żujące.
2. IMPLIKACJE PRZYJĘTEGO STATUSU EPISTEMOLOGICZNEGO MATEMATYKI DLA
' NAUCZANIA
2.1. Z m i a n a s t o s u n k u n a u c z y c i e l a d o b ł ę d ó w u c z n i ó w
Pogląd Bachelarda na nauczanie streszcza się w haśle: „Erreur, tu n 'e s t pas un m ai!” (s t r . 243) (B łędzie, ty nie je s te ś złem !).
Hasło tot wydaje s ię oczywiste, je s t głoszone przez bardzo wielu dy
daktyków (znane je s t powiedzenie p ro f. Krygowskiej: „błogosławione błędy” ), a jednak niew ielu n au czycieli chce je sobie wziąć do serca.
Błąd, szczególnie j e ż e l i pojawia s ię uporczywie i konsekwent
n ie, wymaga szczególnej uwagi nauczyciela. Nie wystarczy powiedzieć uczniowi: „N ie, nie tak, trzeba to rob ić tak, patrz, jak ja to ro b ię ” . Są błędy, które są skutkiem is tn ie n ia całego systemu pojęć, koncepcji, metod, wyobrażeń, które uczeń sobie wypracował. System ten, często zresztą nieuświadomiony, może znacznie różnić się od tego, k tó ry .u s iłu je przekazać nauczyciel; może on zawierać w sto
sunku do niego przeszkody epistem ologiczne. Wskazana przez nauczy
c ie la „właściwa” droga rozwiązywania zadania nie będzie przez ucz
nia akceptowana, ponieważ n ie będzie zrozumiała w ramach jego sys
temu 'pojęć, nie będzie do niego pasowała. Zadaniem nauczyciela je s t pomóc uczniowi w uświadomieniu sobie jego własnego systemu pojęć,
POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 141
w wykryciu istn ieją cych w nim ewentualnych sprzeczności, w poszuki
waniu jego teoretycznych konsekwencji. Może się zdarzyć, że system pojęć ucznia prowadzi do rozw inięcia innej t e o r i i , ryw alizu jącej z tą, do k tó re j dąży nauczyciel. Nie mamy bowiem pewności, czy to, co
„wiemy" dziś o danym fa k cie, jego d z is ie js z a in terp reta cja naukowa, je s t ostateczne, prawdziwe w jakimś sensie. Stąd:
2.2. Z m i a n a s t o s u n k u n a u c z y c i e l a d o n a u c z a n e g o p r z e d m i o t u
Nawet j e ż e l i przyjmujemy is tn ie n ie wiedzy obiektywnej, to ra
czej w sensie j e j autonomii, tak jak to rozumiał Popper, n iż w sen
sie „obiektywnej prawdy". Szczególnie trudno mówić o prawdzie w ma
tematyce. Wiedza matematyczna je s t wiedzą hipotetyczną n ie tylko dlatego, że pewne twierdzenia przyjmuje s ię w n ie j bez dowodu. Po
trzebny je s t więc pewien dystans w stosunku do przekazywanych tr e ś c i, świadomość tego, i ż nie są one niepodważalne, d e fin ic je nie zaw
sze narzucają s ię lo g ic z n ie , metody nie są jedynymi możliwymi. Nowe podejście oznacza, że nawet j e ż e l i uczymy „gotowej matematyki", to nie możemy j e j przedstawiać jako zbioru prawd absolutnych,^gdyż to , co przekazujemy, je s t zawsze wynikiem pewnej konstrukcji społecznej, pewnego wyboru, n e g o c ja c ji, umowy we wspólnocie matematyków.
Nie chodzi tu o popadanie w drugą skrajność i przyjmowanie ca ł
kowicie obojętnej postawy wobec nauczanych tr e ś c i: nauczyciel w ro
l i jedynie przekazującego wiedzę teoretyczną tworzoną przez innych.
