Kolejnym etapem badań dokładności metody KRSR była ocena wpływu jaki mają, definiujące rozkład rzędu przybliżenia w przedziale, parametry Rmin i Rmax. Wiedza ta jest szczególnie istotna, gdyż dla siatki o znanej liczbie węzłów równoodległych pozwoli określić schemat aproksymacji drugiej pochodnej funkcji o najwyższej dokładności. Rozkład rzędu w dziedzinie RDQ jest taki jak opisany w §3.2. Manipulacje wartościami rzędu odbywały się na siatkach o liczbie węzłów niewiększej niż 500. Gęstość siatki o najmniejszej liczbie węzłów dobierana była tak, by możliwe było zastosowanie schematu o zadanej wartości Rmax. Zestawienie wyników dla zbiorów siatek, o gęstości z odpowiednich przedziałów, pozwoliło wyznaczyć średnie geometryczne błędów 2 (4.1). Eksperymenty numeryczne pozwoliły na ustalenie wartości kroku zmiany gęstości siatki N = 5. Dalsze zmniejszanie tego kroku
zmieniało wyniki średniego 2 o mniej niż 7%.
Pierwsze analizy zmierzały do określenia stopnia z jakim wpływa na dokładność wartość rzędu minimalnego. W tym celu wartość rzędu maksymalnego została ustalona
Rmax = 35. Wartość rzędu minimalnego zmieniała się w zakresie Rmin
[
2, 35]
. Wyniki zestawione zostały na wykresie, Rys. 4.7.Rys. 4.7. Zmiana dokładności metody KRSR wraz ze wzrostem rzędu minimalnego w przedziale [2, 35], przy ustalonym rzędzie maksymalnym Rmax = 35.
Można zaobserwować, że wraz ze wzrostem rzędu minimalnego dokładność metody podnosi się. Następnie, powyżej wartości Rmin > 8 dokładność metody pogarsza się. Szybkość z jaką błąd wzrasta, jest niższa niż szybkość wcześniejszego wzrostu dokładności. Jednak już dla rzędu minimalnego większego niż 25 różnica między rozwiązaniem dokładnym, a przybliżonym jest większa niż w przypadku rzędu minimalnego równego 2. Biorąc pod
Strona 61 uwagę czas konieczny do zrealizowania pewnego zadania, jeżeli dokładność algorytmów będzie na podobnym poziomie, wybiera się zawsze metodę wymagającą mniejszego nakładu obliczeń. Spośród schematów o Rmin = 2 i 25 lub większym, wybiera się zatem schemat o Rmin = 2. Dobrym rozwiązaniem wydaje się być zatem wybieranie schematów metody KRSR o Rmin należących do przedziału Rmin
[
4, 12]
. Powyższe obliczenia były przeprowadzone dla schematów o stałym rzędzie maksymalnym. W takiej sytuacji pojawia się pytanie o ewentualny wpływ zmiany rzędu maksymalnego algorytmu.Rys. 4.8. Wpływ zmiany rzędu maksymalnego metody KRSR przy równoczesnych zmianach rzędu minimalnego oraz maksymalna procentowa zmiana wartości błędu dla kolejnych Rmin wywołana zmianą Rmax.
Na wykresie prezentowane są wybrane wartości Rmax = 20, 25, 30, 35.
Na rysunku Rys. 4.8, przedstawiona została zależność uśrednionej wartości błędu metody KRSR od zmiany wartości rzędu minimalnego dla wybranych wartości rzędu maksymalnego Rmax = 20, 25, 30, 35. Dodatkowo wartości wybranych wartości Rmin i Rmax
zostały zebrane w tabeli 1. Na wykresie widać, że zmiana rzędu maksymalnego nie zmienia istotnie wartości błędu popełnianego podczas aproksymacji. Celem zobrazowania ilościowego wpływu zmiany rzędu maksymalnego metody KRSR w dziedzinie na wykresie został umieszczony maksymalny procentowy wpływ zmiany rzędu na zmianę dokładności. Maksymalne wartości tego parametru nie przekraczają 10 % (Tabela 1). Wartości odchylenia dokładności w punktach, gdzie notowany jest najwyższy wpływ procentowy, pozostają na poziomie wielokrotności 10-11. Różnice te są zatem nieznaczne. Dokładna analiza danych zgromadzonych w tabeli 1 sugeruje, że dla prezentowanych wartości Rmin dokładność obliczeń była najwyższa dla Rmax = 20.
Strona 62
Tabela 1. Zestawienie wpływu zmiany wartości rzędu maksymalnego metody KRSR na uśrednioną wartość niedokładności przybliżenia drugich pochodnych wybranych funkcji elementarnych, dla wybranych wartości
rzędu minimalnego. Wartości błędu przybliżenia zgromadzone w tabeli należy pomnożyć przez (10-11
).
Rys. 4.9. Analiza średnich wartości błędu dla Rmax z przedziału [15, 60] wyznaczanych dla kolejnych wartości
Rmin dla grupy siatek o liczbie węzłów z zakresu [100, 500]. Poziome zielone linie ograniczają przedział dokładności, który pomaga identyfikować schematy o wyjątkowo wysokiej dokładności
Następnie wykonano serię symulacji, w których określano średnią wartość wyznacznika błędu 2 dla kolejnych wartości Rmax z przedziału
[
15, 60]
oraz siatek o liczbach węzłów z zakresu[
100, 500]
i uśredniano dla kolejnych ustalonych wartości Rmin. Wyniki obliczeń zostały przestawione na wykresie Rys. 4.9. W obserwowanym zakresie wartościRmax optymalną wartością Rmin jest 7. Wartość błędu dla schematów, w których rząd minimalny określony jest wartościami 6 i 8, jest bardzo podobna. Trochę większy błąd popełniony zostanie schematami o rzędzie minimalnym Rmin = 5, 9, 10, 11. Jednak przybliżenia te możemy traktować, jako bardzo dokładne.
