ) ¬ n − 5, ∆(G02 ) ¬ n − 5 i δ(G2 ) 4. Ponieważ δ(G2 ) 4, to |E(G1 )| ¬ n − C 0 , więc G1 ma wiele składowych, będących drzewami. W szczególności istnieją wierzchołki `1 , `2 ∈ V (G1 ) stopnia co najwyżej 1, takie, które nie są w tej samej składowej oraz ì u 6=∈ E(G1 ), i = 1, 2. Niech w1 , w2 będą dowolnymi sąsiadami v. Rozważmy grafy G001 = G1 − u − `1 − `2 oraz G002 = G2 − v − w1 − w2 . Wtedy |E(G001 )| + |E(G002 )| + max{∆(G001 ), ∆(G002 )} ¬ |E(G1 )| + |E(G2 ) ¬ 3(n − 3) − C. Z założenia ∆(G00i ) ¬ (n − 3) − 2, i = 1, 2. Stąd, z twierdzenia 2.7 istnieje pakowanie f 00 grafów G001 i G002 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = f 00 (x), dla x ∈ V (G001 ) oraz f (u) = f (v), f (`1 ) = f (w1 ), f (`2 ) = f (w2 ) jest D3 -niemal pakowaniem G1 i G2 (ponieważ δ(G2 ) ¬ 5)..

(29) 2.3 Hk -niemal pakowanie. 25. Przypadek 3. ∆(G01 ) n − 4 (przypadek gdy ∆(G02 ) n − 4 jest analogiczny). W takim razie również dG1 (u) n − 4, czyli |E(G2 )| < n co pociąga za sobą dG2 (v) ¬ 1. Mamy także |E(G01 )| + |E(G02 )| < 2(n − 1) − 1. Z wniosku 2.6 istnieje D1 -niemal pakowanie g grafów G01 i G02 . Wtedy bijekcja f określona wzorem f (x) = g(x), dla x ∈ V (G01 ) oraz f (u) = v jest D3 -niemal pakowaniem 2. G1 i G2 .. Metoda dowodowa, przedstawiona w powyższych twierdzeniach, pozwala na uzyskanie dokładnego wyniku dla m(n, D2 ) i prawie dokładnego dla m(n, D3 ), jednak zawodzi w przypadku Dk dla k > 3.. 2.3. Hk -niemal pakowanie. W tym rozdziale zajmiemy się problemem pakowania grafów w taki sposób, aby graf konfliktów miał odpowiednią liczbę chromatyczną. W tym celu będziemy korzystać z twierdzeń mówiących o wierzchołkowej stabilności grafu ze względu na liczbę chromatyczną. Dla przejrzystości pracy, w tym rozdziale podamy tylko te twierdzenia, z których będziemy korzystać, część zawierająca dowody tych twierdzeń znajduje się w ostatnim rozdziale niniejszej pracy. Definicja 2.2 Niech F będzie dowolną rodziną grafów. Graf G nazywamy (F, k) wierzchołkowo stabilnym, jeżeli G−S zawiera podgraf izomorficzny z pewnym H ∈ F, dla dowolnego zbioru S ⊂ V (G), takiego, że |S| = k. Minimalnym grafem (F, k) wierzchołkowo stabilnym nazywamy graf spełniający powyższą definicję o minimalnym rozmiarze. Rozmiar ten oznaczamy przez stab(F, k). Jeżeli rodzina F składa się z jednego grafu H, to będziemy pisać (H, k) zamiast ({H}, k). Koncepcja grafów wierzchołkowo stabilnych (in. odpornych na błędy) narodziła się w związku z możliwym wykorzystaniem w projektowaniu sieci komputerowych..

(30) 2.3 Hk -niemal pakowanie. 26. Jeżeli procesory i połączenia między nimi modelować za pomocą odpowiednio wierzchołków i krawędzi grafu, to wierzchołkowa stabilność G zapewnia, że błędy w działaniu co najwyżej k procesorów, nie spowodują np. przerwania łączności (gdyby za F przyjąć rodzinę grafów spójnych). W pracy [15] autor prezentuje wyniki dotyczące (Cn , k) i (Pn , k) stabilności grafów, natomiast autor [29] podaje wynik dotyczący grafów stabilnych ze względu na kliki, udowadniając m.in.: Twierdzenie 2.10 ([29]) Niech q 2, k 0 będą liczbami naturalnymi. Wtedy stab(Kk ; t) (2k − 3)(t + 1), gdzie równość zachodzi dla t (k − 3)(k − 2) − 1. Używając jednak podobnych technik można udowodnić ogólniejsze twierdzenie dotyczace grafów wierzchołkowo stabilnych ze względu na liczbę chromatyczną. Twierdzenie 2.11 Niech Hq będzie dowolnym grafem o liczbie chromatycznej równej q 2. Wtedy stab(Hk , t) (2k − 3)(t + 1).. (2.5). W dowodzie poniższego twierdzenia będziemy używać znanego faktu, udowodnionego przez Pála Turána w 1944 roku. Twierdzenie 2.12 W dowolnym grafie rzędu n i o średnim stopniu dG zachodzi: α(G) . n . dG + 1. Twierdzenie 2.13 Niech k 3 a n0 (k) będzie dostatecznie duże. Jeżeli n n0 (k), to 3 m(n, Hk ) k − 2 . 1/3. n4/3 .. Dowód. Niech G1 i G2 będą dowolnymi grafami rzędu n spełniającymi 3 |E(G1 )| + |E(G2 )| < k − 2 . 1/3. n4/3 ..

