Metoda umiejscowionej kwadratury różniczkowej (UKR) została po raz pierwszy zaprezentowana w 2002 roku przez Zonga i wsp. [68]. Idea tej metody jest zbliżona do idei metody KROZ. Kryterium doboru podzbiorów zbioru węzłów, w których buduje się schemat jest w tym wypadku odległość (porównywane są długości odcinków łączących pary węzłów) od węzła xi, nie liczba węzłów oddzielających [69, 70] jak w przypadku metody KROZ.
Na początku dobiera się liczbę M, określającą wielkości podzbiorów, na których buduje się schemat. Liczba M definiuje również rząd przybliżenia (§1.4.1), który jest taki sam w całej dziedzinie. Następnie, dla każdego xi, określa się podzbiory M najbliżej leżących węzłów, które znajdują się w dziedzinie. W przypadku siatki o węzłach równoodległych metoda ta sprowadza się do metody KROZ.
Niedogodności tej metody są podobne jak w przypadku metody KROZ: stały rząd w całej dziedzinie może spowodować, że pomimo dużej liczby węzłów siatki S, rząd metody jest niski, co pociąga za sobą niską dokładność aproksymacji w centrum dziedziny lub w przypadku siatek o niskiej gęstości (duże odległości pomiędzy sąsiednimi węzłami). Natomiast, dla dużych wartości M, na brzegach rozważanego obszaru mogą pojawiać się błędy charakterystyczne dla metody KR, które będą kumulować się w kolejnych interwałach czasowych. Prócz tego można zaobserwować wpływ nierównomiernego rozmieszczenia węzłów siatki w dziedzinie zadania. Dla siatek lokalnie mocno zagęszczonych może się powtarzać silna jednostronna asymetryczność schematu, podobnie jak w przypadku zbliżania się wartości indeksu i do brzegu.
Strona 36
1.5 Podsumowanie
Metoda kwadratur różniczkowych jest metodą numeryczną wysokiego rzędu służącą do aproksymacji pochodnej. Może ona być stosowana do wyznaczania przybliżeń pochodnych funkcji na podstawie jej wartości w wybranych punktach. Aproksymacja pochodnej może być użyteczna podczas rozwiązywania równań różniczkowych stanowiących model fragmentu otaczającej rzeczywistości. Charakterystyczne dla metody KR jest to, iż podobnie jak metoda RS polega na zastępowaniu pochodnych występujących w równaniach kombinacją liniową wartości funkcji w węzłach siatki oraz współczynników metody, zwanych współczynnikami wagowymi. Schemat numeryczny budowany przy użyciu metody KR zależy tylko od rzędów pochodnych oraz współrzędnych węzłów siatki.
Pierwsze prace związane z metodą KR wykazały, że podczas jej stosowania napotykano szereg problemów. Niedogodnością, którą raportował już Bellman [23], jest pojawienie się macierzy Varndermonde'a podczas próby wyznaczania współczynników wagowych metody w bazie kanonicznej wielomianów. Układ równań opisany tą macierzą, jest bardzo źle uwarunkowany [71, 72]. Algorytmy, które pozwalają rozwiązywać takie układy są skuteczne dla nieznacznej liczby równań [73]. Podejście to było stosowane dla siatek o niewielkiej liczbie węzłów, zwykle mniejszej bądź równej 13 [64]. W związku z tym kolejni badacze podjęli próby stosowania różnych baz wielomianów w celu podniesienia liczby węzłów dla których można stosować metodę KR. Niestety wybór baz wielomianów zwykle determinuje rozkład węzłów siatki. Oprócz wielomianów bazy kanonicznej na arbitralny wybór współrzędnych węzłów siatki pozwala wybór bazy wielomianów interpolacyjnych Lagrange'a, zastosowanie tej bazy stanowiło przełom w rozwoju metody. Wraz ze zwiększaniem liczby węzłów zaobserwowano pojawienie się zaburzeń dokładności przy brzegach dziedziny. W przypadku problemów zależnych od czasu błąd ten kumulował się i zaburzał wyniki w całej dziedzinie. Kolejne próby redukcji tego błędu opierały się głównie na doborze takich rozkładów węzłów w dziedzinie, które są mocno zagęszczone w pobliżu brzegów. Dopiero w pierwszej dekadzie lat 2000 pojawiły się próby wykorzystania twierdzenia o równoważności metody KR i schematu RNR do modyfikacji metody KR poprzez zastosowanie jej w podprzedziałach.
Nie powstała dotychczas teoretyczna analiza dokładności metody KR. Znane są tylko analizy empiryczne [62]. W niniejszej pracy uwypuklony został związek metody KR z interpolacją wielomianową Lagrange'a (1.26), (1.34). Metoda kwadratur różniczkowych polega na przybliżeniu pochodnej funkcji f pochodną wielomianu interpolującego funkcję f, na podstawie wartości w węzłach interpolacji (§1.3.3.2). Istnieje zatem powiązanie między błędem aproksymacji metodą KR, a błędem interpolacji. Analiza stopnia niedokładności z jakim należy się liczyć podczas stosowania interpolacji była przedmiotem badań wielu autorów i doczekała się licznych publikacji. Potwierdzają one, że różnica między wartościami wielomianu interpolacyjnego i szukanej funkcji na dowolnej siatce jest ograniczona od dołu i rośnie do nieskończoności wraz ze wzrostem liczby węzłów N. Informacja ta stała się podstawą analizy przedstawionej w tej pracy (§1.3.2.1 i §1.3.3.1). Obserwowany spadek dokładności w pobliżu brzegu dziedziny wywołany wzrostem liczby węzłów jest związany
Strona 37 z zachowaniem się wielomianu M
(
x)
i jego pochodnych. Fakt, iż stała Lebesgue'a dla interpolacji rośnie do nieskończoności wraz ze wzrostem liczby węzłów siatki, zgodny jest z obserwowanym spadkiem dokładności metody KR dla siatek o znacznej liczbie węzłów. Podobnie można stwierdzić, że obszary, w których najszybciej wzrasta wartość wielomianuM
(
x)
pokrywają się z obszarami [44], gdzie najpierw wzrasta błąd metody KR. Wielu autorów opierając się na danych pochodzących z eksperymentów numerycznych sugeruje stosowanie siatek zagęszczonych przy brzegu dziedziny. W szczególności siatek o węzłach pochodzących od wielomianów Czebyszewa. Niestety obiecująca poprawa dokładności w przypadku gęstych siatek jest wyłącznie efektem wolniejszego, w ich przypadku, wzrostu stałej Lebesgue'a dla interpolacji. Zagęszczenie siatki w pobliżu brzegów obszaru może okazać się niepraktyczne, w zagadnieniach inżynierskich. W przypadkach rozważanych w odlewnictwie wybór tego typu rozkładów węzłów siatki powoduje wiele niedogodności. W problemach tych najchętniej stosuje się siatki o węzłach równoodległych. Lokalne dogęszczanie siatek stosuje się wyłącznie w pewnych, newralgicznych w kategoriach poprawności rozwiązania modelu fizycznego obszarach. Siatki, w których węzły dogęszcza się na brzegach, a rozgęszcza w centrum dziedziny nie sprawdzają się w tych zagadnieniach. Dodatkowo zagęszczanie siatki w pobliżu brzegów jest problematyczne, gdy rozważa się wiele, wzajemnie oddziałujących procesów. Przedstawione powyżej argumenty sugerują raczej wprowadzenie modyfikacji do samej metody KRStrona 38