W k la s ie także, tak jak wśród pracujących matematyków, wiedza powin
na być negocjowana (wyrażenie pochodzi od Brousseau) z uczniami. Np.
wybór d e f in ic ji nie je s t sprawą wyłącznie nauczyciela czy autora po
dręcznika. To je s t wspólna sprawa nauczyciela i jego uczniów. Roz
wiązanie zależy od sytu a cji, w których uczniom było dane spotkać się z pojęciem, z koniecznością jego użycia. Przez „sytu ację" rozu
miemy tu nie tylko pewien problem matematyczny, ale także dramatur
gię le k c ji, na k tó rej wypłynął czy został postawiony, a więc pewien kontekst społeczny. Mówiąc zaś o „n e g o c ja c ji" mamy na myśli prawdzi
wą negocjację, nie zaś symulowaną - grę w odgadywanie „co nauczy
c i e l ma na m yśli". Nauczyciel nie powinien uważać s ię , ani być uwa
żany przez uczniów, za jedynego posiadacza prawdy k tó re j, j e ś l i nie wyjawia od razu, to bądź przez nauczycielską złośliw ość, bądź w
wy-niku konieczności trzymania się (niepisanych) reguł umowy dydakty
cznej, która obowiązuje w klasie (patrz „contrat didactique", Brous seau, 1980)^2 \
P r z y k ł a d . Rozpoczęłam niedawno (styczeń 1985) próby eks perymentalne sytu acji dydaktycznych w ^jednym z liceów warszawskich.
Sytuacje te mają na celu umożliwienie nauczycielowi (1 ) wydobycie obecnych u uczniów przeszkód epistemologicznych związanych z p oję
ciem granicy; (2) spowodowanie ich pokonania. Na jednej z le k c ji, mającej formę ogólnej dyskusji, narysowałam na ta b lic y dwa współ- środkowe okręgi i zapytałam: „Jak wam się wydaje, na którym z tych okręgów je s t w ięcej punktów?". (Pytanie to było źródłem znanego średniowiecznego paradoksu, rozstrzygn iętego przez G a lileu sza .) Po
jaw iło s ię w k la s ie k ilk a zwalczających się stronnictw:
I. Na obu okręgach jest nieskończoność punktów, więc jest tyle samo i nie ma co dalej się nad tym zastanawiać.
I I . Ponieważ punkty są nieskończenie małe więc na obu okręgach je s t nieskończoność punktów, ale są to różne jakości nieskończonoś
c i ; na większym okręgu je s t więcej punktów.
I I I . Na każdym okręgu je s t skończenie w iele punktów (ponieważ
4
okrąg je s t fig u rą zamkniętą), wszystkie punkty są jednakowe, więc na większym okręgu je s t w ięcej punktów.
Ostatnie stanowisko było reprezentowane głównie przez jednego ucznia, Jacka. Był on zresztą niezwykle konsekwentny w swoim sto
sunku do nieskończoności. W poprzedniej dyskusji, na temat liczb niewymiernych, wyraził pogląd, że liczby te są niepotrzebne, są utrudnieniem. Wystarczy ograniczyć się do tych liczb wymiernych, których rozwinięcia dziesiętne są skończone.
Celem tej lekcji było ujawnienie rozmaitych koncepcji konti
nuum. Usiłowałam więc nie zajmować żadnego stanowiska, ani słowem, ani też gestem czy tonem, wobec pojawiających się koncepcji.
Wszy-(2)
K 'P e t r ie (1979) użył in teresu ją cej metafory: klasa przypomina laboratorium, w którym psychologowie zajmują się badaniem nawyków i zwyczajów starego szczura otrzymanego z innego laboratorium. T y m i
„badaczami" są uczniowie, zaś starym szczurem - nauczyciel. W grun
c ie rzeczy uczniowie nie poznają żadnej „wiedzy obiektywnej", lecz po prostu uczą się re a k c ji nauczyciela na bodźce, których mu dos
ta rcza ją - odpowiedzi na jego pytania.
POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 143
stk ie starałam s ię przyjmować jako ciekawe i akceptowalne. W k lasie obecny był także nauczyciel, którego stanowisko I I I oburzało i da
wał temu wyraz w ton ie zadawanym Jackowi pytań.
(255) Jacek: Ale tu właśnie je s t skończona ilo ś ć punktów!
(256) Nauczyciel: I l e , no i l e ? !