Strona 63 W świetle prezentowanych wyników można stwierdzić, że nie jest możliwym określenie wartości rzędu minimalnego i maksymalnego, optymalnych w sensie minimalizacji błędu średniego popełnianego podczas aproksymacji drugiej pochodnej schematem opartym na metodzie KRSR. Związane jest to z faktem, iż wspomniane wartości rzędów granicznych silnie zależą od liczby węzłów siatki. Możliwe jest jednak określenie przedziałów, w których wartości te powinny się znajdować, oraz podanie kilku sugestii dotyczących doboru wartości
Rmin i Rmax w zależności od liczby węzłów siatki, w węzłach której poszukiwane jest dyskretne rozwiązanie problemu. W praktyce obliczeniowej dążymy także do ograniczenia liczby obliczeń koniecznych do osiągnięcia rozwiązania o wysokiej dokładności. W związku z tym od osoby, która stosuje schemat KRSR wymagana jest zdolność szybkiej reakcji na zmiany warunków symulacji numerycznej. Zdolność ta, pozwoli lepiej wykorzystać możliwości, które daje omawiana w ramach niniejszej rozprawy metoda numeryczna.
Dalsze obliczenia skoncentrowane były na próbie określenia pary wartości rzędów: minimalnego i maksymalnego, dla których schemat metody KRSR osiąga najwyższą dokładność. Dotychczas zgromadzone wyniki obliczeń pokazały, że określenie takich wartości nie jest możliwe globalnie. Wartości Rmin i Rmax przy których przybliżenie drugiej pochodnej szacowane jest z najlepszą dokładnością silnie zależą od liczby węzłów siatki na której budowany jest schemat, tabele 2 oraz 3. Obliczenia wykonane zostały dla różnych siatek z przedziałów określonych w pierwszej kolumnie tabeli. W tabeli 2 analizowano siatki o gęstości węzłów z przedziału N = 25 do N = 550. Zbiory punktów równoodległych z przedziału
[
0, 1]
zostały pogrupowane w zbiory o licznościach będących kolejnymi liczbami naturalnymi. Zmiany liczności zdefiniowane zostały przez parametr N.Wyznaczone dla każdej siatki z wybranego przedziału dokładności przybliżenia drugiej pochodnej funkcji elementarnych były uśrednione przy pomocy średniej geometrycznej. W tabeli 2 zgromadzono wyniki dla zbiorów siatek określonych różnymi wartościami N.
Wraz ze wzrostem liczby węzłów siatki wartości Rmin i Rmax maleją. Obserwowane zmniejszanie się wartości tych rzędów ograniczone jest od dołu przez wartość 5 w przypadku
Strona 64
Tabela 2. Zestawienie optymalnych, w sensie uśrednionej wartości 2, rzędów Rmin i Rmax dla siatek o węzłach równoodległych przy różnych zakresach liczby węzłów. W zestawieniu brano pod uwagę wybrane zbiory węzłów z zakresu od N = 25 do N = 550. Grupy siatek zostały podzielone na podzbiory o liczbach węzłów
będących kolejnymi liczbami naturalnymi. Liczność wybranych podzbiorów określa parametr N.
Ciekawe wnioski nasuwają się podczas analizy danych zebranych w tabeli 3. Obliczenia przeprowadzone były dla siatek o niewielkiej liczbie węzłów. Rzędy optymalne poszukiwane były dla siatek których liczność zmieniała się maksymalnie o N=5 Najwyższe
wartości rzędu minimalnego jak i maksymalnego osiągane są w przypadku siatek o liczbie węzłów z przedziału
[
25, 30]
i wynoszą Rmin = 13, Rmax = 18. Następnie wartości te szybko maleją. Obserwowane tendencje zmian wartości podobne są do tych, zaobserwowanych w przypadku większych podzbiorów liczby węzłów. Analiza przeprowadzona dla tych podzbiorów wykazuje dużą wrażliwość optymalnych wartości rzędu minimalnego i maksymalnego na zmianę liczby węzłów siatki, szczególnie dla siatek o liczbie węzłówN < 50.
Tabela 3. Zestawienie optymalnych, w sensie uśrednionej wartości 2, rzędów Rmin i Rmax dla siatek o węzłach równoodległych przy różnych zakresach liczby węzłów. W tym zestawieniu wzięto pod uwagę siaki o liczbie węzłów z zakresu od N = 25 do N = 75. Różnice pomiędzy licznościami siatek wynosiły nie więcej niż N=5.
Dla siatek o liczbie węzłów większej niż 50 można zasugerować stosowanie schematów o rzędzie minimalnym zawartym w przedziale Rmin
[
5, 9]
i rzędzie maksymalnym z przedziału Rmax [
9, 13]
. Wartości rzędów granicznych powinny stopniowo maleć, pozostając w podanych przedziałach, dla siatek o liczbie węzłów większej niż 300 nieStrona 65 powinno się stosować schematów w których rząd minimalny jest niższy niż 5, Rys. 4.9, a rząd maksymalny jest większy niż 9. Zmiana wartości rzędu maksymalnego znacznie słabiej wpływa na wartości błędów popełniane podczas obliczeń w porównaniu ze zmianami rzędu minimalnego. Wybór możliwie małej wartości Rmax prowadzi do skrócenia czasu obliczeń, i z tego powodu, przede wszystkim, zostało to ograniczenie podane. W przypadku siatek o liczbie węzłów mniejszej niż 50 należy stosować schematy o podwyższonym rzędzie. W tym celu można się posłużyć danymi zgromadzonymi w tabeli 3.
Strona 66