(31) 2.3 Hk -niemal pakowanie. 27. Pokażemy, że G1 i G2 mają Hk -niemal pakowanie. Niech t + 1 = |E(G1 )| + |E(G2 )| <. l. n2/3 2(4k−6)1/3. m. . Wtedy. q. 2(2k − 3)(t + 1)(n − 1)n.. Z twierdzenia 2.1 wynika, że istnieje E(2k−3)(t+1)−1 -niemal pakowanie f grafów G1 i G2 . Niech H = f (G1 ) ⊕ G2 i F = f (G1 )

(32) G2 . Stąd |E(F )| ¬ (2k − 3)(t + 1) − 1. Z twierdzenia 5.3 wynika więc, że istnieje zbiór S ⊂ V (F ), |S| = t, taki że F − S nie zawiera podgrafu o liczbie chromatycznej równej k. Zauważmy, że po usunięciu pewnej ilości wierzchołków z grafu, jego liczba chromatyczna nie może się zwiększyć. Otrzymujemy więc, że χ(F − S) ¬ k − 1. Niech VF będzie zbiorem wszystkich wierzchołków, które mają stopień przynajmniej 1 w F (tzn. VF jest zbiorem wierzchołków incydentych z jakimś konfliktem). Niech H 0 = H − VF oraz S 0 = VF \ S. Zauważmy, że |V (H 0 )| n − 2|E(F )| > n − (4k − 6)(t + 1), . |E(H 0 )| < k −. 3 2. 1/3. n4/3 .. Niech dG oznacza średni stopień w grafie H 0 . Wtedy (korzystając z założenia o dostatecznie dużym n) 2(k − 23 )1/3 n4/3 2(k − 32 )1/3 n4/3 5 3 dG < ¬ −1= k− n − (4k − 6)(t + 1) 4n/5 2 2 . 1/3. n1/3 − 1.. Z twierdzenia Turána liczba niezależności grafu H 0 spełnia α(H 0 ) . |V (H 0 )| n − (4k − 6)(t + 1) 4n/5 > 5 5 = 3 1/3 1/3 dG + 1 (k − 2 ) n (k − 23 )1/3 n1/3 2 2. n2/3 25 (k − 23 )1/3 8. n2/3 n2/3 = t. 2 · 21/3 (2k − 3)1/3 2 · 22/3 (k − 32 )1/3. Niech I = {v1 , . . . , vt } będzie zbiorem niezależnym w H 0 a S = {u1 , . . . , ut }. Niech h : V (G1 ) → V (G2 ) będzie zdefiniowana następująco: h(u) = f (u) dla u ∈ V (G1 ) \ f −1 (I ∪ S) h(f −1 (vi )) = ui h(f −1 (ui )) = vi. i = 1, . . . , t..

(33) 2.3 Hk -niemal pakowanie. 28. Niech F 0 = h(G1 )

(34) G2 . Twierdzimy, że F 0 nie zawiera podgrafu o liczbie chromatycznej k + 1. Ponieważ I jest zbiorem niezależnym w H 0 i nie ma żadnej krawędzi pomiędzy zbiorami S i I w F (I zawiera wierzchołki izolowane w F ), S ∪ I = h(f −1 (S ∪ I)) jest niezależny w F 0 . Ponieważ zaś wierzchołki z B := V (G2 ) \ (VF ∪ I) są izolowane w F , B jest zbiorem niezależnym w F 0 . Co więcej, nie ma żadnego konfliktu pomiędzy zbiorem B a F 0 − (B ∪ I ∪ S). W takim razie F 0 [S 0 ] = F [S 0 ] = F − S, który ma liczbę chromatyczną nie większą niż k −1, uzupełniony jest dwoma zbiorami niezależnymi, z których jeden (S ∪ I) musi otrzymać inny kolor niż F 0 [S 0 ] a drugi (B) może otrzymać dowolny kolor z F 0 [S 0 ]. Stąd χ(F 0 ) ¬ k i h jest szukanym Hk -niemal pakowaniem. 2 Oczywiście dowolna klilka Kk należy do rodziny grafów k-kolorowalnych, Kk niemal pakowanie jest więc szczególnym przypadkiem Hk -niemal pakowania. Podamy na koniec tej sekcji twierdzenie, które pokazuje, że w przypadku Kk -niemal pakowania (k 3) parametr m jest rzędu n4/3 . Twierdzenie 2.14 ([18]) Niech k 3 i n0 (k) będzie dostatecznie duże. Jeżeli n n0 (k), to k+1 3 m(n, Kk ) ¬ · 2 2 Dowód. Niech. . k+1 s=  2  &. !1/3. !2/3. n4/3 .. . n2/3  , . '. n2/3 t= . (k + 1)2/3 · 21/3. (2.6). Wtedy n/t ¬ (2n)1/3 (k + 1)2/3 . Niech r = n − tbn/tc. Ponieważ r jest resztą z dzielenia n przez t, r < t. Rozważmy grafy G1 = tKbn/tc ∪ K r ,. G2 = Ks ∪ K n−s ..

(35) 2.3 Hk -niemal pakowanie. 29. Wtedy s(s − 1) bn/tc (bn/tc − 1) +t 2 2 !2/3 4/3 n n k+1 + (2n)1/3 (k + 1)2/3 < 2 2 2. |E(G1 )| + |E(G2 )| =. 3 k+1 = · 2 2. !2/3. n4/3 .. Pokażemy, że nie istnieje Kk -niemal pakowanie G1 i G2 . Załóżmy przeciwnie, że f : V (G1 ) → V (G2 ) jest Kk -niemal pakowaniem G1 i G2 . W takim razie f musi odwzorowywać co najmniej bn/tc − k wierzchołków z każdej z klik Kbn/tc z G1 na V (G2 ) \ V (Ks ), więc musi zachodzić n − s t(bn/tc − k).. Kbn/tc. Kbn/tc. Ks. <k Kbn/tc. Kr ··. ·. bn /tc −. Kbn/tc. Kbn/tc. k. K n−s. Rysunek 2.4: Schemat ewentualnego pakowania. Stąd n s + t(bn/tc − k) = s + n − r − tk > n + s − t − tk = n + s − t(k + 1) k+1 n+ 2. !1/3. n2/3 −. n2/3 (k + 1)1/3 = n. 21/3. Otrzymujemy sprzeczność n > n. W takim razie nie istnieje Kk -niemal pakowanie tych grafów.. 2.