I to je s t bardzo dobre pytanie; każe ono uczniowie precyzować swoją koncepcję, a le powinno być zadane tonem spokojnym, a nawet obojętnym, nie odzwierciedlającym negatywnego stosunku do koncepcji ucznia. Nie chodzi tu tylk o o ukrycie tego negatywnego stosunku ze względów dydaktycznych. On, po prostu, nie powinien być negatywny także z matematycznego punktu widzenia: przecież można przyjąć ta
k ie założenie i rozw ijać matematykę z pewnym tylko podzbiorem lic z b rzeczywistych, tak jak to robi np. analiza numeryczna. I można z uczniem próbować rozw ijać tę jego koncepcję, szukać j e j konsekwen
c j i , wskazując na różnice z analizą klasyczną, która wychodzi z in nych założeń. Na tym polega negocjacja wiedzy z uczniami.
Interesująca je s t także koncepcja I I ; j e j ciekawe rozw inięcie teoretyczne można znaleźć w pracy T a lia (T a li, 1980). T a li zauważa, że „rozszerzen ie p o jęcia lic z b y do lic z b y kardynalnej je s t tylk o jednym z możliwych nieskończonych rozszerzeń, a nie absolutną lo g i
czną rze c z y w is to ś c ią ,’względem k tó rej wszystko powinno być ocenia
ne" (s t r . 273).
Postulat, by nauczyciel angażował s ią we wspólne badania wraz ze swoimi uczniami, je s t oczywiście słuszny i je s t głoszony przez wielu znakomitych dydaktyków, jak np. Freudenthal, w postaci haseł:
nie gotowa matematyka, le c z matematyzowanie, nie aksjomatyka, lecz aksjornatyzowanie, szukanie struktur ubogich w strukturach bogatych.
Lecz rzeczyw istość szkolna je s t taka, że nauczyciel musi bardzo os
tro selekcjonować te t r e ś c i, w które zainwestuje w ięcej swojej i • uczniów aktywności tw órczej.
Powstaje więc kwestia wyboru tego, co ma być przedmiotem wspól
nego badania z uczniami, a co tylko podane, wyłożone w tradycyjny sposób. Takie wspólne badanie wymaga od nauczyciela w zięcia pod uwa
gę wiedzy ucznia, potraktowania j e j jako wiedzy akceptowalnej, ale która, być może, będzie musiała być odrzucona. Jest to bardzo kosz
towne z punktu widzenia nauczyciela, nie tylk o z powodu braku cza
su. Brousseau, który od wielu la t walczy o nauczanie w maksymalnym
stopniu problemowe, ma bardzo z łe doświadczenia w tym zakresie.
Mówi, że nauczyciele nie umieją tego ro b ić, nie p o tra fią lic z y ć się z wiedzą ucznia, szczególn ie j e ś l i je s t fałszywa, zaadaptowana do innych warunków. Robią, co mogą, by uciec od tego obowiązku, który
je s t dla nich, jak mówi Brousseau, krzyżem pańskim. Wolą wyłożyć od razu materiał tak, jak chcą by był znany, każą zapomnieć uczniom ich dawną prowizoryczną wiedzę i idą d a le j.
\
Ale oczywiście nie ma sensu w sposób problemowy wprowadzać wszystkiego, czego chcemy nauczyć. Natomiast tam, gdzie nie tylk o warto, a le koniecznie trzeba p rzejść przez t ę drogę krzyżową nabi
tą dawną wiedzą i intuicjam i uczniów, to sytuacje, w których mamy do czynienia z przeszkodami epistemologicznymi, ó których wiemy, że pozostają niepokonane u d zisiejszy ch uczniów. Ominięcie zawsze mści się niepełnym lub wadliwym rozwinięciem u ucznia pojęć, o któ
re nam chodzi.
Wynika stąd cały program badawczy dia dydaktyki matematyki.
3. PROGRAM BADAWCZY ZWIĄZANY Z POJgCIEM PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ Program badawczy, o którym chcemy tu mówić, stawia sobie za c e l: po pierwsze, o k reślić przeszkody epistemplogiczne związane z matematyką szkolną; po drugie, opracować i sprawdzić sytuacje dy
daktyczne, w których uczniowie, rozwiązując samodzielnie lub w gru
pach odpowiednio dobrane problemy, uświadamialiby sobie swoje b łę dy i ich przyczyny, pokonując przeszkody, a następnie wiedza była
by negocjowana w ramach c a łe j klasy z nauczycielem.