(36) Rozdział 3 Pakowanie digrafów Problem pakowania grafów badany był na różne sposoby z wieloma ważnymi rezultatami. Zdecydowanie mniej wiadomo na temat pakowania digrafów. Definicja 3.1 Niech D1 , D2 będą digrafami, |V (D1 )| ¬ |V (D2 )|. Pakowaniem D1 i D2 nazywamy iniekcję f : V (D1 ) → V (D2 ) taką, że dla dowolnych u, v ∈ V (G) (u, v) ∈ A(D1 ) ⇒ (f (u), f (v)) 6∈ A(D2 ). Jednym z wyników dotyczących pakowania digrafów jest następujące twierdzenie udowodnione przez Benhocine’a, Veldmana i Wojdę w [4]. Twierdzenie 3.1 ([4]) Niech D1 i D2 będą digrafami rzędu n takimi, że |A(D1 )| · |A(D2 )| < n(n − 1). Wtedy D1 , D2 pakują się. Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest następujące Twierdzenie 3.2 ([4]) Niech D1 i D2 będą digrafami rzędu n, takimi, że |A(D1 )| + |A(D2 )| ¬ 2n − 2. Wtedy D1 i D2 pakują się. Istotnie, zauważmy, że iloczyn dwóch dodatnich liczb o ograniczonej sumie jest największy, gdy obie liczby są równe połowie tego ograniczenia. Następujący problem został zaproponowany przez Wojdę w 1985 [26]: dla wszystkich n, k takich, że 1 ¬ k ¬ n(n − 1), określić najmniejszą wartość f (n, k), taką, że.

(37) 31. istnieją digrafy D1 , D2 rzędu n, dla których |A(D1 )| = k i |A(D2 )| = f (n, k), a które się nie pakują. Wiadomo, że ([4]): f (n, 1) = n(n − 1). D1 - składający się z dowolnego łuku, D2 - digraf pełny,. !. f (n, 2) =. n 2. D1 - składający się z dwóch łuków uv i vu, D2 - dowolnie zorientowany graf pełny,. f (n, 3) = n(n − 1) − bn/2c. dla n 7. f (n, n − 1) = n f (n, n) = n − 1 Wojda zaproponował hipotezę Hipoteza 3.1 ([26]) Dla dowolnego m spełniającego 1 ¬ m ¬ n/2, n f (n, n − m) = 2n − . m . . Przypadek m = 1 wynika z twierdzenia 3.1 lub 3.2. Dla takiego m bowiem suma rozmiarów wynosi nie więcej niż 2n−1. Wojda i Woźniak twierdzą w [27], że hipoteza 4.7 jest prawdziwa dla m = 2. Przypadek m = n/2 wynika zaś z twierdzenia 3.1 (iloczyn rozmiarów jest mniejszy niż (2n − 2) ·. n 2. = n(n − 1)).. Następujący przykład z [26] dwóch digrafów, które się nie pakują, pokazuje, że f (n, n − m) ¬ 2n −. j k n m. . Niech D1 będzie digrafem o wierzchołkach v1 , . . . , vn i n − m. + łukach takich, że dD1 (vi ) = d− D1 (vi ) b(n − m)/mc dla i = 1, . . . , m, a dD1 (vj ) = 1. i d− D1 (vj ) = 0 dla j m + 1. Niech D2 będzie digrafem rzędu n i rozmiaru 2n − − mającym wierzchołek w, taki że d+ D2 (w) = n − 1 i dD2 (w) = n −. j k n m. j k n m. + 1.. Aby udowodnić ograniczenie dolne należy pokazać, że dla dowolnych digrafów D1 i D2 rzędu n i takich, że |A(D1 )| ¬ n − m oraz |A(D2 )| ¬ 2n − bn/mc − 1, digrafy D1 ,D2 pakują się. W tym rozdziale udowodnimy następujący rezultat Twierdzenie 3.3 Dla dowolnego m spełniającego m n f (n, n − m) = 2n − . m . . √ 8n + 418275,.

(38) 32. Wynikiem znanym w folklorze matematycznym jest, że G o minimalnym stopniu d zawiera dowolne drzewo T rzędu d + 1. Można to pokazać zachłannie zanurzając kolejne wierzchołki z T w grafie G. Ponieważ co najwyżej d wierzchołków G jest zajętych w każdym momencie, zawsze jest wystarczająco miejsca na zanurzenie kolejnego wierzchołka z T . Co więcej wybór wierzchołków początkowych (zarówno z T jak i z G) jest zupełnie dowolny. Ponieważ G zawiera T wtedy i tylko wtedy, gdy ¯ grafu G oraz T pakują się, mamy następujący dopełnienie G Lemat 3.4 (folklor) Niech G będzie grafem o maksymalnym stopniu n − 1 − d, a T będzie drzewem rzędu d + 1. Niech u ∈ V (G) i v ∈ V (T ). Wtedy istnieje pakowanie f : V (T ) → V (G) grafów T i G takie, że f (v) = u. Zastępując drzewo w lemacie przez las o k składowych, otrzymamy pakowanie, w którym dowolne k wierzchołków z różnych składowych może być na początku spakowane z dowolnymi k wierzchołkami z G. Lemat 3.5 Niech G będzie grafem o maksymalnym stopniu n−1−d, a F będzie lasem o k składowych i d + 1 wierzchołkach. Niech u1 , . . . , uk ∈ V (G) i v1 , . . . , vk ∈ V (F ) takie, że vi , i = 1, . . . , k, należą do różnych składowych F . Wtedy istnieje pakowanie f : V (F ) → V (G) grafów F i G takie, że f (vi ) = ui , i = 1, . . . , k. Korzystając z tych lematów możemy teraz udowodnić twierdzenie 3.3. √ Dowód. (twierdzenia 3.3) Niech C = 418275 i m 8n + C. Wtedy następujące nierówności są spełnione: 9n n − C + 3, m m−1 3n m+1 + 1. m−1. m+. (3.1) (3.2). Pokażemy, że jeżeli D1 , D2 są dowolnymi digrafami rzędu n takimi, że |A(D1 )| ¬ n − m i |A(D2 )| ¬ 2n −. j k n m. − 1 to istnieje pakowanie D1 i D2 . Niech G1 = G(D1 ). i G2 = G(D2 ) będą grafami pierwotnymi odpowiednio dla D1 i D2 . Oczywiście |E(Gi )| ¬ |A(Di )| dGi (v) ¬ dDi (v), dla i = 1, 2 dla każdego v ∈ V (Di ). Co więcej.