Podsumowując to , co zostało powiedziane w poprzednich częś
ciach artykułu, sformułujemy założenia, ja k ie przyjmujemy w dążeniu do tego celu:
1° Przyjmujemy, że człowiek uczy s ię rozwiązując problemy, i że wiedza, którą w ten sposób buduje, je s t adekwatna do tych pro
blemów. Jest więc ta wiedza zawsze tylko lokalnie dobra, prowizo
ryczna, choć może nam s ię wydawać ogólną i absolutną prawdą. Prze
chodząc do innych, ogólniejszych problemów, chcemy zastosować naszą dawną wiedzę. Wypróbowujemy ją , i j e ś l i je s t źle dopasowana do no
wej sy tu a c ji, a tak je s t często, to musimy ją zrewidować, przebudo
wać, zmienić lub nawet odrzucić (por. P iaget, 1975).
POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 145
2° Ponadto przyjmujemy tezę o ważnej r o l i in te ra k c ji społecz
nych w indywidualnym budowaniu wiedzy, w szczególności zaś tezę o r o l i kooperacji in telek tu aln ej (Piaget, 1958-1960).
Następne założenie mówi o „quasi-empirycznym" charakterze roz
woju matematyki.
3° Przyjmujemy d a le j, że w podobny sposób przebiega rozwój his toryczny myśli matematycznej. Na każdym etapie swojego rozwoju wie
dza matematyczna była adekwatna do problemów, których rozwiązanie stawiała sobie za c e l. Motorem rozwoju były nowe problemy, nowe h i
potezy i kontrprzykłady, które wskazywały, że dawna wiedza je s t nie wystarczająca bądź wadliwa i konieczna je s t j e j przebudowa. Jednak rewidowanie dawnej wiedzy i ewentualne j e j odrzucenie je s t trudne, gdyż dawne te o r ie i metody zostały przedtem w pocie czoła wypraco
wane i przez ja k iś czas dobrze funkcjonowały i słu żyły. Trudno s ię z nimi rozstać. Ponadto czasami nie je s t od razu jasne, dlaczego ta dawna wiedza nie pasuje czy nie wystarcza do rozwiązywania nowe
go problemu, która hipoteza czy założenie je s t '„winne". Dzieje s ię tak dlatego, że nie wszystkie założenia, hipotezy czy zasady funk
cjonujące w dawnej wiedzy są jawne, uświadomione. Ich świadomość nie je s t zresztą potrzebna, by w danej tra d y c ji działać i tworzyć.
Niektóre jednak z tych założeń czy zasad są tak isto tn e, że ich od
rzucenie pociąga za sobą konieczność zmiany całego systemu, c a łej tr a d y c ji. Tego rodzaju hipotezy, założenia lub zasady nazwaliśmy przeszkodami epistemologieznymi.
4° Przyjmujemy, że proces pokonywania przeszkód epistem ologi- cznych ma ważne aspekty społeczne.
Uznając paralelizm f i l o - i ontogenezy myśli matematycznej (Du
da, 1982; Freudenthal, 1983) uważamy, że odkrywanie przeszkód epi- stemologicznych w h is t o r ii matematyki, ich przejawów w indywidual
nym rozwoju myśli matematycznej u młodego uczącego s ię człowieka, a także poszukiwanie sytu a cji dydaktycznych sprzyjających uświada
mianiu sobie i pokonywaniu tych przeszkód przez uczniów je s t ważną dziedziną badań w dydaktyce matematyki.
J e ś li nasz program badawczy rozwinie s ię w program badawczy w sensie Lakatosa, to powyższe cztery założenia będą zawarte w
„twardym rdzeniu h ipotez" (hard c o re ). Nasz program je s t dopiero pączkujący i trudno byłoby już w t e j ch w ili o k reślić wsżystkie je
go hipotezy rdzenne i posiłkowe oraz metody heurystyczne. Jest to program, który bardzo niedawno się n arod ził. Jest k ilk a zaledwie prac nawiązujących jawnie do pierwszego punktu wymienionego na wstę pie „celu " (Brousseau, 1980-1981; Bouvier, 1985; Cornu, 1980; Glae- ser, 1981; Sierpińska, 1985). Znane nam są prace (B erthelot, 1983;
'Robinet, 1983) budzące jednak w iele zastrzeżeń, pretendujące do re a liz a c ji punktu drugiego.
J e ż e li chodzi o hipotezy posiłkowe, to można by tu wymienić te o r ię sytu a cji dydaktycznych Brousseau. Wydaje s ię ona stanowić poparcie naszego programu, szczególnie przez j e j nawiązanie do pa- ralelizm u rozwoju wiedzy „uczonej" i „indywidualnej", przez ro lę , jaką przypisuje formułowaniu (zgodną z przytoczonym wcześniej zda
niem Poppera), oraz uzasadnianiu (b lisk ą ideom Lakatosa wyrażonym w jego pojęciu matematyki jako nauki ąuasi-empirycznej), a także
„in s ty tu c jo n a liz a c ji" wiedzy w k la s ie , która odpowiada przyjęciu pewnej umowy, konwencji, pewnego paradygmatu i bierze pod uwagę spo łeczne aspekty matematyki jako d zia ła ln o ś c i.
Oto k ilk a słów w ięcej o t e o r ii sytu acji dydaktycznych Brous
seau (1977): punktem w yjścia sekwencji sytu acji dydaktycznych je s t zawsze problem lub sytuacja problemowa. W pierwszej fa z ie rozwiązy
wania, w czasie tzw. „sy tu a cji d zia ła n ia ", uczniowie, poprzez różne aktywności manipulacyjne na przedmiotach konkretnych lub abstrakcyj nych, w toku np. gry, budują pierwsze, często jeszcze nieuświadomio ne koncepcje pojęć, do których rozw in ięcia zmierza cała sekwencja
zajęć.
Kolejny typ s y tu a cji, tzw. „sytuacja formułowania" wynika z potrzeby zakomunikowania komuś o swoim rozwiązaniu. W t e j sytu acji dochodzi do formułowania pierwszych koncepcji i jednocześnie ich r e w iz ji, gdy okazują się nieadekwatne. Czasami dochodzi do powrotu do sytu acji „d zia ła n ia " i odbudowy koncepcji.
„Sytuacja uzasadniania" wynika z konieczności obrony swojego stanowiska czy rozwiązania. Mamy tu do czynienia z dowodami i i&fi odrzucaniem. Wynikiem t e j sytu acji powinno być u stalenie wspólnego systemu w artości. Tu także może dochodzić do zmiany pierwotnych kon cepcji.
„In s ty tu c jo n a liza c ja " to sytuacja, która wynika z konieczności p rzy ję c ia pewnej wspólnej wiedzy dla wszystkich. Jest to p rzy ję c ie
POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 147
pewnej umowy, konwencji, kompromisu. I je s t to także śmierć proble
mu.
Is t n ie ją prace eksperymentalne i teoretyczne, które mogą sta
nowić podstawę heurystyki naszego programu badawczego (Balacheff i Laborde, 1984; Laborde, 1982; Mugny et a l . , 1976). Szczególnie dobrze przystosowane do badań eksperymentalnych mających na celu wykrycie przeszkód epistemologicznych u uczniów wydają s ię tzw.
„sytuacje eksperymentalne sprzyjające in te ra k c ji i komunikowaniu s ię " . Omówienie t e j metody i przykład zastosowania można znaleźć w mojej pracy (Sierpińska, 1983). Zwrócona je s t tam uwaga na to, że analiza wyników uzyskanych z pomocą t e j metody eksperymentalnej powinna odbywać się jednocześnie i w powiązaniu z analizą h isto ry
czną.
Powstaje pytanie, czy nasz program ma szanse zostać programem
„postępowym", tzn. czy je s t zdolny do przewidywania faktów lub wy
jaśniania faktów ujawnionych dawniej. Wydaje s ię , że takie szanse is t n ie ją . Badanie historyczne przeszkód epistemologicznych wraz z analizą wypowiedzi ^uczniów w czasie rozwiązywania zadań może przy
czynić się do zrozumienia błędów zarówno uczniów, jak matematyków w p rze s zło ś c i. 'Badania te pozwolą także przewidzieć miejsca w pro
gramie nauczania, które wymagają szczególnie starannego opracowa
nia dydaktycznego właśnie z powodu kryjących s ię za nimi przeszkód epistemologicznych, które uczniowie będą musieli pokonać pod groź
bą nieskuteczności jakichkolwiek wysiłków nauczyciela w dalszym nauczaniu.