(39) 33. Uwaga 3.6 Jeżeli G1 i G2 pakują się, to D1 i D2 także się pakują. Jest tak, ponieważ jakkolwiek nie ustalilibyśmy orientacji krawędzi G1 i G2 to po spakowaniu tych grafów żadne dwie krawędzie nie pokrywają się w Kn , więc tym bardziej nie pokryją się łuki D1 i D2 . Twierdzenie przeciwne nie jest jednak w ogólności prawdziwe. Mówimy, że T jest składową drzewiastą (lub po prostu drzewem) w D1 , jeżeli T jest składową G1 , T jest drzewem w G1 i T nie ma symetrycznych łuków w D1 . Ponieważ |A(D1 )| ¬ n − m, D1 ma co najmniej m składowych drzewiastych. Niech w1 ∈ V (D1 ) takie, że dG1 (w1 ) = ∆(G1 ), a w2 ∈ V (D2 ) takie, że dG2 (w2 ) = ∆(G2 ). Rozważamy dwa przypadki.. P rzypadek 1. dG1 (w1 ) = ∆(G1 ) > ∆(G2 ). Niech T1 , . . . , Tm−1 , takie, że |V (T1 )| ¬ |V (T2 )| ¬ · · · ¬ |V (Tm−1 )|, będą drzewami w D1 oraz w1 6∈ V (Ti ), i = 1, . . . , m − 1. Oczywiście, dla k = 1, . . . , m − 1 k X. |V (Ti )| ¬. i=1. kn . m−1. (3.3). Ponieważ |E(G2 )| < 2n, δ(G2 ) ¬ 3. Niech v2 ∈ V (G2 ) taki, że dG2 (v2 ) = δ(G2 ). Rozważmy graf G02 = G2 − v2 . Wtedy |V (G02 )| = n − 1.. (3.4). Niech δ(G2 ). F =. [. Ti .. i=1. Ponieważ ∆(G2 ) ¬ dG1 (w1 ) ¬ n−m−1, korzystając z (3.2), (3.3) i (3.4) otrzymujemy, że ∆(G02 ) ¬ n − m − 1 ¬ n − 3. n − 1 ¬ |V (G02 )| − |V (F )|. m−1.

(40) 34. Stąd i z lematu 3.5 istnieje pakowanie fF grafów F i G02 takie, że NG2 (v2 ) ⊆ fF (V (F )). Niech G01 = G1 − (V (F ) ∪ {w1 }) i G02 = G2 − (fF (V (F )) ∪ {v2 }). Zauważmy, że |E(G01 )| + |E(G02 )| + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} n ¬ n − m − dG1 (w1 ) + 2n − − 1 + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} m n ¬ 3n − m − −1 m 9n ¬ 3n − −C −3 m−1 ¬ 3(n − |V (F )| − 1) − C, co wynika z (3.1) oraz (3.3). Ponieważ ∆(G01 ), ∆(G02 ) ¬ dG1 (w1 ) ¬ n − m − 1 ¬ (n − 1 −. 3n ) − 3 ¬ |V (G01 )| − 2, m−1. to G01 i G02 pakują się z twierdzenia 2.7. Niech f 0 : V (G01 ) → V (G02 ) będzie pakowaniem G01 i G02 . Wtedy f takie, że f (w1 ) = v2 , f (u) = fF (u) dla każdego u ∈ V (F ) i f (u) = f 0 (u) dla każdego u ∈ V (G01 ) jest pakowaniem G1 i G2 . Stąd z uwagi 3.6, f jest pakowaniem D1 i D2 .. P rzypadek 2. dG1 (w1 ) < max{∆(G1 ), ∆(G2 )}. Niech T będzie składową drzewiastą o najmniejszym rzędzie w D1 . Oczywiście |V (T )| ¬. . n . m . (3.5). + Uwaga 3.7 Jeżeli d− D2 (w2 ) = 0, lub dD2 (w2 ) = 0, to D1 i D2 pakują się.. Dowód uwagi 3.7. Bez straty ogólności możemy założyć, że d+ D2 (w2 ) = 0. Ponieważ |A(T )| = |V (T )| − 1, T posiada zarówno źródło (wierzchołek, do którego nie wchodzą żadne łuki) jak i ujście (wierzchołek, z którego nie wychodzą żadne łuki). Niech s1 będzie źródłem w T . Rozważmy D10 = D1 − s1 i D20 = D2 − w2 oraz niech G01 i G02.

(41) 35. będą ich grafami pierwotnymi. Zauważmy, że |E(G01 )| + |E(G02 )| + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} n ¬ n − m + 2n − − 1 − dG2 (w2 ) + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} m n ¬ 3n − m − −1 m ¬ 3(n − 1) − C. Jeżeli ∆(G02 ) ¬ n − 3 to G01 i G02 pakują się z twierdzenia 2.7, więc z uwagi 3.6, D10 i D20 również się pakują. W takim razie załóżmy, że dG2 (w2 ) n − 2 a stąd |A(D10 )|. +. |A(D20 )|. n ¬ n − m + 2n − − 1 − (n − 2) m n ¬ 2n − m − + 1 ¬ 2(n − 1) − 2. m . . D10 i D20 pakują się więc z twierdzenia3.2. Niech f 0 : V (D10 ) → V (D20 ) będzie pakowaniem D10 i D20 . Wtedy f takie, że f (s1 ) = w2 i f (u) = f 0 (u) dla każdego u ∈ V (D10 ) jest pakowaniem D1 i D2 , co kończy dowód uwagi 3.7. Uwaga 3.8 Istnieje pakowanie fT digrafów T i D2 takie, że w2 ∈ fT (V (T )). Dowód uwagi 3.8. Niech l1 będzie liściem T . Bez straty ogólności możemy założyć, że l1 jest ujściem w T . Niech v1 będzie sąsiadem l1 . Z uwagi 3.7 możemy założyć, że d+ D2 (w2 ) 1.. (3.6). − Załóżmy teraz, że d− D2 (w2 ) ¬ n−2. W takim razie istnieje x2 ∈ V (G2 )\(ND2 (w2 )∪. {w2 }). Niech T 0 = T − l1 i G0 = G2 − w2 . Jeżeli dla każdego u2 ∈ V (G0 ) spełnione jest dG0 (u2 ) ¬ n − bn/mc, to dG0 (u2 ) ¬ n − 2 −. . n − 2 ¬ |V (G0 )| − 1 − |E(T 0 )|, m . . i wtedy z lematu 3.4, istnieje pakowanie f 0 of T 0 i G0 takie, że f 0 (v1 ) = x2 . Z wyboru x2 , fT takie, że f (l1 ) = w2 i f (u) = f 0 (u) dla u ∈ T 0 , jest pakowaniem T and D2 ..