Nie ma jednak pewności czy nasz program szansę tę zdoła wyko
rzystać. Jest to bowiem niezwykle trudny program. Po pierwsze, wy
maga on pogłębionych studiów historycznych. Nie wystarcza, jak zwróciliśmy na to uwagę wcześniej, badanie obowiązujących w danej epoce paradygmatów. Przeszkody epistemologiezne są często ukryte, nieuświadomione. Trzeba więc docierać do źródeł, przebijać się przez niektóre nazbyt daleko idące „ra c jo n a liza c je " historyków ma
tematyki, mających często tendencję do ukrywania błędów matematy
ków w p rze s zło ś c i. Podawanie wyników we współczesnej n o ta cji także sprawy nie ułatwia (por. Glaeser, 1984; Lakatos, 19782 ; Kuhn, 1962;
Waszkiewicz, 1977). Po drugie zaś, wymaga on tworzenia specjalnych sytu acji dydaktycznych, problemów i sytu acji problemowych, które
bądź wydobywałyby na św iatło dzienne daftne koncepcje i in tu ic je uczniów świadczące o niepokonaniu przez nich różnych przeszkód epi- stemologicznych, bądź umożliwiałyby im pokonanie przeszkody. Spraw
dzenie, czy przeszkoda została pokonana, także nie je s t łatwe; to znowu wymaga doboru odpowiedniej sytu acji problemowej i eksperymen
ta ln e j . Opracowanie takich sytu a cji, to nie je s t tylk o sprawa np.
analizy warunków historycznych, w jakich doszło do pokonania prze
szkody, choć może to byó źródło in s p ir a c ji. Poza „sytuacjami eks
perymentalnymi in te r a k c ji i komunikowania s ię ” nie ma właściwie żadnych wskazówek, jak tak ie sytuacje tworzyć.
Pewnym źródłem inform acji o niepokonanych przeszkodach epis
temologie znych u d zis ie js zy c h uczniów może byó lite r a tu r a . Jest w iele prac, które donoszą o rozmaitych in tu icjach i koncepcjach lub błędach uczniów, które mogą nam przyjść z pomocą. Wzbogacenie analizy wyników tych badań analizą z punktu widzenia przeszkód ep i
stemologie znych może dać bardzo głębokie re zu lta ty .
Można jeszcze zapytać, ja k ie są w naszym programie „basie sta
tements" i „p o te n tia l f a l s i f i e r s " . Zdaniami podstawowymi są z pew
nością zdania typu: „to a to je s t przeszkodą epistemologiczną i po
woduje to ta k ie to a ta k ie błędy". Zdania te są zawsze hipotetycz
ne, gdyż to , czy dana przeszkoda je s t czy nie je s t obecna u d z i
siejszych uczniów, je s t często wynikiem subiektywnej in te r p r e ta c ji eksperymentatora. Is t n ie je więc możliwość ich f a l s y f i k a c j i . S iła ta k ie j fa ls y f ik a c ji wydaje się tkwić w rozwijających się ostatnio badaniach nad sztuczną in te lig e n c ją . Ponadto stwierdzenie, że coś je s t przeszkodą epistemologiczną w rozwoju matematyki, je s t poten
c ja ln ie falsyfikow aln e poprzez nowe wyniki pogłębionych badań h is
torycznych, odkrycie nowych, nie znanych dotąd faktów historycznych lub nowe spojrzenie na rozwój ja k ie jś t e o r i i dzięki powstaniu no
wej g a łę z i matematyki, tak jak to się sta ło z in terp reta cją rozwo
ju rachunku różniczkowego i całkowego w wyniku odkrycia analizy niestandardowej przez Robinsona.
Literatu ra cytowana
B a c h e l a r d , G., 1938: L a f o r m a t i o n d e 1 ' e s p r i . t s c i e n t i f i q u e ,
P a ris, Vrin.
POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 149
B a 1 a c h e f f , N. et L a b o r d e, C., 1982: L a n g a g e s y m b o l i - ą u e e t p r e u v e a d a n s l ' e n s e i g n e m e n t m a t h e m a t i q u e : u n e a p p r o c h e s o c i o - c o g n i t i v e, Psychologie sociale et Developpement c o g n itif
(G. Mugny) Berne, Peter Lang, 1985.