(42) 36. W takim razie załóżmy, że dG0 (u2 ) n −. j k n m. + 1 dla pewnego u2 ∈ V (G0 ).. Ponieważ − d+ D2 (w2 ) + dD2 (w2 ) + dG0 (u2 ) ¬ |A(D2 )| ¬ 2n −. . n − 1, m . z (3.6) otrzymujemy, że d− D2 (w2 ) ¬ n − 3. W takim razie istnieje y2 ∈ V (G2 ) \ (ND−2 (w2 ) ∪ {u2 , w2 }). Niech G00 = G2 − {u2 , w2 }. Ponieważ każdy v2 ∈ V (G00 ) spełnia dG00 (v2 ) + 2(n −. . n + 1) − 1 ¬ dG00 (v2 ) + dG2 (u2 ) + dG2 (w2 ) − 1 m n ¬ |E(G2 )| ¬ 2n − − 1, m . mamy n − 2 ¬ |V (G00 )| − 1 − |E(T 0 )|, (v2 ) ¬ m . d. G00. . dla każdego v2 ∈ V (G00 ). Stąd z lematu 3.4, istnieje pakowanie f 00 grafów T 0 i G00 takie, że f 00 (v1 ) = y2 . Ponownie fT takie, że fT (l1 ) = w2 i fT (u) = f 00 (u) dla każdego u ∈ T 0 jest pakowaniem T i D2 . Załóżmy więc, że d− D2 (w2 ) = n − 1. Wtedy 1¬. d+ D2 (w2 ). dG2 (u2 ) ¬ n −. . n m. n ¬n− m. . . . i. dla każdego u2 6= w2 .. (3.7) (3.8). Niech s1 będzie źródłem w T i niech G0 będzie grafem powstałym z G2 przez usunięcie krawędzi między w2 i V (G2 ) \ ND+2 (w2 ). Z (3.7) i (3.8), n ∆(G ) ¬ n − ¬ n − 1 − |E(T )|. m 0. . . W takim razie z lematu 3.4, istnieje pakowanie fT grafów G0 i T takie, że fT (s1 ) = w2 . Z wyboru s1 , fT jest także pakowaniem T i D2 , co kończy dowód uwagi 3.8..

(43) 37. Z uwagi 3.8 wynika, że istnieje fT , pakowanie T i D2 , takie, że w2 ∈ fT (V (T )). Niech D10 = D1 − V (T ) i D20 = D2 − fT (V (T )) oraz G01 i G02 niech będą ich grafami pierwotnymi. Zauważmy, że |E(G01 )| + |E(G02 )| + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} n ¬ n − m − |V (T )| + 1 + 2n − − 1 − dG2 (w2 ) + max{∆(G01 ), ∆(G02 )} m n ¬ 3n − m − |V (T )| − < 3(n − |V (T )|) − C. m Stąd jeżeli dG2 (w2 ) ¬ n −. j k n m. − 2, to G01 i G02 pakują się z twierdzenia 2.7, więc. z uwagi 3.6, D10 i D20 również się pakują. W przeciwnym przypadku dG2 (w2 ) n − j k n m. + 1, skąd |A(D10 )|. +. |A(D20 )|. n − 1 − dG2 (w2 ) ¬ n − m − |V (T )| + 1 + 2n − m n n ¬ 3n − m − |V (T )| − − (n − + 1) m m . . < 2(n − |V (T )|) − 2. W takim razie z twierdzenia 3.2, D10 i D20 pakują się. Niech f 0 będzie pakowaniem D10 i D20 . Wtedy f takie, że f (u) = f 0 (u) dla u ∈ V (D10 ) i f (u) = fT (u) dla u ∈ V (T ) jest pakowaniem D1 i D2 .. 2.

(44) Rozdział 4 Pakowanie hipergrafów jednolitych W ostatnim rozdziale pracy prezentujemy wyniki dotyczące pakowania hipergrafów. Definicja 4.1 Pakowaniem dwóch hipergrafów H1 , H2 , |V (H1 )| ¬ |V (H2 )|, nazywamy iniekcję f : V (H1 ) → V (H2 ) taką, że dla dowolnej krawędzi e ∈ E(H1 ) jej obraz (będący zbiorem obrazów wierzchołków tworzących tę krawędź) nie jest krawędzią w H2 . Jest to więc uogólnienie pakowania grafów na przypadek hipergrafów. Niech m(n, k) będzie najmniejszą możliwą sumą rozmiarów dwóch k-jednolitych hipergrafów H1 , H2 rzędu n, które się nie pakują. Twierdzenie Sauera i Spencera (1.1) implikuje więc: . m(n, 2) =. 3 n − 1. 2 . Pakowaniem hipergrafów zajmował się m.in. Alon w 1994 [2]. Ograniczenia na iloczyn maksymalnych stopni hipergrafów uogólniali Rödl, Ruciński i Taraz w 1999 [23]. Niedawno uogólnienie twierdzenia Bollobása i Eldridge’a (1.2) zostało udowodnione przez Kostochkę, Stockera i Hamburgera w [14]. Wykazali oni Twierdzenie 4.1 ([14]) Niech H1 i H2 będą dwoma hipergrafami rzędu n > 9 nie posiadającymi krawędzi rozmiaru 0,1,n − 1, n. Jeżeli |E(H1 )| + |E(H2 )| ¬ 2n − 3, to H1 i H2 pakują się, lub.