B e r t h e 1 o t , C. e t R,, 1983: Q u e l q u e s a p p o r t a d e l a t h e o r i e d e s s i t u a t i o n s a 1 ' e t u d e d e l ' i n t r o d u c t i o n d e la n o t i o n d e l i m i t e e n c l a s s e P r e m i e r e A , Memoire DEA, IREM de Bordeaux.
B o u v i e r , A ., 1985: O n s t r a t e g i e s f o r t e a c h i n g, For the le a r
ning of mathematics 5. 1» Montreal.
B r o u s s e a u , G., 1977: L ' e t u d e d e s p r o c e s s u s d a p p r e n t i s s a g e e n s i t u a t i o n s s c o l a i r e s, Communication de M. Brousseau au Cen
tre fo r Studies in Science Education, U niversity o f Leeds (England, 77-07-06).
- , 1980-1981: P r o b l e m e s d e d i d a c t i q u e d e s d e c i m a u x , Recherches en Didactique des Mathematiques, Vol. 1.1 et 1.2, Grenoble.
- , 1983: L e s o b s t a c l e s e p i s t e m o l o g i q u e s e t l e s p r o b l & m e s e n m a t h e m a t i q u e s , ibidem. Vol. 4.2, Grenoble.
- , 1984: Wywiad przeprowadzony w czasie Szkoły Letn iej z Dydaktyki Matematyki w Orleans, lip ie c 1984, przez A. Sierpińską (nie- opublikowany).
C o r n u , B., 1983: A p p r e n t i s s a g e d e la n o t i o n d e l i m i t e ; c o n c e p t i o n s e t o b s t a c l e s, These de doctorat de 3e cycle de mathema
tiques pures, U niversite S cien tifiqu e et Medicale de Grenoble.
D a v i s, P.J. and Hersh, R., 1981: T h e m a t h e m a t i c a l e x p e r i e n c e ,
Birkhałłser.
D u d a , R., 1982: Z a s a d a p a r a l e l i z m u w d y d a k t y c e , Dydaktyka Mate
matyki 1. PWN, Warszawa.
D u r o u x, A., 1983: L a v a l e u r a b s o l u e ; d i f f i c u l t e s m a j e u r e s p o u r u n e n o t i o n m i n e u r e , P e t it x, No. 3* Grenoble.
F r e u d e n t h a l , H., j973: M a t h e m a t i c s a s a n e d u c a t i o n a l t a s k , D. R eidel, Dortrecht.
- , 1978: W e e d i n g a n d S o w i n g ; p r e f a c e t o a s c i e n c e o f m a t h e m a t i c a l
e d u c a t i o n , D. Reidel, Dortrecht. ^
- , 1983: I m p l i c i t p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s h i s t o r y a n d e d u c a t i o n ,
wykład na Kongresie ICM, Warszawa 1983 (tłumaczenie polskie w Dydaktyce Matematyki, tom 6 ).
The paper i s composed o f three parts. The f i r s t part is an -attempt o f an exp lica tion o f the notion o f E: i t contains examples
o f e's, a formulation o f some properties o f e's, a discussion o f the d i f f i c u l t i e s connected with defin in g the notion o f E in mathematics ( e . g . : Bachelard claimed that e's are c h a ra cteristic of the p r e - s c ie n t ific period only - the historians say that mathematics has been in i t s s c ie n t ific period since A n tiqu ity;
Bachelard talked about e's in natural sciences only - mathematics is not a natural scie n c e ). A d is tin c tio n between d i f f i c u l t y and an E is made. Also, some problems with the applications o f the notion in the philosophy o f teaching mathematics are formulated. The la s t section is concerned with the possible h is to r ic a l and ph ilosophical background o f the notion o f E.
The second part contains a discussion o f the im plications fo r teaching mathematics o f the philosophy connected with the notion o f E: the in e v ita b le change o f the teach er's attitu de towards his students' errors as w e ll as towards the knowledge he teaches. Much of th is knowledge is a re s u lt of a s o c ia l construction, o f a choice o f a negociation w ithin a community o f mathematicians. In a
classroom also, knowledge should be negociated with the students and the teacher should not regard him self nor be regarded by his students as the sole detainer o f ultim ate tru th. A lesson should
classroom also, knowledge should be negociated with the students and the teacher should not regard him self nor be regarded by his students as the sole detainer o f ultim ate tru th. A lesson should