(45) 39. (i) jeden z hipergrafów H1 , H2 zawiera gwiazdę złożoną z krawędzi rozmiaru 2, a każdy wierzchołek drugiego hipergrafu należy do jakiejś krawędzi rozmiaru 2, lub (ii) jeden z hipergrafów H1 , H2 ma n − 1 krawędzi rozmiaru n − 2 nie zawierających danego wierzchołka i dla dowolnego wierzchołka x z drugiego hipergrafu istnieje krawędź rozmiaru n − 2 nie zawierająca x. Jeżeli dopuścimy w hipergrafie istnienie krawędzi rozmiaru 1, lub n − 1 to dowolne dwa hipergrafy mające łącznie n + 1 krawędzi rozmiaru 1 nie pakują się. Naroski udowodnił, że są to grafy ekstremalne: Twierdzenie 4.2 ([20]) Niech H1 , H2 będą hipergrafami rzędu n nie posiadającymi krawędzi rozmiaru 0 ani n. Jeżeli |E(H1 )| + |E(H2 )| ¬ n, to H1 , H2 pakują się. Innym kierunkiem badań były zanurzenia hipergrafu H, tj. pakowanie dwóch kopii H. W 2011 Pilśniak i Woźniak udowodnili Twierdzenie 4.3 ([22]) Niech H będzie hipergrafem rzędu n bez krawędzi rozmiaru 0,1,n − 1, n. Jeżeli |E(H)| ¬ n − 2, to dwie kopie H pakują się. Na koniec tej sekcji udowodnimy zaś uogólnienie twierdzenia 1.4. Ten kierunek był badany m.in. przez by Rödla, Rucińskiego i Taraza w [23]. Jednym z ich rezultatów jest Twierdzenie 4.4 ([23]) Niech H1 i H2 będą k-jednolitymi hipergrafami rzędu n takimi, że: ∆(H1 )∆(k−1) (H2 ) + ∆(H2 )∆(k−1) (H1 ) < n − k + 2. Wtedy istnieje pakowanie H1 i H2 . W tym rozdziale udowodnimy kilka uogólnień podstawowych twierdzeń dotyczących pakowania grafów na przypadek pakowania hipergrafów k-jednolitych. Twierdzenie 4.5 Niech H1 , H2 będą k-jednolitymi hipergrafami rzędu n takimi, że !. n |E(H1 )| · |E(H2 )| < . k Wtedy H1 i H2 pakują się..

(46) 40. Dowód. Rozważmy przestrzeń probabilistyczną, złożoną z wszystkich n! bijekcji f : V (H1 ) → V (H2 ). Dla dowolnych dwóch krawędzi e1 ∈ E(H1 ), e2 ∈ E(H2 ) niech Xe1 e2 oznacza indykatorową zmienną losową, przyjmującą wartość 1 gdy f (e1 ) = e2 , a w przeciwnym przypadku 0. Wtedy E(Xe1 e2 ) = P r[Xe1 e2 Niech X =. P. e1 ∈E(G1 ),e2 ∈E(G2 ). k!(n − k)! n = = 1] = n! k. !−1. .. Xe1 e2 . Zauważmy, że tak określona zmienna losowa X. mierzy ilość konfliktów dla danej bijekcji. Stąd i z subaddytywności wartości oczekiwanej dostajemy, że n E(Xe1 e2 ) = |E(G1 )| · |E(G2 )| E(X) ¬ k e1 ∈E(G1 ),e2 ∈E(G2 ) X. !−1. < 1.. Ponieważ wartość oczekiwana X jest mniejsza od 1 a X przyjmuje tylko wartości całkowite to istnieje bijekcja f , dla której ilość konfliktów jest równa 0, tzn. f jest 2. pakowaniem H1 i H2 . Natychmiastowym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest Wniosek 4.6 Niech H1 , H2 będą hipergrafami k-jednolitymi rzędu n takimi, że |E(H1 )| + |E(H2 )| <. v u u 2t. !. n . k. Wtedy H1 i H2 pakują się. Oznacza to także, że m(n, k) = Ω(nk/2 ). Definicja 4.2 Niech X będzie zbiorem o n elementach. Wtedy t−(n, k, λt )-konfiguracją na X nazywamy rozdzinę T k-elementowych podzbiorów X taką, że każde t elementów X zawarte jest w dokładnie λt zbiorach z T . Zauważmy, że t − (n, k, λt )-konfiguracja w istocie jest równoważna z pewnym, (t, λt )regularnym hipergrafem k-jednolitym o zbiorze wierzchołków X i zbiorze krawędzi T . Można także pokazać, że jeżeli istnieje t − (n, k, λt )-konfiguracja, to istnieje także s−(n, k, λs )-konfiguracja dla dowolnego naturalnego s < t i odpowiednich λs . Stąd i z.

(47) 41. własności t-konfiguracji, wynika, że warunkiem koniecznym na istnienie t − (n, k, λt )konfiguracji są warunki podzielności ∀0¬s¬t (k − s)(k − s − 1) · . . . · (k − t + 1)|λt (n − s)(n − s − 1) · . . . · (n − t + 1). (4.1) Łatwo zauważyć, że warunkami koniecznymi istnienia 2-(n, 3, 1) konfiguracji (zwanej Systemem Trójek Steinera) jest aby n przystawało do 1 lub 3 modulo 6. W 1846 Kirkman pokazał, że ten warunek jest również wystarczający po czym, w 1853, Steiner zaproponował zbadanie, czy dla dowolnych konfiguracji warunki 4.1 są również wystarczające? Od tego czasu przybywało kolejnych prób dowodu tej tzw. hipotezy istnienia, jednak dopiero niedawno Keevash [17] dał pełny, ogólny dowód. W oparciu o ten wynik podamy konstrukcję hipergrafów, które się nie pakują, których suma rozmiarów jest tego samego rzędu, co we wniosku 4.6. Twierdzenie 4.7 Niech k = 2α będzie parzyste. Wtedy n. !. n−α α m(n, k) ¬ + 2α . α α. Dowód. Rozważmy dwa hipergrafy na n wierzchołkach: S – składający się z α wierzchołków R takich, że dowolny α-elementowy podzbiór V (S) \ R tworzy krawędź z R, H –. k 2. − (n, k, 1)-konfiguracja.. Z twierdzenia Keevasha hipergraf H istnieje dla wszystkich n i k spełniających odpowiednie warunki podzielności. Zauważmy, że !. n. n−α α |E(S)| + |E(H)| = + 2α , α α. gdyż dowolny z. n α. podzbiorów wierzchołków H zawarty jest w dokładnie jednej. krawędzi, natomiast każda z nich jest liczona. 2α α. razy (tyle jest α-elementowych. podzbiorów w każdej krawędzi). Zauważmy, że dla dowolnej bijekcji f : V (S) → V (H) zbiór R jest odwzorowany na jakiś zbiór α wierzchołków R0 w H, dla którego, zgodnie z definicją H istnieje α.

(48) 42. wierzchołków R00 takich, że R0 ∪ R00 ∈ E(H). Ponieważ dla dowolnego U ⊂ V (S) \ R mamy U ∪ R ∈ E(S), to krawędź R ∪ f −1 (R00 ) przechodzi na krawędź R0 ∪ R00 . Stąd 2. nie istnieje pakowanie S i H.. Twierdzenie to, gdyby udało się udowodnić równość, byłoby wprost uogólnieniem twierdzenia Sauera i Spencera (1.1) na przypadek hipergrafów k-jednolitych (przynajmniej dla parzystych k). Również hipergrafy użyte w powyższej konstrukcji to uogólnienia gwiazdy i skojarzenia doskonałego, będących grafami ekstremalnymi dla twierdzenia Sauera i Spencera. Co więcej można udowodnić, że tak, jak dwie gwiazdy nie pakują się ze sobą, tak również dwie hipergwiazdy (wg. definicji hipergrafu S z powyższego dowodu) nie dadzą się spakować. To motywuje nas do postawienia hipotezy, że możliwe jest analogiczne uogólnienie innego twierdzenia Sauera i Spencera, twierdzenia 1.3 Hipoteza 4.1 Niech k = 2α będzie parzyste, a H1 , H2 będą k-jednolitymi hipergrafami rzędu n. Jeżeli n−α |E(H1 )| < α. !. n−α i |E(H2 )| < α. !. to H1 i H2 pakują się. Zauważmy, że gdyby hipoteza ta okazała się prawdziwa, to implikowałaby, razem z twierdzeniem 4.5, równość w twierdzeniu 4.7. Istotnie, weźmy dwa dowolne hi (αn) . Jeżeli oba hiperpergrafy rzędu n o sumie rozmiarów mniejszej niż n−α + α (2α α) grafy mają rozmiar mniejszy niż n−α to z prawdziwości hipotezy 4.1 pakowałyby α się. Niech więc bez straty ogólności H1 ma rozmiar przynajmniej musi być rozmiaru co najwyżej. n α. 2α α. /. . n−α α. . . Wtedy H2. . Łatwo zauważyć, że w tym wypadku maksy-. malna wartość iloczynu rozmiarów tych hipergrafów (biorąc pod uwagę ograniczenia na sumę rozmiarów) wynosi. . n−α α. . ·. n α. /. 2α α. =. n 2α. =. n k. . W takim razie H1 ,H2. pakowałyby się na mocy twierdzenia 4.5. Przypadek nieparzystego k jest bardziej skomplikowany, gdyż nie możemy już brać pod uwagę podzbiorów zbioru wierzchołków liczebności połowy rozmiaru krawędzi. Twierdzenie 4.8 Dla dowolnych k ∈ N m(n, k) = O(n. k2 −k−1 2k−3. ).

(49) 43. Dowód. Niech t = bn(k−2)/(2k−3) c Rozważmy dwa hipergrafy: H1 – będący sumą rozłączną k-jednolitego hipergrafu pełnego na (k − 2)t + 1 wierzchołkach i n − ((k − 2)t + 1) niezależnych wierzchołków takich, że każdy z nich tworzy krawędź z każdym możliwym (k − 1)-elementowym podzbiorem wierzchołków pierwszej części, H2 – t rozłącznych kopii (k − 1)-(n/t, k, 1) konfiguracji. Twierdzenie Keevasha zapewnia istnienie H2 dla nieskończenie wielu n. Poza tym !. !. (k − 2)t + 1 (k − 2)t + 1 |E(H1 )| + |E(H2 )| = + n − (k − 2)t − 1 k k−1 ! n/t + (k − 2)t k−1 n ¬ c1 tk + c2 ntk−1 − c3 tk + c4 ( )k−1 t t (k2 −k−1)/(2k−3) ¬ cn. . dla pewnych stałych c, c1 , c2 , c3 , c4 zależnych tylko od k. Zauważmy, że dla dowolnej bijekcji f : V (H1 ) → V (H2 ) co najmniej k − 1 wierzchołków {vi1 , . . . , vik−1 } z podhipergrafu pełnego w H1 może być odwzorowane na jedną z konfiguracji w H2 , np. H 0 . W takim razie istnieje wierzchołek x w H 0 , taki że {f (vi1 ), . . . , f (vik−1 ), x} jest krawędzią w H2 . Ponieważ dla dowolnego wierzchołka v ∈ V (H1 ) różnego od vi1 , . . . , vik−1 istnieje krawędź {vi1 , . . . , vik−1 , v}, przypadek, 2. gdy v = f −1 (x) dowodzi, że nie istnieje pakowanie H1 i H2 . Na koniec rozdziału udowodnimy szersze uogólnienie twierdzenia 1.4.. Twierdzenie 4.9 Niech H1 i H2 będą k-jednolitymi hipergrafami na n wierzchołkach. Jeżeli istnieje β takie, że 0 < β < k oraz !. (β). ∆. (k−β). (H1 )∆. (H2 ) + ∆. (k−β). (β). (H1 )∆. !. n k (H2 ) < − +2 β β. (4.2). to istnieje pakowanie H1 i H2 . Dowód. Przypuśćmy nie wprost, że nierówność 4.2 jest spełniona dla pewnego β, ale nie istnieje pakowanie H1 i H2 . Niech f : V (H1 ) → V (H2 ) będzie bijekcją o minimalnej ilości konfliktów C (tzn. takich zbiorów wierzchołków, że C ∈ E(H2 ) oraz f −1 (C) ∈ E(H1 )). Rozważmy dowolny β-elementowy podzbiór zbioru C, powiedzmy.

(50) 44. U 0 = {u01 , . . . , u0β } ⊂ V (H2 ) i jego przeciwobraz f −1 (U 0 ) = U = {u1 , . . . , uβ } ⊂ V (H1 ). Niech V = {v1 , . . . , vβ } ⊂ V (H1 ) oraz V 0 = f (V ) = {v10 . . . , vβ0 }. Zdefiniujmy bijekcję fV poprzez zamianę obrazów U i V tzn. fV (vi ) = f (ui ) = u0i. fV (ui ) = f (vi ) = vi0. fV (x) = f (x), dla x ∈ V (H1 ) \ (U ∪ V ). Pokażemy, że możemy tak wybrać zbiór V aby C nie było konfliktem względem fV oraz aby nie powstał żaden nowy konflikt. Oczywiście V 6⊂ f −1 (C), gdyż w tym wypadku C pozostanie konfliktem. Zamiana nie będzie odpowiednia także, gdy zajdzie jeden z warunków: ∃C1 : U ∪ C1 ∈ E(H1 ) ∧ V 0 ∪ fV (C1 ) ∈ E(H2 ), ∃C20 : U 0 ∪ C20 ∈ E(H2 ) ∧ V ∪ fV−1 (C20 ) ∈ E(H1 ), gdyż wtedy, np. w pierwszym przypadku, fV (U ∪ C1 ) = V 0 ∪ fV (C1 ), tzn. krawędź przejdzie na krawędź tworząc nowy konflikt. W pierwszym przypadku istnieje co najwyżej ∆(β) (H1 ) takich C1 oraz fV (C1 ) może być zawarte w co najwyżej ∆(k−β) (H2 ) krawędziach w H2 . Wyłączając przypadek, gdy V 0 = U 0 , zakazuje to wymiany U z ∆(β) (H1 )∆(k−β) (H2 ) − 1 zbiorami. W drugim przypadku podobnie, istnieje co najwyżej ∆(β) (H2 ) takich C20 oraz f (C20 ) może być zawarte w co najwyżej ∆(k−β) (H1 ) krawędziach w H2 . Wyłączając przypadek, gdy V = U zakazuje to ∆(k−β) (H1 )∆(β) (H2 ) − 1 β-elementowych podzbiorów do zamiany z U . Ponieważ z założenia twierdzenia !. (β). ∆. (k−β). (H1 )∆. (H2 ) − 1 + ∆. (k−β). (β). (H1 )∆. n k (H2 ) − 1 < − β β. !. to istnieje takie V 6⊂ f −1 (C), że bijekcja fV generuje mniejszą liczbę konfliktów niż f , co przeczy założeniu o f .. 2.

(51) Rozdział 5 Wierzchołkowa stabilność grafów Przypomnijmy, że graf G nazywamy (F, k)-wierzchołkowo stabilnym, jeżeli po usunięciu z G dowolnego zbioru k wierzchołków (wraz z krawędziami zawierającymi te wierzchołki), otrzymany graf zawiera podgraf izomorficzny z pewnym grafem z rodziny F. Jeżeli G ma najmniejszy rozmiar spośród wszystkich takich grafów, to nazywamy go minimalnym grafem (F, k)-wierzchołkowo stabilnym, a jego rozmiar oznaczamy przez stab(F, k). W dalszej części rozdziału będziemy używali poniższej definicji: Definicja 5.1 Graf G rzędu n nazywamy k-zdegenerowanym, jeżeli istnieje takie uszeregowanie jego wierzchołków w ciąg (v1 , . . . , vn ), że dowolny wierzchołek vi ma co najwyżej k sąsiadów pośród wierzchołków {v1 , . . . , vi−1 }, (i = 1, . . . , n). Niech Hq będzie rodziną grafów o liczbie chromatycznej równej q. W rozdziale 2.3, do dowodów twierdzeń dotyczących Hq -niemal pakowania, używaliśmy twierdzeń o (Hq , k)-wierzchołkowej stabilności, które w tym rozdziale udowodnimy. Zaczniemy od następującego lematu: Lemat 5.1 Jeżeli G jest minimalnym grafem (Hq , k) wierzchołkowo stabilnym, gdzie q, k ∈ N+ , to |V (G)| −. q−1 k + 1. d(v) + 1 v∈V (G) X.

(52) 46. Dowód. Niech G będzie dowolnym, minimalnym grafem (Hq , k) wierzchołkowo stabilnym rzędu n oraz niech σ = (v1 , . . . , vn ) będzie dowolnym uszeregowaniem wierzchołków grafu G. Przez d− σ (vi ) będziemy oznaczać liczbę sąsiadów wierzchołka vi o indeksie mniejszym niż i. Ponadto niech Sσ = {v : d− σ (v) ¬ q − 2}. Zauważmy, że usuwając z grafu G wierzchołki należące do zbioru V (G) \ Sσ otrzymamy graf (q − 2)-zdegenerowany. To oznacza także, że jest (q − 1)-kolorowalny, gdyż można takie kolorowanie uzyskać przez zachłanne kolorowanie wierzchołków od najmniejszego do największego indeksu w tym uszeregowaniu, za każdym razem mając co najwyżej q − 2 sąsiadów już pokolorowanych. Ponieważ zaś G jest grafem (Hq , k) wierzchołkowo stabilnym, to |V (G)| − |Sσ | k + 1,. (5.1). dla dowolnego uszeregowania σ. Załóżmy teraz, że uszeregowanie σ jest losowym ciągiem wierzchołków (sprośród wszystkich możliwych losujemy jeden ciąg niezależnie, z równym prawdopodobieństwem). Prawdopodobieństwo, że wierzchołek v będzie miał co najwyżej j sąsiadów o mniejszym indeksie niż v w uszeregowaniu σ wynosi . P (d− σ (v) ¬ j) =. . n d(v)+1. (j + 1)(d(v))!(n − d(v) − 1)! n!. =. j+1 . d(v) + 1. Stąd P (v ∈ Sσ ) =. q−1 . d(v) + 1. Zauważmy, że zmienna losowa |Sσ |, dla ustalonego σ jest sumą indykatorowych zmiennych losowych |Sσv |, które przyjmują wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy v ∈ Sσ i 0 w pozostałych przypadkach. Stąd wartość oczekiwana zmiennej |Sσ | wynosi E(|Sσ |) =. X. E(|Sσv |) =. v∈V (G). X. P (v ∈ Sσ ) =. v∈V (G). q−1 . d(v) + 1 v∈V (G) X. Ponieważ jest to dokładna wartość zmiennej losowej, to istnieje takie uszeregowanie σ wierzchołków grafu G, że |Sσ | . P. q−1 v∈V (G) d(v)+1 .. Stąd i z (5.1) istnieje takie σ, dla.